Рынок облигаций. Анализ и стратегии

Иногда доходности облигаций сравнивают путем вычисления отношения доходностей, т. е. частного доходностей двух облигаций:

Среди факторов, влияющих на доходность облигации, следует выделить: 1) тип эмитента, 2) кредитное качество эмитента, 3) срок до погашения, или длительность, финансового инструмента, 4) опционы, дающие определенные дополнительные права эмитенту или инвестору, 5) налогообложение процентной прибыли, получаемой инвестором, и 6) предполагаемая ликвидность ценной бумаги.

По типам эмитентов рынок облигаций делится на следующие рыночные сектора: сектор американских правительственных бумаг, сектор бумаг правительственных агентств, сектор ценных бумаг муниципальных правительств, кредитный сектор (внутренние и зарубежные корпорации) и сектор ценных бумаг иностранных правительств. Для каждого сектора характерно особое соотношение риска/прибыли. Часть секторов делится, в свою очередь, на группы в соответствии с общеэкономическими характеристиками эмитентов. Кредитный рыночный сектор подразделяется, например, на: 1) индустриальный, 2) сектор коммунального обслуживания, 3) финансовый и 4) некорпоративный. За исключением сектора казначейских ценных бумаг, прочие сектора характеризуются присутствием множества разнообразных типов эмитентов, в разной степени способных удовлетворить взятые на себя контрактные обязательства. Именно поэтому, анализируя долговое обязательство, следует в первую очередь исходить из характеристик эмитента.

Спред между процентными ставками, предлагаемыми двумя различными секторами рынка для облигаций с одинаковыми сроками погашения, принято называть межрыночным секторным спредом. Наиболее популярный межрыночный секторный спред – это спред между сектором казначейских ценных бумаг и любым другим сектором, где торгуются облигации той же длительности. В табл. 5.2 представлены приблизительные значения эталонного спреда между крупнейшими эмитентами, входящими в Кредитный индекс, созданный Lehman Brothers, и казначейскими бумагами близкой длительности. Спред между двумя облигационными выпусками внутри рыночного сектора называют внутрирыночным секторным спредом.

Риск дефолта или кредитный риск существует, поскольку эмитент облигации может оказаться не в состоянии вовремя осуществить выплаты номинала и/или процента. Большинство участников рынка, оценивая риск дефолта эмитента, пользуются прежде всего материалами, поставляемыми коммерческими рейтинговыми компаниями. О коммерческих рейтинговых компаниях речь пойдет в главе 7.

Спред между казначейскими ценными бумагами и идентичными им во всех отношениях, за исключением кредитного качества, неказначейскими ценными бумагами принято называть спредом по качеству или кредитным спредом. Важно понимать, что мы имеем в виду, говоря об «идентичности во всех отношениях, за исключением качества». Как видно из материалов глав 4 и 7, а также дальнейших глав, облигационный выпуск может включать опционы, от которых держатель облигации выигрывает или проигрывает. Если такие опционы отсутствуют в казначейской ценной бумаге и присутствуют в рассматриваемой неказначейской облигации, две бумаги не могут считаться идентичными; в этом случае спред будет отражать, в первую очередь, стоимость этих опционов.

Облигационный выпуск нередко дает либо держателю бумаги, либо ее эмитенту право предпринимать некоторые действия, направленные против интересов другой стороны. Такого рода встроенные в облигацию опционы мы уже обсуждали и будем обсуждать в этой книге. Наиболее характерный для облигации опцион – это колл-опцион, дающий эмитенту право частично или полностью выкупить долг до даты, указанной в графике. Колл-опцион выгоден эмитенту, поскольку в ситуации падения процентных ставок на рынке дает ему возможность заменить старый облигационный выпуск на новый, с более низким купоном. Колл-опцион дает эмитенту право изменить сроки погашения ценной бумаги. Напомним, что такой опцион невыгоден держателю облигации, поскольку предполагает реинвестицию полученных средств под более низкие ставки.

Наличие опциона влияет на размер спреда между данной ценной бумагой и казначейской облигацией, а также спреда между данной ценной бумагой и аналогичной облигацией, не имеющей встроенного опциона. Как правило, спред относительно казначейской облигации больше у той ценной бумаги, в которую встроен опцион, благоприятный для эмитента (т. е. колл-опцион). И наоборот, спред относительно казначейской облигации будет меньше у той облигации, в которую встроен опцион, благоприятный для держателя (т. е. пут-опцион или конверсионный опцион). Случается даже, что доходность облигации со встроенным благоприятным для инвестора опционом ниже, чем доходность аналогичной казначейской бумаги!

Процентный доход – если только он не освобожден от налога федеральным налоговым законодательством – облагается налогом на федеральном уровне. Кроме федеральных подоходных налогов инвестору, возможно, придется платить налоги в бюджет штата и в местный бюджет.

Государственное налоговое законодательство специально освобождает от налогов процентный доход, приносимый определенными облигационными выпусками муниципального сектора. Поскольку доход от муниципальных облигаций освобожден от налогов, их доходность является более низкой, чем доходность казначейских ценных бумаг с той же длительностью.

Доходность облагаемого налогом облигационного выпуска после уплаты федеральных налогов называется посленалоговой доходностью:

посленалоговая доходность = доходность до уплаты налогов x (1 – применимая к данной облигации ставка налога на прибыль).

Очевидно, что налоговая ставка может меняться в зависимости от типа инвестора. Предположим, что подлежащая налогообложению облигация имеет доходность 5 %; ее приобретает инвестор, налоговая ставка для которого составляет 39 %. В этом случае:

посленалоговая доходность = 0,05 x (1–0,39) = 0,0305 = 3,05 %.

Мы можем также вычислить доходность, при которой облагаемый налогом облигационный выпуск продемонстрирует ту же посленалоговую доходность, что и выпуск, не подлежащий налогообложению. Доходность такого рода принято называть эквивалентной налогооблагаемой доходностью:

Предположим, что инвестор, для которого налоговая ставка составляет 39 %, приобретает не облагаемую налогом облигацию с доходностью 3,4 %. Эквивалентная налогооблагаемая доходность в этом случае равна:

Заметим, что чем выше применимая к данной облигации налоговая ставка, тем больше и эквивалентная налогооблагаемая доходность. Так, если бы в нашем примере налоговая ставка составила не 39 %, а 45 %, то эквивалентная налогооблагаемая доходность была бы равна не 5,57 %, а 6,18 %:

Рынок муниципальных облигаций поделен на два крупнейших сектора: сектор необеспеченных муниципальных облигаций и сектор облигаций, обеспеченных поступлениями в муниципальный бюджет. Сектор муниципальных облигаций, обеспеченных поступлениями в бюджет, делится на следующие подгруппы: 1) жилищное строительство; 2) энергетика; 3) медицина; 4) страхование. Эталоном для вычисления спреда на рынке облигаций, не подлежащих налогообложению, являются не казначейские облигации, а теоретически смоделированные облигации с кредитным рейтингом ААА и соответствующей длительностью.

Правительства штатов и местные органы власти могут облагать налогом процентный доход от облигационных выпусков, освобожденных от федеральных налогов. Некоторые муниципалитеты освобождают процентный доход всех муниципальных ценных бумаг от налога; другие не делают этого. Часть штатов освобождает от налога процентный доход от облигаций, выпущенных муниципалитетами, принадлежащими штату, и облагает налогом процентный доход от облигаций, выпущенных муниципалитетами за пределами штата. Итак, две муниципальные ценные бумаги одного кредитного качества и одинаковой длительности торгуются со спредом, обусловленным различным спросом на муниципальные облигации в разных штатах. Так, в штате с высоким налогом на прибыль, скажем Нью-Йорке, спрос на муниципальные облигации приведет к более низким уровням их доходности, чем доходность аналогичных ценных бумаг во Флориде, где налог на прибыль ниже.

Муниципальным органам власти не позволено облагать налогом процентный доход от ценных бумаг, эмитентом которых является Казначейство США. Таким образом, часть спреда между казначейскими облигациями и облагаемыми налогом неказначейскими бумагами той же длительности отражает стоимость освобождения от налогов штата и местных налогов.

Облигации торгуются при разных уровнях ликвидности. Чем выше предполагаемая ликвидность, тем ниже доходность, которую потребует инвестор. Мы уже писали о том, что казначейские ценные бумаги являются наиболее ликвидными ценными бумагами в мире. Более высокая доходность неказначейских ценных бумаг относительно казначейских отражает разницу в ликвидности. Различия существуют, однако, и внутри самого рынка казначейских облигаций. Так, облигации «в ходу» имеют более высокую ликвидность, нежели облигации «не в ходу».

Управляющий портфелем может использовать облигации в качестве обеспечения для привлечения средств. Привлечение финансирования даст менеджеру возможность создать кредитное плечо. Данную стратегию мы подробно обсудим в главе 22. Рынок, на котором управляющие чаще всего осуществляют привлечение средств, используя в качестве обеспечения кредита ценную бумагу, – это рынок сделок купли/продажи с обязательством обратного выкупа, или рынок репо (repo market). Рынок репо и сделки репо мы рассматриваем в главе 22.

Как правило, если управляющий портфелем собирается привлечь финансирование через сделку репо, то необходимое финансирование ему обеспечивает дилер. Процент, который требует дилер за свои услуги, принято называть ставкой репо. Не существует единой ставки репо: ее конкретный размер зависит от длительности займа, а также от особенности облигации, под которую привлекаются деньги. В определенные периоды времени дилеры нуждаются в определенных облигациях, чтобы покрыть свои короткие позиции. Если дилеру необходима конкретная облигация, он, скорее всего, согласится дать кредит под более низкую ставку репо, чем текущая рыночная ставка репо. Финансирование будет предоставлено на более выгодных условиях, поскольку сам дилер сможет использовать обеспечение (ту самую облигацию, в которой он нуждался) для того, чтобы на время действия соглашения репо покрыть короткую позицию. Поскольку данная облигация открывает привлекательные для клиента финансовые возможности, цена на нее вырастет, а доходность, соответственно, упадет по сравнению с аналогичными облигационными выпусками. Спред между доходностью таких облигаций и доходностью облигаций, ставка репо по которым не ниже среднерыночной, отражает более выгодные возможности привлечения финансирования.

Этот спред мы наблюдаем и на рынке казначейских бумаг между облигационными выпусками «в ходу» и «не в ходу». Спред между имеющими близкие длительности облигациями «в ходу» и «не в ходу» отражает, таким образом, не только разницу в ликвидностях, но и преимущества финансирования. Этот спред существует, впрочем, не только между облигациями «в ходу» и «не в ходу». В определенные периоды дилерам для их целей могут срочно требоваться облигации «не в ходу».

В главе 2 мы писали о том, что цена облигации меняется в течение ее срока жизни в зависимости от изменения рыночных доходностей. Время, оставшееся до конца срока жизни облигации, принято называть сроком до погашения или длительностью. В главе 4 было показано, что волатильность цены облигации зависит от ее срока до погашения. А именно, при прочих равных: чем дольше срок до погашения, тем выше волатильность цены, связанная с изменением рыночных доходностей. Как правило, облигации распределяют на три сектора длительности: облигации, срок до погашения которых составляет от 1 до 5 лет, считаются краткосрочными; те, чей срок до погашения – от 5 до 12 лет, называют среднесрочными; долгосрочными являются облигации со сроком до погашения больше 12 лет. Спред между любыми двумя секторами длительности называют спредом длительности. Взаимосвязь между доходностями ценных бумаг, отличающихся только сроком до погашения, носит название временной структуры процентных ставок.

ВРЕМЕННАЯ СТРУКТУРА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Временнaя структура процентных ставок – понятие, без которого невозможна оценка стоимости облигации. Именно поэтому в нашей книге ее описанию отведен пространный раздел.

Графическим изображением взаимосвязи между доходностями облигаций, имеющих одинаковое кредитное качество и разные сроки до погашения, служит кривая доходности. В прошлом инвесторы, как правило, строили кривую доходности на основании наблюдений над ценами и доходностями на рынке казначейских облигаций. Выбор рынка объясняется двояко. Во-первых, инвестиции в казначейские ценные бумаги не связаны с риском дефолта и разницы в кредитном качестве не влияют на доходности. Финансовые инструменты, таким образом, оказываются сравнимыми. Во-вторых, поскольку рынок казначейских ценных бумаг чрезвычайно обширен и активен, на нем с меньшей остротой стоят проблемы неликвидной или редкой торговли. Заметим, однако, что доходности казначейских ценных бумаг нередко могут быть занижены, поскольку значения доходностей могут отражать более выгодные возможности финансирования.

На рис. 5.1 представлены три наиболее типичные кривые доходности, наблюдающиеся на рынке.

С практической точки зрения ценность кривой доходности казначейских облигаций заключается в следующем: данная кривая служит эталоном при ценообразовании облигаций и определяет доходности в прочих секторах рынка долговых обязательств, т. е. на рынках банковских кредитов, ипотечного кредитования, корпоративного долга и международных облигаций. Между тем в настоящее время участники рынка склонны считать традиционно выстраиваемую кривую доходности казначейских ценных бумаг неудовлетворительным аналитическим инструментом для нахождения связи между требуемой доходностью и длительностью. Наиболее существенное из возражений против принятого метода связано с тем, что в реальной практике у ценных бумаг одинаковой длительности подчас бывает разная доходность. Далее мы покажем, что этот феномен отражает роль и влияние разницы в купонных ставках облигаций. Таким образом, мы оказываемся перед необходимостью разработать более точный и надежный способ построения кривой доходности казначейских ценных бумаг. В следующих разделах мы критически рассматриваем традиционную кривую доходности и предлагаем наиболее разумное решение проблемы построения такой кривой. Суть предлагаемого метода сводится к определению доходностей бескупонных облигаций: в этом случае влиянием купонной ставки на взаимосвязь доходность – длительность можно пренебречь.

Цена облигации – это приведенная стоимость ее денежного потока. Напомним, что, обсуждая ценообразование облигаций в главе 2, мы исходили из того, что все денежные потоки облигации дисконтируются по одной процентной ставке. Процентная ставка вычислялась как сумма доходности казначейской ценной бумаги, длительность которой равна длительности облигации, и соответствующей премии за риск.

Между тем, как мы уже замечали, определение доходности, по которой дисконтируются денежные потоки облигации, через анализ кривой доходности казначейских ценных бумаг – занятие не всегда продуктивное. В качестве иллюстрации рассмотрим две гипотетические пятилетние казначейские облигации – облигацию А и облигацию В. Они отличаются только купонной ставкой: ставка на облигацию А составляет 12 %, а на облигацию В – 3 %. Денежный поток этих двух облигаций на $100 номинала для 10 полугодовых периодов (пять лет), оставшихся до погашения, равен:

Ввиду разной структуры денежных потоков было бы неправильным использовать одну и ту же процентную ставку для дисконтирования всех денежных потоков. Разумнее было бы дисконтировать каждый из денежных потоков по особой ставке, соответствующей периоду времени, в который данный поток поступит к инвестору. Остается выяснить, каким образом определить значения процентных ставок для каждого из периодов.

Попробуем представить себе, что ценные бумаги А и В – это не две облигации, а два «пакета» денежных потоков. Каждый из «пакетов» будет включать некоторое количество бескупонных инструментов. Заработанный инвестором процент по каждому из этих бескупонных инструментов будет равен разнице между номинальной стоимостью и ценой приобретения. Так, облигацию А можно рассматривать как 10 бескупонных инструментов: один имеет номинальную стоимость $6 и длительность полгода; второй – номинальную стоимость $6 и длительность год; третий – номинальную стоимость $6 и длительность полтора года и т. д. Последний бескупонный долговой инструмент имеет срок погашения, равный 10 полугодовым периодам, его номинальная стоимость составляет $106. Облигация В также может рассматриваться как 10 бескупонных инструментов: первые девять будут иметь номинальную стоимость $1,50; последний – номинальную стоимость $101,50. Очевидно, что стоимость, или цена, каждой из купонных облигаций (А и В) будет равна общей сумме стоимостей ее бескупонных компонентов.

В качестве набора бескупонных инструментов может рассматриваться любая облигация. Сроком погашения бескупонного инструмента, входящего в «пакет», будет считаться дата осуществления купонной выплаты или, если речь идет о номинале, дата погашения самой облигации. Стоимость облигации будет равна сумме стоимостей всех входящих в состав пакета бескупонных компонентов. Если же это равенство на практике не выполняется, то участнику рынка предоставляется возможность «расщепить» (strip) облигацию и через продажу стрипов на рынке получить безрисковую прибыль (подробнее см. главу 6).

Для того чтобы верно определить стоимость каждого из бескупонных инструментов, инвестору следует знать доходность бескупонной казначейской ценной бумаги той же длительности. Такая доходность носит название спот-ставки, а графическое изображение взаимосвязи между спот-ставкой и длительностью принято называть кривой спот-ставок. Поскольку наибольшая длительность бескупонных казначейских долговых обязательств – один год, такую кривую невозможно построить, исходя исключительно из наблюдений над реальной торговой активностью на рынке казначейских бумаг. Построение кривой спот-ставок основывается на теоретических выводах, сделанных на базе изучения доходностей реально торгующихся казначейских купонных долговых обязательств. Речь, таким образом, идет о кривой теоретических спот-ставок, являющейся наглядным отражением временной структуры процентных ставок.

Идеальная кривая теоретических спот-ставок может быть получена на основе значений доходностей казначейских долговых обязательств. В качестве исходных данных выбираются данные о доходностях:

1) казначейских облигаций «в ходу»; либо

2) казначейских облигаций «в ходу» и избранных казначейских облигаций «не в ходу»; либо

3) всех казначейских купонных облигаций и векселей; либо

4) стрипов казначейских купонных ценных бумаг.

(Каждый из типов казначейских ценных бумаг подробно описан в следующей главе). После того как будут выбраны ценные бумаги, анализ которых даст возможность построить кривую теоретических спот-ставок, следует определить методологию построения кривой. Тип методологии зависит от вида ценных бумаг. Если в качестве материала используются стрипы купонных облигаций, процедура будет простой, поскольку наблюдаемые доходности равны спот-ставкам. Если кривая строится исходя из доходностей казначейских облигаций «в ходу» (вместе с ними могут рассматриваться избранные казначейские облигации «не в ходу»), применяется методология, известная как «бутстреппинг» (bootstrapping). Если рассматриваются сразу все купонные казначейские облигации и векселя, приходится прибегать к помощи сложных статистических методов.

Казначейские облигационные выпуски «в ходу». Казначейскимиоблигациями «в ходу» называют долговые обязательства данной длительности, размещенные на аукционе в самое последнее время. К этой категории относятся казначейские векселя сроком погашения 3 месяца, 6 месяцев и 1 год; казначейские ноты длительностью 2 года, 5 лет и 10 лет; а также казначейские облигации длительностью 30 лет. Казначейские векселя являются бескупонными инструментами, ноты и облигации – это ценные бумаги с купонными выплатами.

Для каждой из ценных бумаг «в ходу» известны значения наблюдаемых доходностей (см., например, табл. 5.1). (Напомним, что в настоящее время казначейские облигации длительностью 3 года больше не выпускаются.) Между тем при построении кривой данные значения (за исключением случаев, когда облигация торгуется по номиналу) не используются. Для каждой из купонных ценных бумаг «в ходу» находится значение доходности, необходимой для того, чтобы данная бумага торговалась по номиналу, – именно эти цифры становятся затем основой построения кривой. Полученная кривая доходности казначейских облигаций «в ходу» носит название номинальной купонной кривой.

Цель исследования – построение кривой теоретических спот-ставок с 60 полугодовыми спот-ставками: от полугодовой спот-ставки до ставки 30-летней. Казначейские облигационные выпуски «в ходу» предлагают нам всего шесть значений длительностей (трехмесячные векселя в расчет не принимаются). Недостающие 54 значения интерполируются из наиболее близких точек номинальной кривой доходности. Самый простой и наиболее часто употребляемый способ интерполяции – это линейная экстраполяция. Имея значения доходностей для двух длительностей на номинальной купонной кривой, мы можем провести следующие вычисления:

Доходности для всех промежуточных полугодовых точек на шкале длительности вычисляются путем прибавления к доходности для наименьшей из длительностей полученного согласно формуле результата.

Предположим, например, что на номинальной кривой доходности казначейских облигаций «в ходу» значения доходностей для длительностей два года и пять лет составляют соответственно 6 % и 6,6 %. Между этими двумя точками на шкале длительности умещается шесть полугодовых периодов. Экстраполированные доходности для длительностей 2; 2,5; 3; 3,5; 4; и 4,5 находятся следующим образом.

Сначала получим:

Затем:

доходность для 2,5 лет = 6,00 % + 0,10 % = 6,10 %;

доходность для 3 лет = 6,10 % + 0,10 % = 6,20 %;

доходность для 3,5 лет = 6,20 % + 0,10 % = 6,30 %;

доходность для 4 лет = 6,30 % + 0,10 % = 6,40 %;

доходность для 4,5 лет = 6,40 % + 0,10 % = 6,50 %.

Вычисления, основанные исключительно на облигациях «в ходу», неудобны с двух точек зрения. Во-первых, две точки на шкале длительности могут быть разделены значительным расстоянием и метод линейной интерполяции, который будет применен для вычисления промежуточных доходностей, даст в этом случае весьма приблизительный результат. Данное замечание в первую очередь касается промежутков между длительностями 5 и 10 лет и 10 и 30 лет. Вторая сложность связана с анализом самих наблюдаемых доходностей облигаций «в ходу»: как мы знаем, большинство из них отражает благоприятные возможности финансирования, которые предоставляются таким ценным бумагам на рынке репо. Реальная доходность, таким образом, окажется выше котируемой (наблюдаемой).

Покажем теперь, каким образом с помощью метода бутстреппинга номинальная кривая доходности может быть превращена в кривую теоретических спот-ставок. Для упрощения процедуры мы будем строить кривую теоретических спот-ставок для временного промежутка, равного 10 годам. Нам предстоит, следовательно, подсчитать значения 20 полугодовых спот-ставок. За номинальную кривую возьмем кривую, представленную в табл. 5.3[33].

Процедура построения кривой теоретических спот-ставок на основе наблюдаемых доходностей казначейских ценных бумаг иллюстрируется на примере данных о цене, годовой доходности (доходности к погашению) и длительности 20 гипотетических казначейских облигаций, представленных в табл. 5.4. Предполагается, что рыночная цена каждой из облигаций равна ее номинальной стоимости. Таким образом, доходность к погашению и купонная ставка совпадают.

В ходе дальнейших рассуждений мы будем опираться на высказанное ранее утверждение: стоимость купонной казначейской ценной бумаги равна стоимости «пакета» бескупонных казначейских ценных бумаг, денежные потоки по которым имеют размер денежных потоков, поступающих от купонных выплат.

Рассмотрим представленный в табл. 5.4 казначейский вексель со сроком погашения шесть месяцев. В главе 6 мы расскажем о том, что казначейские векселя являются бескупонными инструментами; таким образом, годовая доходность в 5,25 % равна в этом случае спот-ставке. Для казначейского векселя с длительностью один год доходность 5,5 % также равна годовой спот-ставке. На основании данных двух спот-ставок мы можем вычислить спот-ставку теоретической бескупонной казначейской облигации с длительностью 1,5 года. Цена теоретической бескупонной казначейской ценной бумаги со сроком погашения 1,5 года будет равна приведенной стоимости трех денежных потоков реальной купонной казначейской облигации с длительностью 1,5 года; доходность, используемая для дисконтирования в этом случае, и будет спот-ставкой, соответствующей данному денежному потоку. В табл. 5.4 приводится купонная ставка казначейской облигации с длительностью 1,5 года; она равна 5,75 %. При номинале в $100 денежный поток для этой казначейской ценной бумаги может быть вычислен как:

0,5 года: 0,0575 x $100 x 0,5 = $2,875;

1 год: 0,0575 x $100 x 0,5 = 2,875;

1,5 года: 0,0575 x $100 x 0,5 + 100 = 102,875.

Тогда приведенная стоимость денежного потока будет равна:

где:

z1 – половина шестимесячной теоретической спот-ставки, выраженной в процентах годовых;

z2 – половина годовой теоретической спот-ставки;

z3 – половина полуторагодовой теоретической спот-ставки, выраженной в процентах годовых.

Поскольку значения полугодовой и годовой спот-ставки составляют соответственно 5,25 % и 5,50 %, мы знаем, что:

z1 = 0,02625, а z2 = 0,0275.

Приведенная стоимость полуторагодовой купонной казначейской облигации может быть вычислена как:

Поскольку цена купонной казначейской облигации длительностью 1,5 года составляет $100, можно считать верным следующее равенство:

Теоретическая полуторагодовая спот-ставка находится как:

Удвоив эту доходность, получим доходность, эквивалентную облигационной, в размере 0,0576, т. е. 5,76 %. Это и есть теоретическая спот-ставка для длительности полтора года, т. е. ставка, под которую торговались бы на рынке полуторагодовые бескупонные ценные бумаги, если бы они существовали в действительности.

Зная теоретическую спот-ставку для полутора лет, мы можем найти теоретическую спот-ставку для длительности 2 года. Денежный поток двухлетней купонной казначейской ценной бумаги, представленной в табл. 5.3, равен:

0,5 лет: 0,060 x $100 x 0,5 = $3,00;

1 год: 0,060 x $100 x 0,5 = 3,00;

1,5 года: 0,060 x $100 x 0,5 = 3,00;

2 года: 0,060 x $100 x 0,5 + 100 = 103,00.

Тогда приведенная стоимость денежного потока равна:

где z4 – половина теоретической спот-ставки для длительности два года. Поскольку полугодовая спот-ставка, годовая спот-ставка и полуторагодовая спот-ставка составляют соответственно 5,25 %, 5,50 % и 5,76 %, то:

z 1 = 0,02625; z 2 = 0,0275; z 3 = 0,028798.

Таким образом, приведенная стоимость двухлетней купонной казначейской облигации будет равна:

Зная, что цена двухлетней купонной казначейской облигации составляет $100, мы можем записать следующее отношение:

Теоретическая спот-ставка для длительности два года вычисляется следующим образом:

Удвоив полученную доходность, мы найдем значение доходности, эквивалентной облигационной, – иными словами, значение теоретической двухлетней спот-ставки – оно равно 6,02 %.