Глава 7

Квантовый бильярд

Однажды мистер Томпкинс возвращался к себе домой страшно усталый после долгого рабочего дня в банке, где он служил. Проход мимо паба, мистер Томпкинс решил, что было бы недурственно пропустить кружечку эля. За первой кружкой последовала другая, и вскоре мистер Томпкинс почувствовал, что голова у него изрядно кружится. В задней комнате паба была бильярдная, где игроки в рубашках с засученными рукавами толпились вокруг центрального стола. Мистер Томпкинс стал смутно припоминать, что ему уже случалось бывать здесь и прежде, как вдруг кто-то из его приятелей-клерков потащил мистера Томпкинса к столу учиться играть в бильярд. Приблизившись к столу, мистер Томпкинс принялся наблюдать за игрой. Что-то в ней показалось ему очень странным! Играющий ставил шар на стол и ударял по шару кием. Следя за катящимся шаром, мистер Томпкинс к своему большому удивлению заметил, что шар начал «расплываться». Это была единственное выражение, которое пришло ему на ум при виде странного поведения бильярдного шара; который, катясь по зеленому полю, казался все более и более размытым, на глазах утрачивая четкость своих контуров. Казалось, что по зеленому сукну катится не один шар, а множество шаров, к тому же частично проникающих друг в друга. Мистеру Томпкинсу часто случалось наблюдать подобные явления и прежде, но сегодня он не принял ни капли виски и не мог понять, почему так происходит.

— Посмотрим, — подумал мистер Томпкинс, — как эта размазня из шара столкнется с другой такой же размазней.

Должно быть, игрок, нанесший удар по шару, был знатоком своего дела: катящийся шар столкнулся с другим шаром в лобовом ударе, как это и требовалось. Послышался громкий стук, и оба шара — покоившийся и налетевший (мистер Томпкинс не мог бы с уверенностью сказать, где какой шар) — разлетелись «в разные стороны». Выглядело это, что и говорить, весьма странно: на столе не было более двух шаров, выглядевших несколько размазанно, а вместо них бесчисленное множество шаров (все — с весьма смутными очертаниями и сильно размазанные) поразлеталось по направлениям, составлявшим от 0 o до 180 o с направлением первоначального соударения. Бильярдный шар скорее напоминал причудливую волну, распространяющуюся из точки соударения шаров.

Присмотревшись повнимательнее, мистер Томпкинс заметил, что максимальный поток шаров направлен в сторону первоначального удара.

— Рассеяние S-волны, — произнес у него за спиной знакомый голос, и мистер Томпкинс, не оборачиваясь, узнал профессора.

— Неужели и на этот раз что-нибудь здесь искривилось, — спросил мистер Томпкинс, — хотя поверхность бильярдного стола мне кажется гладкой и ровной?

— Вы совершенно правы, — подтвердил профессор, — пространство в данном случае совершенно плоское, а то, что вы наблюдаете, в действительности представляет собой квантовое явление.

— Ах, эти матрицы! — рискнул саркастически заметить мистер Томпкинс.

— Точнее, неопределенность движения, — заметил профессор. — Владелец этой бильярдной собрал здесь коллекцию из нескольких предметов, страдающих, если можно так выразиться, «квантовым элефантизмом». В действительности квантовым законам подчиняются все тела в природе, но так называемая квантовая постоянная, управляющая всеми этими явлениями, чрезвычайно мала: ее числовое значение имеет двадцать семь нулей после запятой. Что же касается бильярдных шаров, которые вы здесь видите, то их квантовая постоянная гораздо больше (около единицы), и поэтому вы можете невооруженным глазом видеть явления, которые науке удалось открыть только с помощью весьма чувствительных и изощренных методов наблюдения.

Тут профессор умолк и ненадолго задумался.

— Не хочу ничего критиковать, — продолжал он, — но мне очень хотелось бы знать, откуда у владельца бильярдной эти шары. Строго говоря, они вообще не могут существовать, поскольку для всех тел в мире квантовая постоянная имеет одно и то же значение.

— Может быть, их импортировали из какого-нибудь другого мира, — высказал предположение мистер Томпкинс, но профессор не удовлетворился такой гипотезой и не избавился от охвативших его подозрений.

— Вы заметили, что шары «расплываются», — начал он. — Это означает, что их положение на бильярдном столе не вполне определенно. Вы не можете точно указать, где именно находится шар. В лучшем случае вы можете утверждать лишь, что шар находится «в основном здесь» и «частично где-то там».

— Все это в высшей степени необычно, — пробормотал мистер Томпкинс.

— Наоборот, — возразил профессор, — это абсолютно обычно в том смысле, что всегда происходит с любым материальным телом. Лишь из-за чрезвычайно малого значения квантовой постоянной и неточности обычных методов наблюдения люди не замечают этой неопределенности и делают ошибочный вывод о том, что положение и скорость тела всегда представляют собой вполне определенные величины. В действительности же и положение, и скорость всегда в какой-то степени неопределенны, и чем точнее известна одна из величин, тем более размазана другая. Квантовая постоянная как раз и управляет соотношением между этими двумя неопределенностями. Вот взгляните, я накладываю определенные ограничения на положение этого бильярдного шара, заключая его внутрь деревянного треугольника.

Как только шар оказался за деревянным заборчиком, вся внутренность треугольника заполнилась блеском слоновой кости.

— Видите! — обрадовался профессор. — Я ограничил положение шара размерами пространства, заключенного внутри треугольника, т. е. какими-то несколькими дюймами. И в результате — значительная неопределенность в скорости, шар так бегает внутри периметра треугольника!

— А разве вы не могли бы остановить шар? — удивленно спросил мистер Томпкинс.

— Ни в коем случае! Это физически невозможно, — последовал ответ. — Любое тело, помещенное в замкнутое пространство, обладает некоторым движением. Мы, физики, называем такое движение нулевым. Таково, например, движение электронов в любом атоме.

Пока мистер Томпкинс наблюдал за бильярдным шаром, мечущимся в треугольной загородке, как тигр в клетке, произошло нечто весьма необычное: шар «просочился» сквозь стенку деревянного треугольника и в следующий момент покатился в дальний угол бильярдного стола. Самое странное было в том, что шар не перепрыгнул сквозь деревянную стенку, а прошел сквозь нее, не поднимаясь над уровнем бильярдного стола.

— Вот вам ваше «нулевое движение», — с упреком сказал мистер Томпкинс.

— Не успели оглянуться, а шар «сбежал». Это как, по правилам?

— Разумеется, в полном соответствии с правилами, — согласился профессор. — В действительности вы видите перед собой одно из наиболее интересных следствий квантовой теории. Если энергии достаточно для того, чтобы тело могло пройти сквозь стенку, то удержать его за стенкой невозможно: рано или поздно объект «просочится» сквозь стенку и будет таков.

— В таком случае я ни за что на свете не пойду в зоопарк, — решил про себя мистер Томпкинс, и его живое воображение тотчас же нарисовало ужасающую картину львов и тигров, «просачивающихся» сквозь стенки своих клеток. Затем мысли мистера Томпкинса приняли несколько иное направление: ему привиделся автомобиль, «просочившийся» из гаража сквозь стены, как доброе старое привидение во времена Средневековья.

— А сколько мне понадобится ждать, — поинтересовался мистер Томпкинс у профессора, — пока автомашина, сделанная не из того, из чего делают автомашины здесь, а из обычной стали, «просочится» сквозь стену гаража, построенного, скажем, из кирпичей? Хотел бы я своими глазами увидеть такое «просачивание»!

Наскоро произведя в уме необходимые вычисления, профессор привел ответ:

— Ждать вам придется каких-нибудь 1 000 000 000…000 000 лет.

Даже привыкший к внушительным числам в банковских счетах мистер Томпкинс потерял счет нулям в числе, приведенном профессором. Впрочем, он несколько успокоился: число было достаточно длинным для того, чтобы можно было не беспокоиться о том, как бы автомашина не сбежала, «просочившись» сквозь стенку в гараже.

— Предположим, что все, о чем вы мне рассказали, не вызывает у меня ни малейших сомнений. Однако мне все же остается непонятно, как можно было бы наблюдать такие вещи (разумеется, я не говорю об этих бильярдных шарах).

— Разумное выражение, — заметил профессор. — Конечно, я не утверждаю, будто квантовые явления можно было бы наблюдать на таких больших телах, с какими вам обычно приходится иметь дело. Действие квантовых законов становится гораздо более заметным применительно к очень малым массам — таким, как атомы или электроны. Для таких частиц квантовые эффекты настолько сильны, что обычная механика становится совершенно неприменимой. Столкновение двух атомов выглядит точно так же, как столкновение двух бильярдных шаров, которое вы здесь наблюдали, а движение электронов в атоме очень напоминает «нулевое движение» бильярдного шара, который я поместил внутрь деревянного треугольника.

— А часто ли атомы выбегают из своего гаража? — спросил мистер Томпкинс.

— О да, весьма часто. Вам, конечно, приходилось слышать о радиоактивных веществах, атомы которых претерпевают спонтанный распад, испуская при этом очень быстрые частицы. Такой атом или, точнее, его центральная часть, называемая атомным ядром, очень напоминает гараж, в котором стоят автомашины, т. е. другие частицы. И частицы убегают из ядра, просачиваясь через стенки, — порой внутри ядра они не остаются ни секунды! В атомных ядрах квантовые явления — дело совершенно обычное!

Мистер Томпкинс порядком устал от столь длинной беседы и рассеянно оглянулся по сторонам. Его внимание привлекли большие дедовские часы, стоявшие в углу комнаты. Их длинный старомодный маятник совершал медленные колебания то в одну, то в другую сторону.

— Я вижу, вы заинтересовались часами, — сказал профессор. — Перед вами не совсем обычный механизм, хотя ныне он несколько устарел. Эти часы могут служить прекрасной иллюстрацией того, как люди сначала мыслили себе квантовые явления. Маятник часов устроен так, что амплитуда его колебаний может возрастать только конечными шагами. Теперь все часовщики предпочитают пользоваться патентованными расплывающимися маятниками.

— О, как бы я хотел разобраться в столь сложных вопросах! — воскликнул мистер Томпкинс.

— Нет ничего проще, — ответствовал профессор. — Я зашел в паб по пути на свою лекцию о квантовой теории, потому что увидел в окно вас. А теперь мне пора отправляться дальше, чтобы не опоздать на лекцию. Не хотите ли пойти со мной?

— С превеликим удовольствием! — согласился мистер Томпкинс.

Большая аудитория как обычно была до отказа заполнена студентами, и мистер Томпкинс считал, что ему очень повезло, когда он кое-как примостился на ступенях прохода.

— Леди и джентльмены, — начал профессор. — В двух моих предыдущих лекциях я попытался показать вам, каким образом открытие существования верхнего предела всех физических скоростей и анализ понятия прямой привел нас к полному пересмотру классических представлений о пространстве и времени.

Однако критический анализ основ физики не остановился на этой стадии и привел к еще более поразительным открытиям и выводам. Я имею в виду раздел физики, получивший название квантовой теории. Этот раздел занимается изучением не столько самих пространства и времени, сколько взаимодействия и движения материальных объектов в пространстве и времени. В классической физике всегда считалось самоочевидным, что взаимодействие между любыми двумя материальными телами может быть сделано настолько малым, насколько это требуется по условиям эксперимента, и даже, если это необходимо, практически сведено к нулю. Например, если при исследовании тепла, выделяющегося в некоторых процессах, возникает опасение, что вводимый термометр может забрать на себя некоторое количество теплоты и тем самым внести возмущение в нормальное течение процесса, то экспериментатор пребывает в уверенности, что, используя термометр меньших размеров или миниатюрную термопару, он всегда сможет понизить вносимое возмущение до уровня, который укладывается в пределы допустимой точности измерений.

Убеждение в том, что любой физический процесс может быть в принципе наблюдаем с любой требуемой точностью без каких-либо возмущений, вносимых наблюдением, было весьма сильным, и никому даже в голову не приходило сформулировать столь очевидное допущение в явном виде. Все проблемы, связанные с вносимыми при наблюдении возмущениями, считались чисто техническими трудностями. Однако новые экспериментальные факты, накопленные с начала XX столетия, постоянно вынуждали физиков приходить к выводу, что в действительности все обстоит гораздо сложнее и в природе существует определенный нижний предел взаимодействия, который никогда не может быть превзойден. Этот естественный предел точности пренебрежимо мал для всевозможных процессов, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, но становится существенным при рассмотрении взаимодействий, происходящих в таких микроскопически-механических системах, как атомы и молекулы.

В 1900 г. немецкий физик Макс Планк, занимаясь теоретическими исследованиями условий равновесия между излучением и веществом, пришел к удивительному выводу: такое равновесие невозможно, если взаимодействие между излучением и веществом происходит не непрерывно, как всегда предполагалось, а в виде последовательности отдельных «соударений". При каждом таком элементарном акте взаимодействия от вещества излучению и от излучения веществу передается определенное количество — «порция» — энергии. Для достижения требуемого равновесия и согласия с экспериментальными фактами Планку понадобилось ввести простое математическое соотношение — предположить, что между количеством энергии, передаваемом при каждом элементарном акте взаимодействия, и частотой (величиной, обратной периоду) процесса, приводящего к передаче энергии, существует прямая пропорциональность.

Иначе говоря, если коэффициент пропорциональности обозначить через h, то, согласно принятой Планком гипотезе, минимальная порция, или квант, передаваемой энергии определяется выражением

где v — частота. Постоянная Л имеет числовое значение 6,547 х 10^27 эрг.с и обычно называется постоянной Планка, или квантовой постоянной. Малое числовое значение постоянной Планка объясняет, почему квантовые явления обычно не наблюдаются в повседневной жизни.

Дальнейшее развитие идей Планка связано с именем Эйнштейна, который через несколько лет пришел к выводу, что излучение не только испускается определенными дискретными порциями, но и всегда существует в виде таких дискретных «порций энергии», которую Эйнштейн назвал квантами света.

Поскольку кванты света движутся, они помимо энергии hv должны обладать и определенным механическим импульсом, который, согласно релятивистской механике, должен быть равен их энергии, деленной на скорость света с. Вспоминая, что частота света связана с его длиной волны лямбда соотношением v = с/(лямбда), механический импульс кванта света можно записать в виде

(2)

Поскольку механическое действие, производимое соударением движущегося объекта, определяется его импульсом, мы заключаем, что действие квантов света возрастает при убывании длины волны.

Одно из лучших экспериментальных подтверждений правильности представления о квантах света, а также о приписываемых им энергии и импульсе было получено в работе американского физика Артура Комптона. Исследуя столкновение квантов света и электронов, Комптон показал, что электроны, приведенные в движение под действием луча света, ведут себя точно так же, как если бы столкнулись с частицей, обладающей энергией и импульсом, задаваемыми формулами (1) и (2). Как показали эксперименты Комптона, сами кванты претерпевают после столкновения с электронами некоторые изменения (изменяется их частота) в полном согласии с предсказанием теории.

В настоящее время мы вправе утверждать, что в части, касающейся взаимодействия с веществом, квантовые свойства излучения надлежит считать твердо установленным экспериментальным фактом.

Дальнейшее развитие квантовых идей связано с именем знаменитого датского физика Нильса Бора, который в 1913 г. впервые высказал идею о том, что внутреннее движение любой механической системы может обладать только дискретным набором допустимых значений энергии и движение может изменять свое состояние только конечными шагами, причем при каждом из таких переходов излучается лишь определенное количество энергии. Математические правила, определяющие возможные состояния механических систем, более сложные, чем в случае излучения, и мы не будем приводить их здесь. Упомянем лишь о том, что, как и в случае квантов света, импульс определяется длиной волны света, поэтому в механической системе импульс любой движущейся частицы связан с геометрическими размерами той области пространства, в которой она заключена, и составляет величину порядка

, (3)

где l — линейные размеры области, в которой происходит движение. Из-за чрезвычайно малого значения квантовой постоянной квантовые явления становятся существенными только для движений, происходящих в очень малых областях пространства, например внутри атомов и молекул, и играют важную роль в наших знаниях о внутреннем строении вещества.

Одно из наиболее прямых доказательств существования последовательности дискретных состояний этих крохотных механических систем было получено в экспериментах Джеймса Франка и Густава Герца. Бомбардируя атомы электронами различной энергии, эти физики заметили, что определенные изменения в состоянии атома происходят, только когда энергия налетающих электронов достигала определенных дискретных значений. Если энергия электронов была ниже определенного предела, то соударения вообще никак не сказывались на состоянии атома, так как энергия, переносимая каждым электроном, была недостаточна для того, чтобы поднять атом с первого квантового состояния во второе.

Резюмируя, можно сказать, что к концу описанной мной первой, предварительной стадии развития квантовой теории была достигнута не модификация фундаментальных понятий и принципов классической физики, а более или менее искусственное ограничение весьма загадочными квантовыми условиями, выбирающими из непрерывного множества классически возможных движений дискретное подмножество «разрешенных», или «допустимых», движений. Однако если мы глубже вникнем в связь между законами классической механики и квантовыми условиями, налагаемыми нашим обобщенным опытом, то обнаружим, что теория, получаемая при объединении классической механики с квантовыми условиями, страдает логической непоследовательностью и что эмпирические квантовые ограничения делают бессмысленными те фундаментальные понятия, на которых основана классическая механика. Действительно, основное представление классической механики относительно движения заключается в том, что любая движущаяся частица занимает в любой данный момент времени определенное положение в пространстве и обладает определенной скоростью, характеризующей временные изменения в положении частицы на траектории.

Такие фундаментальные понятия, как положение, скорость и траектория, на которые опирается все величественное здание классической механики, построены (как и все другие наши понятия) на наблюдении явлений в окружающем мире и, подобно классическим понятиям пространства и времени, должны быть существенно модифицированы, когда наш опыт вторгается в новые, не исследованные ранее, области.

Если я спрошу кого-нибудь, почему он (или она) верит, что любая движущаяся частица занимает в любой данный момент определенное положение, описывает во время движения определенную линию, то в ответ мой собеседник скорее всего скажет: «Потому, что я вижу все это именно так, когда наблюдаю за движением». Проанализируем такой метод образования классического понятия траектории и попытаемся выяснить, действительно ли он приводит к определенному результату. Для этого представим себе мысленно физика, оснащенного всевозможной чувствительнейшей аппаратурой и пытающегося проследить движение маленького материального тела, брошенного со стены лаборатории. Наш физик решает производить наблюдения, глядя, как движется тело, и использует для этого небольшой, но очень точный теодолит. Разумеется, чтобы увидеть движущееся тело, физику необходимо освещать его. Зная, что свет оказывает давление на освещаемое тело и поэтому возмущает движение тела, физик решает освещать тело короткими вспышками только в те моменты, когда он производит наблюдения. В первом эксперименте физик намеревается наблюдать только десять положений тела на траектории и выбирает источник, дающий вспышки света, настолько слабый, что интегральный эффект светового давления в течение десяти последовательных сеансов наблюдения лежит в пределах требуемой точности эксперимента. Таким образом, освещая падающее тело десятью вспышками, наш физик получает в пределах требуемой точности десять точек на траектории.

Затем он хочет повторить эксперимент и получить сто точек. Физик знает, что сто последовательных вспышек слишком сильно возмутят движение и, готовясь ко второй серии наблюдений, выбирает фонарь, дающий в десять раз менее интенсивное освещение. Для третьей серии наблюдений, готовясь получить тысячу точек на траектории, физик выбирает фонарь, дающий в сто раз менее интенсивное освещение, чем источник света, который был использован в первой серии наблюдений.

Продолжая в том же духе и постоянно уменьшая интенсивность освещения, даваемого источником, физик может получить на траектории столько точек, сколько сочтет нужным, не увеличивая экспериментальную ошибку выше установленного с самого начала предела. Описанная мной сильно идеализированная, но принципиально вполне осуществимая процедура представляет собой строго логический способ, позволяющий построить движение по траектории, «глядя на движущееся тело», и, как вы видите, в рамках классической физики такое построение вполне возможно.

Попытаемся теперь выяснить, что произойдет, если мы введем квантовые ограничения и учтем, что действие любого излучения может передаваться только в форме квантов света. Мы видели, что наблюдатель постоянно уменьшал количество света, падающего на движущееся тело, и теперь нам следует ожидать, что, дойдя до одного кванта, наш физик не сможет продолжать в том же духе и дальше. От движущегося тела будет отражаться либо весь квант света целиком, либо ничего, и в последнем случае наблюдение становится невозможным. Мы знаем, что в результате столкновения с квантом света длина волны света уменьшается и наш наблюдатель, также зная об этом, заведомо попытается использовать для своих наблюдений свет со все увеличивающейся длиной волны, чтобы компенсировать число наблюдений. Но тут его подстерегает другая трудность.

Хорошо известно, что при использовании света определенной длины волны невозможно различить детали, размеры которых меньше длины волны: нельзя нарисовать персидскую миниатюру малярной кистью! Но используя все более длинные волны, наш физик испортит оценку положения каждой точки и вскоре достигнет той стадии, когда каждая оценка будет содержать погрешность, или неопределенность, величина которой сравнима с размерами всей его лаборатории и превышает их. Тем самым наш наблюдатель будет вынужден в конце концов пойти на компромисс между большим числом наблюдаемых точек и неопределенностью в оценке положения каждой точки и не сможет получить точную траекторию — в виде линии в математическом смысле в отличие от своих классических коллег. В лучшем случае квантовый наблюдатель получит весьма широкую размазанную полосу, и если он попытается построить понятие траектории, опираясь на свой опыт, то оно будет сильно отличаться от классического понятия траектории.

Предложенный выше метод построения траектории был оптическим, а теперь мы можем испробовать другую возможность и воспользоваться механическим методом. Для этого наш экспериментатор может построить какой-нибудь миниатюрный механический прибор, например, колокольчики на пружинах, который будет регистрировать прохождение материальных тел, если тело проходит достаточно близко. Большое число таких «колокольчиков» он развешивает в той области пространства, где ожидается прохождение движущегося тела, и «звон колокольчиков» будет указывать траекторию, описываемую телом. В классической физике «колокольчики» можно сделать сколь угодно малыми и чувствительными. В предельном случае бесконечно большого числа бесконечно маленьких колокольчиков понятие траектории и в этом случае может быть построено с любой требуемой точностью. Однако, как и в предыдущем случае, квантовые ограничения на механические системы портят все дело. Если «колокольчики» слишком малы, то величина импульса, которую они смогут забрать у движущегося тела, согласно формуле (3), будет слишком большой и движение окажется сильно возмущенным даже после того, как тело заденет один-единственный колокольчик. Если же колокольчики велики, то неопределенность в положении каждого будет очень большой. В этом случае построенная в результате наблюдения окончательная траектория, как и в предыдущем случае, окажется широкой полосой!

Боюсь, что все эти рассуждения об экспериментаторе, желающем наблюдать траекторию, покажутся вам слишком специальными и вы будете склонны думать, что если используемые средства не позволяют нашему наблюдателю оценить траекторию, то желаемый результат удастся получить с помощью какого-нибудь другого более сложного устройства. Однако я должен вам напомнить, что мы рассматривали не конкретный эксперимент, выполненный в какой-то физической лаборатории, а некую идеализацию самого главного вопроса физического измерения. Поскольку любое существующее в нашем мире действие можно отнести либо к числу действий поля излучения, либо к чисто механическим, любая сколь угодно сложная схема измерения непременно сводится к элементам, описываемых теми двумя методами, о которых я уже упоминал раньше — оптическом и механическом, и в конечном итоге приводит к тому же результату. А поскольку идеальный «измерительный прибор» может вместить весь физический мир, мы в конце концов приходим к выводу, что в мире, где действуют квантовые законы, нет ни точного положения, ни траектории, имеющей строго определенную форму линии.

Но вернемся теперь снова к нашему экспериментатору и попытаемся облечь в математическую форму ограничения, вытекающие из квантовых условий. Мы уже видели, что в обоих методах — оптическом и механическом — всегда существует конфликт между оценкой положения и возмущением скорости движущегося объекта. В оптическом методе столкновение с квантом света (в силу закона сохранения импульса, действующего в классической механике) порождает неопределенность в импульсе частицы, сравнимую с импульсом самого кванта света. Таким образом, используя формулу (2), запишем для неопределенности импульса частицы