Проблемы 2000 года: гипотеза Ходжа

Можно ли свести изучение множества решений полиномиального уравнения к изучению более простых объектов? Об этом нe только гипотеза Ходжа. Из подобных вопросов выросла вся алгебраическая геометрия.

Писать популярную статью о гипотезе Ходжа — задача неблагодарная. Пишешь о гипотезе Римана — к твоим услугам и богатая история вопроса, и интересные взаимосвязи с массой других областей, и долгая история численных экспериментов, поднимающихся уже в высоты совершенно заоблачные. Пишешь об уравнениях Навье-Стокса — тоже затруднений не испытываешь: разве не интересно узнать, как вода течет и воздух движется? Да и сами уравнения Навье-Стокса вовсе не выглядят зубодробительными и доступны человеку, прошедшему курс высшей математики, даже если он на лекциях играл в крестики-нолики и экзамен сдал на тройку. А вот алгебраическая геометрия, смысл и задачи которой, может, и нетрудно понять, но преподавание которой не налажено практически нигде[Говорю по собственному опыту. На математико-механическом факультете СПбГУ алгебраической геометрией занимается множество преподавателей (ибо наука очень важная и популярная), но в базовые курсы она не входит и преподается исключительно в рамках спецкурсов и в личных беседах. В связи с этим — спасибо Александру Леонидовичу Смирнову за беседу и лекцию, которые помогли мне при написании этой статьи], — совсем другое дело… Поэтому предупреждаю сразу: в этой статье даже толково сформулировать гипотезу Ходжа не получится. Поговорим мы в основном об алгебраической геометрии — что это, зачем и куда оно движется.

Алгебраическая геометрия

Всем известно, что полиномиальные уравнения с одной переменной решаются по явным формулам — вплоть до четвертой степени. Для более высоких — нет. А ведь уравнения от одной переменной — это еще цветочки. Надо что-то делать и с уравнениями от многих переменных, что принципиально сложнее: ведь у них, как правило, бесконечно много решений. Алгебраическая геометрия возникла из задач описания структуры решений таких уравнений.

Приведу пример довольно сложного для анализа уравнения с тремя переменными: xn+yn—zn=0, где x, y, z — целые числа (его обычно переписывают с двумя переменными — x

+yn—1=0, но разрешают переменным принимать рациональные значения). Структура решений этого уравнения известна: у каждого из решений одна из компонент — x, y или z — равна 0. Однако для установления этого факта потребовалось более трехсот пятидесяти лет: от заметки на полях «Арифметики» Диофанта до доказательства Эндрю Уайльса (Andrew Wiles, см. врезку).

Алгебраические геометры и Филдсовская премия

Как известно, математикам не дают Нобелевскую премию (говорят, у Нобеля были весьма интимные счеты с одним математиком — впрочем, это всего лишь слухи). Возмущенный этой несправедливостью, канадский математик Джон Чарльз Филдс (John Charles Fields) предложил учредить для математиков отдельную награду, которая теперь так и называется — Филдсовская премия (по-английски — Fields Medal; почему при переводе медаль зачастую становится премией и так и попадает в словари, мне выяснить не удалось). Впервые она была присуждена в 1936 году, и всего было выдано 45 медалей представителям самых разных областей математики. Многие из них занимались среди прочего алгебраической геометрией. Но даже медалей, выданных исключительно за достижения в алгебраической геометрии, набрался целый десяток — кажется, больше, чем в любой другой области математики. Вот имена этих лауреатов:

1954: Кунихико Кодаира;

1966: Александр Гротендик (Alexander Grothendieck; о его жизни можно писать отдельную статью, и преувлекательно выйдет — например, говорят, что сейчас он живет отшельником где-то в Пиренеях, но точно никто ничего об этом не знает; а в математике это фигура примерно уровня Эйнштейна в физике);

1970: Хейсуке Хиронака;

1974: Дэвид Мамфорд (David Mumford);

1978: Даниэль Квиллен (Daniel Quillen)

и Пьер Делинь (Pierre Deligne);

1986: Герд Фалтингс (Gerd Faltings);

1990: Владимир Дринфельд и Шигефуми Мори;

2004: Лоран Лаффорг (Laurent Lafforgue) и Владимир Воеводский.

У Филдсовской премии есть одно строгое ограничение, которого нет у Нобелевской: лауреат должен быть не старше сорока лет. Именно это ограничение не позволило вручить заслуженную медаль Эндрю Уайльсу (Andrew Wiles), который доказал великую теорему Ферма. Точнее говоря, он доказал более общее утверждение о связи модулярных и эллиптических форм — гипотезу Таниямы-Шимуры. История доказательства теоремы Ферма тоже на редкость интересна — Эндрю Уайльс несколько лет работал над проблемой, никому не рассказывая о том, чем занимается… Советую прочесть книгу о теореме Ферма (rrc.dgu.ru/res/mikel.altonika.ru/fermat/flt.htm). Если отвлечься от постоянных лирических отступлений на математические забавности, к теореме Ферма имеющие весьма опосредованное отношение, чтиво очень интересное.

Алгебраическая геометрия в современной математике играет ведущую роль. Ее проблемы стимулируют развитие и алгебры, и геометрии с топологией, и теории чисел, и многих других отраслей математического знания. Из семи «задач на миллион» три имеют непосредственное отношение к алгебраической геометрии — гипотеза Ходжа, гипотеза Берча-Суиннертон-Дайера и гипотеза Римана. Фактически алгебраическая геометрия — самый популярный и быстро развивающийся фронтир сегодняшней «чистой математики» (если не относить к чистой науке вопросы теоретической информатики).

Инварианты и гипотеза Ходжа

Центральное понятие, предопределяющее структуру подавляющего большинства исследований в алгебраической геометрии, — это понятие инварианта. Идею инвариантов понять легко. Предположим, что есть два объекта (в данном случае — два множества решений тех или иных уравнений), и нужно выяснить, равны ли они. Сделать это очень сложно, если вообще возможно, — как сравнивать? Но можно установить некоторые свойства объектов, и если эти свойства окажутся не идентичными, то и исходные объекты, очевидно, не равны. Например, проверить, совпадают ли два текста, можно, сравнив их объем. Если размер текстов отличается — в них можно и не заглядывать. В алгебраической геометрии одними из простейших инвариантов являются размерность или связность искомого множества.

Обратное, разумеется, неверно: из равенства двух инвариантов нельзя ничего заключить о равенстве исходных объектов. Но и такое частичное знание — уже хорошо. А полное счастье настанет, если все же удастся доказать обратное утверждение (иными словами, если избранный набор инвариантов будет однозначно задавать исходный объект). Гипотеза Ходжа — как раз одно из таких заманчивых утверждений. Если она окажется верной, изучение большого и сложного класса алгебраических многообразий (так называют множества, составленные из кусочков, каждый из которых является множеством решений каких-либо полиномиальных уравнений) фактически сведется к изучению гораздо более простых объектов.

Теперь о текущем статусе гипотезы. В предыдущих статьях мы говорили о гипотезе Римана и уравнении Навье-Стокса. В гипотезу Римана верят все математики. В единственность решения уравнений Навье-Стокса — тоже (по крайней мере, при достаточных для практических применений условиях). Гипотеза Ходжа выбивается из этого ряда. Долгое время верили, что она верна — но доказать это никак не удавалось. В последние годы многие математики предположили, что доказательство не удается найти просто потому, что гипотеза неверна — но контрпримеров пока построить тоже не удалось. Никаких численных экспериментов в этой задаче провести невозможно. Утверждение гипотезы доказано для ряда частных случаев, но на то они и частные. Если же контрпример будет построен, вряд ли он будет иметь очень простой вид. В общем, гипотеза Ходжа пока что открыта со всех сторон.

ТЕХНОЛОГИИ: Что такое Веб 2.0

Крах доткомов осенью 2001 года стал для веба поворотным пунктом. Многие решили, что феномен веба был слишком раздут, хотя, на самом деле, «мыльные пузыри» и, как результат этого, падение акций — неизбежно сопутствуют всем технологическим революциям. Падение акций обычно происходит тогда, когда новая технология готова занять центральное место на сцене. На волне поднимаются и мошенники, и те, кто действительно добился успеха, — и в какой-то момент приходит понимание, чем первые отличаются от вторых.

Концепция Веба 2.0 родилась на совместном мозговом штурме издательства O’Reilly Media и компании MediaLive International. Веб-пионер и вице-президент O’Reilly Дейл Дагерти (Dale Dougherty) отметил, что сам-то веб далек от краха и даже более важен, чем раньше, раз уж впечатляющие новые приложения и сайты появляются с завидной регулярностью. Больше того, у фирм, переживших коллапс, было нечто общее. Может быть, в результате доткомовского краха имеет смысл говорить о Вебе 2.0. Мы решили, что так и есть. Так родилась Web 2.0 Conference.

За полтора года термин «Веб 2.0» прижился (более 9,5 млн. ссылок в Google). Но относительно того, что он обозначает, в товарищах согласья нет. Одни приняли новую концепцию, другие полагают, что это бессмысленный маркетинговый термин.

Я постараюсь объяснить, что мы имеем в виду, говоря о Веб 2.0.

На нашей первой встрече, мы определяли Веб 2.0, отталкиваясь от конкретных примеров (см. табл.).

Список все увеличивался и увеличивался. Но почему одно приложение мы отнесли к Вебу 1.0, а второе — к категории Веб 2.0? (Это важный вопрос, поскольку Веб 2.0 стал настолько популярным, что многие компании используют сегодня этот термин в своем маркетинге, зачастую даже не понимая, что он означает. С другой стороны, этот вопрос не так уж прост, потому что множество падких на красивые термины стартапов не имеют никакого отношения к Вебу 2.0, тогда как отдельные приложения, которые мы считаем Вебом 2.0, даже веб-приложениями не являются — например, Napster и BitTorrent.)

Анализируя наиболее успешные проекты Веба 1.0 и самые интересные новые приложения, мы попытались выделить основные принципы Веба 2.0.

Веб как платформа

Как многие важные концепции, Веб 2.0 не имеет четких границ. Это, скорее, центр притяжения. Вы можете представить себе Веб 2.0 как множество правил и практических решений. Они объединены в некое подобие солнечной системы, состоящей из узлов, каждый из которых построен с учетом некоторых или всех описанных правил и находится на определенной дистанции от центра.

На рисунке показана карта Веба 2.0, созданная нами во время мозгового штурма на конференции FOO Camp. Ее нельзя назвать завершенной, но она иллюстрирует многие ключевые идеи Веба 2.0.

К примеру, на первой конференции Веб 2.0 в октябре 2004 мы с Джоном Баттелем (John Battelle) озвучили предварительный список правил в совместном выступлении, открывающем конференцию. И первое правило гласит: «Веб как платформа». Конечно, еще до нас об этом навзрыд говорил Netscape, сгоревший в жаркой битве с Microsoft. Больше того, две компании из нашего списка Веб 1.0 — Akamai и DoubleClick — также были среди первопроходцев, рассматривавших веб как платформу. Люди нечасто воспринимают эти компании как поставщиков веб-сервисов, но, на самом деле, демонстрация рекламы — это первый широко распространенный веб-сервис, первый широко распространенный «mash-up» (если использовать термин, завоевавший в последнее время популярность). Каждый баннер доставлялся пользователю в результате незаметной кооперации двух сайтов, совместно формирующих страницу для показа. Akamai также рассматривал сеть как платформу, и даже на более низком уровне: обеспечивая незаметное кэширование и построив сеть доставки контента, чтобы снизить нагрузку на сайты своих клиентов.

Последователи DoubleClick и Akamai не только использовали наработки этих компаний, но пошли дальше, глубже чувствуя истинную природу новой платформы. Обе компании можно считать пионерами Веб 2.0, хотя ниже мы увидим, как более полно реализовать возможности веба за счет использования новых подходов.

Давайте внимательно рассмотрим три примера, чтобы понять, чем, по сути, старые компании отличаются от новых.

Netscape vs. Google

Если Netscape был флагманом Веба 1.0, то Google, конечно, — общепризнанный флагман Веба 2.0. <…> Так что давайте сравним сами компании и их позиционирование.

Netscape твердил о «вебе как платформе» в терминах старой софтверной парадигмы: главным продуктом компании был веб-браузер (настольное приложение), и стратегия Netscape заключалась в использовании своего доминирующего положения на рынке браузеров для продвижения дорогостоящих серверных продуктов. Контроль над стандартами отображения контента и браузерных приложений мог, в теории, обеспечить Netscape такое же место, какое Microsoft завоевала на рынке ПК. Автомобили когда-то рекламировали как «безлошадные экипажи». Точно так же, отталкиваясь от знакомых концепций, Netscape продвигал «вебтоп» на место «десктопу», предполагая подпитывать вебтоп данными и приложениями от провайдеров контента (которые купят у Netscape серверы).

В итоге и веб-браузеры, и веб-серверы превратились в нечто обыденное, а акцент переместился «к вершине стека», к веб-сервисам.

Google, напротив, был веб-приложением от рождения. Это сервис, за доступ к которому прямо или косвенно платили пользователи. Ни одна из привычных ловушек старой софтверной индустрии ему была не страшна. Вместо запланированных релизов — постоянное улучшение продукта. Вместо лицензирования или продаж — просто использование. Нет нужды заботиться о портировании ПО на другие платформы — все, что нужно для запуска Google, — это расширяемый массив из обыкновенных ПК с запущенной открытой ОС да собственные приложения и утилиты, которых никто за пределами компании не увидит. Фактически стоимость ПО была пропорциональна масштабу и динамичности данных, с которыми оно помогало управляться.

Сервис Google это не сервер, хотя доставка сервиса обеспечивается массивом интернет-серверов, — и не браузер, хотя пользователь получает доступ к сервису именно через него. И это не прославленный поисковик, хранящий контент, позволяющий пользователю осуществлять поиск. Как и телефонный звонок, который случается не на концах телефонной линии, а в сети между ними, сервис Google осуществляется в пространстве между браузером, поисковиком и целевым сервером, на котором содержится искомое. Google — это посредник между пользователем и его/ее онлайновым опытом.

И хотя Google и Netscape — софтверные компании, очевидно, что Netscape принадлежит к миру Lotus, Microsoft, Oracle, SAP и прочих фирм, чьи истоки — в софтверной революции 80-х, тогда как Google и иже с ним — это интернет-приложения (как eBay, Napster и, чего уж там, DoubleClick и Akamai).

DoubleClick vs. Overture and AdSense

Как и Google, DoubleClick — это истинное дитя интернет-эры. Компания рассматривает ПО как услугу, умеет управлять данными и, как отмечено выше, предоставляла доступ к веб-сервисам задолго до того, как этот термин был придуман. Однако DoubleClick очень жестко ограничена своей бизнес-моделью. В 90-х считалось, что веб — это, прежде всего, публикация контента, а не взаимодействие; что правят бал не потребители, а рекламодатели; что размер имеет значение и Интернет, по большому счету, будет состоять из раскрученных веб-сайтов, чья популярность измерена MediaMetrix или другим веб-аудитором.

В результате DoubleClick с гордостью упоминает на собственном сайте о «более чем 2000 успешных установках» своего ПО. Yahoo! Search Marketing (ранее Overture) и Google AdSense в то же самое время обслуживают сотни тысяч рекламных площадок.

Overture и Google добились успеха, потому что поняли концепцию «длинного хвоста» (терминология Криса Андерсона) — «коллективной мощи маленьких сайтов, которые поставляют значимую часть контента». Предложение DoubleClick подразумевает подписание официального контракта, ограничивая рынок до нескольких тысяч крупных сайтов. Overture и Google отыскали способ размещения рекламного модуля практически на любой странице. Больше того, они предпочли рекламным форматам, ориентированным на издателей и агентства (баннеры, поп-апы), менее навязчивые, привязанные к контексту и дружелюбные к пользователю текстовые рекламные блоки.

Урок Веба 2.0: сделайте упор на пользовательские сервисы и алгоритмическую обработку данных, чтобы дотянуться до самых краешков веба, обращайте внимание не только на голову, но и на хвост. <…>

Неудивительно, что другие истории успеха Веба 2.0 демонстрируют нам примерно то же поведение. eBay разрешил единичные транзакции стоимостью в несколько долларов между физическими лицами, исполняя роль автоматического посредника. Napster (хотя и был закрыт из-за проблем с законом) построил свою сеть, не пытаясь создать общую централизованную базу данных, но спроектировав всю систему так, что каждый клиент становился также и сервером, способствуя тем самым росту сети[Вообще говоря, закрыть Napster технически стало возможно только потому, что полностью от централизованности создателям сервиса отказаться не удалось. — Прим. ред.].

Akamai vs. BitTorrent

Как и DoubleClick, Akamai был оптимизирован для работы с головой, а не хвостом, ориентирован на центр, а не на окраины. Несмотря на то что сервис Akamai работал на благо тех, кто находился в конце «длинного хвоста», облегчая им доступ к популярным сайтам, деньги свои компания получала именно от сайтов.

BitTorrent, как другие пионеры P2P-движения, сделал следующий шаг к децентрализации Интернета. Каждый клиент является и сервером, файлы разбиваются на фрагменты, которые могут быть загружены из разных источников, незаметно принуждая пользователей предоставлять друг другу каналы и данные. Чем популярнее файл, тем быстрее он может быть доставлен, так как больше пользователей обеспечивает суммарную пропускную способность и больше фрагментов целого файла доступно в Сети.

Таким образом BitTorrent демонстрирует нам ключевой принцип Веб 2.0: чем больше людей использует сервис, тем автоматически он становится лучше. Если Akamai вынужден добавлять серверы для улучшения качества услуг, то каждый пользователь BitTorrent приходит на вечеринку со своими ресурсами. Это имплицитная «партнерская архитектура», встроенная этика кооперации, согласно которой сервис действует в первую очередь как разумный посредник, соединяющий края друг с другом и использующий для этого ресурсы самих пользователей.

Использование коллективного разума

Главный принцип, лежащий за успехом гигантов, рожденных в эпоху Веба 1.0, гигантов, которые выжили и сделали Веб 2.0 таким, какой он есть, заключается в том, что они усилили веб-технологии за счет коллективного разума:

В основе веба лежат ссылки. Когда пользователи создают новый контент и новые сайты, они с помощью пользователей, обнаруживших этот контент и поставивших на него ссылки, попадают в структуру веба. Во многом это напоминает формирование синапсов в мозге, когда ассоциации закрепляются за счет многократного повторения или яркости переживаний: точно так же паутина связей разрастается за счет коллективной активности всех веб-пользователей.

Yahoo! — первая успешная интернет-компания. Она родилась как каталог или как директория ссылок — результат старательной работы тысяч, а затем и миллионов пользователей. И хотя Yahoo! с тех пор диверсифицировала свой бизнес, создавая самый разный контент, собранная пользователями коллекция до сих пор является ее главным активом.

Прорыв Google в поиске, в мгновение ока сделавший компанию безоговорочным лидером рынка, был основан на PageRank, методе, использующем для обеспечения наилучших результатов прежде всего ссылочную структуру веба, а не характеристики проиндексированных документов.

Продукт eBay — коллективная активность всех пользователей. Как и сам веб, eBay рос вместе с ростом пользовательской активности, и роль компании — это роль открывателя контекста, в котором может реализоваться пользовательская активность. Больше того, конкурентное преимущество eBay заключается исключительно в критической массе продавцов и покупателей.

Amazon торгует теми же товарами, что и его конкуренты. У них те же описания продуктов, те же изображения обложек и тот же редакторский контент от производителей. Но Amazon научился привлекать пользователей. У Amazon на порядки больше пользовательских обзоров; приглашения поучаствовать в работе сервиса размещены буквально на каждой странице — и что еще важнее, компания использует пользовательскую активность для обеспечения более качественных результатов поиска. Если поиск на Barnesandnoble.com обычно ведет на собственные продукты компании или проплаченные результаты, то результаты поиска на Amazon — это самые востребованные продукты, популярность которых вычисляется в реальном времени не только на основании продаж, но и с учетом других факторов, которые работники Amazon называют flow (поток). Неудивительно, что Amazon, на порядки опережающий конкурентов по активности пользователей, опережает их и в финансовом отношении.

Перечислим значимые инновационные компании, сделавшие ставку на взаимодействие с пользователями:

Wikipedia, онлайновая энциклопедия, построенная вокруг неправдоподобной идеи, что энциклопедическая статья может быть добавлена любым пользователем и отредактирована другим. Радикальный эксперимент в области доверия, на практике применивший афоризм Эрика Реймонда (Eric Raymond) «у семи тысяч нянек — дитя в шоколаде»[Фраза была сказана в контексте open source проектов] для создания контента. Wikipedia уже сейчас находится в первой сотне вебсайтов, и многие думают, что вскоре она окажется и в первой десятке. Чрезвычайное изменение в динамике создания контента!

Такие сайты, как del.icio.us и Flickr. Обе компании, оказавшиеся в последнее время в центре внимания, первыми представили концепцию, которую некоторые называют «фолксономией» (в противоположность таксономии), то есть совместной категоризацией сайтов с использованием свободно выбираемых ключевых слов (тегов). Расстановка тегов позволяет выйти за жесткие рамки категорий и использовать множественные, перекрывающиеся ассоциации, наподобие тех, что создает наш собственный мозг. В каноническом примере размещенный на Flickr снимок щенка может быть помечен и как «щенок», и как «милый» — что облегчает последующий поиск информации.

Создаваемые совместно спам-фильтры (такие как Cloudmark) собирают мнения пользователей электронной почты, что является спамом, а что нет, и работают лучше, чем системы, полагающиеся на анализ самих сообщений.

Общеизвестно, что самые успешные интернет-проекты не рекламировались. Своей популярностью они обязаны «вирусному маркетингу», «сарафанному радио». И если сайт или продукт зависит от обычной рекламной кампании, то скорее всего это не Веб 2.0.

Даже большая часть самой инфраструктуры веба — включая Linux, Apache, MySQL и Perl, PHP или Python — обязана P2P-методам открытых исходников, которые сами по себе есть примеры результатов коллективной, возможной благодаря сети интеллектуальной деятельности. На SourceForge.net больше ста тысяч проектов в открытых исходниках. Каждый может добавить проект, любой способен загрузить и использовать код, и новые проекты мигрируют от краев к центру, если пользователи начинают их использовать.

Естественный процесс распространения программного обеспечения полностью обеспечивается вирусным маркетингом.

Урок: сетевые эффекты от взаимодействия с пользователями — это ключ к рыночному доминированию в эпоху Веб 2.0.

Блоги и мудрость масс

Одна из самых растиражированных особенностей эпохи Веба 2.0 — блог. Персональные домашние странички стояли у самих истоков веба, личный дневник и ежедневная колонка — недалеко, в общем-то, ушли. Так по какому поводу шум?

В основе своей блог — это просто персональная домашняя страничка в формате дневника. Но как отметил Рик Скрента (Rich Skrenta) — хронологическая организация блога хоть и «кажется мелочью, приводит к совершенно новой цепочке распространение-продвижение-стоимость».

Во многом блоги обязаны RSS — самому значительному нововведению в фундаментальную архитектуру веба с тех пор как первые хакеры поняли, что CGI можно использовать для создания веб-интерфейсов к БД. RSS позволяет не просто ссылаться на страницу, но подписываться на нее, получая оповещение каждый раз, когда страница изменяется. Скрента называет это «прирастающим вебом», другие — «живым вебом».

Динамические сайты пришли на смену статическим страничкам еще десять лет назад. Но в случае живого веба динамическими стали не страницы, а ссылки на них. Ссылаясь на веблог, вы ссылаетесь на страницу с постоянно меняющимся контентом, которая содержит пермалинки (постоянные ссылки) для каждой индивидуальной записи и напоминает о каждом изменении. И RSS-фид — это намного более цепкая привязка к сайту, чем, скажем, закладка или ссылка на конкретную страничку.