Революция в физике

Гейзенберг увидел еще одно преимущество этого нового представления величин набором матричных элементов; он надеялся, применяя его, исключить из теории ненаблюдаемые величины, которые обременяли прежнюю квантовую теорию. Пользуясь довольно громоздким выражением, взятым из философского словаря, он занял строго феноменологическую позицию и хотел исключить из физической теории все, что нельзя наблюдать непосредственно.

Зачем нужно вводить в наши атомные теории положение, скорость или траекторию атомных электронов, если мы все равно не можем ни измерять эти характеристики, ни наблюдать их? Единственно, что нам известно об атоме – это его стационарные состояния, переходы между ними и излучения, которые сопровождают эти переходы. Поэтому в наши расчеты нужно вводить только величины, связанные с этими реально наблюдаемыми величинами. Такую задачу поставил себе Гейзенберг. В его матрицах элементы располагаются в строки и столбцы, причем каждый из них имеет два индекса: один соответствует номеру столбца, другой – номеру строки. Диагональные элементы, т е. те индексы которых совпадают, описывают стационарное состояние. Недиагональные элементы с разными индексами описывают переходы между стационарными состояниями, соответствующими этим индексам. Что же касается величины этих элементов, то ее нужно связать по формулам, полученным с помощью принципа соответствия, с величинами, характеризующими излучение при этих переходах. Таким путем будет создана теория, в которой все величины будут описывать наблюдаемые явления.

Конечно, было бы удивительно, если бы Гейзенбергу действительно удалось исключить из теории все ненаблюдаемые величины. Наличие в формализме его квантовой механики матриц, изображающих координаты и импульсы атомных электронов, оставляет в этом смысле некоторые сомнения. Однако эта попытка Гейзенберга, даже если ему и не удалось полностью выполнить свою философскую программу, привела к созданию новой механики, механики совершенно особого вида. Она дала замечательные результаты и представляет собой значительную ступень в развитии новых квантовых теорий.

2. Квантовая механика

Очень трудно даже совершенно поверхностно излагать квантовую механику, не пользуясь математическим формализмом, потому что можно сказать, сущность этой новой механики заключается именно в ее формализме. Тем не менее мы попытаемся дать читателю хотя бы смутное представление о том, что такое квантовая механика, механика матриц, рождением которой мы обязаны Гейзенбергу, а дальнейшим развитием – Гейзенбергу, Борну в Иордану.

Итак, Гейзенбергу принадлежит идея замены физических величин, с которыми имеют дело в атомной теории, таблицами чисел, матрицами. Исходя из принципа соответствия, он пытался вначале установить правила сложения и умножения различных матриц, каждую из которых нужно рассматривать как единое математическое целое. Он обнаружил, что эти правила сложения и умножения в точности совпадают с правилами для матриц, которыми пользовались математики в теориях алгебраических уравнений и линейных преобразований. Этот результат, a priori, отнюдь не очевидный, очень упростил задачу, ибо свойства алгебраических матриц были уже с давних пор хорошо известны.

Необычным оказалось одно свойство этих матриц – произведение их некоммутативно, оно зависит от порядка сомножителей. Произведение первой матрицы на вторую не равно произведению второй на первую.

Таким образом, Гейзенберг представил физические величины числами, не обладающими свойством коммутативного умножения. Этот факт можно рассматривать как самую основу квантовой механики, и Дирак в своей первой работе отстаивал именно эту точку зрения. Он считал, что переход от классической физики к квантовой заключается просто в представлении физических величин не обычными числами, а квантовыми числами, произведение которых не обладает свойством коммутативности.

Огромное большинство физиков того времени находило, что произвести подобную замену далеко не так просто.

Гейзенберг должен был найти также способ введения в свою теорию кванта действия, И снова он пошел по пути, которым постоянная hбыла введена в классические уравнения старой квантовой теорией, и попытался с помощью принципа соответствия перенести этот способ введения hв свою новую механику.

Результат оказался очень точным, хотя на первый взгляд несколько удивительным. Нужно было предположить, что при перемножении матрицы, соответствующей координате, на матрицу, соответствующую канонически сопряженной компоненте импульса, порядок множителей не безразличен и что разность между произведением этих двух величин, взятых в одном порядке, и их произведением в противоположном порядке равна постоянной Планка, умноженной на некоторое число.

Все другие канонические переменные квантовой механики коммутируют между собой, т е. их произведение не зависит от порядка сомножителей. Только когда рассматриваются произведения двух величин, канонически сопряженных в смысле аналитической механики, в результате их перестановки получается величина, отличающаяся от исходной так, что их разность пропорциональна h. В макроскопических явлениях, где величиной hможно пренебречь, все механические величины можно считать коммутирующими, и мы снова, как и должно быть, возвращаемся к классической механике. Такой путь введения постоянной Планка с помощью коммутационных соотношений, хотя и естественный, с точки зрения Гейзенберга, может показаться несколько странным. Ниже мы увидим, как можно его объяснить в волновой механике.

Уточнив таким образом свойства матриц, представляющих физические величины, Гейзенберг должен был вывести уравнения, описывающие их изменение со временем: иными словами, он должен был построить динамику. Он сделал это, смело предположив, что его матрицы подчиняются уравнениям, по виду совпадающим с уравнениями классической механики.

Согласно этой гипотезе для матриц можно написать канонические уравнения Гамильтона.

Однако эта идентичность динамических уравнений скорее кажущаяся, чем реальная, ибо в классической механике в уравнениях фигурируют обычные числа, а в механике Гейзенберга – матрицы. В этом корень важнейших различий. Тем не менее можно показать, что канонические уравнения квантовой механики позволяют вновь получить принцип сохранения энергии, и они не противоречат боровским соотношениям для частот. Кроме того, для атомных систем эти уравнения по причинам, на которых мы не можем здесь останавливаться, удовлетворяются лишь для некоторых определенных значений энергии. Итак, мы снова приходим к существованию стационарных состояний с квантованной энергией, и у нас есть метод вычисления этих энергий.

Сразу применив свой метод к самым классическим квантовым системам, Гейзенберг и его соратники вычислили квантованную энергию линейного осциллятора, атома водорода и т д. Часто их результаты оказывались в полном согласии со старой квантовой теорией, однако иногда совершенно от них отличались. Гак, например, в случаях линейного осциллятора, они получили вместо закона целых квантов, который предполагал Планк, закон полу целых квантов, о котором мы уже упоминали и который лучше согласуется с экспериментальными фактами.

Воодушевленные очень интересными результатами квантовой механики, строгостью и точностью ее формализма, толпы теоретиков бросились вслед Гейзенбергу, внося в его теорию все новые важные дополнения.

Шредингер опубликовал свою работу и с изумлением заметил, что метод квантования волновой механики ведет к тем же результатам, что и метод квантовой механики, хотя они различаются по духу. Он интуитивно почувствовал, что этот факт не случаен, и блестяще сумел объяснить его.

3. Тождество квантовой и волновой механики

В своей работе Шредингер руководствовался идеей, что с помощью волновой функции волновой механики можно построить величины, обладающие свойствами матриц квантовой механики. При этом квантовая механика оказывается методом, позволяющим вычислять эти величины и оперировать ими, не обращаясь явно к волновой функции. Таким образом, можно доказать идентичность этих двух форм новой механики.

Изучая проблему квантования в волновой механике, находят различные стационарные волны рассматриваемой системы и вычисляют соответствующие волновые функции. Эти функции называются собственными функциями системы: они образуют некую, как будем предполагать, дискретную последовательность. Во многих важных случаях это действительно так. Допустим теперь, что мы скомбинировали эти собственные функции во всевозможные пары. Получим, таким образом, два типа пар: пары, построенные из одинаковых собственных функций, и пары из различных собственных функций. Первые относятся к одному стационарному состоянию, вторые – к двум различным стационарным состояниям. Поэтому можно считать, что последние описывают переход между этими двумя стационарными состояниями.

Таким образом, из этих парных комбинаций волновых функций получим набор элементов, который можно поставить в однозначное соответствие с элементами гейзенберговской матрицы. Но поскольку, согласно Гейзенбергу, каждой физической величине отвечает своя матрица, то, следовательно, для каждой величины мы должны образовать разные комбинации собственных функций.

Следовательно, возникает существенно новая и важная идея. Она заключается в том, что каждой физической величине необходимо поставить в соответствие некий символ операции, определенный оператор. Для того чтобы, не задумываясь, написать уравнение распространения волны, связанной с частицей, Шредингер заменил компоненты импульса оператором, пропорциональным производным по сопряженным координатам, причем множитель пропорциональности содержал постоянную h.

Естественно также предположить, что каждой координате соответствует умножение на эту координату. Поскольку все механические величины. Характеризующие поведение частицы, можно выразить с помощью координат и компонент импульса (сопряженных импульсов Лагранжа), то только что сформулированные правила позволяют нам найти оператор, соответствующий любой механической характеристике частицы. Если образовать оператор энергии, то получим оператор Гамильтона, с которым мы встречались при построении волнового уравнения. Обобщая этот вывод, приходим к принципу, согласно которому всем физическим величинам сопоставляются операторы. Этот принцип положен в основу новой механики.

Теперь уже можно понять, как Шредингер построил матрицы, которые он хотел отождествить с матрицами квантовой механики. Пусть имеется некоторая механическая величина, характеризующая движение частицы и соответствующий ей оператор, правило построения которого мы знаем. Каждой паре собственных функций рассматриваемой системы можно, таким образом, сопоставить величину, образованную следующим образом. Оператор, о котором идет речь, действует на одну из функций пары, результат множится на комплексно сопряженное значение другой функции и интегрируется по всему пространству.

Повторяя подобную операцию со всеми парами собственных функций, получаем систему элементов, одни из которых относятся к одному стационарному состоянию, другие – к двум стационарным состояниям, т е. к переходам. Эти элементы располагают в таблицу, причем элементы первого типа помещают на диагонали (диагональные элементы). Каждой механической величине сопоставляется, таким образом, матрица. Вопрос теперь заключается лишь в том, можно ли отождествить эти матрицы и матрицы квантовой механики.

Ответ на этот вопрос утвердительный. Шредингер прежде всего показал, что матрицы, построенные только что описанным способом, должны удовлетворять, как и матрицы Гейзенберга, правилам сложения и перемножения алгебраических матриц. Кроме того, несколько странный путь, которым постоянная Планка проникла в квантовую механику, получил в концепции Шредингера немедленное объяснение. Произведение двух операторов, вообще говоря, не коммутирует: полученный результат зависит от порядка сомножителей.

Тем не менее во многих случаях два оператора, соответствующих механическим величинам, коммутируют. Однако имеется исключение, когда этими величинами являются координата и сопряженная компонента импульса, ибо оператор, отвечающий последнему, пропорционален производной по сопряженной координате, а операция «производная по некоторой переменной» не коммутирует, как легко видеть, с операцией умножение на эту переменную.

Отсюда немедленно следуют сформулированные Гейзенбергом правила перестановки. Чтобы завершить отождествление рассматриваемых матриц, остается лишь показать, что матрицы волновой механики подчиняются каноническим уравнениям квантовой механики. Вот как это было сделано: Шредингер показал, что из канонических уравнений строго следует, что волновые функции, использованные при конструировании матриц, обязательно удовлетворяют волновым уравнениям волновой механики. Короче говоря, канонические уравнения квантовой механики эквивалентны волновым уравнениям волновой механики.

Таким образом, оказалось, что обе формы новой механики сводятся одна к другой. Теперь больше не вызывает удивления тот факт, что они приводят в проблеме квантования к одинаковым результатам. Метод квантовой механики, оперирующий прямо с матрицами и не имеющий дела с промежуточными величинами – волновыми функциями, более компактен и часто быстрее приводит к желаемым результатам. Метод же волновой механики лучше удовлетворяет интуиции физиков и лучше согласуется с образом их мыслей. Поэтому на первый взгляд он кажется более естественным и удобным для работы. Действительно, большинство физиков пользуется волновым методом и при расчетах явно использует волновые функции.

4. Принцип соответствия в новой механике

Новая механика позволяет придать гораздо более точную форму принципу соответствия и частично устранить поводы для критики, которой он подвергался в рамках старой квантовой теории. Мы уже видели, как Бор пытался использовать разложение в ряд Фурье электрического момента, соответствующего в классической модели начальному или конечному состоянию квантового перехода, чтобы предсказать поляризацию и интенсивность излучения при этом переходе. В случае больших квантовых чисел этот метод вполне удовлетворителен и свободен от всяких неопределенностей.

Однако в случае средних и малых квантовых чисел, практически наиболее важном, возникают трудности и двусмысленности. Наоборот, в новой механике сразу получается весьма ясный способ применения принципа соответствия. Действительно, в матрице, отвечающей компоненте электрического момента, каждый переход описывается одним и только одним элементом. Рассматривая матричный элемент, соответствующий определенному переходу, как амплитуду данной компоненты дипольного момента для данного перехода, можно, пользуясь формулой, аналогичной классической формуле, дать необычайно точное и недвусмысленное предсказание характера излучения при данном переходе. Конечно, в этом способе остается недоказанным, насколько законно применять для расчета указанных интенсивностей формулы классического типа. Однако это утверждение – один из наиболее существенных постулатов метода соответствия. Если принять эту гипотезу, то больше не останется никакого произвола и нестрогости в применении принципа соответствия.

В такой строгой форме принцип соответствия был установлен Гейзенбергом при создании матричной механики. На язык волновой механики его «перевел» Шредингер. Эти выдающиеся физики даже предложили одно наглядное объяснение роли матричных элементов в расчете излучения. Электрон в атоме нельзя больше считать локализованным в каждый момент времени. Есть лишь определенная вероятность найти его в той или иной точке, вероятность, пропорциональная согласно принципу интерференции квадрату модуля волновой функции. Это позволяет нам считать электрон как бы размазанным внутри атома, а его электрический заряд – в среднем распределенным непрерывным образом. Согласно Шредингеру, можно было бы применить принцип соответствия, сказав, что все происходит таким образом, как будто электрическая система (изменяющаяся во времени) излучает в соответствии с классическими законами. На первый взгляд такая точка зрения кажется вполне удовлетворительной, ибо она позволяет нам вновь» получить боровский закон частот. Однако, изучив ее внимательнее, мы видим, что на этом пути возникают серьезные трудности, и от него приходится отказаться. В действительности процесс излучения при квантовых переходах является по своей сущности настолько дискретным, что его нельзя строго представить себе как излучение некоторым, пусть фиктивным, распределением электричества, происходящим по классическим законам. Единственная поистине корректная интерпретация роли матричных элементов заключается в том, что согласно идеям, установленным в связи с принципом соответствия, матричные элементы позволяют вычислить вероятность того, что некоторое состояние претерпевает в единицу времени определенный квантовый переход.

Принцип соответствия новой механики позволяет вычислить интенсивность и поляризацию спектральных линий и, что особенно важно, вновь получить правила отбора. 0:1 позволяет также решить огромное число задач, касающихся взаимодействия вещества и излучения, среди которых я укажу лишь на задачу рассеяния света и дисперсии. Теперь можно строго получить формулу Крамерса – Гейзенберга, выведенную ранее с помощью приближенных соображений соответствия.

Применение метода соответствия к изучению взаимодействия вещества и излучения дало вполне удовлетворительные результаты и определенно содержит большую долю истины. Тем не менее нельзя не заметить, что, систематически применяя формулы электродинамики, записанные соответствующим образом, постоянно упускают из виду корпускулярную природу света. Действительно, рассеяние света атомом можно было бы рассматривать как задачу о соударении фотона с атомом, рассмотренную методами волновой механики. Чтобы успешно решить поставленный вопрос с этой точки зрения, необходимо попытаться ввести понятие о фотонах в электромагнитные колебания, иными словами, проквантовать электромагнитное поле.

Глава X. Вероятностная интерпретация новой механики

1. Общие идеи и основные принципы

Понятие вероятности играло важную роль в первых физических трактовках волновой механики. Чувствовалось, что возникла общая теория, в которой все законы новой механики имеют вероятностный характер. К этой теории, внешне очень новой и отвергающей многие классические идеи, постепенно приковывалось внимание всех физиков. Можно сказать, что сегодня ее приняли все, даже те, кто поверил в нее временно, и не оставляют надежды в один прекрасный день возвратиться к классическим представлениям.

Начнем с внешне почти банальной идеи о том, что для точного знания какой-либо физической величины нужно ее измерить. А для ее измерения всегда нужен некий прибор, который как-то воздействует на эту величину, в результате чего она становится известной с такой-то степенью точности. В классической физике a priori предполагалось, что, приняв соответствующие меры предосторожности, всегда можно так провести эти измерения, чтобы существенно не нарушить состояния, которое было до измерения. При этих условиях процесс измерения лишь устанавливает существование некоторого состояния, не внося ничего нового.

В макроскопических масштабах этот постулат, неявно допускаемый классической физикой, правилен. В этой области способный экспериментатор всегда может количественно исследовать явление, не внося значительных искажений. Это следует из того, что возмущения, которые возникают в процессе измерения, можно всегда уменьшить настолько, чтобы сделать их пренебрежимо малыми по сравнению с измеряемыми величинами. Напротив, когда мы имеем дело с микроскопическими величинами, из существования кванта действия следует, что возмущения, возникающие в процессе измерения, бесконечно уменьшать нельзя. Поэтому каждое измерение существенно искажает исследуемое явление.

Эти идеи будут отчетливо сформулированы несколько ниже, когда мы будем приводить примеры в пользу соотношений неопределенности, данные в основном Бором и Гейзенбергом. Пока же достаточно заметить, что ниоткуда не следует, что операция измерения является простым и хорошим способом получения сведений о существовавшем до этого измерения состоянии. Вполне возможно, что операция измерения сама участвует в создании нового состояния, извлекая из существовавшего до этого состояния одну из содержащихся в нем возможностей. А теперь попытаемся строго сформулировать роль измерений с новой точки зрения.

Для этой цели будет полезно вернуться к некоторым классическим экспериментам физической оптики. Снова, как и раньше, начав с дуализма фотонов и световых волн, мы будем иметь больше возможностей разобраться в этом вопросе. Представим себе вполне обычный эксперимент: спектральный анализ сложного луча света с помощью призмы (или дифракционной решетки). Прибор разделяет (как это было известно еще со времен Ньютона) различные монохроматические компоненты, содержащиеся в падающем пучке. В XIX в. много обсуждали вопрос о том, разделяет ли призма монохроматические компоненты, существовавшие в падающем пучке уже до этого, или они образуются под воздействием призмы. На этот вопрос не было дано сколько-нибудь удовлетворительного ответа. В конце концов наиболее осторожная позиция заключалась в следующем: монохроматические компоненты существуют в падающем свете виртуально, в некоем потенциальном состоянии. Это мнение подтверждается анализом квантовой природы света.

По существу мы попытаемся ввести в объяснение разложения света призмой идею фотонов. С этой точки зрения можно сказать, что призма разделяет фотоны на строго определенные цветовые группы: она выделяет из падающего пучка красные, желтые и синие фотоны. Но можно себе представить такой эксперимент, когда пучок настолько слаб, что фотоны попадают на призму поодиночке. Каждый фотон соответствует падающей волне, которая согласно предположению не монохроматическая. Поэтому падающему фотону нельзя приписать ни определенной частоты, ни согласно соотношению Эйнштейна определенной энергии. Падающий фотон обладает как бы несколькими возможными частотами, появляющимися в спектральном разложении соответствующей световой волны. Однако, пройдя сквозь призму, падающий фотон становится одним из фотонов монохроматических пучков, разделенных воздействием призмы. Теперь, следовательно, он обладает вполне определенной частотой.

Таким образом, призма оказывается инструментом, позволяющим измерить частоту (или энергию) фотонов: этот прибор как раз и извлекает из состояния, которое существовало до измерения, одну из содержащихся в нем возможностей. Теперь необходимо вычислить вероятность такого действия призмы на падающий фотон, чтобы он имел определенный цвет. Волновая теория немедленно дает количественный ответ на этот вопрос. Падающую волну можно представить в виде разложения Фурье, в котором каждая монохроматическая компонента обладает определенной амплитудой. Действие призмы заключается в разделении этих монохроматических компонент без изменения их амплитуды. Энергия же падающего на призму света на выходе разделяется между различными выходящими монохроматическими пучками пропорционально квадратам этих амплитуд, т е. интенсивностям различных компонент Фурье. Можно поэтому сказать: вероятность, что фотон, пройдя через призму, будет иметь определенную частоту, пропорциональна парциальной интенсивности, соответствующей этой частоте в разложении Фурье падающей световой волны. Это рассуждение, переведенное на язык волновой механики и соответствующим образом обобщенное, позволяет понять происхождение общей теории вероятностной трактовки квантовой механики.

Новая механика ставит в соответствие каждой механической величине некий оператор, который можно построить во всех случаях. Все операторы, о которых идет речь, относятся к классу линейных эрмитовских операторов. Математическая теория собственных значений позволяет поставить в соответствие этим операторам собственные значения и собственные функции. Поскольку эти операторы эрмитовские, собственные значения их будут действительными числами, образующими непрерывную, дискретную или смешанную последовательность, которая называется спектром этого оператора.

Собственные функции образуют, по крайней мере в общем случае, полный набор ортогональных функций, т е. какой бы ни была любая непрерывная функция, ее можно разложить в ряд по этим собственным функциям. С этими свойствами собственных функций и собственных значений мы уже встречались, когда говорили о собственных значениях и собственных функциях оператора Гамильтона в шредингеровском методе квантования. В этом методе предполагалось, что лишь некоторые, значения энергии квантованной системы являются собственными значениями оператора Гамильтона, который соответствует ее энергии. Обобщая эту идею, общая вероятностная теория волновой механики выдвигает следующий первый основной постулат, который можно назвать принципом квантования: точное измерение какой-либо механической величины может дать в качестве значения этой величины лишь одно из собственных значений соответствующего оператора.

В каждом случае этот постулат фиксирует возможные значения механической величины. Очевидно, его нужно дополнить вторым постулатом, говорящим о том, каковы вероятности измерения различных значений некоторых величин для частицы, начальное состояние которой до намерения известно, т е. какова вероятность получить возможные значения этих величин в результате измерения. В волновой механике начальное состояние частицы, известное до измерения, изображается определенной волновой функцией. Это и есть «КСИ»-волна, которая возмущается измерительным прибором. Аналогия с разложением спектра призмой подсказывает, каким должен быть второй постулат. Действительно, «КСИ»-волну можно разложить в ряд по собственным функциям, соответствующим измеряемой физической величине. Совершенно естественно предположить, что квадраты амплитуд компонент этого спектрального разложения служат мерой относительных вероятностей различных допустимых значений. Итак, можно сформулировать второй фундаментальный постулат, обобщенный принцип спектрального разложения: вероятности различных возможных значений некоторой механической величины, характеризующей частицу, волновая «КСИ»-функция которой известна, пропорциональны квадратам модуля амплитуд соответствующих компонент спектрального разложения «КСИ»-функции по собственным функциям рассматриваемой величины.

Совершенно очевидно, что метод спектрального разложения Борна, который применяется к квантованию специальной механической величины – энергии – есть частный случай этого второго принципа.

Гораздо менее очевидно, что уже упоминавшийся принцип интерференции – тоже частный случай этого принципа. Однако рассуждения, которые нельзя здесь приводить, показывают, что, применяя обобщенный принцип спектрального разложения к другой специальной механической величине – координате частицы, – мы получим принцип интерференции, Таким образом, оба принципа, которые мы ввели в одной из предыдущих глав для того, чтобы приступить к физической интерпретации волновой механики, оказываются частными случаями второго фундаментального постулата общей теории.

Два этих постулата, введенные в настоящем разделе, представляют, следовательно, достаточную основу для полной и ясной вероятностной интерпретации новой механики. Возникают, очевидно, еще мелкие дополнительные вопросы: чтобы получить значения вероятностей в абсолютной мере, необходимо нормировать собственные функции и «КСИ»-функцию; чтобы учесть вырожденные случаи, когда имеются многократные собственные значения, необходимо расширить формулировку второго принципа и т д. Однако это детали. Основы же теории сформулированы в логически удовлетворительной форме.

А теперь мы хотим предупредить возражение, которое может возникнуть у многих читателей при чтении этого раздела: не оказывается ли эта вероятностная интерпретация новой механики, хотя и очень красивая и очень ясная, несколько произвольной. Зачем нужны понятия, столь сложные и столь противоречащие привычным представлениям классической механики? Оказывается, что вероятностная интерпретация это единственная возможная на сегодняшний день. Это означает, что сегодня она одна позволяет объяснить в рамках волновой механики все квантовые явления, которые наблюдаются экспериментально. Ни одна из попыток, сделанных в любых других направлениях, не привела к успеху. Автору данной книги это известно лучше, чем кому-либо другому, ибо он сам предпринимал попытки такого рода, которые ему в конце концов пришлось оставить из-за возникших непреодолимых трудностей.

Итак, можно сказать, что введенные выше фундаментальные постулаты оправданы тем, что на их основе можно построить последовательную теорию, согласующуюся со всеми экспериментальными фактами, и невозможно построить никакой другой теории, обладающей такими же свойствами. Таково положение со всеми физическими теориями, ибо в основе любой физической теории лежат произвольные постулаты, и успех их в том именно и заключается, что их применение правильно описывает наблюдаемые явления.

Ниже мы строго установим глубокое различие между вероятностной интерпретацией новой механики и классическими теориями. Здесь же ограничимся указанием, что изученные в настоящем разделе принципы в более абстрактной и даже более общей форме под именем теории преобразований легли в основу работ Дирака и Иордана.

2. Соотношение неопределенностей

Физическая интерпретация новой механики ведет к очень интересным и важным следствиям, на которые впервые обратил внимание Гейзенберг, Математически они выражаются неравенствами, известными сегодня под названием соотношений неопределенности. Гейзенберг вывел эти неравенства из не коммутативности величин в своей новой квантовой механике. Чтобы пояснить их смысл, будем исходить из представления, которое дает нам волновая механика. Покажем, что эти соотношения – неизбежное следствие описанной физической интерпретации волновой механики, если предположить, что состояние частицы всегда изображается «КСИ»-волной.