Большая Советская Энциклопедия (СТ)

   

  (тем не менее использование m имеет также положительные стороны: например, если истинное распределение не является в точности нормальным, а несколько отличается от него, дисперсия Хможет резко возрасти, а дисперсия m остаётся почти той же, т. е. m обладает свойством, называется «прочностью»). Одним из распространённых общих методов получения С. о. является метод моментов, который заключается в приравнивании определённого числа выборочных моментов к соответствующим моментам теоретического распределения, которые суть функции от неизвестных параметров, и решении полученных уравнений относительно этих параметров. Хотя метод моментов удобен в практическом отношении, однако С. о., найденные при его использовании, вообще говоря, не являются асимптотически наилучшими, Более важным с теоретической точки зрения представляется , который приводит к оценкам, при некоторых общих условиях асимптотически наилучшим. Частным случаем последнего является . Метод С. о. существенно дополняется оцениванием с помощью .

  Лит.:Кендалл М., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.

  А. В. Прохоров.

Статистические расчёты

Статисти'ческие расчёты,исчисление на основе имеющихся статистических данных новых показателей, расширяющих и обогащающих возможности анализа и познания социально-экономических явлений и процессов. С. р. можно подразделить на 2 группы: расчёты отдельных показателей и комплексные расчёты систем показателей. К первой группе относятся: расчёты относительных показателей (например, показателей выполнения плана, структуры совокупности, соотношения отдельных её частей, динамики, сравнения и интенсивности развития); расчёты (например, средней заработной платы, средней выработки на одного работающего, средней урожайности и т.п.); исчисление отдельных статистических характеристик (например, средней ошибки выборки, , ), расчёты статистических ; расчёты недостающих показателей на основе балансовых уравнений, в ; расчёты сводных показателей в социально-экономической статистике (например, , и др.). Вторую группу составляют комплексные С. р., воссоздающие какой-либо процесс или состояние социально-экономического явления. В них применяются методы , построение индексных систем, теория и др. статистические приёмы анализа. Непревзойдённые примеры глубоко научных С. р. содержатся в трудах В. И. Ленина. В работе «Развитие капитализма в России» на основе массового статистического материала, собранного и научно обработанного Лениным с помощью метода группировок, доказано развитие капитализма в России: в пореформенной русской деревне происходил процесс классовой дифференциации, выделялись 3 различных социально-экономических типа крестьянских хозяйств: пролетарское и полупролетарское, живущие главным образом или наполовину продажей рабочей силы; середняцкие, источник существования которых - собственное мелкое хозяйство, и зажиточные, эксплуатирующие наёмных рабочих. По расчётам В. И. Ленина, удельный вес этих типов крестьянских хозяйств в конце 19 в. в России составлял соответственно 50, 30 и 20%. В этой же работе дан классический пример С. р. социальной структуры населения России по материалам переписи населения в 1897 с использованием данных переписи населения 1890 в Петербурге и материалов земской статистики. В. И. Ленин установил, что численность пролетариата в России в 1897 составляла «... не менее 22-х миллионов» (Полн. собр. соч., 5 изд., т. 3, с. 505, прим.). В социалистическом хозяйстве С. р. находят применение в балансовых работах (см. , ), прежде всего в расчётах, связанных с построением , , финансового баланса, , производства и распределения общественного продукта; при сопоставлении показателей между странами в международных сравнениях; при исчислении различных сводных показателей и коэффициентов и т.д. Большую группу составляют С. р. по прогнозированию численности населения и др. показателей социально-экономической статистики на длительный период времени. Следует назвать также расчёты по распространению на генеральную совокупность результатов и оценки их достоверности, Примером С. р. может служить математическая обработка данных межотраслевого баланса народного хозяйства. Для производства комплексных С. р. применяются экономико-математические методы и электронно-вычислительные машины.

  Лит.:Эйдельман М Р Межотраслевой баланс общественного продукта, М.,1966: Курс экономической статистики, под ред. А. И. Петрова, 4 изд., М., 1967; Курс демографии, под ред. А. Я. Боярского, М., 1967; Ряузов Н. Н., Общая теория статистики, 2. изд., м., 1971.

  Н. Н. Ряузов.

Статистические решения

Статисти'ческие реше'ния,общее название решений, принимаемых на основе результатов наблюдений какого-либо явления, подчиняющегося вероятностным закономерностям (см. ), которые известны лишь частично. Например при обеззараживании воды хлорированием количество добавляемого хлора должно зависеть от среднего числа q бактерий в единице объёма. Однако само q неизвестно и оценивается по результатам X ₁, X ₂,..., X _nподсчёта численности бактерий в nнезависимо выбранных единицах объёма воды, при допущении (в простейшей модели) что X _i, при i = 1,... nимеют с неизвестным средним значением ( ) q. Поэтому С. р. решение о количестве добавляемого хлора - будет функцией от какой-либо q *параметра q. Последняя должна выбираться с учётом нежелательных последствий как недооценки q (недостаточное обеззараживание воды), так и завышенной оценки q (ухудшение вкуса воды от чрезмерного добавления хлора). Точную математическую формулировку понятий, касающихся С. р. и способов их сравнения, рассматривает .

  Ю. В. Прохоров.

Статистические сборники

Статисти'ческие сбо'рники,справочные издания, содержащие цифровую информацию о развитии народного хозяйства, его отраслей и подразделений. Различаются по назначению (ежегодники, справочники, юбилейные издания, бюллетени и т.п.), объёму (полные и краткие), охвату данных (общеэкономические и отраслевые, по всей стране или по республикам, районам), ведомственной принадлежности, форме (книги и журналы) и периодичности издания (десятилетние, годовые, квартальные, месячные, разовые и др.). Независимо от назначения С. с. охватывают характеристику (состояние и развитие) территории и населения, науки и научно-технического прогресса, промышленности и её отраслей, сельского хозяйства, строительства, транспорта и связи, торговли, финансов и кредита, внешних связей, образования и культуры, здравоохранения, труда и быта, материального благосостояния и развития народного хозяйства в целом. Разработка схем и методологии С. с. - неотъемлемая часть как науки, а их составление и публикация - важный раздел в деятельности (в странах социализма - плановой) статистических организаций (в СССР - ЦСУ СССР и его органов в республиках и на местах). В России систематические издания С. с. осуществлялись с 19 в. («Статистический Временник Российской империи», 1866-94, и «Ежегодник России», 1905-18). В 1924 в СССР вышел первый С. с. по народному хозяйству. В 1925 он был дополнен новым материалом и издан под названием «Народное хозяйство Союза ССР в цифрах». Это был первый опыт отражения в статистических публикациях системы показателей развития народного хозяйства СССР. С 1956 ежегодно (кроме 1958) выпускается С. с. «Народное хозяйство СССР», а с 1957 - С. с. о развитии народного хозяйства отдельно по каждой союзной республике, по краям и областям. Ежегодники являются основной разновидностью С. с. и в др. странах (издаются в 126 странах, в том числе во всех странах СЭВ). Важнейшими С. с. ООН и её специализированных учреждений с 1946 являются: «Статистический ежегодник» («Statistical yearbook»), «Демографический ежегодник» («Demografic yearbook»), «Ежегодник по статистике международной торговли» («Yearbook of international trade statistics»), «Ежегодник ООН» («Yearbook of the United Nations») и др. Продовольственная и с.-х. организация ООН (ФАО) издаёт «Ежегодник по статистике продовольствия и сельского хозяйства» («Yearbook of food and agricultural statistics»), а также ежегодники по статистике рыболовства и лесного хозяйства; Организация Объединённых Наций по вопросам образования, науки и культуры (ЮНЕСКО) издаёт «Международный ежегодник по образованию» («International yearbook of education») и общий статистический ежегодник («Statistical yearbook»). Свои ежегодники издают и многие др. международные организации.

  В. М. Симчера.

Статистический анализ многомерный

Статисти'ческий ана'лиз многоме'рный,в широком смысле - раздел , объединяющий методы изучения статистических данных, относящихся к объектам, которые характеризуются несколькими качественными или количественными признаками. Наиболее разработана часть С. а. м., основанная на допущении, что результаты отдельных наблюдений независимы и подчинены одному и тому же многомерному (обычно именно к этой части применяют термин С. а. м. в узком смысле). Иными словами, результат X _j  наблюдения с номером jможно представить вектором

X _j=( X _j1, X _j2,..., X _js),

где случайные величины X _jk имеют m _k , s ² _k , а коэффициент между X _jkи X _jl равен r _kl . Вектор математических ожиданий m =(m ₁,...,m _s ) и ковариационная матрица S с элементами s _k s _l r _kl, k, l =1 ,..., s, являются основными параметрами, полностью определяющими распределение векторов X ₁,..., X _n- результатов пнезависимых наблюдений. Выбор многомерного нормального распределения в качестве основной математической модели С. а. м. отчасти может быть оправдан следующими соображениями: с одной стороны, эта модель приемлема для большого числа приложений, с другой - только в рамках этой модели удаётся вычислить точные распределения выборочных характеристик. Выборочное среднее  и выборочная ковариационная матрица

 

  [где  обозначает транспонированный вектор , см. ] суть оценки максимального правдоподобия соответствующих параметров совокупности. Распределение  нормально , а совместное распределение элементов ковариационной матрицы S, т. н. распределение Уишарта, является естественным обобщением и играет значительную роль в С. а. м.

  Ряд задач С. а. м. более или менее аналогичен соответствующим одномерным задачам (например, задача проверки гипотез о равенстве средних значений в двух независимых выборках). Другого типа задачи связаны с проверкой гипотез о независимости тех или иных групп компонент векторов X _{j ,}проверкой таких специальных гипотез, как гипотеза сферической симметрии распределения X _j и т.д. Необходимость разобраться в сложных взаимосвязях между компонентами случайных векторов X _j ставит новые проблемы. В целях сокращения числа рассматриваемых случайных признаков (уменьшения размерности) или сведения их к независимым случайным величинам применяются метод главных компонент и метод канонических корреляций. В теории главных компонент осуществляется переход от векторов Xjк векторам Y _j=( Y _j1,..., Y _jr). При этом, например, Y _j1выделяется максимальной дисперсией среди всех нормированных линейных комбинаций компонент X ₁; Y _j2имеет наибольшую дисперсию среди всех линейных функций компонент X ₁, не коррелированных с Y _j1и т.д. В теории канонических корреляций каждое из двух множеств случайных величин (компонент X _j) линейно преобразуется в новое множество т. н. канонических величин так, что внутри каждого множества коэффициенты корреляции между величинами равны 0, первые координаты каждого множества имеют максимальную корреляцию, вторые координаты имеют наибольшую корреляцию из оставшихся координат и т.д. (упорядоченные т. о. корреляции называются каноническими). Последний метод указывает максимальную корреляцию линейных функций от двух групп случайных компонент вектора наблюдения. Выводы методов главных компонент и канонических корреляций помогают понять структуру изучаемой многомерной совокупности. Сходным целям служит и , в схеме которого предполагается, что компоненты случайных векторов X _jявлются линейными функциями от некоторых ненаблюдаемых факторов, подлежащих изучению. В рамках С. а. м. рассматривается и проблема дифференциации двух или большего числа совокупностей по результатам наблюдений. Одна часть проблемы заключается в том, чтобы на основе анализа выборок из нескольких совокупностей отнести новый элемент к одной из них (дискриминация), другая - в том, чтобы внутри совокупности разделить элементы на группы, в определённом смысле максимально отличающиеся друг от друга.

  Лит.:Андерсон Т., Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ., М., 1963; Kendall М. G., Stuart А., The advanced theory of statistics, v. 3, L., 1966; Dempster A. P., Elements of continuons multivariate analysis, L., 1969.

  А. В. Прохоров.

Статистический анализ случайных процессов

Статисти'ческий ана'лиз случа'йных проце'ссов,раздел математической статистики, посвященный методам обработки и использования статистических данных, касающихся (т. е. функций X( t) времени t, определяемых с помощью некоторого испытания и при разных испытаниях могущих в зависимости от случая принимать различные значения). Значение x( t) случайного процесса X( t), получаемое в ходе одного испытания, называется реализацией (иначе - наблюдённым значением, выборочным значением или траекторией) процесса X( t); статистические данные о X( t), используемые при статистическом анализе этого процесса, обычно представляютсобой сведения о значениях одной или нескольких реализаций x( t) в течение определенного промежутка времени или же о значениях каких-либо величин, связанных с процессом X( t) (например, о наблюденных значениях процесса Y( t), являющегося суммой X( t) и некоторого «шума» N( t), созданного внешними помехами и ошибками измерения значений x( t)). Весьма важный с точки зрения приложений класс задач С. а. с. п. представляют собой задачи обнаружения сигнала на фоне шума, играющие большую роль при радиолокации. С математической точки зрения эти задачи сводятся к : здесь по наблюденным значениям некоторой функции требуется заключить, справедлива ли гипотеза о том, что функция эта является реализацией суммы шума N( t) и интересующего наблюдателя сигнала X( t), или же справедлива гипотеза о том, что она является реализацией одного лишь шума N( t). В случаях, когда форма сигнала X( t) не является полностью известной, задачи обнаружения часто включают в себя и задачи неизвестных параметров сигнала; так, например, в задачах радиолокации очень важна задача об оценке времени появления сигнала, определяющего расстояние до объекта, породившего этот сигнал. Задачи статистической оценки параметров возникают и тогда, когда по данным наблюдений за значениями процесса X( t) в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то параметров распределения вероятностей случайных величин X( t) или же, например, оценить значение в фиксированный момент времени t = t ₁самого процесса Х( t) (в предположении, что t ₁лежит за пределами интервала наблюдений за этим процессом) или значение y( t ₁) какого-либо вспомогательного процесса Y( t), статистически связанного с Х( t) (см. ). Наконец, ряд задач С. а. с. п. Относится к числу задач на статистики; так обстоит дело, в частности, когда по наблюдениям за течением процесса X( t) требуется оценить некоторые функции, характеризующие распределения вероятностей значений этого процесса (например, плотность вероятности величины Х( t), или корреляционную функцию E x( t) X( s) процесса Х( t), или, в случае X( t), его спектральную плотность f( l)

  При решение задач С. а. с. п. всегда требуется принять те или иные специальные предположения о статистической структуре процесса X( t), т. е. как-то ограничить класс рассматриваемых случайных процессов. Очень ценным с точки зрения С. а. с. п. является допущение о том, что рассматриваемый процесс X( t) является стационарным случайным процессом; при этом допущении, зная значения единственной реализации x( t) в течение промежутка времени 0 Ј tЈ T, можно уже получить целый ряд статистических выводов о вероятностных характеристиках процесса X( t). В частности, среднеарифметическое значение

 

  в случае стационарного случайного процесса X( t) при весьма широких условиях является состоятельной оценкой математического ожидания E x( t) = m(т. е.  сходится при Т®Ґ к истинному значению оцениваемой величины m); аналогично этому выборочная корреляционная функция

  ,

  где t > 0, при широких условиях является состоятельной оценкой корреляционной функции B(t) =E x( t) X( t+ t).

  Однако функции  - так называемая периодограмма I _T(l) процесса X( t) - уже не представляет собой состоятельной оценки спектральной плотности f(l), являющейся преобразованием Фурье функции В(t); при больших значениях Тпериодограмма I _T(l) ведёт себя крайне нерегулярно и при Т® Ґ она не стремится ни к какому пределу. Поэтому С. а. с. п. включает в себя ряд специальных приёмов построения состоятельных оценок спектральной плотности f(l) по наблюдённым значениям одной реализации стационарного процесса X( t), большинство из которых основано на использовании сглаживания периодограммы процесса по сравнительно узкой области частот l.

  При исследовании статистических свойств оценок вероятностных характеристик стационарных случайных процессов очень полезными оказываются дополнительные допущения о природе X( t) (например, допущение о том, что все конечномерные распределения значений процесса X( t) являются нормальными распределениями вероятностей). Большое развитие получили также исследования по С. а. с. п., в которых предполагается, что изучаемый процесс X( t) является того или иного типа, или компонентой многомерного марковского процесса, или компонентой многомерного процесса, удовлетворяющего определённой системе стохастических дифференциальных уравнений.

  Лит.:Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, пер. с англ., в. 1-2, М., 1971-72; Хеннан Э., Анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1964; его же, Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974: Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы), М., 1974.

  А. М. Яглом.

Статистический ансамбль

Статисти'ческий анса'мбль,совокупность сколь угодно большого числа одинаковых физических систем многих частиц («копий» данной системы), находящихся в одинаковых макроскопических состояниях; при этом микроскопические состояния системы могут принимать все возможные значения, совместимые с заданными значениями макроскопических параметров, определяющих её макроскопическое состояние. Примеры С. а. - энергетически изолированные системы при заданном значении полной энергии ( ), системы в контакте с термостатом заданной температуры ( ), системы в контакте с термостатом и резервуаром частиц (большой канонический ансамбль). С. а. - основное понятие , позволяющее применить методы теории вероятностей.

Статистический вес

Статисти'ческий вес,в квантовой механике и квантовой статистике - число различных квантовых состояний с данной энергией, т. е. кратность состояния. Если энергия принимает непрерывный ряд значений, под С. в. понимают число состояний в данном интервале энергий. В классической статистике С. в. называют величину элемента системы. См. .

Статистический институт

Статисти'ческий институ'тмеждународный, занимается развитием и усовершенствованием статистических методов и их применением в различных областях знаний. Основан в 1885. Организационная работа С. и. выполняется Постоянным бюро, которое находится в Гааге. В составе С. и. (середина 70-х гг.) свыше 700 действительных членов более чем из 70 стран (в т. ч. из СССР и др. социалистических стран), специалисты в области социально-экономической и математической статистики, а также руководители национальных статистических учреждений и организаций. Каждые 2 года С. и. проводит сессии, на которых заслушиваются и обсуждаются научные сообщения по проблемам различных отраслей статистики. Первая сессия состоялась в Риме в 1887, 40-я - в 1975 в Варшаве. Материалы сессий С. и. печатаются в «Бюллетенях института». Статьи по отдельным проблемам статистики (в основном математической) и текущая информация о научной жизни публикуются в журнале «Международное статистическое обозрение» («International statistical review», с 1933). До 1-й мировой войны 1914-18 С. и. был центром, международной статистики, занимался сбором и обработкой статистических данных отдельных стран, готовил рекомендации по сопоставимости данных. В 1919-33 он осуществлял эту деятельность параллельно с органами . С созданием статистического аппарата ООН С. и. полностью переключился на вопросы статистической теории и методологии. Институт готовит кадры статистиков для развивающихся стран. В 70-е гг. сформировались 3 ассоциации как автономные секции С. и.: Международная ассоциация по применению статистики в физических науках, Международная ассоциация муниципальных статистиков, Международная ассоциация специалистов по выборочному методу.

  Лит.:Рябушкин Т., Международная статистика, М., 1965.

  Т. В. Рябушкин.

Статистический оператор

Статисти'ческий опера'тор,матрица плотности, оператор, с помощью которого можно вычислить среднее значение любой физической величины в квантовой и, в частности, в . С. о. описывает состояние системы, не основанное на полном (в смысле квантовой механики) наборе данных о системе ( ).

Статистических испытаний метод

Статисти'ческих испыта'ний ме'тод, метод вычислительной и прикладной математики, основанный на случайных величин и построении статистических оценок для искомых величин; то же, что . Принято считать, что С. и. м. возник в 1944, когда в связи с работами по созданию атомных реакторов американские учёные Дж. фон Нейман и С. Улам начали широко применять аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ. Первоначально С. и. м. использовался главным образом для решения сложных задач теории переноса излучения и нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Затем его влияние распространилось на больший класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. С. и. м. применяется для решения задач теории игр, теории массового обслуживания и математической экономики, задач теории передачи сообщений при наличии помех и т.д. Для решения детерминированной задачи по С. и. м. прежде всего строят вероятностную модель, представляют искомую величину, например многомерный интеграл, в виде математического ожидания функционала от случайного процесса, который затем моделируется на ЭВМ. Хорошо известны вероятностные модели для вычисления интегралов, для решения интегральных уравнений 2-го рода, для решения систем линейных алгебраических уравнений, для решения краевых задач для эллиптических уравнений, для оценки собственных значений линейных операторов и т.д. Выбором вероятностной модели можно распорядиться для получения оценки с малой погрешностью. Особую роль в различных приложениях С. и. м. играет моделирование случайных величин с заданными распределениями. Как правило, такое моделирование осуществляется путём преобразования одного или нескольких независимых значений случайного числа a, распределённого равномерно в интервале (0,1). Последовательности «выборочных» значений a обычно получают на ЭВМ с помощью теоретико-числовых алгоритмов, среди которых наибольшее распространение получил «метод вычетов». Такие числа называются «псевдослучайными», они проверяются статистическими тестами и решением типовых задач. Если в расчёте по С. и. м. моделируются случайные величины, определяемые реальным содержанием явления, то расчёт представляет собой процесс «прямого моделирования». Такой расчёт неэффективен, если изучению подлежат редкие события, т.к. реальный процесс содержит о них мало информации. Эта неэффективность обычно проявляется в слишком большой величине вероятностной погрешности (дисперсии) случайных оценок искомых величин. Разработано много способов уменьшения дисперсии указанных оценок в рамках С. и. м. Почти все они основаны на модификации моделирования с помощью информации о «функции ценности» значений случайных величин относительно вычисляемых величин. С. и. м. оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие др. методов вычислительной математики (например, на развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с др. вычислительными методами и дополняет их. Более специальные математические вопросы, связанные с С. и. м., см. в ст. .

  Лит.:Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений, М., 1967; Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло), М., 1962; Решение прямых и некоторых обратных задач атмосферной оптики методом Монте-Карло, Новосиб., 1968; Ермаков С. М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М., 1971; Михайлов Г. А., Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло, Новосиб., 1974.

  Г. И. Марчук.

Статистических решений теория

Статисти'ческих реше'ний тео'рия,часть и ,позволяющая единым образом охватить такие разнообразные задачи, как ,построение параметров и для них, и др. В основе С. р. т. лежит предположение, что распределение вероятностей Fнаблюдаемой случайной величины X _Fпринадлежит некоторому априори данному множеству . Основная задача С. р. т. состоит в отыскании наилучшего статистического решения или решающего правила (функции) d = d( x) ,позволяющего по результатам наблюдений хнад Хсудить об истинном (но неизвестном) распределении F.Для сравнения достоинств различных решающих правил вводят в рассмотрение функцию потерь W[ F, d( x)] ,представляющую убыток от принятия решения d( x) (из заданного множества D) ,когда истинное распределение есть F.Естественно было бы считать решающее правило d* = d*( x) наилучшим, если средний риск r( F, d*) = M _FW[ F, d( X)] ( M _F-усреднение по распределению F) не превышает r( F, d) для любого FО  и любого решающего правила d= d( x) .Однако такое «равномерно наилучшее» решающее правило в большинстве задач отсутствует, в связи с чем наибольший интерес в С. р. т. представляет отыскание т. н. минимаксных и бейесовских решений. Решение  называется минимаксным, если