Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли

Шелдон Натенберг

Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли

Издано при содействии ЗАО «Московская межбанковская валютная биржа»

Переводчик Е. Пестерева

Научный редактор А. Балабушкин

Редактор В. Ионов

Технический редактор Н. Лисицына

Корректоры О. Богачева, О. Ильинская

Компьютерная верстка М. Поташкин

Дизайн обложки – О. Белорус

© Richard D. Irwin, a Times Mirror Higher Education Group, Inc., company, 1994

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина Бизнес Букс», 2007

© Электронное издание. ООО «ЛитРес», 2013

Натенберг Ш.

Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли / Шелдон Натенберг; Пер. с англ. – 2-е изд. – М.: Альпина Паблишер, 2011.

ISBN 978-5-9614-2665-6

Все права защищены. Никакая часть электронного экземпляра этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для частного и публичного использования без письменного разрешения владельца авторских прав.

Посвящается

Полу, убедившему меня стать опционным трейдером;

Хену и Джерри, оказавшим мне финансовую помощь в нужный момент;

Эдди, заставившему меня закончить эту книгу и освободить, наконец, компьютер, нужный ему для выполнения домашних заданий;

и, конечно, Леоне, неизменно оказывавшей мне помощь и моральную поддержку.

Предисловие к русскому изданию

За последние десять лет российский фондовый рынок сделал значительный рывок, продемонстрировав не только количественный рост, но и качественные изменения. Постоянно расширяется перечень доступных для инвестирования инструментов, совершенствуется законодательная база и регулирование, улучшается качество брокерских услуг, на рынок выходит все больше участников. Российский фондовый рынок является одним из наиболее быстрорастущих рынков в мире. В этих условиях важно, чтобы потенциальные инвесторы имели всю информацию об особенностях торговли на биржевых рынках.

Фондовая биржа ММВБ является центром ценообразования на бумаги российских компаний. Ее доля в мировом обороте вторичного рынка акций и депозитарных расписок на акции российских компаний за 2009 год выросла с 63 до 67 %. Усилению конкурентных позиций биржи после кризисной второй половины 2008 года способствовал рост активности российских инвесторов, в первую очередь физических лиц. На конец 2009 года более 650 участников торгов ФБ ММВБ обслуживали около 700 тысяч клиентов.

С учетом концентрации торговой активности всех базовых сегментов организованного финансового рынка в России в рамках Группы ММВБ развитие срочного рынка является одной из приоритетных задач Биржи. В 2009 году на ММВБ были запущены поставочные фьючерсы на обыкновенные акции «голубых фишек» и усовершенствована спецификация фьючерса на Индекс ММВБ, который является ключевым индикатором российского рынка акций. Также по всем типам инструментов был введен институт официальных маркет-мейкеров, обеспечивающих на регулярной основе начальную ликвидность. Кроме того, была внедрена новая система управления рисками, использующая методологию портфельного анализа рисков SPAN® (Standard Portfolio Analysis of Risk) – мирового стандарта на рынке деривативов.

В 2010 году был продолжен тренд на активное развитие технологий срочного рынка. В частности, предложена новая схема поставки по фьючерсам на акции, фактически обеспечивающая единую позицию по денежным средствам и ценным бумагам в день поставки, причем участники получают денежные средства или ценные бумаги в день поставки и уже на следующий день могут совершать с ними операции на фондовом рынке. Также была реализована схема раздельного учета денежных средств брокерских компаний, их клиентов и доверительных управляющих, что позволяет выйти на данный рынок новым участникам, в первую очередь управляющим компаниям и зарубежным фондам. В целях снижения транзакционных издержек участников торгов была обеспечена возможность внесения в состав гарантийного обеспечения по сделкам с деривативами иностранной валюты (до 100 % депозитной маржи).

Приложенные усилия по развитию срочного рынка, реализованные проекты и внедренные технологии уже в первом полугодии 2010 года позволили обеспечить многократный рост количественных показателей срочного рынка ММВБ, в том числе более чем 15-кратный рост среднедневного числа сделок, 8-кратный рост среднедневных оборотов торгов и 7-кратный рост среднего количества открытых позиций по сравнению с 2009 годом.

Дальнейшее совершенствование системы управления рисками и запуск новых продуктов, включая опционы, являются основными направлениями развития срочного рынка.

Группа ММВБ стремится развивать фондовый и срочный рынки также путем реализации образовательных проектов. Тесно контактируя с ведущими брокерскими организациями, финансово-экономическими и иными вузами России, отечественными и зарубежными экспертами в данной области, Группа ММВБ предоставляет возможность большому количеству новых специалистов изучить технологии биржевой торговли и успешно применять полученные навыки в своей профессиональной деятельности.

Операции с деривативами, позволяющие получить большую норму прибыли, являются более рискованными, поскольку характеризуются высокими значениями финансового рычага, что вызывает необходимость более высокой квалификации инвесторов для работы на срочном рынке. При этом опционы, в силу нелинейности финансовых характеристик, представляются существенно более сложными с точки зрения вопросов ценообразования, анализа ценовой динамики, построения торговых стратегий. Это с учетом планов ММВБ по развитию срочного рынка и стало причиной выбора опционной тематики для первого из организованных на ММВБ профессиональных семинаров, проведенного еще в 2006 г. с участием Шелдона Натенберга.

Шелдон Натенберг, хорошо известный в мире опционный трейдер, уже не один год проводит профессиональные семинары по вопросам торговли опционами. Он начал карьеру трейдера в 1982 г. как самостоятельный маркетмейкер по опционам на акции на Chicago Board Options Exchange, а с 1985 по 2000 г. торговал товарными опционами в качестве независимого трейдера «на полу» Chicago Board of Trade. Параллельно с трейдингом Натенберг активно занимался распространением профессиональных знаний в сфере опционной торговли: проводил семинары для опционных трейдеров на ведущих биржах и в крупнейших брокерских фирмах США, Европы и Юго-Восточной Азии. В 2000 г. Ш. Натенберг прекратил трейдерскую деятельность и возглавил образовательное направление в Chicago Trading Company, частной фирме по торговле деривативами.

Книга Ш. Натенберга «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» (Option Volatility and Pricing: Advanced Trading Strategies and Techniques) с момента выхода в начале 1990-х стала одним из наиболее популярных настольных пособий опционных трейдеров во всем мире, логически и интуитивно понятным читателям любой степени профессиональной подготовки. Мы надеемся, что эта книга будет полезна и российским участникам финансового рынка, работающим с опционами.

Желаю успешной торговли!

Екатерина Новокрещеных,вице-президент, член правления ЗАО ММВБ

Предисловие к первому изданию

В последнее десятилетие торговля опционами демонстрировала взрывной рост. Она захватила не только традиционных участников финансового рынка – спекулянтов, хеджеров и арбитражеров, но и индивидуальных трейдеров «на полу» биржи, среди которых резко выросло число желающих рискнуть собственным капиталом на рынках этих инструментов. Однако далеко не всех новичков на рынке опционов ждет успех. На обучение и накопление опыта, достаточного для выживания и процветания при любых рыночных условиях, уходят месяцы и даже годы. Огромному большинству трейдеров так и не удается преодолеть период обучения. Специфика опционов, нюансы их рынка, непредвиденные риски работают против неопытного трейдера и толкают его к провалу.

Многих проблем, однако, можно избежать, если начинающий трейдер лучше подготовится к встрече с реалиями опционной торговли. К сожалению, существующая литература по опционам либо носит теоретический характер и рассчитана на научную аудиторию, либо предлагает упрощенное представление об опционной торговле как одном из способов купли-продажи ценных бумаг или товаров. Ни то ни другое не отвечает потребностям серьезно настроенного трейдера. В первом случае используются не только недоступный пониманию математический аппарат, но и допущения, зачастую неосуществимые в реальной жизни. А во втором нет полноты информации о разнообразных стратегиях, которые необходимо знать, и о рисках, которые им присущи.

Цель этой книги – заполнить пробел в традиционной литературе по опционам, объединив теорию с реальной практикой. Она ориентирована в первую очередь на серьезных трейдеров. В их число входят как сотрудники фирм, активно работающих на рынке опционов, так и индивидуалы, желающие извлечь максимум из предлагаемых опционами возможностей. Это вовсе не означает, что книгу не стоит читать тем, кто не имеет к рынку опционов прямого отношения или выходит на него лишь время от времени. Никогда не мешает познакомиться с еще одной точкой зрения на тот или иной предмет. Но чтобы разобраться в опционах, нужно приложить немало усилий. Серьезные трейдеры, доходы которых напрямую зависят от понимания специфики опционной торговли, значительно охотнее тратят на достижение этой цели время и силы.

Чтобы подготовить читателя к работе на рынке опционов, я попытался соединить интуитивный подход к теории опционов с рассмотрением тех практических проблем, с которыми приходится сталкиваться. Конечно, я не ставил задачу удержать читателей, хорошо владеющих математическими методами, от более глубокого изучения теории ценообразования опционов. Но хочу подчеркнуть, что подобный «научный» подход совсем не обязателен для успеха в торговле опционами. В реальности подавляющее большинство успешных опционных трейдеров никогда не читали работ по математическому представлению теории опционов, да и вряд ли смогли бы разобраться в них.

Мои взгляды неизбежно отражают тот опыт, который я накопил, работая биржевым трейдером. Я не вдаюсь глубоко в сложные стратегии хеджирования, такие как страхование портфеля и межрыночные спредовые операции. Однако те подходы к оценке опционов, которые хороши для трейдера «на полу» биржи, не менее хороши и для любого другого игрока, какие бы причины ни привели его на рынок опционов. Помимо этого, я фокусирую внимание на том, что быстро усваивают профессиональные трейдеры, но часто упускают из виду непостоянные участники рынка: без тщательного учета рисков и досконального знания методов управления ими сегодняшняя прибыль может быстро превратиться в завтрашние убытки.

Поскольку не так давно появившиеся биржевые опционы на фьючерсные контракты вызывают растущий интерес, большинство примеров в книге связаны именно с ними. Однако принципы, позволяющие добиться успеха на рынке фьючерсных опционов, в равной мере применимы и к опционам на товары, акции и индексы.

В основу этой книги положены материалы, подготовленные мною для обучения трейдеров на чикагской бирже Chicago Board of Trade (CBOT). Кроме того, я использовал целый ряд других источников, в первую очередь комментарии и критические замечания профессиональных трейдеров. Я искренне признателен Грегу Монро из отдела обучения CBOT и Марку Жепчински из исследовательского отдела Chicago Mercantile Exchange (CME) за их комментарии, а также Дэвиду Избистеру из Monetary Investments International за расчет некоторых показателей, использованных в таблицах.

В заключение я хочу поблагодарить сотрудников издательства Probus Publishing за их поддержку и помощь, а также за то терпение, которое они проявили, работая с начинающим автором.

Шелдон Натенберг,Чикаго

Предисловие ко второму изданию

В 1986 г., когда я впервые поделился с сотрудниками издательства Probus Publishing планами написать книгу об опционах для профессиональных трейдеров, многие не верили, что такое издание будет пользоваться спросом. Ведь сколько у нас, в конце концов, профессиональных опционных трейдеров? К счастью, когда книга вышла в свет, оказалось, что ее активно покупают не только специалисты, но и неспециалисты.

Переработанное издание адресовано той же аудитории. Оно заинтересует прежде всего серьезных опционных трейдеров. Несмотря на его полезность для непрофессионалов, работать с ним будут скорее профессионалы, доходы которых напрямую зависят от знания теории и практики опционной торговли.

В новом издании я постарался учесть предложения и замечания трейдеров в отношении первого издания. Второе издание, в частности, отличается следующим:

• более полным освещением опционов на акции. В первом издании акцент был сделан на товарные опционы. Причина чисто маркетинговая. В то время в продаже уже было несколько книг по опционам на акции, но ни одной по товарным опционам. Но после успеха первого издания я, прислушиваясь к предложению моих многочисленных друзей с опционной биржи Chicago Board Options Exchange (CBOE), счел необходимым уделить такое же внимание опционам на акции;

• более полным анализом волатильности. Учитывая важность данной темы, добавлена еще одна глава о волатильности с более детальным обсуждением ее характеристик и других аспектов;

• наличием главы по фьючерсам и опционам на фондовые индексы. Эти рынки приобрели такое значение и так взаимосвязаны, что должны рассматриваться в любой работе по опционам. Хотя в одной главе невозможно раскрыть все особенности индексных рынков, я постарался объяснить, чем они отличаются от традиционных опционных рынков и как эти различия сказываются на торговых стратегиях;

• наличием раздела, посвященного межрыночным спредовым операциям. Многие сложные стратегии предусматривают занятие противоположных позиций в опционах на разные базовые активы. В разделе рассматриваются взаимосвязи между схожими базовыми рынками, а также методы, используемые трейдерами для построения опционных спредов, когда один базовый актив оказывается переоцененным или недооцененным относительно другого;

• более подробным обсуждением кривых волатильности. Чаще всего меня спрашивают, почему опционы с разными ценами исполнения торгуются с различными рыночными волатильностями (implied volatilities). В новом издании я представил анализ этого феномена и способы, которыми трейдеры решают проблему.

Из нового издания исключены два приложения:

• перечень рекомендуемого программного обеспечения. Новые программы появляются так быстро, что я счел нецелесообразным приводить в книге список поставщиков и программных продуктов, как это было сделано в первом издании. К тому же я знаком далеко не со всеми существующими программами и вполне могу упустить какой-нибудь хороший продукт. Трейдеру, который выбирает программное обеспечение, лучше посоветоваться со своими коллегами или почитать специализированные периодические издания, чтобы узнать, какие программы используются сегодня для оценки опционов;

• исторические волатильности. Когда готовилось первое издание, я привел ряд графиков исторической волатильности по некоторым фьючерсным контрактам из опасения, что начинающие трейдеры не найдут данных по волатильности. Однако теперь такие данные доступны в том или ином виде практически всем опционным трейдерам, поэтому, на мой взгляд, необходимости в подобном приложении нет, тем более что графики быстро устаревают.

Как и ранее, я не считаю себя теоретиком и не собираюсь позиционировать эту книгу как исчерпывающее руководство по теории опционов. Теория здесь лишь необходимый элемент успешной практической деятельности на рынке опционов. Все теоретические выкладки, приведенные в этой книге, я старался представить без использования специального математического аппарата. Более полное изложение теории ценообразования опционов читатель найдет в любой из тех превосходных книг, которые перечислены в приложении F.

Не собираюсь я и принимать решения за читателя или указывать ему, как он должен торговать. Добиться успеха на рынке опционов можно разными способами. Но какого бы стиля ни придерживался трейдер, без досконального знания инструментария и умения его использовать успешная деятельность просто невозможна. Я ставил задачу объяснить, что это за инструментарий, как он работает и как может использоваться для принятия решений с учетом потребностей трейдера и его стиля торговли, и старался не навязывать соб ственные предпочтения и не передавать мои предубеждения.

В определенном смысле ни в этом, ни в первом издании нет ничего нового. Все, что здесь говорится о теории опционов, торговых стратегиях и управлении риском, уже знакомо опытным трейдерам в той или иной форме. Я ставил задачу собрать весь материал воедино и представить его в упорядоченном и легком для восприятия виде с тем, чтобы дать начинающему трейдеру фундамент для выстраивания успешной карьеры.

Эта книга – плод не только моих усилий, в ней есть и доля труда многочисленных трейдеров, которые давали замечания и предложения. Без них мне бы не удалось добиться полноты освещения важнейших аспектов опционной торговли. Я искренне благодарю их, а также редакторов Probus Publishing Company, терпение которых было безграничным.

Шелдон Натенберг,ЧикагоИюнь 1994 г.

1. Терминология опционного рынка

У каждого оперирующего на рынке опционов трейдера или инвестора свои цели и ожидания. Кто-то выходит на этот рынок, желая сыграть на возможном движении цен. Кто-то хочет использовать опционы для защиты открытых позиций от неблагоприятного изменения цен. Кто-то надеется заработать на разнице цен одинаковых или связанных друг с другом финансовых инструментов. А кто-то выступает в роли посредника, покупая и продавая в ответ на заявки других участников рынка и зарабатывая на разнице цен спроса и предложения.

Однако обучение любого трейдера, какими бы ни были его цели и ожидания, должно начинаться со знакомства с терминологией опционной торговли, а также с регулирующими эту деятельность правилами и нормами. Не владея языком опционов, трейдер не сможет сообщить о своем намерении купить или продать что-либо на этом рынке. Без четкого понимания условий опционного контракта, а также своих прав и обязанностей по этому контракту трейдер не сумеет извлечь из опционов максимальную выгоду и оценить весьма существенные риски торговли опционами.

Характеристики опционных контрактов

Опционы бывают двух типов. Опцион колл – это право купить или занять длинную позицию в данном активе (обычно в определенных ценных бумагах, товаре, индексе или фьючерсном контракте) по фиксированной цене в заранее установленный день или до этой даты. Опцион пут – право продать или занять короткую позицию в данном активе.

Обратите внимание на разницу между опционным и фьючерсным контрактами. Фьючерсный контракт требует поставки по фиксированной цене. Подлежащие исполнению обязательства есть и у покупателя, и у продавца фьючерсного контракта. Продавец обязан осуществить поставку, а покупатель – оплатить и принять поставленный актив. В случае опциона у покупателя есть выбор. Он может исполнить опцион и принять поставляемый актив (колл) или осуществить поставку (пут), но вправе также отказаться от исполнения опциона. Если покупатель опциона решит принять поставляемый актив или осуществить поставку, то продавец опциона обязан выступить в роли противоположной стороны. В опционной торговле все права на стороне покупателя, а все обязательства на стороне продавца.

Актив, подлежащий покупке или продаже по условиям контракта, называют базовым. Цена исполнения, или цена страйк, – это цена, по которой поставляется базовый актив, если держатель опциона решит реализовать свое право на покупку или продажу. Дата, после которой исполнение опциона уже невозможно, называется датой истечения срока действия опциона или датой экспирации.

Если опцион покупается непосредственно у банка или другого дилера, то количество базового актива, подлежащего поставке, цена исполнения, а также дата экспирации могут устанавливаться в соответствии с индивидуальными потребностями покупателя. В случае биржевых опционов количество того, что подлежит поставке, цена исполнения, а также дата экспирации заранее определяются биржей[1].

Примером биржевого опциона может служить торгуемый на New York Mercantile Exchange (NYMEX) октябрьский 21 колл на сырую нефть, который дает покупателю право занять длинную позицию в одном октябрьском фьючерсном контракте на 1000 баррелей сырой нефти (базовый актив) по цене 21 долл. за баррель (цена исполнения) в дату экспирации октябрьского опциона или до ее наступления. Тот, кто покупает на СВОЕ мартовский 80 пут на акции General Electric, имеет право занять короткую позицию в 100 акциях General Electric (базовый актив) по цене 80 долл. за акцию (цена исполнения) в дату экспирации мартовского опциона или до ее наступления.

Здесь и в дальнейшем для опционов и спредов принимаются те же обозначения, что и в оригинальном тексте. Так, в примере выше 80-й пут – это пут со страйком 80 долл.

Денежные единицы (доллар США) приводятся только там, где они прямо указываются автором. При отсутствии денежной единицы в одних случаях подразумеваются доллары, например у опционов на акции, а в других случаях цены опционов и страйки выражаются в безразмерных единицах, например у опционов на фондовые индексы. После знакомства с опционами и изучения специфики опционов на разные базовые активы это обычно не вызывает путаницы.

Еще одно замечание связано с внебиржевым рынком, где при котировке опционов страйки и/или цены часто приводятся в процентах от текущей цены базового актива, т. е. 80 пут означает опцион со страйком, равным 80 % от текущей цены базового актива. Поскольку ниже речь идет о биржевых опцио нах, такой вариант обозначения цен не используется и неоднозначности не возникает. – Прим. науч. ред.

Поскольку у акций даты экспирации нет, базовый актив опциона на акции – это просто некоторое количество соответствующих акций. Однако в случае фьючерсных опционов может возникнуть некоторая неясность, поскольку срок действия фьючерсного контракта ограничен. Базовый актив опциона на фьючерсный контракт – это обычно фьючерсный контракт с месяцем исполнения, совпадающим с месяцем экспирации опциона. Базовый актив октябрьского 21 колла на сырую нефть на NYMEX – это один октябрьский фьючерсный контракт на сырую нефть. Базовый актив июньского 96 пута на казначейские облигации на СВОТ – это один фьючерсный контракт на казначейские облигации с поставкой в июне.

На некоторых фьючерсных биржах торгуются также серийные опционы (serial options), т. е. опционы с одним и тем же базовым фьючерсным контрактом, но с разными датами экспирации. Если фьючерсного контракта с таким же, как у опциона, месяцем экспирации не существует, то базовым контрактом этого опциона является ближайший фьючерсный контракт после истечения срока действия этого опциона. Например, базовый актив декабрьского опциона на немецкую марку на СМЕ – это один декабрьский фьючерсный контракт на немецкую марку. Поскольку октябрьского или ноябрьского фьючерсного контракта не существует, то для октябрьского или ноябрьского опциона на немецкую марку базовым активом будет все тот же декабрьский фьючерсный контракт. Декабрь – ближайший месяц исполнения фьючерсных контрактов после истечения срока октябрьского и ноябрьского опционов. (В настоящее время на СМЕ торгуются фьючерсы и опционы на евро. – Прим. науч. ред.)

В датах экспирации биржевых опционов нет единообразия, биржи устанавливают их по своему усмотрению. Обычная дата экспирации опционов на акции в США – это суббота после третьей пятницы месяца экспирации. Однако в случае фьючерсных опционов эта дата не обязательно приходится на месяц поставки базового фьючерсного контракта. В некоторых случаях срок действия фьючерсного опциона истекает за несколько недель до месяца поставки базового фьючерсного контракта. Дата экспирации опциона на сырую нефть на NYMEX обычно приходится на первую субботу предыдущего месяца, так что срок действия октябрьского опциона реально истекает в первую субботу сентября.

_{Илл. 1.1. Спецификация контракта[2]}

_{Илл. 1.2. Заявка на покупку опциона}

_{Илл. 1.3. Заявка на продажу опциона}

Исполнение опциона и назначение контрагента

Трейдер, у которого есть опцион колл или пут, имеет право исполнить этот опцион до даты экспирации, превратив его тем самым в длинную позицию в базовом активе в первом случае или в короткую позицию во втором. Трейдер, исполняющий октябрьский 21 колл на сырую нефть, занимает длинную позицию в одном октябрьском фьючерсном контракте по цене 21 долл. за баррель. Трейдер, исполняющий мартовский 80 пут на акции GE, занимает короткую позицию в 100 акциях GE по цене 80 долл. за акцию. В случае исполнения опциона его действие прекращается, как и в случае истечения опциона без исполнения.

Чтобы исполнить опцион, трейдер должен направить уведомление либо продавцу, если опцион куплен у дилера, либо гаранту (клиринговой организации), если опцион куплен на бирже. После получения правильно составленного уведомления назначается продавец опциона. В зависимости от типа опциона продавец обязан занять либо длинную, либо короткую позицию в базовом контракте (купить или продать базовый контракт) по установленной цене исполнения.

Опционы характеризуются не только базовым активом, ценой исполнения, датой экспирации и типом, но и условиями исполнения. Они бывают американскими, т. е. допускающими исполнение в любой момент до даты экспирации, либо европейскими, т. е. допускающим исполнение только в дату экспирации[3]. Подавляющее большинство биржевых опционов в мире являются американскими, т. е. допускающими досрочное исполнение. К этому стилю относятся все котируемые на биржах США опционы на акции и фьючерсы[4].

_{Илл. 1.4. Процедура исполнения опциона и назначения контрагента}

_{Илл. 1.5. Уведомление об исполнении опциона}

_{Илл. 1.6. Уведомление о назначении контрагента}

Как и на любом конкурентном рынке, цена опциона, или премия, определяется соотношением спроса и предложения. Покупатели и продавцы делают на рынке конкурентные предложения о покупке и продаже. Когда цена покупателя совпадает с ценой продавца, совершается сделка. Уплачиваемая за опцион премия состоит из двух компонентов: внутренней стоимости и временной стоимости. Внутренняя стоимость опциона – это сумма, которая поступит на счет держателя опциона, если он исполнит опцион и закроет позицию в базовом контракте по текущей рыночной цене. Например, если золото торгуется по цене 435 долл. за унцию, то внутренняя стоимость 400 колла равна 35. Исполнив опцион, держатель 400 колла может купить золото по 400 долл. за унцию. Если он продаст унцию золота по рыночной цене, т. е. за 435 долл., то на его счет поступит 35 долл. Если акции продаются по 62 долл., то внутренняя стоимость 70 пута – 8. Исполнив опцион, держатель пута сможет продать акции по 70 долл. за штуку. Если затем он снова купит их по рыночной цене 62 долл., то заработает 8 долл.

Опцион колл имеет внутреннюю стоимость, только если его цена исполнения ниже текущей рыночной цены базового контракта. Опцион пут имеет внутреннюю стоимость, только если его цена исполнения превышает текущую рыночную цену базового контракта. Величина внутренней стоимости опциона зависит от того, насколько цена исполнения колла ниже или цена исполнения пута выше текущей рыночной цены базового контракта. Внутренняя стоимость опциона не может быть меньше нуля.

Обычно цена опциона на рынке выше его внутренней стоимости. Дополнительная сумма, которую трейдеры готовы заплатить сверх внутренней стоимости опциона, – это временная стоимость. Иногда ее называют временной премией или внешней стоимостью опциона. Как будет показано ниже, участники рынка платят за опцион больше из-за его меньшей рискованности по сравнению с длинной или короткой позицией в базовом контракте.

Премия опциона всегда равна сумме его внутренней и временной стоимости. Если 400 колл на золото торгуется по 50 долл., а золото стоит 435 долл. за унцию, то временная стоимость колла составляет 15 долл., поскольку его внутренняя стоимость – 35 долл. В сумме оба компонента должны давать премию опциона, т. е. 50 долл. Если 70 пут на акции продается за 9 долл., а акции продаются по 62 долл., то временная стоимость опциона составляет 1 долл., поскольку его внутренняя стоимость – 8 долл. Внутренняя и временная стоимость в сумме должны давать опционную премию, т. е. 9 долл.

Опционная премия всегда складывается из внутренней и временной стоимости, однако бывает, что один или оба этих компонента имеют нулевое значение. Если у опциона нет внутренней стоимости, то его цена на рынке равна временной стоимости. Если у опциона нет временной стоимости, то его цена равна внутренней стоимости. В последнем случае говорят, что опцион торгуется по паритету.

В то время как внутренняя стоимость опциона не может быть меньше нуля, временная стоимость европейских опционов способна принимать отрицательные значения (см. главу 12, посвященную досрочному исполнению опционов). В таких случаях опцион торгуется ниже паритета. Однако, как правило, компоненты премии опциона не бывают отрицательными.

Об опционе с положительной внутренней стоимостью говорят, что он в деньгах (in-the-money) на величину внутренней стоимости. Если акции стоят 44 долл., то 40 колл в деньгах на 4 долл. Если курс немецкой марки – 57,75, то 59 пут в деньгах на 1,25. Об опционе, у которого нет внутренней стоимости, говорят, что он вне денег (out-of-the-money). Цена такого опциона равна временной стоимости. Чтобы колл (пут) был в деньгах, его цена исполнения должна быть ниже (выше) текущей цены базового контракта. Обратите внимание: если колл в деньгах, то пут с той же ценой исполнения и тем же базовым контрактом должен быть вне денег. И наоборот, если пут в деньгах, то колл с той же ценой исполнения должен быть вне денег.

Наконец, об опционе, цена исполнения которого совпадает с текущей ценой базового контракта, говорят, что он на деньгах (at-the-money). Технически такой опцион вне денег, так как у него нет внутренней стоимости. Однако мы проводим грань между опционами на деньгах и вне денег, поскольку временная премия опционов на деньгах больше и торговля ими идет очень активно.

_{Илл. 1.7. Опционы в деньгах и вне денег}

Строго говоря, цена исполнения опциона на деньгах равна текущей цене базового контракта. Однако в биржевой практике к категории «на деньгах» относят коллы и путы с ближайшей к текущей цене базового контракта ценой исполнения. Если акции стоят 74 долл., а цены исполнения изменяются с шагом в 5 долл. (65, 70, 75, 80), то опционами на деньгах будут считаться 75 колл и 75 пут, т. е. опционы колл и пут, цены исполнения которых наиболее близки к текущей цене базового контракта.

Система гарантий

Для всех участников рынка крайне важна его надежность. Вряд ли какой трейдер захочет торговать на рынке, допускающем возможность неисполнения обязательств по контракту контрагентом. При покупке опциона трейдеру нужна уверенность в том, что в случае исполнения опциона продавец выполнит условия контракта.

Чтобы гарантировать надежное и устойчивое функционирование рынка, биржи вводят многоуровневую систему ответственности за выполнение условий опционного контракта. Первичную ответственность несет индивидуальный трейдер. Если продавец опциона назначен контрагентом по исполнению опциона, то он должен быть готов занять требуемую длинную или короткую позицию в базовом контракте по установленной цене исполнения. На практике это означает, что трейдеру необходим доступ к капиталу в объеме как минимум внутренней стоимости опциона.

Если индивидуальный трейдер не может выполнить условия контракта, то ответственность ложится на его клиринговую фирму. Клиринговая фирма – это член биржи, который обрабатывает заключенные индивидуальным трейдером сделки и соглашается взять на себя ответственность за выполнение всех вытекающих из этих сделок финансовых обязательств. Никто не может торговать на бирже без предварительного заключения договора о клиринговом обслуживании с одной из клиринговых фирм.

Если клиринговая фирма не может выполнить условия контракта, то конечную ответственность несет клиринговая организация. Каждая биржа является членом клиринговой организации или учреждает собственную клиринговую организацию, которая гарантирует выполнение условий всех сделок. После заключения сделки по покупке или продаже опциона отношения покупателя и продавца прекращаются, а клиринговая организация выступает в роли покупателя для всех продавцов и продавца для всех покупателей. Если бы центральной клиринговой организации не было, то в случае исполнения опциона покупатель целиком зависел бы от добросовестности продавца или его клиринговой фирмы. Поскольку клиринговая организация гарантирует все сделки, покупатели могут быть уверены, что при исполнении опциона всегда найдется контрагент, готовый осуществить поставку или принять поставленный актив. Процедуру клиринга показывает илл. 1.8.

Такая система гарантий доказала свою эффективность на опционных биржах. Хотя время от времени индивидуальные трейдеры и клиринговые фирмы нарушают свои обязательства, в США не было ни одного случая дефолта клиринговой организации.

_{Илл. 1.8. Процедура клиринга}

Требования в отношении маржи

Если трейдер проводит на бирже сделку («открывает позицию»), то биржа может потребовать от него внесения в клиринговую организацию определенной маржи или гарантийного обеспечения[5]. Такой депозит служит гарантией того, что трейдер выполнит все вытекающие из сделки финансовые обязательства, даже если цены изменятся неблагоприятным для него образом.

Вместо денег часто вносят казначейские или, реже, коммерческие ценные бумаги. Клиринговые фирмы взимают маржу со своих трейдеров и перечисляют ее клиринговой организации. Теоретически собственником этих активов остается индивидуальный трейдер, и поэтому все начисляемые на них проценты или дивиденды принадлежат ему. Однако некоторые клиринговые фирмы оставляют их себе как плату за клиринговые услуги. Бывает, что это приводит к разногласиям между трейдером и клиринговой фирмой, поэтому трейдеру следует выяснить все до начала операций.

Маржевые требования по позициям в опционах и базовых контрактах определяются клиринговой организацией исходя из текущей стоимости позиций, а также потенциального риска. Если маржа для позиции в базовом активе, особенно в случае фьючерсных контрактов, обычно фиксирована, то маржа для позиции в опционе может меняться, поскольку она нередко зависит от того, насколько данный опцион вне денег или в деньгах. Маржа для составной позиции из нескольких опционов или опционов и базовых инструментов может быть снижена, если риск, связанный с одним контрактом, в той или иной мере компенсируется стоимостью другого контракта. Кроме того, трейдеры – члены биржи могут получать за выполнение своих профессиональных обязанностей вознаграждение в виде пониженной маржи. Каждый трейдер должен ясно представлять, какие требования в отношении маржи существуют на рынке, на котором он собирается торговать. Тогда будет понятно, каким капиталом необходимо располагать, чтобы открывать позиции и сохранять их сколько потребуется.

Порядок расчетов

Начинающих опционных трейдеров нередко смущает то, что на разных биржах действует разный порядок расчетов. И в самом деле, расчеты по опционам могут осуществляться совсем не так, как по базовым контрактам. Для расчетов по биржевым контрактам используются два метода: акционный (stock-type settlement) и фьючерсный (futures-type settlement).

Предположим, что трейдер покупает 100 50-долларовых акций. Стоимость пакета – 5000 долл., и покупатель обязан уплатить продавцу всю сумму. Если цена повысится до 60 долл. за акцию, то владелец акций получит прибыль в 10 долл. на акцию, или совокупную прибыль в 1000 долл. Однако он не может реально распоряжаться полученной прибылью, пока не ликвидирует позицию, т. е. не продаст 100 акций по 60 долл. Такой метод расчетов, когда покупка требует немедленной уплаты всей суммы, а прибыль или убытки остаются нереализованными до тех пор, пока позиция не ликвидирована, называется акционным.

В отличие от акционного фьючерсный метод не предполагает выплаты денег покупателем продавцу при заключении сделки. Кроме того, вся прибыль или убытки реализуются немедленно, даже если позиция не ликвидируется. Если трейдер покупает фьючерсный контракт на 100 унций золота по 450 долл., то полная стоимость контракта составляет 45 тыс. долл. От покупателя, однако, не требуют сразу же выплатить продавцу всю сумму. Покупатель может вообще ничего не платить сразу. Он обязан только поместить на депозит в клиринговой организации определенную маржу. По окончании каждого биржевого дня и продавец, и покупатель немедленно реализуют прибыль или убытки, обусловленные изменением цены на этот «золотой» фьючерсный контракт. Если цена фьючерсного контракта на золото повысится с 450 до 470 долл. за унцию, то на счет покупателя поступит 2000 долл. (20 долл. x 100) и он сможет немедленно использовать эти средства, даже если не ликвидирует свою позицию. Конечно, если цена фьючерса на золото упадет до 430 долл. за унцию, то он немедленно получит реализованные убытки в размере 2000 долл. Если средств на его счете оказывается недостаточно для покрытия этих убытков, то клиринговая организация направляет трейдеру требование о покрытии вариационной маржи (вариационная маржа – variation call – реализованные прибыли или убытки, вызванные ежедневной переоценкой контрактов по ценам закрытия (расчетным ценам). – Прим. науч. ред.).

Между требованием о внесении депозитной маржи (margin call) и требованием о покрытии вариационной маржи существует важное различие. Первое клиринговая организация предъявляет трейдеру, чтобы гарантировать выполнение им будущих финансовых обязательств в случае неблагоприятного изменения цен на рынке. Это требование выполняется путем внесения средств, которые, даже находясь на депозите в клиринговой организации, все равно принадлежат трейдеру и поэтому могут приносить ему проценты. Требование о покрытии вариационной маржи клиринговая организация предъявляет трейдеру, чтобы обеспечить выполнение текущих финансовых обязательств в виде реализованных убытков. Чтобы удовлетворить это требование, необходимо внести денежную сумму, которая немедленно списывается со счета трейдера. Если требование о покрытии вариационной маржи предъявлено трейдеру, поместившему в клиринговой организации в качестве депозитной маржи ценные бумаги, то трейдер должен внести дополнительную сумму в денежной форме, в противном случае клиринговая организация продает ценные бумаги и использует вырученные средства для уплаты вариационной маржи. Если ценных бумаг или денег, оставшихся после этого на счете трейдера, недостаточно для удовлетворения текущих требований в отношении депозитной маржи, то трейдера могут заставить ликвидировать позицию.

Мы рассказываем об этом крайне важном различии между акционным и фьючерсным методами расчетов, поскольку расчеты в одних случаях осуществляются по первому методу, а в других – по второму. Важно, чтобы трейдер знал, на каких условиях он торгует. В настоящее время расчеты по всем опционам на биржах США (опционам на акции, фьючерсы, индексы и иностранную валюту) осуществляются как по акциям. Плата за опционы вносится немедленно и полностью, а прибыль или убытки остаются нереализованными вплоть до ликвидации позиции. На рынках опционов на акции такой подход и логичен, и последователен, поскольку порядок расчетов по базовому контракту не отличается от порядка расчетов по опциону на этот контракт. Однако на американских рынках фьючерсных опционов расчеты по базовому контракту осуществляются как по фьючерсам, а по опционам – как по акциям. Иногда это создает проблемы, если трейдер покупает или продает опцион, чтобы хеджировать фьючерсную позицию. Даже если прибыль от опционной позиции полностью компенсирует убытки от фьючерсной позиции, эта прибыль существует только на бумаге. Убытки же от фьючерсной позиции приводят к немедленным денежным расходам на покрытие вариационной маржи. Если трейдер не знает о различиях в порядке расчетов, то у него могут возникнуть неожиданные финансовые проблемы.

На многих неамериканских биржах проблема снимается благодаря введению единого порядка расчетов по опционам и базовым активам. Если к базовым активам применяется акционный метод расчетов, то он применяется и к опционам. Если при расчетах по базовым активам используется фьючерсный метод расчетов, то он используется и при расчетах по опционам на эти активы. При таком подходе трейдер может не опасаться неожиданного требования о покрытии вариационной маржи по позиции, которую считает хорошо захеджированной.

Завершая эту главу, отметим особенности использования терминов «длинный» и «короткий» в опционной торговле по сравнению с торговлей базовыми контрактами. Заняв длинную позицию в базовом активе, трейдер получит прибыль, если цены повысятся, и понесет убытки, если они упадут. Заняв короткую позицию в базовом активе, трейдер получит прибыль, если цены упадут, и понесет убытки, если они повысятся. Иногда эту терминологию переносят на рынок опционов и называют длинной любую позицию, которая приносит прибыль в случае роста цены базового контракта, а короткой – любую позицию, которая приносит прибыль в случае ее падения.

Однако чаще под терминами «длинный» и «короткий» понимают соответ ственно покупку и продажу контракта. Именно такой смысл мы вкладываем в них, когда говорим в этой книге об опционной торговле. Трейдер, который купил опцион, занимает длинную позицию в опционе, а трейдер, который его продал, – короткую. Когда мы говорим о длинной позиции в опционе колл, путаницы не происходит, поскольку у трейдера, имеющего длинную позицию в колле, также есть длинная рыночная позиция. Теоретически с ростом цены базового контракта стоимость коллов увеличивается. Но длинная позиция в опционе пут – это короткая рыночная позиция. Трейдер, который купил пут, рассчитывает на падение цены базового актива, поскольку теоретически с ее падением стоимость пута повышается. Далее мы везде, где может возникнуть путаница, будем явно указывать, о чем идет речь: о длинной/короткой рыночной позиции или о длинной/короткой опционной позиции.

2. Простые стратегии

Новичка на рынке опционов может ошеломить количество торгуемых контрактов. В отличие от трейдера ценными бумагами или фьючерсами, у которого выбор инструментов не слишком велик, опционный трейдер имеет дело с большим разнообразием контрактов. Когда одновременно торгуются опционы с тремя месяцами экспирации, для каждого месяца есть несколько цен исполнения (страйков), а для каждого страйка есть колл и пут, наличие четырех десятков различных контрактов следует считать вполне обычным.

Даже если отбросить неактивно торгуемые контракты, все равно останется не менее 15–20 разных опционов. При таком выборе трейдеру необходима определенная логика принятия решений в процессе отбора опционов, предоставляющих реальную возможность получения прибыли. Что следует покупать, что продавать, а что просто не заслуживает внимания? Количество вариантов настолько обескураживает, что многие потенциальные опционные трейдеры так и не решаются реализовать свой потенциал.

Ну а те, кто не сдается, постепенно начинают постигать логику соотношения цен различных опционов. Когда она становится понятной, трейдер может приступить к формулированию потенциально прибыльных стратегий. Поначалу он концентрируется на покупке и продаже отдельных опционов, затем переходит к комбинационным стратегиям. В конце концов приходит очередь сложных стратегий, предполагающих сделки с несколькими разными контрактами.

Как начинающему трейдеру определить стоимость опциона? Проще всего попытаться угадать цену базового контракта на дату экспирации. Если опцион держат до даты экспирации, то его стоимость будет равна либо нулю, когда он на деньгах или вне денег, либо внутренней стоимости, когда он в деньгах. Покупка опциона выгодна, если заплаченная за него сумма (премия) меньше стоимости при экспирации. Продажа опциона выгодна, если полученная за него сумма больше стоимости при экспирации.

Простая покупка и продажа

Предположим, что имеются следующие опционы, срок действия которых истекает через два месяца, и что рыночная цена базового контракта – 99,00:

Допустим, мы полагаем, что к дате экспирации цена базового актива повысится как минимум до 108. Тогда мы можем купить 100 колл за 2,70. Если наши предположения правильны и цена базового контракта к дате экспирации действительно поднимается до 108, то при экспирации мы получаем прибыль в размере внутренней стоимости опциона (8,00) за вычетом 2,70, уплаченных сначала, т. е. 5,30. При тех ценах, которые указаны в таблице, и в предположении роста базового рынка к моменту экспирации до отметки 108, прибыльной будет покупка любого опциона колл с ценой исполнения меньше 110. Внутренняя стоимость каждого из этих опционов при экспирации будет выше его текущей рыночной цены.

А что делать с 110 и 115 коллами? Если мы полагаем, что цена базового контракта может достичь 108,00, но не достигнет 110, то 110 и 115 коллы надо продавать. Если продать 110 колл за 0,45, а цена базового контракта так и не превысит 110,00, то опцион исполнен не будет, и мы полностью получим премию в размере 0,45. Можно также продать 115 колл за 0,20, что даст нам дополнительные 5 пунктов как запас на случай ошибки прогноза в цене базового актива. Если цена базового контракта так и не достигнет 115,00, то 115 колл исполнен не будет, и мы полностью получим премию в размере 0,20.

Тот же подход может использоваться и для оценки потенциальной прибыли от покупки или продажи опциона пут. Как и в случае колла, чтобы покупка пута оказалось выгодной, его внутренняя стоимость при экспирации должна быть больше цены сделки. Если цена базового контракта повысится к экспирации до 108,00, то путы с ценой исполнения не выше 105 исполняться не будут. Если продать любой из этих путов, то прибыль составит всю сумму премии. Если продать путы с ценой исполнения 110 или 115, то при экспирации при цене базового контракта 108 их внутренняя стоимость составит соответственно 2,00 и 7,00. Однако она все равно будет меньше их текущих цен, равных 11,35 и 16,10. Мы получим прибыль 9,35 от продажи 110 пута и 9,10 от продажи 115 пута.

При изменении допущений о возможной цене базового контракта при экспирации изменятся и вероятная прибыль или убытки по опционным позициям. Если цена базового контракта на самом деле повысится не до 108,00, а до 120,00, то покупка 100 колла за 2,70 принесет прибыль не 5,30, а 17,30. В то же время, если базовый контракт упадет в цене до 90,00, то покупка 100 колла принесет убыток в размере всей премии, т. е. в размере 2,70. В последнем случае, если продать 110 пут за 11,35, то вместо прибыли 9,35, соответствующей цене базового контракта 108,00, мы потеря ем 8,65.

Исходя из того, что стоимость опциона равна либо нулю, либо его внутренней стоимости, мы можем построить график прибылей и убытков при экспирации по любой сделке с опционами, которую можно заключить сегодня. Такие графики не только позволяют начинающему трейдеру оценить потенциальную прибыль от сделки с опционом, но и выявить некоторые необычные свойства опционов. Однако прежде чем обратиться к графикам прибылей и убытков для различных опционных позиций, нам следует изучить график прибылей и убытков по базовому контракту. Поскольку опцион – это производный финансовый инструмент, его стоимость всегда зависит от цены базового инструмента. Стоимость опциона при экспирации полностью зависит от цены базового контракта. В самом деле, если бы мы знали возможную цену базового контракта на какую-либо дату в будущем, то нам вообще не нужно было бы торговать опционами. Гораздо проще было бы купить или продать этот базовый контракт.

На илл. 2.1 показана стоимость при экспирации как длинной, так и короткой позиции в базовом контракте в предположении, что сделка заключена по текущей цене 99,00. По горизонтали отложены цены базового фьючерсного контракта, а по вертикали – прибыли или убытки по нашей позиции. Обратите внимание на то, что график представляет идущую под углом 45° прямую, не ограниченную ни в одном из направлений[6]. Это означает, что потенциальная прибыль или убыток по каждой позиции неограниченны. Заметьте также, что соотношение между изменением цены базового контракта и соответствующим изменением стоимости позиции равно 1:1. Если мы займем длинную позицию, то будем получать прибыль в размере одного пункта на каждый пункт роста цены базового контракта; на каждый пункт падения цены базового актива мы будем терять один пункт. Если мы займем короткую позицию, то все наоборот – на каждый пункт роста (снижения) цены базового контракта мы будем терять (получать) один пункт.

Используя тот же метод оценки, мы показываем на илл. 2.2 прибыли или убытки при экспирации от покупки 100 колла по цене 2,70. Обратите внимание, что в этом случае график уже не прямая линия. Если цена базового контракта упадет при экспирации ниже 100, то 100 колл окажется вне денег, его стоимость станет нулевой, и мы потеряем 2,70, которые заплатили за этот колл. При цене базового контракта свыше 100 этот опцион будет в деньгах, а его стоимость будет расти вместе с ценой базового контракта – на один пункт на каждый пункт роста стоимости базового контракта. Если к дате экспирации цена базового контракта достигнет 102,70, то стоимость 100 колла будет равна его внутренней стоимости, т. е. 2,70, и наши прибыль/убыток окажутся нулевыми (102,70 – это точка безубыточности для данной позиции). Выше 102,70 прибыль от покупки 100 колла будет потенциально неограниченной, точно так же, как и прибыль от длинной позиции в базовом контракте.

_{Илл. 2.1. Стоимость при экспирации длинной и короткой позиций в базовом контракте}

_{Илл. 2.2. Прибыли/убытки при экспирации от покупки 100 колла}

Соотношение риск/прибыль

График прибылей/убытков по длинной позиции в опционе колл на момент экспирации всегда имеет ту же форму, что и график на илл. 2.2. Для этой позиции характерны ограниченный убыток при снижении цены базового контракта и неограниченная прибыль при ее росте. Точка графика, в которой убыток становится максимальным (точка изгиба), зависит от цены исполнения и цены опциона. На илл. 2.3 показаны графики прибылей и убытков по длинным позициям в опционах колл с ценами исполнения 95, 100 и 105.

_{Илл. 2.3. Прибыли и убытки по длинным позициям в опционах колл}

На илл. 2.4 показаны прибыли и убытки по коротким позициям в коллах с ценами исполнения 95, 100 и 105. Как видим, эти графики являются зеркальным отражением графиков на илл. 2.3. Прибыль от таких позиций ограничена суммой премии, за которую эти опционы были проданы, а неограниченный риск потерь при росте цены базового контракта аналогичен риску, характерному для короткой позиции в базовом контракте.

_{Илл. 2.4. Прибыли и убытки по коротким позициям в коллах}

Иллюстрация 2.5 дает представление о прибылях и убытках по длинным позициям в путах с ценами исполнения 95, 100 и 105. Соотношение риск/потенциальная прибыль для данных позиций аналогично соотношению для длинных позиций в коллах, но здесь ограниченный риск связан с повышением цены, а неограниченная прибыль – с ее понижением. Результат покупки опциона будет нулевым, если цена базового контракта окажется ниже цены исполнения ровно на величину цены данного опциона (иными словами, для опциона пут точка безубыточности расположена левее страйка на величину премии). Ниже точки безубыточности потенциальная прибыль от позиции не ограничена и увеличивается на один пункт на каждый пункт снижения цены базового контракта.

_{Илл. 2.5. Прибыли и убытки по длинным позициям в путах}

Графики для коротких позиций на илл. 2.6 являются зеркальным отражением графиков илл. 2.5. Потенциальная прибыль по этим позициям ограничена ценой сделки, а убытки не имеют ограничений, как и в случае длинной позиции в базовом контракте.

_{Илл. 2.6. Прибыли и убытки по коротким позициям в путах}

Иллюстрации 2.3–2.6 демонстрируют две важнейшие характеристики опционов: у покупателей опционов риск ограничен, а потенциальная прибыль нет, в то время как у продавцов опционов ограничена максимально возможная прибыль, а риск неограничен. Говоря точнее, у чистых покупателей (продавцов) коллов возможная прибыль (убыток) не ограничены в случае повышения цены базового контракта, а у чистых покупателей (продавцов) путов потенциальная прибыль (убыток) не ограничены в случае падения цены (у чистого покупателя коллов общее количество купленных коллов больше общего количества проданных коллов. Аналогично для путов. – Прим. науч. ред.).

Обычно на эти рассуждения начинающие трейдеры реагируют одинаково. Зачем вообще рассматривать другие операции, кроме покупки опционов? Раз риск покупателя ограничен, а потенциальная прибыль нет, а у продавца, наоборот, прибыль ограничена, а риск нет, то кто же захочет стать продавцом?

Конечно, перспектива неограниченного риска – серьезная причина избегать подобных сделок. Однако с неограниченным риском сопряжена чуть ли не каждая сделка на фондовом или товарном рынке. Всегда существует возможность резкого неблагоприятного изменения цены, не оставляющего трейдеру времени на закрытие позиции. Тем не менее трейдеры занимают как длинные, так и короткие позиции в акциях и товарах. Это объясняется исключительно тем, что, на их взгляд, вероятность катастрофических убытков невелика и потенциальная прибыль вполне оправдывает риск.

Опытные опционные трейдеры знают, что учитывать нужно не только ограниченность или неограниченность риска и возможной прибыли. Не менее важный фактор – вероятность получения неограниченной прибыли или убытков. Допустим, какой-либо трейдер обдумывает сделку, которая может иметь один из двух результатов: удвоение капитала или разорение. Казалось бы, осмотрительному трейдеру следует отказаться от подобной сделки, поскольку вознаграждение не сопоставимо с риском. Ну а если шанс разориться – один на миллион? Что, если на практике такая ситуация, в которой трейдер мог бы разориться, никогда не возникала? Какой теперь представляется эта сделка? Потенциальная прибыль по-прежнему ограничена, а риск нет. И все же большинство трейдеров заключили бы эту сделку, невзирая на возможность катастрофических результатов.

Помимо собственно риска убытков и потенциальной прибыли, присущих любой сделке, трейдер должен учитывать вероятность того или иного исхода. Достаточна ли возможная прибыль, пусть и ограниченная, для компенсации риска, хотя он и не ограничен? Иногда да, а иногда нет.

Комбинационные стратегии

Сделки с опционами не сводятся к покупке или продаже отдельных опционов. Мы можем комбинировать опционные позиции и создавать новые позиции с уникальными характеристиками. На илл. 2.7 показаны прибыли и убытки при экспирации по комбинационной позиции, состоящей из длинного 100 колла за 2,70 и 100 пута за 3,70. Всего мы заплатили 6,40, и это максимально возможный убыток в случае, если ни один из опционов не будет исполнен. Позиция дает убыток, только если цена базового контракта составит при экспирации ровно 100. Если при экспирации цена базового контракта превысит 100, то мы не воспользуемся опционом пут, но позиция в опционе колл будет аналогична длинной позиции в базовом контракте, т. е. с ростом цены базового контракта на один пункт ее стоимость будет увеличиваться на один пункт. Если цена базового контракта упадет ниже 100, то колл утратит свою стоимость, но позиция в путе будет аналогична короткой позиции в базовом контракте, т. е. ее стоимость будет увеличиваться на один пункт на каждый пункт снижения цены базового контракта. Чтобы такая позиция оказалась как минимум безубыточной, она должна стоить, по крайней мере, те 6,40, что мы потратили в самом начале. Это произойдет, если либо 100 колл, либо 100 пут будут стоить 6,40. Для этого при экспирации базовый контракт должен стоить либо 106,40, либо 93,60. За пределами этого диапазона потенциальная прибыль не ограничена.

_{Илл. 2.7. Прибыли и убытки по комбинационной позиции (покупка колла и пута)}

При каких условиях стоит занять позицию, показанную на илл. 2.7? Это имеет смысл, если мы ожидаем значительное движение цены базового контракта в ближайшем будущем, но не знаем его направление. Если цена изменится достаточно заметно (превысит 106,40 или упадет ниже 93,60), то данная позиция окажется прибыльной. Конечно, можно предположить и противоположное, т. е. что цена базового контракта вряд ли упадет ниже 93,60 или превысит 106,40. В этом случае имеет смысл продать оба опциона (илл. 2.8). Теперь наша прибыль ограничена суммарной премией в 6,40, в то время как наш риск в любом направлении не ограничен. Но если есть веские основания полагать, что цена базового контракта не выйдет из диапазона 93,60–106,40 до даты экспирации, то подобный риск может быть вполне оправданным.

_{Илл. 2.8. Прибыли и убытки по комбинационной позиции (продажа колла и пута)}

Допустим, мы придерживаемся сценария на илл. 2.8, т. е. полагаем, что вероятность значительного изменения цены базового контракта в любом направлении невелика. Но поскольку каждый может ошибаться, нам хотелось бы расширить прибыльный диапазон и выйти за пределы интервала 93,60–106,40. Для этого вместо продажи 100 колл и 100 пут мы продаем 95 пут за 1,55 и 105 колл за 1,15. Прибыль от этой позиции (см. илл. 2.9) будет максимальной и равной 2,7 при любой цене базового контракта в диапазоне от 95 до 105, поскольку оба опциона останутся неисполненными. Нам не грозит убыток, если цена базового контракта не упадет при экспирации ниже 92,30 или не превысит 107,70. В первом случае 95 пут будет стоить минимум 2,70, а в последнем столько будет стоить 105 колл. Конечно, расширение прибыльного диапазона требует жертв. Максимальная прибыль теперь составляет только 2,70, в то время как на илл. 2.8 она достигала 6,40. В обмен на снижение риска мы должны довольствоваться меньшей потенциальной прибылью. Опционным трейдерам постоянно приходится выбирать между вариантами «низкий риск – низкая возможная прибыль» и «высокий риск – высокая возможная прибыль». Если потенциальная прибыль достаточно велика, то можно пойти на большой риск. Если потенциальная прибыль мала, то и связанный со сделкой риск должен быть низким.

Для позиций на илл. 2.7–2.9 характерны либо неограниченная потенциальная прибыль, либо неограниченный риск, поскольку речь идет о чистых длинных или о чистых коротких опционах. Но если покупать и продавать равное количество опционов одного и того же типа, то можно создать позиции, для которых характерны и ограниченный риск, и ограниченная возможная прибыль. Например, можно купить 90 колл за 9,35 и продать 100 колл за 2,70, расходы при этом составят 6,65 (илл. 2.10). Если цена базового контракта упадет к дате экспирации ниже 90,00, то оба опциона не будут исполнены и мы потеряем все наши инвестиции в размере 6,65. Если же цена базового контракта превысит 100, то 90 колл будет стоить ровно на 10 пунктов больше, чем 100 колл, и мы получим максимальную прибыль в 3,35. При цене в диапазоне от 90 до 100 стоимость позиции составляет от 0 до 10 пунктов. Чтобы позиция была безубыточной, нужно вернуть хотя бы первоначальные инвестиции в размере 6,65. Это возможно, если цена базового контракта при экспирации составит не менее 96,65, т. е. 90 колл будет стоить как минимум 6,65. Как и при прямой покупке колла, прибыль по этой позиции растет с ростом цены базового контракта, однако ограничена 3,35. Мы отказываемся от неограниченной потенциальной прибыли, связанной с прямой покупкой 90 колла, в обмен на частичную защиту от риска, которую дает продажа 100 колла. Эта позиция бычья, но и риск, и возможная прибыль ограниченны.

_{Илл. 2.9. Прибыли и убытки по комбинационной позиции (продажа колла и пута)}

_{Илл. 2.10. Прибыли и убытки по комбинационной позиции (покупка и продажа колла)}

Если мы играем на понижение, то можем ограничить риск и прибыль, заняв позицию, противоположную показанной на илл. 2.10. Иначе говоря, мы продаем 90 колл и покупаем 100 колл. В этом случае максимальная прибыль составит 6,65, если цена базового контракта к дате экспирации упадет ниже 90, а максимальный убыток – 3,35, если цена базового контракта превысит 100.

Медвежью позицию с ограниченным риском и ограниченной прибылью можно также создать, купив пут с более высокой ценой исполнения и продав пут с более низкой ценой исполнения. Например, мы можем купить 105 пут за 7,10 и продать 100 пут за 3,70 при суммарных затратах в 3,40 (илл. 2.11). Если на день экспирации цена базового контракта упадет ниже 100, то 105 пут будет стоить ровно на 5 пунктов больше, чем 100 пут, и мы получим максимальную прибыль 1,60. Если же цена базового контракта превысит 105, то оба опциона не будут стоить ничего и мы потеряем все наши инвестиции в размере 3,40. Позиция безубыточна, если цена базового контракта составляет 101,60, поскольку при этом 105 пут стоит 3,40. Эта позиция медвежья, как и прямая покупка пута. Однако мы отказываемся от неограниченной потенциальной прибыли при падении цены, которую дает прямая покупка 105 пута, в обмен на частичную защиту от риска, которую обеспечивает продажа 100 пута.

_{Илл. 2.11. Прибыли и убытки по комбинационной позиции (покупка и продажа пута)}

Построение графика прибылей и убытков на дату экспирации

Приведенные выше примеры позволяют сформулировать несколько простых правил построения графиков прибылей и убытков по позиции на дату экспирации.

1. Если график имеет точку перегиба, то эта точка всегда соответствует цене исполнения того или иного опциона, входящего в позицию. Следовательно, можно рассчитать прибыль или убыток при каждой цене исполнения и соединить полученные точки прямыми.

2. Если позиция состоит из равного количества длинных и коротких коллов (путов), то максимальный убыток по позиции при движении цены базового актива вниз (вверх) равен совокупным затратам на создание этой позиции (затраты возникают, когда суммарная премия по купленным опционам превышает суммарную премию по проданным опционам; в противном случае вместо максимального убытка следует говорить о максимальной прибыли по позиции).

3. Выше самой высокой цены исполнения все коллы оказываются в деньгах, поэтому позиция в целом ведет себя как длинные или короткие базовые контракты в количестве, равном количеству чистых длинных или чистых коротких коллов. Ниже самой низкой цены исполнения все путы оказываются в деньгах, поэтому позиция в целом ведет себя как короткие или длинные базовые контракты в количестве, равном количеству чистых длинных или чистых коротких путов.

Чтобы понять, как эти правила могут использоваться при построении графика прибылей и убытков при экспирации, рассмотрим следующую позицию:

• длинный 95 колл по цене 5,50;

• три коротких 105 колла по цене 1,15.

Первый шаг – определить прибыль и убыток при каждой цене исполнения (95 и 105). Если цена базового контракта составит 95, то 95 и 105 коллы не исполняются и их стоимость равна нулю. Поскольку на создание позиции было потрачено 2,05 (–5,50 + 1,15 x 3), то при цене базового контракта 95 позиция принесет убыток, равный 2,05. Если цена базового контракта составит 105, то 95 колл будет стоить 10,00, а 105 колл не будет стоить ничего. Поскольку у нас есть 95 колл, позиция будет стоить 10 минус первоначальные расходы 2,05, т. е. 7,95. Нанесем эти точки на график и соединим их (илл. 2.12а).

_{Илл. 2.12a. Прибыли и убытки по комбинационной позиции (покупка одного 95 колла и продажа трех 105 коллов)}

Так как в нашей позиции нет путов, максимальный убыток при падении цены равен тем 2,05, которые потребовались для создания позиции. Такой убыток мы получаем при ценах ниже 95 (илл. 2.12b).

_{Илл. 2.12b. Убыток по комбинационной позиции при цене ниже 95 (покупка одного 95 колла и продажа трех 105 коллов)}

Наконец, при цене выше 105 оба колла – и 95-й, и 105-й – окажутся в деньгах, поэтому все опционы будут вести себя как длинные базовые контракты. У нас будет один длинный базовый контракт в виде 95 колла и три коротких базовых контракта в виде трех 105 коллов. Чистый результат при цене выше 105 – позиция, эквивалентная двум коротким базовым контрактам. На каждый пункт роста цены базового контракта наша позиция будет терять в стоимости два пункта (илл. 2.12с).

Усложнив пример, построим график прибылей и убытков при экспирации для следующей позиции:

• один короткий 90 колл по цене 9,35;

• два длинных 100 колла по цене 2,70;

• четыре коротких 95 пута по цене 1,55;

• два длинных 100 пута по цене 3,70.

_{Илл. 2.12c. Прибыли и убытки по комбинационной позиции при цене выше 105 (покупка одного 95 колла и продажа трех 105 коллов)}

Во-первых, что произойдет при трех ценах исполнения? При цене базового актива, равной 90, получим:

90 колл: + 9,35

100 коллы: – 2 x 2,70

95 путы: – 4 x 3,45

100 путы: +2 x 6,30

Итого: +2,75

При цене, равной 95, получим:

90 колл: +4,35

100 коллы: – 2 x 2,70

95 путы: +4 x 1,55

100 путы: +2 x 1,30

Итого: +7,75

При цене, равной 100, получим:

90 колл: – 0,65

100 коллы: – 2 x 2,70

95 путы: +4 x 1,55

100 путы: x 3,70

Итого: – 7,25

Нанесем эти значения прибыли и убытков при каждой цене исполнения на график и соединим полученные точки (илл. 2.13а).

_{Илл. 2.13a. Прибыли и убытки по комбинационной позиции (продажа одного 90 колла и четырех 95 путов, покупка двух 100 коллов и двух 100 путов)}

При цене ниже 90 стоимость всех коллов станет нулевой, а все путы будут вести себя как короткие базовые контракты. Поскольку чистая позиция эквивалентна двум коротким путам, график будет соответствовать двум длинным базовым контрактам. На каждый пункт падения цены базового контракта ниже 90 позиция будет дешеветь на два пункта (илл. 2.13b).

_{Илл. 2.13b. Прибыли и убытки по комбинационной позиции при цене ниже 90 (продажа одного 90 колла и четырех 95 путов, покупка двух 100 коллов и двух 100 путов)}

_{Илл. 2.13c. Прибыли и убытки по комбинационной позиции при цене выше 100 (продажа одного 90 колла и четырех 95 путов, покупка двух 100 коллов и двух 100 путов)}

При цене свыше 100 все путы потеряют стоимость, а все коллы будут вести себя как длинные базовые контракты. Поскольку наша чистая позиция эквивалентна одному длинному коллу, то при цене свыше 100 она будет вести себя как длинный базовый контракт. На каждый пункт роста цены базового контракта стоимость позиции будет увеличиваться на один пункт (илл. 2.13с).

Подобным образом можно строить графики прибылей и убытков по любой позиции на день экспирации независимо от ее сложности. Позиция может состоять из базовых контрактов, а также коллов и путов с различными ценами исполнения. Но поскольку срок действия всех опционов истекает одновременно, то стоимость позиции на дату экспирации будет полностью определяться ценой базового контракта.

С помощью опционов и базовых контрактов можно также создать позиции, обладающие свойствами других позиций в опционах и базовых контрактах. Какими свойствами обладает, например, следующая позиция:

• один длинный 100 колл по цене 2,70;

• один короткий 100 пут по цене 3,70?

Если базовый контракт стоит при экспирации больше 100, то стоимость 100 пута оказывается нулевой, а колл с той же ценой исполнения ведет себя как длинный базовый контракт. Если базовый контракт стоит при экспирации меньше 100, то стоимость 100 колла оказывается нулевой, а пут с той же ценой исполнения ведет себя как короткий базовый контракт. Однако, поскольку у нас короткая позиция в 100 путе, этот пут в деньгах ведет себя как длинный базовый контракт. Иными словами, позиция имитирует длинную базовую позицию, какой бы ни была цена базового контракта при экспирации (илл. 2.14). Единственное реальное различие между опционной позицией и длинной позицией в базовом контракте заключается в том, что при создании опционной позиции на наш счет зачисляется один доллар.

_{Илл. 2.14. Прибыли и убытки при покупке одного 100 колла и продаже одного 100 пута}

Рассмотрим теперь такую позицию:

• один длинный 90 пут по цене 0,45;

• один короткий 100 колл по цене 2,70;

• один длинный базовый контракт по цене 99,0.

Стоимость позиции при экспирации показана на илл. 2.15. Обратите внимание на сходство этой позиции с той, что показана на илл. 2.10. Единственное различие состоит в том, что мы заменили длинный 90 колл на комбинацию длинного 90 пута и длинного базового контракта. Сочетание длинного 90 пута и длинного базового контракта должно имитировать длинный 90 колл. Чтобы убедиться в этом, читатель может построить график прибылей и убытков при экспирации для следующих двух позиций:

1) длинный 90 колл по цене 1,35;

2) длинный 90 пут по цене 0,45 и длинный базовый контракт по цене 99,00.

Прибыли и убытки по одной позиции несколько отличаются от прибыли и убытков по другой, но графики для обеих позиций будут иметь одну и ту же форму.

_{Илл. 2.15. Прибыли и убытки по комбинационной позиции (покупка одного 90 пута, покупка одного базового контракта и продажа одного 100 колла)}

Тем, кто только начинает изучать опционы, полезно почитать деловой раздел какой-нибудь газеты, создать различные позиции в опционах и базовых контрактах и построить соответствующие графики[7]. Это позволит быстрее усвоить многочисленные понятия, введенные в первых двух главах, и значительно облегчит понимание последующего материала. Примеры публикуемых в газетах сводок по фьючерсным опционам и опционам на акции приведены на илл. 2.16.

Хотя простые стратегии, подобные рассмотренным в этой главе, очень удобны для ознакомления новичка с основными характеристиками опционов, в реальной жизни трейдер, создавший позицию, практически никогда не дер жит ее до экспирации. Даже если позиция создавалась с таким намерением, было бы неразумно забыть о ней и вспомнить только к дате экспирации, чтобы узнать, принесла она сколько-нибудь или нет. Рыночные условия непрерывно меняются, и позиция, казавшаяся выгодной вчера, потеряет привлекательность сегодня. С изменением рынка у трейдера возникает желание или потребность изменить стратегию. Это справедливо для всех трейдеров, а не только опционных. Трейдер, купивший акции в расчете на их рост, сделает ошибку, если не переоценит свою позицию при неожиданном падении цены на несколько пунктов. Опционный трейдер, который продает 105 коллы в надежде, что цена базового контракта не превысит 105, также сделает ошибку, если не переоценит ситуацию после повышения цены базового контракта с 99 до 104. Он может по-прежнему считать, что цена базового контракта не превысит 105, но уверенности у него уже не будет. Сегодняшнее решение трейдера более обоснованно, чем вчерашнее.

Серьезному трейдеру необходимо умение находить прибыльные стратегии для существующих рыночных условий. Но этого мало, он должен уметь корректировать свои решения в ответ на изменения рынка и принимать защитные меры в случае неблагоприятного движения цен. В следующей главе мы перейдем к изучению основ теории ценообразования опционов и покажем, как использовать теорию для достижения практических целей.

_{Илл. 2.16. Примеры газетных колонок с характеристиками фьючерсов и опционов}

3. Введение в методы оценки теоретической стоимости опционов

В предыдущей главе мы говорили о простых стратегиях опционной торговли, которыми трейдер может воспользоваться, если у него есть мнение о вероятном изменении цены базового контракта. Такое мнение, на чем бы оно ни основывалось, обычно сопровождают качественными характеристиками, например «почти наверняка», «весьма вероятно», «возможно», «маловероятно». Дело в том, что его трудно охарактеризовать количественно. Действительно, что имеют в виду, когда говорят «почти наверняка» или «крайне маловероятно»? Чтобы действовать на рынках опционов логически, нам нужен способ количественного выражения мнения о будущем изменении цены.

Анализ простых стратегий показывает, что направление изменения цены базового контракта может существенно влиять на результат опционной стратегии. Следовательно, оно имеет большое значение для опционных трейдеров. Однако у опционного трейдера есть и другая проблема: темп изменения цены. Трейдер товарного рынка, который полагает, что в течение определенного периода товар поднимется в цене, может быть уверен в прибыли, если не ошибся. Он просто покупает товар, ждет, когда его цена достигнет целевого уровня, а затем продает товар с прибылью.

В опционной торговле все не так просто. Допустим, трейдер считает, что в течение следующих пяти месяцев цена товара повысится со 100 до 120 долл. Предположим также, что 3-месячный 110 колл можно купить за 4 долл. Если к экспирации цена товара повысится до 120 долл., то покупка указанного колла принесет прибыль в 6 долл. (10 долл. внутренней стоимости минус 4 долл. затрат на покупку опциона). Но гарантирована ли эта прибыль? Что произойдет, если в течение следующих трех месяцев цена товара будет ниже 110 долл. и повысится до 120 долл. только после даты экспирации? Тогда опцион исполнен не будет, и трейдер потеряет свои вложения в размере 4 долл.

Возможно, трейдеру следовало бы купить 110 колл, срок действия которого истекает не через три, а через шесть месяцев. Тогда у него была бы уверенность, что в случае повышения цены товара до 120 долл. стоимость колла будет не меньше внутренней стоимости, т. е. 10 долл. Но что, если цена 6-месячного опциона составляет 12 долл.? В этом случае трейдер может все равно несет убытки. Даже если цена базового товара достигнет 120 долл., нет никакой гарантии, что 110 колл будет стоить больше своей внутренней стоимости.

Трейдера на рынке базового актива интересует главным образом возможное направление изменения цены этого актива. Для опционного трейдера оно также имеет большое значение, но он должен учитывать и то, как быстро может измениться эта цена. Если фьючерсный и опционный трейдеры займут длинные рыночные позиции в соответствующих инструментах, а цена дей ствительно повысится, то первый гарантированно получит прибыль, а второй может понести убытки. Если цена будет расти недостаточно быстро, то ее изменения в благоприятном направлении может не хватить для компенсации снижения временной стоимости опциона. Это основная и наиболее типичная причина, по которой спекулянты несут убытки на рынках опционов. Обычно спекулянт покупает опционы из-за кажущегося благоприятным соотношения риска и возможной прибыли (ограниченный риск/неограниченная прибыль). Но ему нужно угадать не только направление изменения цены, но и скорость этого изменения. Только при правильном предугадывании двух факторов он может рассчитывать на прибыль. Однако правильно угадать одно только направление изменения цены непросто, а правильно предсказать и направление, и темп изменения цены большинству трейдеров и вовсе не под силу.

Темп изменения цены имеет в опционной торговле огромное значение. Существует множество опционных стратегий, основанных на прогнозировании только темпа изменения цены базового контракта. Если трейдер хорошо предсказывает направление изменения цены базового контракта, то ему, возможно, следует работать на рынке базовых активов. Успешно работать на рынке опционов может только тот, кто обладает своего рода «чувством» темпа изменения цены.

Чтобы правильно оценить потенциальную доходность сделки с опционом, опционный трейдер должен проанализировать целый ряд факторов. Как минимум он должен учитывать:

1) цену базового контракта;

2) цену исполнения;

3) время до экспирации;

4) возможное направление изменения цены базового контракта;

5) предполагаемый темп изменения цены базового контракта.

В идеале хотелось бы оценивать эти факторы количественно, подставлять их значения в формулу и определять стоимость опциона. Сравнение стоимости с рыночной ценой опциона позволило бы трейдеру судить, на чем он сможет заработать: на продаже опциона или на его покупке. Это и есть основная цель определения стоимости опциона: оценить опцион исходя из условий опционного контракта, текущих рыночных условий и будущих ожиданий.

Ожидаемый доход

Предположим, мы бросаем игральную кость и каждый раз получаем сумму в долларах, равную количеству выпавших очков. Если выпадает одно очко, то мы получаем 1 долл., если два, то 2 долл. и так далее до шести. Если бросать кость неограниченное число раз, то сколько в среднем принесет один бросок?

Проведем несложный расчет. Всего с равной вероятностью могут выпасть шесть чисел. Суммируем их: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, разделим полученную сумму на шесть граней кости и получим 21/6 = 3 1/2 . Таким образом, можно ожидать, что в среднем каждый раз мы будем получать по 3 1/2 долл. Это средний или ожидаемый доход. Если с нас будут брать деньги за возможность бросать кость, то сколько бы мы согласились платить? Плата менее 3 1/2 долл. приносит в долгосрочной перспективе выигрыш. Плата более 3 1/2 долл. приносит в долгосрочной перспективе проигрыш. А плата в размере 3 1/2 долл. дает в среднем нулевой результат. Обратите внимание, что ключевое словосочетание здесь – «в долгосрочной перспективе». Ожидаемый доход в 3 1/2 долл. реален, только если нам разрешат бросать кость много-много раз. Если бросить ее только один раз, на возврат 3 1/2 долл. не стоит рассчитывать. На самом деле получить 3 1/2 долл., бросив только раз, вообще невозможно, поскольку у кости нет грани с 3 1/2 очками. Однако если заплатить менее 3 1/2 долл. даже за один бросок, то теория вероятности будет на нашей стороне, поскольку уплачено меньше ожидаемого дохода.

То же можно сказать и об игре в рулетку. На колесе рулетки 38 ячеек с номерами 1–36, 0 и 00[8]. Предположим, что казино предлагает игроку выбрать один из номеров. Если выпадает номер игрока, то он получает 36 долл., если любой другой номер – ничего. Каким будет ожидаемый доход игрока в этом случае? Шарик может с равной вероятностью оказаться в любой из 38 ячеек, но только одна из них принесет игроку 36 долл. Если мы разделим единственную возможность выиграть 36 долл. на 38 ячеек, то получим 36/38 = 0,9474, или около 95 центов. Заплатив 95 центов за возможность выбрать ячейку, игрок может ожидать, что в долгосрочной перспективе он, по крайней мере, ничего не проиграет.

Конечно, ни одно казино не разрешит игроку сделать ставку за 95 центов, поскольку при этом оно ничего не заработает. В реальном мире, чтобы сделать ставку, игрок должен заплатить сумму, превышающую ожидаемый доход, обычно 1 долл. Пять центов разницы между ценой ставки и ожидаемым доходом представляют собой потенциальную прибыль или преимущество казино. В долгосрочной перспективе казино может рассчитывать на получение 5 центов с каждого доллара, заплаченного за возможность сделать ставку.

Учитывая это, желающий выиграть игрок должен поменяться местами с казино, чтобы самому продавать ставки. Тогда он будет получать 5 центов, продавая за 1 долл. ставки, которые стоят 95 центов. Есть и другой вариант – найти такое казино, где можно купить право на игру дешевле, чем ожидаемый доход в 95 центов, скажем, за 88 центов. Тогда у игрока будет преимущество перед казино в размере 7 центов.

Теоретическая стоимость

Теоретическая стоимость предложения о сделке – это цена, которую одна сторона должна заплатить другой для того, чтобы при многократном повторении такой сделки обе стороны имели нулевой результат (иными словами, это цена, при которой для обеих сторон выполняется условие безубыточности). До сих пор единственным фактором, который учитывался при определении стоимо сти сделки, был ожидаемый доход. Исходя из него, мы нашли, что справедливая цена одной ставки в рулетку составляет 95 центов. Однако иногда необходимо учитывать и другие факторы.

Предположим, что в нашем примере с рулеткой казино решило слегка изменить условия игры. Теперь игрок может сделать ставку за сумму, равную ожидаемому доходу, т. е. за 95 центов, которые, как и раньше, в случае проигрыша переходят к казино. Однако если игрок выигрывает, то казино выплачивает 36-долларовый выигрыш через два месяца. Будет ли теперь сделка безубыточной и для игрока, и для казино?

Откуда взялись те 95 центов, которые игрок поставил в рулетку? Надо полагать, что он достал их из своего кармана, однако до этого они были сняты со сберегательного счета. Поскольку выигрыш будет получен лишь через два месяца, игрок потеряет проценты с 95 центов за два месяца. При годовой процентной ставке 12 % (1 % в месяц) упущенная выгода составит 95 центов x 2 %, т. е. около 2 центов. Если игрок покупает ставку за 95 центов (эквивалент ожидаемого дохода), то он теряет 2 цента из-за затрат на поддержание позиции – затрат, связанных с тем, что доход от его инвестиций поступит через два месяца. Казино, в свою очередь, помещает 95 центов на депозит и через два месяца получает процентный доход в 2 цента.

В таких условиях теоретическая стоимость ставки равна ожидаемому доходу в размере 95 центов минус 2 цента затрат на поддержание позиции, т. е. примерно 93 центам. Если игрок заплатит 93 цента за ставку сегодня и получит выигрыш через два месяца, то в долгосрочной перспективе ни он, ни казино не будут иметь никакой прибыли.

Итак, два важнейших фактора, учитываемые при планировании инвестиций, – это ожидаемый доход и затраты на поддержание позиции. Однако существуют и другие аспекты. Допустим, казино решило предоставить игроку в следующие два месяца бонус в 1 цент. Этот бонус суммируется с прежней теоретической стоимостью в 93 цента и дает новую теоретическую стоимость, равную 94 центам. Бонус подобен дивиденду, выплачиваемому акционерам компании. Таким образом, дивиденды – это еще один фактор, который должен учитываться при оценке опционов на акции.

Биржам, скорее всего, не понравится то, что их сравнивают с казино, а опционную торговлю – с азартной игрой. Но мы занимаемся не оценкой моральных аспектов, а лишь констатируем факт: законы теории вероятностей, которые позволяют казино оценивать результаты игр со случайным исходом и устанавливать соответствующие правила, дают трейдеру возможность оценивать опционы.

Понятие зависящей от вероятности теоретической стоимости используется во многих сферах бизнеса. Те, кому не нравится сравнение с азартной игрой, могут вспомнить об исходном предназначении опционов и считать их своего рода страховыми полисами, требующими уплаты страховой премии. Используя статистические данные и теорию вероятностей, актуарий страховой компании пытается рассчитать вероятность того, что страховой полис окажется прибыльным для компании. Затем он подставляет в формулу проценты, под которые страховая компания будет размещать премии, и получает значение теоретической стоимости страхового полиса. Затем полис предлагают потенциальным клиентам по более высокой цене, в которую заложена прибыль страховой компании.

Цель оценки опциона состоит в том, чтобы, используя математические методы, определить теоретическую стоимость. Зная ее, трейдер может принять обоснованное решение о том, переоценивает или недооценивает рынок опцион и достаточна ли ожидаемая теоретическая прибыль для того, чтобы выйти на рынок и совершить сделку.

Пара слов о моделях

Прежде чем продолжить, следует сделать несколько общих замечаний о моделях.

Модель – это уменьшенное или более легкое в обращении представление реального мира. Модель может быть материальной, например модель самолета или здания, или же математической, например формула. В любом случае модели создают для облегчения понимания мира, в котором мы живем. Однако неразумно и даже опасно считать, что модель полностью идентична реальному миру, который она представляет. Модель может быть очень похожей, но никогда не отражает в точности всех особенностей реального мира.

Все модели строятся на допущениях относительно реального мира. В математические модели вводятся коэффициенты, количественно характеризующие данные допущения. Если мы заложим в модель неправильную исходную информацию, то получим неправильную картину реального мира. Принцип информатики «мусор на входе – мусор на выходе» (garbage in, garbage out) здесь полностью справедлив.

Эти общие замечания в полной мере относятся и к моделям, в рамках которых выводятся формулы теоретической стоимости опционов. Такие модели лишь частные представления о том, как оценивать опционы в определенных условиях. Поскольку как сама модель, так и заложенные в нее количественные параметры могут быть неверными, нет никакой гарантии, что полученные значения окажутся точными или вообще похожими на реальные рыночные цены.

На самом деле трейдеры по-разному оценивают полезность математиче ских моделей и выводимых из них оценок стоимости опционов. Одни считают, что это своего рода «фокусы» с формулами, которые не имеют никакого отношения к реальному миру. Другие полагают, что таблица со значениями теоретической стоимости опционов решает все их проблемы. Истина, по-видимому, находится где-то посередине.

Начинающий опционный трейдер подобен тому, кто впервые входит в темную комнату. Не имея ориентиров, он идет на ощупь и, если повезет, может наткнуться на то, что ищет. Трейдер, знакомый с основами теории цено образования опционов, входит в ту же комнату со свечой в руке. Он видит, как расставлена мебель, но скудный свет свечи не позволяет разглядеть детали. Кроме того, мерцание пламени искажает восприятие. Тем не менее со свечой шансы найти то, что ищешь, выше.

Реальные проблемы с моделями и формулами стоимости опционов возникают у трейдера, когда он приобретает определенный опыт. По мере обретения уверенности он заключает все более крупные сделки. И вот тут невозможность разглядеть детали в комнате вкупе с искажениями, вызванные мерцанием пламени, становятся более значимыми. Теперь неправильная интерпретация увиденных образов может привести к финансовой катастрофе, поскольку цена ошибки многократно возрастает.

Самое разумное – использовать теорию, но с полным пониманием того, что теория может, а что нет. Начинающие опционные трейдеры обнаружат, что модели и формулы – это ценнейшие инструменты анализа цен опционов. Из-за информации, которую они дают, подавляющее большинство успешных трейдеров используют в своей работе тот или иной способ оценки теоретической стоимости опционов. Однако если опционный трейдер хочет извлечь из такого подхода максимальную пользу, он должен представлять не только его сильные стороны, но и ограничения. В противном случае он будет мало отличаться от того, кто блуждает в полной темноте[9].

Простой метод

Как ожидаемый доход и теоретическая стоимость используются при оценке опционов? Для начала рассчитаем ожидаемый доход от опциона. Возьмем простой пример.

Предположим, что цена базового контракта – 100 долл. и что в определенный день в будущем, который мы назовем датой экспирации, она может принять одно из следующих значений: 80, 90, 100, 110 или 120 долл. Предположим также, что все пять значений равновероятны, т. е. вероятность каждого – 20 %. Цены и вероятности можно графически изобразить с помощью прямой (илл. 3.1).

_{Илл. 3.1. Цены базового контракта и их вероятности}

Если мы займем длинную позицию в базовом контракте по нынешней цене в 100 долл., то каким будет ожидаемой доход при экспирации? С вероятностью 20 % мы потеряем 20 долл., если контракт будет стоить 80 долл. С вероятностью 20 % мы потеряем 10 долл., если контракт будет стоить 90 долл. С вероятностью 20 % мы ничего не потеряем, если контракт будет стоить 100 долл. С вероятностью 20 % мы получим 10 долл., если контракт подорожает до 110 долл. И с вероятностью 20 % мы получим 20 долл., если контракт подорожает до 120 долл. Результат составит:

– 20 долл. x 20 % – 10 долл. x 20 % + 0 x 20 % + 10 долл. x 20 % + 20 долл. x 20 % = 0.

Поскольку прибыли и убытки точно уравновешивают друг друга, ожидаемый доход от длинной позиции равен нулю. Аналогичный расчет показывает, что ожидаемый доход от короткой позиции, занятой по текущей цене 100 долл., также равен нулю. При этих ценах и вероятностях, какую бы позицию мы ни заняли, длинную или короткую, в долгосрочной перспективе можно рассчитывать только на нулевой результат.

Предположим теперь, что мы заняли длинную позицию в 100 колле. Если забыть о премии, которую надо заплатить за этот колл, каким будет ожидаемый доход при ценах и вероятностях, указанных на илл. 3.1? Если цена базового контракта на дату экспирации составит 80, 90 или 100 долл., то колл истечет без исполнения. Если цена базового контракта составит 110 или 120 долл., то колл будет стоить соответственно 10 и 20 долл. Можно записать следующее уравнение:

0 x 20 % + 0 x 20 % + 0 x 20 % + 10 долл. x 20 % + 20 долл. x 20 % = +6 долл.

Колл не может стоить меньше нуля, поэтому ожидаемый доход от позиции в колле всегда величина неотрицательная. В данном случае ожидаемый доход – 6 долл.

Чтобы на основе этого подхода оценить стоимость опциона, нужно задать ряд возможных цен базового контракта при экспирации и связанных с ними вероятностей. Затем для опциона с некоторой ценой исполнения следует рассчитать стоимость при каждой цене базового контракта, умножить ее на соответствующую вероятность и суммировать результаты. Это и будет ожидаемый доход от опциона.

В приведенном примере мы взяли предельно простую ситуацию с пятью равновероятными значениями цены. Как сделать нашу модель более реалистичной? Прежде всего нужно учесть порядок расчетов по опционам. В США ко всем опционам применяется акционный метод расчетов, предполагающий немедленную уплату всей причитающейся за опцион суммы. Если ожидаемый доход от 100 колла составляет при экспирации 6 долл., то для получения его сегодняшней стоимости необходимо вычесть затраты на поддержание позиции. Если годовая процентная ставка – 12 % (1 % в месяц), а до даты экспирации осталось 2 месяца, то из 6 долл. следует вычесть 2 % затрат на поддержание позиции, или около 12 центов. Таким образом, теоретическая стоимость опциона составит 5,88 долл.

Какие еще факторы можно учесть? Мы исходили из того, что все пять вариантов цены равновероятны. Реалистично ли такое допущение? Предположим, что возможны только две цены при экспирации, 110 и 250 долл. Если сегодня базовый контракт стоит 100, то какая из цен более вероятна в будущем? Опираясь на опыт, большинство трейдеров скажут, что резкое отклонение цены от ее нынешнего значения менее вероятно, чем незначительное. Иными словами, 110 долл. более вероятны, чем 250. Поэтому будущие значения нашей цены, если учесть теорию вероятностей, должны быть близки к ее нынешнему значению. Такое распределение показывает илл. 3.2. Теперь ожидаемый доход от 100 колла составит:

0 долл. x 10 % + 0 долл. x 20 % + 0 долл. x 40 % + 10 долл. x 20 % + 20 долл. x 20 % = +4 долл.

_{Илл. 3.2. Более реалистичное распределение вероятностей цен при экспирации}

Если, как и прежде, к опциону применяется акционный метод расчетов, а затраты на поддержание позиции составляют 2 %, то теоретическая стоимость равна 3,92 долл.

Заметим, что на илл. 3.2 возможные значения цены и вероятности расположены симметрично. Хотя новые вероятности и изменили ожидаемый доход от 100 колла, ожидаемый доход от любой позиции в базовом контракте по-прежнему равен нулю. Каждому повышательному изменению цены соответствует равное по величине и вероятности понижательное изменение. Однако мы можем считать, что ожидаемый доход от базового контракта не равен нулю и что вероятность изменения цены в одном направлении больше, чем в другом. Взгляните на возможные значения цены и вероятности на илл. 3.3. При этих новых вероятностях ожидаемый доход от длинной позиции в базовом контракте составит:

– 20 долл. x 10 % – 10 долл. x 20 % + 0 x 30 % + 10 долл. x 25 % + 20 долл. x 15 % = +1,50 долл.

При этом ожидаемый доход от 100 колла будет равен:

0 долл. x 10 % + 0 долл. x 20 % + 0 долл. x 30 % + 10 долл. x 25 % + 20 долл. x 15 % = +5,50 долл.

_{Илл. 3.3. Несимметричное распределение вероятностей цен при экспирации}

Теперь ожидаемый доход от базового контракта положителен, и кажется, что можно получить прибыль, просто купив базовый контракт. Так бы и было в отсутствие других факторов. Но что, если базовый контракт – это акции и применяется акционный метод расчетов? Покупка акций по нынешней цене 100 долл. и поддержание позиции в них связаны с определенными затратами. Если они будут равны ожидаемому доходу в 1,50 долл., то наши инвестиции окажутся безубыточными. Чтобы длинная позиции в акциях принесла прибыль, за период владения акции должны вырасти в цене как минимум на величину затрат на поддержание позиции. Поэтому ожидаемый доход от акций должен быть положительной величиной. Если предположить, что любая сделка с акциями совершается по цене, обеспечивающей безубыточность каждой из сторон, то ожидаемый доход должен быть равен затратам на поддержание позиции.

Кроме того, по некоторым акциям выплачиваются дивиденды. Дивиденды, выплаченные в период владения, влияют на ожидаемый доход. Купивший эти акции трейдер понесет затраты на поддержание позиции, но получит дивиденды. В случае безубыточности сделки с акциями ожидаемый доход на конец периода владения равен затратам на поддержание позиции минус дивиденды. Если затраты на поддержание позиции в акциях составляют 3,50 долл., и в период владения выплачивается дивиденд в размере 1,00 долл., то для нулевого результата ожидаемый доход на конец периода должен составить 2,50 долл. Трейдер, покупающий акции сегодня, потеряет на конец периода проценты в размере 3,50 долл., но потери будут полностью компенсированы дивидендом в размере 1,00 долл., полученным в течение периода владения[10], и ожидаемым доходом в 2,50 долл., полученным в конце периода.

На рынке, где выполняется условие безарбитражности, т. е. где в среднем нельзя рассчитывать на получение прибыли ни при покупке, ни при продаже контракта, все поступления и расходы, включая ожидаемый доход, должны друг друга уравновешивать. Если исходить из безарбитражности рынка, то следует принять, что форвардная цена, т. е. средняя цена контракта на конец периода владения, равна сумме текущей цены и ожидаемого дохода, который полностью уравновесит все прочие поступления и расходы. Если затраты, связанные с владением акциями с ценой 100 долл., составляют 4 долл., то форвард ная цена будет равна 104 долл. При выплате дивидендов по акциям в размере 1 долл. форвардная цена должна составить 103 долл. И в том, и в другом случае поступления и расходы полностью уравновешивают друг друга.

Здесь безарбитражность и форвардная цена опреляются из вероятностных соображений в средних значениях. Чаще под арбитражем понимают гарантированное получение прибыли за счет рассогласования цен различных инструментов. Так, если в примере выше форвардная цена превышает 103 долл. и есть возможность заключить форвардный контракт на поставку акций по этой цене с исполнением в конце периода владения, то арбитражная прибыль достигается покупкой акций сегодня и одновременным заключением форвардного контракта. – Прим. науч. ред.

При расчете форвардной цены учитываются характеристики контракта, а также рыночные условия. В случае акций это цена акций, продолжительность периода владения, процентные ставки и дивиденды. В случае фьючерсного контракта все намного проще. Поскольку к фьючерсным контрактам применяется фьючерсный метод расчетов, покупка фьючерсного контракта не требует немедленных денежных расходов. Кроме того, по фьючерсным контрактам не выплачиваются дивиденды. Это означает, что форвардная цена фьючерсного контракта на безарбитражном рынке – это просто текущая цена фьючерсного контракта. Если трейдер покупает фьючерсный контракт за 100 долл., то цена безубыточности для этого контракта на конец периода владения – 100 долл.

Возвращаясь к нашей очень простой модели, примем, что рынок базового актива обладает свойством безарбитражности[11], т. е. получить прибыль при покупке или продаже базового контракта в среднем невозможно. Тогда ожидаемый доход должен равняться разнице между текущей ценой базового актива и его форвардной ценой. В случае акций ожидаемый доход равен затратам на поддержание позиции минус дивиденды. В случае фьючерсов ожидаемый доход равен нулю.

Даже если принять условие безарбитражности рынка базового актива и предположить, что у каждого возможного значения цены своя вероятность, все равно останется одна серьезная проблема. Наша упрощенная модель предусматривает только пять возможных значений цены, в то время как в реальной жизни их может быть сколько угодно. Чтобы наша модель точнее отражала реальные условия, нужно построить график, показывающий все возможные значения цены и связанные с ними вероятности. Такая задача может показаться непосильной, но это основа всех моделей, используемых для оценки стоимости опционов.

Подведем итог и перечислим этапы создания модели и определения стоимости опциона:

1) предложить ряд возможных значений цены базового контракта при экспирации;

2) задать вероятность для каждого значения;

3) принять допущение безарбитражности базового рынка;

4) рассчитать на основе цен и вероятностей, заданных на этапах 1–3, ожидаемый доход от опциона;

5) уменьшить ожидаемый доход на величину затрат на поддержание позиции.

Если мы все это проделаем, то получим теоретическую стоимость опциона, исходя из которой можно начинать торговлю.

До 1973 г. оценка опционов была связана с решением сложных математических уравнений. Поскольку на это уходило много времени и сил, выгодные возможности исчезали раньше, чем их удавалось выявить. В 1973 г. одновременно с открытием опционной биржи СВОЕ Фишер Блэк и Майрон Шоулз предложили первый практичный способ определения теоретической стоимости опционов. Модель Блэка – Шоулза с ее сравнительно простым математическим аппаратом и ограниченным количеством показателей на входе, большинство из которых легко найти, и полученная на ее основе формула стали идеальным инструментом для трейдеров, осваивавших американский рынок опционов. Хотя с тех пор появились и другие подходы, которые устранили некоторые недостатки первой модели, формула Блэка – Шоулза остается одним из наиболее распространенных инструментов оценки опционов.

В первоначальном виде модель и формула Блэка – Шоулза предназначались для оценки европейских опционов (досрочное исполнение которых не разрешается) на акции без выплаты дивидендов. Вскоре, понимая, что по большинству акций дивиденды все-таки выплачиваются, Блэк и Шоулз модифицировали свой метод. В 1976 г. Фишер Блэк внес в модель и формулу стоимости опционов незначительные изменения, позволившие использовать их и для оценки опционов на фьючерсные контракты. А в 1983 г. Марк Гарман и Стивен Кольхаген внесли еще несколько изменений, позволивших оценивать и опционы на иностранную валюту[12]. Модификации модели Блэка – Шоулза для фьючерсных контрактов и валюты известны как модель Блэка и модель Гармана – Кольхагена соответственно. Но методики оценки опционов во всех случаях настолько похожи, что используется лишь одно название – модель Блэка – Шоулза. Отличия касаются главным образом порядка расчета форвардной цены базового контракта. Опционный трейдер просто выбирает модификацию, подходящую для своего базового инструмента.

Подавляющее большинство торгуемых в настоящее время опционов американские, т. е. опционы с правом на досрочное исполнение. По этой причине может показаться, что модель Блэка – Шоулза с ее запретом на досрочное исполнение не слишком подходит для использования на большинстве рынков. Однако формула Блэка – Шоулза оказалась настолько удобной, что многие трейдеры не считают нужной дополнительную точность, обеспечиваемую методами оценки американских опционов. На некоторых опционных рынках, в частности на рынках фьючерсных опционов, право досрочного исполнения опциона приводит к такому незначительному увеличению его стоимости, что формула Блэка – Шоулза и методы оценки американских опционов дают практически одинаковые результаты.

С учетом широкого использования модели Блэка – Шоулза мы ограничимся лишь ее рассмотрением. Проблему досрочного исполнения мы обсудим в следующих главах, а альтернативных методов определения стоимости опционов коснемся при обсуждении основных допущений модели Блэка – Шоулза.

Процесс определения стоимости опциона с помощью формулы Блэка– Шоулза складывается из тех же пяти этапов, о которых мы говорили выше, когда рассматривали простой метод оценки опционов. Блэк и Шоулз определяли стоимость коллов, но практически так же выводится формула и для стоимости путов. Возможен и другой способ расчета. Как мы увидим в главе 11, на безарбитражном рынке существует однозначная зависимость между ценой базового контракта и ценами колла и пута с одинаковыми ценами исполнения и датами экспирации. Эта зависимость позволяет нам рассчитать стоимость пута, зная только стоимость соответствующего колла.

Чтобы рассчитать теоретическую стоимость опциона с помощью формулы Блэка – Шоулза, нужно знать как минимум пять характеристик опциона и его базового контракта:

1) цену исполнения;

2) время, оставшееся до экспирации;

3) текущую цену базового контракта;

4) безрисковую процентную ставку в течение срока действия опциона;

5) волатильность базового контракта.

_{Илл. 3.4. Схема определения теоретической стоимости}

Последнее понятие – волатильность – может быть незнакомо начинающему трейдеру. Хотя мы откладываем его обсуждение до следующей главы, из предыдущих рассуждений можно догадаться, что волатильность имеет отношение к темпу изменения цены.

Если у нас есть все исходные данные, то их можно ввести в формулу и получить интересующее нас значение стоимости опциона.

Блэк и Шоулз также использовали в своей модели понятие безрискового хеджа. Для каждой опционной позиции существует такая теоретически эквивалентная позиция в базовом контракте, что при незначительном изменении цены базового контракта стоимость позиции в опционе увеличивается или уменьшается ровно на столько же, что и базовая позиция. Чтобы получить прибыль на теоретически неверно оцененном опционе, необходимо его хеджировать, уравновесив позицию в опционе теоретически эквивалентной базовой позицией. То есть, какую бы позицию в опционе мы ни заняли, нужно занять противоположную рыночную позицию в базовом контракте. Соотношение числа базовых контрактов, необходимых для безрискового хеджа, и опционной позиции известно как коэффициент хеджа.

Для чего нужен безрисковый хедж? Напомним, что в нашем упрощенном методе теоретическая стоимость опциона зависела от вероятностей различных исходов (цен базового контракта). Поскольку базовый контракт меняется в цене, вероятность того или иного значения цены также меняется. Если текущая цена базового контракта – 100 долл., а цене в 120 долл. присвоена 20 %-ная вероятность, то при падении цены до 80 долл. эту вероятность можно понизить до 10 %. Создавая безрисковый хедж, а затем корректируя его по мере изменения рыночных условий, мы учитываем изменение вероятностей.

В этом смысле опцион можно рассматривать как альтернативу аналогичной позиции в базовом контракте. Колл – альтернатива длинной позиции; пут – короткой. Какую позицию лучше занять – в опционе или в базовом контракте, зависит от теоретической стоимости опциона и его цены на рынке. Если колл можно купить (продать) за сумму, меньшую (большую), чем его теоретическая стоимость, то в долгосрочной перспективе более выгодно занять длинную (короткую) рыночную позицию, купив (продав) коллы, а не базовые контракты. Аналогично, если пут можно купить (продать) за сумму, меньшую (большую), чем его теоретическая стоимость, то в долгосрочной перспективе более выгодно занять короткую (длинную) рыночную позицию, купив (продав) путы, а не продать (купить) базовые контракты.

Поскольку точность полученной с помощью формулы теоретической стоимости опциона не превышает точности введенных в нее данных, необходимо сказать несколько слов об этих данных.

Цена исполнения

Точность данных о цене исполнения опциона никогда не вызывает сомнений, поскольку она определяется в контракте и остается неизменной на протяжении всего срока действия опциона[13]. Торгуемый на СМЕ мартовский 58 колл на немецкую марку не может внезапно превратиться в мартовский 59 или 57 колл. Торгуемый на СВОЕ июльский 55 пут на акции IBM не может превратиться в июльский пут с ценой исполнения 50 или 60.

Время до экспирации

Как и цена исполнения, дата экспирации опциона фиксирована. Наш мартовский 58 колл на немецкую марку не может превратиться в апрельский, а июльский пут на акции IBM не может превратиться в июньский. Каждый прошедший день уменьшает время до экспирации, но дата экспирации, как и цена исполнения, фиксируется биржей и не меняется.

Время до экспирации, как и другие исходные данные, вводится в формулу Блэка – Шоулза в годовом исчислении. При наличии «необработанных» данных выполняется соответствующий пересчет. Если до экспирации остается 91 день, то в формулу вводится 0,25 (91/365 = 0,25). Если остается 36 дней, то вводится 0,10 (36/365 = 0,10). Однако большинство компьютерных программ оценки опционов уже предусматривают подобный пересчет, так что можно вводить точное количество дней, оставшихся до экспирации.

Итак, какое количество дней следует использовать в расчете? Количество дней до экспирации нужно, во-первых, для вычисления процентов, а во-вторых, для оценки вероятности изменения цены базового контракта. Когда мы определяем волатильность или темп изменения цены, нас интересует только количество торговых (рабочих) дней. Ведь реально цена базового контракта меняется только в эти дни. Это позволяет отбросить выходные и праздники. При расчете же процентов необходимо учитывать все дни. Когда мы занимаем или ссужаем деньги, то ожидаем, что проценты будут начисляться ежедневно, и в будни, и в выходные.

На самом деле никакой сложности здесь нет. Действительно, цена меняется только по торговым дням, однако в расчете используется значение, приведенное к годовому периоду, что нивелирует небольшие разницы. В резуль тате в формулу можно вводить количество оставшихся до экспирации календарных дней.

Цена базового контракта

В отличие от цены исполнения и даты экспирации цена базового контракта не так однозначна. В каждый момент времени существует две цены: цена спроса и цена предложения. Спрашивается, что следует использовать – одну из этих цен или среднюю величину?

Мы уже отмечали, что правильное использование теоретической стоимости опциона требует хеджирования позиции в опционе с помощью противоположной сделки с базовым контрактом. Поэтому в формулу следует вводить ту цену базового контракта, по которой мы можем совершить хеджирующую сделку. Если мы собираемся купить коллы или продать путы (в обоих случаях возникает длинная рыночная позиция), то для хеджа придется продать базовый контракт. В этом случае используется цену спроса, поскольку именно по ней мы можем продать базовый контракт. Если же мы собираемся продать коллы или купить путы (в обоих случаях возникает короткая рыночная позиция), то для хеджирования придется купить базовый контракт. В этом случае используется цена предложения, поскольку именно по ней мы можем купить базовый контракт.

На практике цены спроса и предложения постоянно меняются, и многие трейдеры просто используют для расчетов цену последней сделки. Однако цена последней сделки не всегда отражает текущую ситуацию на рынке. Даже публикуемые в газетах расчетные цены могут неточно отражать соотношение спроса и предложения к закрытию торгов. Цена последней сделки с тем или иным контрактом может составлять 75 1/4 , а реальные цены спроса и предложения при закрытии – 75 1/4 и 75 1/2 соответственно. В таких условиях заявка трейдера на покупку по 75 1/4 вряд ли будет выполнена из-за более высокой цены предложения. Маловероятна и покупка по промежуточной цене, скажем по 75³/₈, если спрос по цене 75 1/2 намного превышает предложение по 75 1/2 . По этим причинам опытный трейдер не выходит на рынок опционов, не зная точной цены спроса и предложения на рынке базовых контрактов.

Процентные ставки

Поскольку сделка с опционом может привести либо к зачислению денег на счет трейдера, либо к их списанию, при оценке важно учитывать проценты на эти суммы в течение срока действия опциона.

Процентная ставка играет в определении теоретической стоимости опционов двойную роль. Во-первых, она может повлиять на форвардную цену базового контракта. Если к базовому контракту применим акционный метод расчетов, то с увеличением процентной ставки повышается форвардная цена, что увеличивает стоимость коллов и снижает стоимость путов. Во-вторых, процентная ставка может влиять на стоимость поддержания позиции. Если к опциону применим акционный метод расчетов, то с увеличением процентной ставки стоимость опциона снижается. Несмотря на двойную роль процентной ставки, в большинстве случаев в формулу достаточно ввести только одно значение процентной ставки. Однако если применяются разные ставки, например в случае опционов на валюту (одна ставка для иностранной валюты, другая – для национальной валюты), то в формулу следует вводить две процентные ставки. Две процентные ставки фигурируют, в частности, в формуле Гармана – Кольхагена.

Двойная роль также означает, что относительная значимость процентных ставок меняется в зависимости от вида базового инструмента и порядка расчетов. Например, процентные ставки гораздо больше влияют на стоимость опционов на акции, чем опционов на фьючерсы. При повышении процентной ставки форвардная цена акций повышается, а форвардная цена фьючерсного контракта остается неизменной. В то же время при акционном методе расчетов по опционам повышение процентной ставки вызывает снижение стоимости опционов. Однако цена опциона обычно очень невелика по сравнению с ценой базового контракта.

Какую процентную ставку следует использовать трейдеру при оценке стоимости опциона? Большинство трейдеров не могут заимствовать и размещать средства под один и тот же процент, поэтому теоретически процентная ставка определяется результатом сделки, т. е. тем, уменьшается или увеличивается остаток на счету трейдера. В первом случае трейдера должна интересовать ставка заимствования, а во втором – ставка кредитования. Однако на практике чаще всего используют безрисковую, т. е. наиболее надежную процентную ставку. В США самым надежным заемщиком считается государство, поэтому за эталон принимают доходность государственных ценных бумаг со сроком погашения, эквивалентным сроку действия опциона. Для 60-дневного опциона берут доходность 60-дневных казначейских краткосрочных бескупонных облигаций; для 180-дневного – 180-дневных.

Дивиденды

Мы не включили дивиденды в число перечисленных на илл. 3.4 исходных данных, поскольку этот фактор относится только к опционам на акции и имеет смысл только при условии выплаты дивидендов в течение срока действия опциона.

Для точной оценки опциона на акции трейдер должен знать и размер ожидаемых дивидендов, и дату фиксации реестра акционеров (экс-дивидендную дату), т. е. дату, в которую трейдер должен иметь акции, чтобы получить дивиденды. Главное здесь – владеть акциями. Опцион глубоко в деньгах может обладать многими характеристиками акций, но право на получение дивидендов имеет только собственник акций.

В отсутствие иной информации большинство трейдеров исходят из того, что компания будет проводить прежнюю дивидендную политику. Если в прошлом она выплачивала каждый квартал дивиденды в размере 75 центов, то, скорее всего, будет делать это и впредь. Однако полной гарантии нет. Бывает, что компании повышают или снижают дивиденды, а иногда вовсе их не выплачивают. Если есть вероятность изменения дивидендной политики компании, трейдер должен оценить его влияние на стоимость опциона. Кроме того, если экс-дивидендная дата наступает непосредственно перед датой экспирации, то задержка в несколько дней может привести к тому, что опцион истечет до экс-дивидендной даты. С точки зрения оценки опционов это эквивалентно отсутствию выплаты дивидендов по акциям. В такой ситуации трейдер должен заранее выяснить точную экс-дивидендную дату.

Волатильность

Из всех исходных данных, необходимых для оценки опциона, показатель волатильности наиболее сложен для понимания. На практике же он нередко имеет самое большое значение. Изменение допущений в отношении волатильности может оказать серьезное влияние на стоимость опциона; не меньшее влияние имеет и оценка волатильности рынком. Следующая глава целиком посвящена детальному рассмотрению волатильности.

4. Волатильность

Что такое волатильность и почему она так важна для опционного трейдера? Для опционного трейдера, как и для трейдера базовым инструментом, большое значение имеет направление изменения цены. Но в отличие от трейдера базовым инструментом опционный трейдер исключительно чувствителен к темпу изменения цены. Если цена базового контракта меняется недостаточно быстро, то опционы на этот контракт стоят меньше из-за низкой вероятности того, что цена базового контракта достигнет цены исполнения опциона. (Очевидно, здесь речь идет об опционах вне денег, которые будут иметь положительную стоимость на дату экспирации, если только к этой дате цена базового контракта пересечет страйковую цену. – Прим. науч. ред.) В определенном смысле волатильность – это показатель темпа изменения рыночной цены. Рынки, цены на которых меняются медленно, называют низковолатильными, а рынки, цены на которых меняются быстро, – высоковолатильными.

Понятно, что одни рынки более волатильны, чем другие. С 1980 по 1982 г. цена на золото выросла с 300 до 800 долл. за унцию, т. е. поднялась более чем в два раза. Однако мало кто из трейдеров предполагал, что за тот же период индекс S&P 500 тоже может вырасти более чем в два раза. Трейдеры, которые работают на товарном рынке, знают, что драгоценные металлы обычно более волатильны, чем процентные инструменты. Точно так же трейдеры фондового рынка знают, что высокотехнологичные акции, как правило, более волатильны, чем акции энергосбытовых компаний.

Будь нам известно, как поведет себя рынок, станет ли он сравнительно волатильным или сравнительно спокойным, мы могли бы учесть эту информацию в модели и получить формулы определения теоретической стоимости, которые сделали бы оценку опционов более точной, чем в случае простого игнорирования волатильности. Однако поскольку модели строятся на расчетах, нам необходима количественная оценка волатильности.

Случайное блуждание и нормальное распределение

Возьмем для примера игру пинбол (см. илл. 4.1). Шарик катится вниз через частокол штырьков. Наткнувшись на штырек, он отклоняется вправо или влево с 50 %-ной вероятностью. После этого шарик попадает на новый уровень, где натыкается на другой штырек. Наконец, внизу он падает в одну из лунок.

_{Илл. 4.1. Случайное блуждание}

Движение шарика через частокол штырьков называют случайным блужданием. Как только шарик попадает в этот частокол, никто не может повлиять на его траекторию, равно как и предсказать эту траекторию.

Если бросить достаточное количество шариков, то можно получить распределение, представленное на илл. 4.2. Большинство шариков попадает в центр игрового поля; чем дальше лунки расположены от центра, тем меньше шариков в них оказывается. Такое распределение называют нормальным или колоколообразным.

_{Илл. 4.2. Нормальное распределение}

Если бросить бесконечно большое количество шариков, то распределение будет описываться колоколообразной кривой, подобной той, что показана на илл. 4.2. Такая кривая симметрична (правая часть является зеркальным отражением левой), ее пик находится в центре, а хвосты всегда устремлены вниз и в стороны от центра.

Кривые нормального распределения используются для описания результатов случайных событий. Например, кривая на илл. 4.2 может показывать результаты 15-кратного подбрасывания монетки. Каждый результат – это количество решек, выпавших при 15-кратном подбрасывании монетки. Результат 0 означает, что решка не выпала ни разу, а все 15 раз выпал орел. Результат 15 означает, что решка выпала 15 раз, а орел – ни разу. Конечно, было бы странно, если бы мы подбрасывали монетку 15 раз и каждый раз выпадал только решка или только орел. Если центр тяжести в монетке не смещен, то наиболее вероятным является результат 8 решек и 7 орлов или 9 решек и 6 орлов.

Давайте слегка изменим условия игры, поставив вертикальные перегородки таким образом, что теперь, наткнувшись на штырек и отклонившись влево или вправо, шарик опустится до соприкосновения со следующим штырьком не на один, а на два уровня. Если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное кривой на илл. 4.3. Поскольку боковые движения шариков ограниченны, пик этой кривой будет выше, а ее хвосты будут более узкими, чем у кривой на илл. 4.2. Несмотря на изменение формы, это по-прежнему кривая нормального распределения, но с несколько иными характеристиками.

_{Илл. 4.3. Низковолатильное распределение}

Наконец, мы можем поставить горизонтальные перегородки так, что, попадая на следующий уровень, шарик будет каждый раз отклоняться на два штырька влево или вправо. И снова, если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное кривой на илл. 4.4. У этой кривой, которая также отражает нормальное распределение, пик намного ниже, а хвосты убывают намного медленнее, чем у кривых на илл. 4.2 или 4.3.

Пусть боковые движения шарика символизируют повышательные и понижательные изменения цены базового контракта, а движение вниз – течение времени. Если предположить, что цена базового контракта каждый день повышается или понижается на доллар, то распределение значений цены через 15 дней будет представлено кривой на илл. 4.2. Если предположить, что цена повышается или понижается на доллар каждые два дня, то распределение будет представлено кривой на илл. 4.3. А если предположить, что цена за день растет или падает на 2 долл., то распределение будет представлено кривой на илл. 4.4.

Если сегодня базовый контракт стоит 100 долл., а срок его действия истекает через 15 дней, то как определить стоимость 105 колла? Один из способов – допустить, что распределение значений цены во времени носит случайный характер и что возможное распределение цен через 15 дней представляет кривая на илл. 4.2, 4.3 или 4.4. Относительная стоимость 105 колла при трех сценариях показана на илл. 4.5. Если взять распределение, показанное на илл. 4.3, то видно, что вероятность повышения цены базового контракта до 105 долл. крайне мала. Следовательно, стоимость 105 колла невысока. Если взять распределение, показанное на илл. 4.2, то эта вероятность будет выше, а значит, выше и стоимость колла. Наконец, при распределении, показанном на илл. 4.4, вероятность того, что 105 колл окажется на дату экспирации в деньгах, весьма реальна. А это означает, что стоимость такого опциона должна быть намного выше.

_{Илл. 4.4. Высоковолатильное распределение}

Если исходить только из того, что изменения цены базового контракта носят случайный характер, и ничего не говорить о вероятном направлении изменения, то можно утверждать, что кривые на илл. 4.2–4.4 отражают распределения значений цены соответственно на умеренно, низко– и высоковолатильном рынке. На низковолатильном рынке цены колеблются в узком диапазоне, а следовательно, опционные премии невысоки. На высоковолатильном рынке вероятность резкого изменения цен намного больше и премии опционов высоки.

Поскольку представленные на илл. 4.5 распределения значений цены симметричны, может показаться, что рост волатильности не оказывает на стоимость опциона никакого влияния. В конце концов, с ростом волатильности растет не только вероятность значительного повышения цены, но и вероятность ее значительного снижения. Однако здесь важно учитывать различие между позицией в опционе и позицией в базовом контракте. В отличие от убытков по базовому контракту потенциальные убытки по опциону ограниченны. Как бы низко ни упал рынок, стоимость опциона колл может уменьшиться только до нуля. В нашем примере, какой бы ни была цена при экспирации – 80 или 104 долл., стоимость 105 колла окажется нулевой. Однако если купить базовый контракт за 100 долл., то нам будет совсем небезразлично, чему равна конечная цена – 80 или 104 долл. В случае базового контракта важны все результаты, в случае опциона – только те, при которых опцион оказывается в деньгах. На илл. 4.5 нас интересуют только значения цены базового контракта справа от цены исполнения опциона, все остальное – это «нуль».

_{Илл. 4.5. Распределение цены базового контракта при экспирации}

С этим и связано важное различие между оценкой базового контракта и оценкой опциона. Если предположить, что значения цены базового контракта подчиняются нормальному распределению, то стоимость базового контракта определяется местоположением пика кривой, изображающей это распределение, в то время как стоимость опциона зависит от «узости» или «широты» распределения.

Математическое ожидание и стандартное отклонение

Допустим, мы решили ввести представление о нормальном распределении возможных значений цены в модель для определения стоимости опциона. Для этого нужно описать нашу кривую. Поскольку модель математическая, кривую необходимо представить в количественном выражении.

К счастью, кривую нормального распределения можно охарактеризовать с помощью двух параметров – математического ожидания и стандартного отклонения. Если мы знаем, что распределение нормально, и нам известны оба этих параметра, то мы знаем все характеристики данного распределения.

Графически математическое ожидание соответствует точке расположения пика кривой, а стандартное отклонение показывает, насколько быстро или медленно убывают ее хвосты. У кривых, хвосты которых убывают медленно (илл. 4.4), стандартное отклонение больше, чем у кривых, хвосты которых убывают быстро (илл. 4.3).

Математическое ожидание – это не что иное, как средний результат, и потому знакомо многим трейдерам, а вот понятие стандартного отклонения менее известно. На самом деле, чтобы успешно торговать опционами, совершенно не обязательно знать, как рассчитываются эти параметры (для интересующихся детальный расчет представлен в приложении B). Что имеет значение для опционного трейдера, так это интерпретация параметров, особенно с точки зрения возможного изменения цены.

Вернемся к илл. 4.2 и рассмотрим находящиеся внизу игрового поля лунки с номерами от 0 до 15. В нашем варианте они показывают, сколько раз выпала решка при подбрасывании монетки 15 раз. С равным успехом они могут показывать, сколько раз шарик отклонился вправо, наткнувшись на очередной штырек при движении по игровому полю. Первой лунке присваивается нулевое значение, поскольку любой попавший в нее шарик должен был все время отклоняться влево. Последней лунке присваивается значение 15, поскольку попавший в нее шарик должен был все время отклоняться вправо.

Доустим, нам говорят, что математическое ожидание и стандартное отклонение на илл. 4.2 составляют соответственно 7,50 и 3,00. Как это характеризует распределение? (На самом деле эти параметры составляют 7,51 и 2,99, как показано в приложении B, но мы для простоты округлили их до 7,50 и 3,00.) Математическое ожидание показывает средний результат. Если мы сложим все результаты и разделим их на количество попыток, то получим 7,50. Если говорить о лунках, то средний результат окажется где-то посредине между 7-й и 8-й лунками (на самом деле это невозможно; как отмечалось в главе 3, средний результат не обязательно является реально возможным).

Стандартное отклонение характеризует не только степень пологости кривой, но и вероятность того, что шарик окажется в той или иной лунке или группе лунок. В частности, стандартное отклонение говорит о вероятности попадания шарика в лунку на определенном расстоянии от среднего. Например, мы можем узнать вероятность того, что шарик окажется в лунке с номером от 0 до 4 или от 11 до 15. Для получения ответа нужно узнать, на сколько стандарт ных отклонений шарик должен отклониться от среднего, а затем определить вероятность, соответствующую этому числу стандартных отклонений.

Вероятность, соответствующую любому числу стандартных отклонений, определяют по таблицам, которые приводятся в большинстве книг по статистике. Или же ее рассчитывают по соответствующим формулам (см. приложение B). Опционным трейдерам полезно знать, что:

• отклонения на ±1 стандартное отклонение наблюдаются примерно в 68,3 % (около ²/₃) всех случаев;

• отклонения на ±2 стандартных отклонения наблюдаются примерно в 95,4 % (около ¹⁹/₂₀) всех случаев;

• отклонения на ±3 стандартных отклонения наблюдаются примерно в 99,7 % (около ³⁶⁹/₃₇₀) всех случаев.

Обратите внимание, что число стандартных отклонений указывается со знаком «плюс» или «минус». Поскольку нормальные распределения симметричны, вероятность повышательного и понижательного изменения одинакова.

Попробуем теперь ответить на вопрос о вероятности попадания шарика в лунки с номерами от 0 до 4 или от 11 до 15. Поместим перегородку между лунками 7 и 8, чтобы обозначить среднее значение 7 1/2 . Если стандартное отклонение – 3, то какие лунки находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения? Одно стандартное отклонение от среднего – это 7 1/2 ±3, т. е. 4 1/2 и 10 1/2 . Если представить 1/2 как перегородку между лунками, то мы увидим, что лунки с пятой по десятую находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего. Мы знаем, что на одно стандартное отклонение приходится ²/₃ всех случаев, т. е. из каждых трех брошенных шариков два попадут в лунки с пятой по десятую. Остальные попадут в лунки с номерами 0–4 и 11–15. Таким образом, в ответ на исходный вопрос можно сказать, что вероятность попадания шарика в лунки с номерами от 0 до 4 или от 11 до 15 составляет один к трем или около 30 % (точный ответ: 100 % – 68,3 % = 31,7 %). Именно это показано на илл. 4.6.

Возможен и другой метод расчета. Представим себе, что держим пари. Допустим, кто-то считает, что вероятность непопадания шарика в лунку 14 или 15 составляет тридцать к одному. Стоит ли нам с ним спорить? Одна из особенностей стандартных отклонений заключается в том, что их можно просто складывать. В нашем примере, если одно стандартное отклонение – 3, то два стандартных отклонения – 6. Поэтому два стандартных отклонения от математического ожидания – это 7,5 ± 6 = 1,5 или 13,5. На илл. 4.6 видно, что лунки 14 и 15 лежат за пределами двух стандартных отклонений. Поскольку вероятность получения результата в пределах двух стандартных отклонений примерно равна 19 из 20, то вероятность получения результата за пределами двух стандартных отклонений – 1 к 20. Предложенные условия пари могут показаться весьма благо приятными, однако не следует забывать, что за пределами двух стандартных отклонений находятся также лунки 0 и 1. Поскольку нормальное распределение симметрично, вероятность попадания шарика в лунки 14 или 15 должна составлять половину от вероятности 1 к 20, т. е. 1 к 40. Таким образом, ставка 30 к 1 нам не подходит, поскольку риск в данном случае не оправдан.

_{Илл. 4.6. Вероятность, соответствующая 1, 2 и 3 стандартным отклонениям}

Математическое ожидание – 7,50

Стандартное отклонение – 3,00

±1 стандартное отклонение – 68,3 % (²/₃)

±2 стандартных отклонения – 95,4 % (¹⁹/₂₀)

±3 стандартных отклонения – 99,7 % (³⁶⁹/₃₇₀)

В главе 3 мы говорили, что один из логичных подходов к оценке опциона состоит в присвоении вероятностей бесконечному числу возможных значений цены базового контракта. Тогда, если умножить каждое возможное значение цены на соответствующую вероятность, результат можно использовать для расчета теоретической стоимости опциона. Проблема в том, что работать с бесконечным множеством значений цены и вероятностей очень трудно. К счастью, характеристики нормального распределения изучены настолько полно, что существуют формулы, облегчающие расчет и вероятностей, связанных с каждой точкой на кривой нормального распределения, и площади под любой частью кривой. Если исходить из того, что цены базового контракта имеют нормальное распределение, то эти формулы составляют инструментарий, позволяющий определять теоретическую стоимость опционов. Это одна из причин, по которым Блэк и Шоулз сделали в своей модели допущение о нормальном распределении.

Цена базового контракта как математическое ожидание распределения

Теперь, когда мы решили описывать цены через нормальное распределение, как отразить наше решение в модели, используемой для определения теоретической стоимости? Поскольку нормальное распределение характеризуется математическим ожиданием и стандартным отклонением, именно эти параметры следует вводить в модель. (Подразумевается, что речь идет о предполагаемом распределении цены базового контракта на дату экспирации опциона. – Прим. науч. ред.)

Вводя текущую цену базового контракта, мы фактически вводим математическое ожидание нормального распределения этой цены. Принципиальное допущение модели Блэка – Шоулза состоит в том, что в случае бесконечного числа повторений сделка с базовым контрактом становится безубыточной: трейдер ничего не зарабатывает и ничего не теряет. При таком допущении математическим ожиданием нормального распределения, принятого в модели, должна быть цена, при которой сделка с базовым инструментом, будь то покупка или продажа, окажется безубыточной. Что это за цена? Ответ зависит от вида базового инструмента.

Предположим, что трейдер покупает фьючерсный контракт по 100 долл. и сохраняет позицию в течение трех месяцев. Какой должна быть цена на этот фьючерсный контракт на конец трехмесячного периода, чтобы операция оказалась безубыточной? Поскольку фьючерсный контракт не предполагает затрат на поддержание позиции и по фьючерсам не выплачиваются дивиденды, цена безубыточности через три месяца после покупки точно равна первоначальной цене сделки, т. е. 100 долл.

Предположим теперь, что трейдер покупает акции по 100 долл. и держит их три месяца. Какой должна быть цена акций на конец периода владения, чтобы инвестиции оказались безубыточными? Поскольку покупка акций требует немедленных денежных расходов, цена безубыточности будет включать затраты на поддержание позиции в течение трех месяцев. Если годовая процентная ставка 8 %, то затраты на поддержание позиции составят 100 долл. x 8 % x 3/12 = 2 долл. Чтобы сделка оказалась безубыточной, через три месяца акции должны стоить 102 долл. Если в течение периода владения по акциям выплачиваются дивиденды в размере 1 долл., то для безубыточности сделки акции должны стоить 101 долл.

Заметим, что именно так рассчитывалась форвардная цена контракта в главе 3. Именно этот подход используется во всех модификациях формулы Блэка – Шоулза. Когда мы вводим цену базового инструмента, процентные ставки и дивиденды в модификацию формулы Блэка – Шоулза, соответствующую типу базового инструмента, на их основе рассчитывается форвардная цена базового инструмента, а результат становится математическим ожиданием нормального распределения.

Волатильность как стандартное отклонение

Для полного описания кривой нормального распределения помимо математического ожидания нужно знать стандартное отклонение. Оно вводится в модель в виде волатильности. С незначительными вариациями, которые мы вскоре обсудим, значение волатильности базового инструмента определяется как одно стандартное отклонение изменения его цены, выраженное в процентах, на конец однолетнего периода.

Предположим, что в настоящее время базовый фьючерсный контракт стоит 100 долл., а его волатильность – 20 %. Поскольку 20 % – это одно стандартное отклонение изменения цены, мы ожидаем, что через год цена фьючерсного контракта будет находиться в интервале 80–120 долл. (100 долл. ± 20 %) с вероятностью приблизительно 68 %, в интервале 60–140 долл. (100 долл. ± 2 x 20 %) с вероятностью около 95 % и в интервале 40–160 долл. (100 долл. ± 3 x 20 %) с вероятностью 99,7 %.

Если базовый контракт – это акции, которые в настоящее время стоят 100 долл., то 20 %-ная волатильность должна рассчитываться на основе форвардной цены акции через год. Если процентная ставка – 8 %, и по акциям не выплачиваются дивиденды, то форвардная цена через год должна составить 108 долл. Тогда для стандартного отклонения изменения цены получаем 108 долл. x 20 % = 21,60 долл. Поэтому через год цена тех же акций будет лежать в интервале 86,40–129,60 долл. (108 долл. ± 21,60 долл.) с вероятностью приблизительно 68 %, в интервале 64,80–151,20 долл. (108 долл. ± 21,60 долл. x2) с вероятностью 95 % и в интервале 43,20–172,80 долл. (108 долл. ± 21,60 долл. x 3) – с вероятностью 99,7 %.

Допустим, в конце года оказалось, что наш фьючерсный контракт, волатильность которого мы оценивали в 20 %, стоит 35 долл. Означает ли это ошибку в оценке волатильности? Изменение цены более чем на три стандартных отклонения маловероятно, но не нужно путать маловероятное с невозможным. Если 15 раз подбросить идеально сбалансированную монетку, то решка может выпасть 15 раз, хотя вероятность этого и составляет 1 к 32 000. Если волатильность действительно составляла 20 %, то вероятность того, что цена фьючерса через год упадет со 100 до 35 долл., всего 1 к 1500. Однако она не является нулевой, и, возможно, мы столкнулись как раз с тем случаем, когда цена упала до 35 долл. Конечно, мы вполне могли выбрать не ту волатильность. Но этого нельзя узнать без анализа динамики цены фьючерсного контракта за многие годы и без получения репрезентативного распределения значений цены.

Логнормальное распределение

Насколько обосновано наше предположение, что цены базового контракта распределены нормально? Даже если не касаться самой возможности существования какого-либо строгого распределения цен в реальной жизни, то можно утверждать, что у допущения о нормальном распределении есть один серьезный недостаток. Кривая нормального распределения симметрична. Если принимается допущение о нормальном распределении, то мы, предположив возможность повышательного изменения цены базового контракта, обязаны предположить возможность такого же понижательного изменения. Если мы допускаем возможность повышения цены 50-долларового базового инструмента на 75 долл. до 125 долл., то должны допустить и возможность ее падения на 75 долл. до –25 долл. Поскольку цены на традиционные товары и ценные бумаги не могут быть отрицательными, ясно, что допущение о нормальном распределении не вполне корректно. Как устранить этот недостаток?

До сих пор мы определяли волатильность как процентное изменение цены базового контракта. В этом смысле процентная ставка и волатильность схожи, поскольку и то и другое дает представление о доходности. Основное различие между ними заключается в том, что процентный доход положителен, в то время как волатильность отражает как положительные, так и отрицательные доходности. Если вкложить деньги под фиксированную ставку, то сумма всегда увеличивается. Но если вложить их в базовый контракт с волатильностью, отличной от нуля, то цена этого инструмента может как повыситься, так и понизиться. Волатильность, определяемая как стандартное отклонение процентных (или относительных) изменений цены базового контракта, ничего не говорит о направлении изменения цены.

Поскольку волатильность отражает доходность, большое значение имеет порядок расчета доходности. Предположим, что мы инвестировали 1000 долл. на год под 12 % годовых. Сколько мы получим в конце года? Ответ зависит от того, как будут выплачиваться проценты по инвестициям.

Когда проценты выплачиваются чаще, даже если годовая ставка не меняется, общая доходность инвестиций увеличивается. В случае непрерывной выплаты процентов доходность будет максимальной. (Предполагается, что процентные поступления реинвестируются на тех же условиях, в результате чего каждая следующая выплата рассчитывается относительно общей суммы, уже имеющейся к данному моменту, т. е. используется формула сложных процентов. Непрерывное начисление процентов означает, что интервал между выплатами становится все меньше и меньше, в предельном случае – бесконечно малым. При этом рост суммы описывается функцией exp(r*t), где r – процентная ставка, t – время в долях года. – Прим. науч. ред.)

Проделаем те же расчеты для отрицательной процентной ставки, хотя она встречается реже. Предположим, что мы ежегодно теряем 12 % инвестиций в размере 1000 долл. (процентная ставка –12 %). Сколько у нас останется в конце года? Ответ зависит от того, как часто начисляются убытки.

В случае отрицательной процентной ставки убытки, как и отрицательная доходность, меньше, если убытки начисляются чаще, хотя годовая ставка остается неизменной.

Точно так же, как процентные выплаты могут начисляться с разными интервалами и давать различные эффективные доходности, так и волатильность может рассчитываться с разными интервалами. Для целей оценки опциона делается допущение, что цена базового контракта меняется непрерывно (как вверх, так и вниз), а волатильность «накапливается» непрерывно со скоростью, соответствующей годовой волатильности данного базового инструмента. (Точнее, с постоянной скоростью накапливается не стандартное отклонение, а квадрат стандартного отклонения – дисперсия, поэтому сама волатильность увеличивается пропорционально корню квадратному из времени. – Прим. науч. ред.)

Что произойдет, если в каждый момент времени цена базового контракта будет повышаться или понижаться на заданный процент, а распределение этих движений будет нормальным? Если исходить из нормального распределения относительных изменений цены (доходности), то в результате непрерывного накопления этих изменений мы получим к дате экспирации логнормальное распределение цен. Такое распределение смещено из-за того, что движения цены вверх в абсолютном выражении больше движений цены вниз (илл. 4.7). В нашем примере с 12 %-ной ставкой непрерывное начисление положительного процента дает через год прибыль в размере 127,50 долл., в то время как непрерывное начисление отрицательного процента приводит к убытку всего в 113,08 долл. Если бы эти 12 % были волатильностью, то одно стандартное отклонение повышательного изменения цены составило бы на конец года +127,50 долл., а одно стандартное отклонение понижательного изменения цены –113,08 долл. Хотя в среднем относительные колебания цены (доходности), взятые по абсолютной величине, и сохраняются на уровне 12 %, непрерывное 12 %-ное нарастание и снижение приводит к различным повышательным и понижательным изменениям цены.

Модель Блэка – Шоулза – это модель непрерывного времени. Она исходит из того, что волатильность базового контракта в течение всего срока действия опциона постоянна, но эта волатильность рассчитывается по методу непрерывного начисления. Эти два допущения означают, что возможные цены базового контракта распределяются логнормально. Это также объясняет, почему у опционов с более высокой ценой исполнения стоимость больше, чем у опционов с более низкой ценой исполнения, когда обе цены как будто одинаково далеки от цены базового контракта. Предположим, что цена базового контракта составляет ровно 100 долл. Если не нужно учитывать проценты, и мы принимаем нормальное распределение возможных цен, то 110 колл и 90 пут, которые оба вне денег на 10 %, должны иметь одинаковую теоретическую стоимость. Но если мы допускаем в модели Блэка – Шоулза логнормальное распределение, то стоимость 110 колла всегда будет выше стоимости 90 пута. Логнормальное распределение предполагает более значительное в абсолютном выражении повышательное изменение цены. Таким образом, для 110 колла характерна более высокая вероятность роста цены, чем для 90 пута[14].

_{Илл. 4.7. Логнормальное распределение}

Наконец, встроенное в модель Блэка – Шоулза допущение о логнормальном распределении устраняет сформулированную ранее логическую проблему. Если мы допустим возможность неограниченного повышения цены базового контракта, то в случае нормального распределения придется допустить ее неограниченное понижательное изменение. Это приводит к появлению отрицательных цен базового контракта, что исключено для большинства рассматриваемых нами инструментов. Логнормальное распределение допускает возможность неограниченного роста цены (логарифм +? равен +?), но исключает возможность ее падения ниже нуля (логарифм —? равен нулю). Это более точное представление распределения цен в реальной жизни.

Более детально расчет логарифмических изменений цены и вероятности рассматривается в приложении B.

Подведем итог и перечислим важнейшие допущения в отношении изменения цены, встроенные в модель Блэка – Шоулза.

1. Изменение цены базового инструмента носит случайный характер, и на него невозможно воздействовать, как невозможно предсказать заранее направление этого изменения.

2. Процентные или относительные изменения цены базового инструмента имеют нормальное распределение.

3. Поскольку мы принимаем, что процентные изменения цены базового контракта накапливаются непрерывно, цены базового контракта при экспирации распределяются логнормально.

4. Математическое ожидание данного логнормального распределения – это форвардная цена базового контракта.

Первое из допущений может вызвать у некоторых трейдеров возражения. Технические аналитики полагают, что, анализируя прошлую динамику цен, можно предсказать направление их будущего изменения. Можно выделить на графике точки поддержки и сопротивления, двойные максимумы и минимумы, «головы и плечи» и другие фигуры, которые, как считается, позволяют предсказать тенденции изменения цен. Не будем здесь дискутировать по этому поводу. В нашем случае важно то, что модель Блэка – Шоулза исходит из случайного изменения цен и невозможности предсказания направления их изменения. Это не означает, что использование модели Блэка – Шоулза не требует прогнозирования. Однако главная задача такого прогнозирования – предсказать величину изменения цены, а не направление изменения.

Как мы увидим дальше, есть основания сомневаться и в правомерности третьего допущения о логнормальном распределении цен при экспирации. Для одних рынков оно правомерно, а для других нет. Здесь опять-таки важно, чтобы использующий модель трейдер знал, какие допущения принимаются при расчете теоретической стоимости опциона. Тогда он сможет, опираясь на знание конкретного рынка, решить, насколько точны эти допущения, а следовательно, и полученные значения теоретической стоимости.

Дневные и недельные стандартные отклонения

Мы знаем, что волатильность, как годовое стандартное отклонение, характеризует вероятное изменение цены контракта за период в один год. Однако этот период превышает срок существования большинства биржевых опционов. Нам можем потребоваться информация об изменении цены за более короткий период времени, например за месяц, неделю или день.

Важная особенность волатильности – ее пропорциональность квадратному корню из продолжительности периода. Это позволяет получить волатильность для более короткого, чем год, периода путем деления годовой волатильности на квадратный корень из количества этих периодов в году.

Допустим, нас интересует дневное изменение цены. Чтобы точно оценить его вероятностные характеристики с учетом логнормальности распределения, необходимо использовать в расчетах логарифмы и экспоненты, но сравнительно небольшое отличие логнормального распределения от нормального в связи с очень коротким промежутком времени позволяет оценить дневные колебания цены приблизительно. Прежде всего определим количество периодов в году. Если нам нужны цены на конец каждого дня, то сколько раз в году они могут измениться? Ограничимся биржевыми опционами. Хотя в году 365 дней, по выходным и праздникам цены на эти опционы меняться не могут. В результате остается примерно 256 торговых дней в году[15]. Поскольку квадратный корень из 256 равен 16, чтобы рассчитать дневную волатильность, разделим годовую волатильность на 16.

Возвращаясь к нашим фьючерсным контрактам, торгуемым по 100 долл. с волатильностью 20 %, определим величину стандартного отклонения процент ных изменений цены за день: 20/16 = 1 1/4  %. Таким образом, без учета эффекта логнормальности для стандартного отклонения дневного изменения цены приблизительно получаем 1 1/4  % x 100 = 1,25 долл. Мы ожидаем, что два торговых дня из трех цена будет меняться не более чем на 1,25 долл., а 19 торговых дней из 20 – не более чем на 2,50 долл. Только в один день из двадцати она изменится более чем на 2,50 долл.

Таким же образом определяется недельное стандартное отклонение. Только теперь нужно дать ответ на вопрос, сколько раз в году могут измениться цены, если фиксировать их раз в неделю. Поскольку выходных недель, в отличие от дней, у нас нет, в расчетах следует исходить из того, что в году 52 торговые недели. Разделив годовую 20 %-ную волатильность на квадратный корень из 52, или примерно на 7,2, получим 20 % / 7,2 ? 2 3/4 . Следовательно, можно ожидать, что две недели из трех цена нашего фьючерсного контракта, первоначально составлявшая 100 долл., будет меняться не более чем на 2,75 долл., 19 недель из 20 – не более чем на 5,50 долл. и только одну неделю из двадцати – более чем на 5,50 долл.

Поскольку для достижения безубыточности цена акций должна вырасти на сумму затрат на поддержание позиции, может показаться, что рассмотренный метод (деление на 16 в случае дневной волатильности или на 7,2 в случае недельной волатильности) не подходит для примерной оценки ожидаемого изменения цены базовых акций. Однако на коротком отрезке времени влияние затрат на поддержание позиции, как и отличие логнормального распределения от нормального, не так велико, а значит, метод позволяет достаточно точно оценивать дневные и недельные колебания цены. Предположим, что цена акций составляет 45 долл., а годовая волатильность – 28 %. Чему примерно равно одно стандартное отклонение колебаний цены за день или за неделю?

Дневное стандартное отклонение составит:

45 долл. x 28 % / 16 = 45 долл. x 1,75 % = 0,79 долл.

Недельное стандартное отклонение составит:

45 долл. x 28 % / 7,2 = 45 долл. x 3,89 % = 1,75 долл.

Следует ожидать, что два дня из трех цена будет меняться не более чем на 3/4 пункта, 19 дней из 20 – не более чем на 1 1/2 , и только раз в 20 дней она изменится более чем на 1 1/2 пункта. Если говорить о недельных показателях, то две недели из трех цена будет меняться не более чем на 1 3/4 пункта, 19 недель из 20 – не более чем на 3 1/2 пункта и только в одну неделю из 20 она изменится более чем на 3 1/2 пункта.

Говоря о волатильности, мы пользовались выражением «изменение цены». Но о какой цене шла речь? О максимальной/минимальной цене за какой-либо период, о цене открытия/закрытия или о какой-то другой цене? Хотя существует целый ряд методов оценки волатильности[16], обычно оперируют изменениями расчетной цены. При таком подходе одно стандартное отклонение дневного изменения цены в 3/4 пункта означает, что расчетная цена одного дня отличается от расчетной цены следующего дня на 3/4 пункта. Изменение максимальной/минимальной цены или цены открытия/закрытия может быть как больше, так и меньше, но нас интересует изменение именно расчетной цены.

Волатильность и наблюдаемые изменения цены

Почему для трейдера так важно умение рассчитывать дневные или недельные изменения цены на основе годовой волатильности? Волатильность – такой входной параметр формул теоретической стоимости опциона, который невозможно наблюдать непосредственно. Однако без ее точной оценки немыслимо успешное применение многих опционных стратегий. Именно поэтому опционному трейдеру необходимо знать, насколько правильны его ожидания в отношении волатильности рынка. Если об успехе или провале стратегий, требующих прогнозирования направления изменения цены, немедленно сигнализируют объявленные цены, то волатильность нигде не публикуется. Трейдеру приходится самостоятельно определять, правильно ли он выбрал показатель волатильности для своей модели.

Предположим, что цена базового контракта составляет 40 долл., а трейдер в расчетах теоретической стоимости принял, что волатильность равна 30 %. Одно стандартное отклонение дневного изменения цены в этом случае примерно составляет 40 долл. x 30 %/16 = 0,75. За пять дней торгов наблюдались следующие изменения цены:

+0,43, –0,6, –0,61, +0,50, –0,28.

Соответствуют ли эти пять изменений цены 30 %-ному уровню волатильности?

Трейдер полагал, что цена будет меняться более чем на 0,75 долл. (одно стандартное отклонение) примерно раз в три дня или 1–2 раза за пятидневный период. Однако за пять дней подобного изменения цены не произошло ни разу. Какой из этого следует вывод[17]? Ясно одно: перечисленные изменения цены не соответствуют 30 %-ной волатильности. Это может быть связано с двумя причинами. С одной стороны, выбранная неделя могла оказаться необычно спокойной (возможно, на нее пришлись праздники), а на следующей неделе жизнь войдет в обычную колею, и изменения цены будут более соответствовать 30 %-ной волатильности. Если так, то трейдеру следует и в дальнейшем использовать этот показатель в расчетах. С другой стороны, трейдер мог ошибочно взять не ту волатильность. В этом случае ему следует выбрать новый показатель, более соответствующий наблюдаемым изменениям цены. Если и далее использовать 30 %-ную волатильность в условиях более низкого изменения цен, возможным значениям цены базового контракта будут присвоены не те вероятности. Результат – неправильная теоретическая стоимость и потеря смысла применения теории.

Так какая же волатильность соответствует пяти изменениям цены в приведенном выше примере? Без расчета сказать довольно трудно (на самом деле ответ – 18,8 %). Однако если у трейдера есть представление о возможных изменениях цены, он вполне может увидеть, что изменения за пятидневный период не соответствуют 30 %-ной волатильности.

Возьмем другой пример. Теперь цена базового контракта – 333 1/2 долл., а трейдер наблюдает следующие пять дневных изменений цены:

– 5, +2 1/2 , +1, –7 3/4 , –4 1/4 .

Соответствуют ли эти изменения цены 18 %-ной волатильности? При 18 % одно стандартное отклонение изменения цены составляет примерно 3 3/4 (333 3/4 долл. x 18 % / 16). За пять дней цена должна была один-два раза измениться более чем на 3 3/4 долл. Но здесь три дня из пяти цена менялась более чем на 3 3/4 долл., а однажды даже на 7 3/4 долл. (т. е. более чем на два стандартных отклонения), чего следовало ожидать не чаще раза в 20 дней. И снова, если трейдер не считает эту неделю необычной, он должен скорректировать показатель волатильности и привести его в соответствие с наблюдающимися изменениями цены.

Кое-что о процентных фьючерсах и опционах

Допустим, цена фьючерсного контракта на ставку 3-месячных евродолларовых депозитов (ставку LIBOR) – 93,00, а волатильность равна 16 %. Описанный выше метод позволяет приблизительно определить одно стандартное отклонение дневного изменения цены фьючерса: 93,00 x 16 %/16 = 0,93. Однако любой трейдер, знакомый с данным рынком, скажет, что дневное изменение цены на 0,93 крайне маловероятно. Чем объясняется этот будто бы неверный результат? Можно предположить, что мы взяли слишком высокую волатильность. Однако на самом деле 16 %-ная волатильность для 3-месячной ставки LIBOR вовсе не редкость, поэтому следует искать какое-то другое объяснение.

Цены контрактов на евродоллар, как и многих других контрактов на процентную ставку (евромарки, евроиены, ставки краткосрочных стерлинговых депозитов, а также на американские казначейские краткосрочные бескупонные облигации) принято указывать как 100 минус процентная ставка. Это означает, что ставка, соответствующая цене фьючерсного контракта, равна 100 минус стоимость контракта. Также это означает, что, исключая маловероятный сценарий отрицательных процентных ставок, стоимость контракта не может превысить 100. В связи с этим 100 – это максимальная стоимость евродолларового контракта, точно так же, как нуль – минимальная стоимость традиционных базовых активов, таких как акции и товары. Мы можем учесть эту особенность в расчетах, сделав допущение, что стоимость евродолларового фьючерсного контракта на самом деле равна 100 минус его цена. При биржевой цене 93,00 для определения теоретической стоимости мы должны использовать в своей модели значение 100 – 93,00, т. е. 7,00. Если мы считаем, что стоимость контракта 7,00, то одно стандартное отклонение изменения цены – 7,00 x 16 %/16 = 0,07. Это, конечно, более реалистичный результат, чем 0,93.

Будем последовательными, и раз уж мы стали отсчитывать цены фьючерсных контрактов на евродоллар от 100, то пересчитаем и цены исполнения опционов. Поэтому цена исполнения, равная 93,50, в нашей модели на самом деле составляет 6,50 (100 – 93,50 = 6,50). Также нам необходимо изменить на противоположный тип опциона, т. е. колл поменять на пут, а пут – на колл. Для пояснения рассмотрим колл с ценой исполнения 93,50. Чтобы этот колл оказался в деньгах, базовый контракт должен вырасти в цене до 93,50. Но для этого процентные ставки должны упасть ниже 6,50 %. Поэтому колл с ценой исполнения 93,50, как он определен биржей, – это то же, что пут с ценой исполнения 6,50, если под 6,50 понимается собственно процентная ставка (6,50 %). Программы расчета стоимости для опционов на евродоллар или другие виды контрактов на отсчитываемую от 100 процентную ставку выполняют это преобразование автоматически. Цена базового контракта и цена исполнения вычитаются из 100, котируемые коллы рассматриваются как путы, а путы – как коллы.

Заметим, что для большинства облигаций подобные преобразования не требуются. В зависимости от купонной ставки цены этих инструментов могут свободно колебаться без каких-либо ограничений сверху и нередко превышают 100. Поэтому чаще всего их оценивают с помощью традиционных методов, хотя у процентных инструментов существуют другие особенности, требующие использования специальных подходов.

Для такого инструмента, как облигация, можно рассчитать текущую доходность на основе рыночной цены. Если взять несколько значений цены и рассчитать по ним несколько показателей доходности, то можно определить и волатильность доходности. Этот показатель можно использовать для оценки теоретической стоимости опциона на облигацию, хотя, чтобы быть последовательными, нам придется представить как доходность и цену исполнения опциона. Поскольку волатильность процентного инструмента можно рассчитать двумя методами, трейдеры процентными инструментами иногда вместо волатильности цены используют волатильность доходности.

Виды волатильности

Обсуждая друг с другом волатильность, даже опытные трейдеры могут говорить о разных вещах. Утверждение, что волатильность XYZ составляет 25 %, может иметь разный смысл. Во избежание путаницы для начала выясним, какая бывает волатильность.

Именно будущую волатильность хотел бы знать каждый трейдер. Она лучше всего характеризует будущее распределение цен базового контракта. Как раз ее мы имеем в виду, когда говорим о волатильности в формуле оценки опциона. Будущая волатильность показывает трейдеру, какие у него шансы. Если он введет ее в формулу оценки опциона, то получит точную теоретиче скую стоимость, поскольку значения вероятности будут правильными. Как и казино, трейдер может иногда проигрывать из-за краткосрочного невезения. Но в долгосрочной перспективе шансы на его стороне, и он почти наверняка сумеет заработать.

Конечно, трейдеры редко говорят о будущей волатильности, поскольку угадать, что ожидает нас в будущем, невозможно.

Хотя будущее предсказать невозможно, если трейдер хочет использовать формулу оценки опциона, он должен попытаться угадать будущую волатильность. В оценке опционов, как и в других дисциплинах, хорошим отправным пунктом может стать анализ исторических данных. Какой была волатильность данного контракта в том или ином периоде в прошлом? Если за последние 10 лет волатильность контракта не опускалась ниже 10 % и не превышала 30 %, то вряд ли стоит ожидать, что в будущем она составит 5 или 40 %. Это не означает, что крайние значения невозможны (в опционной торговле, похоже, невозможное рано или поздно случается), но с учетом прошлой динамики и в отсутствие экстраординарных событий прогноз 10–30 % будет реалистичнее любого другого. Конечно, 10–30 % – это большой диапазон, но он, по крайней мере, дает точку отсчета. Получив дополнительную информацию, мы сможем его сузить.

Заметим, что существует множество способов расчета исторической волатильности, но большинство из них предполагает выбор двух параметров: прошлого периода и временного интервала между последовательными изменениями цены. Прошлым периодом могут быть десять дней, шесть месяцев, пять лет или любой другой отрезок времени по усмотрению трейдера. Более длительные периоды позволяют определить среднюю или характерную волатильность, а более короткие – обнаружить необычные колебания волатильности. Чтобы полнее изучить историческую волатильность контракта, трейдер может взять не один, а несколько прошлых периодов.

Затем необходимо решить, какие интервалы между изменениями цены использовать. Что лучше взять – дневные, недельные, месячные изменения цены или изменения, происходящие с каким-то необычным интервалом, скажем два дня или полторы недели? Как ни странно, но выбранный интервал не особенно влияет на результат. Контракт, цена которого сильно колеблется в течение дня, а за неделю практически не меняется, – исключение. Если контракт волатилен в течение дня, он волатилен и в течение недели, и в течение месяца. Об этом свидетельствуют графики на илл. 4.8. Они представляют волатильность индекса S&P 500 за последовательные 50-дневные периоды. Сплошная линия отражает динамику волатильности дневных изменений цены, точечная – изменений, происходивших каждые два дня, пунктирная – происходивших каждые пять дней. Хотя эти графики местами расходятся, по большей части они показывают одни и те же уровни и тенденции изменения волатильности.

Как правило, информационно-аналитические службы, которые предоставляют информацию об исторической волатильности, используют дневные изменения расчетной цены. В противном случае они сопровождают информацию пояснениями. Если, например, волатильность контракта в августе оценивают в 21,6 %, то можно считать, что были учтены дневные изменения расчетной цены за все рабочие дни этого месяца.

Историческую и будущую волатильность иногда называют реализованной волатильностью.

_{Илл. 4.8. Историческая 50-дневная волатильность индекса S&P 500}

По аналогии со службами, занимающимися прогнозированием направления изменения цены контракта, существуют и службы, пытающиеся прогнозировать будущую волатильность контракта. Прогнозы составляются на любой период, но чаще всего на периоды, соответствующие оставшемуся сроку дей ствия опционов на базовый контракт. Для базового контракта, до экспирации которого осталось три месяца, такая служба может предсказать волатильность на следующие 3, 6 и 9 месяцев. Для базового контракта, срок действия которого истекает каждый месяц, эта служба может предсказать волатильность на следующие 1, 2 и 3 месяца. Из-за того, что опционы появились сравнительно недавно, прогнозирование волатильности находится еще в зачаточном состоянии и в лучшем случае может считаться неточной наукой. Тем не менее при оценке будущей волатильности контракта трейдер может опираться на любой прогноз волатильности, который ему только удастся найти.

Вообще говоря, любая волатильность, будущая, историческая или прогнозируемая, – это волатильность базового контракта. Когда мы говорим о будущей волатильности индекса S&P 500, исторической волатильности американских краткосрочных бескупонных казначейских облигаций или прогнозируемой волатильности акций IBM, речь идет о волатильности базового контракта. Однако существует и другая волатильность, ассоциируемая не с базовым контрактом, а с опционами на него.

Предположим, что цена фьючерсного контракта – 98,50, а процентная ставка – 8 %. Предположим также, что на этот контракт имеется колл с ценой исполнения 105, срок действия которого истекает через три месяца, и, по нашему мнению, в следующие три месяца волатильность составит 16 %. Чтобы узнать теоретическую стоимость 105 колла, нужно ввести эти данные в формулу. С помощью формулы Блэка – Шоулза мы получим, что теоретическая стоимость этого опциона – 0,96. Теперь можно сравнить теоретическую стоимость опциона с его рыночной ценой. К нашему удивлению, цена опциона равна 1,34. Чем объяснить, что опцион, оцененный нами в 0,96, стоит на рынке 1,34?

Если исходить из того, что все участники рынка пользуются той же формулой Блэка – Шоулза, то расхождение между нашей стоимостью и оценкой рынка должно объясняться разницей во мнениях относительно одного или нескольких использованных в формуле показателей. Можно пройтись по списку этих показателей и попытаться найти сомнительные.

Сразу исключим время до даты экспирации и цену исполнения, поскольку эти показатели зафиксированы в опционном контракте. А что можно сказать о цене базового актива в 98,50? Возможно, она только в нашем представлении составляет 98,50, а на самом деле базовый актив продается по более высокой цене, скажем по 99,00. В таких обстоятельствах полезно еще раз проверить исходные данные. Но предположим, что цена базового контракта все же 98,50. Даже если цена предложения отличается от цены спроса, в условиях ликвидного рынка широкий спред слишком маловероятен, чтобы объяснить расхождение в 0,38 между нашей и рыночной оценкой стоимости опциона. Может быть, все дело в 8 %-ной ставке? Но, как мы отмечали в предыдущей главе, процентная ставка обычно наименее важный из всех вводимых в формулу показателей. А в случае фьючерсных опционов этот показатель вообще несущественен. В результате остается только один возможный показатель – волатильность. Должно быть, рынок использует для оценки 105 колла значение волатильности, отличное от 16 %.

Какую именно волатильность он использует? Чтобы это выяснить, зададим следующий вопрос: в случае постоянства всех прочих показателей (время до даты экспирации, цена исполнения, цена базового контракта, процентная ставка), какое значение волатильности нужно ввести в формулу, чтобы получить теоретическую стоимость, равную рыночной цене опциона? В нашем примере нужно узнать, при какой волатильности стоимость 105 колла составит 1,34. Ясно, что она должна быть выше 16 %, поэтому сядем за компьютер с соответствующим программным обеспечением и поэкспериментируем с более высокими значениями волатильности. Нетрудно обнаружить, что тео ретическая стоимость 105 колла составляет 1,34 при волатильности 18,5 %. Такую волатильность называют рыночной волатильностью (implied volatility). Это волатильность, которую необходимо ввести в модель, чтобы получить теоретическую стоимость, равную рыночной цене опциона. Ее можно также представить как волатильность базового контракта, «подразумеваемую» ценами опциона на рынке.

При определении рыночной волатильности опциона мы делаем допущение, что теоретическая стоимость (цена опциона) известна, но неизвестна волатильность. По сути, мы заставляем формулу работать в обратном порядке, чтобы найти неизвестную (см. илл. 4.9). Это легче сказать, чем сделать, поскольку большинство формул стоимости опционов не позволяет получить решение обратной задачи в явном виде. Однако существует ряд компьютерных программ, которые рассчитывают рыночную волатильность при наличии всех остальных показателей.

_{Илл. 4.9. Порядок определения теоретической стоимости и рыночной волатильности}

Заметим, что рыночная волатильность зависит от используемой формулы стоимости опциона. Для некоторых опционов разные формулы дают существенно различающиеся рыночные волатильности. Точность этого показателя также зависит от точности исходных данных, в число которых входит не только цена опциона. В частности, могут возникнуть проблемы, если какое-то время сделки с данным опционом не заключались, а рыночные условия серьезно изменились. Предположим, что в нашем примере цена 1,34 – это цена последней сделки, заключенной 2 часа назад, когда базовый фьючерсный контракт стоил 99,25. Если цена базового контракта 99,25, то рыночная волатильность опциона с ценой 1,34–17,3 %. Как видим, разница довольно велика, что подчеркивает значение точных и свежих данных при расчете рыночной волатильности.

Службы, занимающиеся теоретическим анализом опционов, обычно предоставляют информацию и о рыночной волатильности. Это может быть индивидуальный показатель для каждого опциона на некоторый базовый контракт или единый показатель для всех опционов на один и тот же базовый контракт. В последнем случае показатель представляет собой среднюю из всех индивидуальных значений волатильности. С этой целью отдельные значения рыночной волатильности взвешиваются по какому-нибудь критерию, например по объему сделки, количеству открытых позиций. Чаще всего наибольший вес присваивается опционам на деньгах.

Рыночная волатильность постоянно меняется, поскольку постоянно меняются цены опционов, а также другие рыночные условия. Рынок словно непрерывно опрашивает всех участников и формирует согласованное мнение относительно волатильности базового контракта. Это не опрос в традиционном смысле, поскольку трейдеры не собираются вместе и не решают вопрос голосованием, однако они делают предложения о покупке и продаже, и цена опциона отражает равновесие спроса и предложения. Это равновесие можно перевести на язык рыночной волатильности.

Хотя премией обычно называют цену опциона, нередко трейдеры называют рыночную волатильность премией или уровнем премии. Если текущая рыночная волатильность высока по историческим меркам или по сравнению с недавней волатильностью базового контракта, то трейдер может сказать, что уровни премии высоки; если рыночная волатильность необычно низка, то он может сказать, что уровни премии невысоки.

Имей трейдер надежную формулу цены опциона и возможность видеть через магический кристалл будущую волатильность базового контракта, то он смог бы точно оценивать опционы на этот контракт. Он мог бы оценить разницу между теоретической стоимостью каждого опциона и его рыночной ценой, продать опционы, оцененные выше теоретической стоимости, и купить недооцененные опционы. Если бы ему пришлось выбирать, какой из двух пере оцененных опционов продать, то он просто продал бы тот, что переоценен больше. Однако трейдер, имеющий информацию о рыночной волатильности, получает другой ориентир для сравнения. Он может сравнивать рыночную волатильность опциона либо с прогнозируемой волатильностью, либо с рыночной волатильностью других опционов на тот же базовый контракт. Возвращаясь к нашему примеру со 105 коллом, можно сказать, что при теоретической стоимости 0,96 и цене 1,34 этот колл переоценен на 0,38. Но с точки зрения волатильности он переоценен на 2,5 %, поскольку теоретическая стоимость рассчитана на основе 16 %-ной волатильности (принятой трейдером), а цена – на основе 18,5 %-ной (рыночной) волатильности. Из-за необычных характеристик опционов серьезному трейдеру полезнее анализировать цену опциона с точки зрения рыночной волатильности, а не абсолютного значения в долларах.

Предположим, что 98 колл на казначейские облигации продается по 3-32 (3500 долл.), а соответствующая рыночная волатильность – 10,5 %. Предположим также, что 102 колл с той же датой экспирации продается за 1-16 (1250 долл.), его рыночная волатильность – 11,5 %. В долларовом выражении 102 колл дешевле 98 колла на 2250 долл. Однако опытный трейдер может прийти к выводу, что 98 колл на самом деле дешевле 102 колла, поскольку его рыночная волатильность на целый процентный пункт меньше. Означает ли это, что следует купить 98 колл и продать 102 колл? Совсем не обязательно. Если будущая волатильность казначейских облигаций окажется равной 8 %, то оба опциона переоценены, а если 14 %, то недооценены. Кроме того, чувствительность этих опционов к изменению рыночных условий может быть разной, и поэтому покупка нескольких 102 коллов может быть более желательной, чем покупка одного 98 колла. Если мы проигнорируем эти соображения, то 98 колл будет выглядеть лучше относительно 102 колла, поскольку его рыночная волатильность ниже.

Хотя опционные трейдеры и пользуются всеми четырьмя показателями волатильности, самые важные из них – будущая и рыночная. Будущая волатильность базового контракта определяет стоимость опционов на этот контракт. Рыночная волатильность отражает цену каждого опциона. Стоимость и цена – два показателя, которые интересуют всех трейдеров, а не только опционных. Если у контракта высокая стоимость и низкая цена, то трейдер предпочитает быть покупателем, если у контракта низкая стоимость и высокая цена, то трейдер предпочитает быть продавцом. Опционный трейдер обычно сравнивает будущую волатильность с рыночной. Если по сравнению с будущей волатильностью рыночная волатильность невысока, он покупает опцион, а если высока – продает. Однако будущая волатильность неизвестна, поэтому, чтобы оценить ее, мы интересуемся исторической и прогнозируемой волатильностью. Но в конечном счете стоимость опциона определяет именно будущая волатильность.

Чтобы начинающему трейдеру было легче разобраться в видах волатильности, рассмотрим следующую аналогию с прогнозом погоды. Предположим, что одним июльским утром проживающий в Чикаго трейдер просыпается и размышляет, в чем идти на работу. Может ли он выбрать теплую куртку? Вряд ли, поскольку исторически известно, что июль в Чикаго не бывает настолько холодным, чтобы потребовалась зимняя одежда. Затем трейдер включает радио или телевизор и узнает прогноз погоды. Обещают ясную и жаркую погоду – около 32 °С. Исходя из этого, наш трейдер принимает решение: он пойдет в рубашке с короткими рукавами, без свитера или пиджака, а зонтик брать ни к чему. Однако на всякий случай он выглядывает в окно, чтобы узнать, как одеты люди. К его удивлению, все идут в пальто и с зонтиками. Одежда тех, кто уже вышел на улицу, подразумевает совершенно иную погоду. Так что теперь должен выбрать трейдер? Ему нужно принять какое-то решение, но чему верить – прогнозу погоды или людям на улице? Ответа на этот вопрос нет, потому что будущая погода будет известна только в конце дня.

Многое зависит от знания трейдером местных условий. Возможно, он живет в районе, удаленном от метеоцентра. Тогда следует учитывать прежде всего местный микроклимат. В то же время телеведущий мог просто пошутить, и люди на улице стали жертвой его розыгрыша.

Решение, что надеть, как и любое экономическое решение, зависит от множества факторов. Принимая его, нужно учитывать не только всю имеющуюся информацию, но и возможность ошибки. Какие преимущества мы получим, если примем правильное решение? К каким последствиям приведет наша ошибка? Если трейдер не возьмет с собой зонтик и пойдет дождь, но автобус подойдет вовремя и доставит его прямо до работы, то последствия ошибки будут незначительными. Если же ему придется идти под дождем несколько кварталов, то он может простудиться и выйти из строя на целую неделю. Сделать выбор всегда нелегко, можно только надеяться, что в долгосрочной перспективе наше решение не выйдет боком.

Существует еще один вид волатильности, которую приходится учитывать трейдерам, работающим на товарных рынках. Цены на некоторые сельскохозяйственные товары, такие как кукуруза, соевые бобы и пшеница, сильно зависят от сезонных, т. е. погодных, факторов. Особое значение эти факторы приобретают в летние месяцы, когда засуха может уничтожить значительную часть урожая и вызвать резкие колебания цен. По этой причине в июне, июле и августе волатильность цен на зерно очень высока. А ранней весной, до начала посевной в США и после сбора урожая в Южной Америке, она, наоборот, заметно падает. Учитывая это, необходимо автоматически присваивать более высокую волатильность опционному контракту, который действует в летние месяцы. Если в феврале трейдер решил, что волатильность майского контракта на соевые бобы составит 18 %, то ноябрьскому контракту он должен присвоить более высокую волатильность, например 22 %. Это связано с тем, что ноябрьский контракт будет действовать в течение летних месяцев, а майский контракт нет. Зависимость волатильности соевых бобов от времени года показана на илл. 4.10.

_{Илл. 4.10. Месячная волатильность соевых бобов (1980–1992 гг.)}

^{Данные предоставлены CBOT.}

Начинающий опционный трейдер может усомниться в важности волатильности. Возможно, он предпочитает стратегии, требующие прогнозирования направления изменения цены, а вовсе не волатильности. Такие стратегии вполне применимы и на рынке опционов. Но тот, кто хорошо понимает суть волатильности, получает в свое распоряжение дополнительную переменную. По сути, он может подходить к решению проблем не с одной стороны, а с двух. Многие трейдеры находят, что работать только с волатильностью легче, чем пытаться угадать направление изменения цены. Помимо прочего, стратегии, требующие прогнозирования волатильности, могут быть исключительно эффективными, а при условии правильного выбора могут даже снижать риск трейдера. Две переменные – направление изменения цены и волатильность – позволяют опционному трейдеру использовать множество стратегий, недоступных для чистого трейдера акциями или фьючерсами.

Изменение прогноза будущей волатильности может сильно влиять на стоимость опционов. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на цены, теоретическую стоимость и рыночную волатильность 10-недельных опционов на золото, представленные на илл. 4.11 (точнее, речь идет об опционах на фьючерсы на золото). Обратите внимание на изменение теоретической стоимости с ростом волатильности с 11 до 14 и 17 %. Рост волатильности на 3 процентных пункта вызывает изменение стоимости 360 колла и пута, находящихся на деньгах, примерно на 1,85 (185 долл.). В абсолютном выражении стоимость опционов вне денег меняется не так заметно, но в процентном выражении – больше. С повышением волатильности с 11 до 14 % стоимость 390 колла и 330 пута более чем удваивается и снова удваивается с повышением волатильности с 14 до 17 %. Изменение волатильности на 3 процентных пункта за 10 недель совсем не редкость. На самом деле волатильность золота за сравнительно короткий период времени может измениться на 6–7 процентных пунктов. Об этом свидетельствует историческая волатильность, показанная на илл. 4.12.

_{Илл. 4.11. Характеристики 10-недельных опционов на золото}

_{Илл. 4.12. 10-недельная волатильность золота}

Учитывая значимость волатильности, неудивительно, что серьезный опционный трейдер тратит немало времени на ее оценку. Его задача – на основе известной исторической, прогнозируемой, рыночной и, в случае сельскохозяйственных товаров, сезонной волатильности принять обоснованное решение относительно будущей волатильности. После этого он сможет подобрать такие стратегии опционной торговли, которые принесут прибыль, если оценка правильна, но не приведут к катастрофическим убыткам в случае ошибки. Поскольку предсказать волатильность довольно трудно, трейдер должен выбирать такие стратегии, которые допускают максимальную погрешность в ее оценке. Никому не удержаться на рынке, если его стратегия будет приводить к убыткам при отклонении ожидаемой волатильности от фактической на 1 %. Ввиду постоянных колебаний волатильности запас в 1 процентный пункт не может считаться достаточным.

На этом обсуждение волатильности не заканчивается. Но прежде чем продолжить, рассмотрим характеристики опционов, стратегии торговли, а также факторы риска. Тогда мы будем лучше подготовлены к более глубокому анализу волатильности.

5. Использование теоретической стоимости опциона

С точки зрения теоретика, формула Блэка – Шоулза представляет новаторский подход к решению сложной проблемы. Благодаря небольшому числу входных параметров и относительной простоте расчетов именно ее чаще всего используют при оценке опционов.

Хотя трейдеру, наверное, небезразлична элегантность решений, главное для него все же – отдача от теории на рынке. Можно ли действительно получить прибыль на разнице между теоретической стоимостью опциона и его рыночной ценой?

Чтобы понять, как использовать теоретическую стоимость опциона, сделаем два допущения:

1) распределение цен базового контракта является логнормальным;

2) будущая волатильность базового контракта нам известна.

Ясно, что второе допущение не слишком реалистично, поскольку будущее знать невозможно. Как мы увидим позже, далеко не бесспорно и первое допущение. Но пока что нас интересуют не допущения модели, а то, как пользуются трейдеры полученными на ее основе выводами. Если при этих допущениях формула Блэка – Шоулза действительно работает, то мы сумеем превратить в прибыль всю разницу между ценой опциона и его теоретической стоимостью. Как это сделать?

Предположим, что имеется несколько опционов на некий фьючерсный контракт при следующих условиях:

• цена июньского фьючерсного контракта – 101,35;

• процентная ставка – 8,00 %;

• время до июньской экспирации – 10 недель.

Предположим также, что к этим опционам в соответствии с принятой в настоящее время в США практикой применяется акционный метод расчетов, требующий немедленной уплаты всей премии.

Если мы можем выбрать любую цену исполнения и любой тип опциона (колл или пут), то единственное, чего не хватает для точной оценки опционов на этот фьючерсный контракт, – это волатильность. Но мы предположили, что будущая волатильность базового фьючерсного контракта нам известна, т. е. у нас есть магический кристалл, позволяющий увидеть будущую волатильность. Допустим, мы знаем, что в течение следующих 10 недель волатильность составит 18,3 %. Теперь у нас есть все необходимое для определения теоретической стоимости опциона, и остается только выбрать конкретный опцион.

Вероятнее всего активно торгуется июньский 100 колл, близкий к тому, чтобы быть на деньгах, поэтому выбираем его. После введения исходных данных в формулу Блэка – Шоулза (точнее, в ее версию для фьючерсов) мы обнаружим, что теоретическая стоимость июньского 100 колла – 3,88. На рынке же он продается по 3,25. Можем ли мы воспользоваться этим расхождением?

Ясно, что первой идеей будет покупка опционов, поскольку они недооценены на 0,63. Можем ли мы, купив их, забыть о нашей позиции и вспомнить о ней только при экспирации, чтобы получить деньги?

В главе 3 мы говорили, что покупка или продажа неверно с точки зрения теории оцененного опциона требует хеджирования путем занятия противоположной позиции в базовом контракте. Если мы сделаем это правильно, то в случае незначительного изменения цены базового контракта рост (падение) стоимости опционной позиции будет точно уравновешен падением (ростом) стоимости противоположной позиции в базовом контракте. Такое хеджирование нечувствительно, или нейтрально, к направлению изменения цены базового контракта.

Коэффициент, позволяющий осуществить нейтральный хедж в определенных рыночных условиях, получают из формулы теоретической стоимости опциона и называют коэффициентом хеджа, а чаще всего дельтой. Подробнее мы поговорим о дельте в следующей главе, а в нынешнем примере важно знать, что:

1) дельта опциона колл всегда больше нуля, но меньше единицы;

2) с изменением рыночных условий дельта опциона может измениться;

3) дельта базового контракта всегда равна 1,00.

Говоря о дельте, опционные трейдеры обычно опускают запятую, отделяющую целую часть числа от дробной, будем следовать этой практике и мы. Таким образом, дельта колла колеблется в пределах от 0 до 100, а дельта базового контракта всегда равна 100[18].

Возвращаясь к нашему примеру, чтобы правильно использовать теоретическую стоимость опциона, нам нужно знать также и дельту, которая в данном случае равна 57 (0,57). Это означает, что для нейтрального хеджа на каждый купленный опцион мы должны продать 57 % базового контракта. Поскольку покупка или продажа долей фьючерсного контракта не разрешена, мы купим 100 июньских 100 коллов и продадим 57 июньских фьючерсных контрактов. Так мы получим нужный нулевой, или нейтральный, коэффициент дельта и при этом сможем иметь дело с целым числом контрактов. Итак, мы заняли следующую позицию:

Обратите внимание, что дельта позиции на каждой стороне хеджа – это дельта контракта, умноженная на число контрактов, при этом нельзя забывать, что покупка контракта обозначается положительным знаком, а продажа – отрицательным. Поэтому дельта опционной позиции равна +100 x 57 = = +5700, а дельта фьючерсной позиции составляет (–57) x 100 = –5700. Сложив эти числа, получим, что общая дельта позиции равна нулю, т. е. наша позиция дельта-нейтральна. Если цена базового контракта колеблется незначительно, то эти колебания не оказывают на стоимость дельта-нейтральной позиции никакого влияния. Положительная общая дельта позиции свидетельствует о расчете трейдера на более вероятный рост цены базового контракта; отрицательная – на более вероятное падение цены.

Однако, даже имея дельта-нейтральную позицию, все равно не следует забывать о том, что теоретическая стоимость – величина вероятностная. Игрок в рулетку, имеющий возможность купить ставку по цене ниже ее теоретической стоимости, сможет выиграть, только если ему разрешат играть много-много раз. Сделав всего одну ставку, он, скорее всего, проиграет, поскольку его шансы на выигрыш – 1 к 37. То же относится к хеджу. Шансы могут быть и на нашей стороне, поскольку мы купили недооцененные опционы. Но в краткосрочной перспективе хедж вполне может обернуться убытками. Что еще можно сделать, чтобы застраховаться от краткосрочного невезения?

Мы знаем, что в долгосрочной перспективе теория вероятностей на нашей стороне. Мы наверняка выиграем, если нам позволят совершить много сделок при тех же благоприятных условиях. Чем больше сделок, тем выше наши шансы получить прибыль, предсказанную теорией. Один из возможных путей – представить первоначальный хедж как ряд последовательных маленьких, локальных хеджей, каждый из которых является своего рода аналогом ставки при игре в рулетку. Для этого нам необходимо переоценивать свою позицию через равные промежутки времени и вносить в нее надлежащие изменения.

Предположим, что через неделю цена июньского фьючерсного контракта повысилась до 102,26. На этом этапе мы можем ввести в формулу следующие данные о новых рыночных условиях:

• цена июньского фьючерсного контракта – 102,26;

• процентная ставка – 8,00 %;

• время до июньской экспирации – 9 недель;

• волатильность – 18,3 %.

Обратите внимание, что мы не меняем ни процентную ставку, ни волатильность. Используемая нами формула Блэка основана на модели рыночных условий, в которой эти исходные показатели не меняются в течение срока действия опциона. На основе новых данных определим дельту 100 колла – 62. Рассчитаем также дельту позиции:

Дельта нашей позиции составляет теперь +500. Это конец одной ставки, но мы вот-вот сделаем другую.

Всякий раз, когда мы как бы начинаем новую локальную игру, необходимо вернуться к дельта-нейтральной позиции. В нашем примере нужно уменьшить дельту позиции на 500. Как мы увидим позже, это можно сделать разными способами. Но, чтобы упростить расчеты, будем оперировать базовыми фьючерсами, поскольку дельта базового контракта всегда равна 100.

Итак, нам нужно уменьшить общую дельту на 500, и мы добьемся этого, продав 5 фьючерсных контрактов. Рассчитаем теперь новую дельту нашей позиции:

Мы снова дельта-нейтральны и готовы начать новую локальную игру. Как и раньше, результат зависит только от волатильности цены базового фьючерс ного контракта, а не от направления ее изменения.

Продавая пять дополнительных фьючерсных контрактов, мы корректируем свою позицию. Корректировки – это сделки, проводимые необязательно с целью увеличения теоретического преимущества, хотя они и могут иметь подобный эффект. В первую очередь они проводятся для обеспечения дельта-нейтральности позиции. В нашем случае продажа пяти дополнительных фьючерсных контрактов не влияет на теоретическое преимущество, поскольку у фьючерсных контрактов нет теоретической стоимости[19]. Сделка была совершена исключительно с целью корректировки хеджа и сохранения дельта-нейтральности.

То, что мы проделали, демонстрирует правильный процесс использования теоретической стоимости опциона:

1) купить (продать) недооцененные (переоцененные) опционы;

2) сделать позицию дельта-нейтральной, чтобы защититься от рисков, связанных с изменением цены базового контракта;

3) корректировать хедж через равные промежутки времени для сохранениия дельта-нейтральности.

Поскольку мы приняли, что процесс движения цены базового актива является непрерывным, при выводе формул теоретической стоимости опционов исходят из того, что корректировки осуществляются тоже непрерывно. В реальной жизни непрерывная корректировка невозможна, поскольку между проводимыми трейдером сделками всегда проходит какое-то время. Осуществляя корректировки через равные промежутки времени, мы стараемся соблюдать предельно полно принципы, заложенные в метод определения теоретической стоимости опциона.

Как должна выглядеть процедура корректировки при соблюдении правильной последовательности, если мы собираемся сохранить хедж до экспирации? Результаты корректировок показаны на илл. 5.1. В нашем примере корректировки осуществлялись с недельным интервалом. В конце каждого интервала дельта июньского 100 колла пересчитывалась с учетом времени, оставшегося до экспирации, и текущей цены базового фьючерсного контракта при неизменности процентной ставки (8 %) и известной волатильности (18,3 %). Обратите внимание, что мы не меняем волатильность, хотя рыночные условия могли измениться. Волатильность, как и процентные ставки, считается постоянной в течение всего срока действия опциона. Однако на практике трейдер может изменить свое мнение о волатильности и нередко так и делает.

Что мы сделаем с позицией в конце 10-недельного периода, когда наступает дата экспирации? К этому времени мы закрываем позицию:

1) позволяем всем опционам вне денег остаться неисполненными;

2) продаем все опционы в деньгах по паритету (по внутренней стоимости) или же с тем же эффектом исполняем их и закрываем образовавшиеся в результате исполнения позиции в базовом фьючерсном контракте (или в обратном порядке – сначала занимаем необходимую фьючерсную позицию с тем, чтобы исполнение опционов привело к ликвидации фьючерсных позиций);

3) ликвидируем все оставшиеся фьючерсные контракты по рыночной цене.

_{Илл. 5.1. Процедура корректировки для поддержания дельта-нейтральности}

Проследим процедуру хеджирования шаг за шагом и посмотрим, что именно она дает нам.

Первоначальный хедж. В день июньской экспирации (в десятую неделю) мы можем ликвидировать июньские 100 коллы либо продав их по 2,54, либо продав фьючерсы по 102,54 и исполнив коллы. В любом случае на наш счет поступит 2,54. Поскольку сначала мы заплатили за опционы по 3,54, фактиче ские потери на каждом опционе составили 0,71, а суммарные убытки –0,71 x 100 = –71,00.

Формируя первоначальный хедж, мы продали 57 июньских фьючерсов по 101,35. При экспирации нам пришлось выкупить их по 102,54 с убытком 1,19 на каждом контракте. Суммарные убытки от фьючерсов составили –1,19 x 57 = –67,83. Прибавим их к убыткам от опционов и получим совокупный убыток от первоначального хеджирования: –71,00–67,83 = –138,83. Порадовать такие результаты, конечно, не могут. Мы рассчитывали, что хедж позволит нам получить прибыль, а он принес ощутимые убытки.

Корректировки. Первоначальный хедж не был нашей единственной сделкой. Чтобы поддерживать дельта-нейтральность, пришлось покупать и продавать фьючерсные контракты в течение 10-недельного срока действия опциона. В конце первой недели у нас была позиция с дельтой +500, поэтому мы продали 5 фьючерсов по 102,26; в конце второй недели у нас была позиция с дельтой –1600, поэтому мы купили 16 фьючерсов по 99,07 – и так каждую неделю до конца десятой. При экспирации у нас оказалась короткая позиция в 36 фьючерсных контрактов, и мы купили их по цене закрытия 102,54. Обратите внимание, что всякий раз, как цена фьючерсов повышалась, дельта нашей позиции становилась положительной, поэтому нам приходилось продавать фьючерсы; а всякий раз, как она падала, дельта нашей позиции становилась отрицательный, и нам приходилось покупать фьючерсы. Поскольку корректировки зависели от дельты позиции, мы занимались тем, о чем мечтает каждый трейдер: покупать дешево и продавать дорого.

К какому же результату привели все корректировки, потребовавшиеся для поддержания дельта-нейтральности? Фактически мы получили прибыль в 205,27 (читатель может убедиться в этом сам, сложив связанные со сделками денежные поступления и расходы, указанные в столбце «Корректировка» на илл. 5.1). Эта прибыль с лихвой компенсирует убытки от первоначального хеджа.

Затраты на поддержание позиции. Что еще повлияет на итоговую прибыль или убыток? Сначала мы купили коллы и продали фьючерсы. Если к фьючерсам применяется фьючерсный метод расчетов, не требующий немедленных денежных расходов, то к опционам применяется акционный метод, предполагающий немедленную уплату всей суммы. Мы купили 100 коллов по 3,25, израсходовав в общей сложности 325,00. Мы приняли, что процент ная ставка равна 8 %, поэтому затраты на поддержание позиции в течение 10 недель составили 325,00 x 0,08 x 70/365 = 4,99. Нам придется учесть их в окончательных расчетах.

Затраты, связанные с вариационной маржей. Наконец, мы должны учесть затраты, связанные с поддержанием фьючерсной позиции. Поскольку цена на фьючерсы то растет, то падает, средства то поступают на счет трейдера, то списываются с него. Теоретически трейдер может получить проценты на поступившие средства, но должен уплатить проценты на списанные суммы. Например, сначала мы продали 57 фьючерсных контрактов по 101,35. Через неделю цена фьючерсов повысилась до 102,26, поэтому со счета было списано (101,35 – 102,26) x 57 = –57,87. Финансирование этих расходов при ставке 8 % обойдется нам за девять недель в –57,87 x 0,08 x 63/365 = –0,72. Чтобы остаться в конце первой недели дельта-нейтральными, мы продали еще 5 фьючерсных контрактов, т. е. всего продали 62 фьючерса. Через неделю (во вторую неделю) цена фьючерсов упала до 99,07, поэтому на наш счет было зачислено (102,26–99,07) x 62 = +197,78. Проценты, которые причитаются с этой суммы за 8 недель при 8 %-ной годовой ставке, составили 197,78 x 0,08 x 56/365 = +2,43. Денежные поступления и расходы, связанные с колебанием цены фьючерса, показаны на илл. 5.1 в колонке «Вариационная маржа», а итоговые проценты показаны в колонке «Проценты на вариационную маржу». Суммарный процент равен +1,36.

Теперь мы можем суммировать всю прибыль и убытки от нашей позиции:

Совокупная прибыль равна –138,83 + 205,27 – 4,99 + 1,36 = 62,81. Какую прибыль мы должны были получить согласно теории? Мы купили 100 коллов, стоящих 3,88 каждый, по 3,25, так что теоретически прибыль должна была составить (3,88 – 3,25) x 100 = +63,00. Иными словами, теоретическая формула довольно точно предсказывает реальную прибыль от позиции.

В нашем примере прибыль – результат суммирования четырех слагаемых. Два из них были со знаком «плюс» (корректировки и затраты, связанные с колебанием цены фьючерса), а два – со знаком «минус» (первоначальный хедж и затраты на поддержание позиции). Всегда ли бывает именно так? Определить заранее, какие слагаемые будут со знаком «плюс», а какие со знаком «минус», невозможно. С равным успехом можно привести пример, в котором первоначальный хедж будет прибыльным, а корректировки нет. Главное то, что при правильности введенных трейдером данных он получит прибыль или убыток, примерно равный предсказанному теорией.

Изо всех введенных в формулу данных волатильность – единственный показатель, недоступный прямому наблюдению. Откуда взялось значение волатильности, равное 18,3 %? Очевидно, что будущая волатильность никому не известна, но в данном случае автор взял 10 изменений цены, показанных на илл. 5.1, и рассчитал годовое стандартное отклонение ее относительных изменений (волатильность). Следовательно, 18,3 % – это волатильность, соответствующая десяти изменениям цены. Полный расчет приведен в приложении B.

В предыдущем примере мы исходили из того, что рынок идеален, т. е. что никакие внешние факторы на суммарную прибыль или убыток не влияют. На этом допущении основаны многие экономические модели, в том числе и модель Блэка – Шоулза. Если рынок идеален, то:

1) трейдеры могут свободно покупать или продавать базовые контракты без каких-либо ограничений;

2) все трейдеры могут заимствовать и размещать деньги под одни и те же проценты;

3) транзакционные издержки равны нулю;

4) налоги роли не играют.

Начинающий трейдер сразу же понимает, что рынки опционов неидеальны, поскольку в реальной жизни каждое из приведенных выше допущений так или иначе нарушается. Например, на некоторых фьючерсных рынках существует предел допустимого дневного изменения цены. При его достижении рынок становится запертым, т. е. сделки не совершаются до тех пор, пока цена фьючерсного контракта не отойдет от этого предела[20]. Ясно, что на подобном рынке свободная купля-продажа базового контракта возможна далеко не всегда.

Кроме того, индивидуальные трейдеры обычно не могут заимствовать или размещать деньги под те же проценты, что и крупные финансовые институты. Если у трейдера отрицательный остаток на счете, то его финансирование обойдется дороже, а если положительный остаток, то проценты на него будут не такими большими. Существует также и довольно заметный спред между ставками заимствования и кредитования для трейдера. К счастью, как мы говорили в главе 3, обычно процентная ставка – наименее важный из вводимых в формулу показателей. Хотя процентные ставки и варьируют от трейдера к трейдеру, их влияние на суммарную прибыль или убыток значительно меньше влияния других входных параметров.

А вот влияние транзакционных издержек может быть очень существенным. Если они высоки, то представленный на илл. 5.1 хедж может оказаться не слишком удачной стратегией: всю прибыль может «съесть» комиссия брокера. В принципе эффективность стратегии зависит не только от первоначальных затрат трейдера по сделке, но и от последующих затрат на осуществление корректировок. Затраты на корректировки тем больше, чем сильнее стремление трейдера оставаться дельта-нейтральным. Трейдер, желающий оставаться дельта-нейтральным постоянно, осуществляет корректировки чаще, а рост числа корректировок означает увеличение транзакционных издержек.

Допустим, трейдер осуществил первоначальный хедж, но корректирует свою позицию не очень часто или вообще не корректирует. Как это повлияет на результат? Поскольку оценка опционов основана на теории вероятности, шансы все равно будут на стороне трейдера, который первоначально занял теоретически прибыльную позицию. Хотя отдельный хедж может оказаться убыточным, если у трейдера будет возможность проводить этот хедж неоднократно при положительной теоретической прибыли, то в среднем он получит сумму, предсказываемую теорией оценки опционов, конечно, при условии правильности исходных данных. Процедура корректировок – это просто сглаживание результатов убыточных и прибыльных хеджей путем разбивки одной «большой игры» на множество «маленьких локальных игр» при тех же благоприятных шансах. Более редкие корректировки означают просто более высокий риск того, что отдельно взятый хедж окажется убыточным. Сами по себе корректировки не влияют на величину ожидаемого дохода; они просто снижают вероятность краткосрочного невезения.

Исходя из вышесказанного, мелкий инвестор и профессиональный трейдер, скорее всего, будут подходить к опционной торговле по-разному, хотя и тот и другой пользуются рассчитанными с помощью теории показателями. У профессионального трейдера, особенно если он член биржи, транзакционные издержки сравнительно невысоки. Поскольку стоимость корректировок для него ничтожно мала по сравнению с ожидаемой теоретической прибылью от хеджа, он готов проводить корректировку часто. Мелкий инвестор при том же хедже, возможно, вообще не будет делать корректировок или будет прибегать к ним реже, поскольку они существенно снижают прибыльность хеджа. Но если он вспомнит о теории вероятности, то поймет, что шансы его позиции не менее благоприятны, чем шансы позиции профессионального трейдера. Вместе с тем его позиция более чувствительна к краткосрочному невезению. Временами мелкий инвестор несет более крупные, чем профессиональные трейдеры, убытки, но временами он получает и более высокую прибыль. В долгосрочной перспективе в среднем и тот и другой должны получить примерно одну и ту же прибыль[21].

На выбор стратегии опционной торговли могут влиять и налоги. Сочетания позиций при их открытии и ликвидации, а также соотношение различных инструментов (опционов, акций, фьючерсов, товаров и т. п.) могут иметь разные налоговые последствия. Эти последствия нередко оказывают существенное влияние на стоимость диверсифицированного портфеля, в связи с чем портфельные менеджеры должны учитывать налоговые аспекты стратегий. Поскольку налоговая ситуация каждого трейдера индивидуальна, а эта книга задумывалась как общее руководство по оценке опционов и стратегиям торговли, мы концентрируем внимание на максимизации теоретической доналоговой прибыли и считаем, что об оптимизации налогов трейдер позаботится сам.

Возвращаясь к нашему примеру (илл. 5.1), заметим, что после того, как был проведен хедж, на опционном рынке не было последующих сделок. Единственное, что волновало трейдера, – это волатильность или колебание цен на базовом рынке. От ценовых колебаний зависели объемы и частота корректировок, и в конечном счете именно корректировки определили положительный результат хеджирования. Хедж можно образно представить как гонку между убытками от снижения временной стоимости июньских 100 коллов и денежными потоками от корректировок, при этом роль судьи играет формула теоретической стоимости. Теория гласит: если опционы покупаются по цене ниже их теоретической стоимости, то в этой гонке побеждают корректировки, а если они покупаются по цене выше этой стоимости, то в гонке побеждают убытки от снижения временной стоимости опционов. Условия гонки определяются введенными в формулу данными.

В примере мы исходили из того, что будущая волатильность известна и составляет 18,3 %. Каким, однако, будет результат при волатильности, отличной от 18,3 %? Предположим, что она выше 18,3 %. Более высокая волатильность означает более значительные колебания цены, требующие более частых и крупных корректировок. В нашем примере увеличение числа корректировок означает повышение прибыли. Это вполне согласуется с принципом увеличения стоимости опциона с ростом волатильности.

А что, если волатильность окажется ниже 18,3 %? Более низкая волатильность означает менее значительные колебания цены, а следовательно, и более редкие и мелкие корректировки. Это ведет к уменьшению прибыли. Если волатильность низка настолько, что прибыль от корректировок в точности компенсирует другие составляющие совокупной прибыли (убытка), то совокупная прибыль от хеджа равна нулю. Эта обеспечивающая безубыточность волатильность и есть рыночная волатильность опциона при заданной цене сделки. С помощью формулы Блэка мы находим, что рыночная волатильность июньского 100 колла с ценой 3,25 составляет 14,6 %. При такой волатильности гонка прибыли от корректировок и убытков от снижения временной стоимости опциона заканчивается вничью. При волатильности выше 14,6 % хедж, а также корректировки прибыльны; при волатильности ниже 14,6 % хедж убыточен.

Поскольку для получения прибыли нам пришлось делать корректировки, может показаться, что любой прибыльный хедж требует сохранения позиции до самой экспирации. Однако на самом деле это не так. Предположим, что как только мы заняли начальную позицию, рыночная волатильность стала расти. Допустим, она поднялась с 14,6 до 18,3 % и сохранялась на этом уровне в течение всего срока действия опциона. Что произойдет с ценой июньского 100 колла? Она повысится с 3,25 (рыночная волатильность 14,6 %) до 3,88 (рыночная волатильность 18,3 %). В этом случае мы можем продать свои коллы и получить на каждом опционе 0,63. Конечно, если мы захотим закрыть свой хедж, то нам придется также купить 57 июньских фьючерсных контрактов, которые мы сначала продали. Как такое изменение рыночной волатильности влияет на цену фьючерсных контрактов? Рыночная волатильность – это характеристика опционов, а не базовых контрактов. Поэтому базовый фьючерсный контракт по-прежнему будет торговаться по первоначальной цене в 101,35. Купив 57 фьючерсных контрактов 101,35, мы немедленно получим совокупную прибыль от хеджа в размере 63,00, т. е. как раз ту сумму, которую и должны были получить согласно теории. В такой ситуации нам не нужно сохранять позицию все десять недель.

Какова вероятность быстрого подъема волатильности с 14,6 до 18,3 %? Хотя серьезные изменения рыночной волатильности возможны, это скорее исключение, чем правило. Обычно изменения происходят постепенно и являются результатом постепенных изменений волатильности базового контракта. С изменением волатильности базового контракта спрос на опцион либо увеличивается, либо уменьшается, а изменение спроса приводит к соответствующему росту или падению рыночной волатильности. Как только участники рынка увидят, что цена базового фьючерсного контракта колеблется с волатильностью выше 14,6 %, рыночная волатильность начнет расти. Если она достигнет целевого уровня в 18,3 %, то мы сможем продать свои коллы, выкупить фьючерсы и получить ожидаемую прибыль в 63,00, вместо того чтобы сохранять позицию в течение всех десяти недель. Однако на цены опционов влияют самые разные рыночные факторы. Никто не может гарантировать, что рыночная волатильность когда-либо достигнет 18,3 %. А раз так, то для получения прибыли нам придется сохранять позицию все десять недель и постоянно осуществлять корректировки.

Каждый трейдер надеется на быстрый рост рыночной волатильности до предсказанного им значения. Это не только позволит ему получить прибыль быстрее, но и устранит риск, связанный с сохранением позиции в течение длительного периода. Чем дольше она сохраняется, тем больше вероятность того, что введенные в формулу данные окажутся неточными.

Но рыночная волатильность может измениться совсем не так, как хотелось бы, даже если реальная волатильность базового контракта изменится в благо приятную сторону. Предположим, что сразу после хеджирования рыночная волатильность упала с 14,6 до 13,4 %. Цена июньского 100 колла понизится с 3,25 до 3,06. Тогда наш бумажный убыток составит –0,19 x 100 = –19,00. Означает ли это, что мы совершили неудачную сделку и должны закрыть позицию? Совсем не обязательно. Если прогноз (волатильность 18,3 %) оправдается, то к дате экспирации опционы все равно будут стоить 3,88. Если сохранить позицию и осуществлять корректировки, то можно получить 63,00. Имея это в виду, мы сохраним свою позицию, как и собирались первоначально. Хотя неблагоприятные изменения рыночной волатильности и неприятны, трейдер должен уметь мириться с ними. Как и спекулянт, который редко уверен в том, что занял длинную позицию на минимуме, а короткую на максимуме, опционный трейдер редко в точности угадывает минимум и максимум рыночной волатильности. Цель трейдера – открыть позицию именно тогда, когда конъюнктура благоприятна, но он должен понимать, что конъюнктура может стать еще более благоприятной. В этом случае старая сделка временно оказывается убыточной. К подобному развитию событий следует относиться как реалиям торговли.

Рассмотрим более сложный хедж, на этот раз в виде переоцененных опционов на акции. Предположим, что в настоящее время:

• цена акций – 48 1/2 ;

• процентная ставка – 8,00 %;

• время до мартовской экспирации – 10 недель;

• ожидаемые дивиденды – 50 центов через 40 дней.

Обратите внимание, что у нас появился еще один исходный показатель – ожидаемые дивиденды. Как и прежде, нам нужна волатильность в период действия опциона. Заглянем в наш магический кристалл и определим, что в следующие 10 недель волатильность будет сохраняться на уровне 32,4 %. Мы снова выбираем колл практически на деньгах, а именно мартовский 50 колл. Вводим в формулу Блэка-Шоулза исходные данные и получаем, что теоретическая стоимость мартовского 50 колла составляет 2,17, а его дельта равна 46.

Мы определили теоретическую стоимость колла, но чтобы понять, можно ли на нем получить прибыль, нужно знать его цену. Оказывается, этот колл продается по 3 (рыночная волатильность 42,2 %). Поскольку опцион переоценен, мы решаем его продать и провести дельта-нейтральный хедж, чтобы застраховаться от риска, связанного с базовым контрактом. Для этого можно, например, продать 100 мартовских 50 коллов и одновременно купить 46 контрактов на акции (лотов). Если этот опцион торгуется на какой-либо американской бирже, где каждый базовый контракт – контракт на пакет из 100 акций, то нужно купить 4600 акций.

Как и во всех хеджах, основанных на теоретически неправильно оцененном опционе, наша позиция в течение всего срока действия опциона должна оставаться дельта-нейтральной. Как и ранее, мы будем осуществлять корректировки с недельным интервалом, но теперь базовый контракт – это акции. На илл. 5.2 показана последовательность корректировок для этого хеджа. Проследим корректировки шаг за шагом и посмотрим, каким будет конечный результат.

_{Илл. 5.2. Процедура корректировки для поддержания дельта-нейтральности}

Первоначальный хедж. При экспирации, когда акции стоили 52³/₈, 50 коллы стоили 2³/₈, поэтому на опционе мы выиграли 300 долл. – 237,50 долл. = 62,50 долл. 4600 акций, которые мы купили по 48³/₈, удалось продать по 52³/₈, т. е. с прибылью в 3⁷/₈ (3,875 долл.) на акцию. Поэтому совокупная прибыль от хеджа составила (62,50 долл. x 100) + (3,875 долл. x 4600) = 24 075 долл.

Корректировки. Для поддержания дельта-нейтральности нам пришлось покупать и продавать акции. В первую неделю мы купили 600 акций по 49⁵/₈, во вторую – 1400 акций по 52¹/₈, в третью продали 200 акций по 51 3/4 и т. д. В десятую неделю мы продали 900 оставшихся акций по 52³/₈. Результат этих корректировок – убыток 13 425 долл. (читатель может убедиться в этом, сложив все цифры в столбце «денежные потоки»).

Затраты на поддержание первоначальной позиции. Сначала мы продали 100 опционов по 300 долл. и купили 4600 акций по 48,50 долл. В связи с этим суммарные затраты составили (300 долл. x 100) – (48,50 долл. x 4600) = 193 100 долл. Затраты на поддержание позиции за 10 недель при 8 %-ной годовой ставке (принятая нами процентная ставка) составили 193 100 долл. x 0,08 x 70/365 = 2962,63 долл. Обратите внимание, что эта сумма отличается от полученной в примере с фьючерсами, где затраты на поддержание позиции были связаны только с опционными контрактами. В отличие от сделок с фьючерсами покупка или продажа акций требует немедленных денежных выплат, которые включаются в затраты на поддер жание позиции.

Проценты на корректировку. Каждая покупка и продажа акций для корректировки сопровождалась соответственно расходованием и поступлением денежных средств. Мы получили проценты на денежные поступления, но должны были уплатить проценты по всем израсходованным средствам по ставке 8 %. Так, в первую неделю мы купили 600 акций по 49⁵/₈, израсходовав 29 775 долл. Затраты до экспирации (за девять недель) составили (–29 775 долл.) x 63/365 x 0,08 = –411,14 долл. Общие затраты на выплату процентов по корректировкам – это сумма всех процентных выплат, или –814,34 долл.

Дивиденды. Мы предположили, что за 30 дней до экспирации (между пятой и шестой неделями) по акциям были выплачены дивиденды в размере 50 центов. Какой была дивидендная прибыль или убыток от нашей позиции? Сначала мы купили 4600 акций. В конце пятой недели мы продали 1800 акций с целью корректировки. Это означает, что на эксдивидендную дату у нас была длинная позиция в 2800 акций. При дивидендах 50 центов на акцию поступления составили 1400 долл.

Проценты на дивиденды. Также мы получили проценты на дивиденды за оставшиеся до экспирации 30 дней при годовой ставке 8 %. Эти проценты составили 1400 долл. x 30/365 x 0,08 = 9,21 долл.

В результате у нас получилось:

Совокупная прибыль от хеджа составляет:

24 075 долл. – 13 425 долл. – 2962,63 долл. – 814,34 долл. + 1400 долл. + 9,21 долл. = +8282,24 долл.

При этом наша теоретическая прибыль равна: (300 долл. – 217 долл.) x 100 = 83 долл. x 100 = +8300 долл.

Как и в предыдущем примере, наша прибыль зависит от того, знаем ли мы волатильность базового контракта в период действия опциона. Эта «изве стная» волатильность в 32,4 % – реальная волатильность, рассчитанная на основе 10 изменений цены акций на илл. 5.2.

Хотя мы по-прежнему исходим из того, что рынок идеален, в примере с фьючерсным опционом мы отмечали, что это не всегда так. На запертых фьючерсных рынках далеко не всегда можно свободно купить или продать базовый контракт. То же справедливо и для рынков опционов на акции. В нашем примере мы построили первоначальный хедж, продав коллы и купив акции. Если бы коллы были недооценены, то мы предпочли бы купить их и продать акции, которых у нас могло и не быть. Такого рода короткая продажа, т. е. продажа заемных, а не собственных акций, на некоторых рынках запрещена. Это затрудняет хеджирование некоторых видов опционных позиций. Как мы увидим позже, при продаже путов для хеджирования позиции продают акции. Если мы не сможем продать акции, чтобы захеджировать продажу путов, нам придется отказаться от продажи путов даже по цене выше теоретической стоимости. На самом деле на рынках, где короткая продажа запрещена, путы обычно продаются по ценам, завышенным по сравнению с ценами коллов.

На американских рынках полного запрета короткой продажи акций нет, но действует правило роста цены. Оно запрещает короткую продажу по цене ниже цены предыдущей сделки. Короткая продажа по цене выше цены предыдущей сделки разрешена. Наконец, короткая продажа возможна по цене предыдущей сделки, если эта цена выше отмеченной в предыдущей сделке. Это правило было введено после биржевого краха 1929 г. с целью предотвращения продажи акций, которых реально у продавца нет, в условиях непрерывного падения цен. Ниже приводятся 10 последовательных (слева направо) цен сделок с акциями с указанием знака, обозначающего направление изменения цены. Плюс показывает, что цена увеличилась, минус – что упала.

48 ¹/₂; +48⁵/₈; +48⁵/₈; –48¹/₂; –48³/₈; –48¹/₄; –48¹/₄; +48³/₈;+48³/₈;+48³/₈

Помимо того что короткая продажа может оказаться невозможной из-за указанного правила, многие брокерские фирмы, осуществляющие короткую продажу акций для своих клиентов, не выплачивают им в полном объеме проценты на выручку от короткой продажи. Это может еще более исказить процентную ставку, которая используется в формуле теоретической стоимости опциона.

Возвратимся в последний раз к нашим примерам и попробуем ответить на вопрос, что позволяет получать прибыль, примерно равную предсказанной тео рией. Простая интерпретация результатов состоит в том, что согласно теории процедура корректировки воспроизводит денежные потоки по опциону. Если нам известны условия опционного контракта и характеристики базового контракта, то мы можем воспроизвести характеристики опциона, а следовательно, и связанные с опционной позицией денежные потоки путем корректировки позиции в базовом контракте. В примерах мы точно знали, какие условия будут преобладать на рынке в период действия опционов (т. е. мы знали волатильность), а потому могли воспроизводить опцион, постоянно рассчитывая дельту и занимая соответствующую противоположную позицию в базовом контракте. Согласно теории при экспирации связанный с этим динамическим хеджем суммарный денежный поток должен быть равен стоимости опциона. Но в наших примерах мы либо покупали опцион по цене ниже теоретической стоимости (пример с фьючерсным опционом), либо продавали опцион по цене выше теоретической стоимости (пример с опционом на акции). Поскольку связанные с корректировкой денежные потоки точно воспроизводили теоретическую стоимость опциона, в итоге мы получили прибыль, равную разнице между ценой опциона и его теоретической стоимостью.

Такой способ воспроизведения (или репликации) опционов посредством денежных потоков от непрерывного хеджирования базовым контрактом – основа многих стратегий, использующих характеристики опционов без реальной покупки или продажи самих опционов. Наиболее известную из этих стратегий, страхование портфеля, мы рассмотрим в главе 13.

6. Стоимость опциона и изменение рыночных условий

Планируя сделку, необходимо учитывать не только вознаграждение, но и риск. Каждый трейдер рассчитывает на то, что его анализ конъюнктуры правилен, а выбранная стратегия торговли окажется прибыльной. Однако здравомыслящий трейдер не может отбрасывать возможность ошибки. Насколько большим будет ущерб в случае ошибки и неблагоприятного изменения рыночных условий? Карьера трейдера, не учитывающего связанные с открытой позицией риски, не может быть успешной и продолжительной.

Возьмем, например, трейдера, который купил фьючерсный контракт. Чего он опасается? Конечно, падения рынка. И в самом деле, любой, кто занимает позицию в базовом контракте, реально рискует только одним – тем, что рынок двинется не в том направлении. Если у трейдера длинная позиция, то он рискует тем, что рынок упадет; если короткая – тем, что рынок пойдет вверх.

К сожалению, риски, которые приходится учитывать опционному трейдеру, не одноплановы. Стоимость опциона зависит от самых разнообразных факторов. При оценке опционов с помощью модели определения теоретической стоимости всегда существует риск неправильного выбора исходных показателей. Даже в случае адекватной оценки текущей ситуации со временем рыночные условия могут измениться и отрицательно сказаться на стоимости опционной позиции. Поскольку на стоимость опциона влияет множество факторов, изменения цены могут оказаться неожиданными даже для самого опытного трейдера. Так как решения нередко приходится принимать очень быстро, а иногда и без помощи компьютера, каждому трейдеру необходимо знать, как изменение конъюнктуры влияет на стоимость опциона и связанные с опционной позицией риски.

Рассмотрим сначала общее влияние изменения рыночных условий на стоимость опционов. Схематично оно представлено на илл. 6.1.

По мере роста или падения цены базового контракта растет или падает вероятность того, что опционы в конечном счете окажутся в деньгах, а их стоимость соответственно повышается или понижается. С ростом волатильности крайние значения цены базового контракта становятся более вероятными, и это увеличивает стоимость опциона. С уменьшением волатильности или сокращением времени до экспирации крайние значения цены становятся менее вероятными, и это снижает стоимость опциона.

_{Илл. 6.1. Влияние изменения рыночных условий на теоретическую стоимость опционов[22]}

Обратите внимание, что мы не говорим о влиянии изменения процентных ставок на стоимость опциона. Поскольку оно зависит от вида базового контракта и порядка расчетов, сформулировать какое-то общее для всех опционов правило в данном случае невозможно. Однако можно оценить это влияние теоретически, представив покупку колла как альтернативу покупки базового контракта, а покупку пута – как альтернативу продажи базового контракта. Предположим, что мы хотим купить акции. Альтернатива – купить опцион колл. Если процентные ставки высоки, то выгоднее купить колл, поскольку прямая покупка акций требует гораздо более крупных расходов, а следовательно, и более высоких затрат на поддержание позиции. Если процентные ставки низки, то затраты на поддержание позиции в акциях не так велики, а покупка колла уже не так привлекательна. Поэтому рост процентных ставок ведет к росту стоимости коллов на акции, а их падение – к падению стоимости коллов.

В случае опционов пут все наоборот. Если мы хотим продать акции, то альтернатива – это покупка пута. При высоких процентных ставках выгоднее продать акции, поскольку на выручку от продажи можно получить более высокие проценты. А в условиях низких процентных ставок выгоднее купить пут, поскольку проценты на выручку от продажи акций невысоки. Отсюда рост процентных ставок ведет к падению стоимости путов на акции, а их падение – к росту стоимости путов.

В случае опционов на иностранную валюту все несколько сложнее, поскольку трейдеру приходится учитывать две процентные ставки – внутристрановую и иностранную. Изменение внутристрановой процентной ставки оказывает на эти опционы такое же влияние, как и на опционы на акции: покупка колла позволяет избежать расходов, связанных с покупкой валюты, а покупка пута увеличивает проценты на выручку от продажи валюты. Однако изменение иностранной процентной ставки имеет прямо противоположный эффект. При высоких иностранных процентных ставках трейдеры предпочитают покупать не коллы, а наличную валюту, чтобы получать более высокие проценты. Поэтому рост (падение) иностранной процентной ставки ведет к падению (росту) стоимости коллов. Но если иностранные ставки высоки, то покупать путы выгоднее, чем продавать иностранную валюту, поскольку в этом случае трейдер сможет и впредь получать высокие проценты на иностранную валюту. Отсюда рост (падение) иностранной процентной ставки ведет к росту (падению) стоимости путов.

Считается, что к опционам на акции и валюту всегда применяется акционный метод расчетов (т. е. покупка опциона требует немедленной передачи денег продавцу). Но расчеты за фьючерсные опционы могут осуществляться по-разному в зависимости от того, на какой бирже они обращаются. Иногда за них рассчитываются как за акции, а иногда – как за фьючерсы. Хотя фьючерсный контракт не предполагает никаких затрат на поддержание позиции, такие затраты может предполагать опцион, если к нему применим акционный метод расчетов. Стоимость такого опциона падает при росте процентных ставок (опционная позиция становится менее выгодной, чем позиция во фьючерсном контракте), и растет при падении процентных ставок (опционная позиция становится выгоднее позиции во фьючерсном контракте). Однако этот эффект незначителен, поскольку стоимость опциона, если он не очень глубоко в деньгах, невелика по сравнению со стоимостью базового контракта. Поэтому фьючерсные опционы намного менее чувствительны к изменению процентных ставок, чем опционы на акции и иностранную валюту. Если к фьючерсным опционам применяется фьючерсный метод расчетов, то изменение процентных ставок вообще не влияет на их стоимость из-за полного отсутствия затрат на поддержание позиции как в базовом контракте, так и в опционе.

Общее влияние изменения процентных ставок на стоимость опционов схематично показано на илл. 6.2. Читатель может быстро прийти к правильному выводу, если попытается ответить на вопрос, будет ли приобретение колла (пута) хорошей альтернативой покупке или продаже базового контракта.

На стоимость опциона на акции могут повлиять и дивиденды, которые выплачиваются по акциям в течение срока действия опциона. В определенном смысле выплата дивидендов оказывает на стоимость фондового опциона такое же влияние, как изменение иностранной процентной ставки на стоимость валютного опциона. Если мы владеем иностранной валютой, то можем заработать проценты на эту валюту. Аналогично, если мы владеем акциями, то получим все дивиденды, которые по ним причитаются. Если дивиденды растут, то выгоднее занять длинную позицию в акциях, а не в опционе колл. Поэтому покупка колла становится менее желательной, чем покупка акций. В случае путов, если дивиденды растут, выгоднее занять короткую позицию, купив пут вместо продажи акций, поскольку последнее приведет к потере дивидендов. Таким образом, рост дивидендов ведет к падению (росту) стоимости коллов (путов) на акции, а снижение дивидендов – к росту (падению) стоимости коллов (путов) на акции, что показано на илл. 6.3.

_{Илл. 6.2. Влияние изменения процентных ставок на стоимость опционов}

_{Илл. 6.3. Влияние изменения дивидендов на стоимость опционов на акции}

Теперь мы знаем, как изменение рыночных условий влияет на стоимость опционов, но нам по-прежнему неизвестно, какими будут эти изменения – значительными или нет и какой с ними связан риск – серьезный, умеренный или несущественный. К счастью, наряду с теоретической стоимостью наши модели позволяют рассчитать и некоторые другие показатели, позволяющие трейдеру предсказать не только направление изменения цен, но и его масштабы. Хотя эти показатели и не ответят на все вопросы о возможном изменении конъюнктуры, они помогут лучше оценить риски, связанные как с простыми, так и со сложными опционными позициями.

Дельта

В предыдущей главе мы уже говорили, что дельта (?) используется для определения правильного количественного соотношения между базовыми контрактами и опционами при проведении нейтрального хеджа. Дельта выполняет и другие функции, знать о которых должен любой трейдер.

Иллюстрация 6.4[23] показывает, что происходит с теоретической стоимостью колла при изменении цены базового контракта. В одних случаях, когда колл очень глубоко в деньгах, его стоимость меняется почти настолько же, насколько цена базового контракта. Если цена базового контракта повышается или понижается на один пункт, то и стоимость колла меняется на один пункт. В других случаях, если колл сильно вне денег, даже при существенном изменении цены базового контракта стоимость колла меняется крайне незначительно. Дельта – показатель того, насколько изменилась стоимость опциона по сравнению с изменением цены базового контракта.

Теоретически стоимость опциона не может расти или падать быстрее цены базового контракта, поэтому дельта колла всегда меньше или равна 100 (здесь мы снова придерживаемся общепринятой практики и опускаем при написании запятую, отделяющую целую часть десятичной дроби. Иными словами, дельта, равная 1,00, пишется как 100. Иногда этот формат называется процентным). Стоимость опциона с дельтой, равной 100, увеличивается или уменьшается на один полный пункт с повышением или понижением цены базового контракта на один полный пункт. Стоимость этого опциона меняется настолько же, насколько цена базового контракта. Теоретически стоимость колла не может измениться в направлении, противоположном направлению изменения цены базового контракта, поэтому минимальное значение дельты – нуль. Стоимость колла с нулевой дельтой меняется крайне незначительно даже при существенных колебаниях цены базового контракта.

У большинства коллов дельта больше 0 и меньше 100, а их стоимость меняется не так сильно, как цена базового контракта. Если дельта колла – 25, то можно ожидать, что его стоимость изменится на 25 % от изменения цены базового контракта. Если цена базового контракта повысится (понизится) на 1,00, то можно ожидать, что стоимость этого опциона повысится (понизится) на 0,25. Если дельта колла – 75, то его стоимость изменится на 75 % от изменения цены базового контракта. Если цена базового контракта повысится (понизится) на 0,60, то можно ожидать, что стоимость этого опциона повысится (понизится) на 0,45. У опциона колл на деньгах дельта близка к 50. Его стоимость повышается и понижается вдвое медленнее скорости изменения базового контракта.

_{Илл. 6.4. Теоретическая стоимость колла в зависимости от цены базового контракта}

_{Илл. 6.5. Теоретическая стоимость пута в зависимости от цены базового контракта}

До сих пор, рассматривая дельту, мы говорили только о коллах. По своим характеристикам путы аналогичны коллам, за исключением того, что их стоимость меняется в направлении, противоположном направлению изменения цены базового контракта. На илл. 6.5 видно, что с повышением цены базового контракта стоимость путов падает. Когда цена базового контракта понижается, стоимость путов растет. По этой причине дельта путов всегда отрицательна и колеблется в пределах от 0 для путов, которые сильно вне денег, до –100 для путов, которые глубоко в деньгах. Как и дельта колла, дельта путов – это показатель изменения стоимости пута по сравнению с изменением цены базового контракта. Знак «минус» показывает, что по направлению это изменение противоположно изменению базового рынка. Если дельта пута равна –10, то можно ожидать, что его стоимость изменится на 10 % от изменения цены базового контракта, но в противоположном направлении. Если цена базового контракта повысится (понизится) на 0,50, то можно ожидать, что стоимость пута уменьшится (увеличится) на 0,05. Если пут на деньгах, то его дельта равна примерно –50, и можно ожидать, что его стоимость изменится примерно на 50 % от изменения цены базового контракта, но в противоположном направлении.

Примечания

1

В последнее время некоторые биржи стали предлагать гибкие опционы (flex options), позволяющие покупателю и продавцу договариваться и о цене исполнения, и о дате экспирации. Такие опционы по-прежнему считаются биржевыми, поскольку биржа гарантирует их исполнение.

2

* В случае фьючерсного опциона базовым активом является фьючерсный контракт, а не физический товар.

3

Поскольку биржам нужно время на обработку уведомлений об исполнении и назначение контрагентов, держатель биржевого опциона обязан направить уведомление до конца рабочего дня, предшествующего дате экспирации.

4

Некоторые индексные опционы, например на S&P 500 (СВОЕ) или на индекс Major Market (American Stock Exchange – AMEX), являются европейскими. К этому стилю относятся и некоторые валютные опционы, торгуемые на Philadelphia Stock Exchange.

5

Маржевые требования для профессиональных трейдеров на рынке опционов на акции и фондовые индексы называют стрижкой (haircut).

6

Конечно, цена базового контракта не может упасть ниже нуля, поэтому теоретически прибыль или убыток от ее понижения имеют предел. Однако если цена базового контракта упадет до нуля, то связанные с этим прибыли/убытки покажутся большинству трейдеров неограниченными.

7

В США подробные списки биржевых фьючерсных опционов и опционов на акции публикуют Investor’s Business Daily, New York Times и The Wall Street Journal.

8

Мы говорим о рулетке с 38 ячейками, распространенной в США. В некоторых странах бывают рулетки без ячейки 00. Это, конечно, меняет условия игры.

9

Эти ограничения обсуждаются в двух статьях: Figlewski, Stephen, «What Does an Option Pricing Model Tell Us about Option Prices?», Financial Analyst Journal, September/October 1989, рр. 12–15, Black, Fischer, «Living Up to the Model», Risk, Vol. 3, No. 3, March 1990, рр. 11–13.

10

Трейдер может также заработать проценты на дивиденды, начисленные с момента получения дивидендов и до конца периода владения. Поскольку обычно эта сумма невелика, мы ее учитывать не будем.

11

Условие безарбитражности рынка не является обязательным. Но мы увидим, что это допущение делается в большинстве моделей, используемых при выводе формул теоретической стоимости опционов.

12

Здесь речь идет об опционах на валюту как таковую, а не об опционах на валютный фьючерсный контракт. Последние могут быть оценены с помощью формулы Блэка для опционов на фьючерсы.

13

Биржа может скорректировать цену исполнения опциона на акции в случае дробления акций. Но с практической точки зрения это не означает изменения цены исполнения, поскольку ее отношение к курсу акций останется тем же. Характеристики опционного контракта по существу остаются неизменными.

14

Конечно, это только теория. Нет такого закона, который гласит, что рыночная цена 90 пута не может превысить цену 110 колла.

15

В зависимости от количества выходных и праздничных дней в году число торговых дней обычно колеблется от 250 до 255. Мы взяли 256, поскольку квадратный корень из 256 – целое число, с которым легче работать.

16

См.: Parkinson, Michael, «The Extreme Value Method of Estimating the Variance of the Rate of Return», Journal of Business, 1980, vol. 53, no. 1, pp. 61–64; Garman, Mark B. and Klass, Michael J., «On the Estimation of Security Price Volatilities from Historical Data», Journal of Business, 1980, vol. 53, no. 1, pp. 67–78; Beckers, Stan, «Variance of Security Price Returns Based on High, Low and Closing Prices», Journal of Business, 1983, vol. 56, no. 1, pp. 97–112.

17

Пять дней, конечно, слишком небольшой срок, чтобы сделать содержательное заключение о волатильности. Однако ход рассуждений остается верным.

18

Эта практика сложилась на американском рынке опционов на акции, где базовый контракт (лот) обычно представляет собой 100 акций. Одной акции стали приписывать дельту, равную единице.

19

Хотя фьючерсный трейдер и может говорить о теоретической стоимости фьючерсного контракта, с точки зрения опционного трейдера, у базового контракта теоретической стоимости нет. Теоретическая стоимость фьючерсного контракта – это цена, по которой, по мнению трейдера, можно продать или купить данный контракт в конкретных рыночных условиях.

20

Иногда проблему запертого рынка решают, покупая (продавая) наличный товар (базовый актив) или спреды между фьючерсными месяцами, если торги в одном из месяцев продолжаются.

21

Здесь, конечно, не учитывается одно весьма существенное преимущество профессионального трейдера: он может покупать по цене спроса и продавать по цене предложения. Мелкому инвестору не следует рассчитывать на такой же результат и пытаться получить его.

22

* В некоторых необычных условиях стоимость опциона с течением времени может увеличиться. Подробнее эти условия будут рассмотрены позже.

23

Для целей этого раздела на илл. 6.4–6.21 процентная ставка принята равной нулю.

Конец бесплатного ознакомительного фрагмента.