Наука логики

Ясно, что то, что называется суммой, есть также ductus lineae in lineam, умножение линейного на линейное, согласно вышеуказанному определению - возникновение плоскостного. В простейшем случае, в прямоугольнике, каждый из множителей аЬ есть простая величина; но уже в другом, даже элементарном примере трапеции лишь один множитель есть простая величина половины высоты, другой же определяется через прогрессию; он также есть некоторое линейное, но такое линейное, определенность величины которого оказывается более запутанной; поскольку она может быть выражена лишь посредством ряда, ее аналитический, т. е. арифметический, интерес состоит в ее суммировании; геометрический же момент здесь - умножение, качественная сторона перехода от линейного измерения к плоскостному; один из множителей принимается за дискретный лишь в целях арифметического определения другого, а сам по себе он подобно последнему есть линейная величина.
      Способ, при котором представляют плоскость как сумму линий, применяется, однако, часто и тогда, когда для достижения результата не производят умножения, как такового. Так поступают, когда важно указать величину как определенное количество не в уравнении, а в пропорции. Что площадь круга относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга как малая ось к большой, из чего заключают, что так же относятся между собой и суммы ординат, т. е. площади.
      Те, кто при этом хочет избежать представления о плоскости как сумме линий, превращают с помощью обычного, совершенно излишнего вспомогательного приема ординаты в трапеции бесконечно малой ширины; так как [здесь] уравнение есть лишь пропорция, то [при этом ] сравнивается лишь один из двух линейных элементов площади. Другой элемент площади - ось абсцисс принимается в эллипсе и круге за равный, как множитель арифметического определения величины, следовательно, как равный 1, и поэтому пропорция оказывается всецело зависящей только от отношения одного определяющего момента. Чтобы представить плоскость, требуются два измерения; но определение величины, как оно должно быть дано в этой пропорции, касается только одного момента; поэтому уступка или помощь представлению тем, что к этому одному моменту присоединяют представление суммы, есть, собственно говоря, непонимание того, что здесь необходимо для математической определенности.
      Данные здесь пояснения служат также критерием упомянутого выше метода неделимых, предложенного Кавальери; метод этот также оправдан этими пояснениями, и ему нет надобности прибегать к помощи бесконечно малых. Эти неделимые суть для Кавальери линии, когда он рассматривает площади или квадраты, площади кругов, когда он рассматривает пирамиду или конус, и т. д.; основную линию или основную площадь, принимаемую за определенную, он называет правилом. Это константа, а по своему отношению к ряду это его первый или последний член; неделимые рассматриваются как параллельные ей, следовательно, по отношению к фигуре определяются одинаково. Общее основоположение Кавальери гласит (Exerc. geometr. VI - позднейшее сочинение Exerc. I, р. 6), что "все фигуры, и плоские, и телесные, относятся друг к другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются122 между собой совокупно, а если у них есть какая-либо общая пропорция, то в отдельности". - Для этой цели он сравнивает в фигурах, имеющих одинаковые основание и высоту, пропорции между линиями, проведенными параллельно основанию и на равном расстоянии от него; все такие линии некоторой фигуры имеют одинаковое определение и составляют всю ее площадь. Так Кавальери доказывает, например, и ту элементарную теорему, что параллелограммы, имеющие одинаковую высоту, относятся между собой, как их основания; каждые две линии, проведенные в обеих фигурах на одинаковом расстоянии от основания и параллельные ему, относятся между собой, как основания этих фигур; следовательно, так же относятся между собой и целые фигуры. В действительности линии не составляют площади фигуры как непрерывной, а составляют эту площадь, поскольку она должна быть определена арифметически; линейное - это тот ее элемент, единственно лишь посредством которого должна быть постигнута ее определенность.
      Это заставляет нас поразмыслите о различии [в мнениях] относительно того, в чем состоит определенность какой-нибудь фигуры, а именно эта определенность или такова, какова в данном случае высота фигуры, или она внешняя граница. Поскольку она дана как внешняя граница, допускают, что непрерывность фигуры, так сказать, следует равенству или отношению границы; например, равенство совпадающих фигур основывается на совпадении ограничивающих их линий. Но в параллелограммах с одинаковой высотой и основанием лишь последняя определенность есть внешняя граница. Высота, а не вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур, их отношение, прибавляет к внешней границе второй принцип определения. Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих одинаковую высоту и основание, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве пропорциональности параллелограммов, граница есть вообще определенность величины, как таковая, обнаруживающаяся в любой паре линий, проведенных в обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Эти равные или находящиеся в равном отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в равном отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности фигуры; но рассмотрение линий полностью исчерпывает ту определенность, о которой идет речь. Кавальери часто отвечает на то возражение, будто представление о неделимых приводит к тому, что должны быть сравнимы между собой бесконечные по численности линии или поверхности (Geom., lib. II, prop. I, schol.); он проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает между собой не их численность, которую мы не знаем, правильнее сказать, не их численность, которая, как мы отметили выше, есть пустое вспомогательное представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность, как таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые; если бы оно было нечто находящееся вне их, то оно было бы несравнимо; но было бы нелепо сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собой.
      Как видим, Кавальери хочет провести различие между тем, чти принадлежит к внешнему существованию непрерывного, и тем, в чем состоит его определенность и что единственно и следует выделять для сравнения и в целях получения теорем о нем. Категорий, которыми он пользуется при этом, говоря, что непрерывное сложено из неделимых или состоит из них и т. п., конечно, недостаточно, так как при этом прибегают также к созерцанию непрерывного или, как мы сказали выше, к его внешнему существованию; вместо того чтобы сказать, что "НЕпрерывное есть не что иное, как сами неделимые", было бы правильнее и, стало быть, само собой ясно сказать, что определенность величины непрерывного есть не что иное, как определенность величины самих неделимых. - Кавальери не придает никакого значения сомнительному выводу, что существуют-де большие и меньшие бесконечные, выводу, делаемому схоластикой из представления, что неделимые составляют непрерывное, и он определенно выражает далее (Geom., lib. VII, praef.) уверенность в том, что его способ доказательства вовсе не заставляет иметь представление о непрерывном как о сложенном из неделимых; непрерывные лишь следуют пропорции неделимых. - Кавальери говорит, что он берет агрегаты неделимых не с той стороны, с какой они кажутся подпадающими под определение бесконечности из-за бесконечного множества линий или плоскостей, а поскольку они имеют в самих себе некоторый определенный характер и природу ограниченности. Но чтобы устранить и этот камень преткновения, он в специально для этого добавленной седьмой книге не жалеет труда доказать основные теоремы своей геометрии таким способом, который остается свободным от примеси бесконечности. - Этот способ сводит доказательства к упомянутой выше обычной форме наложения фигур, т. е., как мы уже отметили, к представлению об определенности как о внешней пространственной границе.
      Относительно этой формы наложения можно прежде всего сделать еще и то замечание, что она вообще есть, так сказать, ребяческая помощь чувственному созерцанию. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два рядом, и, поскольку в каждом из них из шести частей те или иные три принимаются равными по величине соответствующим трем частям другого треугольника, показывается, что такие треугольники совпадают между собой, т. е. что каждый из них имеет и остальные три части равными по величине частям другого, так как они ввиду равенства трех первых частей совпадают друг с другом. Формулируя это более абстрактно, можно сказать, что именно в силу равенства каждой пары соответствующих друг другу частей обоих треугольников имеется только один треугольник; в последнем три части принимаются за уже определенные, из чего следует определенность также и трех остальных частей. Таким образом, показывается, что в трех частях определенность завершена; стало быть, для определенности, как таковой, три остальные части оказываются излишеством - излишеством чувственного существования, т. е. созерцания непрерывности. Высказанная в такой форме качественная определенность выступает здесь в [своем] отличии от того, что предлежит в созерцании, от целого как некоторого непрерывного внутри себя; совпадение мешает осознать это различие.
      Вместе с параллельными линиями и в параллелограммах появляется, как мы отметили, новое обстоятельство: отчасти равенство одних только углов, отчасти же высота фигур, от которой отличны внешние границы последних, стороны параллелограммов. При этом возникает сомнение, следует ли в этих фигурах - кроме определенности одной стороны, основания, которое дано как внешняя граница, - принимать в качестве другой определенности другую внешнюю границу (а именно другую сторону параллелограмма) или высоту? Если даны две такие фигуры, имеющие одинаковое основание и высоту, причем одна из них прямоугольная, а другая с очень острыми углами (и, стало быть, с очень тупыми противолежащими углами), то последняя фигура легко может показаться созерцанию большей, чем первая, поскольку созерцание берет предлежащую большую сторону ее как определяющую и поскольку оно по способу представления Кавальери сравнивает площади по тому или иному множеству параллельных линий, которыми они могут быть пересечены; [согласно этому способу представления ], большую сторону [остроугольного параллелограмма] можно было бы рассматривать как возможность большего количества линий, чем у вертикальной стороны прямоугольника. Однако такое представление не служит возражением против метода Кавальери; ибо множество параллельных линий, представляемое в этих двух параллелограммах для сравнения, предполагает в то же время одинаковость их расстояний друг от друга или от основания, из чего следует, что другим определяющим моментом служит высота, а не другая сторона параллелограмма. Но далее это меняется, когда мы сравниваем между собой два параллелограмма, имеющие одинаковые основание и высоту, но лежащие не в одной плоскости и образующие с третьей плоскостью разные углы; здесь параллельные сечения; возникающие, когда представляют себе их пересеченными третьей плоскостью, движущейся параллельно себе самой, уже не одинаково удалены одно от другого, и эти две плоскости неравны между собой. Кавальери обращает особое внимание на это различие, которое он определяет как различие между transitus rectus и transitus obliquus неделимых (как в Exercit. I n. XII ел., так уже в Geometr. I, II), и этим он устраняет поверхностное недоразумение, могущее возникнуть с этой стороны. Я припоминаю, что Барроу в своем упомянутом выше сочинении (Lect. geom., II, р. 21), хотя также пользуется методом неделимых, но, нарушая его чистоту, соединяет его с перешедшим от него к его ученику Ньютону и к другим современным ему математикам, в том числе и к Лейбницу, признанием возможности приравнять криволинейный треугольник, как, например, так называемый характеристический, прямолинейному, поскольку оба бесконечно, т. е. очень малы, - я припоминаю, что Барроу приводит подобное возражение Такэ остроумного геометра того времени, также пользовавшегося новыми методами. Имеющееся у последнего сомнение касается также вопроса о том, какую линию - а именно при вычислении конических и сферических поверхностей - следует принимать за основной момент определения для рассуждения, основанного на применении дискретного. Такэ возражает против метода неделимых, утверждая, что при вычислении поверхности прямоугольного конуса по этому атомистическому методу треугольник, [получаемый при продольном рассечении] конуса, изображается составленным из прямых, параллельных основанию линий, перпендикулярных к оси и представляющих собой в то же время радиусы тех кругов, из которых состоит поверхность конуса. Если же эта поверхность определяется как сумма окружностей, а эта сумма определяется из численности их радиусов, т. е. из длины оси конуса, из его высоты, то получаемый результат противоречит сформулированной и доказанной еще Архимедом истине. В ответ на это возражение Барроу показывает, что для определения поверхности конуса не его ось, а сторона треугольника, [получаемого при продольном рассечении] конуса, должна быть принята за ту линию, вращение которой образует эту поверхность и которая, а не ось, должна поэтому считаться определенностью величины для множества окружностей.
      Подобного рода возражения или сомнения имеют своим источником единственно лишь обыденное неопределенное представление, согласно которому линия состоит из бесконечного множества точек, плоскость - из бесконечного множества линий, и т. д.; этим представлением затушевывается сущностная определенность величины линий или плоскостей. - Целью настоящих примечаний было раскрыть те утвердительные определения, которые при различном применении бесконечно малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и освободить их от того тумана, в который их закутывает эта считающаяся чисто отрицательной категория. В бесконечном ряде, как, например, в Архимедовом измерении круга, "бесконечность" означает только то, что закон дальнейшего определения известен, но так называемое конечное, т. е. арифметическое выражение, не дано, сведение дуги к прямой линии не осуществимо; эта несоизмеримость есть их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного вообще содержит также и отрицательное определение, ввиду которого они выступают как несоизмеримые и которое влечет за собой бесконечное в том смысле, что непрерывное, долженствующее быть принятым за дискретное, по своей непрерывной определенности не должно уже иметь определенное количество. Непрерывное, которое арифметически должно быть принято за произведение, тем самым полагается в самом себе дискретным, а именно разлагается на те элементы, которые составляют его множители; в этих множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они суть эти множители или элементы, они имеют низшее измерение, а поскольку появляется степенная определенность, имеют более низкую степень, чем та величина, элементами и множителями которой они служат. Арифметически это различие обнаруживается как чисто количественное различие, как различие корня и степени или какой-нибудь другой степенной определенности. Но если это выражение имеет в виду лишь количественное, как таковое, например, а : а2 или а-а2 = 2а : а2 = 2 : а, или для закона падения тел t: at1, то оно дает лишь ничего не говорящие отношения 1 : а, 2 : а, 1: at; в противоположность своему чисто количественному определению члены отношения должны были быть удержаны врозь своим различным качественным значением, как, например, s : аt2, где величина выражена как некоторое качество, как функция величины некоторого другого качества. При этом сознание имеет перед собой лишь количественную определенность, над которой легко производятся подобающие действия, и можно спокойно умножать величину одной линии на величину другой; но в результате умножения этих самых величин получается также качественное изменение - переход линии в плоскость, поскольку появляется некоторое отрицательное определение; оно и вызывает ту трудность, которую можно устранить, если уразуметь особенность этого определения и простую суть дела; но введением бесконечного, от которого ожидается ее устранение, эта трудность скорее только запутывается еще больше и оставляется совершенно непреодоленной.
      Глава третья
      КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS QUANTITATIVE VERHALTNIS)
      Бесконечность определенного количества была определена выше так, что она есть его отрицательное потустороннее, которое, однако, оно имеет в самом себе. Это потустороннее есть качественное вообще. Бесконечное определенное количество как единство обоих моментов - количественной и качественной определенностей - есть прежде всего отношение.
      В отношении определенное количество уже не обладает лишь безразличной определенностью, а качественно определено как всецело соотнесенное со своим потусторонним. Оно продолжает себя, переходя в свое потустороннее; последнее есть прежде всего некоторое другое определенное количество вообще. Но по своему существу они не соотнесены друг с другом как внешние определенные количества, а каждое имеет свою определенность в этом соотношении с иным. Они, таким образом, в этом своем инобытии возвращены в себя; то, что каждое из них есть, оно есть в ином; иное составляет определенность каждого из них. - Смысл выхождения определенного количества за свои пределы состоит теперь, стало быть, не в том, что оно изменяется лишь в некоторое иное
      или в свое абстрактное иное, в свое отрицательное потустороннее, а в том, что в этом ином оно достигает своей определенности; оно находит само себя в своем потустороннем, которое есть некое другое определенное количество. Качество определенного количества, определенность его понятия - это его внешность вообще, в отношении же оно положено так, что оно имеет свою определенность в своей внешности, в некоем другом определенном количестве, есть в своем потустороннем то, что оно есть.
      Именно определенные количества обладают тем соотношением между собой, которое здесь получилось. Само это соотношение также есть некоторая величина. Определенное количество не только находится в отношении, но оно само положено как отношение; оно некоторое определенное количество вообще, имеющее указанную качественную определенность внутри себя. Таким образом, как отношение оно выражает себя как замкнутую в себе тотальность и свое безразличие к границе выражает тем, что внешность своей определенности оно имеет внутри самого себя и в этой внешности соотнесено лишь с собой и, следовательно, бесконечно в самом себе.
      Отношение вообще есть
      1) прямое отношение. В нем качественное еще не выступает наружу, как таковое, само по себе. Оно положено здесь пока что только в виде (Weise) определенного количества, положено имеющим свою определенность в самой своей внешности. - Количественное отношение есть в себе противоречие между внешностью и соотношением с самим собой, между устойчивым существованием определенных количеств и отрицанием их. Это противоречие снимает себя, поскольку прежде всего
      2) в непрямом отношении полагается отрицание одного определенного количества, как таковое, также при изменении другого и изменчивость самого прямого отношения;
      3) в степенном же отношении соотносящаяся в своем различии с самой собой единица выступает как простое самопродуцирование определенного количества. И, наконец, само это качественное, положенное в простом определении и как тождественное с определенным количеством, становится мерой.
      О природе излагаемых ниже отношений многое уже было сказано в предыдущих примечаниях, касающихся бесконечного в количестве, т. е. качественного момента в последнем; остается поэтому лишь разъяснить абстрактное понятие этих отношений.
      А. ПРЯМОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS DKEKTE VERHALTHIS)
      1. В отношении, которое как непосредственное есть прямое отношение, определенность одного определенного количества заключается в определенности другого определенного количества и наоборот. Имеется лишь одна определенность или граница обоих, которая сама есть определенное количество, - показатель (Exponent) отношения.
      2. Показатель есть некоторое определенное количество. Но в своей внешности он соотносящий с собой в самом себе качественно определенный квант лишь постольку, поскольку он в самом себе имеет отличие от себя, свое потустороннее и инобытие. Но это различие определенного количества в самом себе есть различие единицы и численности; единица есть самостоятельная определенность (Fur sich Bestimmtsein), численность же - безразличное движение по отношению к определенности, внешнее безразличие определенного количества. Единица и численность были сначала моментами определенного количества; теперь в отношении, поскольку оно реализованное определенное количество, каждый из его моментов выступает как собственное определеннное количество, и оба - как определения его наличного бытия, как ограниченная по отношению к определенности величины, которая помимо этого есть лишь внешняя, безразличная определенность.
      Показатель есть это различие как простая определенность, т. е. он имеет непосредственно в самом себе значение обоих определений. Он есть, во-первых, определенное количество; в этом смысле он численность; если один из членов отношения, принимаемый за единицу, выражен численной единицей -а ведь он считается лишь таковой единицей, - то другой член, численность, есть определенное количество самого показателя. Во-вторых, показатель есть простая определенность как качественное в членах отношения; если определенное количество одного из членов определено, то и другое определенное количество определено показателем, и совершенно безразлично, как определяется первое; оно как определенный сам по себе квант не имеет уже никакого значения и может с таким же успехом быть также любым другим определенным количеством, не изменяя этим определенности отношения, которая зависит только от показателя. Одно определенное количество, принимаемое за единицу, как бы велико оно ни стало, всегда остается единицей, а другое определенное количество, как бы велико оно при этом ни стало, непременно должно оставаться одной и той же численностью указанной единицы.
      3. Согласно этому, оба они составляют, собственно говоря, лишь одно определенное количество; одно определенное количество имеет по отношению к другому лишь значение единицы, а не численности; другое имеет лишь значение численности; стало быть, по определенности своего понятия они сами не полные определенные количества. Но эта неполнота есть отрицание в них и притом отрицание не со стороны их изменчивости вообще, сообразно которой одно (а каждое из них есть одно из двух) может принимать всевозможные величины, а со стороны того определения, что если одно изменяется, то и другое настолько же увеличивается или уменьшается; это, как мы показали, означает: лишь одно, единица, изменяется как определенное количество, другой же член, численность, остается тем же определенным количеством единиц, но и первый член сохраняет значение лишь единицы, как бы он ни изменялся как определенное количество. Каждый член есть, таким образом, лишь один из этих двух моментов определенного количества, и самостоятельность, относящаяся к его отличительным свойствам, подверглась в себе отрицанию', в этой качественной связи они должны быть положены один по отношению к другому как отрицательные.
      Показатель, согласно сказанному выше, есть полное определенное количество, так как в нем сходятся определения обоих членов [отношения ]; но на самом деле он как частное сам имеет лишь значение либо численности, либо единицы. Нет ничего, что определяло бы, какой из членов отношения должен быть принят за единицу и какой - за численность; если один из них, определенное количество В, измеряется определенным количеством А как единицей, то частное С есть численность таких единиц; но если взять само А как численность, то частное С есть единица, требуемая при численности А для определенного количества В; тем самым это частное как показатель положено не как то, чем оно должно быть, - не как то, что определяет отношение, или как его качественная единица. Как последняя оно положено лишь постольку, поскольку оно имеет значение единства обоих моментов, единицы и численности. Так как эти члены [отношения], хотя они и даны как определенные количества такими, какими они должны быть в развернутом определенном количестве, в отношении, все же при этом даны лишь в том значении, которое они должны иметь как его члены, [т. е. ] суть неполные определенные количества и считаются лишь одним из указанных качественных моментов, то они должны быть положены с этим их отрицанием; благодаря этому возникает более реальное, в большей мере соответствующее его определению отношение, в котором показатель имеет значение произведения членов отношения; по этой определенности оно есть обратное отношение.
      В. ОБРАТНОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS UMGEKEHRTE VERHALTNIS)
      1. Отношение, как оно получилось теперь, есть снятое прямое отношение; оно было непосредственным и, стало быть, еще не истинно определенным; теперь же определенность прибавилась к нему так, что показатель считается произведением, единством единицы и численности. Со стороны его непосредственности его можно было (как было показано выше) брать безразлично - и как единицу, и как численность, вследствие чего он и был дан
      лишь как определенное количество вообще и, стало быть, преимущественно как численность; одна сторона была единицей, и ее следовало брать как одно, а другая сторона - ее неизменной численностью, которая в то же время есть и показатель; качество последнего состояло, следовательно, лишь в том, что это определенное количество брали как неизменное или, вернее, неизменное имело лишь смысл определенного количества.
      В обратном же отношении показатель и как определенное количество есть нечто непосредственное и принимаемое за неизменное. Но это определенное количество не есть неизменная численность для единицы, другого определенного количества в отношении; это ранее неизменное отношение теперь скорее положено как изменчивое; когда в качестве "одного" какого-то из членов [обратного отношения ] берут другое определенное количество, тогда другой член [отношения] уже не остается той же самой численностью единиц первого члена. В прямом отношении эта единица есть лишь то, что обще обоим членам (nur das Gemeinschaftliche beider Seiten); как таковая, она переходит в другой член, в численность; сама численность, взятая особо, или, иначе говоря, показатель, безразлична к единице.
      Но при той определенности отношения, какую мы имеем теперь, численность, как таковая, изменяется по отношению к единице, для которой она другой член отношения; если мы берем в качестве единицы какое-нибудь определенное количество, то численность становится другой. Поэтому, хотя показатель и есть лишь непосредственное определенное количество, лишь произвольно принимаемое за неизменное, но он не сохраняется, как таковое, в стороне отношения, и эта сторона, а тем самым и прямое отношение сторон изменчивы. Поэтому в рассматриваемом теперь отношении показатель, как определяющее определенное количество, положен отрицательно по отношению к себе как к определенному количеству отношения, положен тем самым как качественный, как граница, так что качественное выступает особо, отличным от количественного. - В прямом отношении изменение обоих членов есть лишь одно изменение определенного количества, каковым берется единица, которая есть то, что обще [обеим сторонам отношения], и, следовательно, во сколько раз одна сторона увеличивается или уменьшается, во столько же раз увеличивается или уменьшается также и другая; само отношение безразлично к этому изменению; последнее внешне ему. В обратном же отношении изменение, хотя оно в соответствии с безразличным количественным моментом также произвольно, удерживается внутри отношения, и это произвольное количественное выхождение также подвергается ограничению отрицательной определенностью показателя как некоторой границей.
      2. Следует рассмотреть эту качественную природу обратного отношения еще подробнее, а именно в ее реализации, и разъяснить содержащуюся в ней переплетенность утвердительного с отрицательным. - Определенное количество положено [здесь ] как то, что качественно определяет определенное количество, т. е. само себя, как представляющее себя в самом себе своей границей. Тем самым оно, во-первых, непосредственная величина как простая определенность, целое как сущее, аффирмативное определенное количество. Но, во-вторых, эта непосредственная определенность есть также граница; поэтому различают в нем два определенных количества, которые прежде всего суть другие относительно друг друга; но как их качественная определенность, а именно как полная, оно единство единицы и численности, произведение, множителями которого они служат. Таким образом, показатель их отношения, с одной стороны, тождествен в них с собой и есть то их утвердительное, на основании которого они определенные количества; с другой стороны, он, как положенное в них отрицание, есть в них то единство, на основании которого каждое, будучи прежде всего непосредственным, ограниченным определенным количеством вообще, в то же время так ограничено, что оно только в себе тождественно со своим иным. В-третьих, как простая определенность он отрицательное единство этого своего разделения на два определенных количества и граница их взаимного ограничения.
      Согласно этим определениям, оба момента ограничивают друг друга внутри показателя, и один момент есть отрицательное другого, так как показатель есть их определенное единство; один момент становится во столько раз меньше, во сколько другой становится больше; каждый имеет свою величину постольку, поскольку он заключает в себе величину другого, поскольку она недостает другому. Каждая величина продолжает себя, таким образом, отрицательно, переходя в другую; сколько численности есть в ней, столько она снимает в другой как численности, и она есть то, что она есть, только через отрицание или границу, которая полагается в ней другою. Таким образом, каждая содержит и другую и измеряется ею, ибо каждая должна быть только тем определенным количеством, которым не является другая; для значения каждой из них величина другой необходима и, стало быть, от нее неотделима.