Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли

_{Илл. 3.1. Цены базового контракта и их вероятности}

Если мы займем длинную позицию в базовом контракте по нынешней цене в 100 долл., то каким будет ожидаемой доход при экспирации? С вероятностью 20 % мы потеряем 20 долл., если контракт будет стоить 80 долл. С вероятностью 20 % мы потеряем 10 долл., если контракт будет стоить 90 долл. С вероятностью 20 % мы ничего не потеряем, если контракт будет стоить 100 долл. С вероятностью 20 % мы получим 10 долл., если контракт подорожает до 110 долл. И с вероятностью 20 % мы получим 20 долл., если контракт подорожает до 120 долл. Результат составит:

– 20 долл. x 20 % – 10 долл. x 20 % + 0 x 20 % + 10 долл. x 20 % + 20 долл. x 20 % = 0.

Поскольку прибыли и убытки точно уравновешивают друг друга, ожидаемый доход от длинной позиции равен нулю. Аналогичный расчет показывает, что ожидаемый доход от короткой позиции, занятой по текущей цене 100 долл., также равен нулю. При этих ценах и вероятностях, какую бы позицию мы ни заняли, длинную или короткую, в долгосрочной перспективе можно рассчитывать только на нулевой результат.

Предположим теперь, что мы заняли длинную позицию в 100 колле. Если забыть о премии, которую надо заплатить за этот колл, каким будет ожидаемый доход при ценах и вероятностях, указанных на илл. 3.1? Если цена базового контракта на дату экспирации составит 80, 90 или 100 долл., то колл истечет без исполнения. Если цена базового контракта составит 110 или 120 долл., то колл будет стоить соответственно 10 и 20 долл. Можно записать следующее уравнение:

0 x 20 % + 0 x 20 % + 0 x 20 % + 10 долл. x 20 % + 20 долл. x 20 % = +6 долл.

Колл не может стоить меньше нуля, поэтому ожидаемый доход от позиции в колле всегда величина неотрицательная. В данном случае ожидаемый доход – 6 долл.

Чтобы на основе этого подхода оценить стоимость опциона, нужно задать ряд возможных цен базового контракта при экспирации и связанных с ними вероятностей. Затем для опциона с некоторой ценой исполнения следует рассчитать стоимость при каждой цене базового контракта, умножить ее на соответствующую вероятность и суммировать результаты. Это и будет ожидаемый доход от опциона.

В приведенном примере мы взяли предельно простую ситуацию с пятью равновероятными значениями цены. Как сделать нашу модель более реалистичной? Прежде всего нужно учесть порядок расчетов по опционам. В США ко всем опционам применяется акционный метод расчетов, предполагающий немедленную уплату всей причитающейся за опцион суммы. Если ожидаемый доход от 100 колла составляет при экспирации 6 долл., то для получения его сегодняшней стоимости необходимо вычесть затраты на поддержание позиции. Если годовая процентная ставка – 12 % (1 % в месяц), а до даты экспирации осталось 2 месяца, то из 6 долл. следует вычесть 2 % затрат на поддержание позиции, или около 12 центов. Таким образом, теоретическая стоимость опциона составит 5,88 долл.

Какие еще факторы можно учесть? Мы исходили из того, что все пять вариантов цены равновероятны. Реалистично ли такое допущение? Предположим, что возможны только две цены при экспирации, 110 и 250 долл. Если сегодня базовый контракт стоит 100, то какая из цен более вероятна в будущем? Опираясь на опыт, большинство трейдеров скажут, что резкое отклонение цены от ее нынешнего значения менее вероятно, чем незначительное. Иными словами, 110 долл. более вероятны, чем 250. Поэтому будущие значения нашей цены, если учесть теорию вероятностей, должны быть близки к ее нынешнему значению. Такое распределение показывает илл. 3.2. Теперь ожидаемый доход от 100 колла составит:

0 долл. x 10 % + 0 долл. x 20 % + 0 долл. x 40 % + 10 долл. x 20 % + 20 долл. x 20 % = +4 долл.

_{Илл. 3.2. Более реалистичное распределение вероятностей цен при экспирации}

Если, как и прежде, к опциону применяется акционный метод расчетов, а затраты на поддержание позиции составляют 2 %, то теоретическая стоимость равна 3,92 долл.

Заметим, что на илл. 3.2 возможные значения цены и вероятности расположены симметрично. Хотя новые вероятности и изменили ожидаемый доход от 100 колла, ожидаемый доход от любой позиции в базовом контракте по-прежнему равен нулю. Каждому повышательному изменению цены соответствует равное по величине и вероятности понижательное изменение. Однако мы можем считать, что ожидаемый доход от базового контракта не равен нулю и что вероятность изменения цены в одном направлении больше, чем в другом. Взгляните на возможные значения цены и вероятности на илл. 3.3. При этих новых вероятностях ожидаемый доход от длинной позиции в базовом контракте составит:

– 20 долл. x 10 % – 10 долл. x 20 % + 0 x 30 % + 10 долл. x 25 % + 20 долл. x 15 % = +1,50 долл.

При этом ожидаемый доход от 100 колла будет равен:

0 долл. x 10 % + 0 долл. x 20 % + 0 долл. x 30 % + 10 долл. x 25 % + 20 долл. x 15 % = +5,50 долл.

_{Илл. 3.3. Несимметричное распределение вероятностей цен при экспирации}

Теперь ожидаемый доход от базового контракта положителен, и кажется, что можно получить прибыль, просто купив базовый контракт. Так бы и было в отсутствие других факторов. Но что, если базовый контракт – это акции и применяется акционный метод расчетов? Покупка акций по нынешней цене 100 долл. и поддержание позиции в них связаны с определенными затратами. Если они будут равны ожидаемому доходу в 1,50 долл., то наши инвестиции окажутся безубыточными. Чтобы длинная позиции в акциях принесла прибыль, за период владения акции должны вырасти в цене как минимум на величину затрат на поддержание позиции. Поэтому ожидаемый доход от акций должен быть положительной величиной. Если предположить, что любая сделка с акциями совершается по цене, обеспечивающей безубыточность каждой из сторон, то ожидаемый доход должен быть равен затратам на поддержание позиции.

Кроме того, по некоторым акциям выплачиваются дивиденды. Дивиденды, выплаченные в период владения, влияют на ожидаемый доход. Купивший эти акции трейдер понесет затраты на поддержание позиции, но получит дивиденды. В случае безубыточности сделки с акциями ожидаемый доход на конец периода владения равен затратам на поддержание позиции минус дивиденды. Если затраты на поддержание позиции в акциях составляют 3,50 долл., и в период владения выплачивается дивиденд в размере 1,00 долл., то для нулевого результата ожидаемый доход на конец периода должен составить 2,50 долл. Трейдер, покупающий акции сегодня, потеряет на конец периода проценты в размере 3,50 долл., но потери будут полностью компенсированы дивидендом в размере 1,00 долл., полученным в течение периода владения[10], и ожидаемым доходом в 2,50 долл., полученным в конце периода.

На рынке, где выполняется условие безарбитражности, т. е. где в среднем нельзя рассчитывать на получение прибыли ни при покупке, ни при продаже контракта, все поступления и расходы, включая ожидаемый доход, должны друг друга уравновешивать. Если исходить из безарбитражности рынка, то следует принять, что форвардная цена, т. е. средняя цена контракта на конец периода владения, равна сумме текущей цены и ожидаемого дохода, который полностью уравновесит все прочие поступления и расходы. Если затраты, связанные с владением акциями с ценой 100 долл., составляют 4 долл., то форвард ная цена будет равна 104 долл. При выплате дивидендов по акциям в размере 1 долл. форвардная цена должна составить 103 долл. И в том, и в другом случае поступления и расходы полностью уравновешивают друг друга.

Здесь безарбитражность и форвардная цена опреляются из вероятностных соображений в средних значениях. Чаще под арбитражем понимают гарантированное получение прибыли за счет рассогласования цен различных инструментов. Так, если в примере выше форвардная цена превышает 103 долл. и есть возможность заключить форвардный контракт на поставку акций по этой цене с исполнением в конце периода владения, то арбитражная прибыль достигается покупкой акций сегодня и одновременным заключением форвардного контракта. – Прим. науч. ред.

При расчете форвардной цены учитываются характеристики контракта, а также рыночные условия. В случае акций это цена акций, продолжительность периода владения, процентные ставки и дивиденды. В случае фьючерсного контракта все намного проще. Поскольку к фьючерсным контрактам применяется фьючерсный метод расчетов, покупка фьючерсного контракта не требует немедленных денежных расходов. Кроме того, по фьючерсным контрактам не выплачиваются дивиденды. Это означает, что форвардная цена фьючерсного контракта на безарбитражном рынке – это просто текущая цена фьючерсного контракта. Если трейдер покупает фьючерсный контракт за 100 долл., то цена безубыточности для этого контракта на конец периода владения – 100 долл.

Возвращаясь к нашей очень простой модели, примем, что рынок базового актива обладает свойством безарбитражности[11], т. е. получить прибыль при покупке или продаже базового контракта в среднем невозможно. Тогда ожидаемый доход должен равняться разнице между текущей ценой базового актива и его форвардной ценой. В случае акций ожидаемый доход равен затратам на поддержание позиции минус дивиденды. В случае фьючерсов ожидаемый доход равен нулю.

Даже если принять условие безарбитражности рынка базового актива и предположить, что у каждого возможного значения цены своя вероятность, все равно останется одна серьезная проблема. Наша упрощенная модель предусматривает только пять возможных значений цены, в то время как в реальной жизни их может быть сколько угодно. Чтобы наша модель точнее отражала реальные условия, нужно построить график, показывающий все возможные значения цены и связанные с ними вероятности. Такая задача может показаться непосильной, но это основа всех моделей, используемых для оценки стоимости опционов.

Подведем итог и перечислим этапы создания модели и определения стоимости опциона:

1) предложить ряд возможных значений цены базового контракта при экспирации;

2) задать вероятность для каждого значения;

3) принять допущение безарбитражности базового рынка;

4) рассчитать на основе цен и вероятностей, заданных на этапах 1–3, ожидаемый доход от опциона;

5) уменьшить ожидаемый доход на величину затрат на поддержание позиции.

Если мы все это проделаем, то получим теоретическую стоимость опциона, исходя из которой можно начинать торговлю.

До 1973 г. оценка опционов была связана с решением сложных математических уравнений. Поскольку на это уходило много времени и сил, выгодные возможности исчезали раньше, чем их удавалось выявить. В 1973 г. одновременно с открытием опционной биржи СВОЕ Фишер Блэк и Майрон Шоулз предложили первый практичный способ определения теоретической стоимости опционов. Модель Блэка – Шоулза с ее сравнительно простым математическим аппаратом и ограниченным количеством показателей на входе, большинство из которых легко найти, и полученная на ее основе формула стали идеальным инструментом для трейдеров, осваивавших американский рынок опционов. Хотя с тех пор появились и другие подходы, которые устранили некоторые недостатки первой модели, формула Блэка – Шоулза остается одним из наиболее распространенных инструментов оценки опционов.

В первоначальном виде модель и формула Блэка – Шоулза предназначались для оценки европейских опционов (досрочное исполнение которых не разрешается) на акции без выплаты дивидендов. Вскоре, понимая, что по большинству акций дивиденды все-таки выплачиваются, Блэк и Шоулз модифицировали свой метод. В 1976 г. Фишер Блэк внес в модель и формулу стоимости опционов незначительные изменения, позволившие использовать их и для оценки опционов на фьючерсные контракты. А в 1983 г. Марк Гарман и Стивен Кольхаген внесли еще несколько изменений, позволивших оценивать и опционы на иностранную валюту[12]. Модификации модели Блэка – Шоулза для фьючерсных контрактов и валюты известны как модель Блэка и модель Гармана – Кольхагена соответственно. Но методики оценки опционов во всех случаях настолько похожи, что используется лишь одно название – модель Блэка – Шоулза. Отличия касаются главным образом порядка расчета форвардной цены базового контракта. Опционный трейдер просто выбирает модификацию, подходящую для своего базового инструмента.

Подавляющее большинство торгуемых в настоящее время опционов американские, т. е. опционы с правом на досрочное исполнение. По этой причине может показаться, что модель Блэка – Шоулза с ее запретом на досрочное исполнение не слишком подходит для использования на большинстве рынков. Однако формула Блэка – Шоулза оказалась настолько удобной, что многие трейдеры не считают нужной дополнительную точность, обеспечиваемую методами оценки американских опционов. На некоторых опционных рынках, в частности на рынках фьючерсных опционов, право досрочного исполнения опциона приводит к такому незначительному увеличению его стоимости, что формула Блэка – Шоулза и методы оценки американских опционов дают практически одинаковые результаты.

С учетом широкого использования модели Блэка – Шоулза мы ограничимся лишь ее рассмотрением. Проблему досрочного исполнения мы обсудим в следующих главах, а альтернативных методов определения стоимости опционов коснемся при обсуждении основных допущений модели Блэка – Шоулза.

Процесс определения стоимости опциона с помощью формулы Блэка– Шоулза складывается из тех же пяти этапов, о которых мы говорили выше, когда рассматривали простой метод оценки опционов. Блэк и Шоулз определяли стоимость коллов, но практически так же выводится формула и для стоимости путов. Возможен и другой способ расчета. Как мы увидим в главе 11, на безарбитражном рынке существует однозначная зависимость между ценой базового контракта и ценами колла и пута с одинаковыми ценами исполнения и датами экспирации. Эта зависимость позволяет нам рассчитать стоимость пута, зная только стоимость соответствующего колла.

Чтобы рассчитать теоретическую стоимость опциона с помощью формулы Блэка – Шоулза, нужно знать как минимум пять характеристик опциона и его базового контракта:

1) цену исполнения;

2) время, оставшееся до экспирации;

3) текущую цену базового контракта;

4) безрисковую процентную ставку в течение срока действия опциона;

5) волатильность базового контракта.

_{Илл. 3.4. Схема определения теоретической стоимости}

Последнее понятие – волатильность – может быть незнакомо начинающему трейдеру. Хотя мы откладываем его обсуждение до следующей главы, из предыдущих рассуждений можно догадаться, что волатильность имеет отношение к темпу изменения цены.

Если у нас есть все исходные данные, то их можно ввести в формулу и получить интересующее нас значение стоимости опциона.

Блэк и Шоулз также использовали в своей модели понятие безрискового хеджа. Для каждой опционной позиции существует такая теоретически эквивалентная позиция в базовом контракте, что при незначительном изменении цены базового контракта стоимость позиции в опционе увеличивается или уменьшается ровно на столько же, что и базовая позиция. Чтобы получить прибыль на теоретически неверно оцененном опционе, необходимо его хеджировать, уравновесив позицию в опционе теоретически эквивалентной базовой позицией. То есть, какую бы позицию в опционе мы ни заняли, нужно занять противоположную рыночную позицию в базовом контракте. Соотношение числа базовых контрактов, необходимых для безрискового хеджа, и опционной позиции известно как коэффициент хеджа.

Для чего нужен безрисковый хедж? Напомним, что в нашем упрощенном методе теоретическая стоимость опциона зависела от вероятностей различных исходов (цен базового контракта). Поскольку базовый контракт меняется в цене, вероятность того или иного значения цены также меняется. Если текущая цена базового контракта – 100 долл., а цене в 120 долл. присвоена 20 %-ная вероятность, то при падении цены до 80 долл. эту вероятность можно понизить до 10 %. Создавая безрисковый хедж, а затем корректируя его по мере изменения рыночных условий, мы учитываем изменение вероятностей.

В этом смысле опцион можно рассматривать как альтернативу аналогичной позиции в базовом контракте. Колл – альтернатива длинной позиции; пут – короткой. Какую позицию лучше занять – в опционе или в базовом контракте, зависит от теоретической стоимости опциона и его цены на рынке. Если колл можно купить (продать) за сумму, меньшую (большую), чем его теоретическая стоимость, то в долгосрочной перспективе более выгодно занять длинную (короткую) рыночную позицию, купив (продав) коллы, а не базовые контракты. Аналогично, если пут можно купить (продать) за сумму, меньшую (большую), чем его теоретическая стоимость, то в долгосрочной перспективе более выгодно занять короткую (длинную) рыночную позицию, купив (продав) путы, а не продать (купить) базовые контракты.

Поскольку точность полученной с помощью формулы теоретической стоимости опциона не превышает точности введенных в нее данных, необходимо сказать несколько слов об этих данных.

Цена исполнения

Точность данных о цене исполнения опциона никогда не вызывает сомнений, поскольку она определяется в контракте и остается неизменной на протяжении всего срока действия опциона[13]. Торгуемый на СМЕ мартовский 58 колл на немецкую марку не может внезапно превратиться в мартовский 59 или 57 колл. Торгуемый на СВОЕ июльский 55 пут на акции IBM не может превратиться в июльский пут с ценой исполнения 50 или 60.

Время до экспирации

Как и цена исполнения, дата экспирации опциона фиксирована. Наш мартовский 58 колл на немецкую марку не может превратиться в апрельский, а июльский пут на акции IBM не может превратиться в июньский. Каждый прошедший день уменьшает время до экспирации, но дата экспирации, как и цена исполнения, фиксируется биржей и не меняется.

Время до экспирации, как и другие исходные данные, вводится в формулу Блэка – Шоулза в годовом исчислении. При наличии «необработанных» данных выполняется соответствующий пересчет. Если до экспирации остается 91 день, то в формулу вводится 0,25 (91/365 = 0,25). Если остается 36 дней, то вводится 0,10 (36/365 = 0,10). Однако большинство компьютерных программ оценки опционов уже предусматривают подобный пересчет, так что можно вводить точное количество дней, оставшихся до экспирации.

Итак, какое количество дней следует использовать в расчете? Количество дней до экспирации нужно, во-первых, для вычисления процентов, а во-вторых, для оценки вероятности изменения цены базового контракта. Когда мы определяем волатильность или темп изменения цены, нас интересует только количество торговых (рабочих) дней. Ведь реально цена базового контракта меняется только в эти дни. Это позволяет отбросить выходные и праздники. При расчете же процентов необходимо учитывать все дни. Когда мы занимаем или ссужаем деньги, то ожидаем, что проценты будут начисляться ежедневно, и в будни, и в выходные.

На самом деле никакой сложности здесь нет. Действительно, цена меняется только по торговым дням, однако в расчете используется значение, приведенное к годовому периоду, что нивелирует небольшие разницы. В резуль тате в формулу можно вводить количество оставшихся до экспирации календарных дней.

Цена базового контракта

В отличие от цены исполнения и даты экспирации цена базового контракта не так однозначна. В каждый момент времени существует две цены: цена спроса и цена предложения. Спрашивается, что следует использовать – одну из этих цен или среднюю величину?

Мы уже отмечали, что правильное использование теоретической стоимости опциона требует хеджирования позиции в опционе с помощью противоположной сделки с базовым контрактом. Поэтому в формулу следует вводить ту цену базового контракта, по которой мы можем совершить хеджирующую сделку. Если мы собираемся купить коллы или продать путы (в обоих случаях возникает длинная рыночная позиция), то для хеджа придется продать базовый контракт. В этом случае используется цену спроса, поскольку именно по ней мы можем продать базовый контракт. Если же мы собираемся продать коллы или купить путы (в обоих случаях возникает короткая рыночная позиция), то для хеджирования придется купить базовый контракт. В этом случае используется цена предложения, поскольку именно по ней мы можем купить базовый контракт.

На практике цены спроса и предложения постоянно меняются, и многие трейдеры просто используют для расчетов цену последней сделки. Однако цена последней сделки не всегда отражает текущую ситуацию на рынке. Даже публикуемые в газетах расчетные цены могут неточно отражать соотношение спроса и предложения к закрытию торгов. Цена последней сделки с тем или иным контрактом может составлять 75 1/4 , а реальные цены спроса и предложения при закрытии – 75 1/4 и 75 1/2 соответственно. В таких условиях заявка трейдера на покупку по 75 1/4 вряд ли будет выполнена из-за более высокой цены предложения. Маловероятна и покупка по промежуточной цене, скажем по 75³/₈, если спрос по цене 75 1/2 намного превышает предложение по 75 1/2 . По этим причинам опытный трейдер не выходит на рынок опционов, не зная точной цены спроса и предложения на рынке базовых контрактов.

Процентные ставки

Поскольку сделка с опционом может привести либо к зачислению денег на счет трейдера, либо к их списанию, при оценке важно учитывать проценты на эти суммы в течение срока действия опциона.

Процентная ставка играет в определении теоретической стоимости опционов двойную роль. Во-первых, она может повлиять на форвардную цену базового контракта. Если к базовому контракту применим акционный метод расчетов, то с увеличением процентной ставки повышается форвардная цена, что увеличивает стоимость коллов и снижает стоимость путов. Во-вторых, процентная ставка может влиять на стоимость поддержания позиции. Если к опциону применим акционный метод расчетов, то с увеличением процентной ставки стоимость опциона снижается. Несмотря на двойную роль процентной ставки, в большинстве случаев в формулу достаточно ввести только одно значение процентной ставки. Однако если применяются разные ставки, например в случае опционов на валюту (одна ставка для иностранной валюты, другая – для национальной валюты), то в формулу следует вводить две процентные ставки. Две процентные ставки фигурируют, в частности, в формуле Гармана – Кольхагена.

Двойная роль также означает, что относительная значимость процентных ставок меняется в зависимости от вида базового инструмента и порядка расчетов. Например, процентные ставки гораздо больше влияют на стоимость опционов на акции, чем опционов на фьючерсы. При повышении процентной ставки форвардная цена акций повышается, а форвардная цена фьючерсного контракта остается неизменной. В то же время при акционном методе расчетов по опционам повышение процентной ставки вызывает снижение стоимости опционов. Однако цена опциона обычно очень невелика по сравнению с ценой базового контракта.

Какую процентную ставку следует использовать трейдеру при оценке стоимости опциона? Большинство трейдеров не могут заимствовать и размещать средства под один и тот же процент, поэтому теоретически процентная ставка определяется результатом сделки, т. е. тем, уменьшается или увеличивается остаток на счету трейдера. В первом случае трейдера должна интересовать ставка заимствования, а во втором – ставка кредитования. Однако на практике чаще всего используют безрисковую, т. е. наиболее надежную процентную ставку. В США самым надежным заемщиком считается государство, поэтому за эталон принимают доходность государственных ценных бумаг со сроком погашения, эквивалентным сроку действия опциона. Для 60-дневного опциона берут доходность 60-дневных казначейских краткосрочных бескупонных облигаций; для 180-дневного – 180-дневных.

Дивиденды

Мы не включили дивиденды в число перечисленных на илл. 3.4 исходных данных, поскольку этот фактор относится только к опционам на акции и имеет смысл только при условии выплаты дивидендов в течение срока действия опциона.

Для точной оценки опциона на акции трейдер должен знать и размер ожидаемых дивидендов, и дату фиксации реестра акционеров (экс-дивидендную дату), т. е. дату, в которую трейдер должен иметь акции, чтобы получить дивиденды. Главное здесь – владеть акциями. Опцион глубоко в деньгах может обладать многими характеристиками акций, но право на получение дивидендов имеет только собственник акций.

В отсутствие иной информации большинство трейдеров исходят из того, что компания будет проводить прежнюю дивидендную политику. Если в прошлом она выплачивала каждый квартал дивиденды в размере 75 центов, то, скорее всего, будет делать это и впредь. Однако полной гарантии нет. Бывает, что компании повышают или снижают дивиденды, а иногда вовсе их не выплачивают. Если есть вероятность изменения дивидендной политики компании, трейдер должен оценить его влияние на стоимость опциона. Кроме того, если экс-дивидендная дата наступает непосредственно перед датой экспирации, то задержка в несколько дней может привести к тому, что опцион истечет до экс-дивидендной даты. С точки зрения оценки опционов это эквивалентно отсутствию выплаты дивидендов по акциям. В такой ситуации трейдер должен заранее выяснить точную экс-дивидендную дату.

Волатильность

Из всех исходных данных, необходимых для оценки опциона, показатель волатильности наиболее сложен для понимания. На практике же он нередко имеет самое большое значение. Изменение допущений в отношении волатильности может оказать серьезное влияние на стоимость опциона; не меньшее влияние имеет и оценка волатильности рынком. Следующая глава целиком посвящена детальному рассмотрению волатильности.

4. Волатильность

Что такое волатильность и почему она так важна для опционного трейдера? Для опционного трейдера, как и для трейдера базовым инструментом, большое значение имеет направление изменения цены. Но в отличие от трейдера базовым инструментом опционный трейдер исключительно чувствителен к темпу изменения цены. Если цена базового контракта меняется недостаточно быстро, то опционы на этот контракт стоят меньше из-за низкой вероятности того, что цена базового контракта достигнет цены исполнения опциона. (Очевидно, здесь речь идет об опционах вне денег, которые будут иметь положительную стоимость на дату экспирации, если только к этой дате цена базового контракта пересечет страйковую цену. – Прим. науч. ред.) В определенном смысле волатильность – это показатель темпа изменения рыночной цены. Рынки, цены на которых меняются медленно, называют низковолатильными, а рынки, цены на которых меняются быстро, – высоковолатильными.

Понятно, что одни рынки более волатильны, чем другие. С 1980 по 1982 г. цена на золото выросла с 300 до 800 долл. за унцию, т. е. поднялась более чем в два раза. Однако мало кто из трейдеров предполагал, что за тот же период индекс S&P 500 тоже может вырасти более чем в два раза. Трейдеры, которые работают на товарном рынке, знают, что драгоценные металлы обычно более волатильны, чем процентные инструменты. Точно так же трейдеры фондового рынка знают, что высокотехнологичные акции, как правило, более волатильны, чем акции энергосбытовых компаний.

Будь нам известно, как поведет себя рынок, станет ли он сравнительно волатильным или сравнительно спокойным, мы могли бы учесть эту информацию в модели и получить формулы определения теоретической стоимости, которые сделали бы оценку опционов более точной, чем в случае простого игнорирования волатильности. Однако поскольку модели строятся на расчетах, нам необходима количественная оценка волатильности.

Случайное блуждание и нормальное распределение

Возьмем для примера игру пинбол (см. илл. 4.1). Шарик катится вниз через частокол штырьков. Наткнувшись на штырек, он отклоняется вправо или влево с 50 %-ной вероятностью. После этого шарик попадает на новый уровень, где натыкается на другой штырек. Наконец, внизу он падает в одну из лунок.

_{Илл. 4.1. Случайное блуждание}

Движение шарика через частокол штырьков называют случайным блужданием. Как только шарик попадает в этот частокол, никто не может повлиять на его траекторию, равно как и предсказать эту траекторию.

Если бросить достаточное количество шариков, то можно получить распределение, представленное на илл. 4.2. Большинство шариков попадает в центр игрового поля; чем дальше лунки расположены от центра, тем меньше шариков в них оказывается. Такое распределение называют нормальным или колоколообразным.

_{Илл. 4.2. Нормальное распределение}

Если бросить бесконечно большое количество шариков, то распределение будет описываться колоколообразной кривой, подобной той, что показана на илл. 4.2. Такая кривая симметрична (правая часть является зеркальным отражением левой), ее пик находится в центре, а хвосты всегда устремлены вниз и в стороны от центра.

Кривые нормального распределения используются для описания результатов случайных событий. Например, кривая на илл. 4.2 может показывать результаты 15-кратного подбрасывания монетки. Каждый результат – это количество решек, выпавших при 15-кратном подбрасывании монетки. Результат 0 означает, что решка не выпала ни разу, а все 15 раз выпал орел. Результат 15 означает, что решка выпала 15 раз, а орел – ни разу. Конечно, было бы странно, если бы мы подбрасывали монетку 15 раз и каждый раз выпадал только решка или только орел. Если центр тяжести в монетке не смещен, то наиболее вероятным является результат 8 решек и 7 орлов или 9 решек и 6 орлов.