Логарифмическая линейка

Логарифми'ческая лине'йка, счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, с помощью которого операции над числами (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и др.) заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Л. л. состоит из корпуса, движка и бегунка (из стекла или плексигласа), имеющего визирную линию ( рис. 1 ). На корпусе и движке нанесены основные шкалы С и D, размеченные так, что положение любого числа Х (целого или дробного от 1 до 10) определяется длиной отрезка, равного mlg Х, отложенного от начала шкалы (m - масштабный коэффициент, так называемый модуль шкалы). Геометрическое сложение (вычитание) отрезков шкал С и D посредством перемещения движка относительно корпуса на Л. л. заменяет операцию умножения (деления) соответствующих чисел. Кроме указанных шкал С и D, на Л. л. наносят шкалы ¹/ _X(R), Х ²(А, В), Х ³(К), , е ^х, lgX(L), шкалы значений тригонометрических функций и др.

  Л. л., прообразом которой явилась так называемая гантерова линейка (Gunter's line), была изобретена английским математиком Э. Гантером вскоре после открытия логарифмов и описана им в 1623. Это была логарифмическая шкала (линейка), на которой сложение отрезков производилось с помощью циркуля. В 1630 английский математик У. Отред заменил циркуль второй линейкой (движком). В дальнейшем усовершенствовались лишь детали: в 1650 была осуществлена идея нанесения шкалы по спирали на цилиндрической поверхности; в 30-х гг. 19 в. появился прибор, действующий по принципу линейки Гантера, выполненной в виде часов с вращающимся циферблатом (логарифмическая шкала) и подвижной стрелкой, - прообраз современных круглых Л. л. ( рис. 2 ); в 1850 к Л. л. был добавлен бегунок, что значительно упростило работу с ней; в начале 20 в. для расчётов с повышенной точностью использовались т. н. счётные вальцы ( рис. 3 ) - вид Л. л., шкалы которой нанесены по образующим цилиндрических вальцов; движком служил полый цилиндр с окнами, прорезанными против основных шкал; деление движка нанесено по краям этих прорезей. Современная Л. л. - простой и удобный счётный инструмент; применяется при инженерных и прочих расчётах, когда точность вычислений ограничивается 2-3 знаками (для обычной Л. л. длиной 25 смс m = 250 мм) .Л. л. с m = 500-750 ммдают точность 4-5 знаков.

  Лит.:Панов Д. Ю., Счетная линейка, 21 изд., М., 1973.

Рис. 3. Счётные вальцы.

Рис. 2. Круглая логарифмическая линейка.

Рис. 1. Логарифмическая линейка.

Логарифмическая спираль

Логарифми'ческая спира'ль, плоская спиральная кривая (см. Линия ) .

Логарифмическая функция

Логарифми'ческая фу'нкция, функция, обратная к показательной функции.Л. ф. обозначается

  y= ln x; (1)

  её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

  х = е ^у(2)

  ( е- неперово число ) .Т. к. e ^y> 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х> 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию

  y= log _aX,

  где а> 0 (а ¹ 1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция log _aX приводится к ней по формуле:

  log _a x= MInX,

  где М = 1/In а. Л. ф. - одна из основных элементарных функций ; её график ( рис. 1 ) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

  In x+ln y= ln xy.

  Для - 1 < х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

  ln(1 + x) = x

  Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

  ,

  .

  Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

  Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым ( рис. 2 ). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dx/dy = - kx, откуда .

  Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ¹ 0 обозначается Ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

  In z= In½ z½+ i arg z,

  где arg z - аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем

  Ln z= ln z+ 2 kp i, k= 0, ±1, ±2, ...

  Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения

  .

Рис. 1 к ст. Логарифмическая функция.

Рис. 2 к ст. Логарифмическая функция.

Логарифмические таблицы

Логарифми'ческие табли'цы, таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и 10 ^kN (при kцелом) различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы (lg10 ^kN = k+ lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел. Для отыскания характеристики служат правила: 1) характеристика числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, отличной от нуля (так, lg 0,0002 = - 4,30103, т. о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной мантиссы и отрицательной характеристики).

  Существуют таблицы десятичных логарифмов с различным числом знаков мантисс. Наиболее распространены 4-значные и 5-значные таблицы. Иногда употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях - таблицы, позволяющие без большого труда вычислять логарифмы с большим числом знаков. В Л. т. часто приводятся таблицы антилогарифмов - чисел, логарифмы которых суть данные числа, и таблицы так называемых гауссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы или разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Кроме логарифмов чисел, Л. т. содержат обычно логарифмы тригонометрических величин.

  Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейцарским математиком И. Бюрги. Таблицы Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, следующих через одну минуту. Т. к. синус 90° тогда принимали равным 10 ⁷, а на него часто приходилось умножать, то Непер определил свои Л. так, что логарифм 10 ⁷был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 10 ⁷, у него положительны. Непер не ввёл понятия об основании системы логарифмов. Его логарифм числа N в современных обозначениях приблизительно равен . Свойства логарифмов Непера несколько сложнее обычных, т. к. у него логарифм единицы отличен от нуля.

  «Арифметические и геометрические таблицы прогрессий» (1620) Бюрги представляют собой первую таблицу антилогарифмов («чёрные числа») и дают значения чисел, соответствующих равноотстоящим логарифмам («красным числам»). «Красные числа» Бюрги суть логарифмы поделенных на 10 ⁸«чёрных чисел» при основании, равном . Таблицы Бюрги и особенно Непера немедленно привлекли внимание математиков к теории и вычислению логарифмов. По совету Непера английский математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и затем 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные логарифмы иногда называют бриговыми). 10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал голландский математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в основу большинства последующих таблиц, причём их авторы внесли много изменений в структуру Л. т. и поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 ошибки, у австрийского математика Г. Вега в 1783 - пять; первые безошибочные таблицы выпустил в 1857 немецкий математик К. Бремикер). В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 при участии Л. Ф. Магницкого.Таблицы т. н. гауссовых логарифмов были опубликованы в 1802 итальянским математиком З. Леонелли; К. Ф. Гаусс ввёл (1812) эти логарифмы в общее употребление.

  Лит.:Брадис В. М., Четырехзначные математические таблицы, М. - Л., 1928, посл., 44 изд., М., 1973; Милн-Томсон Л.-М., Комри Л.-Дж., Четырехзначные математические таблицы, пер. с англ., М., 1961; Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М., 1972; Вега Г., Таблицы семизначных логарифмов, 4 изд., М., 1971; Субботин М. Ф., Многозначные таблицы логарифмов, М. - Л., 1940; Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел..., М., 1952; Таблицы натуральных логарифмов, 2 изд., т. 1-2, М., 1971.

Логарифмический приёмник

Логарифми'ческий приёмник, транзисторный или ламповый радиоприёмник,в котором амплитудная характеристика усилителя промежуточной или видеочастоты представляется логарифмическим законом. Л. п. позволяет принимать сигналы с динамическим диапазоном до 100 дби уменьшает действие электрических помех некоторых видов. Логарифмическая амплитудная характеристика может быть получена, например, посредством включения нелинейного элемента (диода) параллельно коллекторной или анодной нагрузке в каждом каскаде усилителя или последовательным сложением напряжений от каждого каскада усилителя на общей нагрузке. В первом случае при малых входных сигналах амплитудная характеристика усилителя линейна (так называемый линейно-логарифмический приёмник). С ростом входного сигнала диод начинает проводить электрический ток; его внутреннее сопротивление падает и шунтирует сопротивление нагрузки. Общее сопротивление нагрузки изменяется так, что амплитуда на выходе усилителя пропорциональна логарифму амплитуды на входе. Во втором случае при возрастании входного сигнала каскады усилителя, начиная с последнего, поочерёдно выходят из линейного режима и до перехода в режим насыщения (ограничения) обеспечивают получение логарифмической амплитудной характеристики.

  Лит.:Волков В. М., Логарифмические усилители на транзисторах, К., 1965.

  А. С. Афромеев.

Логарифмически-нормальное распределение

Логарифми'чески-норма'льное распределе'ние, специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Если Х имеет нормальное распределение и Y= е ^х, то Yимеет Л.-н. р., характеризуемое плотностью:

  .

  Здесь mи s - параметры распределения величины X. Математическое ожидание Y:

  ,

  дисперсия:

  .

  Этому распределению с хорошим приближением подчиняется, например, размер частиц при дроблении какого-либо материала (камня и т. п.), содержание многих минералов в породах.

  Лит.:Колмогоров А. Н., О логарифмически-нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении, «Докл. АН СССР», 1941, т. 31, в. 2, с. 99-101; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Aitchison J., Brown J. A. C., The lognormal distribution, Camb., 1957.

  В. И. Битюцков.

Логата

Лога'та, река в Таймырском (Долгано-Ненецком) национальном округе Красноярского края РСФСР, правый приток р. Верхнего Таймыра (бассейн Карского моря). Длина 393 км,площадь бассейна 10900 км ².Течёт по Северо-Сибирской низменности; извилиста. В бассейне Л. свыше 3200 мелких озёр общей площадью 926 км ².Питание снеговое и дождевое. Замерзает в конце сентября, вскрывается в начале июня.

Логау Фридрих фон

Ло'гау(Logau) Фридрих фон (июнь 1604, Брокрут, - 24.7.1655, Лигниц), немецкий поэт-сатирик. В своих эпиграммах (сборники 1638 и 1654) Л. проклинает Тридцатилетнюю войну, опустошившую страну и принёсшую выгоду лишь иноземцам, бичует пороки господствующих сословий, с насмешкой пишет о церкви и религиозных суевериях. Стихи Л. вобрали в себя народные пословицы и поговорки.

  Соч.: Sinngedichte. Eine Auswahl, В., 1967; в рус. пер. в кн.: Хрестоматия по западноевропейской литературе XVII в. Сост. Б. И. Пуришев, 2 изд., М., 1949; в кн.: Слово скорби и утешения. Немецкая поэзия времен 30-летней войны 1618-1648, пер Л. Гинзбурга, М., 1963.

  Лит.:Пуришев Б. И., Очерки немецкой литературы XV-XVII вв., М., 1955; Berger U., Der Unerbittliche, Friedrich von Logau, в его кн.: Die Chance der Lyrik, B. - Weimar, 1971, S. 66-72.

Логаэды

Логаэ'ды(от греч. logaoidikуs - прозаически-стихотворный), 1) в метрическом стихосложении - стихи, образованные сочетанием 3-сложных стоп (дактиль, анапест) с 2-сложными (ямб, хорей); их ритм менее ровный, чем в стихах из однородных стоп (отсюда название). Широко употреблялись в лирике (например, в сапфической строфе ) и хоровых частях трагедий. 2) В тоническом стихосложении - стихи, внутри которых ударения располагаются с неравномерными слоговыми промежутками, повторяющимися из стиха в стих.

  Бу'дем жи'ть и люби'ть, моя подру'га,

  Воркотню' старико'в ожесточённых

  Бу'дем в ло'маный гро'ш с тобо'ю ста'вить...

  (А. Пиотровский; пер. из Катулла).

Логен (приток р. Гломма)

Ло'ген(Lagen), Гудбрансдальс-Логен, крупнейший (правый) приток р. Гломма в Норвегии. Длина 203 км,площадь бассейна свыше 12 тыс. км ².Берёт начало на водоразделе Скандинавских гор из оз. Лешаскугсвати, течёт по глубокой долине Гудбрансдаль, протекает через оз. Мьёса, ниже которого носит название Ворма. Средний расход воды в нижнем течении 247 м ³/сек.ГЭС.

Логен (река в Норвегии)

Ло'ген(Lagen), Нумедальс-Логен, река на Ю. Норвегии. Длина 342 км,площадь бассейна 5,6 тыс. км ².Берёт начало в Скандинавских горах, на плоскогорье Хардангервидда, протекает по долине Нумедаль, впадает в пролив Скагеррак. Средний расход воды в нижнем течении 123 м ³/сек.Половодье в мае - июне (главным образом от таяния сезонных снегов); с декабря по март покрыта льдом. ГЭС. Вблизи устья - г. Ларвик.

Логика

Логика(греч. logik ), наука о приемлемых способах рассуждения. Слово «Л.» в его современном употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. lуgos, от которого оно происходит. В духе традиции с понятием Л. связываются три основных аспекта: онтологический - «Л. вещей», т. е. необходимая связь явлений объективного мира ( Демокрит ) ;гносеологический - «Л. знания», т. е. необходимая связь понятий, посредством которой познаётся «сущность и истина» ( Платон ) ,и демонстративный (доказательный), или собственно логический, - «Л. доказательств и опровержений», т. е. необходимая связь суждений (высказываний) в рассуждениях (умозаключениях), принудительная убедительность («общезначимость») которых вытекает только из формы этой связи безотносительно к тому, выражают эти суждения «сущность и истину» или нет ( Аристотель ) .Первые два аспекта относятся к философии и диалектической логике,последний же аспект составляет собственно логику, или современную Л. (которую вслед за И. Кантом иногда называют формальной Л.).

  Исторически предмет (собственно) Л. ограничивался своего рода «каталогизацией» правильных аргументов, т. е. таких способов рассуждений, которые позволяли бы из истинных суждений-посылок всегда получать истинные суждения-заключения. Известным со времён античности набором таких аргументов однозначно определялся процесс дедукции,характерный для т. н. традиционной Л., ядро которой составляла силлогистика,созданная Аристотелем. По мере изучения особенностей демонстративного мышления предмет традиционной Л. постепенно расширялся за счёт несиллогистических, хотя и дедуктивных способов рассуждений, а также за счёт индукции.Поскольку последняя выпадала из рамок Л. как дедуктивной теории (или совокупности таких теорий), она в конце концов сделалась предметом особой теории, названной индуктивной Л.

  Современная Л. является историческим преемником традиционной Л. и в некотором смысле её прямым продолжением. Но в отличие от традиционной, для современной Л. характерно построение различного рода формализованных теорий логического рассуждения - т. н. логических «формализмов», или логических исчислений,позволяющих сделать логические рассуждения предметом строгого анализа и тем самым полнее описать их свойства (см. раздел Предмет и метод современной логики). Отображение логического мышления в логических исчислениях привело к более адекватному выражению идеи «логоса» как единства языка и мышления, чем это было в эпоху античности и во все эпохи, предшествовавшие 20 в.; в современной Л. это выражение столь очевидно, что, исходя из различных «формализмов», приходится порой говорить о различных «стилях логического мышления».

  М. М. Новосёлов.

  История логики.Историческую основу современной Л. образуют две теории дедукции, созданные в 4 в. до н. э. древнегреческими мыслителями: одна - Аристотелем, другая - его современниками и философскими противниками, диалектиками мегарской школы.Преследуя одну цель - найти «общезначимые» законы логоса, о которых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели. Известно, что основатель мегарской философской школы Евклид из Мегары широко использовал не только доказательства от противного,но и аргументы, по форме близкие к силлогическим, и таковы многие дошедшие до нас софизмы мегариков. В свою очередь, Аристотель в сочинении «Топика» в качестве доказывающего сформулировал основное правило исчисления высказываний - правило «отделения заключения» (разрешающее при истинности высказываний «если А, то В» и «А» как истинное заключение «отделить» высказывание «В»). И если затем он оставил в стороне Л. высказываний, то в этом «повинны» в немалой степени софизмы мегариков, которые привели Аристотеля к поискам логических элементов речи в элементарной сё единице - предложении. Именно на этом пути он ввёл понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл, в отличие от грамматической, атрибутивную форму речи - как утверждения или отрицания «чего-либо о чём-то», определил «простое» высказывание как атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объёмных отношений, аксиому и правила силлогизма.Аристотель создал весьма ограниченную по своим возможностям, но зато законченную теорию - силлогистику, реализующую в рамках Л. классов идею алгорифмизации вывода заключений. Аристотелевская силлогистика положила конец «силлогистике» мегариков, последним представителем которой был Евбулид из Милета, писавший против Аристотеля, автор известных парадоксов «лжец», «лысый», «куча» и нескольких софизмов. Др. последователи Евклида обратились к анализу условных высказываний, считая, что заключения «о присущем», выражаемые фигурами силлогизма, нуждаются в более общей основе. Диодор Крон из Иаса и его ученик Филон из Мегары ввели понятие импликации и изучали связь импликации и отношения следования, предвосхитив идею теоремы о дедукции. Соглашаясь в том, что условное высказывание - импликация - истинно, когда заключение следует из посылки, они расходились, однако, в толковании понятия «следует». Согласно Диодору, В следует из А, когда импликация А Й В («если А, то В») необходима, так что нельзя утверждать в зависимости от случая, что иной раз она истинна, а иной раз нет, если А и В одни и те же высказывания. Филон же полагал, что понятие «В следует из А» полностью определяется понятием материальной импликации, которую он ввёл, дав свод её истинностных значений. Так возникла теория критериев логического следования, впоследствии сделавшаяся частью учения стоиков. Неизвестно, обсуждался ли в мегарской школе вопрос об аксиоматизации Л., но Диоген Лаэрций свидетельствует, что Клитомах из школы Евклида был первым, кто написал не дошедший до нас трактат об аксиомах и предикатах.

    Логические идеи мегариков были ассимилированы в философской школе стоиков, основанной около 300 до н. э. Гл. фигурой этой школы был Хрисипп, принявший критерий Филона для импликации и двузначности принцип как онтологическую предпосылку Л. В сочинениях стоиков Л. высказываний предшествует аристотелевской силлогистике, оформляясь в систему правил построения и правил вывода высказываний. Последние по примеру Аристотеля тоже называются силлогизмами. Идея дедукции формулируется более четко, чем у мегариков, в виде след. предписания: условием формальной правильности заключения В из посылок А ₁, А ₂,..., A _nявляется истинность импликации (A ₁& A ₂&... & A _n) Й В. Аргументы, основанные на понимании высказываний только как функций истинности, стоики называли формальными; они могут вести от ложных посылок к истинным следствиям. Если же во внимание принималась содержательная истинность посылок, формальные аргументы назывались истинными. Если посылки и заключения в истинных аргументах относились соответственно как причины и следствия, аргументы называются доказывающими. В общем случае «доказывающие аргументы» стоиков предполагали понятие о естественных законах. Стоики считали их аналитическими и возможность их доказательства посредством аналогии и индукции отрицали. Т. о., развитое стоиками учение о доказательстве шло за пределы Л. в область теории познания, и именно здесь «дедуктивизм» стоиков нашёл себе философского противника в лице радикального эмпиризма школы Эпикура - последней наиболее важной для истории Л. школы античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию,индукцию. Они положили начало индуктивной Л., указав, в частности, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и сформулировав ряд правил индуктивного обобщения.

 Эпикурейской «каноникой» заканчивается история логической мысли ранней античности. На смену приходит поздняя античность, эклектически сочетающая аристотелизм и стоицизм. Её вклад в Л. ограничивается по существу переводческой и комментаторской деятельностью поздних перипатетиков (Боэт Сидонский, Александр Эгский, Адраст, Гермин, Александр Афродизийский, Гален и др.) и неоплатоников ( Порфирий, Прокл,Симпликий, Марий Викторин, Апулей, Августин, Боэций,Кассиодор и др.). Из нововведений эллино-римских логиков заслуживают внимания логический квадрат Апулея, дихотомическое деление и объёмная трактовка терминов силлогизма у Порфирия, идеи аксиоматизации Л. и Л. отношений у Галена,зачатки истории Л. у Секста Эмпирика и Диогена Лаэрция, наконец, подготовившие терминологию средневековой Л. переводы греческих текстов на латинский язык, в частности «Введения» Порфирия Марием Викторином и сочинений Аристотеля, входящих в «Органон», Боэцием. (Именно в логическом словаре Боэция впервые, по-видимому, появляются понятия «субъект», «предикат», «связка», в терминах которых на протяжении многих последующих столетий логики анализировали высказывания.) Под влиянием доктрины стоиков, заимствованной неоплатонизмом,Л. постепенно сближается с грамматикой. В энциклопедии той эпохи - «Сатириконе» Марциана Капеллы - в качестве одного из семи свободных искусств Л. объявляется необходимым элементом гуманитарного образования.

  Логическая мысль раннего европейского средневековья (7-11 вв.), усваивавшего научное наследие античного мира сквозь призму христианского сознания, в творческом отношении значительно беднее эллиноримской. Как самостоятельная наука Л. развивается лишь в странах арабской культуры,где философия остаётся относительно независимой от религии. В Европе же складывается в основном схоластическая Л. в собственном смысле - церковно-школьная дисциплина, приспособившая элементы перипатетической Л. к нуждам обоснования и систематизации христианского вероучения. Лишь в 12-13 вв., после того как все произведения Аристотеля канонизируются церковной ортодоксией, возникает оригинальная средневековая («несхоластическая») Л., известная под назв. logica modernorum. Контуры её намечены уже «Диалектикой» Абеляра,но окончательное оформление она получает к конце 13 - середине 14 вв. в работах Уильяма Шервуда, Петра Испанского, Иоанна Дунса Скота,Вальтера Бурлея (Бёрли), Уильяма Оккама,Жана Буридана и Альберта Саксонского. В сочинениях этих авторов впервые прослеживаются прообраз «универсума речи» и представление о двояком использовании языка: для выражения мысли о внеязыковых фактах, когда термины «употребляются», и для выражения мысли о самом языке, когда термины «упоминаются» (употребляются автонимно). Учение о пропозициональных связках и кванторах, символизирующих характер логической связи, служит им естественным основанием для различения между «формой» и «содержанием» суждений. А в связи с задачей однозначного «прочтения» синтаксической структуры суждения средневековой логики неявно используют и понятие «области действия» логических операций.Их учение о «следовании» основывается на различии между материальной импликацией и формальной, или тавтологичной, импликацией: для первой можно указать контрпример, для второй - нет.