Декарт научил нас не только сомневаться, но и решать уравнения.
      Ж- Фурье
      Мы уже много раз поминали всуе знак h - постоянную Планка. Пора приступить к делу и показать не на словах, а на формулах, как эта величина участвует в квантовых явлениях. Одновременно это послужит лучшему пониманию того, что представляет собой качественный анализ и как он работает. Мы получим самые важные соотношения квантовой механики, пользуясь только качественными соображениями, отбрасывая несущественные трудности. Мы найдем уровни энергии атома, вращающегося тела, осциллятора и обсудим следствия применения квантовой механики к электромагнитному и другим полям.
      Квантование атома
      Согласно квантовой механике энергия электрона в атоме может принимать только дискретные значения.
      Возможные значения энергии электрона в поле ядра с зарядом Z (для водорода Z = 1) даются выражением
      Разности значений Еп для двух разных п (п = 1, 2, 3…) определяют с большой точностью возможные частоты наблюдаемых на опыте спектральных линий. Эта формула - результат точного решения уравнения Шрё-дингера для волновой функции, описывающей движение электрона. Посмотрим, к чему приводит качественный анализ.
      Как мы уже знаем, идея де Бройля состояла в том, что каждая частица, в данном случае электрон, характеризуется волновым процессом с длиной волны
      где v - скорость частицы. Дискретные значения энергии электрона получаются из условия, чтобы на той длине, на которой движется электрон, укладывалось целое число волн. Если радиус орбиты г, то электрон движется на длине 2лх и n-ному состоянию электрона соответствует условие 2ягД = п или v = hn/mr. Отсюда нетрудно найти кинетическую энергию в n-ном состоянии:
      Полная энергия электрона складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии в поле ядра, которая отрицательна и равна - Ze2/r. Полная энергия:
      Длина г характеризует ту область радиусов, где в основном находится электрон; ее можно оценить из условия, чтобы полная энергия была минимальна. Нетрудно сообразить, что этому соответствуют такие г, при которых первое слагаемое приблизительно равно второму. Действительно, при малых г, когда первое слагаемое больше второго, энергия понижается при увеличении г, а при больших г, когда второе слагаемое много больше первого, г выгодно уменьшать. Точный расчет дает для минимума энергии условие 2T = V. Таким образом, получаем:
      При n = 1 это выражение дает правильную оценку
      для радиуса атома в наинизшем состоянии. Подставляя значение г в выражение для Е_n (r), получим:
      то есть в точности то выражение, которое мы приводили. В действительности электрон может с разной вероятностью находиться на любом расстоянии от ядра. Наше упрощение состояло в предположении, что это расстояние определенное, равное г, и находится из условия минимальности энергии. Разумеется, мы действовали грубо. Поэтому нельзя доверять численному множителю перед формулой. Но все остальное получилось верно! И множитель mZ2e4/h2 и, что особенно важно, зависимость от «квантового числа» n.
      Точное решение потребовало бы знания основного уравнения квантовой механики - уравнения Шрёдин-гера - и очень сложной по школьным понятиям математики. То, что мы нашли, и есть качественное решение, когда результат получается с точностью до неизвестного численного множителя, в несколько раз отличающегося от единицы, но характер зависимости от параметров задачи передается правильно. Качественное решение чрезвычайно облегчает получение точного, поскольку выясняются главные черты явления. Более того, если есть качественное решение, а точного не удается получить аналитически, можно найти его без особых потерь в понимании задачи, с помощью вычислительных машин.

      Как мы сейчас увидим, применение квантовой механики к вращающемуся телу приводит к тому, что момент количества движения может принимать не любые значения, как в классической механике, а значения, кратные величине п. Это относится и к полному моменту, и к его проекции на какую-либо ось. Поэтому вращающееся тело может наклоняться не под всеми углами, а только под некоторыми. Мы уже говорили об этом в разделе о красоте науки, обсуждая внутренние симметрии.
      Для больших тел эта скачкообразность незаметна из-за малости h. Иное дело - в атомах и молекулах, где момент невелик. Это удивительное явление, которое
      188
      было названо «пространственным квантованием», было обнаружено экспериментально еще до создания квантовой механики. В 1922 году Отто Штерн и Вальтер Гер-лах пропускали пучок атомов через неоднородное магнитное поле. Атом представляет собой магнитик с магнитным моментом, пропорциональным угловому моменту. Поэтому атомы с разными проекциями момента на направление магнитного поля по-разному отклоняются. Допустим, момент атома равен единице. Тогда возможны три проекции 1, 0, -1, и после отклонения пучок разобьется на три пучка в соответствии с этими значениями проекции момента. Так и получилось в опыте Штерна - Герлаха.
      Получим пространственное квантование из простых рассуждений.
      Камень у поверхности Земли может совершать три независимых движения: свободное по двум горизонтальным направлениям и ускоренное под действием силы тяжести по вертикали. Спутник, огибающий Землю, тоже совершает три независимых движения - по меридиану, по параллели и по направлению к центру Земли.
      Точно так же у частицы в поле, зависящем не от углов, а только от расстояния до центра (например, ку-лоновское поле ядра), есть три независимых движения: по меридиану, по параллели и по радиусу. Все эти три движения можно квантовать независимо.
      Рассмотрим движение по параллели, ось z направим от Южного полюса к Северному. Найдем соответствующую длину волны частицы. Пусть расстояние до оси вращения р. Тогда
      Здесь M_z- момент количества движения вокруг оси z, или, что одно и то же, - проекция полного момента на ось z. На длине 2 \pi \rho должно уложиться целое число волн, иначе не получится стоячей волны. Совершив полный оборот и придя в ту же точку на параллели, мы должны иметь то же самое значение волновой функции, что и до оборота. Таким образом, 2 \pi \rho=n h, где п - целое число. Из выражения для \lambda получаем:
      Проекция момента есть целое число, умноженное на h. Максимальное возможное значение проекции полу-
      чается, когда полное вращение происходит по оси г. Тогда Mz = M = nmh. Мы получили, что и полный момент квантовой системы есть целое число, умноженное на h.
      Будем измерять момент и его проекцию в единицах h. Мы видим, что проекция момента принимает все возможные целые значения от -M/h до M/h. Для момента M/h = 1, Mz /h = 1,0,- 1.
      Есть частицы, которые благодаря внутреннему движению имеют полуцелый спин (момент, деленный на h); например, спин электрона и протона равен 1/2. Неудивительно, что для описания внутреннего движения частиц наша простая схема не годится. Но наш результат мало изменится, если в полном моменте участвуют частицы со спином 1/2, как в атоме водорода, где есть только один электрон, спин которого не скомпенсирован другими. Полный момент электрона и его проекция принимают не целые значения, а полуцелые. Так, для основного состояния спин электрона в атоме водорода равен 1/2, а проекции: 1/2, -1/2.
      Квантовый осциллятор
      Для применения квантовой механики несущественно, как реализован осциллятор - представляет ли он груз, колеблющийся на пружине, или колебательный контур.
      Обозначим через q «обобщенную» координату осциллятора - это может быть величина смещения груза из положения равновесия или заряд на обкладках конденсатора в случае колебательного контура. Запишем энергию осциллятора в виде суммы кинетической и потенциальной энепгии:
      Величина \beta - «масса», а величина \gamma- «жесткость» осциллятора. Можно представить, что осциллятор - это некая «частица» с массой р, которая колеблется на пружине с жесткостью у. Введем длину волны \lambda волнового процесса, связанного с нашей «частицей»,
      В знаменателе, как и в случае электрона, стоит произведение «массы» на «скорость частицы». Поскольку «частица» движется в области от -q до q, то для того,
      чтобы образовалась стоячая волна, на «длине» 2q должно укладываться целое число полуволн: 2q/(\lavbda/2) =n +1; n = 0,1,2,3. Сначала найдем скорость
      Наинизшее значение п равно нулю - на длине 2q укладывается половина длины волны - максимум посередине и нули на краях. В этом состоянии неопределенность импульса \del p ~p~ \beta q'~h/q , в согласии с соотношением неопределенности.
      Подставляя выражение для скорости в кинетическую энергию, получим:
      А для полной энергии получим:
      Значение q, дающее наименьшую энергию, получится, если приравнять кинетическую и потенциальную энергии:
      Подставляя в выражение для энергии, найдем:
      Действительно, величина sqrt(\gamma/\beta)=\omega представляет собой частоту колебаний классического осциллятора. При точном расчете для энергии получается выражение:
      Таким образом, мы ошиблись только в численном множителе (\pi/2 вместо 1) при n, а также в численном значении энергии наинизшего состояния, когда n =0 = 0 (\pi h \omega/2 вместо h \omega/2). Все остальное получилось правильно! Теперь, когда результат получен, следует задуматься над тем, что мы использовали для его получения и что вытекает из полученных нами выражений для энергии осциллятора и для величины q2.
      Прежде всего мы применили к нашему осциллятору, не интересуясь его устройством, принципы квантовой механики, установленные первоначально для электронов. Конечно, естественно ожидать, что общие принципы должны быть такими же и для других частиц с массой, отличающейся от массы электрона. Такое обобщение с большой точностью подтвердилось опытом. Но почему эти же принципы приложимы и к колебательному контуру, где роль «координаты» играет заряд на обкладках конденсатора? Здесь мы использовали предположение, которое много раз применялось в теоретической физике XX века. Если две системы имеют энергию, одинаково зависящую от координат и скоростей, то все свойства таких систем совершенно одинаковы, какой бы смысл ни имели «координаты» и «скорости».
      Не было ни одного примера, где бы это предположение противоречило опыту. Поэтому мы вправе считать, что решили задачу о применении квантовой механики сразу для всех возможных осцилляторов.
      Что означают полученные результаты? Как они переходят в формулы классической механики? Прежде всего мы получили, что энергия изменяется не непрерывно, а порциями величины h \omega. Правда, величина h очень мала (в системе CGS h=10-27 эрг-с), и для обычных макроскопических осцилляторов эта скачкообразность практически ненаблюдаема. Правильность выражения для энергии осциллятора проверена с большой точностью для многих видов осцилляторов.
      Но мы получили еще одно важное свойство квантового осциллятора. Когда энергия минимальна, классический осциллятор находится в покое в положении равновесия, между тем как квантовый в наинизшем состоянии при п = 0 совершает колебания - «нулевые колебания». Кинетическая и потенциальная энергии этих колебаний порядка h \omega. Среднее значение координаты осциллятора равно нулю, а среднее значение квадрата координаты дается приведенной выше формулой. Это замечательное свойство квантовых осцилляторов хорошо проверено на опыте и чрезвычайно важно для современной физики.
      Если рассмотреть звуковые колебания твердого тела как набор квантовых осцилляторов, то мы получим, что прн абсолютном нуле температуры атомы твердого тела не неподвижны, а совершают нулевые колебания. Это подтвердили опыты по рассеянию света при низких температурах! Если же теперь мы рассмотрим электромагнитные волны как набор осцилляторов в пустом пространстве, то придем к заключению, что в пустоте, даже когда в ней нет ни частиц, ни квантов, должны происходить «нулевые колебания» электромагнитного поля. И эти колебания были также обнаружены на опыте! Но этот вопрос требует более подробного обсуждения.
      Квантование поля
      Что же такое квант? Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы ответить на этот вопрос. Мы ввели без объяснения несколько терминов: квантование; волновой процесс, связанный с частицей; квантовый осциллятор… Начали действовать, не очень их понимая, и тем не менее знаем теперь, как зависит энергия уровней атома водорода от квантового числа п; узнали, что квантовый осциллятор в наинизшем энергетическом состоянии колеблется, и даже стали применять результаты квантования осциллятора к такому объекту, как колебания электромагнитного поля в пустоте. А потом неожиданно обнаружили, что начали понимать! Это пример того, как возникает понимание в процессе работы. Ведь если бы мы попытались добиться полного понимания до того, как начали наши простые вычисления, ничего бы не получилось.
      Но что же такое квант? Пусть имеются два металлических экрана, расположенных параллельно друг другу. Тогда между ними можно возбудить стоячую электромагнитную волну. Как это делается? Вы знаете, что от антенны радиопередатчика бегут электромагнитные волны, которые, попадая на антенну приемника, превращаются в конечном счете в звук в репродукторе или в изображение на экране телевизора. Представим себе, что такая волна попала в пространство между металлическими экранами и распространяется перпендикулярно им. Если между экранами укладывается целое число полуволн, то возникает стоячая волна. Такая волна возникает и в струне. Если вы дернете закрепленную струну, по ней побегут волны, но после отражения от места закрепления установится стоячая волна или несколько стоячих волн разной длины.
      Допустим, мы возбуждаем основной тон электромагнитной волны между экранами. Тогда в средней точке амплитуды напряженности электрического и магнитного полей будут максимальны, и поля в этой точке будут периодически колебаться. Но если какая-то величина периодически колеблется, это означает, что мы имеем дело с осциллятором, надо только выбрать подходящую обобщенную координату. Для нашего осциллятора можно считать координатой напряженность электрического поля в средней точке, и роль скорости при этом будет играть магнитное поле, величина которого пропорциональна скорости изменения электрического поля. Вспомните пример колебательного контура, где потенциальная энергия осциллятора была пропорциональна квадрату заряда конденсатора, то есть квадрату электрического поля, а кинетическая энергия - квадрату магнитного поля в катушке.
      Ясно, что к этому осциллятору применимы те же принципы квантования, что и к любому другому. А раз так, то энергия нашей стоячей волны может изменяться порциями h \omega.
      Если расстояние между экранами l, то для основного тона имеем:
      Ведь длина волны связана с периодом Т соотношением \lambda = сТ, а период связан с частотой со по формуле Т = 2\pi/\omega.
      Если волна находится в состоянии с п = 0 (наинизшее состояние), то говорят, что между экранами нет квантов. Если же волна перешла в состояние с n = 1, то говорят, что появился один квант с длиной волны\lambda = 21.
      Аналогичный результат можно получить и для любого обертона, когда на расстоянии / укладывается m полуволн. Если nm-номер возбужденного состояния га-той волны, то говорят, что имеется nm квантов с длиной волны \lambdaт = 21/т. Таким образом, номер обертона, определяющего длину волны, задает сорт квантов (квант сданной длиной волны), а номер возбуждения nm дает число квантов данного типа. Обычно принято характеризовать кванты не длиной волны, а величиной, которая называется «волновым вектором».
      Эта величина просто связана с длиной волны: k=2\pi/\lambda(\omega=ck).
      Рассмотрим теперь бегущую волну. В этом случае тоже происходят периодические колебания, и энергия для каждого волнового вектора к имеет вид, полагающийся для осциллятора. Энергия волны опять определяется формулой E_n=(n+1/2)h \omega и изменяется порциями величины h \omega, но в отличие от стоячей волны бегущая обладает количеством движения, что видно из того, что она при поглощении крылышками радиометра дает им импульс и заставляет вращаться. Поэтому, когда номер возбуждения бегущей волны с волновым вектором к увеличивается на единицу, это означает появление кванта с энергией \varepsilon = h \omega и импульсом - количеством движения- р = h \omega/c. Последнее соотношение представляет собой уже известную нам дебройлевскую связь импульса с длиной волны.
      Таким образом, для бегущей волны кванты света можно считать дебройлевскими частицами, с которыми связан волновой процесс, тогда как у кванта стоячей волны средний импульс равен нулю.
      Разумеется, нам не удалось добиться полного понимания, но все-таки на вопрос: что же такое световой квант, мы теперь можем дать ясный ответ. Это порция энергии электромагнитной волны с данным волновым вектором.
      Эта волна есть квантовый осциллятор.
      Кроме того, нам теперь понятно, что такое нулевые колебания электромагнитного поля - это нулевые колебания квантовых осцилляторов, которые соответствуют электромагнитным волнам со всевозможными волновыми векторами - каждому волновому вектору соответствует свой осциллятор.
      Применение квантовой механики к другим полям дает аналогичные результаты. Существуют нулевые колебания, то есть флюктуации всех возможных полей в основном состоянии - в состоянии с наинизшей энергией, колебания, состоящие в появлении и исчезновении электрон-позитронных, нуклон-антинуклонных и других пар, пионов и других мезонов. Как и фотон, эти частицы возникают как возбужденные состояния соответствующего поля. Кроме того, существуют поля, которые нельзя считать составленными из частиц, как, например, статическое электрическое или магнитное поле. Понятие поля шире понятия частиц.
      Чтобы достичь более глубокого понимания, надо самому решать задачи физики. Пассивное изучение дает лишь слабое представление о тех красотах, которые открываются при самостоятельной работе.

      Три далеких друг от друга объекта физического исследования в действительности теснейшим образом связаны между собой.
      Изучение свойств пустоты - пространства, свободного от частиц, - как физической среды позволяет предсказать неустойчивость вакуума в сильных полях. Из-за этой неустойчивости возникает перестройка вакуума; она, в свою очередь, приводит к неустойчивости ядерного вещества при большой плотности; тогда могут образоваться аномальные ядра со свойствами, непохожими на свойства обычных атомных ядер. А это явление влечет за собой взрыв звезд, имеющих ядерную плотность, - материя звезды разбрасывается и может предохранить звезду от превращения в «черную дыру».
      Так все области физики переплетаются в один клу
      бок и являют конкретное воплощение того единства природы, о котором мы говорили в главе «О красоте науки».
      КАК УСТРОЕНА ПУСТОТА?
      Там сверкание новых огней и
      невиданных красок, И мираж ускользающий Ждет, чтобы плоть ему дали и дали
      названье…
      Г. Аполлинер
      Что находится между телами? Что останется, если идеальный насос удалит из-под воздушного колокола все частицы? Не есть ли пространство, в котором движутся молекулы, атомы, протоны, нейтроны, электроны, кванты, всего лишь абстрактное понятие - пустота? Оказывается, нет. Наше физическое пространство, или вакуум, - не просто геометрический объект, не ящик для физических тел, а сложная физическая система, обладающая интереснейшими свойствами, совершенно непохожими на свойства твердых сред, жидкостей или газов.
      Богатство этого физического объекта открылось с развитием физики последних десятилетий. Именно изучение пустоты соприкасается с самыми глубокими понятиями научного познания, такими, как причинность, связь геометрии с материей, свойства симметрии полей и частиц, связь с ними законов сохранения. Но начнем сначала.
      Можно ли толкнуть не прикасаясь?
      Мы привыкли к тому, что тела действуют друг на друга при соприкосновении. От камня, брошенного в воду, бежит волна и заставляет колебаться плавающие ветки. Воздействие в волне передается от точки к точке. Звук распространяется за счет передачи давления от одного объема среды к соседнему, в пустом пространстве звука нет. Чтобы попасть в цель, нужно пустить стрелу или бросить камень. Но как объяснить, почему железные опилки на расстоянии притягиваются к магниту, а кусочки бумаги подскакивают к наэлектризованной гребенке? Почему камень притягивается к Земле, хотя между ними нет натянутой пружины?
      Вот естественное объяснение: в пространстве вблизи заряженных тел, или магнита, или на поверхности Земли состояние пустоты изменяется. Это измененное состояние называется полем, оно и действует на заряженное тело, магнит, камень, заставляя их двигаться. Во всех трех случаях поля разные: электрическое, магнитное, поле силы тяжести, но каждый раз сила передается через пустое пространство от точки к точке, как через невидимую жидкость. Такой механизм передачи воздействия называется близкодействием.
      Современная физика стоит на точке зрения близко-действия: все воздействия передаются от точки к точке с помощью полей. Однако физики не сразу пришли к этой естественной картине.
      Существовала и другая точка зрения: в пространстве ничего не происходит, а есть сила, мгновенно передающаяся на расстоянии от одного тела к другому, - такова теория дальнодействия.
      Идея дальнодействия получила особенно широкое распространение во времена Ньютона, когда он создал закон всемирного тяготения. Предположение о мгновенной передаче воздействия от одного тела к другому не помешало Ньютону получить законы движения небесных тел, с огромной точностью совпадающие с наблюдениями. И теперь мы знаем почему - небесные тела движутся с малыми скоростями, а гравитационное воздействие проходит расстояние между ними со скоростью света и кажется мгновенным.
      Однако возникли серьезные затруднения со свойствами света: было известно, что свет распространяется с конечной скоростью. Кроме того, свет проходит все промежуточные точки на линии светового луча. Особенно хорошо это видно в тумане, когда пучок света прослеживается. Ньютон вышел из этого затруднения, выдвинув «корпускулярную теорию света» - светящееся тело испускает частицы - корпускулы, - которые и передают свет. При таком взгляде распространение света не противоречит идее дальнодействия.
      Но представление о частицах, передающих свет, оказалось вовсе не таким невинным: его очень трудно согласовать с волновыми свойствами света, такими, как интерференция (вспомните радужные пятна на воде, это взаимодействие света, отраженного от воды и от масляной пленки) и дифракция (свет вблизи препятствия изгибается тем больше, чем больше длина волны). Ньютон пытался, но не смог убедительно соединить корпускулярную и волновую картины.
      Сейчас мы знаем, что в пустоте все взаимодействия - электрическое, магнитное, гравитационное, ядерное - передаются от точки к точке со скоростью, не превышающей скорость света. Если мы сдвинули одно тело за очень короткое время, сила тяжести, действующая на другое, должна измениться. Но если это другое тело далеко, то пройдет много времени, прежде чем оно получит толчок. Где же находится возмущение, когда первое тело уже не движется, а второе еще не имеет сведений о его новом положении? На этот вопрос теория даль-нбдействия не может разумно ответить.
      Поэтому многие физики отказались от идеи дальнодействия. Для объяснения передачи воздействия на расстоянии была придумана специальная среда - эфир,- заполняющая все пространство между телами. Воздействие передается за счет того, что вокруг заряженных и намагниченных тел эфир деформируется, и в этом причина силы, действующей на другое заряженное или намагниченное тело. Свет распространяется в эфире как звук в твердом теле. Деформация эфира передается от точки к точке.
      Дальнейшее развитие физики подтвердило правильность этого объяснения. Пришлось только исправить представление об устройстве эфира. Вплоть до начала XX века физики пытались строить эфир по образу и подобию известных твердых и жидких тел, между тем как это среда особого рода, свойства ее следует изучать не по аналогии с известными примерами, а сами по себе.
      Электромагнитные свойства пустоты
      Джеймс Максвелл своими удивительными уравнениями (1878 г.) объединил различные разделы физики: оптику, электричество, магнетизм. У него были могучие предшественники: прежде всего Майкл Фарадей, открывший в 1830 году закон электромагнитной индукции.
      Если изменять магнитное поле, то в проволочном кольце, окружающем магнитный поток, возникает электрический ток. Каждый знает, что на этом основаны динамо-машины - движение магнита создает ток. Как абстрактно выглядело это явление в те времена! И как быстро оно превратилось в основу для строительства современных электростанций, питающих светом и энергией громадные города!
      Появление тока от переменного магнитного поля означает, что в пространстве вокруг магнитного потока возникает охватывающее его кольцевое электрическое поле.
      Еще в 1820 году Ханс Эрстед обнаружил, что ток, текущий по проводнику, создает вокруг себя кольцевое магнитное поле. Что будет, если изменять периодически напряжение электрического поля, создающего ток в проводнике? Получится переменный ток и переменное магнитное поле.
      Гениальная догадка Максвелла состояла в том, что магнитное поле создается не только движением зарядов, но и самим переменным элекрическим полем, аналогично тому, как электрическое поле создается переменным магнитным. Если в какой-нибудь области пустого пространства изменять электрическое поле, то вокруг этой области возникнет переменное магнитное поле.
      Итак, у пустоты есть два новых замечательных свойства - переменное магнитное поле создает переменное электрическое, а переменное электрическое поле создает переменное магнитное. Но из этих двух свойств следует третье, не менее важное, - распространение в пустоте электромагнитных волн. Действительно, переменное электрическое поле, возникшее вблизи антенны радиопередатчика, образует вокруг себя меняющееся с такой же частотой магнитное поле, а оно, в свою очередь, по закону Фарадея создает уже в соседнем месте переменное электрическое поле. Так это возмущение вакуума распространяется по всем направлениям.