ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПОРТФЕЛЯ К НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ИЗМЕНЕНИЯМ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
Дюрация при изменении формы кривой доходности
Первая методика основывается на чувствительности портфеля к изменению наклона кривой доходности. Первый шаг в применении этой методики заключается в определение того, что подразумевается под наклоном кривой доходности. Участники рынка используют различные определения. Некоторые считают наклоном разницу в кривой доходности казначейских ценных бумаг на двух уровнях сроков погашения. Например, наклон кривой доходности можно определить как разницу между доходностью показателя для долгосрочных (30-летних казначейских облигаций) и двухлетних казначейских облигаций «в ходу». Некоторые считают коротким сроком погашения 6 месяцев.
Одна из первых мер по данной методике была представлена тремя исследователями из инвестиционной компании Salomon Brothers (теперь называемой Salomon Smith Barney): Клаффки, Ма и Нозари[27]. Они назвали ее дюрацией при изменении формы кривой доходности. Они выбрали три срока погашения: 2 года, 10 лет и 30 лет. Используя эти три срока, они рассчитали спред между доходностью десятилетних и двухлетних облигаций и назвали его спредом короткого конца кривой доходности (SEDUR), спред между доходностью тридцатилетних и десятилетних облигаций называется спредом длинного конца кривой доходности (LEDUR). Однако эти концепции применимы и к другим точкам на кривой доходности.
Чтобы рассчитать SEDUR портфеля, сначала рассчитывается изменение в цене каждой ценной бумаги для:
1. увеличения крутизны кривой доходности в коротком конце на х базисных пунктов
2. уменьшения крутизны кривой доходности в коротком конце на х базисных пунктов
Доходность портфеля для кривой доходности рассчитывается путем сложения доходности каждой ценной бумаги портфеля после увеличения крутизны. Обозначим эту доходность как VSE,S, где V означает доходность портфеля, SE короткий конец, а S – увеличение крутизны. Точно так же доходность портфеля после уменьшения крутизны рассчитывается путем сложения доходности каждой ценной бумаги портфеля, а получившаяся доходность обозначается как VSE,F, где F означает уменьшение крутизны. Тогда SEDUR рассчитывается следующим образом:
где V0 является первоначальной доходностью портфеля (доходностью до увеличения или уменьшения крутизны), а ?y – числом базисных пунктов, используемых для расчета увеличения или уменьшения крутизны кривой доходности (х).
Сравните приведенную выше формулу с формулой (4.23) для расчета аппроксимированной дюрации. Обратите внимание, что это та же самая формула, но вместо P используется V, и P— и P+ заменены на VSE,S и VSE,F соответственно.
Чтобы рассчитать LEDUR портфеля, сначала рассчитывается изменение в цене каждой ценной бумаги для:
1. уменьшения крутизны кривой доходности в длинном конце на х базисных пунктов
2. увеличения крутизны кривой доходности в длинном конце на х базисных пунктов
Доходность портфеля после каждого изменения обозначается как VLE,S и VLE,F, где LE обозначает длинный конец кривой доходности. Затем рассчитывается LEDUR по следующей формуле:
SEDUR и LEDUR интерпретируются следующим образом. SEDUR является приблизительным процентным изменением доходности портфеля для изменения наклона короткого конца кривой доходности на 100 базисных пунктов. LEDUR является приблизительным процентным изменением доходности портфеля для изменения наклона длинного конца кривой доходности на 100 базисных пунктов.
Дюрация ключевых процентных ставок
Наиболее популярной мерой оценки чувствительности ценной бумаги или портфеля к изменениям кривой доходности является дюрация ключевых процентных ставок.
Вычисление значения дюрации ключевых процентных ставок в общем сводится к следующему: изменяется доходность для определенной даты погашения на кривой доходности, а затем при прочих равных определяется чувствительность ценной бумаги или портфеля к этому изменению. Чувствительность, выражающаяся в изменении стоимости портфеля при определенном изменении доходности, носит название дюрации процентной ставки. Для каждой точки кривой доходности существует своя дюрация процентной ставки. Таким образом, можно говорить не об одном значении дюрации процентной ставки, а о векторе дюраций, охватывающем все даты погашения на кривой доходности. Общее изменение стоимости облигации или портфеля при изменении всех процентных ставок на одинаковое число базисных пунктов – это то самое значение дюрации, о котором шла речь выше в этой главе.
Идея использования множественных дюраций была предложена Дональдом Чамберсом и Виллардом Карлтоном в 1988 году; исследователи назвали новую меру вектором дюраций[28]. Роберт Рейтано в нескольких статьях писал об аналогичных методиках; свою дюрацию он назвал частичной дюрацией[29]. Наибольшую популярность получило, однако, исследование Томаса Хоу 1992 года: здесь речь шла о дюрациях процентных ставок[30].
Хоу предложил обратить особое внимание на 11 ключевых сроков погашения, расположенных на кривой казначейских ценных бумаг, которые мы обсудим в главе 5. Специфическая кривая, использованная при анализе, получила название кривой казначейских спот-ставок: она показывает, как зависят от срока до погашения доходности бескупонных казначейских ценных бумаг (подробнее см. главу 5). Дюрации процентных ставок в этих точках были названы дюрациями ключевых процентных ставок. Длительности, для которых принято измерять значения дюрации ключевых процентных ставок, – 3 месяца, 1 год, 2 года, 3 года, 5 лет, 7, 10, 15, 20, 25 и 30 лет. Изменения ставок в промежутке между двумя ключевыми процентными ставками вычисляются с помощью линейной аппроксимации.
Дюрация ключевых процентных ставок для данного срока погашения интерпретируется следующим образом: при неизменной доходности для всех прочих сроков погашения, дюрация ключевой процентной ставки – это примерное процентное изменение стоимости портфеля (облигации) при изменении на 100 базисных пунктов доходности для определенного срока погашения. Дюрация ключевой процентной ставки, таким образом, находится через изменение доходности данного срока погашения и выяснение размера соответствующего изменения стоимости (цены). Иными словами, мы используем здесь формулу (4.23). Величины, обозначенные в ней как Р– и Р+, – это стоимости портфеля в случае измерения чувствительности портфеля в целом (доходность меняется только для срока погашения, для которого должна быть выяснена дюрация ключевой ставки; прочие процентные ставки оставляются без изменений).
Для того чтобы понятие дюрации ключевых процентных ставок стало в полной мере ясно читателю, обратимся к анализу трех реальных портфелей. Таблица 4.11 демонстрирует данные, относящиеся к трем портфелям, состоящим из казначейских бумаг разной длительности (информация приводится на 22 марта 2006 года). У всех портфелей одинаковая дюрация: она равна 4,26[31].
В таблице приводятся дюрации ключевых процентных ставок для каждой ценной бумаги и для каждого портфеля. Выясняется, что дюрации ключевых процентных ставок для трех портфелей различны. Рассмотрим дюрации ключевой процентной ставки для срока погашения 30 лет во всех трех портфелях. В первом портфеле дюрация ключевой процентной ставки для длительности, равной 30 годам, составляет 0,675. Это значит, что при изменении спот-ставки на 30-летние казначейские бумаги на 100 базисных пунктов (при неизменности спот-ставок для прочих сроков погашения) стоимость портфеля изменится примерно на 0,675 %. Для второго портфеля дюрация ключевой процентной ставки для срока погашения 30 лет равна нулю. Таким образом, при изменении на 100 базисных пунктов спот-ставки на 30-летние казначейские бумаги (напомним, что спот-ставки для прочих длительностей остаются прежними) стоимость второго портфеля не претерпит никаких изменений. Дюрация ключевой процентной ставки третьего портфеля для срока погашения 30 лет составляет 0,594: при изменении на 100 базисных пунктов 30-летней спот-ставки (ставки для прочих длительностей не меняются) стоимость этого портфеля изменится на 0,594 %.
Вывод очевиден: несмотря на то что дюрации всех трех портфелей одинаковы (4, 26), портфели по-разному отреагируют на изменение 30-летних спот-ставок. Из материалов таблицы можно заключить, что реакция каждого из портфелей на изменения процентных ставок для той или иной длительности будет различна.
Резюме
Зависимость цена – доходность для всех облигаций без встроенных опционов является выпуклой функцией. Волатильность цен облигации, не имеющей встроенных опционов, характеризуется тремя признаками: 1) при малых изменениях доходности процентные изменения цены симметричны; 2) при существенных изменениях доходности процентные изменения цены асимметричны, и 3) в случае существенных изменений доходности рост цены больше, чем ее падение при изменении доходности на ту же абсолютную величину.
Волатильность цены облигации без встроенного опциона зависит от двух параметров облигации – ее длительности и купона, а также от уровня доходности, при котором торгуется данная ценная бумага. При данных длительности и доходности: чем ниже купонная ставка, тем выше волатильность цен. При данных купонной ставке и доходности: чем больше длительность, тем выше волатильность. При данной купонной ставке и длительности: чем ниже доходность, тем выше волатильность цен.
Существует две меры волатильности цены облигации: ценовая стоимость базисного пункта и дюрация. Мы рассмотрим различные меры дюрации – дюрацию Маколея, модифицированную дюрацию и долларовую дюрацию – и покажем отношения между волатильностью цены облигации и каждой из этих мер. Модифицированная дюрация является аппроксимированным процентным изменением цены для изменения доходности на 100 базисных пунктов. Долларовая дюрация является аппроксимированным изменением долларовой цены.
Дюрация – удобная мера определения процентного изменения цены при малых изменениях доходности. Между тем в ситуации существенного изменения доходности данная величина оказывается не столь надежной. Аппроксимированное изменение цены, вычисляемое на основе дюрации, может быть уточнено благодаря использованию понятия «выпуклость». Дюрация и выпуклость вместе взятые позволяют получить прекрасную аппроксимацию изменений цены при значительных изменениях доходности.
Дюрация – это аппроксимация ценовых изменений при условии параллельных смещений кривой доходности. Дюрацию не следует интерпретировать как средневзвешенный срок до погашения облигации. Для некоторых облигаций значение модифицированной дюрации может превышать срок до погашения. Дюрация и выпуклость могут быть вычислены путем изучения поведения цены облигации при росте и падении доходности на небольшое число базисных пунктов. Дюрация облигации с обратной плавающей ставкой линейно зависит от дюрации облигации, являющейся обеспечением.
Дюрация портфеля – это средневзвешенная дюрация облигаций, входящих в портфель. Менеджер, определяющий чувствительность портфеля к изменениям процентных ставок с помощью дюрации, исходит из предположения о том, что процентные ставки для всех сроков погашения меняются на одинаковое число базисных пунктов. Для того чтобы выяснить, насколько чувствителен портфель к неодинаковым изменениям процентных ставок, следует вычислить величину дюрации процентных ставок. Дюрация процентной ставки – это приблизительное изменение стоимости портфеля (облигации) при изменении процентной ставки для конкретного срока до погашения при условии, что процентные ставки для прочих длительностей остались без изменений. Инвестор может найти также значения дюрации ключевых процентных ставок, т. е. дюрации процентных ставок для ключевых сроков до погашения.
Вопросы
1. Ценовая стоимость базисного пункта не зависит от того, растет или падает доходность на 1 базисный пункт. В то же время ценовая стоимость 100 базисных пунктов (т. е. изменение цены при изменении процентных ставок на 100 базисных пунктов) будет одной, если доходность растет, и другой – если доходность падает. Почему?
2. Вычислите следующие величины для облигаций А и В (предположим, что обе облигации выплачивают купон раз в полгода):
а. Ценовую стоимость базисного пункта.
b. Дюрацию Маколея.
c. Модифицированную дюрацию.
d. Аппроксимированную дюрацию на основе упрощенной формулы при изменении доходности на 20 базисных пунктов; сравните результат с модифицированной дюрацией, полученной в пункте d.
e. Меру выпуклости.
f. Аппроксимированную меру выпуклости на основе упрощенной формулы, при изменении доходности на 20 базисных пунктов; сравните результат с мерой выпуклости, подсчитанной в пункте е.
3. Можете ли вы на основе данной информации сделать вывод о том, какая из трех облигаций имеет более высокую волатильность цены? (Подразумевается, что все облигации торгуются под одинаковую доходность к погашению.)
4. Для облигаций А и В из вопроса 2:
а. Вычислите точную цену облигации при росте процентных ставок на 100 базисных пунктов.
b. Пользуясь значением дюрации, сделайте приблизительный расчет цены облигации при изменении процентных ставок на 100 базисных пунктов.
c. Пользуясь одновременно и значением дюрации, и значением меры выпуклости, сделайте приблизительный расчет цены облигации при изменении процентных ставок на 100 базисных пунктов.
d. Сделайте вывод относительно точности результатов пунктов b и c и объясните, почему один результат ближе к реальному, чем другой.
e. Не прибегая к вычислениям, скажите, увеличится или уменьшится дюрация двух облигаций, если доходность к погашению составит не 8 %, а 10 %.
5. Объясните свое согласие или несогласие со следующим высказыванием: поскольку дюрация облигации с нулевым купоном равна ее длительности, чувствительность цены такой облигации к изменениям доходности не зависит от уровня процентных ставок.
6. Объясните свое согласие или несогласие со следующим утверждением: если процентные ставки низки, между величинами дюрации Маколея и модифицированной дюрации существует лишь небольшая разница.
7. Объясните свое согласие или несогласие со следующим высказыванием: если у двух облигаций одинаковые долларовые дюрации, доходности и цены, реакции их цен (в долларах) на данное изменение процентных ставок также будут одинаковы.
8. Объясните свое согласие или несогласие со следующим утверждением: при изменении доходности на 1 базисный пункт ценовая стоимость базисного пункта равна долларовой дюрации.
9. 26 ноября 1990 года в BondWeek появилась статья «Van Kampen Merritt сокращает портфель». Вот начало статьи: «Петер Хегель, первый вице-президент Van Kampen Merritt Investment Advisory, сокращает свой 3-миллиардный портфель со 110 % его обычной дюрации в размере 6,5 лет до 103–105 %, поскольку считает, что на краткосрочном горизонте рост облигаций подходит к концу». Объясните, во-первых, суть стратегии Хегеля и, во-вторых, опишите роль дюрации в этой стратегии.
10. Проанализируйте следующие две казначейские ценные бумаги:
У какой из облигаций будет более высокая долларовая волатильность цены при изменении процентных ставок на 25 базисных пунктов?
11. Каковы недостатки дюрации как меры чувствительности цены к изменению процентных ставок?
12. Следующий параграф взят из статьи, озаглавленной «Denver Investment обменивает $800 млн казначейских ценных бумаг» (статья появилась 9 декабря 1991 года на стр. 1 BondWeek): «Denver Investment Advisors обменивает $800 млн долгосрочных бескупонных казначейских облигаций на среднесрочные казначейские облигации… Такой своп сократит дюрацию 2,5-миллиардного портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом…» Почему данный своп должен привести к уменьшению дюрации портфеля?
13. Вы портфельный менеджер, представляющий клиенту отчет. В отчете указывается дюрация каждой ценной бумаги, входящей в портфель. Одна из ценных бумаг имеет срок до погашения 15 лет и дюрацию 25 лет. Клиент полагает, что в отчете ошибка: он думает, что дюрация не может превышать длительность облигации. Что вы ответите клиенту?
14. a. Предположим, что дюрация спреда облигации с фиксированной ставкой равна 2,5. Каково будет аппроксимированное изменение цены облигации, если спред изменится на 50 базисных пунктов? b. Какова дюрация спреда казначейской ценной бумаги?
15. Что подразумевается под дюрацией спреда облигации с плавающей ставкой?
16. Объясните, почему дюрация облигации с обратной плавающей ставкой является произведением дюрации базовой облигации (обеспечения) на определенный коэффициент.
17. Проанализируйте такой портфель:
a. Какова дюрация портфеля?
b. Каким будет процентное изменение стоимости портфеля при изменении процентных ставок для всех сроков до погашения на 50 базисных пунктов?
c. Каков вклад в портфельную дюрацию каждой из облигаций?
18. «Если у двух портфелей одинаковые дюрации, то величины изменения их стоимостей при изменении процентных ставок будут равны». Вы согласны с этим высказыванием? Почему?
19. В пятом издании «Пособия по ценным бумагам с фиксированным доходом» («The Handbook of Fixed Income Securities», Irwin Professional Publishing, 1997) на стр. 104 приводится следующая формула вычисления аппроксимированной меры выпуклости:
где переменными обозначены те же величины, что и в формуле (4.24) настоящей главы. Сравните эту формулу с формулой вычисления аппроксимированной меры выпуклости (4.24). Какая из формул правильная?
20. a. Как рассчитывается дюрация короткого конца портфеля? b. Как рассчитывается дюрация длинного конца портфеля? c. Дайте определение короткого и длинного конца портфеля. d. Предположим, что SEDUR портфеля равен 3. Каково аппроксимированное изменение доходности портфеля, если наклон короткого конца кривой доходности изменился на 25 базисных пунктов?
21. а. Объясните, как следует интерпретировать 10-летнюю дюрацию ключевой процентной ставки, равную 0,35. b. Как вычисляется дюрация ключевой процентной ставки?