Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов

Вот он, рядом, только руку протянуть. Его нашли в Булонском лесу, далеко от места, где произошло убийство. Никому в голову не придет, что такие страсти мог натворить дикий зверь. Полиции ввек не догадаться, как это случилось. Но хотя бы обезьяну и выследили – попробуй докажи, что я что-то знаю; а хоть бы и знал, я не виноват. Главное, кому-то я уже известен. В объявлении меня так и называют владельцем этой твари. Кто знает, что этому человеку еще про меня порассказали. Если я не приду за моей собственностью, а ведь она больших денег стоит, да известно, что хозяин – я, на обезьяну падет подозрение. А мне ни к чему навлекать подозрение, что на себя, что на эту бестию. Лучше уж явлюсь по объявлению, заберу орангутанга и спрячу, пока все не порастет травой“».

Читателю предлагается построить по этому тексту альтернативное дерево рассуждений владельца орангутанга.

И последнее замечание к тексту этой главы. Конечно, не надо считать дедуктивные схемы рассуждений панацеей для всех случаев. Метод, обычно приписываемый Шерлоку Холмсу, не всегда ведет к успеху.

Для многих читателей имя Шерлока Холмса навсегда связано с изяществом и неоспоримостью дедуктивного метода рассуждений. Но при внимательном чтении произведений Конан-Дойля легко обнаружить, что знаменитый сыщик пользовался не только дедуктивными рассуждениями. Шерлок Холмс никогда не забывал и об индукции.

Всякое порождение новой версии – это индуктивный шаг. Дедукцией является лишь обоснование выдвинутой версии. А выдвижение новых версий тесно связано с переходом от некоторых частных фактов к общим утверждениям относительно их, т.е. с правдоподобными рассуждениями. И настало время перейти к их обсуждению.

Глава четвертая. АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРАВДОПОДОБНЫХ РАССУЖДЕНИЙ

Я гнет бездарности тащу

сквозь мир красот и безобразий.

Всегда, везде, во всем ищу

причинно-следственные связи.

С.А. Стебаков

От Аристотеля до Бэкона

Аристотель упоминал о двух основных процессах рассуждений: нисходящем или дедуктивном и восходящем или индуктивном. Иногда говорят, что дедукция – это рассуждение «от общего к частному», а индукция – «от частного к общему». При таком понимании этих двух процессов возникает иллюзия, что они как будто обратны друг другу и одну схему рассуждений можно получить из другой прямым обращением. Этой иллюзии поддался и Аристотель. Увлеченный красотой и стройностью воздвигнутого им здания силлогистики, он попытался втиснуть в его объемы и индуктивное рассуждение, ввести схему индуктивного силлогизма. Но здесь его подстерегала неудача. Индуктивные рассуждения никак не хотели отливаться в ту стройную форму, которая так подошла дедуктивным рассуждениям.

Попытки адептов учения Аристотеля исправить, уточнить, расширить понятие индуктивного силлогизма остались тщетными. В основе различия дедукции и индукции лежало нечто более существенное, чем думали мыслители, не желавшие выходить за рамки мира, очерченного рукой гениального Аристотеля.

Напомним еще раз основную цель, которую преследовал Аристотель, создавая силлогистику. Она должна была стать непобедимым оружием в споре. Если оппонент признавал общее положение, относящееся к классу однородных объектов или явлений (а как он мог не признать, например, столь очевидную истину, что «Все люди смертны»), и принадлежность какого-либо объекта или явления к этому классу (например, что «Сократ есть человек»), то ему ничего не оставалось сделать, как признать, что общий для всего класса признак переносится и на отдельный элемент этого класса. Возражать против такого хода рассуждений мог бы только человек, спорить с которым не имеет никакого смысла, ибо он отвергает очевидное.

Если бы аналогичная цель стояла перед спорящим, который пользуется методом индукции, то схема его рассуждений должна была быть следующей. Сначала он мог бы сообщить оппоненту несколько утверждений об отдельных представителях класса, в существование которого должны верить оба спорящих. Каждое такое утверждение должно касаться одного и того же признака, связанного с элементами этого класса (например, оппоненту надо было сообщить, что «Гомер смертен», «Фидий смертен», «Эзоп смертен», и добиться от оппонента признания правильности этих утверждений). После этого надо было прийти с противником к согласию, что все эти элементы принадлежат одному классу (в нашем примере, что Гомер, Фидий и Эзоп являются людьми). Далее нужно было совершить главный индуктивный шаг, перейти к утверждению о классе (т.е. ввести утверждение «Все люди смертны») и заставить противника принять это утверждение.

Трудность таится именно на последнем шаге спора. Примет или не примет этот шаг оппонент, зависит от степени его уверенности в правильности данного шага. Этот шаг требует не умения логически обосновывать свои действия и рассуждения, а веры в свою справедливость. Можно ли от трех конкретных утверждений о Гомере, Фидии и Эзопе перейти к общему утверждению о всех людях? Ответ на этот вопрос не снимается, если мы к названным трем великим представителям греческой культуры добавим еще кого-нибудь. Где граница, после которой индуктивный шаг станет оправданным? Ответа на этот вопрос нет и быть не может. Именно поэтому индуктивное умозаключение всегда является правдоподобным рассуждением. Его надо принимать на веру. И обсуждать можно только то, как оценить обоснованность этой веры, т.е. как оценить степень правдоподобности выведенного утверждения.

Мы получили весьма важный вывод о том, что каждое правдоподобное утверждение А должно сопровождаться некоторой оценкой правдоподобности (достоверности) Q(A). Интерпретация Q(A) может быть различной. Некоторые из них, сейчас наиболее распространенные, будут обсуждены в последующих разделах этой главы.

Подчеркнем еще раз принципиальное различие между дедуктивной и индуктивной схемами рассуждений. Если посылки в дедуктивной схеме выбраны правильно, являются истинными, то получаемые с их помощью заключения не могут быть ложными. Если они нас чем-то настораживают, вызывают недоумение, то надо еще раз проверить истинность посылок. Убедившись в их правоте, ничего не остается делать, как полностью принять следующие из них выводы. Если посылки в индуктивной схеме выбраны правильно, являются истинными, то получаемые с их помощью заключения могут быть как истинными, так и ложными. Та или иная точка зрения на заключения зависит от степени субъективной уверенности в достаточности посылок для получения заключения. Именно поэтому вместо оценки истинности или ложности заключения в правдоподобных рассуждениях используется оценка правдоподобности (или истинности) Q(A).

Известный специалист по психологии восприятия Р. Грегори писал:

«В самой природе дедуктивных утверждений содержится нечто в высшей степени странное. Дедукция оперирует формальным символическим алфавитом. Мы вправе сказать, что дедукция небиологична, поскольку ее не могло быть до появления формального языка. В связи с этим чрезвычайно заманчива мысль об индуктивной природе процесса решения проблем, который сопровождает работу воспринимающего мозга, и о переходе к дедукции в работе мозга, занятого абстрактным мышлением, передачей сообщений, выполнением расчетов. Если это верно, то дедукция окажется свойственной только мозгу человека, поскольку лишь человек обладает формальной речью. Но это можно отнести также к электронным вычислительным машинам, работа которых подчинена правилам некоторого формального языка. …По-видимому, можно утверждать, что – поскольку в отличие от владения формальной речью восприятие не является исключительной привилегией человека – перцептивные процессы в своей сущности не дедуктивны. Остается принять, что они индуктивны».

Таким образом, индукция тесно связана с восприятием, опытом. Когда в развитии научного мировоззрения возник этап понимания, что опытные данные, эксперимент, реальная деятельность по достижении определенных целей служат единственным мерилом обоснования научных построений, тогда наступила пора индукции.

Понимание роли индуктивных рассуждений в научном познании связано с именем двух людей, носивших одинаковую фамилию. Один из них, Роджер Бэкон, был францисканским монахом и выдающимся мыслителем. С целью прославления церкви и воплощения своей мечты о том, что католическая церковь должна царить над всем миром, этот монах в 1265 году посвятил папе Клименту IV свою работу, где сделал набросок новой экспериментальной науки, которая должна была дать в руки человечества инструмент к познанию природы и роли высшего разума в ее существовании. Только через опыт возможно постижение истины – к такому выводу пришел Роджер Бэкон. И, критикуя метод Аристотеля, он писал: «Было бы лучше сжечь сочинения Аристотеля и начать все сызнова, нежели принимать его заключения без проверки».

Но францисканец поспешил. В XIII веке схоластическая наука еще не собиралась сдавать свои позиции. Аристотель считался вершиной научной мысли. И надо было дожидаться XVII века, когда человек, обладавший большой политической властью и непревзойденным красноречием, лорд Веруламский Фрэнсис Бэкон опубликует свой труд под красноречивым и недвусмысленным названием Novum Organum[7]. В этой работе философ обратил внимание ученых на важность экспериментального метода в науке. Мысль о том, что всякое научное положение, полученное в теории, должно подтверждаться практикой, сформулирована им четко и исчерпывающе. Фрэнсису Бэкону повезло куда больше, чем его однофамильцу. Он высказал свои мысли в нужное время, когда экспериментальная наука начала победное шествие по миру. И за это он стал признанным отцом нового направления в научном познании.

Но если внимательно разобраться в сочинениях Фрэнсиса Бэкона, то в них вряд ли удастся обнаружить пропагандируемый им метод индуктивного развития науки. Ничего подобного силлогистике Аристотеля у него нет. А поэтому вплоть до середины XIX века в области индуктивных рассуждений ничего не менялось. Их теории просто не существовало.

Индукция Джона Стюарта Милля

В процессе наблюдения за окружающим миром мы решаем две главные задачи, связанные с созданием модели, его описывающей. Прежде всего мы выделяем в наблюдаемом некоторые сущности. В логике им соответствуют некоторые понятия. А кроме того, мы устанавливаем между этими понятиями определенные отношения. Эти отношения могут быть как наблюдаемыми непосредственно с помощью наших органов чувств (например, отношения типа «субъект-действие» или «быть раньше»), так и достраиваемыми на основании некоторой «логики знаний» (например, отношения типа «причина – следствие» или «цель – средство»).

Среди всех этих отношений едва ли не главнейшую роль для познания окружающего мира играют каузальные отношения, отражающие в наиболее общей форме связи причин и следствий. Подробный разговор о каузальных связях мы отложим до конца этой главы. А пока поговорим лишь о том их виде, внимание к которому привлекли исследования английского логика середины XIX века Джона Стюарта Милля. Он поставил перед собой задачу нахождения связей между фактами и явлениями на основе анализа их совместного появления или непоявления в последовательности экспериментов. При этом он принял меры к тому, чтобы не повторять знаменитой ошибки при установлении причинно-следственных связей, которая вошла в историю науки под названием Post hoc ergo propter hoc, т.е. «После этого, значит вследствие этого». А ошибки такого типа не только встречались и встречаются в бытовых человеческих рассуждениях до сих пор, но иногда подобные выводы делаются сознательно, например, для создания неожиданных поэтических образов. Вот как превосходно использовал этот прием В. Луговской: «Речные девки в речках мочут косы, и над Русью от этого подъемлется туман».

Принципы установления причинно-следственных отношений, которые предложил Милль, основываются на идеях выделения сходства и различия в наблюдаемых ситуациях внешнего мира.

Способность улавливать сходство и выделять различия – фундаментальная способность, по-видимому, всех живых существ. Опираясь на эту способность, Милль сформулировал свои принципы индукции.

Первым из них является Принцип единственного различия. В формулировке, которая дана в известном учебнике логики В. Минто, он звучит следующим образом: «Если после введения какого-либо фактора появляется, или после удаления его исчезает, известное явление, причем мы не вводим и не удаляем никакого другого обстоятельства, которое могло бы иметь в данном случае влияние, и не производим никакого изменения среди первоначальных условий явления, то указанный фактор и составляет причину явления».

Схематически этот принцип можно описать в виде следующей схемы:

Здесь знак трактуется лишь как появление d при наличии а, b и c, а означает, что d не появляется. Повторение ситуаций n раз необходимо для того, чтобы убедиться в устойчивости всей ситуации в целом, для исключения случая, когда d появляется случайным образом, не будучи никак связанным с а. Если n, с точки зрения экспериментатора, достаточно для уверенного вывода, то, используя Принцип единственного различия, можно утверждать, что а является причиной, a d следствием, т.е. что между a и d имеет место причинно-следственное отношение. В дальнейшем будем называть реализации a,b,cd положительными примерами для d, а реализации b,c d – отрицательными примерами для d или контрпримерами.

Второй основополагающий принцип индуктивного рассуждения Милля носит название Принципа единственного сходства. В формулировке того же В. Минто он звучит следующим образом: «Если все обстоятельства явления, кроме одного, могут отсутствовать, не уничтожая этим явления, то это одно обстоятельство находится в отношении причинной связи с явлением при условии, что приняты были все меры к тому, чтобы никаких других обстоятельств, кроме принятых во внимание, налицо не оказалось».

Схематическое представление этого принципа Милля выглядит следующим образом:

В этой схеме все примеры являются положительными. Из нее по Принципу единственного сходства вытекает, что a и d связаны причинно-следственным отношением.

Еще один принцип Милля – Принцип единственного остатка. Он формулируется В. Минто следующим образом: «Если вычесть из какого-либо явления ту часть его, которая согласно прежним исследованиям оказывается следствием известных причин, присутствующих в явлении причин, то остаток явления есть следствие остальных причин».

Принцип единственного остатка можно проиллюстрировать следующей схемой:

Следовательно, a и d связаны причинно-следственным отношением, а b и с являются возможными причинами е. Для дальнейшего уточнения зависимости надо посмотреть, приводит ли исключение b к появлению e. Если приводит, то отношением «причина – следствие» связаны между собой с и е. В противном случае это отношение имеется между b и е.

Отметим ряд особенностей схем Милля. Прежде всего, они справедливы лишь при условии, что в описании ситуации имеется полное множество наблюдаемых фактов или явлений. Например, в последнем случае может оказаться, что и исключение b, и исключение с не влияют на появление е. Тогда можно предположить, что для появления е необходимо либо одновременное наличие b и с, либо е вызывается чем-то, не вошедшим в описание ситуации.

Другими словами, появление некоторого элемента ситуации может определяться не отдельными факторами или элементами, а их совокупностью, задаваемой с помощью сложного логического выражения. В левой части причинно-следственного отношения может стоять сложное выражение, в котором отдельные элементы могут быть связаны между собой конъюнктивными и (или) дизъюнктивными связками.

Проиллюстрируем это на следующих примерах. В качестве первого примера рассмотрим ситуации, показанные на рис. 20. С ними связана следующая история. Когда некий человек встречает на улице необычных зверюшек, то, глядя на них, он или радуется, или печалится. Нас интересует, какие качества зверюшек приводят человека в хорошее расположение духа. Другими словами, что является причиной его улыбки. Для удобства ответа на этот вопрос на рис. 20 положительные примеры и контрпримеры разделены штриховой чертой.

Рис. 20.

Как видно из рисунка, зверюшки обладают тремя признаками: формой спины, числом ног и формой ног. Что же вызывает улыбку? Используем метод Милля. Возьмем в качестве первой возможной причины форму спины у зверюшки. Положительные примеры таковы, что во всех наблюдаемых случаях эта форма выгнута вниз. Обозначим этот признак через a, а реакцию человека, когда он радуется, через d. Можно ли утверждать, что а есть причина d? Согласно Принципу единственного сходства наличие спины такой формы должно всегда вызывать улыбку. Но первый же контрпример опровергает это. Число ног (обозначим этот признак как b) также не может быть причиной улыбки. В положительных примерах b везде равно двум, и можно подумать, что именно две ноги зверюшки веселят человека. Но в трех контрпримерах ног тоже две. С формой ног (этот признак обозначим как с) ситуация в положительных примерах такова, что сразу ясно, что с не может быть причиной d.

Таким образом, ни один из признаков зверюшки по отдельности не может быть причиной улыбки человека. Попробуем выделить общее ядро сходства у всех зверюшек в положительных примерах. Такое ядро есть. Все зверюшки в этих примерах имеют выгнутую вниз спину и две ноги. Другими словами, для них всегда истинно утверждение Р₁(а)&Р₂(b), в котором Р₁(а) – предикат, интерпретируемый как «форма спины, выгнутая вниз», а Р₂(b) – предикат, интерпретируемый как «число ног равно двум». Проверим, будет ли истинным выделенное ядро в отрицательных примерах. Простой проверкой убеждаемся, что оно везде ложно. Таким образом, причина улыбки человека найдена. Она возникает тогда и только тогда, когда встреченная им зверюшка имеет выгнутую вниз спину и две ноги.

Приведенный пример показывает, что при использовании методов индуктивных рассуждений, которые предложил Милль, весьма важную роль играет способ выделения признаков или фактов, с помощью которых описываются ситуации.

Еще один пример связан с ситуациями, показанными на рис. 21. Теперь нас беспокоит реакция зверюшки на тех людей, которых она встречает на улице. У зверюшки хорошее настроение, когда она встречает людей с выражением на лице, как в положительных примерах. И ее настроение становится плохим, когда ей встречаются люди с такими лицами, как на отрицательных примерах. Возникает вопрос о причине появления у зверюшки хорошего настроения при встрече с людьми. Три элемента лица: рот, нос и глаза, полностью характеризуют выражение человеческого лица. Будем обозначать эти признаки как е, ? и g, а реакцию зверюшки как h. Поскольку все признаки принимают только два значения, как и реакция зверюшки, то можно (это можно было сделать и в предыдущем примере, но было желание продемонстрировать общий подход, использующий запись в виде предикатных формул) обойтись формулами исчисления высказываний. Будем считать, что е, ? и g истинны, если они соответствуют типу рта, носа и глаз человека из первого положительного примера. Будем также считать истинным значение h, соответствующее зверюшке с хорошим настроением. Если выделить ядро сходства у положительных примеров, то оно окажется пустым. Это свидетельствует о том, что причиной хорошего настроения зверюшки не может быть просто конъюнкция каких-то признаков человеческого лица. Выражение причины через признаки должно использовать дизъюнкцию.

Рис. 21.

В этом случае надо попытаться найти частные ядра сходства и попробовать объединить их в причину через операцию дизъюнкции. Выделим все попарные общие признаки у лиц, входящих в положительные примеры. Первое и второе лицо имеют общую часть е, первое и третье – ?, а второе и третье – . Проверяем, какое из полученных выражений является ложным на всех контрпримерах. Таковым оказывается лишь е. Значит, е должно войти в выражение для причины хорошего настроения зверюшки. Но только два первых положительных примера характеризуются истинным е. Третий положительный пример портит все дело.

Для того чтобы учесть третий пример, надо построить общее ядро различия для него и лиц, входящих в отрицательные примеры. Сразу видно, что форма рта тут не поможет. Остаются нос и глаза. Нос и глаза такой формы, как в третьем положительном примере, можно по отдельности найти в отрицательных примерах. Но их комбинация, характерная для третьего положительного примера (при принятых нами обозначениях эта комбинация описывается формулой ?&g), нигде не встречается в отрицательных примерах. Это позволяет, наконец, написать выражение для причины h в следующей форме: h=(e(?&g)). Словесно эта причинно-следственная связь может быть описана следующим образом: зверюшка находится в хорошем настроении, если она встречает человека, рот у которого печален (концы губ опущены вниз) или глаза у него закрыты, а нос тонкий и прямой.

Попробуем теперь найти причину, когда зверюшка бывает в плохом настроении. Обратимся для этого к отрицательным примерам и попробуем на них выделить общее ядро сходства. Оно легко обнаруживается. Это е. Но, к сожалению, в качестве причины плохого настроения зверюшки его использовать нельзя. Все тот же третий положительный пример препятствует этому. Значит, и для причины плохого настроения зверюшки надо искать дизъюнктивное выражение. Найдем частные попарные ядра сходства. Для первого и второго отрицательных примеров это ядро есть e&g, для первого и третьего – е, а для второго и третьего – e&?. Второе частное ядро сходства совпадает с общим ядром сходства и поэтому интереса не представляет. Два других частных ядра сходства на всех лицах положительных примеров оказываются ложными. Это позволяет записать выражение для причины плохого настроения зверюшки в следующей форме: h’=((e&g)(e&?). Учитывая справедливость дистрибутивных законов для конъюнкции относительно дизъюнкции и наоборот (читатели могут проверить этот факт, так как им известно, как проверять в исчислении высказываний равенство ?₁=?₂), можно записать выражение для причины плохого настроения зверюшки в более коротком виде: h’=(e&(g?)). Словесно эта причина может быть сформулирована следующим образом: если рот человека улыбается и глаза широко открыты или нос его по форме напоминает картошку, то зверюшка впадает в плохое настроение.

Если составить таблицу, в которой перечислены все комбинации истины и лжи для е, ? и g, и определить истинность h и h’, то можно убедиться, что h’=h. Другими словами, если h истинно, то зверюшка находится в хорошем настроении, а если h ложно, то в плохом. Это означает, что вместо двух выражений для h и h’ можно пользоваться только одним из них.

Такая ситуация не является стопроцентной. На рис. 22 мы снова встречаемся с известной нам зверюшкой. Но здесь выражения для h и h’, легко вычисляемые с помощью общих ядер сходства, имеют вид h=e&g и h’=g&e. Другими словами, зверюшка в хорошем настроении, когда встречает человека с печальным ртом, и она печалится, когда видит человека с широко открытыми глазами. В этом случае h и h’ никак не связаны между собой.

Чем различаются два рассмотренных случая? Пусть на пути нашей зверюшки встретился человек с лицом, обведённым на рис. 21 и 22 в рамочку. Как среагирует на него зверюшка? В случае, показанном на рис. 21, она тут же перейдет в хорошее настроение, ибо h истинно, а h’, естественно, ложно. Но в случае, соответствующем рис. 22, ситуация для зверюшки становится весьма сложной. Для встретившегося ей персонажа h и h’ одновременно ложны. Возникает конфликт. Новый персонаж не укладывается в ту классификацию, которая была построена по положительным и отрицательным примерам. Конфликт для зверюшки неразрешим.

Рис. 22.

Его можно разрешить лишь волевым усилием. Надо включить новый персонаж в число либо положительных, либо отрицательных примеров. В реалии разбиение чего-либо на классы (в наших случаях на два класса) вытекает из каких-то прагматических требований. Например, все люди, отнесенные к положительным примерам, относятся к зверюшке доброжелательно. Их не нужно опасаться. А люди, относимые к группе отрицательных примеров, таковы, что лучше обойти их стороной. От них ждать добра не приходится. Тогда волевое отнесение нового персонажа к той или иной категории должно получить практическое подтверждение своей правильности или неправильности. Если встреча с ним для зверюшки окажется благоприятной, то его, конечно, надо относить к положительным примерам. В противном случае его место среди отрицательных примеров.

Мы продемонстрировали весьма важное положение, связанное с процессом индуктивного обобщения. Если h и h’ классифицируют множества положительных и отрицательных примеров, так что h=h’, то появление новых примеров не ставит систему в тупик. Она всегда куда-то отнесет новый случай, т. е, при выполнении указанного равенства система обладает полнотой классификации. Конечно, может оказаться, что эта классификация не является правильной. Ведь она построена по неполному множеству представителей положительного и отрицательного классов.

Пусть, например, мы снова имеем классификацию, которая соответствует ситуациям, показанным на рис. 21. Но контрольный пример поступает в систему с указанием, что он относится к группе отрицательных примеров. А система в соответствии с ранее построенной классификацией относит его к положительному классу. В таком случае необходимо внести коррективы в классификацию, полученную ранее, выработать новую классификацию с учетом нового множества отрицательных примеров.

Вывод из этого только один. Поскольку множества положительных и отрицательных примеров не охватывают всех возможных случаев, то h и h’, построенные по методам Милля, даже в тех случаях, когда h=h’ не могут быть абсолютно точными. Эти утверждения могут быть приняты лишь с некоторой оценкой истинности Q(h) (соответственно Q(h’)). Но прежде чем описать, как эти оценки вычисляются, рассмотрим еще один метод правдоподобных рассуждений.

Рассуждения по аналогии

Начнем с задачи. Посмотрим на первую строку, показанную на рис. 23. В этой строке представлено преобразование F, с помощью которого пара слов, стоящая слева от стрелки, преобразуется в слово, стоящее от нее справа. Можно ли угадать, во что превратится пара слов, стоящих во второй строке на этом рисунке, если считать, что преобразование F’ максимально похоже на преобразование F? Для ответа на этот вопрос надо сначала понять, какова суть F. После недолгого размышления можно прийти к выводу, что слово, получаемое в результате преобразования, устроено следующим образом: первая его половина совпадает с первой половиной первого слова в исходной паре, а вторая его половина получается из первой половины второго слова в исходной паре, если в ней сделать перестановку букв. Если мы верим, что F именно таково (еще раз обратим внимание на этот постулат веры), то можно попытаться придать F’ тот же смысл. Тогда вместо знака вопроса в правой части второй строки можно написать результат преобразования. Им будет слово «плен». Если считать, что F’’ – преобразование, аналогичное F и F’, то вполне законным будет получение правой части по паре левых и в третьей строке на этом рисунке.

Рис. 23.

Какой смысл мы вложили в слово «аналогичное», когда говорили о преобразованиях? По крайней мере, двоякий. Во-первых, мы предположили, что элементы, из которых состоят слова и рисунки, как-то соответствуют друг другу. Например, елочки и фигурки из третьей строки ассоциируются у нас с буквами, из которых состоят слова, а буквы важны не сами по себе, а по тому месту, которое они занимают в словах. Во-вторых, мы предполагаем, что сохраняется суть преобразования, хотя элементы, с которыми преобразование оперирует, могут быть другими.

Эти соображения помогают уловить расплывчатый смысл, вкладываемый людьми в понятие аналогии. На рис. 24 показано три преобразования для треугольника Т. Преобразование можно назвать обобщением. При переходе от треугольника к многоугольнику наследуются только те геометрические свойства, которые верны для любых многоугольников. Сам треугольник по отношению к множеству многоугольников представляет некоторую конкретизацию. На рис. 24 преобразованием конкретизации служит , переводящее произвольный треугольник в его частный вид – прямоугольный треугольник. А вот преобразование можно назвать преобразованием по аналогии. Треугольная пирамида сохраняет многие свойства треугольника, но является не плоской, а объемной фигурой.