Прибалтийский артезианский бассейн

Прибалти'йский артезиа'нский бассе'йн, один из крупнейших артезианских бассейнов Европы. Расположен в северо-западной части Восточно-Европейской платформы в пределах Эстонской ССР, Латвийской ССР и Литовской ССР, северо-западной части БССР, Калининградской и части Псковской областей РСФСР. Юго-западная часть бассейна относится к Польше. Площадь в границах СССР около 214 тыс. км ².Для рельефа бассейна характерно чередование возвышенностей с зандровыми и озёрно-ледниковыми равнинами. Из крупных платформенных структур включает южный склон , Балтийскую синеклизу и Белорусскую антеклизу. Территория бассейна сложена комплексом метаморфических и магматических пород архея и протерозоя, а также толщами терригенных и карбонатных пород от кембрийского до антропогенового возраста. В П. а. б. выделяются два яруса подземных вод: нижний, включающий кембрийско-вендский водоносный горизонт, и верхний, охватывающий кембрийско-ордовикский и вышележащие водоносные горизонты. Нижний ярус отделяется от верхнего мощной и выдержанной толщей кембрийских глин.

  Пресные воды верхнего яруса приурочены к зоне интенсивного водообмена, находящейся под дренирующим влиянием рек. Для водоснабжения широко используются воды силурийских, девонских, верхнемеловых и антропогеновых отложений. Естественные ресурсы пресных подземных вод П. а. б. составляют около 16,8 км ³/год;наибольшие величины модуля среднемноголетнего подземного стока (1,5-1,7 л/секс 1 км ²) характерны для сильно трещиноватых и закарстованных известняков силура и ордовика, наименьшие (около 0,5 л/секс 1 км ²) -для палеогенового и кембрийско-ордовикского водоносных комплексов, отличающихся слабой водопроводимостью и затруднёнными условиями инфильтрационного питания. На питание пресных подземных вод расходуется в среднем от 5 до 30% атмосферных осадков. Подземный сток в процентах от речного колеблется от 15-20% до 50-60 и даже 70% (на силурийском и ордовикском плато, в бассейне р. Мяркис).

  Широко известны минеральные воды сульфатно-хлоридного кальциево-натриевого состава, приуроченные к погруженным частям меловых, девонских и кембрийско-ордовикских отложений и используемые на курортах Друскининкай, Бирштонас, Балдоне, а также сероводородные воды (курорт Кемери).

  Лит.:Каменский Г. Н., Толстихина М. М., Толстихин Н. И., Гидрогеология СССР, М.. 1959; 3екцер И. О., Естественные ресурсы пресных подземных вод Прибалтики, М., 1968.

  И. С. Зекцер.

Прибалтийский сланцевый бассейн

Прибалти'йский сла'нцевый бассе'йн, расположен в основном в пределах северной части Эстонской ССР и юго-западной части Ленинградской области (вдоль южного побережья Финского залива от горы Хаапсалу на З. до г. Гатчина и станции Будогощь на В.) и частично в Псковской и Новгородской области. Площадь разведанной непрерывной промышленной сланценосности (с пластом сланца более 0,7 м) составляет около 5,5 тыс. км ².Общие геологические запасы П. с. б. до глубины 300 моценены в 16,6 млрд. т(1968). П. с. б. подразделяется (по р. Нарва) на месторождения: Эстонское на З. с центром переработки в г. Кохтла-Ярве и Ленинградское (Гдовское) на В. с центром в г. Сланцы; к. Ю.-В. известны Веймарнское и Чудово-Бабинское месторождения ограниченного промышленного значения.

  Первые сведения о прибалтийских сланцах появились в 18 в. В 19 и начале 20 вв. проводились геологическое изучение территории, в небольшом объёме - разведочные работы и технологические исследования сырья, в 1916 пробная добыча сланцев в районе г. Кохтла-Ярве, в 1918-23 на Веймарнском месторождении.

  Промышленное освоение Эстонского месторождения начато в 1921 и велось до 1940 в основном частными предпринимателями. Ленинградское месторождение выявлено в 1927; промышленное освоение его начато в 1930. После Великой Отечественной войны 1941-45 в результате всестороннего изучения качества сырья установлено значение П. с. б. как крупной базы твёрдого топлива и бытового газа для Эстонской ССР и Латвийской ССР, а также Ленинградской, Псковской и Новгородской областей.

  П. с. б. приурочен к южному склону ; осадочный комплекс пород нижнего и среднего палеозоя (от кембрия до девона включительно) мощностью от 150-300 мна С. до 700 мна Ю. и Ю.-В., полого залегающий на кристаллическом основании, погружается на Ю. Спокойное моноклинальное залегание пород осложнено несколькими зонами ступенчатых сбросов и флексур субмеридионального и северо-восточного простирания, а также карстовыми процессами, интенсивно развитыми в зонах тектонической раздробленности.

  Промышленная сланценосность связана с кукерским (кукрузеским) горизонтом среднего ордовика, сложенным в различной степени глинистыми и доломитизированными известняками, включающими до 30 прослоев .Мощность горизонта увеличивается от 5-8 мна З. (в районе г. Таллина) до 10-35 мна В. (в районе г. Чудово). На Эстонском и Ленинградском месторождениях 4-6 сближенных прослоев кукерсита образуют промышленный пласт (промпачку), являющийся объектом разработки. Мощности прослоев сланца и разделяющих их известняков в этом пласте колеблются от нескольких см.до 0,9 м.Максимальная общая мощность промпачки в центральной части Эстонского месторождения достигает 3,2 м,суммарная мощность прослоев кукерсита 1,8 ми закономерно уменьшается к З. и В. Глубина залегания сланцев изменяется от 20 мна С. до 100-150 мна Ю.

  Качество добываемого сланца характеризуется: содержанием золы 40-60%; серы 1,1-1,8%; теплотой сгорания 10,5-14,6 Мдж/кг,или 2500-3500 ккал/кг;выходом смол 18-40%. Добыча сланцев возросла с 1,8 млн. тв 1940 до 4,7 млн. то в 1950, 12,3 - в 1960, 21 - в 1970, 28 - в 1973. Разработка ведётся крупными шахтами и разрезами. Мощность наиболее крупного разреза Сиргала достигла 4,7; шахты Виру - 2,1 млн. тсланца в год. Проектная мощность шахты Эстония установлена в 3,4 млн. тсланца в год. По состоянию на 1 января 1974 разведанные до глубины 100 мзапасы составляют 4,8 млрд. тпо категории А + В + С и 3,1 млрд. тпо категории C ₂. Сланцы используются в основном как топливо для сжигания на ГРЭС, ТЭЦ и в различных котельных установках, а также перерабатываются для получения бытового газа и различных химических продуктов.

  Лит.:Геология месторождений углей и горючих сланцев СССР, т. 11, М., 1968.

  К. В. Миронов

Прибалтийский экономический район

Прибалти'йский экономи'ческий райо'н,один из крупных экономических районов СССР, западная окраина которого омывается водами Балтийского моря. Включает Литовскую ССР, Латвийскую ССР, Эстонскую ССР и Калининградскую область РСФСР. Площадь 189,1 тыс. км ²Население 7905 тыс. чел. (1974), в том числе городского - 62%. Средняя плотность населения 41,8 чел. на 1 км ².Население - литовцы, латыши, эстонцы, русские и др. Территория района занимает около 1% площади СССР, доля населения - 3,2%.

  П. э. р. расположен на Восточно-Европейской равнине, в пределах которой располагаются холмисто-моренные гряды и возвышенности (Балтийская гряда, возвышенности - Жямайтская, Латгальская, Видземская, Ханья, Отепя и др.) высотой около 200-250 м(наибольшая 317 мна Ю. Эстонской ССР), разделённых озёрно-ледниковыми и зандровыми низменностями (Среднелитовская, Среднелатвийская, Западно-Эстонская и др.). Климат влажный, с умеренно тёплым летом и мягкой зимой. Леса в основном смешанные хвойно-лиственные. Основные породы: сосна, ель, берёза, осина, ольха. Встречаются широколиственные - дуб, липа, на Ю. - ясень, граб. Много озёр, болот и лугов. В общесоюзном масштабе район выделяется обрабатывающей промышленностью, интенсивным с. хозяйством (главным образом животноводством), рыболовством и развитым морским транспортом. Основные реки - Даугава и Нямунас многоводны; потенциальные гидроэнергетические ресурсы 14,2 млрд. квтЧ чсреднегодовой выработки (0,4% общесоюзных запасов). На р. Даугаве построены Плявиньская и Кегумская ГЭС, строится (1975) Рижская ГЭС (проектная мощность 384 Мвт) .На Нямунасе построена Каунасская ГЭС. Топливные ресурсы представлены горючими сланцами (в Эстонской ССР) и торфом. В 1973 добыто 31,1 млн. тсланца. На сланцах работают сланцеперерабатывающий комбинат в Кохтла-Ярве, сланцехимический комбинат в Кивиыли, Прибалтийская ГРЭС, завершено в 1973 строительство Эстонской ГРЭС (проектная мощность 1,6 Гвт) в Нарве. Добыча торфа составила в 1973 2,6 млн. т, в том числе 1,1 млн. тдля топлива и 1,5 млн. тдля нужд сельского хозяйства. На привозном мазуте и природном газе работает Литовская ГРЭС в Электренае. Для обеспечения потребностей хозяйства П. э. р. в мазуте, бензине, керосине начато строительство крупного нефтеперерабатывающего завода в Мажейкяе, куда нефть будет поступать по трубопроводу из Поволжья. Главные отрасли промышленности: электротехническая, приборостроительная, судостроительная, лёгкая и пищевая.

  П. э. р. имеет благоприятное приморское географическое положение и морской выход в Атлантический океан, в связи с этим развиваются: рыболовство и рыбоперерабатывающая промышленность, внешнеторговые морские перевозки, морское судостроение и судоремонт, портовое хозяйство. С конца 40-х гг. лов рыбы ведётся не только в Балтийском море, но главным образом в Атлантическом океане.

  Одной из ведущих отраслей промышленности П. э. р. является машиностроение. Лиепайский завод «Сарканайс металлурге», работающий на местных ресурсах металлолома, обеспечивает потребности хозяйства П. э. р. в прокате чёрных металлов примерно на 15%. Основная часть металла завозится с Украины и Урала. В связи с этим, а также с наличием высококвалифицированных кадров в районе развиты главным образом неметаллоёмкие, точные отрасли машиностроения: радиотехническая, электронная, электротехническая промышленность, приборостроение, прецизионное станкостроение, а также транспортное машиностроение. В 1973 доля П. э. р. в общесоюзном производстве составила (в %) по выпуску бытовых электросчётчиков около 80, телефонных аппаратов - 53, пассажирских магистральных вагонов - 30, трамвайных вагонов - 29, радиоприёмников и радиол - 28, магнитофонов - 14. Из крупнейших машиностроительных заводов выделяются рижские вагоностроительный, электротехнический (ВЭФ), производственно-техническое объединение «Радиотехника», вильнюсские и таллинские станкостроительный, приборостроительный, электронно-вычислительной техники и др. В Таллине построен завод экскаваторов, в Елгаве строится (1975) завод микроавтобусов.

  Важное значение в экономике П. э. р. имеют лесная, деревообрабатывающая, целлюлозно-бумажная промышленность и лесное хозяйство. Леса занимают 32% территории района. Запасы древесины - 695 млн. м ³(0,8% общесоюзных запасов). Объём лесозаготовок - свыше 10 млн. м ³в год. В 1973 произведено 600 тыс. тцеллюлозы, 510 тыс. тбумаги. Значительную часть древесины завозится из лесных районов севера Европейской части РСФСР. Работают целлюлозно-бумажные комбинаты в Калининграде, Советске, Немане, Клайпеде, Юрмале, Таллине и Кехре, имеются фанерные заводы, лесопильные и мебельные предприятия.

  На базе местного нерудного сырья развивается промышленность стройматериалов. На Акмянском и Рижском цементных заводах, Броценском и Пунане-Кундском цементно-шиферных комбинатах в 1973 произведено 4,1 млн. тцемента, производство шифера составило 290 млн. шт.

  В Калининградской области добывается 400 тянтаря в год. Строится (1975) новый карьер мощностью 1000 тянтаря в год.

  В П. э. р. высоко развиты лёгкая и пищевая промышленность. В 1973 произведено 332 млн. м ²хлопчато-бумажных, 52 млн. м ²шёлковых, 47 млн. м ²льняных и 41 млн. м ²шерстяных тканей, 85 млн. шт. бельевого трикотажа, 45 млн. шт. верхнего трикотажа, 157 млн. пар чулочно-носочных изделий, 113 тыс. тмасла животного, 39 тыс. тсыра, 584 тыс. тмяса промышленной выработки. Наиболее крупные предприятия - хлопчато-бумажные комбинаты в Нарве, «Балтийская мануфактура» в Таллине, «Ригас мануфактура» и чулочная фабрика «Аврора» в Риге, льнокомбинат в Паневежисе, шёлковый комбинат в Каунасе, построены фабрика бельевого трикотажа в Утене, сыродельный завод в Выру, завершается строительство хлопчато-бумажного комбината и мясокомбината в Алитусе, комбината верхнего трикотажа в Огре, строится (1975) галантерейный комбинат в Лиепае. Для обеспечения потребностей лёгкой промышленности в химических волокнах построены заводы искусственного волокна в Каунасе и синтетического волокна в Даугавпилсе. Работают 4 сахарных завода в Литовской ССР (Паневежис, Капсукас, Кедайняй, Павянчяй) и 3 сахарных завода в Латвийской ССР (Елгава, Лиепая, Екабпилс).

  Основная часть промышленности размещена в крупных городах: Риге, Таллине, Вильнюсе, Каунасе, Калининграде, Клайпеде, Даугавпилсе, Шяуляе. В последнее десятилетие промышленность стала развиваться в средних и малых городах: Алитусе (хлопчато-бумажные ткани, бытовые холодильники), Нарве (производство электроэнергии, сланцезольные стройматериалы), Паневежисе (льняные ткани, стекло), Кедайняе (фосфорные удобрения, кормовые дрожжи, сахар), Утене (трикотаж), Плунге (искусственные кожи), Валмиере (стекловолокно), Резекне (доильные установки, молочные консервы), Мажейкяе (нефтепереработка) и др.

  Сельское хозяйство высокоинтенсивное и специализируется главным образом на молочно-мясном скотоводстве и беконном свиноводстве, а также льноводстве (Литовская ССР и Латвийская ССР). Имеется 2126 колхозов и 752 совхоза (1973). С.-х. угодья занимают 8,8 млн. га,в том числе пашня - 5,4 млн. га,сенокосы и пастбища - 3,1 млн. га.Проводится осушение переувлажнённых и заболоченных земель. К 1974 общая площадь земель с осушительной сетью превысила 5 млн. га.Основная часть посевных площадей приходится на зерновые (главным образом ячмень, рожь, пшеница, овёс) - 2,09 млн. гаи кормовые культуры (многолетние и однолетние травы, корнеплоды) - 2,6 млн. га,а также картофель - около 0,4 млн. га.Овощи занимают 43,3 тыс. га.Из технических культур сеют лён (65 тыс. га) ,в Литовской ССР и Латвийской ССР - сахарную свёклу (44,5 тыс. га) .Плодово-ягодные насаждения занимают 119 тыс. га.На начало 1974 в районе было 4500 тыс. голов крупного рогатого скота (в т. ч. 1932 тыс. коров), 4595 тыс. свиней, 705 тыс. овец и коз. В 1973 производство молока достигло 5803 тыс. т,мяса в убойном весе 822 тыс. т.Доля района в общесоюзном производстве молока составила 6,6%, мяса 6,1%, картофеля 6%, льноволокна 3,7%. Для обеспечения нужд сельского хозяйства в минеральных удобрениях построены заводы азотных удобрений (Ионава и Кохтла-Ярве), комбинаты фосфорных удобрений (Кедайняй и Маарду).

  Район имеет густую сеть железных и автомобильных дорог. Протяжённость железных дорог 6,19 тыс. км,автодорог с твёрдым покрытием 56 тыс. км,судоходных внутренних водных путей 2 тыс. км(1973). Большое значение в экспортно-импортных перевозках имеет морской транспорт. Главные морские порты: Рига, Калининград, Таллин, Клайпеда, Лиепая, Вентспилс. Речное судоходство по Нямунасу, Преголе, на отдельных участках Даугавы, Лиелупе, Венты, Эмайыги, Нарвы, по Чудскому и Псковскому озеру. Газопроводы Дашава - Вильнюс - Рига и Вуктыл - Торжок - Рига с ответвлениями к др. промышленным центрам.

  В П. э. р. ввозится из др. экономических районов большое количество топлива и сырья: нефтепродуктов, природного газа, угля, проката чёрных и цветных металлов, деловой древесины, пиломатериалов, хлопка, шерсти, а также машин (тракторы, комбайны, автомобили и др.), оборудования, продуктового и фуражного зерна. Вывозится рыбная продукция, радиоприёмники, магнитофоны, счётные машины, телефонная аппаратура, приборы, металлорежущие станки, пассажирские электровагоны, трамваи, микроавтобусы, мопеды, электроизделия, бумага, фанера, мебель, ткани, трикотаж, янтарные изделия, масло животное, мясо, сыр. П. э. р. - один из важных районов курортов и туризма в СССР. На базе использования минеральных источников, морских пляжей, живописных озёрно-лесных местностей создана сеть курортов и центров отдыха: Пярну, Хаапсалу, Нарва-Йыэсуу (Эстонская ССР), Юрмала, Балдоне (Латвийская ССР), Паланга, Друскининкай, Бирштонас, Ликенай (Литовская ССР), Светлогорск, Зеленоградск (Калининградская область РСФСР). Экономические карты см. при статьях , , .

  Лит.:Прибалтийский экономический район, М., 1970; Советская Прибалтика, М., 1966, Гербов В. Л., Мазанова М. Б., Особенности хозяйства Прибалтийского экономического района и проблемы его дальнейшего развития, в сборнике: Развитие и размещение производительных сил экономических районов СССР, М., 1967; Средняя полоса Европейской части СССР, М., 1967 (Природные условия и естественные ресурсы СССР).

  В. Л. Гербов.

Прибельский

Прибе'льский, посёлок городского типа в Кармаскалинском районе Башкирской АССР. Расположен на левом берегу р. Белая, в 5 кмот ж.-д. станции. Сахарозаводская (на линии Уфа - Стерлитамак). Сахарный завод, молочноконсервный комбинат, откормочный совхоз.

Прибина

При'бина(г. рождения неизвестен - умер 860), славянский князь. Правил в Нитранском княжестве (на территории современной Словакии), около 833 был изгнан князем Моймиром I. В 842 получил в лен от короля Людовика Немецкого , ставшее с 848 собственностью П. Основал столицу княжества г. Блатен (Блатенград). Содействовал христианизации местного славянского населения.

Прибичевич Светозар

При'бичевич(Прибићевић) Светозар (26.10.1875, Хрватска-Костайница, - 15.9.1936, Прага), сербский и югославский политический деятель. С 1910 лидер хорватско-сербской коалиции в хорватском и славонском .В 1918 заместитель председателя Загребского народного веча, участник создания Королевства сербов, хорватов и словенцев (с 1929 - Югославия). В 1918-20 министр внутренних дел, в 1920-22, 1924-25 министр просвещения. В 1919 - один из организаторов ,из которой в 1924 вышел и основал Независимую демократическую партию. В 1925 вошёл в коалицию с Н. ,около 1927 - с С. .После военно-монархического переворота 1929 П., выступавший против диктатуры короля Александра, был вынужден эмигрировать (в 1931).

Приближение и интерполирование функций

Приближе'ние и интерполи'рование фу'нкций, раздел теории функций, посвященный изучению вопросов приближённого представления функций.

  Приближение функций - нахождение для данной функции fфункции gиз некоторого определённого класса (например, среди алгебраических многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f,дающей её приближённое представление. Существует много разных вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции используются для приближения, как ищется приближающая функция g,как понимается близость функций fи g.Интерполирование функций - частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции fи приближающей её функции g,а в более общем случае - и значения некоторых их производных.

  Для оценки близости исходной функции fи приближающей её функции gиспользуются в зависимости от рассматриваемой задачи различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций Си функций, интегрируемых с р-й степенью, L _p, р³ 1 , вкоторых расстояние между функциями fи gопределяется (для функций, заданных на отрезке [ а, b]) по формулам

и

 Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций полиномами, т. е. выражениями вида

a _kj _k( x),

где (j ₁,..., j _n-заданные функции, a a ₁,..., a _n-произвольные числа. Обычно это алгебраические многочлены

a _kx _k

или тригонометрические полиномы

а ₀+ ( a _kcos kx+ b _k sin kx) .

 Рассматриваются также полиномы по ,по собственным функциям краевых задач и т.п. Другим классическим средством приближения являются рациональные дроби P( x) /Q( x) ,где в качестве Ри Q берутся алгебраические многочлены заданной степени.

  В последнее время (60-70-е гг. 20 в.) значительное развитие получило приближение т. н. сплайн-функциями (сплайнами). Характерным их примером являются кубические сплайн-функции, определяемые следующим образом. Отрезок [ a, b] разбивается точками a= x ₀< x ₁< ...< x _n= b,на каждом отрезке [ x _k, x _k+1] кубическая сплайн-функция является алгебраическим многочленом третьей степени, причём эти многочлены подобраны так, что на всём отрезке [ а, b] непрерывны сама сплайн-функция и её первая и вторая производные. Оставшиеся свободными параметры могут быть использованы, например, для того чтобы сплайн-функция интерполировала в узлах x _kприближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов x _kправильного их расположения на отрезке [ а, b] .Сплайн-функции оказались удобными в вычислительной математике, с их помощью удалось решить также некоторые задачи теории функций.

  Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрических пространствах.

  Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. .Он ввёл одно из основных понятий теории - понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f( x) полиномами a _kj _k( x) в метрике С называется величина

E _n = min || f - a _kj _k( x)|| _c,

где минимум берётся по всем числам а ₁,..., a _n.Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции x ⁿ⁺¹на отрезке [-1, 1] в метрике С алгебраическими многочленами степени nравно 1/2 ⁿ, а многочлен наилучшего приближения таков, что для него

x ⁿ⁺¹-  = (1/2 ⁿ) cos ( n+ 1) arccos x.

  Следующая теорема Чебышева указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен , в том и только в том случае является многочленом наилучшего приближения непрерывной функции fв метрике С [-1, 1], если существуют n+ 2 точки -1 Ј x ₁ < x ₂ <... < x _n+2  Ј 1, в которых разность f( x) -2 принимает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.

  Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно которой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике С как угодно хорошо алгебраическими многочленами достаточно высокой степени.

  С начала 20 в. началось систематическое исследование поведения при n® Ґ последовательности E _n -наилучших приближений функции fалгебраическими (или тригонометрическими) многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю величин E _n в зависимости от свойств функции (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой - изучаются свойства функции по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функций. Приведём две такие теоремы.

  Для того чтобы функция f   была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраическими многочленами выполнялась оценка

E _n Ј Aq ⁿ,

где q< 1 и А -некоторые положительные числа, не зависящие от n(теорема С. Н. Бернштейна).

  Для того чтобы функция f   периода 2p имела производную порядка r, r= 0 ,1,2,..., удовлетворяющую условию

| f ^(r)( x+ h) - f ^(r)( x)| Ј M| h| ^a ,

0 < a < 1, М -некоторое положительное число, или условию

| f ^(r)( x+ h) - 2 f ^(r)( x) + f ^(r)( x - h)| Ј M| h| ^a

(в этом случае a = 1), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функции fтригонометрическими полиномами была справедлива оценка

Е _п  Ј А/n ^{r+ a} ,

где А -некоторое положительное число, не зависящее от n.В этом утверждении прямая теорема была в основном получена Д. Джексоном (США), а обратная является результатом исследований С. Н. ,Ш. Ж. и А. Зигмунда (США). Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближении алгебраическими многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, привлекая к рассмотрению приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.