Введение в логику и научный метод

Моррис Коэн; Эрнест Нагель

Введение в логику и научный метод

Уважаемый читатель!

Первоначально издательство «Социум» начинало перевод этой книги в рамках программы издания учебных пособий для университетского курса по экономической теории австрийской школы. Однако в ходе перевода и научного рецензирования выяснилось, что она будет полезна также студентам-философам и аспирантам.

Людвиг фон Мизес, один из классиков австрийской экономической школы, говорил, что подготовка экономистов должна начинаться с изучения этой книги М. Коэна и Э. Нагеля. Мы же можем сказать, что она является ключом к пониманию главного теоретического труда самого Людвига фон Мизеса – «Человеческая деятельность: Трактат по экономической теории», – в котором Мизес показал, что все утверждения экономической теории выводятся из так называемой аксиомы человеческой деятельности, гласящей, что «сущность действия заключается в предпочтении одного варианта и отклонении всех остальных». Причем вывод осуществляется средствами обычной, даже не математической, логики. Например, для понимания научного статуса экономических законов и метода их выведения необходимо разобраться в том, что такое логическая импликация, и книга Коэна и Нагеля помогает уяснить, что означает одно из центральных методологических заявлений Мизеса: «В понятии денег уже заключены все теоремы денежной теории».

С точки зрения философов и логиков по некоторым параметрам книга М. Коэна и Э. Нагеля не имеет аналогов среди отечественных учебников. Прежде всего авторам удалось органично совместить силлогистику Аристотеля с формализованным языком математической логики. Во-вторых, предмет второй части книги – методология познания, излагается в неразрывной связи с логикой. Ну и наконец, будучи написанной авторами, до сих пор считающимися крупнейшими философами и методологами науки, книга представляет интерес не только для студентов и аспирантов, но и для специалистов в этой области знания.

Со своей стороны, способствуя изданию этой книги, мы также поможем ей сразу после выхода в свет оказаться на всех кафедрах философии российских вузов.

Николай Дёмкин генеральный директор ОАО «ПЗСП»,

город Пермь

Об авторах

Моррис Рафаэль КОЭН

(20 июля 1880 – 28 января 1947)

Американский философ, юрист и теоретик права, объединивший прагматизм с логическим позитивизмом и лингвистическим анализом. По свидетельству Гарольда Ласки, Бертран Рассел называл Коэна наиболее значительным философом США.

Родился в Российской империи и до 12 лет жил с родителями в еврейском гетто в Минске. В 1892 г. его семья эмигрировала в США. В 1895 г. Моррис поступил в Городской колледж Нью-Йорка (College of the City of New York). Нищенское существование семьи пробудило в нем интерес к социализму (кроме того, его родители принимали активное участие в нью-йоркском рабочем движении), а чтение сочинений Маркса и Гегеля привело к углубленному изучению философии. Решающую роль в формировании научных интересов Коэна сыграла встреча со странствующим шотландским философом, специалистом по философии Аристотеля Томасом Дэвидсоном, разъезжавшим с лекциями по разным странам и университетам. Под его руководством Моррис Коэн читал Аристотеля, Платона, Юма, Канта.

После окончания колледжа Коэн преподавал там математику (в 1902–1904 гг.), продолжая обучение в Колумбийском и Гарвардском универстетах. В 1906 г. защитил докторскую диссертацию в Гарвардском университете. Вернувшись в Городской колледж, продолжил преподавать математику до 1912 г., когда, наконец, был принят в штат философского факультета. Здесь он сразу начал читать новые курсы: философии науки, философии права и позднее философии цивилизации. Кроме того, он читал курсы по метафизике, этике, античной философии и истории философии. В 1934 г. вместе со своим бывшим студентом Эрнстом Нагелем опубликовал один из первых учебников по философии «Введение в логику и научный метод», быстро ставший классическим учебником в американских университетах и учебных заведениях вооруженных сил. Как преподаватель Коэн вошел в легенду за свое остроумие, энциклопедические знания и способность разрушать философские системы. Во многом благодаря Коэну в 1930-е годы Городской колледж Нью-Йорка снискал славу «пролетарского Гарварда». В 1953 г. именем Морриса Коэна названа библиотека Городского колледжа. В качестве приглашенного профессора Коэн читал лекции по философии и праву в университете Джона Хопкинса, в Йельском, Стэнфонрдском и Гарвардском университетах.

В философии Морис Коэн был логическим реалистом, для которого отношения и универсалии были реальны, а не номинальны. В 1931 г. он опубликовал свое главное философское сочинение «Разум и природа: очерк о смысле научного метода» («Reason and Nature: An Essay on the Meaning of Scientific Method»). Знакомство с Феликсом Франкфуртером в аспирантские годы в Гарвардском университете пробудило в Коэне живой интерес к юриспруденции и привело к написанию книги «Право и социальный порядок: очерки по философии права» (он анализировал законодательство в строгом соответствии с эмпирическими критериями; выводы, к которым пришел Коэн, были близки к идеям социализма). В 1938 г. Коэн оставил преподавание, посвятив себя научной работе. Он называл логику источником жизненной силы философии и в 1945 г. издал небольшую книжку «Предисловие к логике» («А Preface to Logic»), где попытался обрисовать место логики во Вселенной. В работе «Смысл человеческой истории» (1947) Коэн высказал мысль, что история человечества носит не линейный характер, но выражается в циклическом процессе расцвета и упадка. Он полагал, что правде время от времени удается утвердиться, несмотря на непрерывные стремления подавить ее.

Незаконченные им при жизни книги был впоследствии изданы его сыном Феликсом.

Reason and Nature (1931, rev. 1953)

Law and the Social Order (1933)

An Introduction to Logic and the Scientific Method (с Эрнстом Нагелем, 1934)

The Faith of a Liberal (1945)

A Preface to Logic (1945)

The Meaning of Human History (1947)

A Source Book in Greek Science (1948)

Studies in Philosophy and Science (1949)

A Dreamer’s Journey (1949) (автобиография)

Reflections of a Wondering Jew (1950)

Reason and Law: Studies in Juristic Philosophy (1950)

Readings in Jurisprudence and Legal Philosophy (1951)

King Saul’s Daughter: A Biblical Dialogue (1952)

American Thought, a Critical Sketch (1954)

Эрнест Нагель

(16 ноября 1901 – 20 сентября 1985)

Американский философ науки и логик. Разработал концепцию так называемого «контекстуального натурализма», основанную на синтезе неопозитивизма и прагматизма. Автор ряда трудов по логике и методологии науки.

Родился в Австро-Венгерской империи в моравском городке Нейштадтль (сейчас Новое Место-на-Вагом в Словакии). В 1911 г. с родителями эмигрировал в США. В 1923 г. получил степень бакалавра в Городском колледже Нью-Йорка, а в 1930-м – докторскую степень в Колумбийском университете. За исключением первого года преподавательской карьеры в Городском колледже и одного учебного года (1966/67), проведенного в Университете Рокфеллера, вся научная и преподавательская деятельность Нагеля связана с Колумбийским университетом. Долгое время работал редактором «Journal of Philosophy» (1939–1956), а также «Journal of Symbolic Logic» (1940–1946).

В 1936 г., после годичной научной командировки в Европу, Нагель познакомил американских коллег с работами европейских философов Людвига Витгинштейна и Рудольфа Карнапа, опубликовав в «Journal of Philosophy» статью «Impressions and Appraisals of Analytic Philosophy in Europe». Нагель предпринял попытку вписать учения логических позитивистов в более всеобъемлющую структуру американского прагматического натурализма. Под влиянием логического позитивизма Нагель разработал концепцию логики и математики, выраженную в лингвистических терминах, изложив ее в статье «Логика без онтологии» (1944).

Свои философские взгляды Нагель называл «контекстуальным натурализмом». Признавая природу единственным и всеобъемлющим объектом познания и подчеркивая приоритетное значение научных методов исследования, Нагель в своей трактовке научного знания сохраняет приверженность логическому эмпиризму, ибо для него логико-математические принципы выражают лингвистические правила, а осмысленность эмпирических высказываний определяется их подтверждаемостью на опыте. Однако он не согласен с чисто конвенционалистской трактовкой логики и не склонен считать чувственные данные тем фундаментом, на котором можно построить структуру знания, ибо само эмпирическое познание невозможно без логических средств анализа. В трактовке логикоматематических принципов, считает Нагель, следует прежде всего учитывать их функции в конкретных научно-исследовательских контекстах. В своей наиболее известной книге «Структура науки» (1961) Нагель рассматривает широкий круг вопросов о природе объяснения, логике научного исследования, структуре научного знания и т. д. Он детально разрабатывает гипотетико-дедуктивную модель объяснения как единый тип объяснения для всех наук, включая биологические и социальные. Согласно этой модели, объяснить какое-либо явление – значит показать, что оно выводимо из некоторого множества законов, действующих при определенных («начальных») условиях. Историк, как и любой другой ученый, должен объяснить, почему произошло то или иное событие, а для этого ему нужно выявить детерминированные «регулярности» в развитии общества. Однако детерминизм в истории ни в коей мере не означает, по мнению Нагеля, признания «исторической неизбежности» и не отменяет моральной ответственности людей.

An Introduction to Logic and Scientific Method (с М. Коэном, 1934)

Principles of the Theory of Probability // International encyclopedia of unified science. Vol. 1. No. 6. Chicago: The University of Chicago Press, 1939

The Logic of Measurement (1939)

The Formation of Modern Conceptions of Formal Logic In the Development of Geometry // Osiris 7(1939) 142–224

The Meaning of Reduction in the Natural Sciences // Science and Civilization. Ed. Robert C. Stouffer (1949)

Sovereign Reason, and Other Studies in the Philosophy of Science (1954)

Logic without Metaphysics, and Other Essays in the Philorophy of Science (1957)

GodePs Proof (с Дж. P. Ньюманом, 1958)

The Structure of Science: Problems in the Logic of Scientific Explanation (1961)

Observation and Theory in Science (с соавторами, 1971)

Teleology Revisited and Other Essays in the Philosophy and History of Science (1979)

Предисловие переводчика

Общая характеристика книги

Сегодня в России издается и переиздается большое число учебников по логике. В основном они ориентированы на базовый университетский курс, включающий в себя ряд тем по традиционной аристотелевской логике, исчислению высказываний, а также введение в теорию аргументации. Основным характерным недостатком многих из современных отечественных изданий является их несоответствие времени, выражающееся в том, что в них просто в более адаптированном виде переписывается содержание старых классических учебников. Это приводит к тому, что изучающие их студенты получают некоторую информацию, но не знают, как именно она связана с современной наукой. Точно так же в результате работы с такого рода учебниками студенты, обретая некоторые навыки оперирования понятиями и суждениями, совершенно не знают, как именно их применять в реальной исследовательской практике в рамках тех дисциплин, в которых они специализируются.

Перевод данного издания – попытка поспособствовать преодолению этой проблемы. Предлагаемый учебник далеко не новый: впервые он вышел в свет в США в 1934 году. Однако ценность его далеко не только историческая. Несмотря на достаточную старость этого учебника, его издание представляется крайне востребованным в современном российском контексте, именно потому что он является показательным примером того, каким образом можно решить проблему совмещения изложения традиционной логики с введением в современную математическую логику, с одной стороны, и продемонстрировать востребованность логики в методологии других научных дисциплин – с другой. Косвенным подтверждением сказанного может служить хотя бы тот факт, что именно «Введение в логику и научный метод» М. Коэна и Э. Нагеля на протяжении десятилетий являлся основным учебником по данной дисциплине в подавляющем большинстве американских вузов. Эта книга неоднократно переиздавалась и продолжает переиздаваться (последнее переиздание – 2007 года).

Данный учебник представляет отдельную ценность еще и спецификой самого изложения материала, в которой авторы, по собственному признанию, стремились предложить сочетание «реалистического формализма Аристотеля, научной проницательности Пирса, педагогической последовательности Дьюи и математической строгости Рассела». Результатом этого совмещения стал способ подачи материала, во многом отличающийся от канонов, принятых в отечественной традиции. В этом отношении данный учебник может оказаться весьма полезным дополнением также и для преподавателей логики, философии науки, теории аргументации и концепций современного естествознания, поскольку предлагает альтернативный подход к изложению таких стандартных тем, как учение о силлогизме, анализ суждений, вероятностный вывод и логические ошибки.

Однако предлагаемая книга – это не только учебник по логике. Ее авторы до сих пор считаются крупнейшими философами и методологами науки. Поэтому она также представляет собой и философское произведение, содержащее анализ предмета логики и природы научного метода, рассмотрение той роли, которую методы логики играют в научном познании, а также критику многих альтернативных подходов к истолкованию логики и науки в целом. В этом отношении данная книга будет бесспорно представлять интерес и для специалистов в области философии и методологии науки.

Такова общая характеристика предлагаемого произведения. Оставшиеся части предисловия будут посвящены уже более подробному обсуждению ключевых аспектов, конституирующих его специфику: присущих ему особенностей и преимуществ как учебника по логике, содержащегося в нем анализа проблематики философии и методологии науки, ряда специфических свойств, которые данная книга имеет в силу ее относительной старости, и, наконец, некоторых трудностей, связанных с переводом ряда терминов. Предполагается, что эти части смогут способствовать более легкой и удобной навигации по тексту книги для тех, кого скорее интересуют лишь отдельные аспекты ее содержания. Читатели же, больше интересующиеся общим содержанием учебника в его оригинальной подаче, могут смело пропустить все нижеследующие части данного предисловия и приступить к непосредственному ознакомлению с ним.

Специфика книги как учебника по логике

Как учебник по логике, «Введение в логику и научный метод» содержит все стандартные темы, преподаваемые в базовом курсе по этой дисциплине, однако их изложение является более подробным, последовательным и систематизированным, чем во многих других учебниках, в том числе и современных. Как признают сами авторы, несмотря на проведенную ими существенную модификацию взглядов Аристотеля, в данном учебнике, тем не менее, сохранена классическая аристотелевская схема изложения материала: термины, суждения, силлогизмы, связанные формы умозаключения, научный метод, вероятность и ошибки.

Однако помимо классического минимума эта книга содержит также и ряд дополнительных глав, которые не только уточняют и исправляют традиционное учение, но и существенным образом расширяют его. Так, две главы книги (VI и VII) посвящены изложению природы символической логики и основ математической системы. Основная функция данных глав заключается в изложении основ современной математической логики как продолжения и развития исходного аристотелевского учения, а не как «новой» появившейся во второй половине XIX в. логики, практически ничем не связанной с традиционной.

Указанная преемственность в первую очередь демонстрируется на примере экспликации авторами предмета логики, в которой они опираются именно на учение Аристотеля. Логика – это наука об обоснованном выводе. Этим определением авторы противостоят различным редукционистским определениям предмета логики (с. 47–53) и, главным образом, неокантианской традиции, согласно которой логику следует определять как науку о законах правильного мышления. (Следует заметить, что данное определение в отечественных учебниках до сих пор является доминирующим.) Логика, утверждают авторы, не исследует ни сознание, ни мышление, а имеет собственную независимую предметную область. Если же правильное мышление согласуется с законами логики, то это еще не значит, что логические законы суть психологические законы. Подобное определение логики, по мнению авторов книги, может привести к пренебрежению ключевыми свойствами данной дисциплины «и предпочтению тех, которые напрямую связаны с нормативным мышлением». На протяжении всей книги авторы возвращаются к опровержению восходящего к неокантианству понимания предмета логики (с. 49–51, 168, 261–268, 594–595).

Также связь традиционной и современной символической логики исследуется авторами при рассмотрении ограниченности метода силлогизма и его сравнении с потенциалом правил вывода современного логико-математического аппарата, тех операций, которые можно осуществлять лишь в рамках современного анализа и той общей функциональной ценности, которой обладают символы в научном познании (гл. VI, §§ 1–4).

Значительная часть книги посвящена исследованию в области прикладной логики. В главе, посвященной экспериментальным методам (гл. XIII) авторы не просто излагают суть разработанного Дж. С. Миллем учения об индукции, но также исследуют ограниченность каждого из этих методов в посвященном ему параграфе. Помимо главы, посвященной природе индуктивного вывода, книга содержит обстоятельное рассмотрение того, какую роль играет индукция в действительной научной практике (гл. XIV, XVII). В рамках этого обсуждения авторами демонстрируется глубокая погруженность логической теории в проблематику философии и методологии науки.

Без сомнения, отдельный интерес представляет глава, посвященная статистическим методам (гл. XVI), и глава, в которой исследуется применимость логики к анализу оценочных суждений, не обладающих истинностным значением (гл. XVIII). В большинстве современных учебников по логике данные темы, как правило, лишь упоминаются, и мало где можно отыскать их адекватный систематический анализ. Авторы знакомят читателя с основными приемами, использующимися в статистике, а также, как и в случае с экспериментальными методами, предлагают критический взгляд на эти методы, устанавливая на конкретных примерах как их преимущества, так и их ограниченность. Глава о логике оценочных суждений подробно исследует проблемы, связанные с оценкой тех или иных исторических событий, без которой невозможно никакое историческое изложение, вопросы о критериях, по которым оцениваются или могут оцениваться литературные и художественные произведения, трудности с логической интерпретацией этических суждений и, наконец, то, что называется «логикой вымысла» и включает в себя проблематику эмотивного использования языка, метафоры, абстракций и т. д.

Как уже упоминалось, материал в данном учебнике преподносится в простой и понятной форме. В качестве иллюстраций авторы приводят большое количество цитат из классических работ философов, историков, ученых и литераторов, объясняют значимость излагаемых тем на примерах реальных событий из социальной и политической истории, а также из истории науки. Весьма часто подчеркивается контраст между обыденными рассуждениями и мышлением, опирающимся на законы логики, что наглядно демонстрирует преимущества последнего. Все это делает данную книгу не просто полезным методическим материалом для преподавателей курсов по логическим дисциплинам, но также и текстом, вполне доступным для самостоятельного осваивания теми, кто только начинает знакомиться с наукой логикой.

Особенности книги как произведения по философии науки

Читая классиков аналитической философии и философии науки второй половины XX века, мы не всегда задумываемся о происхождении анализируемой ими проблематики, о том, откуда берутся те или иные подходы к анализу исследуемых проблем и иллюстрирующие их примеры. Поэтому мы зачастую автоматически приписываем и выбор исследовательской методологии, и отыскание нужных примеров самим этим авторам. Это не удивительно, ведь мы не всегда знакомы со всеми дискуссиями, в контексте которых развивались взгляды крупнейших мыслителей второй половины XX столетия.

Как уже отмечалось, «Введение в логику и научный метод» на протяжении десятилетий являлась в американских университетах основной книгой по своей дисциплине. Поэтому очевидно, что о ней не могли не знать американские философы, получившие известность через 30–40 лет после ее появления. В этом смысле ознакомление с ее содержанием позволяет пролить свет на многие вопросы относительно происхождения и авторства тех идей и примеров, которые мы зачастую склонны приписывать более поздним мыслителям.

Так, ознакомившись с этой книгой, можно отыскать предположительные ответы на такие вопросы, как почему, например, С. Крипке, исследуя в начале 70-х годов различия между аналитическими, априорными и необходимыми истинами, рассматривает их на примере металлического эталона метра, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Париже: ведь к началу 70-х парижский эталон уже не считался таковым. Однако поскольку данное издание содержит целый ряд иллюстраций, в которых он фигурирует как пример, демонстрирующий неразделимость понятий аналитического, априорного и необходимого, то становится ясно, что причина, побудившая Крипке проводить установленные им различия именно на примере парижского эталона, связана скорее с его желанием противостоять мнению, распространенному на тот момент в среде логиков и философов, именно на тех примерах, которые считались лучшими подтверждениями этого мнения.

Более же важно, пожалуй, то, что, помимо подобных отдельных примеров, помогающих лучше понять дискуссии в логико-философской среде второй половины XX в., данная книга содержит целый набор аргументов, касающихся теории и методологии науки, которые разрабатывались М. Коэном и Э. Нагелем еще в начале 30-х годов (а еще раньше Ч. С. Пирсом и Дж. Дьюи), однако получили широкую известность в работах уже более поздних мыслителей, таких как У. Куайн, К. Поппер, Н. Хэнсон, И. Лакатос, Т. Кун, П. Фейерабенд и даже стали нередко ассоциироваться с их именами. Именно на этих аргументах и, как следствие, на вкладе Коэна и Нагеля в мировую философию науки хотелось бы остановиться более подробно.

Специфическая природа научной теории

Развивая идеи Дж. Дьюи, авторы предлагают анализ природы научной теории и относят к ее неотъемлемым свойствам такие характеристики, как гипотетичность, фальсифицируемость, недоопределенность данными опыта, или фактами; исследуют вопрос об обусловленности данных наблюдения и онтологий, подтверждающих теорию, самой теорией; предлагают критерий согласованности, простоты и систематичности как принцип выбора между двумя эквивалентными научными теориями. Рассмотрев суть предложенных Коэном и Нагелем аргументов, гораздо легче понять, в чем именно заключалась оригинальность и вклад в философию науки упомянутых более поздних авторов, а в чем они скорее лишь следовали традиции, уже ранее существовавшей в философском мире.

Исследуя природу научной гипотезы, Коэн и Нагель перечисляют четыре формальных условия, которым должна отвечать гипотеза для того, чтобы быть научной (гл. X, § 4). Они останавливаются на рассмотрении предсказывающей функции гипотезы и проводят различие между опровержимыми и неопровержимыми гипотезами. Здесь авторы пишут, что если в гипотезе не утверждается явного или скрытого, но, тем не менее, идентифицируемого порядка связи объясняемого положения дел, то такую гипотезу нельзя считать адекватной. Если же в гипотезе устанавливается определенный порядок связи, который предстоит верифицировать в опыте, проверив тем самым саму гипотезу, то это значит, что сама структура этой гипотезы допускает альтернативное объяснение исследуемого порядка. Именно в этом, согласно их позиции, и заключается выдвигаемое к научной гипотезе требование опровержимости, являющееся одним из ключевых ее отличий от каких-либо других гипотез (см. с. 295–296, 388–390).

В рамках этого же обсуждения Коэн и Нагель анализируют и те ситуации, в которых имеются две логически неэквивалентные теории с одинаковыми эмпирическими следствиями (или, по крайней мере, со следствиями, различия в которых нельзя установить экспериментальным образом). Принципом, которым мы должны руководствоваться при выборе между двумя такими теориями, они считают простоту: та теория, которая проще, и должна быть признана более предпочтительной (с. 298). При этом авторы поясняют требование простоты. Простая теория – это не та, которая более знакома, и не та, которую психологически проще усвоить. В таком случае геоцентрическая теория Птолемея оказалась бы проще и предпочтительнее гелиоцентрической теории Коперника. Принцип простоты научной теории заключается в систематической простоте, т. е. в возможности выводить утверждаемые теорией отношения между различными фактами из имеющихся в ней допущений.

Развивая свою мысль о том, что знакомство с большим количеством фактов само по себе не дает знания и что многие древние цивилизации, обладавшие большим количеством фактической информации, все же, в отличие от греков, не обладали наукой, Коэн и Нагель исследуют вопрос о том, насколько вообще корректно говорить о возможности подтверждения или опровержения научной теории эмпирическими фактами (гл. X, § 5). И здесь авторы отстаивают идею о том, что само по себе наблюдение не способно быть содержательным без соответствующей интерпретации данных воспринимаемого опыта. Они пишут, что, когда мы говорим, что «видим», что Земля затмевает Луну, нам следует не забывать о том, что все эти якобы видимые нами вещи «получили такое свое объяснение сравнительно недавно» (с. 301). Поэтому использование гипотез необходимо даже для интерпретации тех данных, которые, в свою очередь, призваны подтвердить или опровергнуть проверяемую научную теорию.

Данные утверждения, однако, не призваны преуменьшить значимость научного метода. В главе XIX, посвященной логическим ошибкам, авторы рассматривают стандартную ошибку кругового аргумента и проводят четкое различие между таким аргументом и тем кругом, который имеет место в соотношении корпуса научного знания и того опыта, который как бы, с одной стороны, этим корпусом задается, а с другой стороны, служит для подтверждения самого этого корпуса (с. 513, 535–536). По мнению Коэна и Нагеля, обычный круговой аргумент состоит из небольшого числа суждений, и его можно избежать. Однако круг, в рамках которого взаимосвязаны наблюдения человека и вся теоретическая наука, имеет иную природу. Он является столь обширным, что, в отличие от обычного круга в аргументации, ему нельзя предложить какой-либо альтернативы.

Перечисленные соображения относительно природы научной гипотезы вкупе с рядом более распространенных и стандартных требований (формулировка гипотезы должна позволять выводить из нее следствия, гипотеза должна давать ответ на поставленную проблему и др.) приводят авторов к идее о неразделимости теоретической и эмпирической составляющей в общем корпусе научного знания. Данное утверждение делается Коэном и Нагелем как раз в тот период, когда в Европе логические позитивисты резко противопоставляют две эти составляющие научной теории. Более того, основываясь на этих идеях, авторы книги делают целый ряд ключевых утверждений относительно природы научного метода. Последняя по счету глава, просто именуемая «Заключение», является совершенно не последней по своей философской значимости, т. к. в ней не просто подытоживаются и суммируются все сделанные в других главах утверждения относительно характерных особенностей научного метода, но и предлагается общее представление о его целостной природе.

Коэн и Нагель пишут о систематичности как идеале науки. Реализация данного идеала в науке происходит не сразу, а прогрессивно. Экспериментальные данные всегда оставляют возможность для модификации любого утверждения или даже теории в целом. В результате этого происходит отказ от одной теории и принятие другой (с. 533–536). В данном наблюдении четко прослеживаются восходящее к прагматистской философии утверждение о недоопределенности теории эмпирическими данными.

Что же касается существующей в науке множественности объяснений, которые сменяют друг друга, то это, по мнению авторов, не говорит о том, что наука неспособна обнаружить структуру исследуемой области, а, напротив, лишь демонстрирует «самокорректирующую природу научного метода», порождаемую его абстрактным логическим характером.

Научный реализм и критика псевдонаучной методологии

Онтологическая позиция Коэна и Нагеля, несмотря на их холистский подход к обоснованию научного знания, может быть охарактеризована как разновидность научного реализма. Причем данная позиция представляется авторами не столько как исходная философская посылка, порождающая все их последующие взгляды на логику и природу научного метода. Скорее наоборот: на страницах данной книги позиция научного реализма предстает как неизбежное следствие компетентности в логике и строгого ее применения в науке. Иными словами, научный реализм становится тем выводом, который авторы делают в результате разработки и изложения основ логической науки и теории научного метода. Именно эта разработка приводит их к утверждению о том, что даже такие абстрактные объекты, как числа, законы и совершенно прямые линии, должны являться реально существующими составными элементами природы. При этом их существование не в виде отдельных вещей, а в виде отношений между такими вещами не опровергает их объективного онтологического статуса (с. 502–506). Что же касается всевозможных обвинений науки в том, что она якобы имеет дело не с реальными вещами, а с создаваемыми ею самой абстрактными фикциями, они, согласно Коэну и Нагелю, происходят из логически некорректных рассуждений, вызванных неправильным пониманием научной процедуры и ее результатов (с. 517–518).

Данную установку Коэн и Нагель применяют и для критики ряда философских подходов к экспликации природы научного знания и методологии науки: сначала они демонстрируют, что ключевые утверждения сторонников оппонирующих концепций содержат те или иные логические ошибки и, следовательно, не удовлетворяют законам логики, а затем делают из этого вывод о том, что, во-первых, такие оппонирующие подходы являются ненаучными, а во-вторых, что они, в силу своей нелогичности, вообще не могут рассматриваться как серьезные альтернативы научному реализму. Подобным нормативистским методом в первой части книги критикуется неокантианское понимание логики как науки о законах правильного мышления, этим же методом во второй части критикуется методология релятивизма, историцизма, марксизма, психоанализа, а также эволюционизм в антропологии и истории и ряд других гуманитарных дисциплин. При этом авторы книги делают еще один более радикальный шаг и вставляют цитаты из критикуемых ими мыслителей в качестве упражнений на выработку навыков отыскания логических ошибок. Приведем здесь лишь некоторые примеры.

Релятивистские подходы критикуются Коэном и Нагелем в едином корпусе со всеми утверждениями о том, что научные онтологии представляют собой фикции, а наука в целом не изучает реальность. Подобные утверждения рассматриваются авторами как примеры совершения логической ошибки псевдоупрощенности и ложной строгой дизъюнкции (с. 519, 522). Философия витализма критикуется через обнаружение логической ошибки в аргументе о неспособности механики объяснить некоторые явления природы, который служит исходной посылкой для всей подобной философии (с. 630). Радикальный эмпиризм Милля критикуется на примере его анализа силлогистического метода: авторы показывают, что миллевский аргумент о том, что общие суждения, как таковые, излишни, сам строится по законам силлогизма, и содержит общую посылку (с. 254–260). Монистическая позиция представителей британского идеализма и их критические аргументы против аксиоматического метода приводятся в качестве иллюстраций некорректно построенных умозаключений (с. 631–632). Та же участь постигает субъективный идеализм на примере цитат из Беркли, сильную программу социологизма на примере цитат из Спенсера и исторический материализм на примере цитат из Бухарина (там же).

Предлагают авторы и критику историцизма и эволюционизма. В их понимании подобные подходы основываются на спутывании логического и временного порядков (с. 523–528). Фрейдовский психоанализ критикуется как дисциплина, включающая в себя целый ряд нарушений законов логики. Так, Коэн и Нагель утверждают, что метод психоаналитической интерпретации не является доказательством, ибо не отвечает соответствующим требованиям, выдвигаемым к доказательству (с. 355–356, 488), и не позволяет идентифицировать причину интерпретируемого события или литературного произведения, т. к. опирается на ошибочный аргумент ad hominem (с. 513). Наконец, они предлагают цитату из Фрейда, как явную демонстрацию того, что психоанализ не может рассматриваться в качестве научной гипотезы (с. 603).

Изложенная таким образом аргументация может представлять интерес, как минимум, в двух смыслах. Во-первых, сама по себе она является интересным и не всегда использующимся способом критики перечисленных концепций. Во-вторых, она является показательным примером того, как именно изложение основ традиционной и символической логики может с успехом увязываться с изложением основных принципов методологии науки в рамках единого университетского курса.

Издержки времени

Будучи написанной более 75 лет назад, данная книга не может не иметь определенной специфики, требующей в одних случаях некоторых пояснений, а в других простого упоминания. Некоторые аспекты в изложении материала, используемая символика, а также ряд утверждений, общепринятых в начале 30-х годов прошлого столетия и казавшихся авторам очевидными, сегодня уже таковыми не считаются. Поэтому книга Коэна и Нагеля имеет и известную историческую ценность. В отдельных ее пассажах авторы демонстрируют свои взгляды на общественно-политическую жизнь и даже предлагают решения актуальных для своего времени проблем. Эти особенности следует учитывать современному читателю, с тем чтобы, во-первых, по достоинству оценить данную книгу, а во-вторых, иметь возможность максимально использовать ее преимущества. Мне бы хотелось перечислить лишь наиболее заметные из них.

Многие из логических символов, используемых Коэном и Нагелем в этом учебнике, на сегодняшний день являются редко употребимыми. Это главным образом касается логических операторов, обозначающих отрицание и конъюнкцию (см. соответствующие примечания переводчика в тексте). Также в книге вводится отношение строгой дизъюнкции, однако для него не предлагается, как это принято в большинстве современных учебников, отдельного значка. Строгая дизъюнкция эксплицируется просто как отрицание конъюнкции. Данное определение отличается от принятого в большинстве современных учебников определения строгой дизъюнкции: строгая дизъюнкция, как правило, эксплицируется как логическая операция, позволяющая из двух суждений построить новое составное суждение, являющееся истинным лишь в случае, когда истинно одно и только одно из составляющих его суждений (см. с. 85).

Употребление кавычек в тексте учебника также не всегда соответствует современному. Термин без кавычек употребляется для обозначения соответствующего денотата; употребление термина с кавычками говорит о том, что речь идет о самом термине, а не о том, что им обозначается. Важность четкого соблюдения такого различия между объектным языком и метаязыком начала осознаваться именно в 30-е годы, поэтому неудивительно, что в самом их начале не все авторы строго его проводили.

Некоторая устарелость присуща и ряду упражнений данного учебника. Не все из них сегодня легко выполнить хотя бы потому, что в них предлагается ознакомиться с отрывками из книг, которые не всегда могут быть легко доступны читателю. Более того, некоторые упражнения были разработаны задолго до того, как в философии логики были проведены четкие различия между аналитическими, необходимыми и априорными истинами (в соответствующих местах даны комментарии переводчика). Философская традиция, восходящая к идеям раннего Витгенштейна и логических позитивистов, рассматривала аналитические истины как бессодержательные высказывания, демонстрирующие правила, по которым функционирует язык. При этом аналитические истины внутри каждого отдельного языка также считались необходимыми и априорно известными любому его пользователю. Данная установка приводила к тому, что между тремя видами истин не проводилось строгого различия. Критика У. Куайном аналитических высказываний появилась лишь в самом конце 40-х годов, а предложенные С. Крипке принципы различения необходимых и априорных истин – лишь в начале 70-х. Разумеется, в начале 30-х годов, когда писался данный учебник, эти уточнения еще не были сформулированы.

Помимо содержательной специфики настоящего учебника хотелось бы также упомянуть и тот колорит, который присущ предложенному в нем изложению. Многие из приводимых авторами примеров, как уже говорилось, нацелены на развенчание существующих в обществе предрассудков путем демонстрации их логической некорректности и, как следствие, содержательной несостоятельности. В этом смысле достаточно показательным является анализ утверждения о том, что якобы имеется корреляция между орлиной формой носа и еврейским происхождением его обладателя. Авторы приводят данные статистических исследований, разоблачающие этот предрассудок (с. 426). Однако в то же самое время авторы, исследуя роль аналогии в формировании гипотез, делают утверждение о том, что присущие азиатам разрез глаз и тонкость губ делают их всех похожими друг на друга (с. 310).

Колорит времени и политических реалий, в которых писалась книга, проявляется также и в выборе примеров посылок для силлогизмов («все коммунисты – русские»), и во многих других аспектах.

Некоторые сложности перевода

В процессе перевода текста книги возникли определенные сложности с переводом некоторых терминов, важных для общего содержания произведения. Причины данных сложностей происходили, во-первых, из того, что некоторые используемые авторами термины сами по себе в современном контексте уже связаны не вполне с теми вещами, с которыми они связываются в книге. Более того, в том отношении, в котором эти термины используются авторами, сегодня принято использовать уже иные термины. Во-вторых, некоторые из терминов традиционно представляют собой проблему для перевода на русский язык. В связи с этим хотелось бы сделать ряд пояснений.

Термин «verification» (подтверждение, проверка, верификация) используется в тексте в тех случаях, когда речь идет о проверке той или иной научной теории и соответственно о ее принятии или отбрасывании. Следует отметить, что, несмотря на смысловую близость между терминами «verification» и «confirmation» (подтверждение), в философии науки они связываются не совсем с одинаковыми вещами. «Verification» скорее используется в тех случаях, когда речь идет о сопоставлении предложения или теории с данными чувственного опыта, выраженными в феноменалистском языке. Термин «confirmation» используется при обсуждении проверки теорий фактами, выраженными в вещном языке. Данное различие является ключевым при анализе прагматистски ориентированной философии науки и концепции философии науки, которой придерживались логические позитивисты на раннем этапе своего развития[1]. Однако авторы, являясь представителями научного реализма, используют термин «verification» в том смысле, который принято скорее приписывать термину «confirmation». Очевидно, это вызвано тем, что данное произведение было написано еще до того, как осознание указанного различия стало общепринятым. Чтобы не вносить большей путаницы, в данном издании термин «verification» и производные от него переводятся нейтрально как «верификация».

Некоторые трудности возникли с переводом термина «establish» в таких контекстах, как «establish a proposition» или «establish a theory». В одних случаях он используется в смысле «принятия в качестве истинного в результате проверки» (например, с. 378), в других случаях он используется в словосочетаниях, где речь идет лишь о выработке или формулировке суждения или теории (с. 169), в третьих случаях он используется в смысле «установить истинностное значение» суждения (с. 378). Представляется, что такое смешение различных смыслов в рамках одного термина и производных словосочетаний следует, как и в случае с термином «verification», объяснять тем, что данная книга была написана гораздо раньше, чем важность проведения указанных различий была реально осознана. Как бы то ни было, в тех случаях, когда «establish» употребляется авторами в смысле установления истинностного значения соответствующего суждения, данная специфика отражена в переводе, тем более что в таких ситуациях авторы зачастую (хоть и не всегда) и сами пишут «establish the truth of». Иными словами, в подобных случаях «establish q» переводится как «установить истинность q». В остальных же случаях «establish» и «establishing» переводится как «устанавливать» или «установление» без дополнительных уточнений.

Термин «inference» в большинстве случаев переводится как «умозаключение» и лишь иногда как «вывод». Вообще, оба варианта перевода могут рассматриваться как в равной степени корректные. Упоминаются же они здесь по следующей причине. Как уже было сказано выше, для авторов данного учебника представляется очень важным определить логику не как науку о правильном мышлении, а как дисциплину, изучающую обоснованный вывод, т. е. имеющую свою собственную независимую исследовательскую область и поэтому никак не связанную с психологией и психологическими законами. В этом смысле русский термин «умозаключение» может давать читателю не вполне правильные аллюзии, и поэтому, быть может, было бы правильно повсеместно заменить его термином «вывод». Однако в данном переводе я решил не отказываться от «умозаключения» по причине широкой распространенности этого термина в отечественной литературе по логике.

Наконец, немалые сложности были связаны с переводом на русский язык терминов «proposition» и «judgment». Единственное имеющееся русское слово для перевода обоих – это «суждение». Однако в английском языке указанные термины имеют разный смысл и не всегда являются взаимозаменимыми. Так, если термин «proposition» может использоваться как для обозначения содержания суждения, так и для обозначения самого акта вынесения суждения, то за термином «judgment» закреплен лишь второй из двух перечисленных смыслов. Однако для обоих случаев в русском языке существует лишь один термин: «суждение».

В рамках современных философско-переводческих дискуссий по этому поводу[2] высказывалось предложение закрепить русский термин «суждение» за английским «judgment» в смысле акта вынесения суждения, а для английского «proposition» ввести неологизм «пропозиция». Данный вариант представляется неудовлетворительным, как минимум, потому, что в отечественной литературе по логике существует многолетняя традиция использования термина «суждение» (особенно это касается пропедевтических учебных изданий). Во многих отечественных учебниках по логике, например, в классическом учебнике Г. И. Челпанова, термин «суждение» используется без строгого закрепления только за содержанием или только за актом. Поскольку таких учебников за десятилетия развития отечественной логики было написано множество и во всех них термин «суждение» понимался именно указанным образом, мне представляется неправильным отказываться от всей этой традиции и вводить термин «пропозиция».

Разумеется, сохранение термина «суждение» в его традиционном понимании отнюдь не делает общую ситуацию перевода легче, поскольку остается неясно, как тогда переводить «judgment» в тех случаях, когда он открыто разводится авторами с термином «proposition». В тексте данной книги подобное разведение встречается дважды: впервые – на с. 65, где авторы поясняют, что понимают «proposition» именно как содержание утверждения, а не как акт вынесения суждения. В данном случае соответствующие изменения русскоязычного текста вкупе с комментарием переводчика, похоже, позволяют преодолеть указанное затруднение. Сложнее дела обстоят на с. 475, и особенно на с. 489–490), где авторы противопоставляют propositions, которые имеют истинностное значение, и judgments в моральных контекстах, которые такового не имеют. Здесь propositions переводятся как «логические суждения», a. judgments как «оценочные суждения» или «моральные», «этические» или «эстетические суждения» в зависимости от контекста. Иными словами, в каждом отдельном случае возникновения двусмысленности она преодолевается соответствующими контекстуальными пояснениями.

В завершение хотелось бы поблагодарить д.ф.н. A. Л. Никифорова и к.ф.н. Л. Б. Макееву за помощь в разрешении ряда переводческих сложностей и продуктивное обсуждение связанных тем, поспособствовавших существенному улучшению русскоязычной версии данного текста. При этом ответственность за все возможные недостатки перевода остается сугубо на переводчике.

Предисловие написано при поддержке лаборатории философии образования Научно-исследовательского института столичного образования Московского городского педагогического университета в рамках программы СО-5.

П. С. Куслий

Предисловие

Формальная логика, несмотря на все радикальные и эмоциональные нападки, которым она подвергается в последнее время с самых разных сторон, остается и, по-видимому, будет оставаться наиболее часто преподаваемым университетским курсом как в нашей стране, так и за рубежом. Не стоит удивляться тому, что наиболее серьезные обвинения в адрес формальной логики, т. е. те, которые направлены против теории силлогизма, существовали еще во времена Аристотеля и были ему хорошо известны. Однако, будучи достаточно защищенной от внешних атак, сфера логики страдает от немалой путаницы изнутри. Несмотря на то что содержание практически всех книг по логике (даже в том, что касается приводимых иллюстраций) следует за стандартом аристотелевского «Органона» – термины, суждения, силлогизмы и связанные формы умозаключения, научный метод, вероятность и ошибки, – тем не менее, существует множество разногласий относительно того, что именно изучает логика. Различные школы логики, такие как традиционная, лингвистическая, психологическая, эпистемологическая и математическая, используют разные языки, и представители каждой из них считают, что сторонники других подходов на самом деле вообще не имеют дела с логикой.

Пожалуй, нет более неблагодарной задачи, которая вызвала бы больше возмущений от всех направлений, чем попытка представить подход, который был бы срединным относительно всех враждебных друг другу точек зрения. Более того, в сфере интеллектуальных дисциплин традиционно существует недоверие к подобного рода миротворческим проектам, поскольку в них позиции, обладающие, по крайней мере, определенной ясностью, заменяются неясными и противоречивыми смесями. Но при этом нет и более значимой задачи, чем эта, особенно для новичка, который пытается согласовать и дополнить утверждения борющихся сторон, отказываясь при этом пожертвовать ясностью и строгостью мышления.

Цель данного текста – упорядочить в той мере, в какой это возможно с помощью пропедевтической книги, все переплетения языков относительно вопроса о предмете логики. Разрешение конфликтов между различными школами предлагается в самом отборе излагаемого материала и в способе его подачи, а не в обширной полемике с каким-либо из существующих направлений. Данная книга была написана, исходя из убеждения о том, что логика является автономной наукой, изучающей хоть и формальные, но при этом объективные условия обоснованного умозаключения. В то же самое время авторы этого учебника считают, что скучность, которая зачастую приписывается изучению логики (что в ряде случаев справедливо), в большинстве случаев происходит из тех лишенных воображения способов, с помощью которых преподается логика или используется не по назначению. В предлагаемом тексте осуществляется попытка совместить фундаментальное учение логики с фундаментальными методами педагогики, а также предоставить достаточно материала для иллюстрации той роли, которую логика играет в любой сфере мышления. Во время написания данной книги идеалом, достигнуть которого стремились авторы, было сочетание реалистического формализма Аристотеля, научной проницательности Пирса, педагогической последовательности Дьюи и математической строгости Рассела.

Независимо от успешности воплощения этого идеала в данной книге, в самом этом воплощении содержится и некоторое позитивное учение, представленное таким образом, чтобы учесть хотя бы отчасти существующие дополнительные подходы к логике.

1. Авторы этого текста разделяют традиционное видение логики как науки об обоснованном умозаключении, вопреки всем попыткам смешать логику с психологией, в которой под термином «логика» понимается систематическое исследование работы сознания. Логика, как наука о значимости оснований в каких бы то ни было областях, не может отождествляться с конкретной наукой психологией, ибо такая конкретная дисциплина может устанавливать те или иные результаты, прибегая к тем же критериям обоснованности, которые используются и в других областях науки. Ясно также и то, что вопросы обоснованности являются вопросами не о том, каким образом мы мыслим в той или иной ситуации, а о том, согласуется или не согласуется то, что мы утверждаем, с определенными объективными фактами.

2. С другой стороны, авторы не обошли вниманием педагогические аспекты психологической логики. Мы стремились представлять материал так, чтобы обсуждение новых тем вытекало из того знания, которым изначально владеет читатель. Поэтому мы стремились отойти от синтетического метода представления материала, т. е. метода, согласно которому начинать следует с высшей степени абстрактных элементов, из которых впоследствии осуществлять построение излагаемой научной дисциплины. Вместо этого мы шли путем, который казался нам в психологическом плане более подходящим. Для обсуждения излагаемых тем мы использовали примеры текстов, которые, как нам казалось, должны быть знакомы учащимся университетов, и, опираясь на них, постепенно проявляли формальные элементы как абстрактные этапы, конституирующие область исследования. Мы надеемся, что таким образом нам удалось преодолеть ряд трудностей, с которыми сталкивается студент, начинающий знакомство с логикой, а также помочь ему усмотреть ту важную роль, которую играет логика во всех сферах деятельности людей.

3. Пытаясь представить в данной книге все значимые достижения символической, или математической, логики для тех, кто ранее не имел знакомства с этим предметом, мы не стремились развивать в студентах технические навыки манипулирования символами ради самих этих навыков. Мы считаем, что, несмотря на всю ценность такой техники, она скорее должна быть отнесена исключительно к области математики, развиваемой как органон науки в целом, а не к вводной книге по логике. Точно так же мы не разделяем той неприязни к аристотелевской логике, которая распространена среди некоторых пылких исследователей новой логики. В данной книге мы осуждаем ограниченность, свойственную традиционному подходу к логике. Однако при этом мы считаем, что достижения в точной современной логике являются расширением и исправлением аристотелевского учения. Именно поэтому мы уделили достаточно внимания и традиционным подходам, которыми можно было бы пренебречь, если бы перед нами стояла задача систематического представления нашего нынешнего знания о логике. Мы считаем, что обсуждение и исправление ограничений, присущих традиционному подходу, содержит много преимуществ педагогического характера и позволяет лучше прояснить нашу окончательную мысль.

4. Мы не считаем, что существует какая-либо неаристотелевская логика в том смысле, в каком существует неевклидова геометрия, т. е. логическая система, в которой утверждения, противоположные аристотелевским принципам противоречия и исключенного третьего, считаются истинными и с их помощью строятся обоснованные умозаключения. Появившиеся в последнее время так называемые альтернативные системы логики являются лишь другими системами записи или символизации одних и тех же логических фактов. Мы не раз прибегали к примерам из истории естественных наук для иллюстрации логических принципов именно потому, что логическая структура этих наук с очевидностью не сводится к представляющей их лингвистической структуре. В связи с этим мы открыто указывали на метафизическую значимость принципов логики и подчеркивали то, что сама по себе структура языка зачастую является ключом к чему-то отличному от лингвистических фактов. Придерживаясь позиции о том, что логика, как автономная дисциплина, должна быть формальной, мы утверждали, что это не означает того, что ее принципы лишены значимого содержания; наоборот, эти принципы по своей природе являются применимыми во всех областях потому, что они связаны с наиболее общими онтологическими характеристиками. Мы считаем, что категория объективной возможности представляет существенную важность для обсуждения логики.

Именно поэтому мы рассматриваем историю логики как историю тех вкладов, которые сделали различные школы в развитие общей дисциплины. Такое стремление предоставить студенту либеральный, а не узкий взгляд на логику может сделать нашу конечную точку зрения несколько эклектичной. Тем не менее, в том, что касается проведения фундаментальных различий, мы старались занять определенную и ясную позицию. Флоренс Найтингейл изменила современные лазареты с помощью девиза: что бы ни делали госпитали, они не должны ни в коем случае распространять болезни. Сходным образом логика не должна инфицировать студентов заблуждениями и путаницей в отношении основополагающей природы обоснованного, или научного, мышления.

Работающие с этой книгой преподаватели будут уделять большее внимание разным ее частям. Не все, что содержится в ней, можно преподать в рамках семестрового курса. Данный учебник содержит достаточно информации, чтобы представлять интерес для студентов на протяжении целого учебного года. Если говорить о семестровом курсе, то авторы этой книги убедились, что наилучшие результаты достигаются при полном изложении содержания книги II с добавлением глав III, IV и VIII из книги I. Те, кто не интересуется математикой, может пропустить главу VII. Книги являются инструментами, которые мудрые люди используют для достижения собственных целей. Один из авторов этой книги, читавший курс по элементарной логике на протяжении двадцати лет, как правило, излагал содержание книги II (Прикладная логика и научный метод), перед тем как преподавать формальную логику, изложенную в книге I. Следует сказать, что некоторые темы из книги II предполагают ознакомление с книгой I. Однако опыт показывает, что связанные с этим трудности легко преодолимы. Авторы особенно надеются на то, что эта книга окажется полезной для понимания научного метода как для простых читателей, так и для студентов, изучающих естественные и социальные науки.

М. Р. К.

Э.Н.

Продолжающийся спрос на эту книгу, которая уже пережила три издания, позволил нам исправить некоторые ошибки и переформулировать некоторые утверждения для достижения большей ясности.

7 января 1936 г.

М. Р. К.

Э.Н.

Глава I Предмет логики

Подавляющее большинство наших ежедневных дел мы проделываем, не задумываясь, и лишь изредка задаемся вопросом об истинной природе того, что по привычке считаем истинным. Однако при этом мы не можем всегда пребывать в состоянии уверенной убежденности в истинности собственных верований, поскольку все, к чему мы привыкли, зачастую может быть поставлено под вопрос либо неожиданными изменениями в окружающем мире, либо же вследствие нашего собственного любопытства, либо пытливостью других людей.

Предположим, что наш читатель сидит поздно вечером за столом. В комнате темнеет, и ему становится сложно читать. В обычной ситуации он бы включил находящийся поблизости источник света и продолжил работу. Но предположим, что в этот раз ему вдруг является тень Сократа, как раз в тот момент, когда он коснулся выключателя, и спрашивает, что он делает. У нашего читателя крепкие нервы, поэтому он быстро оправляется от удивления и отвечает: «Я намерен включить свет, а это выключатель. Дело в том, что со времен твоей смерти…» «Да, да, – перебивает его тень, – я знаком с современной теорией света и способами его использования. Тебе не стоит тратить время на то, чтобы объяснять мне это. Но мне бы хотелось, чтобы ты мне ответил, откуда ты знаешь, что указываешь именно на электрический выключатель». К этому моменту спокойствие читателя может уже быть существенно поколеблено, и после молчаливого смущения он может ответить с натужным удивлением и резкостью: «Разве ты сам не видишь, Сократ?» – и включит свет.

В этом выдуманном диалоге для нас, прежде всего, интересно то, что сомнение, пусть даже самое малое, может зародиться в голове читателя относительно такого суждения, как «это – электрический выключатель», которое ранее казалось ему бесспорным. Интересно также, что это самое сомнение может быть рассеяно утверждением о том, что для получения достаточных оснований для истинности данного суждения достаточно просто видеть выключатель. Любые же дополнительные основания можно считать избыточными. Есть и другие суждения, для которых сложно отыскать какое-либо основание кроме непосредственного восприятия с помощью зрения, слуха, прикосновения или обоняния. «На моих часах половина двенадцатого», «мой лоб кажется горячим», «вдыхаемый мной аромат розы очень приятен», «мне неудобно в этих ботинках», «этот шум – громкий». Истинность суждений данного типа не является для нас проблематичной, и мы бы рассердились, если бы кто-то начал требовать от нас причин, почему мы считаем их истинными.

Однако существуют суждения, истинность которых не представляется столь очевидной. Если тень Сократа настигнет читателя при входе в здание страховой компании и спросит, что именно тот намеревается сделать, то читатель, по всей видимости, ответит следующее: «Я намереваюсь приобрести страховой полис». Если тень поинтересуется причинами такого поступка, то, возможно, в качестве ответа услышит: «Однажды я умру, и мне хотелось бы обеспечить своих близких». Если же Сократ спросит, почему читатель считает суждение «однажды я умру» истинным, то тот уже не сможет ответить ему словами «разве ты сам не видишь?». Дело в том, что мы не способны в буквальном смысле увидеть свою будущую смерть. Однако после некоторого раздумья можно ответить следующее: «О, Сократ, все живые существа однажды умирают, а поскольку я также являюсь живым существом, то я тоже однажды умру».

Таким образом, существуют суждения, которые мы считаем истинными, поскольку можем отыскать другие суждения, в истинности которых не сомневаемся и которые, как нам кажется, служат основанием для истинности исходного суждения. «Расстояние до Солнца составляет приблизительно сто пятьдесят миллионов километров», «Цезарь перешел Рубикон», «в следующем году в Северной Америке будет затмение Солнца», «сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов». В истинность таких суждений мы верим в силу того, что либо мы сами, либо кто-то другой может представить другие суждения, подтверждающие их истинность.

Не всегда можно четко различить суждения, в истинность которых мы верим, не имея каких-либо оснований, кроме непосредственного наблюдения или осознания, и суждения, в которые мы верим, считая, что можно отыскать другие суждения, которые послужат основаниями их истинности. Иногда мы верим в истинность некоего суждения, отчасти в силу непосредственного наблюдения, а отчасти потому, что можем найти подтверждающие суждения. Если мы с определенной высоты одновременно бросаем два камня разного веса, то считаем суждение «оба камня упадут на землю одновременно» истинным не только потому, что мы видим, как это происходит, но еще и потому, что мы знаем причину, почему происходит так, а не иначе. Кроме этого, есть множество суждений, являющихся ложными, несмотря на то, что их истинность кажется нам очевидной. Мы зачастую видим то, что ожидаем увидеть, а не то, что происходит в действительности. Прогресс в знании очень часто становился следствием нашего усомнения в истинности суждений, которые до этого считались самоочевидными. Критические исследования человеческих верований и убеждений демонстрируют, как много интерпретации присутствует в том, что на первый взгляд казалось «непосредственным знанием». Для наших целей вовсе не нужно отвечать на вопрос о том, существуют ли суждения, истинность которых может быть познана «непосредственно», и если да, то что это за суждения.

Все, что нам требуется на данном этапе, – это признать общую необходимость наличия оснований для того, чтобы во что-то верить или в чем-то сомневаться. Чем бы мы ни занимались, будь то научное или историческое исследование, судебная тяжба или принятие решения в любой практической ситуации, нам всегда приходится приводить доводы в поддержку тех или иных суждений. Некоторые из них, даже если они – несомненно истинны, мы зачастую рассматриваем как неуместные и совсем не представляющие нужных оснований. Иные же суждения мы расцениваем как решающие в пользу определенной позиции и убедительно доказывающие ее истинность. Помимо этих двух крайних ситуаций мы также сталкиваемся с ситуациями, где имеет место некоторое основание или обстоятельство, подтверждающее определенный вывод, но при этом недостаточное, чтобы исключить все остальные возможные выводы. В большинстве случаев нам достаточно большего количества оснований в поддержку некоторого суждения, чем против него. Однако иногда, например в том случае, если мы выступаем в качестве присяжных в суде и признаем подсудимого виновным в совершении преступления, нам нужно, чтобы не осталось никаких обоснованных сомнений в его виновности. Иными словами, не должно остаться никаких сомнений в том, что всякий разумный человек в аналогичной ситуации вынес бы то же самое решение.

Можно сказать, что логика исследует вопрос об адекватности и доказательной силе различных видов оснований. Однако традиционно она имеет дело по преимуществу с исследованием того, из чего состоит доказательство, т. е. с полным и неопровержимым основанием. Ибо, как мы увидим ниже, последнее требуется для определения степени доказательности частичных оснований и нахождения выводов, которые можно считать более или менее вероятными.

Рассмотрим суждение «В городе Нью-Йорке есть, по крайней мере, два человека с одинаковым количеством волос на голове». Обозначим его как q. Каким образом может быть установлена его истинность? Наиболее очевидным способом будет отыскание двух людей, обладающих одинаковым количеством волос. Однако исследовать головы шестимиллионного населения – занятие крайне трудоемкое и невыполнимое на практике. Но мы можем показать, что суждение q следует или с необходимостью выводится из других суждений, истинность которых установить гораздо проще. В таком случае мы сможем утверждать истинность суждения q в силу того, что оно является следствием других суждений, а также потому, что истинность этих суждений, выступающих в качестве оснований, установлена. Попробуем применить этот метод.

Предположим, что путем пересчета установлено, что в Нью-Йорке находится пять тысяч парикмахерских. Будет ли суждение «в Нью-Йорке существует пять тысяч парикмахерских» служить удовлетворительным основанием для q? Читатель, без сомнения, ответит: «Абсурд! Какое отношение имеет число парикмахерских к существованию людей с одинаковым количеством волос на голове?» Таким образом он выразит суждение (опирающееся на полученное ранее знание), что число парикмахерских вообще не является основанием для равенства в количестве волос. Не все суждения, даже если они истинны, уместны для установления истинности интересующего нас суждения.

Теперь рассмотрим суждение «число жителей Нью-Йорка больше, чем число волос на голове любого из них». Обозначим это суждение как р. Является ли истинность р достаточной для установления истинности q? У читателя вполне может возникнуть желание отбросить р как неуместное точно так же, как он отбросил информацию о количестве парикмахерских. Однако это было бы ошибкой. Можно показать, что если р истинно, то q тоже должно быть истинным. Для целей наглядности не будем оперировать с большими цифрами и предположим, что ни один житель Нью-Йорка не имеет более пятидесяти волос на голове и что в Нью-Йорке проживает всего пятьдесят один человек, и у всех них есть волосы. Припишем каждому из жителей число, соответствующее количеству волос на его голове. Тогда у первого жителя будет один волос, у второго – два, и так до тех пор, пока мы не достигнем пятидесятого жителя, у которого будет не более пятидесяти волос. Остается один житель, а поскольку мы предположили, что ни один житель не имеет более пятидесяти волос, то количество волос на голове у этого последнего будет с необходимостью равняться количеству волос на голове у одного из уже перечисленных жителей. Несложно заметить, что данное доказательство имеет совершенно общий характер и не зависит от числа пятьдесят, которое мы выбрали в качестве максимального для количества волос. Таким образом, мы можем заключить, что следствием суждения р («число жителей Нью-Йорка больше, чем число волос на голове любого из них») является суждение q («в городе Нью-Йорке есть, по крайней мере, два человека с одинаковым количеством волос на голове»). Было показано, что между этими двумя суждениями существует отношение такое, что если первое суждение (которое называется основанием, или посылкой) истинно, то невозможно, чтобы второе суждение (именуемое заключением, или тем, что должно быть доказано) было ложным.

Примеры неопровержимых оснований можно приводить бесконечно. Так, можно доказать, что пропавший человек мертв, показав, что он отправился в плавание на судне, уничтоженном в море взрывом, при котором никто не мог спастись. Сходным образом мы можем доказать, что наш сосед мистер Браун не имеет права голосовать, показав, что он не достиг двадцати одного года, а также закон, запрещающий голосовать лицам моложе этого возраста.

Для такой области, как математика, доказательство, несомненно, является неотъемлемым. Однако в данном случае следует провести различие между прикладной и чистой математикой. В прикладной математике, как и в вышеприведенных примерах, мы предполагаем, что определенные суждения, например законы механики, являются истинными; и мы доказываем истину других суждений, показывая, что они с необходимостью следуют или же математически выводимы из суждений, истинность которых мы заранее предполагаем. В чистой математике, с другой стороны, мы демонстрируем лишь то, что наши исходные допущения с необходимостью влекут или имеют следствием теоремы, которые выводимы из этих допущений. Мы не задаемся вопросом о том, являются ли наши заключения, равно как и наши аксиомы или постулаты, в действительности истинными.

Для удобства можно было бы использовать слово «доказательство» для операций из области прикладной математики (в которых мы заключаем, что некоторое суждение является истинным), а такими терминами, как «вывод» или «демонстрация», будем обозначать операцию, которая только устанавливает импликацию, или необходимую связь между посылкой и заключением, безотносительно истинности или ложности того и другого. Данная терминология позволила бы нам говорить, что суждение доказано, когда и только когда оно следует из посылки, которая сама является истинной. Однако в чистой математике так часто принято говорить о «доказательстве» теорем, что тщетно пытаться что-либо изменить. Поэтому термин «доказательство» можно, не опасаясь, использовать и в чистой математике, не забывая, однако, что доказываем мы всегда исключительно импликации, т. е. то, что если одни суждения истинны, то определенные другие суждения должны быть истинными. В конце концов, именно с этим уровнем доказательства главным образом связана логика.

Таким образом, во всех случаях полного основания, или доказательства, заключение является следствием посылок, а рассуждение или умозаключение от посылок к заключению называется дедуктивным. Мы выводим одно суждение из другого обоснованно, только если существует объективное отношение импликации между первым суждением и вторым. Поэтому важно различать умозаключение, являющееся временным процессом, и импликацию, являющуюся объективным отношением между суждениями. Импликация может сохраняться, даже если мы не знаем, как вывести одно суждение из другого. Таким образом, чтобы умозаключение было обоснованным, между суждениями должна существовать импликация. Существование же импликации не зависит от наличия психологического процесса умозаключения.

Пытаясь получить полное доказательство суждений, имеющих практическую важность, мы всегда сталкиваемся с двумя актуальными вопросами:

1. Являются ли истинными суждения, выступающие в качестве оснований?

2. Является ли отношение между заключениями и основаниями, или посылками, таким, что первые с необходимостью следуют и, следовательно, могут быть правильно выведены из последних?

Первый вопрос ставит проблему фактического, или материального, характера, и ответ на него не может быть получен только с помощью логики без привлечения всех наук и всего общеизвестного знания. Как отдельная наука, логика исследует только второй вопрос, а именно отношение импликации между суждениями. Таким образом, особая задача логики заключается в изучении условий, при которых одно суждение с необходимостью следует и, следовательно, может быть выведено из одного или более суждений, безотносительно фактической истинности последних. Поскольку ряд суждений нетрудно объединить в единое суждение, то можно сказать, что всякий пример импликации, или логического следования, относится к двум суждениям, которые можно наиболее точно обозначить как условное и имплицируемое[3], однако, как правило, они называются антецедентом и консеквентом или же посылкой и заключением. При этом следует отметить, что, используя термины «антецедент» и «консеквент» или выражение «логически следует», мы подразумеваем абстрактное отношение, которое, подобно отношению части и целого, непосредственно не указывает ни на какую временную последовательность. Логические следствия некоторого суждения – не явления, следующие за ним во времени, а скорее составные элементы его значения. Иногда наше осознание посылок предшествует осознанию заключения, однако мы зачастую точно так же сначала осознаем заключение и только после этого отыскиваем посылки, из которых оно следует.

Рассмотрим отношение импликации более подробно.

Импликация является особым логическим отношением, которое может существовать либо 1) между ложными суждениями, либо 2) между ложным суждением и истинным, а также 3) может не существовать между истинными суждениями.

1. Рассмотрим следующий аргумент: «Если Спарта была демократией и ни в одной демократии не существует короля, то, следовательно, в Спарте не было короля». Ложность суждения «Спарта была демократией» не мешает ему обладать некоторыми следствиями, равно как и иметь определяющее значение в конкретных логических следованиях.

В обыденной жизни самым распространенным является аргумент, устанавливающий логические следствия для условных суждений, не соответствующих фактам. Если бы не было смерти, то не было бы кладбищ, надгробных речей и т. п. Все наши сожаления опираются на выведение следствий из суждений, в которых утверждается то, что могло бы быть, но чего в действительности не произошло.

Не любить бы нам так нежно,

Безрассудно, безнадежно,

Не сходиться, не прощаться,

Нам бы с горем не встречаться![4]

Огромное заблуждение считать, как многие легкомысленно и делают, что при рассуждении, которое называется научным, мы исходим только из фактов или истинных суждений. Данное убеждение не учитывает необходимости делать дедуктивный вывод из ложных гипотез. В науке, как и в ситуациях практического выбора, мы постоянно сталкиваемся с альтернативными гипотезами, все из которых не могут быть истинными. Следует ли объяснять феномен горения через выделение вещества, именуемого «флогистоном», или через соединение с веществом, именуемым «кислородом»? Действует ли магнетизм на расстоянии подобно гравитации или же ему, подобно звуку, требуется среда? Как правило, мы делаем выбор между двумя несовместимыми суждениями, выводя следствия из каждого из них и исключая как ложную ту гипотезу, которая приводит к ложным заключениям, т. е. к результатам, не превалирующим в области обозримых фактов. Если бы у ложных гипотез не было логических следствий, мы не смогли бы удостовериться в их ложности.

То, что суждение обладает определенными логическими следствиями, даже если оно ложно, следует также из того обстоятельства, что данные логические следствия, или импликации, являются частью его значения. А значение суждения нам необходимо знать прежде, чем мы сможем определить истинность суждения. Однако в любом случае (независимо от истинности или ложности суждения) установление существования логической импликации между двумя суждениями исключает возможность ложности второго суждения при истинности первого.

2. Существует широко распространенное мнение о том, что ложные посылки должны логически вести к ложным суждениям. Это серьезная ошибка, происходящая, вероятно, из неправильного понимания истинного принципа о том, что если следствия ложны, то посылки должны быть ложными. Однако в том, что истинные следствия могут имплицироваться, или логически следовать, из ложных посылок, можно легко убедиться на следующих примерах.

Если все мексиканцы являются гражданами Соединенных Штатов и все жители штата Виргиния являются мексиканцами, то логически следует, что все жители Виргинии являются гражданами Соединенных Штатов. Если все дельфины являются рыбами и все рыбы являются водными позвоночными, то с необходимостью следует, что все дельфины являются водными позвоночными животными. (Это же заключение следует из посылок, что все дельфины являются моллюсками и все моллюски являются водными позвоночными животными.) Повторим еще раз: отношение между антецедентами и консеквентами исключает возможность того, чтобы первые были истинными, а вторые в то же самое время – ложными.

Разумеется, если посылка является ложной, то истинность заключения не является доказанной, даже несмотря на то, что заключение следует из посылки. Крайне важно понимать и то, что суждение не является с необходимостью ложным или что его ложность является доказанной, в силу того что аргумент в пользу этого суждения основывается на лжи. Может случиться так, что в пользу хорошего следствия были предложены плохие причины.

3. Мы уже смогли убедиться в том, что суждение «в Нью-Йорке существует пять тысяч парикмахерских», даже если оно и истинно, является неуместным в случае с суждением «в городе Нью-Йорке есть, по крайней мере, два человека с одинаковым количеством волос на голове» и не может его доказать, или логически имплицировать. Рассмотрим, однако, пример, в котором отсутствие логической связи, или импликации, пожалуй, не столь очевидно. Так ли, что суждение «Идеальные существа могут жить вместе без закона, и люди не являются идеальными существами» имплицирует суждение «Люди не могут жить без закона»? Поразмыслив, можно убедиться, что ничто в посылке не исключает возможности того, что могут быть люди, которые, хоть и являются неидеальными, тем не менее, живут вместе без закона. С другой стороны, мы, быть может, смогли бы доказать, что наше заключение истинно, при том что приведенное здесь основание является недостаточным. Необходимая связь между основанием и тем, что нужно доказать, показана не была.

То обстоятельство, что связанные с суждением логические импликации остаются неизменными, независимо от того, оказалось ли это суждение истинным или ложным, а также то, что обоснованность таких импликаций устанавливается через невозможность истинности посылок при ложности следствий, тесным образом связано с так называемой формальной природой логики.

Что же мы имеем в виду под словом «формальная»? Читателю, без сомнения, приходилось при определенных обстоятельствах заполнять какие-нибудь официальные бланки, например, заявление при поступлении на новую должность, договор об аренде, платежное поручение или декларацию о подоходном налоге. Очевидно, что во всех этих случаях незаполненный бланк сам по себе не является заявлением, договором, поручением или декларацией. Однако каждый такой документ составлен в соответствии со структурой и условиями, приведенными в незаполненном бланке. Последний олицетворяет упорядоченность или фиксированную форму, которой должны обладать все подобные документы, для того чтобы считаться действительными. Вообще форма – это то, в чем согласуются несколько объектов или операций (являющихся различными в других отношениях). Объекты могут быть разными, но форма остается той же самой. Так, формальной называется любая общественная церемония или действие, которое различные индивиды должны выполнять одним и тем же способом, если они занимают одну и ту же должность или пост. Логическая импликация также является формальной в том смысле, что она имеет силу для всех суждений, безотносительно того, насколько они разные, при условии, что они находятся друг к другу в определенном отношении. Рассмотрим одно из вышеприведенных доказательств: «Браун является несовершеннолетним; ни один несовершеннолетний не может голосовать; следовательно, Браун не может голосовать». Здесь импликация не зависит ни от какой особенности Брауна, кроме той, что он в действительности является несовершеннолетним. Если вместо Брауна подставить любого другого человека, то импликация все равно останется обоснованной. Данную истину мы можем обозначить в следующей записи: «X является несовершеннолетним, ни один несовершеннолетний не может голосовать, следовательно, X не может голосовать». Здесь X обозначает любого представителя из множества любой величины. Можно заметить, что и слово «несовершеннолетний» может быть заменено любым другим термином, например, таким, как «осужденный преступник» или «иностранец», без нарушения обоснованности аргумента. Таким образом, аргумент «Если X является Y, и ни один Y не может голосовать, то X не может голосовать» сохраняется безотносительно того, что мы подставим вместо У. Теперь мы можем осуществить третий шаг и убедиться не только в том, что логическая импликация не зависит от объектов, обозначаемых как X и У, но и в том, что термин «не может голосовать» также может быть заменен на что угодно (при условии, что это что-то в посылках и заключении будет одним и тем же). Таким образом, мы получаем формулу: «Если X является Y, и все Y являются Z[5], то X является Z», которая является истинной, независимо от того, что обозначают X, Y и Z. С другой стороны, было бы ошибкой утверждать, что из суждения «Все парижане – европейцы, и все парижане – французы» следует суждение «Все парижане – французы». Дело в том, что если в общей форме данного аргумента («Все X являются У' и все Z являются Y, следовательно, все X являются Z») мы вместо слова «парижане» подставим слово «бельгийцы», то получим аргумент, в котором посылки будут истинными, а заключение – ложным. Сходным образом мы можем утверждать импликацию «если Сократ старше Демокрита, и Демокрит старше Протагора, то Сократ старше Протагора». Истинность данной импликации будет сохраняться, независимо от того, какие люди будут подставлены вместо этих трех, с учетом того, что мы сохраним форму «X является старше Y, и Y является старше Z, следовательно, X старше Z». С другой же стороны, из суждения «А находится справа от В, и В находится справа от С» с необходимостью не следует «А находится справа от С». Если три человека сели в круг, можно сказать, что А находится слева от С, даже если он находится справа от Б, а Б, в свою очередь, справа от С. Предметом логики является исследование более точных правил для отличия обоснованных форм аргумента от необоснованных. На данном этапе следует отметить, что правильность любого утверждения импликации между суждениями зависит от их формы или структуры. Любая форма аргумента, допускающая подстановки истинных посылок одновременно с ложными заключениями, является необоснованной, и утверждение импликации в таком случае будет неверным.

К сказанному выше следует добавить еще два замечания:

1. Такое более общее утверждение или формула не является некой поддерживающей силой или же императивом, существующим ранее любого его конкретного воплощения. Каждый отдельный аргумент является обоснованным в силу импликации, которая имеет место между его посылками и заключением, а не в силу некого существующего общего правила, являющегося формой, абстрактно отражающей именно то, что существенно для обоснованности аргумента. Между объектами, о которых говорится в суждениях, существует определенное отношение, а форма – это их расположение, поэтому импликация, имеющая силу относительно одного расположения объектов, не имела бы силы относительно другого расположения.

2. Данный формальный характер импликации (и, следовательно, обоснованного умозаключения) не означает, что в формальной логике вообще не учитывается значение наших суждений. Без значений мы имели бы лишь бессмысленные значки и звуки, а не значимые утверждения или информацию, обладающую логическими следствиями. Однако поскольку в сфере возможностей логика исследует лишь отношения, являющиеся необходимыми, для нее из всех свойств объекта интерес представляет лишь его функция в конкретном аргументе. Формальные свойства должны распространяться на все объекты определенного множества.

До настоящего момента мы рассматривали логическую импликацию как элемент, присутствующий в любом доказательстве или окончательном основании. Однако на нее можно посмотреть и иначе. Импликация – это то, что присутствует в любой ситуации или проблеме, где некоторые данные условия являются достаточными для детерминации определенного результата или ситуации. Для примера рассмотрим знакомую проблему: сколько проходит времени между двумя следующими один за другим моментами, когда минутная стрелка часов равняется с часовой? Когда известна относительная скорость каждой стрелки, длительность интервала однозначно детерминируется посредством логической импликации. Хотя в том случае, если мы не знакомы с законами алгебры, нам может потребоваться много времени, чтобы понять, в результате чего происходит переход от известных условий, как посылок, к детерминируемому ими заключению или решению. Изучение логической импликации, таким образом, является видом исследовательской работы и открытия. При этом следует отметить, что в задачу логики не входит описание того, что происходит в голове человека, когда он отыскивает строгие и определенные решения для конкретной проблемы. Данный вопрос относится к предметной области психологии. Логика же связана лишь с каждым из этапов определения того, является ли на самом деле импликацией между двумя суждениями то, что кажется таковой. Поэтому логику также можно определить как науку об импликации или же об обоснованном умозаключении (основанном на импликации). Данное определение может показаться более узким по сравнению с нашим предыдущим определением, согласно которому логика являлась наукой о весомости оснований. Однако несложно будет заметить, что дедуктивный вывод и, следовательно, импликация, на которой он должен основываться, присутствуют в любой детерминации весомости оснований.

Мы рассмотрели отношение между посылками и заключением в случае строгого доказательства. Но полное, или окончательное, основание не всегда доступно, и тогда нам приходится опираться на частичное, или неполное, основание. Допустим, вопрос касается того, был ли некий барон X милитаристом, а в качестве основания предлагается тот факт, что большинство аристократов являлись милитаристами. Подобное доказательство, разумеется, не может считаться строгим. Очевидно, что суждение «Барон X был милитаристом» может быть ложным, даже если суждение, приведенное в качестве основания, истинно. Однако абсурдно было бы утверждать и то, что тот факт, что большинство аристократов являлись милитаристами, не может служить основанием того, что барон X им тоже являлся. Несомненно, что тот, кто на постоянной основе делает умозаключения такого типа (большинство X являются Z Z является X, следовательно, Z является У) в конце концов окажется чаще правым, чем неправым. Умозаключение данного типа, которое из истинных посылок предлагает заключения, которые будут истинными в большинстве случаев, называется правдоподобным (вероятностным). В латинском языке эквивалентом данного термина является слово «probare», означающее, что такое основание чаще всего воспринимается как некий вид доказательства, хоть и не представляет окончательного доказательства.

Читатель обратит внимание, что в тех случаях, где основание в пользу некоторого суждения является частичным, или неполным, правдоподобность умозаключения может быть увеличена при добавлении оснований. В одной из последующих глав мы более детально рассмотрим, в каких случаях и как можно измерить степень правдоподобности и какие меры предосторожности следует соблюдать, чтобы наши умозаключения были по возможности максимально правдоподобными. Здесь же мы можем лишь коротко заметить, что в такой детерминации дедуктивное умозаключение присутствует в качестве элемента. Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим сначала примеры, в которых правдоподобный аргумент лежит в основании обобщения, или индукции, а затем примеры, в которых подобный аргумент приводит к тому, что получило название презумпции факта.

Допустим, мы хотим узнать, является ли некоторое вещество, скажем, бензоат натрия, в целом вредным. Разумеется, мы не можем проверить его на всех людях. Мы выбираем несколько человек, согласных принять его с пищей, которых мы рассматриваем как типичных или показательных представителей всех людей в целом. Затем мы прослеживаем, наносит ли употребление данного вещества какой-либо заметный вред. Если все люди, употребившие вещество, испытывают некоторое несомненно пагубное воздействие, то мы рассматриваем его как основание для истинности общего суждения «Бензоат натрия вреден». Подобные обобщения, однако, зачастую оказываются ложными. Быть может, отобранные индивиды не являлись типичными представителями всех людей. Они могли оказаться студентами, или же быть слишком чувствительными, или привыкшими к некоторой определенной диете, или находиться под воздействием неучтенного фактора, не присутствующего во всех случаях. Подобные сомнения мы пытаемся преодолеть, используя выведенное нами правило в качестве посылки и устанавливая наличие тех же следствий для всех остальных индивидов, живущих в иных условиях. Если результат, наблюдаемый в новых случаях проверки, согласуется с выводом предполагаемого нами правила, то правдоподобность данного правила будет увеличена, хоть это и не избавит нас от всех сомнений. С другой стороны, если в случае существенного расхождения между нашим общим правилом и тем, что мы обнаружим в новых случаях проверки, данное правило придется модифицировать в соответствии с общим принципом дедуктивного рассуждения. Таким образом, несмотря на то что наши обобщения от того, что мы принимаем за типичные случаи, могут порой приводить к ложным заключениям, эти обобщения, тем не менее, дают нам возможность часто приходить к истинным заключениям. А вероятность их истинности пропорциональна той степени тщательности, с которой мы сформулировали и проверили наши обобщения.

Второй вид правдоподобного умозаключения (который мы назвали «презумпцией факта») позволяет нам вывести существование факта, который непосредственно не наблюдается. Предположим, что, вернувшись домой, мы обнаруживаем, что замок на двери взломан, а письмо, изобличающее известного государственного деятеля, исчезло. Мы предполагаем общее правило, что тот, кто изначально нарушал закон, не остановится перед тем, чтобы нарушить его еще раз, дабы избавить себя от наказания. Затем мы делаем вывод, что письмо было украдено самим государственным деятелем или же его агентами. Данный вывод, разумеется, не является необходимым. Наши основания не позволяют исключить и возможность того, что письмо было украдено кем-то другим. Однако наш вывод, несомненно, относится к тому типу выводов, которые часто приводят к правильным заключениям. Так, мы увеличиваем правдоподобность нашего умозаключения, когда утверждаем, что если бы письмо выкрал тот, кто не заинтересован его содержанием, то он выкрал бы и другие ценные вещи, и при этом показываем, что это сделано не было.

Рассмотрим другой пример. Допустим, однажды утром мы замечаем в нашем преподавателе раздражительность. Мы знаем, что раздражительность сопутствует головной боли. Следовательно, мы можем заключить, что наш преподаватель испытывает головную боль. Если мы исследуем данный аргумент, то заметим, что основание для нашего заключения состоит из суждения, в котором утверждается некоторое наблюдаемое положение дел (преподаватель является раздражительным), а также из суждения, в котором утверждается определенное правило или принцип. Выразить этот принцип можно следующим образом: «головной боли сопутствует раздражительность» или «во многих случаях раздражительность является следствием головной боли». Ни при одной из этих формулировок наше заключение («преподаватель испытывает головную боль») не следует с необходимостью. Раздражительность преподавателя может на самом деле быть следствием совершенно другой причины. Однако наше умозаключение относится к типу выводов, которые в большом числе случаев приведут к истинному заключению, пропорционально той степени, в которой раздражительность связана с головной болью. И мы проверяем истинность нашего обобщения (или индуктивного обобщения) путем выведения из него следствий и усмотрения того, насколько они сохраняются в новых ситуациях.

Данный вид умозаключения очень распространен не только в практических ситуациях, но и в современных естественных науках, примером чему может послужить следующая иллюстрация. Различные вещества, такие как кислород, медь, хлор, сера, водород, сочетаются с каким-либо другим веществом в соответствии с фиксированным соотношением между их атомным весом и атомным весом этого вещества. И когда определенное количество одного вещества, скажем хлора, сочетается с различными количествами другого вещества, например кислорода, то в получаемых соединениях хлор присутствует в пропорциях, являющихся целым кратным единице. (Это – наблюдаемое событие.) Мы также знаем, что если каждое из этих веществ состояло бы из сходных атомов, или механически неразложимых частиц, то эти вещества сочетались бы в пропорциях, являющихся целым кратным единице. (Это – общее правило.) Далее мы заключаем, что эти вещества состоят из атомов. (Это – выведенный факт.) С точки зрения необходимой импликации данное умозаключение является необоснованным, ибо возможно, что наблюдаемые факты могут быть следствием совершенно иной общей причины, отличной от предполагаемого атомного строения вещества. Однако наше основание обладает очень высокой степенью правдоподобности, поскольку мы использовали общее суждение («вещество обладает атомной структурой») как посылку, из которой вывели множество различных следствий, которые, в свою очередь, были признаны истинными в экспериментах и при непосредственном наблюдении, а также оказались несовместимыми с другими известными посылками.

Основания такого же характера используются в таких обыденных обобщениях, как то, что хлеб утоляет голод и что если отправиться куда-либо пешком или на каком-либо транспорте, то можно достигнуть пункта назначения. Подобные обобщения не являются универсально истинными. К сожалению, случаются и несчастные случаи. Хлеб может нам не подойти, а тот, кто направляется домой, может в итоге оказаться в больнице или морге. На самом деле мы всю жизнь зависим от наиболее правдоподобных обобщений. Если наш знакомый вдруг откажется ступать на деревянный или бетонный пол на том основании, что не было предоставлено абсолютного доказательства того, что этот пол не разрушится или не взорвется, мы усомнимся в его рассудке. Однако то, что наши обобщения будут подверженными ошибкам и лишь вероятностными до тех пор, пока мы не достигнем всеведения и не будем знать всего будущего, является неопровержимо истинным. И история человеческих заблуждений показывает, что всеобщее согласие и преобладающее чувство уверенности не устраняют возможности того, что в будущем окажется, что мы заблуждались.

Несмотря на то, что смешение физического объекта, нашей «идеи» или образа этого объекта и слова, которым он обозначается, кажется невозможным, данные различия отнюдь не являются ясными, когда речь идет о комплексах, состоящих из этих элементов, таких как, например, форма правления или литература отдельно взятой страны. Поскольку логика как исследование импликации суждений непосредственно не связана с физическим или историческим фактом, мнение, что она имеет дело исключительно со словами, может возникнуть совершенно естественно. Этимология слова «логика» (так же, как и слова «логомахия») также предлагает довод в поддержку этого мнения. Великий английский философ Гоббс говорит, что логика и рассуждение «есть не что иное, как подсчитывание (т. е. складывание и вычитание) связей общих имен»[6]. Однако мы не должны спутывать тот факт, что слова и определенного рода символы необходимы для логики (как и для всякой современной науки), с утверждением о том, что обоснованное рассуждение – это не что иное, кроме как следствие акта именования. Мы можем поменять имена вещей, как это происходит при переводе из одного языка в другой, не влияя на логические связи между объектами нашего рассуждения. Обоснованность нашего рассуждения зависит от того, насколько согласованно мы используем наш язык, а эта согласованность означает, что наши слова должны точно следовать порядку и связям между обозначаемыми ими объектами. Логика, как физика и любая другая наука, исходит из общепринятого социального факта, обычно отмечаемого лексикографами и заключающегося в том, что определенные слова обладают определенными значениями, т. е что они обозначают определенные вещи, отношения или операции. Однако знание такого употребления слов в английском языке или в любом другом языке не позволит нам решить все вопросы, связанные с адекватностью оснований. Например, обоснованность доказательства Эрмита и Линдемана о том, что п (отношение длины окружности к диаметру) не может быть точно выражено рациональными числами в конечной форме.

Несмотря на то что предмет логики не может сводиться к словам или даже значениям слов, отличаемым от значения или импликации суждений, логика все же тесно связана с общей грамматикой, и в работах таких философов, как Аристотель, Дунс Скот и Ч. С. Пирс, не всегда легко четко провести линию между грамматикой и логикой. Мы уже сказали, что логика исходит из рассмотрения слов, как обладающих значением, и ниже мы увидим, как четкое различение значений слов способствует избеганию логических заблуждений. Следует, однако, добавить, что в общем исследовании значения слов (именуемом «семантикой») мы зависим от логики. Передаваемая словами информация как в логическом, так и в психологическом плане зависит от суждений или информации, передаваемой в предложениях.

Пожалуй, наиболее значимое различие между логикой и той частью лингвистики, которая именуется грамматикой, можно сформулировать следующим образом: норма или корректность, с которой имеет дело грамматика, заключается в согласованности с определенным реальным употреблением, тогда как норма или корректность логики базируется на возможностях, присутствующих в природе вещей, которые являются объектами нашей речи. Грамматика является главным образом дескриптивной социальной наукой, описывающей в систематическом виде способы употребления слов разными народами. Ее нормативный характер является случайным, подобно нормативному характеру, присущему описанию стилей одежды. Определенные стили употребления языка (английский язык королей[7] или язык шафера, произносящего речь на свадьбе) считаются предпочтительными. Многим различиям в лингвистических формах может не соответствовать никакое различие в значении. Примером тому является различие между отделительным и дательным падежами в латыни или же различия между такими словами, как «proved» и «proven», «got» и «gotten», в английском языке. Однако поскольку язык иногда используется для передачи важной информации, равно как и для выражения эмоций, грамматисты не могут игнорировать логические различия. Поскольку обыденный опыт не требует большой точности и тонкой проницательности в понимании природы вещей, обыденный язык не является точным. Логика же необходима для того, чтобы исправить эту туманность и двусмысленность.

Несмотря на то что слова являются одним из наиболее важных объектов для исследования, в целом нельзя сказать, что во всех суждениях речь идет о словах. В большинстве суждений подразумеваются объекты, такие как Солнце и звезды, Земля и ее составные части, наши собратья и их занятия и т. п., и импликация между суждениями, являющаяся предметом изучения логики, имеет дело с возможными отношениями между такими объектами. Логика критически рассматривает слова лишь как необходимые инструменты в наших утверждениях и выражениях, с тем чтобы указывать на их точную функцию и определять ошибки в умозаключениях.

Традиционно логика определялась как наука о законах мышления. Это определение восходит к временам, когда логика и психология еще не были вполне развитыми дисциплинами, четко отделенными от других ветвей философии. Однако сегодня не возникает сомнений в том, что любое исследование законов или способов нашего мышления относится к области психологии. Логическое различие между обоснованным и необоснованным умозаключением не указывает на то, как мы думаем, т. е. на процесс, происходящий в сознании человека. Доказательная сила оснований сама по себе является не временным явлением, а отношением импликации между определенными классами или типами суждений. Так, например, вопрос о том, следует ли с необходимостью из аксиом и постулатов Евклида утверждение, что площадь квадрата и площадь круга никогда не могут быть в точности равными, является вопросом о необходимых следствиях из утверждаемых нами суждений. При этом способ, по которому в действительности осуществляется мышление, здесь ни при чем. Разумеется, для осознания импликаций необходимо мышление (а не только чувственное восприятие).

Однако мышление точно так же необходимо и для осознания того, что любые научные суждения являются истинными. Это, однако, не делает физику областью психологии, если, конечно, не утверждать, что у этих дисциплин общий предмет, т. е. что физические объекты и их осознание – одно и то же. Сходным образом можно изучать и логическую импликацию, на которой базируются наши умозаключения, как психологическое событие, однако само отношение, которое непосредственно осознается, совсем не является психологическим событием. Это отношение присутствует между двумя типами суждений, а также в опосредованном виде между классами возможных объектов, о которых в суждениях нечто утверждается.

Понимание того, что логика не сводима к психологическим явлениям, поможет нам отличать ее от риторики, которая является искусством убеждения или аргументации с целью вызвать ощущение уверенности (certainty). Люди зачастую спутывают эти две дисциплины, поскольку слово «certainty» иногда используется как характеристика того, что демонстрируется [ «достоверность». – Прим. перев.], а иногда как ощущение убежденности без каких-либо сомнений [ «уверенность». – Прим. перев.]. Однако такое чувство уверенности может вообще существовать независимо от логики, а фактическая убедительность тех или иных аргументов гораздо чаще достигается не посредством логически неопровержимых доводов, а с помощью правильно подобранных слов, которые посредством ассоциаций обладают сильным эмоциональным воздействием. Это не принижает значения искусства риторики и не означает, что она всегда использует аргументы, которые лишь вводят в заблуждение. Искусством убеждения или искусством того, как заставить других с нами согласиться, в той или иной степени хотят владеть все люди. От него зависит гармония в социальных отношениях. Однако, строго говоря, логическая аргументация – это всего лишь один из способов убеждения других, отличающихся от нас людей, и не всегда самый эффективный. В силу нашей эмоциональной предрасположенности нам нелегко принять определенные суждения, безотносительно того, насколько весомы основания в их пользу. А поскольку любое доказательство зависит от принятия некоторых суждений за истинные, то человеку, в достаточной степени намеренному не принимать определенное суждение, невозможно будет доказать его истинность. Поэтому логическая необходимость, проявляющаяся в импликации, подобно логической необходимости в чистой математике, не является описанием способа, каким люди на самом деле мыслят, а скорее обозначает невозможность определенных комбинаций для утверждаемых объектов. История человеческих заблуждений показывает, что такие утверждения, как «я абсолютно уверен» или «я не могу не верить», не являются адекватным основанием для истинности каких бы то ни было суждений.

Каноны логической обоснованности в целом не зависят от исследований в рамках психологии как эмпирической науки. Психология, как и все остальные науки, может устанавливать какие-либо результаты только в согласии с правилами логического умозаключения. Однако изучение психологии существенно способствует компетентности в логике, ибо ничто кроме твердого знания психологии не может помочь нам избавить логическую теорию от ложных и неосознаваемых психологических допущений.

Помимо лингвистики и психологии, логика также не может отождествляться и с физикой, или естественной наукой. Суждения, исследуемые логикой, не сводятся к какой-либо отдельной области и могут относиться к чему угодно: искусству, делопроизводству, сказкам, теологии, политике. Таким образом, логическое отношение импликации, присутствуя в физике, не является объектом ее исследования.

В суждениях речь может идти и о несуществующих объектах, однако это не препятствует объективному статусу отношения импликации. Это отношение является объективным в том смысле, что оно не зависит от наших языковых конвенций или намерения думать неким определенным образом. Быть может, данное положение станет более понятным, если мы рассмотрим метод чистой математики. Как мы уже отмечали, в этой области нас интересует лишь импликация от наших исходных суждений, безотносительно того, истинны они или нет, и того, существуют ли описываемые в них объекты или же являются вымышленными. При этом исследования в области математики, проводящиеся на протяжении более чем двух тысячелетий, являются столь же обоснованными или детерминированными природой своего объекта (материальной импликации), как и любое географическое исследование Земли или астрономическое изучение движения звезд.

Никакое лингвистическое намерение или стремление думать иначе не способно повлиять на истины, открываемые или выводимые в таких областях, как теория простых чисел. И это распространяется на все виды строго логического вывода.

Главная цель логики – получить систематический способ различения обоснованных видов умозаключений и необоснованных. Однако исследователи логики не ограничивались только этой задачей. Со времен Локка они особенно часто вдавались в спекулятивные дискуссии относительно общей природы знания и операций, с помощью которых человеческое сознание постигает истину в отношении внешнего мира. Мы попытаемся избегать подобных тем не потому, что они неинтересны или неважны, а поскольку они не являются необходимыми для решения каких-либо строго логических задач. Ответы на вопросы, которые ставят дисциплины, носящие такие названия, как метафизика, рациональная психология или эпистемология, по всеобщему признанию являются слишком неопределенными или слишком сомнительными, чтобы служить базисом для науки о доказательстве или демонстрации. При этом нам бы хотелось избавиться от одного из таких вопросов, который, быть может, беспокоит читателя: как могут ложные суждения, или суждения о несуществующих объектах, иметь импликации, являющиеся объективно необходимыми?

Этот кажущийся парадокс происходит из наивного предположения о том, что только существующие вещи имеют определенный и объективный характер. Довольно несложно заметить, что мир науки, т. е. мир, в отношении которого имеется истинное знание, не может сводиться только к действительно существующим объектам и должен включать в себя все их возможные функции и сочетания. Рассмотрим такие элементарные суждения, как «углерод горит», «лед тает при 0 °C», «металлы проводят тепло и электричество», и т. п. Во всех этих суждениях говорится о классах или видах возможностей таких в идеальном смысле непрерывных или рекуррентных веществ, которые мы называем «углеродом», «льдом» или «металлом». В действительности наличествует лишь одна из неопределенного числа возможностей. Действительность является мгновением перехода от прошлого, которого уже нет, к будущему, которого еще нет. Можно сказать, что логика отбрасывает то, что является совершенно невозможным, и тем самым детерминирует область того, что при отсутствии соответствующего эмпирического знания является в абстрактном смысле возможным. История и науки о том, что существует в природе, отбрасывают некоторые из возможных суждений как ложные, например, такие, как те, в которых утверждается, что существуют свободные от трения двигатели, свободные тела, совершенно негибкие рычаги и т. д. Эти суждения отбрасываются, поскольку они несовместимы с суждениями, которые мы считаем истинными в отношении реального мира. Но реальный мир в каждый момент времени является лишь одним из числа возможных сочетаний вещей. Суждение, ложность которого доказана при одном наборе допущений, может оказаться истинным при другом. Таким образом, логические отношения сами по себе не достаточны для детерминации того, что существует в действительности, но они присутствуют при детерминации любого из возможных сочетаний вещей. Существенные свойства, детерминирующие ценность 100 долларов, остаются одними и теми же, независимо от того, есть у нас эта сумма или нет.

Как и любая другая наука, логика нацелена на достижение истины в своей конкретной сфере и в малой степени связана с ценностью этих истин или возможностями их применения. Логически последовательным может быть и злодей. Однако правильное умозаключение является столь важной и неотъемлемой частью процесса постижения истины (процесса, который в своей развитой форме именуется нами научным методом), что исследование того, каким образом логика присутствует в этом процессе, является естественным расширением нашей науки, точно так же как сфера чистой математики расширяется и развивается посредством ее практического применения. Данная тема будет подробно исследована во второй книге настоящего тома. На данном этапе мы, тем не менее, можем указать некоторые способы, с помощью которых формальная, дедуктивная логика помогает приходить к истинным суждениям.

1. Не секрет, что непосредственное определение истинности конкретного суждения зачастую представляется сложной или даже невыполнимой задачей. Однако при этом бывает довольно просто установить истинность другого суждения, из которого может быть выведено суждение, интересующее нас. Мы уже говорили о том, насколько сложно было бы показать посредством пересчета, что в Нью-Йорке существует как минимум два человека с одинаковым количеством волос на голове. Однако довольно легко показать, что число жителей Нью-Йорка превышает максимальное число волос на голове человека. Основываясь на исследованиях физиологии волосяного фолликула, а также отдельных примерах волосяного покрова на голове людей, мы можем установить, что на один квадратный сантиметр может насчитываться не более пяти тысяч волос. Антропологические измерения человеческого черепа позволяют заключить, что его максимальная площадь существенно меньше тысячи квадратных сантиметров. Следовательно, мы можем сделать заключение о том, что человек не может обладать более чем пятью миллионами волос на голове. На основании предыдущей демонстрации следует, что в указанном городе должно существовать как минимум два индивида с одинаковым количеством волос на голове.

2. Многие из наших верований сформировались в соответствии с отдельными проблемами. Поэтому мы нередко с удивлением обнаруживаем, что они несовместимы друг с другом. Однако дедуктивное исследование их общих отношений может проявить существующие между ними взаимосвязи и тем самым привести их к согласию. Так, именно с помощью дедуктивного рассуждения обнаруживается несовместимость между такими суждениями, как: «нельзя верить тем, кто не держит слова», «любители вина очень общительны», «человек, держащий слово, является честным», «среди трезвенников нет ростовщиков», «все общительные люди заслуживают доверия», «некоторые ростовщики бесчестны».

3. Дедуктивное рассуждение позволяет понять, к чему нас обязывает принятие тех или иных суждений. Так, если мы принимаем суждение, согласно которому две прямые линии не могут заключать пространства, а также ряд других суждений геометрии, то, как мы вскоре обнаружим, нам также придется принять и суждение о том, что сумма углов любого треугольника не может быть больше суммы двух прямых углов. Полное значение того, во что мы верим, обнаруживается нами при дедуктивном исследовании связей между различными суждениями, которых мы придерживаемся. Суждения, которые мы склонны принимать безусловно, могут обладать неожиданными для нас импликациями, которые заставят нас модифицировать наше поспешное принятие данных суждений в качестве посылок.

Указывая на данные способы использования дедуктивного умозаключения, мы не отрицаем того, что люди могут с успехом использовать их и без предварительного изучения теоретической логики, что они и делают точно так же, как и обучаются ходить без предварительного изучения физиологии. Однако изучение физиологии, безусловно, полезно при составлении методики по подготовке легкоатлетов. Любой профессиональный электрик может починить электрическую проводку, но при этом мы считаем, что инженеру, который имеет дело с новыми сложными проблемами, связанными с электричеством, необходимо обладать знаниями в теоретической физике. Теоретическая наука является основой любой рациональной методики. Точно так же и логика, как наука о видах умозаключений и связанных с ними ограничениях, позволяет формулировать и частично механизировать процессы, используемые в успешном исследовании. Реальное достижение истины, разумеется, зависит от способностей и навыков конкретного исследователя, однако тщательное изучение принципов логики помогает вырабатывать и совершенствовать методы отыскания и оценки оснований.

Логика не может гарантировать полезность или даже истинность суждений о фактах, точно так же как производитель скальпелей не может гарантировать успешности операций, которые будут проводиться с помощью произведенных им изделий. Однако, превознося выдающегося хирурга, мы не должны забывать и о том, чтобы отдать должное качеству скальпеля, с которым он так умело обращается. Таким образом, метод логики, шлифующий и совершенствующий интеллектуальный инструментарий, никогда не заменит использующих его великих мастеров, однако правда и то, что совершенный инструментарий является одним из необходимых условий мастерства[8].

Книга I Формальная логика

Глава II Анализ суждений

В предыдущей главе мы определили логику как дисциплину, изучающую отношение импликации между суждениями, т. е. отношение между посылками и заключениями, с помощью которого истинность или ложность одного множества определяет истинность или ложность другого. Таким образом, как посылки, так и заключения являются суждениями, и, исходя из задач, стоящих перед логикой, суждение можно определить как все, что может быть истинным или ложным. Данное определение будет более понятным, если мы также скажем, чем суждение не является.

1. Суждение не то же самое, что и предложение, в котором оно излагается. В трех разных предложениях – «Я мыслю, следовательно, я существую», «Je pense, done je suis», «Cogito ergo sum» – излагается одно и то же суждение. Предложение – это группа слов, а слова, как и все другие символы, сами по себе являются физическими объектами, отличными от того, на что они указывают или что символизируют. Будучи написанными, предложения занимают определенные поверхности, а будучи высказанными, они являются звуковыми волнами, переходящими от одного организма к другому. Однако суждение, вербальным выражением которого является предложение, отличается от видимых меток или звуковых волн конкретного выражения. Таким образом, предложения обладают физическим существованием. Они могут соответствовать или не соответствовать определенному вкусу или стандартам использования. Но они не являются истинными или ложными. Истина или ложь могут утверждаться только относительно суждений, обозначаемых предложениями.

2. При этом наряду с необходимостью отличать суждение от символов, в которых оно излагается, следует отметить, что ни одно суждение не может быть выражено или передано без символов. Следовательно, структура суждения должна быть выражена и сообщена посредством соответствующей структуры символов. Это требуется для того, чтобы суждение не могло быть передано с помощью какой угодно комбинации символов. «Джон крыса синий Джонс», «ходить сел есть очень» не являются символами, выражающими суждения. Данные символы – просто бессмыслица, если, конечно, мы не имеем дела с каким-либо кодом. Только определенные компоновки символов могут выражать суждение. И именно поэтому изучение систем обозначений обладает неоценимой значимостью для правильного анализа структуры суждений. И именно поэтому грамматика языка, несмотря на несходство грамматического и логического анализа, зачастую способна прояснить различия, которые по своей природе являются логическими.

3. Суждение, как мы сказали, является тем, относительно чего осмыслены вопросы об истинности и ложности. Следовательно, когда Гамлет восклицает: «О мысль моя, отныне ты должна кровавой быть, иль прах тебе цена!»[9] или же когда он спрашивает: «К чему тебе плодить грешников?», он не утверждает никакого суждения, а если и утверждает, то только имплицитно. Дело в том, что пожелания, вопросы или команды сами по себе не могут быть истинными или ложными. При этом следует отметить, что вразумительность пожеланий, вопросов и команд основывается на допущениях о том, что определенные положения дел преобладают. А такие допущения содержат суждения. Для примера рассмотрим вопрос: «К чему тебе плодить грешников?» В нем, помимо многих других суждений, несомненно, предполагается, что особа, к которой обращаются, существует, способна рожать детей и что эти дети обязательно будут грешниками. Сходным образом в восклицании «О мысль моя, отныне ты должна кровавой быть, иль прах тебе цена!» предполагается, что говорящий способен обладать мыслями, что эти мысли могут быть смертоносными, что они могут иметь некую ценность и т. д. Более того, команду или пожелание можно представить в декларативной форме, которая, как правило, выражает определенное суждение. Примером тому являются следующие переформулировки: «я хочу, чтобы ты пришел», «мне будет приятно, если ты придешь», «ты пожалеешь, если не придешь». Декларации являются суждениями в той степени, в какой то, что в них сообщается, может быть истинным или ложным.

4. Суждения часто спутываются с психическими актами, необходимыми для того, чтобы иметь суждение. Данная путаница происходит из понимания термина «суждение» как субстантивированного глагола. Это приводит к туманностям, ибо в одних случаях этим термином обозначается психический акт вынесения определенного суждения, а в других – само суждение, как содержание такого акта. Однако точно так же, как мы провели различие между суждением (как объективным смыслом) и предложением, в котором оно выражается, мы должны разграничить суждение и акт психики, связанный с вынесением суждения[10].

5. Суждения также не должны отождествляться с каким-либо конкретным объектом, вещью или событием. Они являются в лучшем случае лишь отдельными абстрактными отношениями между вещами. Когда мы утверждаем или отрицаем суждение «Луна находится ближе к Земле, чем Солнце», то ни Луна, ни Земля, ни Солнце, равно как и расстояние между ними, не являются суждением. Суждение – это отношение, которое утверждается как существующее между этими телами. Такие отношения, как объекты нашей мысли, являются элементами или аспектами реальных, конкретных ситуаций. Эти аспекты находятся в неразрывной пространственно-временной связи со всеми остальными составными элементами соответствующих ситуаций, однако их отличительная особенность заключается в их смысле. Именно поэтому чувственный опыт не может превратиться в знание без рефлексивного анализа того, что мы воспринимаем. А знание – это знание суждений, и обладать им можно, только различая отношения, присутствующие между абстрактными свойствами соответствующей ситуации.

6. Мы определили суждение как нечто, способное быть истинным или ложным. Однако это не означает, что мы обязаны знать его истинностное значение. «Рак излечим» является суждением, однако мы не знаем, истинно оно или нет.

Это, однако, приводит к известному затруднению, заключающемуся в том, что иногда мы не в состоянии определить, выражает ли некоторое предложение какое-либо суждение. Рассмотрим, к примеру, выражение «ярд состоит из трех футов». Задаемся ли мы вопросом об истинности или ложности, когда формулируем его? Следует признать, что данное предложение имеет вид предложения, выражающего некое суждение. Однако если мы проанализируем его содержание, то обнаружим, что оно выражает скорее некую резолюцию, чем нечто способное быть истинным или ложным. Мы решаем использовать единицу измерения, равную трем футам. Однако резолюции как таковой не может приписываться истинность или ложность. Резолюции, зачастую принимающие форму определений, выражаются способами, сходными с тем, как выражаются суждения, однако их следует отличать от суждений.

Вопрос о том, используется ли слово «ярд» согласно своему определению, разумеется, имеет фактическую природу, и ответ на него может быть истинным или ложным. Однако в данных суждениях речь идет о языковом использовании, а не об объектах, обозначаемых словами, входящими в состав суждений.

7. Еще одна сложность возникает вследствие того обстоятельства, что мы зачастую считаем, что одни и те же суждения иногда могут быть истинными, а иногда ложными. Однако наше определение суждения исключает подобную возможность и предполагает, что если некое суждение истинно, то оно должно быть истинным всегда. Как часто простые люди используют подобные реплики: «То, что ты говоришь, бывает истинным, но не всегда». Данная позиция относится к утверждениям типа «религия учит любить ближних», «тяжело противостоять соблазну», «повинную голову меч не сечет». Данную сложность мы можем преодолеть, признав, что если в данных суждениях утверждается, что нечто является всеобщим правилом, то наличие исключения лишь докажет их ложность. В суждении «иногда религия учит ненавидеть ближних» не утверждается абсурдная идея о том, что общее суждение «религия всегда учит ненавидеть ближних» иногда является истинным.

Быть может, следующий пример позволит лучше понять данную мысль. Создается впечатление, что суждение «нынешний губернатор Коннектикута – доктор Кросс» истинно в течение определенных лет, но, разумеется, не на все времена. Подобный анализ, однако, является неадекватным, поскольку фраза «нынешний губернатор», несомненно, предполагает определенную дату. Таким образом, эксплицитно включая в наше выражение нужную дату, мы получаем выражения для разных суждений, некоторые из которых будут истинными, а некоторые – ложными. Вообще говоря, утверждения, делаемые нами в обыденной речи, редко содержат все необходимые условия для определения их истинности или ложности. Одни из этих условий мы осознаем, о других не догадываемся. Неполное выражение не является ни истинным, ни ложным. И когда мы говорим, что некоторое суждение иногда истинно, а иногда ложно, мы имеем в виду лишь то, что используемое нами утверждение может быть закончено различными способами, выражающими иногда истинные, а иногда ложные суждения.

Согласно Аристотелю, все суждения либо утверждают, либо отрицают нечто. То, о чем нечто утверждается, называется субъектом, а то, что утверждается о субъекте, называется предикатом. Субъект и предикат называются терминами суждения. Суждение является синтезом, или объединением, терминов посредством связки, которая всегда представлена одной из форм глагола «быть».

Данный анализ нельзя с ходу применить к очень простым суждениям, таким как «идет дождь», «вчера был парад», и т. п. В первом случае мы не видим связки, во втором – «вчера» нельзя непосредственно предицировать «параду». Тем не менее, аристотелевский анализ будет в известной степени истинным, если мы сохраним различие между терминами и суждениями, но откажемся от условия, что должно быть только два термина. «Идет дождь» и «вчера был парад» по праву считаются суждениями, поскольку они отвечают нашим требованиям, т. е. являются либо истинными, либо ложными. «Дождь» или «парад» не являются суждениями, поскольку они не являются истинными или ложными. Когда мы слышим слово «дождь» или слово «парад», мы спрашиваем: «Что дождь?» или «Что парад?». Вопросы об истинности или ложности могут подниматься только относительно некоторых утверждений об этих объектах.

В качестве терминов данные объекты становятся элементами суждений. Термин можно рассматривать двояко: либо как класс объектов (в котором может быть лишь один член), либо как множество признаков или характеристик, присущих данным объектам. Первый подход или аспект именуется денотацией, или объемом, термина, тогда как второй аспект – коннотацией, или содержанием. Так, объемом термина философ являются «Сократ», «Платон», «Фалес»[11] и т. п.; его содержанием будет «любящий мудрость», «разумный» и т. д.

Содержание и объем, являясь различными аспектами термина, тем не менее, неразрывны. Все слова и символы, за исключением чисто указательных (т. е. жестов, служащих для непосредственного указания на что-либо, или таких местоимений, как «этот»), обозначают некоторые признаки, благодаря которым их можно верно применять к ограниченному множеству объектов. Все общие термины могут быть применены к какому-нибудь объекту, даже если в определенный отдельно взятый период времени не существует объекта, обладающего необходимыми признаками для того, чтобы быть включенным в объем соответствующего термина. Содержание показывает, почему определенный термин применяется к некоторому множеству объектов. Само же множество объектов, к которому применяется термин, составляет его объем.

Мы не будем останавливаться на многих проблемах, связанных с объемом и содержанием. Однако будет удобно различить несколько смыслов, в которых термин «содержание» зачастую употребляется. Эти различия необходимо проводить, если мы хотим избежать элементарной путаницы.

1. Под «содержанием термина» иногда подразумевают совокупность тех признаков, которые предстают в сознании человека, использующего данный термин. Так, для кого-то термин «грабитель» означает «человек, насильственным и незаконным образом присваивающий чужую собственность и являющийся неприемлемым для общества» и т. п., но для другого человека он может означать «индивид, присваивающий не принадлежащую ему по закону собственность, стоимость которой превышает десять долларов, физически опасный вследствие недоброй предрасположенности» и т. п. Такое понимание содержания термина называется субъективным содержанием. Субъективное содержание термина изменяется в зависимости от использующего его человека и имеет скорее психологическую, чем логическую значимость.

2. «Содержание термина» может обозначать набор существенных признаков предмета. Слово «существенный» означает необходимое и достаточное условие для того, чтобы считать любой объект элементом данного термина. Такое условие обычно выбирается с помощью всеобщего согласия, и «содержание» в этом смысле называется конвенциональным содержанием, или коннотацией. Конвенциональное содержание, как мы еще сможем увидеть, конституирует определение термина.

3. «Содержание термина» может обозначать все признаки, которые общие у объектов, входящих в денотацию термина, независимо от того, знаем мы о них или нет. Оно называется объективным, или полным, содержанием. Так, конвенциональное содержание термина «треугольник Евклида» – это «плоская фигура, ограниченная тремя прямыми», а частью объективного содержания является «плоская фигура с тремя углами, плоская фигура, сумма углов которой равняется сумме двух прямых углов» и т. д.

Логическую важность имеет именно конвенциональное содержание термина. Денотация термина очевидным образом зависит от его коннотации. Можно ли использовать слово «эллипс» применительно к конкретной геометрической фигуре, определяется признаками, включенными в коннотацию этого термина. С точки зрения знания, которым мы обладаем, можно сказать, что понимание коннотации термина предшествует его денотативному использованию: прежде чем использовать термин «амеба», нам необходимо знать его коннотацию. Однако с точки зрения развития нашего знания подобное предшествие весьма сомнительно. Философы не смогли удержаться от соблазна, отдавая абсолютный приоритет то содержанию, то объему. На разработку данного вопроса было потрачено много сил. При этом нет ничего неверного в том, чтобы считать, что развитие нашего знания относительно содержания и объема происходит параллельно, поскольку оба они являются неотъемлемыми аспектами значения термина. Определенный набор предметов, таких как куски железа, бронзы и жести, может быть отобран с некоторой целью, для достижения которой могут оказаться существенными такие общие свойства этих предметов, как твердость, непрозрачность, плавкость и блеск. Как следствие, данные объекты могут быть названы общим термином: «металл». Затем эти примечательные способности могут быть взяты в качестве критериев для включения других объектов в денотацию этого термина. Более близкое знакомство с этими объектами позволит нам усмотреть качества, являющиеся более надежными в определении наличия некоторых других качеств. Благодаря этому мы сможем относить некоторые объекты к одной и той же группе, невзирая на их кажущиеся различия, и точно так же разделять иные объекты по разным группам, несмотря на их внешнее сходство. Таким образом, конвенциональное содержание термина «металл» постепенно модифицируется. Придание термину удовлетворительного конвенционального содержания (или определения) – нелегкая задача, явившаяся достаточно поздним достижением человеческой мысли.

Рассмотрим теперь такие термины, как «фигура», «плоская фигура», «прямолинейная плоская фигура», «четырехугольник», «параллелограмм», «прямоугольник», «квадрат». Они перечислены в порядке подчиненности: термин «фигура» обозначает класс, который включает в себя денотацию термина «плоская фигура», и т. д. Каждый класс может быть обозначен как «род» относительно своего подкласса, который, в свою очередь, будет относительно него считаться видом. Таким образом, в приведенном примере денотация убывает: объем «параллелограмма» заключает в себя объем «прямоугольника» и т. д., но не наоборот. С другой стороны, содержание терминов из данного примера расширяется: содержание термина «прямоугольник» включает содержание «параллелограмма», но не наоборот. Данная закономерность отражает общее правило: когда последовательность терминов упорядочена, согласно их подчиненности, отношение между объемом и содержанием является обратным.

Однако данная формулировка отношения между объемом и содержанием не является точной. Во-первых, не следует понимать «обратное отношение» в строгом количественном смысле, поскольку добавление одного-единственного признака к содержанию термина в разных случаях сказывается по-разному на объеме. Так, объем термина «человек» сокращается гораздо значительнее при добавлении к его содержанию признака «проживший сто лет», чем при добавлении признака «здоровый». Во-вторых, изменениям в содержании могут вообще не сопутствовать изменения в объеме. Так, объем термина «университетский профессор» равен объему термина «университетский профессор старше пяти лет». Более того, следует иметь в виду, что обратное отношение между конвенциональным содержанием термина и его денотацией должно рассматриваться лишь для заданной предметной области (универсума рассуждения). Поэтому правило обратного отношения следует сформулировать следующим образом: если последовательность терминов упорядочена согласно увеличению содержания, то денотация терминов последовательности будет либо уменьшаться, либо останется без изменения.

Согласно традиционной логической теории, все суждения можно разложить на субъект, предикат и связку, как с точки зрения их содержания, так и с точки зрения их объема. С одной стороны, может показаться, что в суждении «все вишни являются сладкими» признак «являться сладким» относится к группе признаков, определяющих природу вишен. С другой стороны, данное суждение означает, что объекты, называемые вишнями, включены в денотацию термина «сладкий»[12].

В традиционном подходе также выделяются и другие формы суждений, именуемые условными. Их обычно пытаются сводить к категорической форме. Ниже мы рассмотрим условные формы, равно как и прочие способы анализа суждений. На данном же этапе мы лишь отметим, что, согласно традиционному подходу, все суждения следует рассматривать в субъектно-предикатной форме, и только в ней[13].

Суждения, очевидным образом не выражающие субъектно-предикатную форму, в таком случае должны быть изменены так, чтобы эта форма в них проявилась. Суждение «Германия проиграла войну» должно быть выражено как «Германия есть проигравшая в последней войне», где субъектом является «Германия», предикатом – «проигравшая в последней войне», а связкой, разумеется, «есть». При анализе суждения «десять есть больше пяти» «десять» будет субъектом, «число большее, чем пять» – предикатом, а «есть» – связкой[14].

Вполне несложно выразить вербально в субъектно-предикатной форме любое суждение. Однако такое вербальное отождествление зачастую скрывает фундаментальные логические различия. Основой критики традиционной логики со стороны современной явилось указание на то, что традиционный подход приписывает единую (категорическую) форму суждениям, существенно различающимся по форме.

Читателю может быть невдомек, в чем значимость подобного спора о подходах к анализу суждений. Ответ прост. Анализ суждений осуществляется с целью выявления того, какие выводы можно обоснованно сделать, исходя из тех или иных суждений. Следовательно, если имеет место множественность форм суждений, а любая форма или структура детерминирует обоснованность умозаключения, то соответствующее усовершенствование анализа суждений может позволить нам достигнуть более точного понимания области возможных умозаключений.

Еще одна причина важности анализа структуры суждений заключается в стремлении выработать некие стандартные или канонические способы демонстрации того, что мы хотим утверждать. Мы хотим отыскать некие канонические формулировки суждений определенного типа, с тем чтобы ускорить процесс вывода. Так, в элементарной алгебре крайне удобно записать квадратное уравнение 5х² = Зх – 5 в стандартной форме: 5х² – Зх + 5 = 0. Это удобно потому, что мы знаем корни общего квадратного уравнения в стандартной форме ах² + Ьх + с = 0, и нам несложно отыскать численный ответ нашей задачи. Более того, если мы примем стандартную форму записи уравнений, нам будет гораздо легче сравнивать различные уравнения и усматривать их сходства. То же самое имеет место и в логике. Если мы один раз определим критерии обоснованности умозаключений, отталкивающихся от суждений, выраженных в стандартной форме, то проведение всех последующих умозаключений становится почти механическим.

При этом сведение к стандартной форме суждения, выраженного в определенной вербальной форме, следует осуществлять очень осторожно, чтобы ничего не упустить из его изначального значения. Так, например, довольно сложно поверить в то, что при сведении к стандартной форме строчки из стихотворения Китса сохраняются все оттенки смысла, содержавшиеся в ней изначально.

Категорические суждения классифицируются по количеству и по качеству. В суждении «все бифштексы – сочные» нечто утверждается о каждом бифштексе, тогда как в суждении «некоторые бифштексы – жесткие» информация относится лишь к неопределенной части класса бифштексов. Суждения, в которых нечто предицируется всему классу, называются общими, а те, в которых нечто предицируется неопределенной части класса, называются частными. Частицы «все» и «некоторые» именуются знаками количества, поскольку они указывают на величину той части субъекта, относительно которой утверждается предикат. Различие между этими частицами проявляется более явно, если частицу «все» называть знаком определенного класса, а частицу «некоторые» – знаком неопределенной части класса. В обыденной речи знаки количества неясны. Так, суждение «некоторые профессора являются сатирическими», как правило, будет пониматься в том смысле, что некая часть, но не весь класс профессоров является сатирической. В данном случае «некоторые» означает «некоторые, но не все». С другой стороны, суждение «у некоторых читателей данной книги не возникнет трудностей в ее понимании» будет скорее понято, как утверждающее то, что некая часть читателей, не исключая и всего класса, не будет иметь трудностей в понимании книги. В данном случае «некоторые» означает «некоторые и, возможно, все». Мы избежим данной двусмысленности, договорившись, что в логике частица «некоторые» будет пониматься во втором смысле, т. е. как не исключающая всего класса.

Иная двусмысленность проявляется при употреблении слова «все». Иногда оно обозначает всех членов конечного и пронумерованного набора как в суждении «все книги на этой полке – философские». В других же ситуациях, как, например, в суждении «все люди смертны» «все» означает «все возможные» и не может без потери для изначального значения рассматриваться как относящееся лишь к ограниченному числу людей, которые, скажем, существуют сейчас или существовали когда-либо. Данное различие имеет первостепенное значение, и мы столкнемся с ним при обсуждении индукции и дедукции. Много заблуждений происходит по причине неучтения данного различия.

Является ли суждение «Тайс была гетерой в Александрии» общим или частным? Читателю может показаться, что частным. Однако он будет не прав, т. к. в таком случае он будет использовать частицу «некоторые» в смысле, отличающемся от того, который применяется в классификации суждений. На основании определения общих суждений как суждений, в которых нечто утверждается обо всем субъекте, данное суждение следует считать общим. Мы считаем, что это было бы еще более очевидным, если бы вместо терминов «общее» и «частное» использовались бы термины «определенное» и «неопределенное». В традиционной логике, однако, такие суждения иногда называются единичными, поскольку в них мы утверждаем нечто относительно одного индивида. Согласно традиционному подходу, единичные суждения следует, тем не менее, классифицировать как общие. Данное заключение, однако, не может считаться удовлетворительным в свете более тонкого анализа. Даже люди, не имеющие предварительной подготовки, смутно чувствуют, что существует разница в форме между суждением «доктор Смит является человеком, внушающим доверие» и суждением «все медики являются людьми, внушающими доверие». Такое чувство расходится с позицией традиционной логики. Современная логика поддерживает данное чувство, ясно демонстрируя, что эти суждения на самом деле являются примерами различных логических форм. При этом для многих целей использование традиционной логики, приписывающей данным суждениям одинаковую структуру, является вполне допустимым.

Второй принцип классификации категорических суждений – это их качество. В суждении «все змеи ядовиты» о субъекте утверждается предикат. Такое суждение называется утвердительным. В суждении «ни одна демократия не является приемлемой» о субъекте нечто отрицается. Такое суждение является отрицательным. Если мы посмотрим на категорическое суждение как отношение между классами индивидов, то в утвердительном суждении будет утверждаться включение одного класса или части класса другим классом, тогда как в отрицательном суждении утверждается исключение одного класса или части класса из другого. Из этого следует, что отрицательную частицу, являющуюся знаком качества, нужно рассматривать как относящуюся к связке, а не субъекту или предикату.

Как нам классифицировать суждение «все граждане не являются патриотами»? Данное суждение похоже на отрицательное, а знак количества, похоже, указывает на то, что оно общее. Однако, с одной стороны, его можно рассматривать как утверждающее, что «ни один гражданин не является патриотом», но, с другой стороны, оно может быть понято как отрицающее, что «все граждане являются патриотами», или же утверждающее, что «некоторые граждане не являются патриотами»[15]. Выражения, в которых используются слова «все… не», как показано в вышеприведенном примере или как видно на примере суждения «все, что блестит, не является золотом», по своей сути двусмысленны. В подобных случаях нам следует определить, что имеется в виду, и только затем выражать сказанное в ясной форме.

Таким образом, на основании различий, проведенных по количеству и качеству, мы можем насчитать четыре формы категорических суждений. «Все трезвенники живут недолго» является общеутвердительным суждением и обозначается буквой «А». «Ни один политик не является злобным» является общеотрицательным суждением и обозначается буквой «Е». «Некоторые профессора являются мягкосердечными» – частноутвердительное суждение, обозначающееся буквой «I». «Некоторые язычники не являются глупыми» – частноотрицательное и обозначается буквой «О». Буквы «А» и «I» традиционно использовались для утвердительных суждений: они являются первыми двумя гласными в слове «affirmo»[16], тогда как «Е» и «О» обозначают отрицательные суждения: они – гласные в слове «nego»[17].

В таких суждениях, как «только те, кто зол, счастливы», «только ленивые – бедные», «никто, кроме дикарей, не является здоровым», нечто предицируется чему-то исключительным образом. Поэтому такие суждения называются исключительными. Традиционная логика сводит их к канонической форме категорических суждений. Например, в суждении «только те, кто зол, счастливы» утверждается то же самое, что и в суждении «все счастливые люди – злы». В суждении «никто, кроме храбрых, не заслуживает справедливости» утверждается то же самое, что и в суждении «все, кто заслуживает справедливости, храбры». В суждении «никто, кроме старшекурсников, не допускается» утверждается то же самое, что и в суждении «допускаются только старшекурсники».

В таких суждениях, как «все студенты, кроме первокурсников, могут курить», «все, кроме нескольких, были убиты», «детям, кроме тех, которых привели родители, вход воспрещен», предикат отрицается относительно некоторой части денотации субъекта. Поэтому такие суждения называются исключающими. Их также можно выразить в стандартной форме категорических суждений, поскольку любое исключающее суждение можно сформулировать как исключительное. Так, «все студенты, кроме первокурсников, могут курить» может быть сведено к суждению «из всех студентов только первокурсники не могут курить». Следовательно, данное исключающее суждение может быть сформулировано как суждения вида А: «Все студенты, которые не могут курить, являются первокурсниками».

На данном этапе мы введем новый технический термин. Входящий в суждение термин мы будем называть распределенным, когда он указывает на все обозначаемые им индивиды. Нераспределенным мы будем называть термин, если он указывает лишь на неопределенную часть обозначаемых им индивидов.

Теперь определим, какие из терминов в каждом из четырех типов суждений являются распределенными. Не вызывает сомнения, что в общих суждениях субъект всегда является распределенным, а в частных – нераспределенным. Какова ситуация с предикатными терминами? В суждении «все судьи являются справедливыми» указываются ли все индивиды, обозначаемые словом «справедливый»? Разумеется, не все, поскольку в суждении ничего не говорится о том, являются ли все справедливые люди судьями. Поэтому предикат в суждениях типа А является нераспределенным. То же самое можно сказать и про суждения типа I. Таким образом, можно сделать заключение, что в утвердительных суждениях предикат не распределен.

Сохраняется ли эта закономерность для отрицательных суждений? Рассмотрим суждение «ни один полицейский не является красивым». В данном суждении утверждается не только то, что каждый человек, обозначаемый термином «полицейский», исключается из класса людей, обозначаемых термином «красивый», но также и то, что все индивиды, составляющие объем термина «красивый», также исключаются из объема термина «полицейский». Следовательно, предикат в суждениях типа Е является распределенным. То же самое относится и к суждениям типа О. Так, в суждении «некоторые из моих книг не находятся на этой полке» некоторая неопределенная часть класса, представляемого субъектом, исключается из целого класса, обозначаемого предикатом. Это станет более понятным, если читатель задастся вопросом о том, какую часть находящихся на полке книг ему придется проверить, чтобы убедиться в истинности данного суждения. Разумеется, проверить лишь часть находящихся на полке книг будет недостаточно. Читателю придется проверить все книги на полке. Следовательно, предикат является распределенным.

Мы можем резюмировать наше рассуждение, сказав, что в общих суждениях субъект является распределенным, тогда как в частных – нераспределенным. Что касается предиката, то он является распределенным только в отрицательных суждениях, а в утвердительных суждениях – нераспределенным.

Понятие распределенности терминов имеет большое значение в традиционной логике и играет ключевую роль в теории силлогизма. Поэтому мы рекомендуем читателю хорошо его усвоить. Мимоходом отметим, что субъектно-предикатный анализ суждений вместе с понятием распределенности может привести к неизящным результатам. Так, согласно традиционному анализу, суждение «Сократ был курносым» является общим, а его субъект должен быть распределенным, поскольку курносость предицируется всему Сократу. Однако в то время на основании таких общих суждений, как «все дети – жадные», можно получить соответствующее им частное суждение, в котором субъект «дети» будет нераспределенным, частного суждения, которое соответствовало бы единичным суждениям, найти нельзя. Термин «Сократ» ни при каких обстоятельствах не может быть нераспределенным. Ниже мы столкнемся еще с рядом аспектов, в которых общие и единичные суждения не рассматриваются традиционной логикой как симметричные.

Структуру четырех типов категорических суждений можно выразить в более интуитивно понятном виде, если принять определенные схематические изображения. Для выражения структуры категорических суждений было изобретено много методов, каждый из которых служил определенным целям. Самый ранний метод был предложен швейцарским математиком Эйлером, жившим в XVIII веке. Мы рассмотрим его метод в несколько модифицированном виде.

Примем следующие конвенции. Круг, нарисованный сплошной линией, будет означать распределенный термин. Круг, изображенный (частично или полностью) пунктиром, будет означать нераспределенный термин. Круг, нарисованный внутри другого круга, будет означать то, что один класс включен в другой класс. Два несоприкасающихся круга будут означать взаимное исключение двух классов. Наконец, два пересекающихся круга будут означать либо неопределенное частичное включение, либо неопределенное частичное исключение.

Четыре отношения между классами, обозначаемыми терминами «дворник» и «бедняк», характеризуют четыре категорических суждения (в каждом из которых субъект представлен термином «дворник») и схематично могут быть выражены следующим образом:

Круг с буквой «S» означает класс «дворники» (субъект), а круг с буквой «Р» означает класс «бедняки» (предикат).

Иногда удобно пользоваться другим методом, выражающим структуру категорических суждений. Его разработал английский логик Джон Венн. Сначала мы усматриваем то, что каждое суждение неявно указывает на некоторый контекст, в рамках которого оно является значимым. Так, суждение «Гамлет убил Полония» указывает на пьесу Шекспира. Назовем область указания предметной областью (универсумом рассуждения) и представим его на схеме в виде прямоугольника. Читатель может видеть, что два класса, вместе с их отрицаниями, образуют лишь четыре комбинации. (Под термином «отрицание класса» понимается что угодно в предметной области, не входящее в данный класс.) Например, в предметной области, состоящей только из людей, существуют объекты, являющиеся и дворниками, и бедняками (символически выраженные как SP), или которые являются дворниками, но не бедняками (), или не являющиеся дворниками, но являющиеся бедняками (), или ни теми, ни другими (). Предметная область, таким образом, делится на четыре возможных сектора. Однако не всегда такие возможные отсеки будут содержать индивидов в качестве членов. В каких отсеках будут индивиды, а в каких нет, будет зависеть от того, что утверждается в суждениях, указывающих на соответствующую предметную область.

Поэтому изобразим два пересекающихся круга внутри прямоугольника. Мы автоматически получим четыре различных сектора, по одному на каждую из указанных логических возможностей. Поскольку в суждении типа А утверждается, что все дворники включены в класс бедняков, класс дворников, не являющихся бедняками, не может содержать никаких членов. Чтобы проявить это на схеме, договоримся заштриховывать соответствующий сектор. Таким образом, на схеме для суждения типа А будет показано, что сектор  пуст. Мы также можем продемонстрировать это более наглядно, написав под прямоугольником « = 0», где «0» означает, что данный класс не содержит членов. Далее суждение «все дворники – бедняки» подразумевает, что в его предметной области не существует индивидов, которые являлись дворниками, но не бедняками.

В случае с суждением типа I процедура его выражения – несколько иная. Если мы зададимся вопросом о том, что, собственно, утверждается в суждении «некоторые дворники – бедняки», то обнаружим, что в нем не утверждается, что существуют индивиды, являющиеся дворниками, но не бедняками (здесь читатель может вспомнить, что нами было сказано выше относительно значения слова «некоторые»). В данном суждении также не утверждается и того, что в каждом из четырех секторов содержатся члены. Минимум, необходимый для того, чтобы данное суждение было истинным, заключается в требовании того, чтобы класс индивидов, которые являются дворниками и бедняками, не был пустым.

Договоримся обозначать данный минимум изображением звездочки в секторе SP, которая будет указывать на то, что он не является пустым. Тем самым мы не уточняем, содержатся члены в других секторах или нет. Еще один способ обозначить непустой сектор – это написать «SP ? 0» под прямоугольником. Данная запись сообщает, что в данном неравенстве часть, находящаяся слева, не лишена членов. Читателю следует подробно изучить оставшиеся схемы. Он обнаружит, что анализ суждений типа Е и О похож на анализ суждений типа А и I соответственно.

Если мы на данном этапе сравним наши схемы, то обнаружим, что между общими и частными суждениями имеет место примечательное различие. В общих суждениях не утверждается существование каких-либо индивидов, но при этом в них также попросту отрицается существование индивидов того или иного вида. В частных суждениях не отрицается существование чего-либо, однако просто утверждается то, что некоторые классы имеют члены. Следовательно, общее суждение «все дворники – бедняки» означает только следующее: если некоторый индивид является дворником, то он является бедняком. Здесь не утверждается, что на самом деле имеются индивиды, являющиеся дворниками. С другой стороны, частное суждение «некоторые дворники – бедняки» означает, что существует, по крайней мере, один индивид, являющийся одновременно и дворником, и бедняком.

Мы предвосхитим некоторые последующие темы данной книги, сформулировав суть дела следующим образом. Общее суждение «все дворники – бедняки» следует понимать как утверждающее: для всех частных случаев или значений X, если X является дворником, то X является бедняком. Частное суждение «некоторые дворники – бедняки» следует понимать как утверждающее: существует X такой, что X является дворником и что X является бедняком. Данное уточнение поможет нам понять, почему для современной логики представляется проблематичной одинаковая классификация таких суждений, как «Наполеон был солдатом» и «все французы – солдаты». Второе суждение, как мы видели, при анализе означает: для всех частных случаев или значений X, если X является французом, то X является солдатом. Первое же суждение, в свою очередь, никак не может быть понято подобным образом. Мы еще вернемся к данной теме.

Мы достигли следующего заключения: общие суждения не имплицируют существования каких-либо конкретных случаев, тогда как частные суждения имплицируют. Данное заключение может показаться читателю парадоксальным. (В самом деле, для того чтобы прояснить, насколько данное заключение зависит от наших соглашений, а насколько навязывается нам логическими соображениями, требуется более подробное исследование, чем то, которое мы можем себе здесь позволить.) Быть может, читатель приведет в пример суждение типа «все собаки суть верные» и скажет, что оно имплицирует существование собак. Действительно, может вполне статься, что, утверждая «все собаки суть верные», читатель может подразумевать и утверждать суждение «существуют собаки». Однако в таком случае ему следует обратить внимание, что он делает два отдельных и отличающихся друг от друга утверждения. В суждении же «пусть бросит камень тот, кто безгрешен» с очевидностью не имплицируется, что в действительности существуют безгрешные индивиды. Общее суждение может быть просто гипотезой относительно класса, который, как мы заранее знаем, не содержит членов.

Так, первый закон движения Ньютона гласит: все тела, не испытывающие воздействия со стороны других тел, всегда сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Станет ли читатель утверждать, что в данном суждении утверждается существование какого-либо тела, не испытывающего воздействия со стороны других тел? Нам стоит лишь напомнить ему о законе тяготения, согласно которому все тела притягивают друг друга. В первом же законе Ньютона утверждается гипотеза о том, что если бы некоторое тело не испытывало воздействия со стороны других тел, оно всегда сохраняло бы состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Точно так же в принципе рычага говорится о том, что имело бы место, если бы рычаг был идеально жестким телом. В этом принципе не утверждается, что такое тело существует. На самом деле исследование принципов различных наук достаточно ясно демонстрирует, что общие суждения в науке всегда функционируют в качестве гипотез, а не высказываний о фактах, в которых утверждалось бы существование индивидов, представлявших частные случаи данных суждений. Разумеется, истинным является и то, что если бы общие суждения не были применимыми в практике, то стали бы бесполезными для науки, которая имеет дело с фактами. Истинно также и то, что значение общих высказываний требует, по крайней мере, применимости в возможных фактах. Однако мы не можем отождествлять абстрактные возможности, описываемые общими суждениями, и то, что действительно существует, поскольку последнее является местом, в котором абстрактные возможности либо исключаются, либо сочетаются с другими возможностями. Так, инерция считается фазой любого механического действия, хотя ни один частный случай инерции самой по себе не может быть найден в природе. Принцип рычага применим в той мере, в какой тела в действительности являются жесткими, хотя нет частных примеров чистой жесткости отдельно от других свойств тел.

На данный вопрос можно посмотреть и с другой стороны. До настоящего момента мы говорили, что в суждениях утверждаются отношения между классами индивидов. На с. 68 мы видели, что суждения могут пониматься как утверждающие определенные связи между признаками. Рассмотрение общих суждений, как не утверждающих существования каких-либо индивидов, выводит на первый план их понимание в терминах постоянных связей между признаками.

Наконец, следует отметить, что, затрагивая вопрос об экзистенциальной нагруженности, мы вовсе не обязаны сводить область указания терминов к физическому универсуму. Когда мы спрашиваем: «Была ли у Юпитера дочь?» или «Был Гамлет на самом деле сумасшедшим?», мы задаемся вопросом не о физическом существовании, а о существовании индивидов в рамках некоторой предметной области, управляемой определенными допущениями, в нашем случае утверждениями о Гомере или Шекспире. Поэтому индивид, «существование» которого допускается в одной предметной области (универсуме рассуждения), может не существовать в другой. В суждении «Самсон – это чистый миф» отрицается существование Самсона в универсуме достоверной истории, однако, разумеется, оно не отрицается для области библейской мифологии.

Таким образом, когда в формальной логике говорится о том, что общие суждения не имплицируют, а частные имплицируют существование отдельных случаев, читатель может понимать это (по крайней мере, отчасти) как указание на различные функции, которые каждый из типов суждений выполняет в научном исследовании. Мы не можем обоснованно выводить истинность суждения, в котором речь идет о наблюдении, из посылок, в которых не содержится суждения, полученного на основании наблюдения. Точно так же не можем мы и выводить истинность частного суждения только из посылок, содержащих общие суждения, если, конечно, мы неявным образом не допускаем как само собой разумеющееся существование членов классов, на которые указывают термины общих суждений.

До настоящего момента нами анализировались только категорические суждения. Однако логические связи присутствуют и между более сложными формами суждений. Рассмотрим следующие суждения:

1. Вес В равен весу G.

2. Прямые АВ и CD параллельны.

3. Если углы AFG и CGF больше двух прямых углов, то оставшиеся углы BFG, DGF меньше двух прямых углов.

4. Сумма внутренних углов одной и той же стороны либо равна, либо больше, либо меньше, чем два прямых угла.

При сравнении первых двух суждений со вторыми двумя видно, что, в отличие от первых двух суждений, вторые два содержат суждения в качестве своих составных компонентов или элементов. Таким образом, «если углы AFG и CGF больше двух прямых углов» и «оставшиеся углы BFG, DGF меньше двух прямых углов» – это тоже суждения, являющиеся компонентами суждений 3 и 4.

Назовем все суждения, содержащие в качестве своих компонентов другие суждения, сложными. При этом читателю следует иметь в виду, что в форме предложения не всегда проявляется выражаемое им суждение. Вспомним сказанное нами в конце предыдущего параграфа, в котором анализировались категорические суждения.

Можно различить четыре типа сложных суждений. В каждом из них простые суждения, входящие в состав сложного, связаны особым отношением.

1. Рассмотрим суждение «если объявлена война, то цены поднимаются». Мы договорились называть суждение, следующее за словом «если» («объявлена война»), «антецедентом», а суждение, вводимое словом «то» («цены поднимаются») – «консеквентом». Иногда частица «то» пропускается, но при этом она неявно подразумевается во всех подобных случаях. Составное суждение, соединяющее два простых посредством отношения, выражаемого союзом «если… то», называется условным, или импликативным.

Что мы имеем в виду, когда утверждаем, что условное суждение истинно? Мы, разумеется, не имеем в виду, что истинен антецедент или консеквент, несмотря на то что оба они на деле могут оказаться истинными. Мы пытаемся утверждать, что если антецедент является истинным, то консеквент тоже является истинным. Иными словами, антецедент и консеквент связаны таким образом, что первый не может быть истинным без того, чтобы последний тоже был истинным. Иногда считается, что условное суждение выражает сомнение. Однако данный способ описания этого суждения может вводить в заблуждение. Мы, действительно, можем сомневаться в том, что объявлена война, однако когда мы утверждаем данное условное суждение, мы не сомневаемся: «если объявлена война, то цены поднимаются».

Антецедент и консеквент условного суждения сами по себе также могут быть сложными суждениями. Вследствие этого анализ логической формы суждений будет облегчен, если мы используем особые символы, разработанные специально для проявления логической формы. Договоримся, что штрих, следующий сразу после скобок, будет обозначать отрицание, или негацию, суждения, находящегося внутри скобок. Так, суждение «неверно, что Карл I умер в кровати» может быть записано, как (Карл I умер в кровати)'[18]. Также заменим вербальные символы «если… то» идеографическим символом «?»[19]. Условное суждение «если бы Карл I не умер в кровати, то он был обезглавлен» может быть записано так:

(Карл I умер в кровати)?? (он был обезглавлен).

2. Далее рассмотрим еще одно суждение: «все люди эгоистичны или они не ведают собственных интересов». Отношение, связывающее простые суждения, выражается союзом «или». Само сложное суждение мы будем называть дизъюнкцией (или нестрогой дизъюнкцией), а входящие в него простые суждения – членами дизъюнкции.

Что именно мы утверждаем, когда высказываем дизъюнкцию? Мы не стремимся утверждать истинность или ложность конкретного ее члена. Мы не хотим сказать ни «все люди эгоистичны», ни «все люди не ведают собственных интересов». Мы утверждаем только то, что, по крайней мере, один из членов дизъюнкции является истинным.

Однако говорим ли мы при этом, что оба члена вместе не могут быть истинными? В обыденном общении связка «или» может употребляться и в этом смысле. Если передовица какой-нибудь газеты содержит такое дизъюнктивное высказывание, как «либо будет принята национальная программа экономического развития, либо революция станет неизбежной», то обычно предполагается, что истинной должна быть лишь одна из двух альтернатив. С другой стороны, когда мы говорим про кого-то «он или дурак, или плут», то мы вовсе не исключаем возможности того, что оба варианта окажутся истинными. Чтобы избежать двусмысленности, мы примем то понимание, согласно которому в дизъюнктивном суждении утверждается как можно меньше. Поэтому дизъюнкция будет пониматься нами как означающая, что, по крайней мере, одна из альтернатив является истинной, но истинными также могут быть и обе.

Отношение «или» удобно выражать отдельным символом. Мы будем использовать символ «?». Он будет ставиться между членами дизъюнкции. Суждение «он или дурак, или плут» может, таким образом, быть выражено как:

«(он – дурак) ? (он – плут)».

3. Рассмотрим еще одно сложное суждение: «Луна – полная, и Венера является утренней звездой». Отношение, связывающее простые суждения, выражено союзом «и» и называется конъюнкцией. Суждения, входящие в состав конъюнкции, мы будем называть конъюнктами.

Что именно утверждается в конъюнктивном суждении? Ясно, что в нем утверждается не только истинность суждений «Луна – полная» и «Венера есть утренняя звезда», взятых поодиночке. В нем утверждается истинность конъюнктов, взятых вместе. Следовательно, если один из членов конъюнкции является ложным, то ложна и вся конъюнкция. Конъюнкцию следует рассматривать как единое сложное суждение, а не перечисление нескольких простых суждений.

Для обозначения отношения, выраженного союзом «и», мы будем использовать специальный символ. Конъюнкция отныне будет обозначаться знаком «.» (точкой)[20]. Так, суждение «Луна – полная, и Венера – утренняя звезда» может быть записано как:

(Луна – полная). (Венера есть утренняя звезда).

4. Читатель может задаться вопросом о том, какую роль конъюнктивное суждение может играть в умозаключении. Конъюнкция, скажет он, никогда не сможет послужить основанием для истинности какого-либо из конъюнктов. Так, если мы сомневаемся относительно истинности суждения «мои часы – точные», сможем ли мы привести в качестве основания его истинности конъюнкцию «мои часы – точные, и все механизмы, работающие по принципу водяной мельницы, зависимы от изменений климата»? Действительно, установить истинность конъюнкции гораздо сложнее, чем установить истинность какого-либо из конъюнктов.

Ответом на данное возражение может послужить указание на то, что из конъюнкции может быть выведено нечто такое, чего нельзя вывести из ее членов по отдельности. Более того, суждение, в котором конъюнкция отрицается, крайне полезно для умозаключений. Отрицание конъюнктивного суждения дает четвертый тип сложного суждения. Отрицанием суждения «мои часы – точные, и все механизмы, работающие по принципу водяной мельницы, зависимы от изменений климата» является суждение «неверно, что мои часы точные, и вместе с этим все механизмы, работающие по принципу водяной мельницы, зависимы от изменений климата». Это значит, что, по крайней мере, один из дизъюнктов является ложным. Отрицание конъюнкции мы будем называть строгой дизъюнкцией, а ее составные элементы – членами строгой дизъюнкции. Поскольку в конъюнкции утверждается, что оба конъюнкта – истинны, то в отрицании конъюнкции, т. е. в строгой дизъюнкции, утверждается, что, по крайней мере, один из ее членов является ложным[21]. Оба члена строгой дизъюнкции не могут быть истинными.

Мы уже сказали о том, что в обыденной речи члены нестрогой дизъюнкции могут использоваться как взаимоисключающие. Так, в суждении «он – холостяк или он женат» истинность одного из дизъюнктов исключает истинность другого[22]. Такая дизъюнкция в обыденной речи неявно является строгой. Поскольку обыденное значение суждения «он – холостяк или он женат» включает в себя «неверно, что и то, и другое», его можно выразить как:

[(он – холостяк) ? (он женат)] .

. [(он – холостяк) . (он женат)]?

Применим рассмотренные различия для того, чтобы выразить логическую форму некоторых сложных суждений. Рассмотрим следующий аргумент: если каждая отдельная расовая группа характеризуется индивидуальной культурой, то все нации отличаются друг от друга в культурном смысле или национальные различия не совпадают, полностью или частично, с расовыми. Однако истинным не является ни то, что различные нации обладают индивидуальными культурами, ни то, что национальные различия не совпадают с расовыми различиями. Следовательно, то, что каждая раса обладает индивидуальной культурой, ложно.

Используем буквы р, q, r для обозначения следующих простых суждений данного аргумента:

р ? каждая отдельная расовая группа характеризуется индивидуальной культурой;

q ? все нации отличаются друг от друга в культурном смысле;

r ? национальные различия не совпадают, полностью или частично, с расовыми.

Посылки и заключение данного аргумента можно представить следующим образом:

a. p ? (q ? r)

b. q? . r?

c. p?

Суждения а, b и с отличаются друг от друга логической формой, и символьная запись помогает это отличие проявить. Обоснованность аргумента зависит от структуры или формы суждений а, b и с, поскольку заключение следует из посылок только если истинно:

d. (а . b) ? c

Читателю следует отметить, что можно провести важное различие между отношением антецедента условного суждения к его консеквенту (как в суждении а), с одной стороны, и отношением между посылками обоснованного аргумента к заключению (как в суждении d) – с другой. Для установления отношения антецедента к консеквенту нужно предоставить материальное (или фактическое) основание, тогда как для установления отношения между посылками и заключением такое основание неуместно и невозможно, поскольку такое отношение имеет место, только когда один из терминов этого отношения логически или аналитически содержится в другом. Однако у этих двух отношений есть и общая черта, заключающаяся в том, что ни то, ни другое не имеет места в случае истинности антецедента или посылки и ложности консеквента или заключения. Именно эта общая черта обозначается связкой «если… то» или знаком «?». Читателю при этом следует помнить, что две вещи, схожие в одном смысле, могут быть различными в другом, равно как и две вещи, отличные друг от друга в одном смысле, могут оказаться в чем-то другом схожими.

Разложение сложных суждений на составляющие их суждения явным образом относится к логике. Однако разложение предложения на его словесные элементы является задачей грамматики. Логически суждения предшествуют словам в том смысле, что суждения не производятся путем объединения слов, тогда как значения слов являются производными только от контекста конкретного суждения. В конечном счете значение слова определяется элементарными суждениями такой формы, как суждения «это – трюфель», «это – пурпурный цвет» и т. п., где слово «это» может быть заменено на определенный указательный жест. Однако, несмотря на то что суждения не могут быть разложены на словесные составляющие, внимание к этим составляющим зачастую способствует логическому анализу или логической классификации суждений. Рассмотрим следующие суждения:

1. Архимед был скромным.

2. Архимед был математиком.

3. Архимед был более великим математиком, чем Евклид.

Согласно традиционному подходу, каждое из этих суждений является категорическим, а его составные элементы – это субъект, предикат и связка. Любое суждение, такое как «Архимед любил математику» или «Архимед бежал голым по улице и кричал «Эврика!»», может быть разложено и трансформировано: «Архимед был любящим математику» или «Архимед был бегущим голым по улице» и т. д. Можно задаваться вопросом о том, не изменяет ли такая трансформация значения суждения. Однако в любом случае суждения можно анализировать и иными способами, отличными от традиционного подхода. Так, используя в качестве модели суждение 2, можно рассматривать любое суждение как утверждающее, что некоторый объект является членом определенного класса. Тогда получится, что в суждении 1 утверждается, что Архимед был членом класса скромных сущностей, а в суждении 3 – что он был членом в классе математиков, более великих, чем Евклид. Данный способ анализа соотносится с классическим так же, как взгляд с точки зрения объема соотносится со взглядом с точки зрения содержания.

Совершенно иным способом анализа суждений является рассмотрение их как утверждающих определенное отношение между двумя или более объектами. Так, в нашем первом суждении утверждается отношение между Архимедом и скромностью (отношение субстанции и признака), в нашем втором суждении утверждается так называемое отношение принадлежности к классу между Архимедом и классом математиков. Таким образом, суждения типа «Архимед решил задачу царя Гиерона» могут быть разложены для получения таких суждений, как «Архимед находился в отношении решателя к задаче царя Гиерона».

Вполне ясно, что ни один из этих способов анализа не может считаться единственно верным. Эти подходы также не являются и взаимоисключающими. Тем не менее, каждый из этих способов анализа подходит для одних суждений лучше, чем для других. Можно только с большой натяжкой сказать, что в суждении «автор «Макбета» есть автор «Гамлета»» «автор «Гамлета» означает признак того, что именуется «автором «Макбета»». Более подходящим представляется способ рассмотрения данного суждения как утверждающего отношение тождества в денотации, несмотря на различие в содержании, или коннотации.

В логическом смысле еще более важно отметить, что если мы не проведем различия между суждениями о принадлежности к классу, с одной стороны, и суждениями, представляющими какие-либо другие отношения, – с другой, то мы упустим важный фактор, оказывающий влияние на природу импликации. Так, в то время как одни отношения являются транзитивными, отношение принадлежности к классу таковым не является. Суждение «Архимед был более великим математиком, чем Евклид, и Евклид был более великим математиком, чем Аристотель» имплицирует суждение «Архимед был более великим математиком, чем Аристотель». Однако суждение «Архимед был гражданином Сиракуз, и Сиракузы были членом греко-карфагенского союза» не имплицирует суждения «Архимед был членом греко-карфагенского союза».

В главе VI мы систематически изучим отношение между классами и логические свойства отношений в целом.

Рассмотрим суждение «все математики – квалифицированные логики». Его нельзя просто отнести к суждениям субъектно-предикатного вида, поскольку в нем определенному индивиду не предицируется какая-либо характеристика или качество. В нем также не утверждается и то, что индивид является членом некоторого класса. Также не будет корректным сказать, что в нем утверждается некоторое отношение между одним индивидом и другим индивидом или несколькими индивидами. В нем утверждается особое отношение включения между двумя классами. Суждения об отношениях между классами, т. е. о полном или частичном включении (или исключении) одного класса из другого, называются родовыми общими суждениями. Мы уже указали на то, каким должен быть правильный анализ таких суждений, когда рассматривали анализ категорических суждений в предыдущем разделе. Попытаемся теперь прийти к тому же самому заключению с другой стороны.

«Архимед был математиком», «Евклид был математиком», «Птолемей был математиком» – все эти суждения обладают общей формой. Они отличаются только в том, что в качестве субъектов в них выступают различные термины. Теперь рассмотрим выражение «х является математиком». Оно не является суждением, поскольку не может быть истинным или ложным. Однако из него можно получить суждения, подставляя различные значения на место переменной х. Все суждения, полученные таким путем, будут обладать общей формой. Выражение, содержащее одну или более переменную и выражающее суждение, если переменным придаются значения, называется пропозициональной функцией.

Мы можем варьировать не только субъект, но и другие термины такого суждения. Изменив отношение в суждении «Архимед был убит римским солдатом», мы получаем суждение «Архимед был восхвален римским солдатом», «Архимед был двоюродным братом римского солдата» и т. д. Если мы выразим отношение переменной R, то получим пропозициональную функцию: «Архимед R римский солдат». (Данную запись следует читать как «Архимед находится в отношении R к римскому солдату».) Варьируя в подобной манере термины и отношения в суждении и выражая их с помощью переменных, мы можем проявить логическую форму или структуру в ее точном виде.

Когда мы утверждаем суждение «все математики – квалифицированные логики», мы хотим сказать, что если любой индивид является математиком, то он также является квалифицированным логиком. Данное отношение можно выразить через импликацию между суждениями, полученными с помощью пропозициональных функций, следующим образом:

[Для всех значений х (х является математиком) ? (х является квалифицированным логиком)],

где знак «?», как обычно, означает отношение «если… то» между суждениями, полученными из пропозициональных функций путем придания значений для х.

Суждения данного типа, утверждающие включение (или исключение) одного класса в другой (или из другого), некоторым образом схожи со сложными суждениями. Поэтому их не следует путать с суждениями о принадлежности классу, поскольку, как мы видели, отношение принадлежности классу не является транзитивным, тогда как отношение включения одного класса в другой является транзитивным. Таким образом, если «все математики являются квалифицированными логиками» и «все квалифицированные логики являются университетскими профессорами», то мы можем обоснованно заключить, что «все математики являются университетскими профессорами».

Выразим все четыре вида категорических суждений в новой записи:

1. «Все студенты – независимые мыслители» эквивалентно «[Для всех х (х является студентом) ? (х является независимым мыслителем)]».

2. «Ни один студент не является независимым мыслителем» эквивалентно «[ «Для всех х (х является студентом) ? (х является независимым мыслителем)?».

3. «Некоторые студенты – независимые мыслители» эквивалентно «[Существует х такой, что (х является студентом) . (х является независимым мыслителем)]».

4. «Некоторые студенты не являются независимыми мыслителями» эквивалентно «[Существует х такой, что (х является студентом) . (х является независимым мыслителем)?».

Два общих суждения (1 и 2) с очевидностью обладают логической формой, отличной от формы двух частных суждений (3 и 4). При этом все четыре суждения отличаются по форме от суждений с субъектно-предикатной формой.

Глава III Отношения между суждениями

Интерес логиков к структуре суждений вызван их желанием проявить все возможные формы суждений, с помощью которых суждения имплицируют друг друга. Помимо импликации суждения могут быть связаны и другими отношениями. Так, суждения «меновая стоимость товара пропорциональна объему труда, требующегося для его производства» и «предложение товара пропорционально спросу на него» связаны определенным отношением, заключающимся в том, что в них речь идет об экономике. Также связанными являются суждения «и самая блестящая речь надоедает, если ее затянуть» и «в мысли содержится величие человека» – в них верил Паскаль. Однако подобные связи не являются предметом интереса логика. Логическую значимость имеют те отношения между суждениями, благодаря которым возможная истинность или ложность одного или более суждений ограничивает возможную истинность или ложность другого или других суждений. Рассмотрим такие отношения.

В заключительной части платоновского диалога «Протагор» Сократ резюмирует обсуждение вопроса о природе добродетели: «Да ведь я спрашиваю… только ради того, чтобы рассмотреть, как обстоит дело с добродетелью и что это такое – добродетель. Я знаю, если это будет раскрыто, тогда всего лучше выяснится и то, о чем каждый из нас держал столь длинную речь: я – когда утверждал, что добродетели нельзя научиться, ты же – когда утверждал, что можно. И мне кажется, что недавний вывод наших рассуждений, словно живой человек, обвиняет и высмеивает нас, и, если бы он владел речью, он бы сказал: «Чудаки вы, Сократ и Протагор! Ты, утверждавший прежде, что добродетели нельзя научиться, теперь вопреки себе усердствуешь, пытаясь доказать, что все есть знание: и справедливость, и рассудительность, и мужество. Но таким путем легче всего обнаружится, что добродетели можно научиться. Ведь если бы добродетель была не знанием, а чем-нибудь иным, как пытался утверждать Протагор, тогда она, ясно, не поддавалась бы изучению; теперь же, если обнаружится, что вся она – знание (на чем ты так настаиваешь, Сократ), странным было бы, если бы ей нельзя было обучиться. С другой стороны, Протагор, тогда полагавший, что ей можно обучиться, теперь, видимо, настаивает на противоположном: она, по его мнению, оказывается чем угодно, только не знанием, а следовательно, менее всего поддается изучению».

Меня же, Протагор, когда я вижу, как все тут перевернуто вверх дном, охватывает сильное желание все это выяснить»[23].

Рассмотрим из данного отрывка следующие суждения:

a. Добродетели нельзя научиться.

b. Если добродетель не есть знание, то ей нельзя научиться.

c. Если добродетель есть знание, то ей можно научиться.

d. Добродетели можно научиться.

e. Добродетель есть знание.

f. Добродетель не есть знание.

Несложно усмотреть, что суждения а и d связаны логически, а не только тем, что в них обоих речь идет о добродетели. Существует очевидное ограничение относительно их возможной истинности или ложности. Оба данных суждения не могут быть истинными, поскольку в одном утверждается то, что в другом отрицается. По той же причине оба данных суждения не могут быть ложными. Точно такое же отношение имеет место между суждениями ей/. Такие суждения противоречат (являются контрадикторными) друг другу.

Что можно сказать относительно суждений Ь и с? Читатель может посчитать их также противоречащими. Это, однако, будет неверно. Противоречия не возникает, если сказать, что добродетели можно научиться при одних случайных обстоятельствах (например, если добродетель является знанием), но нельзя при других (если добродетель не является знанием).

Данные суждения не накладывают друг на друга ограничений относительно возможной истинности или ложности. Такие суждения, несмотря на то что в них речь идет об одном и том же предмете, являются логически независимыми. Читатель может самостоятельно установить, есть ли в приведенном выше списке еще независимые суждения.

Теперь рассмотрим суждения Ь и f, как утверждаемые одновременно и тем самым формирующие конъюнктивное суждение. Существует ли отношение между этой конъюнкцией и суждением а? Несложно увидеть, что если и Ь и f – истинны, то а должно быть истинным. Однако если истинно а, следует ли из этого истинность Ь и f? Разумеется, нет, поскольку а может быть истинным вследствие совершенно других оснований, чем те, которые предоставляет конъюнкция Ь и f. Так, например, такими основаниями могут быть человеческое упрямство, дурные привычки или слабость тела. А конъюнкция может быть ложной, даже если а истинно, поскольку может оказаться истинным, что добродетель является знанием, но при этом ей все равно нельзя научиться. Если два суждения связаны отношением таким, что если первое истинно, то второе тоже истинно, но если второе истинно, то истинностное значение первого является неопределенным, или неограниченным, то такие суждения считаются находящимися в отношении подчиняющего к подчиненному. Для данного отношения также был введен удобный термин «суперимпликация». Предлагаем читателю самостоятельно отыскать другие сочетания суждений из приведенного списка, находящиеся друг с другом в этом же отношении.

На данный момент мы рассмотрели три типа отношений между суждениями: противоречие, независимость и отношение подчиняющего суждения к подчиненному. Существуют ли другие отношения помимо указанных? Исчерпывающий список всех таких отношений можно получить, если рассмотреть все возможные истинностные значения, которые будет принимать пара суждений. («Истинностным значением суждения» называется его истинность или ложность.) Пусть р символизирует одно любое суждение, a q – любое другое. Приведенная ниже таблица представляет все их возможные истинностные значения. Следует также учесть возможность того, что истинностное значение одного суждения не будет ограничиваться истинностным значением другого. Отсутствие такого ограничения мы обозначим термином «неопределенно».

Отношение между двумя суждениями может быть представлено одним из указанных шести способов. Однако придания паре суждений лишь одного из шести предложенных условий недостаточно, чтобы однозначно определить их логическое отношение друг к другу. Поэтому для задания свойств отношения противоречия (или контрадикторности), существующего, например, между суждениями ей/, требуется привести два условия: 2 и 4. Отношение суперимпликации также требует двух условий: 1 и 6. Рассмотрение других возможных логических отношений между суждениями показывает, что для задания их свойств также требуется два из шести приведенных в таблице условий. Сопоставив три первых условия с тремя последними, мы получим девять возможных отношений между суждениями. При этом некоторые из них будут совпадать.

1. Если р истинно, то q истинно.

Если р ложно, то q истинно.

В этом случае истинностное значение q не ограничено истинностным значением р. Суждения, связанные таким образом, называются независимыми.

2. Если р истинно, то q истинно.

Если р ложно, то q ложно.

Суждения, связанные таким образом, называются эквивалентными.

3. Если р истинно, то q истинно.

Если р ложно, то q неопределенно.

Суждения, связанные таким образом, находятся в отношении главного (или подчиняющего) и подчиненного. Как было сказано выше, для обозначения этого отношения мы также будем использовать термин «суперимпликация».

4. Если р истинно, q ложно.

Если р ложно, q истинно.

Читатель, видимо, уже узнает данное отношение, именуемое противоречием.

5. Если р истинно, q – ложно.

Если р ложно, q – ложно.

В данном случае ложность q не зависит от истинности или ложности р, поэтому суждения являются независимыми.

6. Если р истинно, q – ложно.

Если р ложно, q – неопределенно.

В данном случае р и q считаются противоположными (контрарными): они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.

7. Если р истинно, q – неопределенно.

Если р ложно, q – истинно.

Здесь оба суждения не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Такие суждения называются субконтрарными (частично совпадающими).

8. Если р истинно, q – неопределенно.

Если р ложно, q – ложно.

В этом случае отношение р к q является обращением отношения из пункта 3. Суждение р здесь находится в отношении субъимпликации или является подчиненным подчиняющему суждению q.

9. Если р истинно, q – неопределенно.

Если р ложно, q – неопределенно.

Здесь суждения р и q также являются независимыми, поскольку истинностное значение р не детерминирует истинностное значение q.

Таким образом, существует семь различных типов логических связей между одним суждением или набором суждений и другим суждением или их набором. (Следует обратить внимание, что 1, 5 и 9 относятся к одному и тому же типу.) Суждения могут 1) быть эквивалентными, 2) находиться в отношении подчиняющего к подчиненному, 3) находиться в отношении подчиненного к подчиняющему, 4) быть независимыми, 5) субконтрарными, 6) противоположными или 7) противоречащими. Данные семь связей являются основополагающими логическими связями между суждениями, и любое рассуждение, в которое мы будем вдаваться в настоящей книге, может рассматриваться как иллюстрация одного из этих отношений. Полное понимание этих семи отношений позволит читателю получить обзорное представление о сфере распространения логики[24].

Мы согласились называть два суждения независимыми, если истинностное значение одного из них никак не детерминирует или ограничивает истинностное значение другого. Таким образом, если бы мы исследовали вопрос о том, является ли истинным суждение «У Перикла было два сына», то нам не помогла бы истинность или ложность суждения «Герц открыл электрические волны». Когда одно суждение не является абсолютно никаким основанием для истинности или ложности другого, то такое суждение мы называем «нерелевантным» относительно последнего. Одной из обязанностей суда, равно как и любой другой рациональной процедуры, является отбрасывание всех нерелевантных показаний. Это, однако, не исключает того, что на определенном этапе мы можем узнать, что суждения, которые мы ранее считали независимыми, являются связанными опосредованным образом. До середины XVIII века никто не подозревал наличия связи между суждениями о громе и молнии, между суждениями о цвете перламутровой раковины и притягательной силе магнетита. Однако сегодня все эти суждения являются частью теории электромагнетизма. При этом формальная логика не дает гарантий относительно исчерпывающего знания тех или иных фактов. Логическая проверка на независимость заключается только в установлении того, может ли данное суждение быть а) истинным, Ь) ложным или с) сохранять неопределенное истинностное значение, независимо от того, является ли некоторое другое суждение истинным или ложным. Так, а) если суждение «угол отражения светового луча равен углу его падения» истинно, то оно будет независимым от истинности или ложности гипотезы «свет состоит из корпускул». Сходным образом, Ь) любое суждение, ложность которого может быть продемонстрирована, например, такое как «сумма двух углов треугольника меньше третьего угла», будет независимым от любого другого суждения, считающегося истинным или ложным, например, от суждения «через точку, лежащую вне прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной», с) Третий случай, когда суждение может быть независимым от другого суждения, показан на примере следующих суждений: «в XVIII веке величайший вклад в физику был сделан Англией» и «сэр Филип Сидни был автором «Писем Юниуса»».

Во всех приведенных парах суждений истинностное значение первого суждения не ограничивается и не детерминируется тем, является ли второе суждение истинным или ложным[25].

Осознание того, что одно и то же может быть сказано различными способами, оказалось весьма ценным для отыскания истины. Пустые споры столь часты не только потому, что каждый предпочитает собственную формулировку отстаиваемых верований, но еще и потому, что из-за подобного предпочтения мало кто готов проанализировать чужие высказывания, якобы выражающие противоположную точку зрения, с тем чтобы понять, являются ли видимые отличия в этих высказываниях существенными или только вербальными. Как бы то ни было, в изучении того, какие суждения являются эквивалентными, заключена существенная часть рационального исследования.

В традиционной логике рассматривались несколько форм эквивалентных суждений. При их изучении читатель может пользоваться схематическими изображениями категорических суждений или алгебраической записью, выражающей их суть.

Рассмотрим, что утверждается в суждении «ни одна сельскохозяйственная страна не является толерантной в вопросах религии». Очевидно, что это суждение содержит ту же информацию, что и суждение «ни одна страна, являющаяся толерантной в вопросах религии, не является сельскохозяйственной», поскольку если сельскохозяйственные страны исключены из стран, считающихся толерантными, то толерантные страны тоже должны быть исключены из стран, считающихся сельскохозяйственными. Данные два суждения – эквивалентны: если одно истинно или ложно, то другое тоже истинно или ложно соответственно. У них на месте субъекта и предиката стоят одни и те же термины с той лишь разницей, что субъект первого суждения является предикатом второго, а предикат первого – субъектом второго. Второе суждение называется конверсным суждением относительно первого. Процесс, с помощью которого мы переходим от одного суждения к другому, обладающему тем же истинностным значением и в котором субъект первого является предикатом, а предикат – субъектом, называется обращением (конверсией). Суждение типа Е, следовательно, может быть преобразовано с помощью конверсии.

Можно ли преобразовать все остальные типы категорических суждений? Можем ли мы из суждения «все лысые люди чувствительны» обоснованно вывести суждение «все чувствительные люди – лысые»? Разумеется, не можем. Читатель сможет убедиться в этом более наглядно, если обратит внимание на то, что в первом суждении термин «чувствительны» является нераспределенным, тогда как после обращения этот же термин является распределенным. Это недопустимо, поскольку является равносильным утверждению чего-либо относительно всего класса на основании утверждения, относящегося лишь к неопределенной части этого класса. Итак, мы можем сформулировать общий принцип: в умозаключениях с категорическими суждениями термины, нераспределенные хотя бы в одной из посылок, не могут быть распределенными в заключении. Следовательно, на основании суждения «все лысые люди чувствительны» мы можем вывести только суждение «некоторые чувствительные люди – лысые». Таким образом, суждение типа А может быть обращено только посредством ограничения или per accidens[26], т. е. при изменении его количества. Однако, как мы видели выше, умозаключение per accidens является обоснованным только при допущении того, что класс, обозначаемый субъектом, содержит членов, в данном случае – лысых людей.

Конверсным суждением для суждения типа I «некоторые республиканцы – консерваторы» является суждение «некоторые консерваторы – республиканцы». Следовательно, обращение суждения типа А одновременно является обращением подчиненного ему суждения.

Какое суждение будет конверсным суждением для суждения «некоторые итальянцы не брюнеты»? Быть может, читателю хочется сказать, что им является суждение «некоторые брюнеты не итальянцы»? Однако очевидно, что такой вывод будет неверным. Из суждения «некоторые смертные не люди» не следует суждения «некоторые люди не смертны». Технически говоря, подобное умозаключение нарушает принцип о распределенности терминов: суждение типа О не имеет конверсивного суждения. Однако, как мы убедимся ниже, из него мы сможем заключить, что «некоторые люди, не являющиеся брюнетами, итальянцы».

Эквивалентные суждения можно получить и иным путем. Если нам дано суждение «приветствуются все работники», то что мы можем заключить об отношении между работниками и теми, кто приветствуется? Очевидно, что суждение «ни один работник не является не приветствующимся» будет обоснованным заключением. Эти два суждения являются эквивалентными: в первом говорится, что нет таких, кто был бы работником и не приветствовался бы; во втором суждении утверждается то же самое. Такое умозаключение называется «превращением», а каждое из этих двух суждений является обверсивным относительно другого. Субъекты в этих суждениях одни и те же, но предикативный термин одного из них является отрицанием или противоречием другого; также данные суждения являются различными по качеству. Необходимо внимательно следить за тем, чтобы предикат обверсивного суждения в заключении был противоречием предиката в посылке. Так, обверсивным суждением относительно «все листья – желтые» не будет суждение «ни один лист не является синим», т. к. «зеленый» и «синий» не противоречащие термины, а только лишь противоположные. Два термина являются противоречащими в предметной области, если их объемы не только полностью исчерпывают эту область, но и исключают друг друга; объемы противоположных терминов лишь исключают друг друга. Обверсивным суждением для суждения «все листья – зеленые» будет суждение «ни один лист не является незеленым» или, проще говоря, «нет листьев, кроме зеленых».

Превращенными могут быть все четыре типа категорических суждений без каких-либо ограничений. Читателю следует самостоятельно удостовериться в том, что обверсивным суждением для «ни один лапландец не является образованным» будет суждение «все лапландцы – необразованные», для суждения «некоторые президенты колледжей умны» – «некоторые президенты колледжей не являются неумными», для суждения «некоторые газы не являются ядовитыми» – «некоторые газы являются неядовитыми».

Обращение и превращение – две формы умозаключения, в котором происходит переход от одного суждения к эквивалентному ему суждению. Остальные типы, изучаемые в традиционной логике, можно определить как результаты последовательного применения этих двух типов.

Возьмем суждение «все разумные прошения рассматриваются». Что на его основании можно заключить об отношении нерассматриваемых вещей, с одной стороны, к разумным прошениям, а с другой стороны, к неразумным прошениям? Читатель может признать, что допустимым заключением будет суждение «ни одна нерассматриваемая вещь не является разумным прошением», а также суждение «все нерассматриваемые вещи суть неразумные прошения». Однако в случае, если читатель не усматривает, что данные заключения являются необходимыми, ему следует осуществить следующую серию превращений и обращений. Мы рассмотрим все четыре категорических суждения вместе.

Первый ряд содержит четыре категорических суждения. Второй ряд содержит соответствующие обверсивные суждения. Третий ряд содержит конверсивные суждения относительно суждений из второго ряда. А четвертый ряд содержит обверсивные суждения относительно суждений из третьего ряда.

Суждения в третьем ряду называются частично противопоставленными (контрапозитивными) предикату суждений в первом ряду. Частично противопоставленное предикату суждение относительно какого-либо суждения – это суждение, в котором субъект является противоречием предиката исходного суждения, тогда как предикат является субъектом исходного суждения. Частично противопоставленное предикату суждение также отличается от исходного суждения по качеству. Суждения типа I не имеют частично противопоставленных предикату суждений, а суждения типа Е обретают частично противопоставленное предикату суждение только посредством ограничения. Суждения, частично противопоставленные предикату суждений типа А и О, эквивалентны исходным суждениям.

Суждения в четвертом ряду являются суждениями, полностью противопоставленными предикату соответствующих суждений из первого ряда. Суждение, полностью противопоставленное предикату некоторого другого суждения, – это суждение, в котором субъект является противоречием исходного предиката, а предикат – противоречием исходного субъекта. Полностью противопоставленное предикату суждение имеет то же качество, что и исходное суждение. Как и в случае с частично противопоставленным предикату суждением, суждения типа I не обладают суждениями, полностью противопоставленными предикату, а суждения типа Е обретают их только посредством ограничения.

Проводя серии превращений и обращений именно в таком порядке, мы получали эквивалентные суждения для каждого из четырех типов категорических суждений. Однако если мы сначала преобразуем суждения с помощью обращения, а затем с помощью превращения, то получим иной набор эквивалентных суждений. Результаты такой операции приводятся в таблице ниже:

Следует отметить, что суждения типа Е и I обладают превращенными конверсными суждениями без посредства ограничения, суждения типа А обретают превращенное конверсное суждение посредством ограничения, тогда как суждения типа О вообще таковыми не обладают.

Дано суждение «все физики являются математиками». Что можно заключить об отношении не-физиков к математикам или к не-математикам? Рассмотрим, к каким заключениям можно обоснованно прийти с помощью обращений и превращений.

Мы можем начать с обращения данного суждения, затем осуществить превращение и т. д. до тех пор, пока не получим требующееся суждение; или же мы можем начать с превращения и продолжить обращением и т. д. Попробуем развить эти два метода в параллельных столбцах. Первый метод – в левом столбце, второй – в правом:

Следовательно, если мы сначала обратим суждение типа А, мы вскоре вынуждены будем остановиться, поскольку суждение типа О не может быть обращено. Если же мы сначала превратим суждение А, то получим два суждения, которые будут удовлетворительными. «Некоторые не-физики не являются математиками» называется частично инверсивным суждением относительно исходного суждения. Его субъект является противоречием исходного субъекта, а его предикат совпадает с исходным предикатом. «Некоторые не-физики являются не-математиками» называется полностью инверсивным суждением. В нем как субъект, так и предикат противоречат исходным субъекту и предикату соответственно.

Все ли формы категорического суждения обладают инверсивным суждением? Если читатель использует указанный метод, то из суждения «ни один профессор не является недобрым» он сможет вывести суждение «некоторые не-профессора являются недобрыми» (частично инверсивное суждение) и «некоторые не-профессора не являются добрыми» (полностью инверсивное суждение). Однако из суждения типа I и О инверсивные суждения получить нельзя. Следовательно, только общие суждения обладают инверсивными суждениями, и в каждом случае инверсия осуществляется посредством ограничения.

Операция инверсии иногда может приводить к кажущимся абсурдными результатам, как, например, при получении из суждения «все честные люди смертны» инверсивного суждения «некоторые бесчестные люди бессмертны». На каком этапе вкралась ошибка? Ответ: при небрежном использовании отрицаний. Настоящим инверсивным суждением относительно исходного будет суждение «некоторые из тех, кто не является честным человеком, являются не-смертными», которое вовсе не абсурдно. Класс сущностей, не являющихся честными людьми, шире класса бесчестных людей и включает в себя треугольники и т. п., которые, разумеется, являются не-смертными.

«Одну минутку!» – может возразить читатель. «Частично инверсивным суждением для суждения «все физики являются математиками» является суждение «некоторые не-физики не являются математиками». В первом суждении предикат нераспределен, тогда как во втором – распределен. Как же можно утверждать, что второе суждение является обоснованным следствием первого? Нет ли здесь нарушения принципа о распределенности терминов?»

Если читатель усвоил наше обсуждение вопроса об экзистенциальной нагруженности суждений, то он без труда сможет ответить на свой вопрос. В общем суждении, скажет он, не утверждается ничего о существовании или несуществовании чего-либо; частные суждения, с другой стороны, обладают экзистенциальной нагруженностью. Следовательно, частное суждение может обоснованно выводиться из общего суждения или их сочетания, только если среди посылок есть суждение, утверждающее, что классы, обозначаемые терминами общих суждений, содержат, по крайней мере, один член. В частности, обращение суждения типа А является обоснованным, только если предикат обозначает такой непустой класс.

Источник сложностей с инверсией теперь прояснен. Чтобы получить инверсивное суждение из суждения «все физики – математики», нам нужно обратить суждение «все не-математики являются не-физиками». Это возможно, только если мы добавим третью посылку: «Некоторые люди являются не-физиками». Если такая посылка имеется, то частично инверсивное суждение не нарушает принципа распределенности терминов.

Если бы общие суждения обладали экзистенциальной нагруженностью, то тогда не только термины подобных суждений обозначали бы непустые классы, но их обозначали бы и противоречивые термины. Так, если бы суждение «все люди смертны» требовало наличия людей и смертных существ, то, поскольку из него мы можем обоснованно вывести суждение «все бессмертные являются не-людьми», нам бы пришлось утверждать и то, что существуют сущности, являющиеся бессмертными, и сущности, являющиеся не-людьми. Следующий пример призван продемонстрировать, что общие суждения не имеют экзистенциальной нагруженности даже в обычной разговорной речи. Студенты-математики знакомы с древнегреческой проблемой, заключающейся в том, что построить с помощью линейки и циркуля квадрат, площадь которого будет равна площади окружности, невозможно. Следовательно, мы можем с уверенностью утверждать суждение «ни один математик не построил круг, одинаковый по площади с квадратом». Частично инверсивным суждением относительно данного будет суждение «некоторые не-математики являются построившими круг, одинаковый по площади с квадратом». Однако мы, несомненно, не намеревались утверждать что-либо, приводящее к заключению о том, что существуют люди, которые на самом деле могут построить такой круг, поскольку существует доказательство, согласно которому подобное не может быть сделано. Следовательно, в исходном суждении не предполагалось утверждения существования таких людей.

Из суждения «Чикаго расположен к западу от Нью-Йорка» можно обоснованно вывести суждение «Нью-Йорк расположен к востоку от Чикаго», из суждения «Сократ был учителем Платона» – суждение «Платон был учеником Сократа», из «семь больше пяти» – «пять меньше семи». Каждая из приведенных пар суждений представляет два эквивалентных суждения. Такие умозаключения имеют следующую форму: если а находится к Ь в определенном отношении, Ь находится к а в обратном отношении.

На данном этапе нам предстоит изучить, что такое эквивалентные формы сложных суждений.

Рассмотрим условное суждение «если треугольник – равнобедренный, то углы у его основания равны». Утверждать это суждение, как мы уже знаем, означает утверждать, что истинность антецедента предполагает истинность консеквента, или что не может быть такого, чтобы антецедент был истинным, а консеквент – ложным. Следовательно, в данном условном суждении утверждается, что конъюнктивное суждение «треугольник является равнобедренным, и углы при его основании неравны» ложно. Или же, что строго дизъюнктивное суждение «неверно, что треугольник является равнобедренным и вместе с этим углы у его основания неравны» является истинным. Таким образом, из условного суждения мы можем вывести дизъюнкцию.

Более того, из строгой дизъюнкции мы также можем вывести условное суждение. Если дано суждение «неверно, что треугольник является равносторонним и вместе с этим углы у его основания неравны», то истинность одного дизъюнкта несовместима с истинностью другого: если один дизъюнкт истинен, другой должен быть ложным. Следовательно, из этого строго дизъюнктивного суждения мы можем вывести суждение «если треугольник является равнобедренным, то углы у его основания равны». Таким образом, может быть найдена строгая дизъюнкция, эквивалентная условному суждению.

Сказанное выше можно записать, используя введенные нами символы:

[(Треугольник является равнобедренным) ? (углы у его основания равны)] ? [(Треугольник является равнобедренным) .(углы у его основания равны)??

Из данного рассуждения также становится видно, как мы можем вывести эквивалентное условное суждение из любого другого условного суждения. Если в эквивалентной строгой дизъюнкции предполагается, что второй дизъюнкт является истинным, то первый дизъюнкт должен быть ложным. Следовательно, мы можем вывести суждение «если углы у основания треугольника неравны, то треугольник не является равнобедренным». Мы можем записать:

[(Треугольник является равнобедренным) ? (углы у его основания равны)] ? [(Углы у основания треугольника равны)??(треугольник является равнобедренным)?.

Данные эквивалентные условные суждения считаются противопоставленными (контрапозитивными) друг другу.

Рассмотрим (нестрогую) дизъюнкцию «треугольник является равнобедренным или углы у его основания равны». Утверждать данное суждение значит утверждать, что, по крайней мере, один из дизъюнктов является истинным. Поэтому, если бы один из дизъюнктов был ложным, другой должен был бы быть истинным. Следовательно, мы можем заключить из данной дизъюнкции условное суждение «если треугольник является равнобедренным, то углы у его основания равны». Более того, данная дизъюнкция может быть выведена из данного условного суждения. Это условное суждение эквивалентно суждению «неверно, что треугольник является равнобедренным и вместе с этим углы у его основания неравны», в котором утверждается, что, по крайней мере, один из дизъюнктов должен быть ложным. Из данной дизъюнкции мы можем вывести суждение «треугольник не является равнобедренным или углы у его основания равны». Мы можем записать данную эквивалентность:

[(Треугольник является равнобедренным)?? (углы у его основания равны)] ? [(Треугольник является равнобедренным) ? (углы у его основания равны)].

Из этого следует, что для любого условного суждения существует эквивалентное дизъюнктивное суждение, эквивалентное строго дизъюнктивное суждение, а также эквивалентное условное суждение. Похожее утверждение может быть сделано и относительно любого дизъюнктивного суждения и любого строго дизъюнктивного суждения. С другой стороны, конъюнкция не является эквивалентной ни одной из трех других форм сложных суждений.

Теперь приведем эквивалентные суждения для суждения «если он счастлив в браке, то он не бьет свою жену». Этими суждениями являются: «если он бьет свою жену, то он не является счастливым в браке», «он не является счастливым в браке или он не бьет свою жену» и «неверно, что он счастлив в браке и вместе с этим он бьет свою жену». В символьной записи данные суждения выглядят следующим образом:

[(Он счастлив в браке) ? (он не бьет свою жену)] ? [(Он не бьет свою жену)?? (он счастлив в браке)? ? [(Он счастлив в браке)?? (он не бьет свою жену)] ? [(Он счастлив в браке) . (он не бьет свою жену)?]?

Данные эквивалентности можно выразить более компактно, а формы эквивалентных суждений – более ясно, если принять еще некоторые конвенции относительно символов. Пусть р означает антецедент условного суждения, a q – его консеквент. Любое условное суждение может быть формализовано как (р ? q). Данные эквивалентности тогда могут быть записаны следующим образом:

(р ? q) ? (q? ? р?) ? (р?? q) ? (p . q?)?

В главе VII мы рассмотрим эквивалентности между системами суждений. Однако на данном этапе можно предложить пример двух суждений, являющихся эквивалентными в силу своего места в определенной системе. Пусть р = «в физике Ньютона свет отражается от поверхности так, что угол падения равен углу отражения» и пусть q = «в физике Ньютона свет отражается от поверхности так, что его путь является минимальным». Суждения р и q эквивалентны.

Традиционное понимание противопоставления между суждениями отличается от предложенного нами понимания. Поскольку в традиционном подходе все суждения были разложимы на субъект и предикат, противопоставлялись только суждения субъектно-предикатной формы. Противопоставление сложных суждений не рассматривалось, а описание противопоставления единичных суждений было в крайней степени неудовлетворительным.

В этом параграфе мы исследуем традиционный подход к противопоставлению. Согласно этому подходу, два суждения противопоставляются, если у них одинаковые субъект и предикат, но они отличаются по качеству, количеству или тому и другому.

Рассмотрим четыре суждения:

А. Все республики являются неблагодарными.

Е. Не одна республика не является неблагодарной.

I. Некоторые республики являются неблагодарными.

О. Некоторые республики не являются неблагодарными.

Когда мы обсуждали экзистенциальную нагруженность суждений, мы говорили, что общие суждения не требуют существования республик, тогда как частные – требуют. Следовательно, мы не можем без дальнейших допущений выводить истинность суждения типа! из истинности суждения типа А. Для того чтобы это стало возможным, нам нужно в этом параграфе раз и навсегда исследовать следствия данной гипотезы.

Среди вышеперечисленных четырех суждений нет таких двух, которые были бы независимы друг от друга или эквивалентными друг другу. Однако из возможных девяти отношений между этими суждениями мы можем усмотреть пять. Для этого удобнее использовать схематические изображения суждений.

1. Суждения «все республики являются неблагодарными» и «некоторые республики не являются неблагодарными» не могут вместе быть истинными и не могут быть вместе ложными. Из истинности одного можно обоснованно вывести ложность другого; соответственно, из ложности одного можно вывести истинность другого. Следовательно, суждения типа А и О являются противоречащими (контрадикторными). То же самое относится и к суждениям типа Е и I.

2. Суждения «все республики являются неблагодарными» и «ни одна республика не является неблагодарной» не могут вместе быть истинными. Поэтому из истинности одного из них мы могли бы вывести ложность другого. Однако если одно суждение было бы ложным, то истинностное значение другого было бы неопределенным. Следовательно, суждения типа А и Е являются противоположными (контрарными).

3. При рассмотрении суждений «все республики являются неблагодарными» и «некоторые республики являются неблагодарными» мы видим, что истинность второго суждения может быть выведена из истинности первого. Однако если первое суждение ложно, то относительно истинностного значения второго мы не можем вывести ничего. Следовательно, суждение типа А является подчиняющим по отношению к суждению типа 7, которое, в свою очередь, является подчиненным. Такое же отношение имеет место в случае с суждениями типа Е и О.

4. С другой стороны, из ложности суждения типа I можно вывести ложность суждения типа А. Однако из истинности суждения типа I мы не можем выводить истинностное значение суждения типа А. Следовательно, суждение типа I соотносится с суждением типа А как подчиненное с подчиняющим. То же самое распространяется и на суждения типа О и Е.

5. Наконец, истинность суждения «некоторые республики являются неблагодарными» совместима с истинностью суждения «некоторые республики не являются неблагодарными», однако если мы вспомним нашу договоренность считать, что слово «некоторые» не исключает понимания в смысле «все», то увидим, что не можем вывести истинность одного из этих суждений из истинности другого. Однако если какое-то из них является ложным, другое должно быть истинным. Следовательно, суждения типа I и О являются субконтрарными. Этот вывод также следует из того факта, что сужения типа А и Е являются противоположными (контрарными). А поскольку суждения типа О и I противоречат суждениям типа А и Е соответственно, и поскольку противоположные суждения не могут вместе быть истинными, то суждения типа О и I не могут вместе быть ложными. Если суждения типа А и Е могут вместе быть ложными, то суждения типа О и I могут вместе быть истинными.

Данные отношения между категорическими суждениями были представлены в древнем квадрате противопоставлений[27]. Мы также можем построить следующую таблицу обоснованных выводов из каждого из четырех видов категорических суждений.

В заключение отметим, что без допущения относительно существования, которое мы сделали в начале этого параграфа, суждения типа I и О не могут быть выведены из суждений типа А и Е соответственно. Более того, без этого допущения суждения типа Л и Е не были бы противоположными, поскольку в таком случае могли бы вместе быть истинными. Так, суждения «все бессмертные люди находятся в этой комнате» и «ни один бессмертный человек не находится в этой комнате» были бы вместе истинными, если бы не существовало бессмертных людей. Однако поскольку ложно то, что существуют бессмертные люди, то (согласно интерпретации, которую мы дали частным суждениям) суждение «некоторые бессмертные люди находятся в этой комнате» и суждение «некоторые бессмертные люди не находятся в этой комнате» являются ложными. Следовательно, суждения, противоречащие данным, должны быть истинными.

Одним из источников интеллектуальных заблуждений является слишком поспешное допущение о том, что любые два неэквивалентных суждения являются взаимоисключающими. Люди долго спорили об отношении между сознанием и телом, между влияниями, оказываемыми наследственностью и окружающей средой, между эгоизмом и альтруизмом, искусством и природой. Зачастую эти споры проходили без осознания того, что из того факта, что рассматриваемые альтернативы не являлись эквивалентными, не следовало, что они исключали друг друга. Две вещи, соотносящиеся как часть и целое, не являются идентичными, однако они, разумеется, не являются противоположными. Суждение «все последователи православной греческой церкви – истинно верующие» не эквивалентно суждению «все христиане – истинно верующие», однако это не значит, что данные два суждения несовместимы.

Отношение противоречия мы видели в традиционном квадрате противопоставлений на примере таких суждений, как «все мусульмане – истинно верующие» и «некоторые мусульмане не являются истинно верующими». Однако неверно думать, что всегда легко распознать, какие суждения состоят в данном отношении друг к другу.

Предположим, что читатель, изучающий работу Руссо «Об общественном договоре», резко не согласен с первым предложением первой главы: «Человек рождается свободным, но повсюду он в оковах». Каким образом он может возразить данному утверждению? Или, допустим, он хочет отрицать утверждение, высказываемое несколько ниже в том же самом тексте: «Самый сильный никогда не бывает настолько силен, чтобы оставаться постоянно повелителем, если он не превращает своей силы в право, а повиновения ему – в обязанность». Какое суждение можно противопоставить данному в качестве противоречащего? Наконец, какое суждение, по мнению читателя, будет противоречить суждению «суверенитет… являет собою волю народа как целого либо – только одной его части»?[28]

Начнем с конъюнктивного суждения р: «человек рождается свободным и повсюду он в оковах». Утверждать данное суждение означает утверждать, что оба конъюнкта истинны, следовательно, отрицание данного суждения должно означать, что неверно, что оба конъюнкта истинны, т. е. что, по крайней мере, один из них ложен. В таком случае дизъюнкция q «некоторые люди не являются рожденными свободными или человек не является повсюду в оковах» будет противоречащим суждением относительно исходного. Читателю следует убедиться в том, что данные два суждения не могут вместе быть истинными и вместе быть ложными. Можно также получить и другие формы противоречия, поскольку данная дизъюнкция эквивалентна суждению «если все люди являются рожденными свободными, то они не суть в оковах», а также суждению «если человек повсюду в оковах, то некоторые люди не являются рожденными свободными».

Далее рассмотрим суждение «самый сильный никогда не бывает настолько силен, чтобы оставаться постоянно повелителем, если он не превращает своей силы в право, а повиновения ему – в обязанность». Это суждение является условным и может быть выражено следующим образом: «если самый сильный не превращает свою силу в право, а повиновение ему в обязанность, то он никогда не бывает настолько силен, чтобы оставаться постоянно повелителем». Данное суждение эквивалентно строгой дизъюнкции «неверно, что самый сильный не превращает свою силу в право, а повиновение ему в обязанность и что вместе с этим он является иногда достаточно сильным, чтобы оставаться постоянно повелителем». Суждением, противоречащим данному, следовательно, будет суждение «самый сильный не превращает свою силу в право, а повиновение ему в обязанность, и он иногда является достаточно сильным, чтобы оставаться постоянно повелителем».

Наконец, суждение «суверенитет являет собою волю народа как целого, либо только одной его части» является дизъюнктивным и может быть выражено как «суверенитет является волей народа как целого или он является волей одной его части». Поскольку данное суждение эквивалентно строго дизъюнктивному суждению, противоречить ему будет следующая конъюнкция: «суверенитет не является волей народа как целого и он не является волей одной его части».

Из сказанного следует, что суждение, противоречащее условному суждению, а также строгой или нестрогой дизъюнкции, всегда может быть выражено в форме конъюнкции.

С другой стороны, суждение, противоречащее конъюнкции, является либо условным, либо дизъюнктивным, либо строго дизъюнктивным суждением. Символьная запись выражает отношения между сложными суждениями в более компактном и точном виде. Поскольку

(р ? q) ? (q? ? р?) ? (р??q) ? (p . q?)?,

суждение, противоречащее любому из приведенных, будет противоречить каждому из них. Следовательно,

(р ? q)? ? (q? ? р?)? ? (р??q)? ? (p . q?).

Иными словами, суждением, противоречащим суждению «если р, то q», будет «р и q?»; суждением, противоречащим суждению «р или q», будет «р? и q?»; суждением, противоречащим суждению «неверно, что вместе р и q», будет «р и q».

Читателю следует обратить внимание на эквивалентность (р? ? q)? ? (р . q?). Данное отношение является абсолютно общим, и совершенно неважно, какие суждения мы подставим вместо символов. Поэтому подставим «r» вместо «р?». Тогда вместо «p» будет подставлен символ «r?». И тогда мы получим:

(r ? q)? ? (r?. q?).

Данное отношение известно как теорема де Моргана. В ней утверждается, что отрицанием дизъюнкции (или суждением, противоречащим дизъюнкции) является конъюнкция, в которой конъюнкты противоречат соответствующим им дизъюнктам. В иной форме данная теорема выглядит следующим образом:

(р . r)? ? (p? ? r?).

Здесь утверждается, что отрицанием конъюнкции является дизъюнкция, в которой дизъюнкты противоречат соответствующим конъюнктам.

Мы удостоверились в том, что специально введенные символы существенным образом способствуют более ясному выражению логической структуры суждений, которая скрывается за громоздкостью обыденного языка. Вследствие этого читатель, несомненно, согласится с тем, что символы не препятствуют, а скорее способствуют пониманию. Обобщающая сила современной логики, равно как и современной математики, возможна во многом благодаря адекватности символической записи, принятой в этих дисциплинах.

В качестве проверки усвоения этой записи предложим читателю привести противоречащее суждение для суждения «некоторые люди – бедные, но честные». Следует понимать, что сила слова «но» в данном суждении заключается в том, что бедные чаще всего являются бесчестными, хотя случается и так, что некоторые из них являются честными. Следовательно, явным значением здесь будет «некоторые люди – бедные и честные, и некоторые люди – бедные и бесчестные». Из этого следует, что суждение «некоторые люди не бедные и честные» не противоречит исходному утверждению, равно как не противоречит ему и суждение «все люди не являются одновременно бедными и честными или все люди не являются одновременно бедными и бесчестными». Сходным образом суждение «Джон не вернулся вчера домой на велосипеде» не будет противоречить суждению «Джон вчера вернулся домой на велосипеде». Этому суждению скорее будет противоречить суждение «Джон не вернулся домой, или Джон не вернулся домой вчера, или Джон не вернулся домой на велосипеде».

Данное отношение было проиллюстрировано в традиционном квадрате противопоставлений. Однако можно найти примеры подобного противопоставления и помимо тех, что были указаны в логическом квадрате. Рассмотрим следующие суждения: «мой рост – семь футов» и «мой рост – шесть футов»; «Сократ был мудрейшим из греков» и «Платон был мудрейшим из греков»; «Колумб был первым европейцем, открывшим Америку» и «Лиф Эриксон был первым европейцем, открывшим Америку». Все они представляют пару противоположных суждений, выходящих за рамки рассмотрения традиционного подхода. Очевидно, что общие суждения могут иметь больше чем одно противоположное суждение.

Какое суждение будет противоположным суждению «книга была украдена, или я ее переложил»? Одним из противоположных суждений будет «книга не была украдена, и я ее не переложил, и мой брат ее не одалживал». Эти два сложных суждения могут быть вместе ложными, например, в том случае, если суждение «мой брат одолжил ее» истинно. Вообще нижеприведенная символическая запись представляет пару противоположных сложных суждений:

(р ? q)

и

(р? . q? . r),

где р, q и r могут быть любыми суждениями.

Из приведенных примеров должно быть понятно, что два суждения могут быть несовместимыми друг с другом, даже если ни одно из них не является истинным. Это простое обстоятельство зачастую упускалось, что приводило к величайшим разногласиям в истории человеческой мысли. Жаркие споры между идеалистами и реалистами, между революционерами и консерваторами, между эволюционистами и фундаменталистами, теистами и деистами велись не только на основании предположения о том, что соответствующие взгляды исключают друг друга, но и на основании предположения о том, что опровержение одного из них будет означать подтверждение истинности другого. Ирония, присущая истории, заключается, однако, в том, что эти знаменитые противопоставления сегодня не рассматриваются с точки зрения, согласно которой если один подход ложен, то другой истинен.

Помимо суждений, рассмотренных в традиционном подходе, есть и другие, также представляющие субконтрарное противопоставление. Примерами таких суждений являются следующие: «эта книга содержит страницу с опечаткой» и «эта книга содержит страницу без опечатки»; «водород не является самым легким элементом» и «гелий не является самым легким элементом»; «Сан-Марино не является самым маленьким государством Европы» и «Андорра не является самым маленьким государством Европы». Суждения в каждой из приведенных пар не могут вместе быть ложными, но могут вместе быть истинными.

Другими примерами этого важного отношения являются следующие: при существующей организации управления суждения «некоторые европейские страны суть монархии» и «некоторые европейские страны суть республики» являются субконтрарными. В стране, где планируется повышение налогов, но где бюджет должен быть сбалансирован либо повышением таможенных пошлин, либо повышением подоходного налога, суждения «подоходный налог будет повышен» и «таможенные пошлины будут повышены» также будут субконтрарными. Таким образом, отношение субконтрарности является очень простым, и может показаться странным, что из-за неспособности понять его природу или распознать его на конкретных примерах могут совершаться серьезные ошибки. Однако история человеческой мысли демонстрирует сильную тенденцию рассматривать противоборствующие гипотезы как контрарные или контрадикторные, тогда как на самом деле они являются лишь субконтрарными. Следует ли нам подчиняться закону или же мы свободны изменить его? Должны ли мы следовать примеру старших или можем попытаться улучшить сделанное ими? Целые библиотеки книг были написаны по этим и сходным темам, где данные альтернативы рассматривались как исключающие друг друга. Однако таковыми они могут представляться лишь необученному интеллекту. Мудрость заключается в том, чтобы увидеть, каким способом обе альтернативы могут быть истинными. Для примера рассмотрим разногласия относительно свободной торговли и политики протекционизма. Данные позиции иногда позиционируются так, что принятие одной из них в одно время, а другой – в другое несовместимо с государственными интересами. Однако при одних условиях для экономического развития страны может быть необходимым повышение пошлин, тогда как при других условиях их повышение может оказаться пагубным. Следовательно, в то время как суждения «пошлины пагубны для страны» и «пошлины полезны для страны» являются контрарными, если рассматривать их как формулировку общих принципов экономической политики, реальное положение дел не позволяет принять такие общие принципы. Следовательно, оба суждения могут быть истинными, если их рассматривать как утверждающие, что при определенных квалификационных условиях пошлины являются пагубными, а при иных квалификационных условиях – полезными. Мясо может быть и пищей, и ядом.

Любая теория соотносится со своими логическими следствиями как подчиняющая к подчиненному, согласно отношению суперимпликации. По этой причине позднее мы будем изучать это отношение вместе с обратным отношением более детально. Сейчас же можно указать на одну иллюстрацию данного типа суждений, которая будет несколько сложнее, чем то позволяет традиционный подход. Пусть р обозначает конъюнкцию постулатов и аксиом Евклида, a q обозначает суждение «сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов». В этом случае р является подчиняющей относительно q.

В этой связи полезно сослаться на проводимое в традиционной логике различие между непосредственными умозаключениями (умозаключениями в несобственном смысле) и опосредованными умозаключениями (умозаключениями в собственном смысле). Умозаключение называется «непосредственным», когда вывод делается из одной посылки; умозаключение называется «опосредованным», когда вывод делается, по крайней мере, из двух посылок. Однако данное различие не является значимым, если любые два суждения можно соединить в единое суждение. Кроме этого, следует помнить, что для обоснованности некоторых форм так называемых непосредственных умозаключений требуются особые допущения.

В логике в одних случаях проводилось очень четкое различие между эквивалентными суждениями, а в других случаях, наоборот, ставился вопрос о том, являлись ли вообще «подлинными» умозаключениями непосредственные умозаключения от одного суждения к эквивалентному суждению. Однако размышление над данным вопросом показывает, что данное разногласие, по крайней мере отчасти, происходит вследствие того, что логики забывают, насколько произвольным является различие между суждением и тем, что оно имплицирует. Два суждения, связанные подобным отношением, таким, что если первое истинно, то второе также истинно, и если первое ложно, то второе тоже ложно, считаются тождественными исключительно для целей логики. Поэтому не имеет большого значения то, как мы назовем противопоставление предикату: непосредственным умозаключением от исходного суждения или же будем рассматривать его как суждение, эквивалентное исходному. Тем не менее, несмотря на то что два эквивалентных суждения являются тождественными относительно истинностного значения, конвенциональное значение заключения зачастую является переработкой значения посылки. Также справедливо и то, что разграничительная линия между эквивалентными суждениями, которые не обладают в точности одним и тем же значением, не является четкой.

Следует сказать о двух особых случаях непосредственного умозаключения, подпадающих под отношение подчинения. Они демонстрируют природу логики отношений, которая стала систематически изучаться лишь с недавних пор.

а) Умозаключение с добавленными детерминантами

Мы можем умозаключить от одного суждения к другому, если ограничим субъект и предикат посылки тем же детерминантом. Так, из суждения «любители нюхательного порошка являются потребителями табака» мы можем вывести суждение «американские любители нюхательного порошка являются американскими потребителями табака». Из суждения «все папы являются итальянцами» мы можем вывести суждение «все высокие папы являются высокими итальянцами». Данные суждения, однако, не являются эквивалентными. Из суждения «все американские профессора являются американскими учеными» мы не можем вывести суждение «все профессора – ученые».

Добавлять детерминант к субъекту и предикату следует с осторожностью, поскольку детерминант должен иметь в обоих случаях одно и то же значение. Так, если мы делаем умозаключение и выводим из суждения «все мужья являются добытчиками денег» суждение «все неудачливые мужья являются неудачливыми добытчиками денег», то детерминант «неудачливый» не имеет одного и того же значения, будучи примененным к субъекту и предикату, несмотря на то что в обоих случаях использовано одно и то же слово. Муж является неудачливым относительно своих функций как мужа, а добытчик денег является неудачливым относительно своих функций по добыче средств. Следовательно, детерминанты, значение которых подразумевает ссылку на различные стандарты, не могут использоваться для умозаключения с добавленным детерминантом.

Ь) Умозаключение посредством сложного понятия

Одно суждение можно вывести из другого, если использовать субъект и предикат как части некоторого более сложного понятия. Так, если дано суждение «Нью-Йорк – самый большой город в мире», то из него можно вывести суждение «центр Нью-Йорка – это центр самого большого города в мире». Из суждения «лошадь есть животное» можно вывести «голова лошади есть голова животного». Умозаключение состоит в выведении того, что если один термин состоит в определенном отношении к другому, то все, что относится каким-либо образом к первому, состоит в таком же точно отношении ко всему, что относится таким же образом ко второму термину. Подобные умозаключения, однако, не дают эквивалентных суждений. Из суждения «цвет его носа является цветом свеклы» нельзя вывести суждение «его нос является свеклой».

В случае с умозаключением посредством сложного понятия также следует быть осторожными. Неверно утверждать, что поскольку «все радикалы являются гражданами», то «самые богатые радикалы являются самыми богатыми гражданами». Человек, являющийся богатейшим из радикалов, оценивается по стандартам богатства, отличным от стандартов оценки состояния человека, являющегося богатейшим из граждан.

Если р обозначает «сумма углов равнобедренного треугольника равна сумме двух прямых углов», a q обозначает «сумма углов любого треугольника равна сумме двух прямых углов», р является субъимпликантом или суждением, подчиненным q. Из истинности р не следует ничего относительно истинности q, тогда как из ложности р с необходимостью следует ложность q. Как мы увидим впоследствии, отношение между подтверждающим примером теории и самой теорией является отношением подчиненного к подчиняющему.

Позднее мы с очевидностью убедимся в том, что никакое число подтверждающих суждений, относящихся к теории, не может служить демонстрацией (доказательством) теории, тогда как, строго говоря, лишь один противоположный пример достаточен для опровержения теории. Однако следует быть крайне осторожным для того, чтобы не спутать действительный противоположный пример с чем-либо другим.

Глава IV Категорический силлогизм

Рассмотрим суждение «Том Муни представляет опасность для общества». Что может послужить адекватным основанием для этого суждения? Например, аргумент можно выстроить следующим образом: «Все общественные радикалы представляют опасность для общества; Том Муни является общественным радикалом; из этого следует, что Том Муни представляет опасность для общества». Здесь читателю придется признать, что если первые два суждения действительно имплицируют третье, и если первые два суждения истинны, то третье суждение будет истинным с необходимостью. Таким образом, заключение подчинено посылкам, поскольку если бы оно было истинным, то из этого не следовала бы истинность посылок. При этом ясно также и то, что посылки, в том случае если они истинны, будут адекватным основанием для истинности заключения, однако вопрос о том, являются ли они на самом деле истинными, не детерминируется тем логическим отношением, в котором они стоят относительно заключения.

Аргументы приведенного типа часто используются. Некоторые из них кажутся вполне обоснованными, однако на поверку оказываются ложными. Тем, кто не задумывается о том, что именно сообщается в умозаключении, могут показаться вполне обоснованными такие аргументы, как «все парижане являются французами, ни один бостонец не является парижанином, следовательно, ни один бостонец не является французом» или «все радикалы рождены за рубежом, ни один патриот не является радикалом, следовательно, ни один патриот не рожден за рубежом». Показать, что ни одно из этих умозаключений не является обоснованным, несложно. Для этого нам нужно всего лишь применить умозаключение такого же типа, но относительно других предметов. Так, умозаключение «все треугольники являются плоскими фигурами, ни один квадрат не является треугольником, следовательно, ни один квадрат не является плоской фигурой» является аргументом такого же типа, как и два предыдущих, однако практически никто не поверит в его обоснованность.

Можем ли мы установить некоторые общие правила, которые было бы легко применять и которые указывали бы на обоснованность умозаключений? Данный вопрос исследовал Аристотель, заложивший основу для всех последующих логических исследований. Полученные им результаты стали ядром логических доктрин на протяжении двух тысячелетий. Аристотелевские исследования были дополнены и расширены только совсем недавно. Однако в этом разделе нам не понадобятся современные логические приемы. Мы будем следовать традиционному анализу силлогизма, который не считается в чистом виде аристотелевским. Отступление от аристотелевского подхода к анализу категорического силлогизма позволит нам проявить природу логической, или математической, системы.

Категорический силлогизм определяется как форма умозаключения, состоящая из трех категорических суждений, которые все вместе содержат только три термина. Первые два суждения являются посылками, третье – заключением. Из суждений «все футбольные тренеры получают высокую плату» и «все бейсболисты популярны» нельзя вывести заключение по правилам силлогизма, поскольку в одних только посылках уже содержится четыре термина. В данных двух суждениях нет общих терминов, тогда как посылки всякого силлогизма содержат общий термин. Силлогистическое умозаключение можно выразить как сравнение отношений, имеющих место между каждым из двух терминов и третьим термином, для того чтобы обнаружить отношение, которое существует между двумя этими терминами. В примере, с которого мы начали данную главу, общим является термин «общественный радикал». Рассмотрев отношения между этим общим термином и двумя другими терминами, «Том Муни» и «представляющий опасность для общества», мы обнаружили отношение между терминами «Том Муни» и «представляющий опасность для общества». По этой причине силлогизм классифицируется как опосредованное умозаключение. Однако с точки зрения обобщенной логики силлогизм является частным случаем умозаключения посредством исключения одного или более терминов, содержащихся в посылках.

Является ли категорическим силлогизмом следующий аргумент: «А старше В, В старше С, следовательно, А старше С»? Он, бесспорно, похож на категорический силлогизм. Однако всякое категорическое суждение может быть разложено на субъектный термин, предикатный термин и связку, являющуюся одной из форм глагола «быть», и поэтому данный аргумент, несмотря на свою обоснованность, не является силлогизмом, ибо содержит четыре термина. Нижеследующий аргумент, предложенный Ч. Л. Доджсоном (Льюисом Кэрроллом), также не является силлогизмом в той форме, в какой он представлен, однако он может быть видоизменен так, чтобы обрести форму силлогизма: «Благоразумный человек остерегается гиен, ни один банкир не является неблагоразумным, следовательно, ни один банкир не может не остерегаться гиен».

Термин, содержащийся в обеих посылках, называется средним термином, предикат заключения – это больший термин, субъект заключения – это меньший термин. Посылка, содержащая больший термин, называется большей посылкой, а посылка, содержащая меньший термин, называется меньшей посылкой. Таким образом, порядок, в котором следуют посылки, не детерминирует то, какая из них является большей. В силлогизме «все мистические рассказы являются угрозой здоровью, ибо все мистические рассказы вызывают психическое возбуждение, и все, что вызывает психическое возбуждение, является угрозой здоровью» заключение стоит в начале, а большая посылка – в конце. Однако, как правило, большая посылка ставится в начале умозаключения.

Несмотря на то что силлогистическое рассуждение нередко встречается в ежедневном общении, его присутствие зачастую не замечается, поскольку такое рассуждение выражено не в полной форме. Силлогизм, выраженный не в полной форме, т. е. тот, в котором одна из посылок или заключение не выражено и присутствует в неявной форме, называется энтимемой.

Следующие умозаключения являются примерами энтимем: «Это лекарство вылечило больное горло моей дочери, следовательно, оно вылечит и мое больное горло». Данное умозаключение является обоснованным при неявном допущении большей посылки «все, что вылечивает больное горло моей дочери, вылечивает и мое больное горло». Энтимема, в которой не выражена большая посылка, считается энтимемой первого порядка.

«Все пьяницы живут недолго, следовательно, Джон долго не проживет». В данном случае пропущена меньшая посылка «Джон является пьяницей». Энтимемы, в которых не выражена меньшая посылка, считаются энтимемами второго порядка.

«Ростовщичество является безнравственным, а это – ростовщичество». Здесь заключение «это безнравственно» осталось невыраженным. Данная энтимема является энтимемой третьего порядка. Без сомнения, ценность подобных энтимем для того, чтобы делать намеки, знакома читателю.

Хотя энтимемы не предлагают какую-либо новую форму умозаключения, на практике очень важно уметь их распознавать. Мы еще сможем убедиться в том, что индуктивные умозаключения зачастую рассматриваются как особый способ рассуждения, тогда как на деле являются лишь энтимемами первого порядка.

На данном этапе мы всего лишь определили, что именно мы называем категорическим силлогизмом. Однако мы ничего еще не сказали об условиях, при которых подобный аргумент является обоснованным. Мы перечислим пять суждений, которые вместе выразят факторы, детерминирующие обоснованность любого категорического силлогизма. Эти суждения называются правилами или аксиомами. Мы сформулируем их без какого-либо доказательства, поскольку они будут нашими «первыми принципами», с помощью которых мы будем доказывать все другие суждения. Несмотря на то что мы не пытаемся доказывать аксиомы, мы утверждаем их как суждения, выражающие условия обоснованного силлогистического умозаключения. Если мы понимаем силлогизм как форму умозаключения, в которой отношение между двумя терминами может утверждаться на основании отношения, существующего между каждым из этих терминов и третьим общим термином, то мы сможем «усмотреть», что данные аксиомы на самом деле выражают условия обоснованности категорического силлогизма. Однако такое «усмотрение» не следует путать с доказательством. Поскольку аксиомы являются принципами логики, то, рассматривая их, мы затрагиваем фундаментальное свойство логических принципов: не все логические принципы могут быть доказаны логически, поскольку подобное доказательство само должно будет опираться на некоторые логические принципы; в частности, никакое доказательство принципа тождества (если нечто является А, то оно является А) невозможно без допущения того, что обозначаемое фразой «все, что является А», встречающейся в одной части такого предполагаемого доказательства, тождественно обозначаемому этой же фразой, встречающейся в другой части данного доказательства.

Аксиомы категорического силлогизма делятся на два множества: аксиомы относительно количества и распределенности терминов и аксиомы относительно качества суждений.

Аксиомы количества

1. Средний термин должен быть распределен, по крайней мере, в одной из посылок.

2. Термин, нераспределенный в посылке, не может быть распределенным в заключении.

Аксиомы качества

3. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения.

4. Если одна посылка является отрицательной, заключение должно быть отрицательным.

5. Если ни одна посылка не является отрицательной, заключение должно быть утвердительным.

Данные аксиомы вместе с принципами условного умозаключения достаточны для того, чтобы целиком построить теорию категорического силлогизма. Аксиомы не являются независимыми друг от друга, поскольку некоторые из них можно вывести из других. Однако, несмотря на это, мы будем рассматривать все эти правила в качестве аксиоматического базиса нашего анализа.

На данном этапе мы докажем четыре теоремы.

Теорема I. Число распределенных терминов в заключении должно быть, по крайней мере, на один меньше, чем общее число распределенных терминов в посылках.

Доказательство. Число распределенных терминов в заключении не может быть больше, чем общее число распределенных терминов в посылках (аксиома 2).

Средний термин, который должен быть распределенным, по крайней мере, в одной из посылок (аксиома 1), не входит в заключение (определение среднего термина).

Следовательно, заключение должно содержать, по крайней мере, на один распределенный термин меньше, чем посылки.

Теорема II. Если две посылки являются частными суждениями, то из них нельзя получить заключения.

Доказательство. Два частных суждения в посылках могут быть а) оба отрицательными, Ь) оба утвердительными, с) одно утвердительным, а другое отрицательным.

a. Если обе посылки – отрицательные, то заключения быть не может (аксиома 3).

b. В частноутвердительном суждении ни один термин не является распределенным. Если обе посылки являются частноутвердительными суждениями, то в них не содержится распределенных терминов. Следовательно, из них не может следовать заключения (аксиома 1).

c. В частноутвердительном суждении нет распределенных терминов, а в частноотрицательном – только один. Поэтому посылки содержат один, и только один, распределенный термин. Следовательно, если существует заключение, то оно не может содержать нисколько распределенных терминов (теорема I). Однако поскольку одна посылка является отрицательной, заключение должно быть отрицательным (аксиома 4). Следовательно, по крайней мере один термин в заключении должен быть распределенным. Допущение о том, что заключение существует, требует принятия того, что в нем одновременно не содержится ни одного распределенного термина и что в нем содержится, по крайней мере, один распределенный термин. Это абсурдно. Следовательно, заключение не существует.

Теорема III. Если одна посылка является частным суждением, заключение должно быть частным суждением.

Доказательство. Посылки не могут быть вместе частными суждениями (теорема II). Следовательно, они должны различаться по количеству и быть а) оба отрицательными, Ь) оба утвердительными или с) одно утвердительным и одно отрицательным.

a. Если обе посылки являются отрицательными суждениями, то заключения не существует (аксиома 3).

b. Одна посылка является общеутвердительным суждением, другая – частноутвердительным. В общеутвердительном суждении распределенным является лишь один термин, в частноутвердительном суждении распределенных терминов нет. Поэтому посылки содержат не более одного распределенного термина. Следовательно, заключение, если таковое существует, не содержит распределенных терминов (теорема I). Однако общее суждение содержит, по крайней мере, один распределенный термин. Поэтому заключение должно быть частным суждением.

c. Можно различить два случая: ?) общее суждение является отрицательным, частное – утвердительным; ?) общее суждение является утвердительным, частное – отрицательным.

?. В общем суждении распределены оба термина, в частном – распределенных терминов нет. Поэтому в посылках распределены два термина,

?. В общем суждении распределен один термин, в частном – тоже один. Поэтому в посылках распределено два термина. Как в первом, так и во втором случае посылки содержат два, и только два, распределенных термина. Заключение, если оно существует, не может содержать более одного распределенного термина (теорема I). Заключение должно быть отрицательным (аксиома 4), и его предикат, следовательно, должен быть распределенным. Поэтому его субъект не может быть распределенным, а само заключение должно быть частным суждением.

Теорема IV. Если бо?льшая посылка является частноутвердительным суждением, а меньшая посылка – общеотрицательным суждением, то заключения не существует.

Доказательство. Поскольку, согласно допущению, меньшая посылка является отрицательным суждением, заключение, если оно существует, должно быть отрицательным суждением (аксиома 4), а его предикат, являющийся большим термином, должен быть распределенным. Поэтому больший термин должен быть распределенным в большей посылке (аксиома 2). Однако в частноутвердительном суждении не распределен ни один термин. Следовательно, заключения не существует.

Приведенные пять аксиом и данные четыре теоремы, которые мы строго доказали с помощью этих аксиом, позволяют нам перечислить все возможные виды обоснованного силлогизма. Читателю следует обратить внимание на природу нашего доказательства: было показано, что теоремы являются необходимым следствием аксиом, таким, что если принимаются аксиомы, то во избежание противоречия также должны приниматься и данные теоремы.

Прежде чем перечислить обоснованные силлогистические формы, рассмотрим некоторые силлогизмы[29]:

Несмотря на то что все приведенные силлогизмы являются правильными, они отличаются друг от друга по двум основным параметрам: 1) расположением среднего термина и 2) качественной и количественной характеристикой посылок и заключения. В первом примере средний термин является субъектом большей посылки и предикатом меньшей; во втором примере средний термин является предикатом в обеих посылках; в третьем примере средний термин – субъект обеих посылок; наконец, в четвертом примере средний термин является предикатом большей посылки и субъектом меньшей. Расположение среднего термина детерминирует фигуру силлогизма. На основе данного различия существует четыре возможные фигуры. Обозначив меньший термин, больший термин и средний термин буквами «S», «Р» и «М» соответственно, мы можем выразить в символьной форме эти четыре фигуры:

Аристотель признавал только первые три фигуры. Введение четвертой фигуры приписывается Галену, и поэтому она, как правило, называется галеновой фигурой. Логики много спорили о том, представляет ли четвертая фигура отдельный тип рассуждения, отличный от типа, представленного в первых трех, и прав ли был Аристотель или нет, не признавая данную фигуру. Если различение фигур осуществляется на основе расположения среднего термина, то, бесспорно, существует четыре разные фигуры. Однако у Аристотеля был иной принцип различения фигур. Этот принцип заключался в ширине, или протяженности, среднего термина по сравнению с другими двумя терминами. Согласно данному подходу, существует лишь три фигуры: средний термин может быть шире одного и уже другого термина, шире обоих терминов или уже каждого из них.

Второй параметр отличия силлогизмов друг от друга – это количество и качество посылок и заключения. Он определяет модус силлогизма. Первый из четырех вышеприведенных силлогизмов соответствует первой фигуре и модусу ЕАЕ. Силлогизм

5. Вся здоровая пища приготавливается из натуральных продуктов.

Все пончики суть здоровая пища.

? Все пончики приготавливаются из натуральных продуктов.

построен по первой фигуре и модусу АЛА. Таким образом, силлогизмы могут отличаться друг от друга как по фигуре, так и по модусу (например, 1 и 3) или только по фигуре (2 и 4) или только по модусу (1 и 5). Однако не все модусы являются правильными.

Рассмотрим общее число силлогистических форм, правильных и неправильных, с учетом их различия по модусам и фигурам. Поскольку существует четыре типа категорических суждений, то большая посылка, меньшая посылка и заключение могут быть представлены суждениями любого из четырех типов. Следовательно, существует 4x4x4, или 64, силлогистических модуса в каждой фигуре, и 64 х 4, или 256, силлогистических форм в четырех фигурах. При этом большинство из них являются неправильными. Как отыскать правильные формы? Исследовать все 256 форм было бы страшно неудобно. Однако данная процедура вовсе не обязательна, поскольку неправильные формы могут быть исключены посредством применения аксиом и теорем обоснованности.

Запишем каждую возможную комбинацию посылок, где первая буква будет обозначать большую посылку, а вторая – меньшую:

Согласно аксиоме 3, сочетания ЕЕ, ЕО, ОЕ и 00 являются невозможными. Теорема II исключает варианты II, IO, OI, а теорема IV – вариант IE. Следовательно, у нас остается восемь комбинаций посылок, каждая из которых даст правильный силлогизм в некоторых или во всех фигурах: АА, АЕ, AI, АО, ЕА, EI, IA, OA.

Исключенные восемь комбинаций не имеют заключения ни в одной фигуре.

Теперь осталось отыскать правильные модусы для каждой фигуры. Это можно сделать одним из следующих способов:

1. Для каждой фигуры выписать посылки с указанием их количества и качества, согласно каждой из допустимых комбинаций, и путем проверки выявить те комбинации, которые дают обоснованное заключение. Недостаток данного способа в том, что он долгий.

2. Установить специальные теоремы для каждой фигуры и с их помощью исключить неправильные комбинации посылок. Данный метод является изящным, и мы прибегнем именно к нему.

Ниже мы раз и навсегда будем допускать, что обозначаемые терминами классы являются непустыми. Мы исследуем следствия данного допущения. Оно позволит нам осуществлять непосредственные умозаключения с помощью ограничения.

Форма первой фигуры обозначается как

поэтому докажем следующие теоремы.

Теорема I. Меньшая посылка должна быть утвердительной.

Допустим, что меньшая посылка – отрицательная. Тогда заключение должно быть отрицательным (аксиома 4), а Р должен быть распределенным. Поэтому Р должен быть распределен и в большей посылке (аксиома 2), а сама большая посылка должна быть отрицательной. Однако обе посылки не могут быть отрицательными (аксиома 3), и, следовательно, меньшая посылка должна быть утвердительной.

Теорема II. Бо?льшая посылка должна быть общим суждением.

Поскольку меньшая посылка должна быть утвердительной, ее предикат М не может быть распределенным. Поэтому М

должен быть распределен в большей посылке (аксиома 1), что, в свою очередь, делает бо?льшую посылку общим суждением.

С помощью специальной теоремы I мы можем исключить комбинации АЕ, АО, а с помощью второй теоремы – комбинации IA и ОА. В первой фигуре обоснованные заключения имеют место только в комбинациях АА, AI, ЕА и EI. Следовательно, шесть правильных модусов – это AAA, [AAI], АII, ЕАЕ, [ЕАО], ЕIO.

Модусы, обведенные нами в круг, называются подчиненными, или ослабленными, модусами, поскольку, несмотря на то что посылки в них предписывают выведение заключения, которое будет общим суждением, действительное заключение, тем не менее, является лишь частным суждением, и поэтому «более слабым», чем могло бы быть. Четырем из этих шести правильных модусов были даны специальные имена, в которых гласные соответствуют символам количества и качества посылок и заключения. Так, модус АЛА обозначается именем «Barbara», All – «Darii», ЕАЕ – «Celarent» и ЕIO – «Ferio». Данные имена были изобретены для формирования мнемонического средства, с помощью которого можно было бы вспомнить различные модусы в каждой из фигур, а модусы второй, третьей и четвертой фигур сводить к модусам первой фигуры. Ниже мы еще вернемся к проблеме сведения.

Форма второй фигуры обозначается как

Докажем следующие теоремы.

Теорема I. Посылки должны различаться по качеству.

Если обе посылки являются утвердительными, то средний термин М является нераспределенным в каждой из них. Поэтому одна из посылок должна быть отрицательной (аксиома 1). Обе посылки не могут быть отрицательными (аксиома 3). Поэтому посылки должны различаться по качеству.

Теорема II. Бо?льшая посылка должна быть общим суждением.

Поскольку одна из посылок является отрицательным суждением, заключение также является отрицательным суждением (аксиома 4), и Р, больший термин, должен быть распределенным. Поэтому Р должен быть распределенным и в большей посылке (аксиома 2), а сама посылка должна быть общим суждением.

Теорема I исключает комбинации АА и AI, а теорема II исключает комбинации IA и ОА. В данной фигуре у нас остается четыре комбинации: АЕ, АО, ЕА и EI, из которых мы получаем шесть правильных модусов. АЕЕ (Camestres), [АЕО], АОО (Baroco), ЕАЕ (Cesare), [ЕАО] и ЕIO (Festino). Модусы, обведенные в круг, являются ослабленными силлогизмами.

Исходя из символьной формы третьей фигуры

мы можем доказать следующие теоремы.

Теорема I. Меньшая посылка должна быть утвердительной.

Предположим, что меньшая посылка – отрицательная. Тогда заключение будет отрицательным суждением (аксиома 4) и Р, его предикат, будет распределен. Поэтому Р будет распределен и в большей посылке (аксиома 2), и сама большая посылка будет отрицательной. Однако это невозможно (аксиома 3). Поэтому меньшая посылка не может быть отрицательной.

Теорема II. Заключение должно быть частным суждением.

Поскольку меньшая посылка должна быть утвердительным суждением, S в посылках не может быть распределенным.

Поэтому S не может быть распределенным и в заключении (аксиома 2), а само заключение должно быть частным суждением.

Первая теорема исключает комбинации АЕ и АО, и у нас остается шесть комбинаций: AA, AI, EA, EI, IA, OA. Помня о второй теореме, мы получаем шесть правильных модусов: [AAI] (Darapti), AII (Datisi), [ЕАО] (Felapton), ЕIO (Ferison), IAI (Disamis) и ОАО (Bocardo). В этой фигуре нет ослабленных модусов. Два модуса, обведенные в круг, называются усиленными силлогизмами, поскольку то же самое заключение может быть получено, даже если мы заменим суждение одной из посылок подчиненным ему суждением.

С помощью символьного выражения четвертой фигуры

мы можем доказать следующие теоремы.

Теорема I. Если большая посылка является утвердительным суждением, то меньшая посылка является общим суждением.

Если большая посылка является утвердительным суждением, то его предикат, М, нераспределен. Следовательно, М должен быть распределенным в меньшей посылке (аксиома 1), а сама меньшая посылка должна быть общим суждением.

Теорема II. Если одна из посылок является отрицательной, то большая посылка должна быть общим суждением.

Если одна из посылок – отрицательное суждение, то заключение является отрицательным (аксиома 4), а его предикат, Р, должен быть распределен. Поэтому Р должен быть распределен и в большей посылке (аксиома 2), а сама она, следовательно, должна быть общим суждением.

Теорема III. Если меньшая посылка является утвердительным суждением, то заключение является частным суждением.

Если меньшая посылка – утвердительное суждение, то его предикат, S, нераспределен. Поэтому S не может быть распределенным и в заключении (аксиома 2) и, следовательно, само заключение должно быть частным суждением.

Первая теорема исключает комбинации AI и AO, вторая – OA. У нас остаются пять комбинаций: AA, AE, EA, IA и EI. С помощью третьей теоремы мы получаем шесть правильных модусов: [AAI] (Bramantip), AEE (Camenes), [AEO] , IAI (Dimaris), [EAO] (Fesapo) и EIO (Fresison). AEO является ослабленным силлогизмом, тогда как ААI и EAO – усиленными.

Таким образом, мы обнаруживаем, что всего в четырех фигурах существует двадцать четыре правильные силлогистические формы. В каждой фигуре содержится по четыре правильных модуса. При этом ослабленные и усиленные формы правильны только при допущении экзистенциальной нагруженности, о которой мы четко заявили. Если подобного допущения не делается, то можно получить лишь пятнадцать правильных модусов.

Мы обнаружили правильные модусы посредством исключения всех форм, несовместимых с аксиомами обоснованности, а также с выведенными из них теоремами. Единственным обоснованием правильности выработанных нами форм стала их согласованность с аксиомами. Однако Аристотель, человек, первым написавший о силлогизмах, обосновывал правильные формы иначе. Согласно его подходу, модусы первой фигуры проверялись с помощью применения к ним принципа, известного с тех пор как dictum de omrti et nullo[30]. Данный принцип считался и зачастую до сих пор считается «самоочевидным». Формулировался он по-разному. Одной из таких формулировок была следующая: «Все, что предицируется, в утвердительном или отрицательном суждении, распределенному термину, может также предицироваться и всему, что в нем содержится» (Кейнс). Несложно показать, что принцип dictum эквивалентен аксиомам и теоремам, относящимся к первой фигуре. Однако он не может непосредственно применяться к силлогизмам в других формах. Соответственно первая фигура была названа совершенной, а остальные несовершенными.

Рассмотрим, как с помощью принципа dictum можно проверить правильность силлогизма в модусе Barbara: «Все русские – европейцы; все коммунисты – русские; следовательно, все коммунисты – европейцы». «Европейцы» предицируется в утвердительном суждении распределенному термину «русские», поэтому, согласно принципу dictum, этот термин можно предицировать в утвердительном суждении и «коммунистам», поскольку последний содержится в термине «русские»[31]. Однако силлогизм «все парижане – французы; ни один бостонец не является парижанином; следовательно, ни один бостонец не является французом» не согласуется с принципом dictum. «Французы» предицируется в утвердительном суждении распределенному термину «парижане»; при этом этот термин никак не может предицироваться термину «бостонцы», поскольку последний не содержится в термине «парижане»[32].

Если мы вместе с Аристотелем будем рассматривать dictum как самоочевидный принцип и если мы вместе с ним решим, что он является единственным самоочевидным принципом, способным определять правильность силлогистических форм, то единственным способом обоснования модусов остальных фигур помимо первой будет демонстрация того, что они предполагают правильные модусы первой фигуры.

Данный процесс проявления связи модусов других фигур с модусами первой фигуры называется «сведением». Существует две разновидности сведения: 1) непосредственное сведение, осуществляющееся посредством обращения суждений, или перестановкой посылок, и 2) опосредованное сведение, требующее либо превращения и контрапозиции суждений, либо формы условного умозаключения, известного как reductio ad absurdum.

Несмотря на то что многие логики считали, что процесс сведения не является необходимым и даже является необоснованным, нет сомнения в том, что в свете той основы, на которой Аристотель развивал свою теорию силлогизма, сведение является неотъемлемой частью этой теории. Однако если учение о силлогизме развивать на иных основаниях, согласно которым первая фигура не считается самой главной, то операция сведения не сможет обладать той важностью, которая приписывается ей в традиционном подходе. Даже принятый нами подход не требует того, чтобы первая фигура рассматривалась как центральная. Ниже мы убедимся, что теорию силлогизма можно развивать, исходя из еще более общих установок. Более того, такие принципы, как dictum, можно выработать для каждой фигуры, и каждый из них будет обладать такой же степенью самоочевидности, как и dictum de omrti. Тем не менее, несмотря на снижение теоретической значимости сведения, оно продолжает представлять ценный логический инструмент. На данном этапе мы покажем, каким образом можно свести к первой фигуре некоторые из модусов других фигур.

Непосредственное сведение

Рассмотрим силлогизм АЕЕ во второй фигуре:

Мы привели силлогизм, эквивалентный исходному справа. Его можно проверить непосредственным образом с помощью принципа dictum. Сведение было осуществлено с помощью перестановки посылок, обращения меньшей посылки и обращения заключения. Следовательно, если мы не сомневаемся в правильности второго силлогизма, у нас не может быть и сомнений в правильности исходного.

Далее рассмотрим модус AII из третьей фигуры. Его можно свести к правильному силлогизму первой фигуры, приведенному ниже справа:

Наконец, модус IAI из четвертой фигуры может быть сведен следующим образом:

Опосредованное сведение

Читатель может заметить, что два силлогизма, содержащие частноотрицательную посылку, АОО во второй фигуре и ОАО в третьей, нельзя свести к первой фигуре только посредством обращения и перестановки посылок. Однако если допустить операцию превращения, то со сведением не возникнет сложностей.

Превращение, однако, не рассматривалось Аристотелем как допустимый способ осуществления сведения. При этом он открыл очень важный логический принцип, являющийся обобщением идеи контрапозиции условных суждений. Прежде чем формулировать данный принцип, проиллюстрируем его.

Допустим, посылки следующего силлогизма являются истинными. Нам нужно доказать, что заключение является истинным с необходимостью.

Некоторые виды стали не являются магнитными.

Все виды стали суть металлы.

? Некоторые металлы не являются магнитными.

Заключение является либо истинным, либо ложным. Если оно ложно, то противоречащее ему суждение «все металлы являются магнитными» истинно. Сочетая это суждение с меньшей посылкой силлогизма, получаем:

Все металлы являются магнитными.

Все виды стали являются металлами.

? Все виды стали являются магнитными.

Последний силлогизм представляет правильный модус первой фигуры. Но поскольку, согласно гипотезе, обе посылки исходного силлогизма истинны, то заключение второго силлогизма не может быть истинным, поскольку оно противоречит большей посылке исходного силлогизма. Следовательно, большая посылка второго силлогизма не может быть истинной, или, что одно и то же, заключение первого силлогизма не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.

Таким образом, правильность модуса ОАО третьей фигуры доказывается с помощью правильного силлогизма из первой фигуры и принципа, известного как reductio ad absurdum. Правильность модуса АОО из второй фигуры может быть доказана таким же способом. Данный метод можно также использовать и для других модусов.

Проявим теперь принцип reductio ad absurdum в более абстрактной форме. Пусть «р» обозначает суждение «некоторые виды стали не являются магнитными», «q» обозначает суждение «все виды стали являются металлами», а «r» обозначает суждение «некоторые металлы не являются магнитными». Пусть «p?», «q?», «r?» обозначают суждения, противоречащие данным соответственно. Тогда в исходном силлогизме утверждается, что р и q вместе имплицируют r. В символьной форме: (p . q) ? r. Мы показали, что суждение, противоречащее r, вместе с q имплицирует суждение, противоречащее р. В символьной форме: (q . r?) ? p?. Сведение к первому силлогизму зависит от эквивалентности этих двух импликаций. Данная эквивалентность является простым продолжением эквивалентности между условным суждением и противопоставленным ему суждением. Ранее мы показали, что если а и b являются любыми двумя суждениями, то (а ? b) ? (b? ? a?). Теперь мы получаем:

[(p . q) ? r] ? [(q . r?) ? p?] ? [(p . r?) ? q?].

Итак, принцип опосредованного сведения можно разложить следующим образом: силлогизм – это форма умозаключения, в которой два суждения, p и q, вместе имплицируют третье суждение, r, при этом данные три суждения содержат три, и только три, термина. Однако если мы отрицаем импликацию [(p . q) ? r], то мы также должны отрицать и эквивалентную ей вторую импликацию [(q . r?) ? p?]. Однако эта вторая импликация, как показано в нашем примере, является правильным силлогизмом, представляющим модус Barbara, который нельзя отрицать. Следовательно, также нельзя и отрицать первую импликацию, представляющую силлогизм модуса ОАО из третьей фигуры (т. е. Bocardo). Отрицание правильности модуса Bocardo приводит нас к отрицанию модуса Barbara, а это абсурдно.

Если не допускать ослабленные и усиленные формы (т. е. если не предполагать экзистенциальной нагруженности общих высказываний), то сведение позволяет нам усмотреть, что все силлогистические аргументы можно свести к двум формам: одной, в которой обе посылки будут общими суждениями, и второй, в которой обе посылки будут частными суждениями. Первая форма представляет аргумент, в котором оба суждения могут быть всего лишь гипотезами, вторая форма предполагает утверждения относительно факта, которые, в конечном счете, основываются на наблюдении.

Принцип, использующийся в опосредованном сведении, был развит г-жой Кристиной Лэдд-Франклин, что позволило получить новый мощный инструмент проверки правильности любого силлогизма. При рассмотрении данного метода мы отбросим допущение, сделанное нами относительно существования классов, обозначаемых терминами силлогизма. Как следствие, мы исключим ослабленные и усиленные модусы как неправильные.

Рассмотрим правильный силлогизм:

Все музыканты являются гордыми.

Все шотландцы являются музыкантами.

? Все шотландцы являются гордыми.

Если мы обозначим буквами «S», «М» и «Р» термины «шотландцы», «музыканты» и «гордые индивиды» соответственно и если мы используем результаты анализа того, что утверждается в категорическом суждении, который мы провели в главе IV, то данный силлогизм можно выразить как утверждающий следующее:

Если посылки «все музыканты являются гордыми» и «все шотландцы являются музыкантами» с необходимостью имплицируют заключение «все шотландцы являются гордыми», то из этого следует, что данные посылки несовместимы с суждением, противоречащим заключению. Поэтому три суждения:

1. Все музыканты являются гордыми.

2. Все шотландцы являются музыкантами.

3. Некоторые шотландцы не являются гордыми.

являются несовместимыми друг с другом. Они не могут вместе быть истинными. В символьном выражении

являются несовместимыми. Триада суждений, два из которых являются посылками правильного силлогизма, а третье – суждением, противоречащим заключению данного силлогизма, называется антилогизмом, или несовместимой триадой.

Анализ приведенного выше антилогизма при этом показывает, что любые два суждения из триады с необходимостью имплицируют суждение, противоречащее третьему суждению. (Можно показать, что данный вывод является в общем истинным, а также что он является развитием эквивалентности между условным суждением и контрапозитивным ему суждением.) Таким образом, если мы возьмем первые два суждения триады в качестве посылок, то получим силлогизм:

Все музыканты являются гордыми.

Все шотландцы являются музыкантами.

? Все шотландцы являются гордыми.

Это исходный силлогизм, из которого была получена триада. Если мы возьмем первое и третье суждения триады в качестве посылок, то получим силлогизм:

Все музыканты являются гордыми.

Некоторые шотландцы не являются гордыми.

? Некоторые шотландцы не являются музыкантами.

Это правильный модус второй фигуры. Наконец, если мы возьмем второе и третье суждения триады в качестве посылок, то получим силлогизм:

Все шотландцы являются музыкантами.

Некоторые шотландцы не являются гордыми.

? Некоторые музыканты не являются гордыми.

Это правильный модус третьей фигуры.

Предлагаем читателю взять какой-нибудь другой правильный модус силлогизма и получить из него несовместимую триаду, а также два других правильных силлогизма, эквивалентных исходному.

Структура антилогизма

Рассмотрим теперь структуру антилогизма. Прежде всего, читатель может обратить внимание на то, что антилогизм содержит два общих суждения и одно частное. Это то же самое, что утверждать, что в символьном выражении членов триады присутствует два равенства и одно неравенство, поскольку общее суждение интерпретируется как отрицающее существование, тогда как частное его утверждает. Если читатель подробно рассмотрит символьное выражение, то он также сможет увидеть, что два общих суждения обладают общим термином, которые в одном случае утверждаются, а в другом отрицаются. Наконец, частное суждение содержит два другие термина. Можно без труда показать, что эти три условия присутствуют в каждом антилогизме и что доказательство этого не должно вызывать у читателя сомнений.

Поскольку всякому правильному силлогизму соответствует определенный антилогизм, мы можем использовать указанные условия в качестве теста правильности любого силлогизма. Для этого требуется лишь один принцип, который может быть сформулирован следующим образом: силлогизм является правильным, если ему соответствует антилогизм, структура которого согласуется с тремя вышеуказанными условиями.

Теория антилогизма представляет собой попытку отыскать более общее основание для силлогизма и других умозаключений, изучаемых в традиционной логике. Читатель может отметить изящность и эффективность, которую дает введение специально созданных символов. В следующей главе мы укажем на тесную связь между развитием логической теории и усовершенствованием символьной записи. Что касается данной главы, то ее мы закончим рассмотрением того, как антилогизм может быть использован для проверки силлогизмов на правильность.

Является ли правильным следующий силлогизм?

Некоторые азиаты вежливы.

? Все азиаты проницательны.

Некоторые проницательные люди вежливы.

Пусть «S», «P» и «О» обозначают меньший, больший и средний термин соответственно. В символах данное умозаключение может быть выражено следующим образом: OP ? 0, = 0, ? SP ? 0. Эквивалентным антилогизмом будет: OP ? 0, = 0, ? SP = 0. Антилогизм содержит два общих суждения и одно частное. Общие суждения обладают общим термином, который в одном случае утверждается, а в другом отрицается. Частное суждение содержит два оставшихся термина. Следовательно, исходный силлогизм является правильным.

Является ли правильным следующий силлогизм?

Некоторые профессора неженаты.

Все святые женаты.

? Некоторые святые не являются профессорами.

Пусть «S», «P» и «М» обозначают меньший, больший и средний термин. Символьное выражение данного силлогизма: ? 0, = 0, ? SP ? 0. Эквивалентным антилогизмом будет: ? 0, = 0, следовательно, SP = 0. Антилогизм содержит два общих суждения и одно частное, однако общий термин в общих суждениях не является утверждаемым в одном случае и отрицаемым в другом. Следовательно, силлогизм является неправильным.

Иногда основания для заключения состоят более чем из двух суждений. В таких случаях умозаключение не является силлогизмом. Исследование же всех возможных способов, по которым более чем два суждения могут сочетаться с тем, чтобы приводить к заключению, требует более общего подхода к логике, чем то позволяют традиционный подход или элементарное введение в дисциплину. Однако в ряде особых случаев принципы силлогизма позволяют нам оценивать более сложные умозаключения. Так, из посылок:

Все диктатуры являются недемократическими.

Все недемократические правительства нестабильны.

Все нестабильные правительства жестоки.

Все жестокие правительства являются объектами ненависти.

мы можем вывести заключение:

Все диктатуры являются объектами ненависти.

Данное умозаключение можно проверить с помощью правил силлогизма, поскольку оно представляет собой цепь силлогизмов, в которых заключение одного силлогизма становится посылкой другого. При этом в приведенном примере заключения всех силлогизмов, кроме последнего, остаются невыраженными. Цепь силлогизмов, в которых заключение одного становится посылкой другого, все заключения, кроме последнего, остаются невыраженными, а посылки расставлены так, что любые две следующие одна за другой посылки содержат общий термин, называется соритом.

В вышеприведенном примере представлен аристотелевский сорит. В нем первая посылка содержит субъект заключения, а общий термин двух следующих друг за другом суждений сначала представлен как предикат, а затем как субъект. Вторая форма сорита – гоклениевский сорит. Он проиллюстрирован ниже:

Все священные вещи охраняются государством.

Все виды собственности священны.

Все торговые монополии являются собственностью.

Все виды сталелитейной промышленности являются торговыми монополиями.

? Все виды сталелитейной промышленности охраняются государством.

Здесь первая посылка содержит предикат заключения, а общий термин двух следующих друг за другом суждений представлен в первом суждении в виде субъекта, а во втором – в виде предиката.

Можно предложить специальные правила соритов. Мы просто сформулируем эти правила, а их доказательство оставим читателю в качестве упражнения.

Специальные правила для аристотелевского сорита

1. Не более одной посылки может быть отрицательным суждением; если посылка является отрицательным суждением, то она должна быть последней.

2. Не более одной посылки может быть частным суждением; если посылка является частным суждением, то она должна быть первой.

Специальные правила гоклениевского сорита

1. Не более одной посылки может быть отрицательным суждением; если посылка является отрицательным суждением, то она должна быть первой.

2. Не более одной посылки может быть частным суждением; если посылка является частным суждением, то она должна быть последней.

Глава V. Условные, разделительные и строго разделительные силлогизмы

В вводной главе мы видели, что областью исследования для логики является классификация и изучение суждений как важных составляющих доказательства. Далее мы обнаружили, что одно множество суждений может быть связано с другим множеством суждений шестью отношениями зависимости, в силу которых первое множество может рассматриваться как адекватное основание для второго. В третьей главе мы более подробно изучили некоторые из этих отношений зависимости. Теперь же нам надлежит пристально рассмотреть противоположное отношение суперимпликации. Различные формы этого отношения занимают центральное место как в научных доказательствах, так и в обыденной речи.

В историческом романе Джорджа Мура «Элоиза и Абеляр» приводится следующий диалог между средневековыми последователями Абеляра, один из которых является реалистом, а другой – номиналистом: «Всем было ясно, что номиналист вел спор нечестно, поскольку ввел теологию в область диалектики. Однако раз уж он решился на этот поступок, то ему придется принять и его следствия, которые, как известно всем, заключаются в том, что реалист тоже прибегнет к этому приему. – Да, вы, однако, быстры, как истинный последователь Пьера дю Палле… вы так быстро обратили то, что я предложил лишь в качестве аналогии, в еретический аргумент против меня самого. Я отвечу вам вашим же оружием. Утверждаете ли вы, что это понятие, этот образ в сознании человека, Бога или материи, ибо я не знаю, где еще его искать, является реальностью?» – Я считаю, что оно, некоторым образом, является реальным. – Мне нужен определенный ответ. – Мне придется дать определение… – Мне не нужны определения. Субстанция либо существует, либо не существует. – В таком случае понятие, которым я обладаю, является знаком. – Знаком чего? – Оно является звуком, словом, символом, эхом моего незнания. – Тогда оно не является ничем! А истина и человеческая добродетель вовсе не существуют. Вы считаете себя существующим, однако вы не обладаете средством познания Бога, следовательно, для вас Бог существует лишь как эхо вашего незнания! В вашем случае также важно то, что церковь существует лишь как ваше понятие о некоторых индивидах, которых вы сами не рассматриваете как некое единство и которые считают, что веруют в Святую Троицу, существующую лишь как звук или символ. Знайте, ученик или последователь господина Пьера дю Палле, или как еще вы себя называете, что я не буду повторять ваших слов вне стен этого дома, ибо это может привести к смертельным для вас следствиям. При этом совершенно очевидно, что вы являетесь материалистом, и поэтому ваша участь должна решаться Церковным советом, если, разумеется, вы не предпочтете смерть на костре, к которой вас приговорит мирской суд»[33].

Вычленим из данного аргумента составляющие его шаги, добавляя суждения, которые в нем подразумеваются:

1. Если понятие в сознании человека является знаком, то оно является знаком звука и эхом моего незнания.

Если понятие является знаком звука, то оно не является знаком чего-либо реального.

? Если понятие в сознании человека является знаком, то оно не является знаком чего-либо реального.

2. Если понятие в сознании человека является знаком, то оно не является знаком чего-либо реального.

Однако истина, добродетель, Бог, церковь, Троица являются понятиями в сознании человека.

? Эти вещи не являются знаками чего-либо существующего.

3. Если кто-либо считает, что эти вещи не представляют ничего реального, этот человек является материалистом.

Номиналист является таковым.

? Номиналист является материалистом.

Суть диалога, таким образом, можно разложить на три различных шага. Умозаключения 2 и 3 обладают одной и той же логической формой, и мы отметим это чуть ниже. Умозаключение 1 имеет отличную от других двух форму. Такие умозаключения, как 2 и 3, называются смешанными условными силлогизмами. Они содержат три суждения: первая посылка, являющаяся большей, представлена условным суждением, вторая, меньшая, категорическим суждением; заключение также является категорическим суждением. Такие умозаключения, как 1, называются чистыми условными силлогизмами. Они содержат два условных суждения в посылках, а также условное суждение в заключении.

Почему заключение в каждом из двух примеров смешанного условного силлогизма считается обоснованно выведенным из посылок? На данном этапе читатель уже достаточно подготовлен, чтобы ответить на этот вопрос. Правильным ответом является следующий: если мы утверждаем истинность условного суждения, а также истинность его основания, то мы с необходимостью должны утверждать и истинность следствия.

То же самое можно выразить и иначе. Конъюнктивное суждение «если объявлена война, то цены поднимаются, и война объявлена» имплицирует суждение «цены поднимаются». Конъюнктивное суждение является главным, или подчиняющим, относительно суждения «цены поднимаются». Таким образом, если мы утверждаем истинность конъюнкции, то мы должны также утверждать и истинность подчиненного суждения.

Ценность такого рассуждения вполне очевидна. Зачастую нам легче установить истинность условного суждения, а также истинность его антецедента, чем истинность его консеквента. Истинность консеквента тогда может быть установлена опосредованно, как истинность заключения в таком умозаключении. Таким образом, все попытки поделить любой угол (осуществить трисекцию) на три части с помощью циркуля и линейки сегодня должны рассматриваться как бесполезные, поскольку известна истинность двух суждений: «если геометрическое построение можно выразить в виде несокращаемого алгебраического уравнения выше второй степени, то его нельзя построить только с помощью циркуля и линейки» и «трисекция угла выражается несокращаемым кубическим уравнением». Следовательно, трисекция угла посредством элементарных методов невозможна. Данный результат мог быть получен только как заключение смешанного условного силлогизма.

Данный аргумент имеет следующую схематическую форму: Если А есть В, то С есть D; А есть В; следовательно, С есть D. Если мы используем ранее введенные символы, то форма этого силлогизма будет выражаться так: p ? q; p; ? q. Считается, что данное умозаключение стоит в модусе ponendo ponens. Данное выражение обозначает, что, утверждая то, о чем говорится в меньшей посылке, мы утверждаем и то, о чем говорится в заключении. Само выражение происходит от латинского слова «ропеге», которое означает «настаивать» или «утверждать».

Предположим, нам известно, что суждение «если имеет место полное затмение Солнца, то на улицах становится темно» является истинным. Можем ли мы в этом случае для суждения «имеет место полное затмение Солнца» предложить в качестве окончательного основания суждение «на улицах стало темно»? Если бы мы так сделали, то получившееся в результате умозаключение было бы ошибочным. В условном суждении утверждается только то, что если антецедент истинен, то консеквент должен быть истинным; в нем не утверждается того, что консеквент может быть истинен только в том случае, если истинен антецедент. Так, наряду с моментами полного затмения на улицах также бывает темно по ночам или в облачные дни. Следовательно, будет ошибкой утверждать истинность консеквента и выводить из нее истинность антецедента. Ниже мы еще не раз привлечем внимание читателя к этой ошибке. Ее иногда совершают видные ученые, не проводящие различия между необходимым и вероятностным выводом или не учитывающие отличия между доказательством истинности суждения и ее верификацией. Примером тому является следующее утверждение: если теория органической эволюции истинна, то мы должны найти окаменелые останки вымерших видов животных. Однако обнаружение подобных останков не является доказательством истинности данной теории или ее окончательным основанием.

Утверждать истинность консеквента условного суждения, таким образом, ошибочно. Однако отрицание истинности консеквента может дать нам обоснованное заключение. К примеру, мы хотели бы знать, виновен ли Том Муни в закладывании взрывного устройства во время празднования парада по случаю Дня готовности (Preparedness day) в 1916 году в Сан-Франциско. Изучив природу этого устройства, мы можем сформулировать следующее суждение: «если Муни виновен, то он находился на углу улицы за десять минут до взрыва». Однако предположим, что у Муни есть алиби, и он может доказать, что за пятнадцать минут до взрыва находился в миле от места взрыва на улице, которая при этом была непроходимой. В таком случае нам придется отрицать консеквент условного суждения, а это отрицание, в свою очередь, обязывает если не политиков, то, по крайней мере, всех, кто изучает логику, отрицать и антецедент. Это происходит потому, что в условном суждении утверждается неверность того, что антецедент может быть истинным, а консеквент одновременно с этим ложным.

Суждение, противоречащее антецеденту, в действительности, является подчиненным конъюнктивному суждению «если Муни виновен, то он был на месте взрыва за десять минут до самого взрыва» и «он не был на месте взрыва за десять минут до самого взрыва». Если мы будем утверждать истинность этого подчиняющего суждения, то нам также придется утверждать и истинность подчиненного суждения, поскольку подчиняющее суждение имплицирует подчиненное.

В умозаключениях данного вида заложен основной метод опровержения предлагаемых теорий. Является ли любая точка на поверхности Земли равноудаленной от ее центра? Если принять как доказанные некоторые принципы физики, то можно продемонстрировать истинность суждения «если Земля является сферой, то маятник определенной длины качнется дважды в секунду в любой точке на поверхности Земли». Однако экспериментально можно продемонстрировать, что существует варьирование того, сколько раз качнется маятник, если его смещать вдоль линии меридиана. Из этого следует, что форма Земли не является сферической.

Такой тип аргументации можно изобразить схематически следующим образом: если А является В, то С является D; следовательно, А не является В. Или же как: p ? q; q?; ? p?. Данное умозаключение соответствует модусу tollendo tollens, ибо, отрицая малую посылку, мы отрицаем и заключение. Данное название происходит от латинского слова «tollere», означающего «возносить» или «отрицать».

Можно ли опровергнуть консеквент условного суждения, предоставив основания, указывающие на ложность антецедента? Допустим, мы хотим узнать, является ли одинаковой площадь двух прямоугольных участков земли. Нам также может быть известно, что «если соответствующие стороны двух прямоугольных участков равны, то их площади также равны» – истинно. Однако предположим, что при непосредственном измерении мы обнаруживаем, что соответствующие стороны неравны. Можем ли мы на основании этого делать вывод о том, что площади участков также неравны? Разумеется, нет. Например, стороны одного участка могут иметь длину в четыре и пять единиц соответственно, а стороны другого участка – две и десять единиц; при этом площади двух таких участков будут равными. Следовательно, нельзя выводить ложность консеквента из отрицания антецедента. Данную ошибку нередко совершают общественные деятели, а также и остальные расчетливые люди. Так, может утверждаться суждение «если конгресс вмешается в планы президента, то депрессия в промышленности не будет преодолена». При этом многие зачастую считают, что депрессия будет преодолена, только если конгресс отложит или отменит заседание, и верят, что последнее является логическим следствием первого.

Рассмотрим далее обоснованное умозаключение, в котором большей посылкой является дизъюнктивное суждение, а меньшей – простое категорическое. Подобные умозаключения называются «разделительно-категорическими силлогизмами». В форме такого умозаключения Томас Пейн рассматривал природу британской конституции в своей книге «Права человека» («Rights of man»):

«…Правительства бывают либо произошедшими из народа, либо установленными над народом. Британское правительство произошло из завоеваний, а не из общества, и, следовательно, оно было установлено над народом…»

Какие условия необходимы для того, чтобы обоснованно вывести заключение из дизъюнктивного суждения, выступающего в качестве большей посылки силлогизма? Предположим, читатель считает, что его телефонная компания взяла с него лишние деньги за услуги, предоставляемые в течение месяца, и он решает принять меры. Он может решить следующее: «Я напишу в компанию письмо или схожу в ее представительство». Если данное суждение является истинным, то, по крайней мере, один из дизъюнктов должен быть истинным. При этом возможность того, что они оба могут быть истинными, также не исключается. Следовательно, если читатель напишет в компанию письмо, то из этого мы не сможем вывести то, что он также туда не сходит. Сходным образом если он нанесет визит в компанию, то мы не сможем заключить, что он не напишет туда письмо. Мы совершим ошибку, если, имея представленную дизъюнкцией общую посылку, будем выводить ложность одного дизъюнкта из истинности другого.

С другой стороны, если читателю вдруг придется покинуть город, и он не сможет нанести визит в компанию, то из этого следует, что он напишет туда письмо. Или же, если он, наконец, решит, что в письмах нет никакого толка, то из этого будет следовать то, что он нанесет визит в представительство телефонной компании. Следовательно, разделительный силлогизм является обоснованным, когда в меньшей посылке отрицается один из дизъюнктов, а в заключении утверждается истинность другого.

Сформулируем заново этот результат, с тем чтобы проявить обратное отношение, присутствующее между посылками и заключением. Конъюнкция суждений «Я напишу в компанию письмо или схожу в ее представительство» и «я не буду писать письмо» имплицирует суждение «я схожу в ее представительство». Конъюнкция, таким образом, является подчиняющим суждением относительно заключения.

Разделительный силлогизм, как мы более подробно увидим ниже, зачастую используется для элиминации предлагаемых объяснений или решений соответствующих задач. Какой фактор в окружающей среде объясняет изменение погоды на определенной территории? Мы можем попробовать предположить, что к возможным факторам относятся удаленность от Солнца, длительность подверженности солнечным лучам, изменения направлений потоков воздуха. Если мы сможем элиминировать одну из этих возможностей, то из этого будет следовать, что, учитывая предположение об истинности дизъюнкции, причина изменения погоды лежит в одном из оставшихся предполагаемых объяснений. Однако читателю следует учесть, что мы не элиминируем другие из перечисленных факторов, если обнаруживаем, что, например, погода зависит от поведения потоков воздуха. Не исключено, что каждый из оставшихся факторов также в свою очередь оказывает влияние на погоду.

Схематическая форма данного типа умозаключения выглядит следующим образом: А есть В или С есть D; А не есть В; следовательно, С есть D. Или: p ? q; p?; ? q. Данное умозаключение осуществляется по модусу, который называется «modus tollendo ponens» (отрицающе-утверждающий), поскольку, отрицая (в меньшей посылке), мы утверждаем (в заключении).

Читатель может возразить: «Умозаключение, которое вы обозначили как необоснованное, зачастую рассматривается как раз в качестве обоснованного. Допустим, вы точно не знаете месяц, в котором родился Шекспир, но при этом вы можете сделать утверждение: «Он родился в апреле или в мае». Затем вы можете узнать, что он родился все-таки в апреле. Не выведете ли вы из этого, что Шекспир не родился в мае? и если да, то не нарушите ли вы собственное правило, согласно которому в разделительном силлогизме меньшая посылка должна отрицать один из дизъюнктов?»

Читатель совершенно прав. Однако является ли данный пример в действительности опровержением установленного нами правила? На поверку оказывается, что нет. Данное умозаключение является обоснованным только при подразумеваемой посылке, гласящей, что один из дизъюнктов исключает другого. Бо?льшая посылка в примере, приведенном читателем, будучи сформулированной в полном виде, будет выглядеть так: «Шекспир родился в апреле или в мае, и он не родился в апреле и одновременно в мае». Данное суждение является конъюнктивным, и та его часть, которая является посылкой в аргументе читателя, представляет конъюнкт, утверждающий строгую дизъюнкцию. Такие дизъюнктивные суждения зачастую понимаются без дополнительных объяснений и поэтому не выражаются в явной форме. Тем не менее, для прояснения посылок, входящих в аргумент, эти суждения следует проявить.

В этом смысле строго дизъюнктивные силлогизмы рекомендуется рассматривать отдельно. В них большей посылкой является строго дизъюнктивное суждение, а меньшей – простое категорическое суждение. Отыщем условия, необходимые для обоснованности такого силлогизма.

Допустим, нам известна истинность следующего: «Неверно, что мои часы идут точно» и «Поведение всех механизмов подвержено воздействию климата». Утверждение истинности строго дизъюнктивного суждения означает утверждение того, что, по крайней мере, один из дизъюнктов является ложным. Следовательно, если мы утверждаем суждение «поведение всех механизмов подвержено воздействию климата», мы также должны утверждать и суждение «мои часы не идут точно». Однако будет неверным утверждать, что если один из членов строгой дизъюнкции ложен, то другой истинен. Строго разделительный силлогизм является обоснованным, если в меньшей посылке утверждается один из дизъюнктов, а в заключении отрицается другой.

Схематическая форма данного аргумента такова: неверно, что одновременно А есть В и С есть D; А есть В; следовательно, С не есть D. Или: (p . q)?; p; ? q?. Считается, что данное умозаключение стоит в модусе «modus ponendo tollens», поскольку, утверждая (в меньшей посылке), мы отрицаем (в большей).

Теперь можно подытожить обоснованные и необоснованные умозаключения, которые мы рассмотрели в данной главе.

Некоторые из указанных выше принципов, несомненно, знакомы читателю. Читатель мог использовать их всю свою жизнь, не формулируя при этом в явной форме, но осуществляя при этом умозаключения именно с помощью этих принципов. Однако ни то, что мы с ними знакомы, ни то, что они, по сути, являются несложными, не умаляет их важности. Эти принципы являются основополагающими для всей логической теории. Они раз за разом возникают в любом исследовании, связанном с обоснованностью суждений, используемых для обоснования последующих суждений.

При этом эти принципы не являются независимыми друг от друга. Если читатель вспомнит эквивалентности, установленные между сложными суждениями, ему не составит труда свести аргумент, стоящий в одном модусе, к аргументу в любом другом модусе. Поэтому мы без лишних комментариев перечислим эквивалентности между четырьмя модусами в нижеследующей таблице.

Теперь нам предстоит рассмотреть чисто разделительные силлогизмы, с которыми мы познакомились в начале главы. Рассмотрим следующий аргумент:

Если снижены издержки на производство товара, то на данный товар увеличивается экономический спрос.

Если товар производится в большом количестве, то издержки на производство единицы товара снижаются.

? Если товар производится в большом количестве, то на него увеличивается экономический спрос.

Вместе первые два принципа имплицируют заключение так, что относительно них оно является подчиненным. Посылка, в которой в качестве компоненты содержится консеквент заключения, называется большей посылкой; посылка, содержащая антецедент заключения, называется меньшей посылкой. Очевидно, что правильность данного силлогизма зависит от транзитивности отношения «если…, то», или импликации.

Схематически данный силлогизм можно записать следующим образом: если С есть D, то Е есть F; если А есть B, то С есть D; следовательно, если А есть B, то Е есть F. Или более абстрактно: q ? r; p ? q; ? p ? r.

Теперь рассмотрим другой силлогизм:

Если человек здоров, то его организм не страдает от недоедания.

Если человек беден, то его организм страдает от недоедания.

? Если человек здоров, то он не беден.

В данном силлогизме сначала записана меньшая посылка. Данный аргумент является обоснованным, хотя его форма и несколько отличается от силлогизма в первом примере. Схематически его можно записать следующим образом: если А есть В, С не есть D; если Е есть F, С есть D; следовательно, если А есть В, Е не есть F. Или же: r ? q?; p ? q; ? r ? p?. Зависимость правильности данного аргумента от транзитивности отношения «если…, то» в данном примере уже не столь очевидна. Тем не менее, данное условие все еще обеспечивает правильность силлогизма. Это можно показать, сведя форму данного силлогизма к форме первого силлогизма. Для этого суждение в большей посылке следует заменить на эквивалентное контрапозитивное суждение:

Если организм человека не страдает от недоедания, то этот человек не беден.

Если человек здоров, то его организм не страдает от недоедания.

? Если человек здоров, то он не беден.

Не все чистые условные силлогизмы являются правильными. Примером тому служит нижеследующий силлогизм:

Если рабочие объединяются, то их условия труда становятся удовлетворительными.

Если рабочие не сознают своих общих интересов, они не объединяются.

? Если рабочие не сознают своих общих интересов, их условия труда не становятся удовлетворительными.

Читатель может самостоятельно убедиться в том, что форма данных силлогизмов отличается от двух рассмотренных форм правильных силлогизмов, а также и в том, что ее невозможно свести к какой-либо из этих правильных форм.

Умозаключения, в которых посылки представлены двумя дизъюнктивными суждениями, называются чистыми разделительными силлогизмами. Они встречаются довольно редко. Рассмотрим следующий силлогизм:

Или люди трусливы, или они протестуют против несправедливого обращения.

Или люди не трусливы, или они не защищают собственные экономические интересы.

? Или люди не защищают свои собственные экономические интересы, или они протестуют против несправедливого обращения.

Данный силлогизм является правильным. Однако у нас нет необходимости проверять условия истинности данного силлогизма, поскольку читатель может проверить правильность любого чистого разделительного силлогизма, сведя его к форме чисто условного силлогизма. На примере вышеприведенного силлогизма такое сведение будет выглядеть следующим образом:

Если люди не трусливы, то они протестуют против несправедливого обращения.

Если люди защищают собственные экономические интересы, то они не трусливы.

? Если люди защищают собственные экономические интересы, то они протестуют против несправедливого обращения.

Очевидно, что в данном чистом условном силлогизме заключение эквивалентно заключению вышеприведенного чистого разделительного силлогизма.

Условные и дизъюнктивные суждения могут сочетаться множеством способов, предлагая и более сложные аргументы. Мы не можем рассматривать все из них, и поэтому мы остановимся лишь на одном из них, называющимся «дилеммой». Читателю следует учесть, что дилемма не вводит никакого нового логического принципа и рассматривается отдельно лишь в силу существующей традиции и интересных вариантов применения. Никаких иных причин для выделения дилеммы из множества других сложных форм рассуждения нет.

Дилемма – это такой аргумент, в котором одна посылка (большая) является конъюнкцией двух условных суждений, а вторая посылка (меньшая) является дизъюнктивным суждением. В меньшей посылке либо утверждаются антецеденты, либо отрицаются консеквенты большей посылки.

Дилеммы, в которых меньшая посылка утверждает антецеденты в большей посылке, называются конструктивными. Дилеммы, в которых меньшая посылка отрицает антецеденты в большей посылке, называются деструктивными. В конструктивных дилеммах антецеденты большей посылки должны быть представлены различными суждениями, тогда как консеквенты могут быть либо различными суждениями, либо одним и тем же суждением. В первом случае дилемма является сложной конструктивной, во втором – простой конструктивной. В деструктивной дилемме консеквенты в большей посылке должны быть различными суждениями, тогда как антецеденты могут быть представлены различными суждениями или же одним и тем же суждением. В первом случае дилемма является сложной деструктивной, во втором – простой деструктивной. Таким образом, существует четыре различных вида дилемм. Проиллюстрируем каждый из них.

1. Сложная конструктивная дилемма

Если женщины приукрашиваются напоказ, то они самовлюбленны. Если женщины приукрашиваются для того, чтобы привлекать мужчин, то они аморальны.

Женщины приукрашиваются напоказ или для того, чтобы привлекать мужчин.

? Женщины самовлюбленны или аморальны.

2. Простая конструктивная дилемма

Если допустить, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов, то пятый постулат Евклида доказуем. Если допустить, что существуют два подобных треугольника с разной площадью, то постулат Евклида доказуем.

Допускается, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов, или что существуют два подобных треугольника с неравной площадью.

Примечания

1

Подробнее о различии этих терминов см.: Carnap R. Testability and Meaning // Philosophy of Science. Vol. 3, No. 4. 1936. P. 419–471, а также: Швырев В. С. Неопозитивизм и проблемы эмпирического обоснования науки. М.: Наука, 1966.

2

См.: Логос. № 2 (47). М., 2005.

3

В грамматике они именуются «протазисом» и «аподозисом» предложения, стоящего в сослагательном наклонении.

4

Бернс Р. Расставание. Пер. С. Маршака. – Прим. перев.

5

Z здесь заменяет «не могущий голосовать». – Прим. перев.

6

Цит. по: Гоббс Т. Соч. В 2-х т. Т. 2. М., 1991.

7

С XI по XIV в. английские короли, разумеется, были французами.

8

Более подготовленным читателям будет полезно внимательно ознакомиться с приложением А, прежде чем приступать к чтению главы II.

9

Здесь и далее: Шекспир У. Гамлет, принц датский. Пер. М. Лозинского. – Прим. перев.

10

В оригинальном тексте авторы различают термин «proposition» (суждение) и термин «judgment», который на русский язык также переводится как «суждение». В английском языке «judgment» зачастую является взаимозаменяемым с «proposition», но, в отличие от последнего, «judgment» может пониматься и как психический акт вынесения суждения, и как само суждение. Авторы стремятся оградить термин «proposition» от этой двусмысленности и строго оговаривают отличие акта вынесения суждения от его содержания (собственно суждения). Русский язык в данном случае не позволяет дать термину «judgment» какой-либо отдельный перевод, однако он позволяет усмотреть описываемую авторами двусмысленность на примере самого термина «суждение». Перевод данного абзаца был скорректирован так, чтобы передать именно эту мысль. – Прим. перев.

11

Употребление кавычек в оригинальном тексте не соответствует современному их использованию в текстах по логике. Кавычки демонстрируют, что речь идет о самом термине, а не о предмете, на который он указывает. Термин без кавычек указывает на сам предмет. Писать «объемом термина «философ» являются «Сократ», «Платон», «Фалес»» – неверно, т. к. объем термина составляют индивиды, а не другие термины. Поэтому следует писать, что в объем термина «философ» входят индивиды Сократ, Платон, Фалес. То же самое распространяется и на другие аналогичные примеры. – Прим. перев.

12

Читателю следует иметь в виду, что в традиционном анализе, которому мы следуем в данном разделе, мы будем главным образом концентрироваться на экстенсиональной интерпретации.

13

Позиция, согласно которой все суждения должны рассматриваться исключительно в субъектно-предикатной форме, исторически связана с определенными философскими интерпретациями природы вещей. Субъект при данном подходе понимается как субстанция, обладающая различными качествами. Задача же всех исследований – это открыть в конкретном субъекте присущие ему предикаты. Так, например, согласно Лейбницу, существует бесконечное множество субстанций, или монад, каждая из которых содержит в себе безграничное число свойств. Эти монады нельзя описать как связанные друг с другом определенным отношением, ибо тогда одна монада являлась бы предикатом другой монады и, следовательно, не была бы самодостаточной. По мнению других философов, например, таких как Брэдли, существует лишь одна субстанция, и любая предикация является утверждением чего-либо, относящегося ко всей реальности, понимаемой как единственный и уникальный индивид. Аристотель же не придерживался ни одной из этих крайних позиций. Он считал, что конечный субъект предикации является некоей конкретной индивидуальной субстанцией и что существует несокращаемое множество таких субстанций. Однако при этом, по его мнению, эти субстанции находились друг с другом в систематическом отношении.

14

В русском языке связка «есть» также может выражаться через глагол «являться», с помощью тире в утвердительных предложениях, а в отрицательных может вовсе не быть выраженной. – Прим. перев.

15

В оригинальном тексте утверждаемое и отрицаемое представлено в виде суждений, т. е. с использованием кавычек, поэтому для сохранения корректности перевода данного предложения для фраз «ни один гражданин не является патриотом», «все граждане являются патриотами» и «некоторые граждане не являются патриотами» кавычки были сохранены. Это, однако, не соответствует современному употреблению кавычек в логике, потому что утверждаемое и отрицаемое в суждении следует отличать от самого суждения и, следовательно, не ставить в кавычки. Ср.: в суждении «снег бел» утверждается, что снег бел. Все сказанное распространяется и на другие аналогичные примеры. – Прим. перев.

16

Утверждаю (лат.). – Прим. перев.

17

Отрицаю (лат.). – Прим. перев.

18

Отрицание в логике также нередко обозначается знаками «¬» или «~», которые ставятся непосредственно перед отрицаемым предложением, чаще всего помещаемым в скобки, или чертой, которая пишется непосредственно над отрицаемым предложением. – Прим. перев.

19

Альтернативное обозначение: «->». – Прим. перев.

20

Конъюнкция также может обозначаться с помощью знаков «?» или «&». – Прим. перев.

21

Строгая дизъюнкция также нередко истолковывается не как отрицание дизъюнкции, а как высказывание, истинное в том случае, когда истинно одно и только одно из составляющих его высказываний, и ложное во всех остальных случаях. – Прим. перев.

22

В логике обычно нестрогая дизъюнкция выражается через союз «или» или «или… или», а строгая дизъюнкция выражается через союз «либо» или «либо… либо». Здесь имеется в виду, что в обыденной речи «или… или» может использоваться в смысле «либо… либо». – Прим. перев.

23

Цит. по: Платон. Протагор // Платон. Собр. соч. В 4-х т. Т. I. М., 1994. С. 475–476.

24

Отношений станет существенно больше, если мы поставим вопрос относительно симметрии и обратимости отношений между суждениями р и q. Так, отношение между гипотезой и ее логическим следствием будет описываться с помощью тетрады: если р истинно, q – истинно; если р – ложно, q – неопределенно; если q истинно, р – неопределенность; если q ложно, р – ложно. Интересным упражнением для студента является задача определить, сколько тетрад данного вида логически возможны.

25

Дальнейшее рассмотрение проверки на независимость суждений и доказательства их независимости будет предпринято в главе VII.

26

Случайно (лат.). – Прим. перев.

27

Также известного как «логический квадрат». – Прим. перев.

28

Здесь и выше цит. по: Руссо Ж.-Ж. Об общественном договоре. Трактаты. М., 1998. С. 198, 201 и 217 соответственно. – Прим. перев.

29

Знак «?» означает «следовательно». – Прим. перев.

30

Сказанное обо всем и ни о чем (лат.). – Прим. перев.

31

Несоответствие оригинального текста современному подходу: не термины, а классы могут содержать друг друга. Поэтому следует писать: «поскольку класс, обозначаемый термином „коммунисты" принадлежит классу, обозначаемому термином „русские". Подробнее см. прим. перев. на с. 64. – Прим. перев.

32

Следует писать: «поскольку класс, обозначаемый термином „бостонцы", не принадлежит классу, обозначаемому термином „парижане". См. прим. перев. на с. 64 и выше на этой странице. – Прим. перев.

33

Moore G. Heloise and Abelard. Vol. I. P. 70.

Конец бесплатного ознакомительного фрагмента.