Противоречие – это еще не смерть научной теории. Но оно подобно смерти.
Неявные противоречия
Никто, пожалуй, не утверждает прямолинейно, что дождь идет и не идет или что трава зеленая и одновременно не зеленая. А если и утверждает, то только в переносном смысле. Противоречие вкрадывается в рассуждение, как правило в неявном виде. Чаще всего противоречие довольно легко обнаружить.
В начале века, когда автомобилей стало довольно много, в английском графстве было издано распоряжение: если два автомобиля подъезжают одновременно к пересечению дорог под прямым углом, то каждый из них должен ждать, пока не проедет другой. Это распоряжение внутренне противоречиво и потому невыполнимо.
У детей популярны головоломки такого типа: что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро, сметающее на своем пути все, попадет в несокрушимый столб, который нельзя ни повалить, ни сломать? Ясно, что ничего не произойдет: подобная ситуация логически противоречива.
Однажды актер, исполнявший эпизодическую роль слуги, желая хотя бы чуть-чуть увеличить свой текст, произнес:
– Синьор, немой явился… и хочет с вами поговорить.
Давая партнеру возможность поправить ошибку, другой актер ответил:
– А вы уверены, что он немой?
– Во всяком случае, он сам так говорит…
Этот «говорящий немой» так же противоречив, как и «знаменитый разбойник, четвертованный на три неравные половины» или как «окружность со многими тупыми углами».
Противоречие может быть и не таким явным. М.Твен рассказывал о беседе с репортером, явившимся взять у него интервью:
– Есть ли у вас брат?
– Да, мы звали его Билль. Бедный Билль!
– Так он умер?
– Мы никогда не могли узнать этого. Глубокая тайна парит над этим делом. Мы были – усопший и я – двумя близнецами и, имея две недели от роду, купались в одной лохани. Один из нас утонул в ней, но никогда не могли узнать который. Одни думают что Билль, другие – что я.
– Странно, но вы-то, что вы об этом думаете?
– Слушайте, я открою вам тайну, которой не поверял еще ни одной живой душе. Один из нас двоих имел особенный знак на левой руке, и это был я. Так что тот ребенок, что утонул…
Понятно, что если бы утонул сам рассказчик, он не выяснял бы, кто же все-таки утонул: он сам или его брат. Противоречие маскируется тем, что говорящий выражается так, как если б он был неким третьим лицом, а не одним из близнецов.
Скрытое противоречие является стержнем и маленького рассказа польского писателя-юмориста Э.Липиньского: «Жан Марк Натюр, известный французский художник-портретист, долгое время не мог схватить сходство с португальским послом, которого как раз рисовал. Расстроенный неудачей, он уже собирался бросить работу, но перспектива высокого гонорара склонила его к дальнейшим попыткам добиться сходства. Когда портрет близился к завершению и сходство было уже почти достигнуто, португальский посол покинул Францию, и портрет остался с несхваченным сходством.
Натюр продал его очень выгодно, но с этого времени решил сначала схватывать сходство и только потом приступать к написанию портрета».
Уловить сходство несуществующего портрета с оригиналом так же невозможно, как невозможно написать портрет, не написав его.
В комедии Козьмы Пруткова «Фантазия» некто Беспардонный намеревается продать «портрет одного знаменитого незнакомца: очень похож…». Здесь ситуация обратная: если оригинал неизвестен, о портрете нельзя сказать, что он похож. Кроме того, о совершенно неизвестном человеке нелепо утверждать, что он знаменит.
Многообразные задачи противоречия
Противоречие недопустимо в строгом рассуждении, когда оно смешивает истину с ложью. Но в обычной речи, как очевидно из приведенных примеров, у противоречия много разных задач.
Оно может выступать в качестве основы сюжета какого-либо рассказа, быть средством достижения особой художественной выразительности и т.д. «Настоящие художники слова, – пишет немецкий лингвист К.Фосслер, – всегда осознают метафорический характер языка. Они все время поправляют и дополняют одну метафору другой, позволяя словам противоречить друг другу и заботясь лишь о связности и точности своей мысли».
Реальное мышление – и тем более художественное – не сводится к одной логичности. В нем важно все: и ясность и неясность, и доказательность и зыбкость, и точное определение и чувственный образ. В нем может оказаться нужным и противоречие, если оно к месту.
Известно, что Н.В.Гоголь не жаловал чиновников. В «Мертвых душах» они изображены с особым сарказмом. Они «были, более или менее, люди просвещенные: кто читал Карамзина, кто „Московские ведомости“, кто даже и совсем ничего не читал». Хороша же просвещенность, за которой только чтение газеты, а то и вовсе ничего нет!
Испанский писатель XVI-XVII вв. Ф.Кеведо так озаглавил свою сатиру: «Книга обо всем и еще о многом другом». Его не смутило то, что, если книга охватывает «все», для «многого другого» уже не остается места.
Классической фигурой стилистики, едва ли не ровесницей самой поэзии, является оксюморон – сочетание логически враждующих понятий, вместе создающих новое представление. «Пышное природы увяданье», «свеча темно горит» (А.С.Пушкин), «живой труп» (Л.Н.Толстой), «ваш сын прекрасно болен» (В.В.Маяковский) – все это оксюмороны. А в строках стихотворения А.А.Ахматовой «смотри, ей весело грустить, такой нарядно обнаженной» сразу два оксюморона. Один поэт сказал о Г.Р.Державине: «Он врал правду Екатерине». Без противоречия так хорошо и точно, пожалуй, не скажешь.
Нелогично утверждать одновременно А и не-А.
Но каждому хорошо понятно двустишие римского поэта I в. до н.э. Катулла:
«Да! Ненавижу и вместе люблю. – Как возможно, ты спросишь?
Не объясню я. Но так чувствую, смертно томясь».
«…Все мы полны противоречий. Каждый из нас – просто мешанина несовместимых качеств. Учебник логики скажет вам, что абсурдно утверждать, будто желтый цвет имеет цилиндрическую форму, а благодарность тяжелее воздуха; но в той смеси абсурдов, которая составляет человеческое „Я“, желтый цвет вполне может оказаться лошадью с тележкой, а благодарность – серединой будущей недели». Этот отрывок из романа английского писателя С.Моэма «Луна и грош» выражает сложность, а нередко и прямую противоречивость душевной жизни человека. «…Человек знает, что хорошо, но делает то, что плохо», – с горечью замечал Сократ.
Вывод из сказанного как будто ясен. Настаивая на исключении логических противоречий, не следует, однако, всякий раз «поверять алгеброй геометрию» и пытаться втиснуть все многообразие противоречий в прокрустово ложе логики.
2. Закон исключенного третьего
Закон исключительного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. И опять-таки идея, выражаемая им, представляется поначалу простой и очевидной: из двух противоречащих высказываний одно является истинным.
В использовавшейся уже полусимволической форме: А или не-А, т.е. истинно высказывание А или истинно его отрицание, высказывание не-А.
Конкретными приложениями этого закона являются, к примеру, высказывания: «Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее».
Истинность отрицания равнозначна ложности утверждения. В силу этого закон исключенного третьего можно передать и так: каждое высказывание является истинным или ложным.
Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как описывается в рассматриваемом высказывании, иди так, как говорит его отрицание, и никакой третьей возможности нет.
Некоторые применения закона
Рассказывают историю про одного владельца собаки, который очень гордился воспитанием своего любимца. На его команду: «Эй! Приди или не приходи!» – собака всегда либо приходила либо нет. Так что команда в любом случае оказывалась выполненной.
Человек говорит прозой или не говорит прозой, кто-то рыдает или не рыдает, собака выполняет команду или не выполняет и т.п. – других вариантов не существует. Мы можем не знать, противоречива некоторая конкретная теория или нет, но на основе закона исключенного третьего еще до начала исследования мы вправе заявить: она или непротиворечива, или противоречива.
Этот закон с иронией обыгрывается в художественной литературе. Причина иронии понятна: сказать «Нечто или есть, или его нет», значит, ровным счетом ничего не сказать. И смешно, если кто-то этого не знает.
В комедии Мольера «Мещанин во дворянстве» есть такой диалог:
Г-н Журден. А теперь я должен открыть вам секрет. Я влюблен в одну великосветскую даму, и мне хотелось бы, чтобы вы помогли написать ей записочку, которую я собираюсь уронить к ее ногам.
Учитель философии. Конечно, вы хотите написать ей стихи?
Г-н Журден. Нет, нет, только не стихи.
Учитель философии. Вы предпочитаете прозу?
Г-н Журден. Нет, я не хочу ни прозы, ни стихов.
Учитель философии. Так нельзя: или то, или другое.
Г-н Журден. Почему?
Учитель философии. По той причине, сударь, что мы можем излагать свои мысли не иначе, как прозой или стихами.
Г-н Журден. Не иначе, как прозой или стихами?
Учитель философии. Не иначе, сударь. Все, что не проза, то стихи, а что не стихи, то проза.
В известной сказке Л.Кэрролла «Алиса в Зазеркалье» Белый Рыцарь намерен спеть Алисе «очень, очень красивую песню».
– Когда я ее пою, все рыдают… или…
– Или что? – спросила Алиса, не понимая, почему Рыцарь вдруг остановился.
– Или… не рыдают…
В сказке А.Н.Толстого «Золотой ключик, или Приключения Буратино» народный лекарь Богомол заключает после осмотра Буратино:
– Одно из двух: или пациент жив или он умер. Если он жив – он останется жив или не останется жив. Если он мертв – его можно оживить или нельзя оживить.
Сомнения в универсальности закона
Оба закона – и закон противоречия и закон исключенного третьего – были известны еще до Аристотеля. Он первым дал, однако, их ясные формулировки, подчеркнул важность этих законов для понимания мышления и бытия и вместе с тем выразил определенные сомнения в универсальной приложимости второго из них.
«…Невозможно, – писал Аристотель, – чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении (и все другое, что мы могли бы еще уточнить, пусть будет уточнено во избежание словесных затруднений) – это, конечно, самое достоверное из всех начал». Такова формулировка закона противоречия и одновременно предупреждение о необходимости сохранять одну и ту же точку зрения в высказывании и его отрицании «во избежание словесных затруднений». Здесь же Аристотель полемизирует с теми, кто сомневается в справедливости данного закона: «…не может кто бы то ни было считать одно и то же существующим и несуществующим, как это, по мнению некоторых, утверждает Гераклит».
О законе исключенного третьего: «…не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать».
От Аристотеля идет также живущая и в наши дни традиция давать закону противоречия, закону исключенного третьего, да и другим логическим законам, три разные интерпретации.
В одном случае закон противоречия истолковывается как принцип логики, говорящей о высказываниях и их истинности: из двух противоречащих друг другу высказываний только одно может быть истинным.
В другом случае этот же закон понимается как утверждение об устройстве самого мира: не может быть так, чтобы что-то одновременно существовало и не существовало.
В третьем случае этот закон звучит уже как истина психологии, касающаяся своеобразия нашего мышления: не удается так размышлять о какой-то вещи, чтобы она оказывалась такой и вместе с тем не такой.
Нередко полагают, что эти три варианта различаются между собой только формулировками. На самом деле это совершенно не так. Устройство мира и своеобразие человеческого мышления – темы эмпирического, опытного исследования. Получаемые с его помощью, положения являются эмпирическими истинами. Принципы же логики совершенно иначе связаны с опытом и представляют собой не эмпирические, а логически необходимые истины. В дальнейшем, когда речь пойдет об общей природе логических законов и логической необходимости, недопустимость подобного смешения логики, психологии и теории бытия станет яснее.
Аристотель сомневался в приложимости закона исключенного третьего к высказываниям о будущих событиях. В настоящий момент наступление некоторых из них еще не предопределено. Нет причины ни для того, чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились. «Через сто лет в этот же день будет идти дождь», – это высказывание сейчас скорее всего ни истинно, ни ложно. Таким же является его отрицание. Ведь сейчас нет причины ни для того, чтобы через сто лет пошел дождь, ни для того, чтобы его через сто лет не было. Но закон исключенного третьего утверждает, что или само высказывание, или его отрицание истинно. Значит, заключает Аристотель, хотя и без особой уверенности, данный закон следует ограничить одними высказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям о будущем.
Гораздо позднее, уже в нашем веке, рассуждения Аристотеля о законе исключенного третьего натолкнули на мысль о возможности принципиально нового направления в логике. Но об этом поговорим позже.
В XIX в. Гегель весьма иронично отзывался о законе противоречия и законе исключенного третьего.
Последний он представлял, в частности, в такой форме: «Дух является зеленым или не является зеленым», и задавал «каверзный» вопрос: какое из этих двух утверждений истинно?
Ответ на этот вопрос не представляет, однако, труда. Ни одно из двух утверждений: «Дух зеленый» и «Дух не зеленый» не является истинным, поскольку оба они бессмысленные. Закон исключенного третьего приложим только к осмысленным высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно.
Гегелевская критика логических законов опиралась, как это нередко бывает, на придание им того смысла, которого у них нет, и приписывание им тех функций, к которым они не имеют отношения. Случай с критикой закона исключенного третьего – один из примеров такого подхода.
Сделанные вскользь, разрозненные и недостаточно компетентные критические замечания Гегеля в адрес формальной логики получили, к сожалению, широкое хождение. В логике в конце XIX – начале XX вв. произошла научная революция, в корне изменившая лицо этой науки. Но даже огромные успехи, достигнутые логикой, не смогли окончательно искоренить тех ошибочных представлений о ней, у истоков которых стоял Гегель. Не случайно немецкий историк логики X. Шольц писал, что гегелевская критика формальной логики была злом настолько большим, что его и сейчас трудно переоценить.
Критика закона Брауэром
Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг закон исключенного третьего голландский математик Л.Брауэр. В начале этого века он опубликовал три статьи, в которых выразил сомнение в неограниченной приложимости законов логики и прежде всего закона исключенного третьего. Первая из этих статей не превышала трех страниц, вторая – четырех, а вместе они не занимали и семнадцати страниц. Но впечатление, произведенное ими, было чрезвычайно сильным. Брауэр был убежден, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключенного третьего, он настаивал на том, что между утверждением и его отрицанием имеется еще третья возможность, которую нельзя исключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.
Допустим, что утверждается существование объекта с определенным свойством. Если множество, в которое входит этот объект, конечно, то можно перебрать все объекты. Это позволит выяснить, какое из следующих двух утверждений истинно: «В данном множестве есть объект с указанным свойством» или же: «В этом множестве нет такого объекта». Закон исключенного третьего здесь справедлив.
Но когда множество бесконечно, то объекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ни отрицание этого утверждения не являются истинными.
Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которые применимы в математике. Это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков, особенно старшего поколения. «Изъять из математики принцип исключенного третьего, – писал немецкий математик Д.Гильберт, – все равно что… запретить боксеру пользоваться кулаками».
Критика Брауэром закона исключенного третьего привела к созданию нового направления в логике – интуиционистской логики. В последней не принимается этот закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них – доказательства путем приведения к противоречию, или абсурду.
Интересно отметить, что еще до Брауэра сомнения в универсальной приложимости закона исключенного третьего высказывал русский философ и логик Н.А. Васильев. Он ставил своей задачей построение такой системы логики, в которой была бы ограничена не только сфера действия этого закона, но и закона противоречия. По мысли Васильева, логика, ограниченная подобным образом, не способна действовать в мире обычных вещей, но она необходима для более глубокого понимания логического учения Аристотеля.
Современники не смогли в должной мере оценить казавшиеся им парадоксальными идеи Васильева. К тому же сам он склонен был обосновывать свои взгляды с помощью аргументов, не имеющих прямого отношения к логике и.правилам логической техники, а иногда и просто путано. Тем не менее, оглядываясь назад, можно сказать, что он оказался одним из предшественников интуиционистской логики.
3. Еще законы
Законы двойного отрицания позволяют снимать и вводить такое отрицание. Их можно выразить так: если неверно, что не-А, то А; если А, то неверно, что не-А. Например: «Если неверно, что Аристотель не знал закона двойного отрицания, то Аристотель знал этот закон», и наоборот.
Закон тождества
Самый простой из всех логических законов – это, пожалуй, закон тождества. Он говорит: если утверждение истинно, то оно истинно, «если А, то А». Например, если Земля вращается, то она вращается и т.п. Чистое утверждение тождества кажется настолько бессодержательным, что редко кем употребляется.
Древнекитайский философ Конфуций поучал своего ученика: «То, что знаешь, считай, что знаешь, то, что не знаешь, считай, что не знаешь». Здесь не просто повторение одного и того же: знать что-либо и знать, что это знаешь, не одно и то же.
Закон тождества кажется в высшей степени простым и очевидным. Однако и его ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается одной и той же, то она остается той же.
Закон контрапозиции
«Закон контрапозиции» – это общее название для ряда логических законов, позволяющих с помощью отрицания менять местами основание и следствие условного высказывания.
Один из этих законов, называемый иногда законом простой контрапозиции, звучит так:
если первое влечет второе, то отрицание второго влечет отрицание первого.
Например: «Если верно, что число, делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три, не делится на шесть».
Другой закон контрапозиции говорит:
если верно, что если не-первое, то не-второе, то верно, что если второе, то первое.
Например: «Если верно, что рукопись, не получившая положительного отзыва, не публикуется, то верно, что публикуемая рукопись имеет положительный отзыв». Или другой пример: «Если нет дыма, когда нет огня, то если есть огонь, есть и дым».
Еще два закона контрапозиции:
если дело обстоит так, что если А, то не-В, то если В, то не-А; например: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;
если верно, что если не-А, то В, то если не-В, то А; например: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».
Законы де Моргана
Именем английского логика XIX в. А. Де Моргана называются логические законы, связывающие с помощью отрицания высказывания, образованные с помощью союзов «и» и «или».
Один из этих законов можно выразить так: отрицание высказывания «А и В» эквивалентно высказыванию «не-А или не-В».
Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, если и только если завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».
Другой закон:
неверно, что А и В, если и только если неверно А и неверно В. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, если и только если он не знает ни арифметики, ни геометрии».
На основе этих законов, используя отрицание, связку «и» можно определить через «или», и наоборот:
«А и В» означает «неверно, что не-А или не-В»,
«А или В» означает «неверно, что не-А и не-В».
Например: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».
Модус поненс и модус толленс
«Модусом» в логике называется разновидность некоторой общей формы рассуждения. Далее будут перечислены четыре близких друг другу модуса, известных еще средневековым логикам.
Модус поненс, называемый иногда гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия этого высказывания:
Если А, то В; А
В
Здесь высказывания «если А, то В» и «А» – посылки, высказывание «В» – заключение. Горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:
Если А, то В. А. Следовательно, В.
Благодаря этому модусу от посылки «если А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «В». На этом основании данный модус иногда называется «правилом отделения». Например:
Если у человека диабет, он болен.
У человека диабет.
Человек болен.
Рассуждение по правилу отделения идет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания. Например, правильным является умозаключение:
Если таллий – металл, он проводит электрический ток.
Таллий – металл.
Таллий проводит электрический ток.
Но внешне сходное с ним умозаключение:
Если бы электролит был металлом, он проводил бы электрический ток.
Электролит проводит электрический ток.
Электролит – металл.
логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно прийти от истинных посылок к ложному заключению. Против смешения правила отделения с этой неправильной схемой рассуждения предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия рассуждать допустимо, от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.
Модусом толленсом называется следующая схема рассуждения:
Если A, то B; неверно B
Неверно A
Здесь высказывания «если А, то В» и «неверно В» являются посылками, а высказывание «неверно А» – заключением. Другая запись:
Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.
Посредством этой схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания. Например: «Если гелий – металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Следовательно, гелий – не металл».
По схеме модус толленс идет процесс фальсификации, установления ложности теории или гипотезы в результате ее эмпирической проверки. Из проверяемой теории Т выводится некоторое эмпирическое утверждение А, то есть устанавливается условное высказывание «если Т, то А». Посредством эмпирических методов познания (наблюдения, измерения или эксперимента) предложение А сопоставляется с реальным положением дел. Выясняется, что А ложно и истинно предложение не-А. Из посылок «если Т, то А» и «не-А» следует «не-Т», то есть ложность теории Т.
С модусом толленсом нередко смешивается внешне сходное с ним умозаключение:
Если А, то В; неверно А
Неверно В
В последнем умозаключении от утверждения условного высказывания и отрицания его основания осуществляется переход к отрицанию его следствия, что является логически некорректным шагом. Рассуждение по такой схеме может привести от истинных посылок к ложному заключению. Например:
Если бы глина была металлом, она была бы пластична. Но глина – не металл.
Неверно, что глина пластична.
Все металлы пластичны, и если бы глина была металлом, она также являлась бы пластичной. Однако глина не является металлом. Но из этого очевидным образом не вытекает, что глина не пластична. Кроме металлов, есть и другие пластичные вещества, и глина в их числе.
Против смешения модуса толленса с данной некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицания следствия условного высказывания заключать к отрицанию основания этого высказывания можно, а от отрицания основания к отрицанию следствия – нет.
Утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий модусы
Утверждающе-отрицающим модусом именуются следующие схемы рассуждения:
Либо А, либо В; А Неверно В и
Либо А, либо В; В
Неверно А
Другая запись:
Либо А, либо В. А. Следовательно, не-В.
Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.
Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:
Лермонтов родился в Москве либо в Петербурге.
Он родился в Москве.
Неверно, что Лермонтов родился в Петербурге.
Связка «либо, либо», входящая в утверждающе-отрицающий модус, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающим «или» (имеет место первое или второе, но возможно, что и первое и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению. Например:
На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.
На Южном полюсе был Амундсен.
Неверно, что там был Скотт.
Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:
На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.
На этом полюсе первым был Амундсен.
Неверно, что там первым был Скотт.
Отрицающе-утверждающим модусом называется разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не-первое; значит, второе. Первая посылка – высказывание с «или»; вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов первого сложного высказывания; заключением является второй член этого высказывания:
А или В; неверно А
В
или
А или В; неверно В
А
Другая форма записи:
А или В. Не-А. Следовательно, В.
А или В. Не-В. Следовательно, А.
Например:
Множество является конечным или оно бесконечною.
Множество не является конечным.
Множество бесконечно.
Средневековые логики называли утверждающе-отрицающий модус модусом понендо толленс, а отрицающе-утверждающий модус модусом толлендо поненс.
Конструктивная и деструктивная дилеммы
Дилеммами называются рассуждения, посылками которых являются по меньшей мере два условных высказывания (высказывания с «если, то») и одно разделительное высказывание (высказывание с «или»).
Выделяются следующие разновидности дилеммы.
Простая конструктивная (утверждающая) дилемма:
Если А, то С.
Если В, то С.
А или В.
С
Например: «Если прочту детектив Агаты Кристи, то хорошо проведу вечер; если прочту детектив Жоржа Сименона, тоже хорошо проведу вечер; прочту детектив Кристи или прочту детектив Сименона; значит, хорошо проведу вечер».
Рассуждение этого типа в математике принято называть доказательством по случаям. Однако число случаев, перебираемых последовательно в математическом доказательстве, обычно превышает два, так что дилемма приобретает вид:
Если бы было справедливо первое допущение, теорема была бы верна;
при справедливости второго допущения теорема также была бы верна;
при верном третьем допущении теорема верна;
если верно четвертое допущение, теорема верна;
справедливо или первое, или второе, или третье, или четвертое допущение.
Значит, теорема верна.
Сложная конструктивная дилемма:
Если А, то В.
Если С, то Д.
А или С.
В или Д.
Например: «Если будет дождь, мы пойдем в кино; если будет холодно, пойдем в театр; будет дождь или будет холодно; следовательно, мы пойдем в кино или пойдем в театр».
