Грунтовки

Грунто'вки,грунтовочные составы, материалы, образующие нижние слои лакокрасочных покрытий.Основное назначение Г. - создание надёжного сцепления верхних (кроющих) слоев покрытия с окрашиваемой поверхностью. Кроме того, Г. могут выполнять и другие функции: защищать металл от коррозии (см. Защитные лакокрасочные покрытия ) ,«выявлять» текстуру дерева, перекрывать поры и другие дефекты окрашиваемой поверхности и т.д.. Г. готовят на основе природных или синтетических, жидких или твёрдых плёнкообразующих веществ- олиф, алкидных смол, мочевино-формальдегидных смол, эпоксидных смоли др.; твёрдые плёнкообразующие материалы применяют в виде концентрированных растворов или дисперсий в органических растворителях или в воде. Многие Г. содержат в своём составе пигменты (например, железный или свинцовый сурик, цинковый крон), а иногда и наполнители (например, тальк, слюду, мел). На окрашиваемую поверхность Г. наносят шпателем, кистью, распылением и другими способами. Толщина плёнки грунтовочного состава 10-100 мкм(0,01-0,1 мм) .Высушенную загрунтованную поверхность покрывают краской или лаком. О Г., используемых при грунтовании холста для живописи, см. Грунт в живописи.

  Лит.:Дринберг А. Я., Гуревич Е.С., Тихомиров А. В., Технология неметаллических покрытий, Л., 1957; Справочник по лакокрасочным покрытиям, под ред. М. М. Гольдберга [и др.], М., 1964.

Грунтовой насос

Грунтово'й насо'с,машина для транспортирования гидросмеси по напорным трубопроводам (см. Гидравлический транспорт ) .Термином «Г. н.» заменен термин «землесос», широко применявшийся ранее в гидромеханизации.Г. н. устанавливается на землесосных снарядах, плавучих и сухопутных землесосных станциях. Первые Г. н. для строительных и горных работ в СССР были изготовлены в 1935.

  Г. н. представляет собой одноступенчатый центробежный насос консольного типа с односторонним всасыванием. В СССР выпускаются Г. н. производительностью до 12 000 м ³/чпо гидросмеси и напором до 0,9 Мн/м ²(90 м вод. ст.). Совершенствование конструкций Г. н. предусматривает дальнейшую стандартизацию и унификацию их узлов, повышение износостойкости рабочих элементов за счёт применения новых материалов и покрытий, а также улучшение форм рабочего колеса и корпуса.

  Лит.:Шкундин Б. М., Землесосные снаряды, М., 1968.

  В. И. Шелоганов.

Грунтовые воды

Грунтовы'е во'ды,подземные воды первого от поверхности Земли постоянного водоносного горизонта. Образуются главным образом за счёт инфильтрации (просачивания) атмосферных осадков и вод рек, озёр, водохранилищ, оросительных каналов; местами запасы Г. в. пополняются восходящими водами более глубоких горизонтов (например, водами артезианских бассейнов), а также за счёт конденсации водяных паров.

  Сверху Г. в. обычно не перекрываются водонепроницаемыми породами, а водопроницаемый пласт они заполняют не на полную мощность, поэтому поверхность Г. в. является свободной, ненапорной. На отдельных участках, где всё же имеется местное водоупорное перекрытие, Г. в. приобретают местный напор (величина последнего определяется положением уровня Г. в. на прилегающих участках, не имеющих водоупорного перекрытия). Когда буровая скважина или копаный колодец достигают Г. в., их уровень (т. н. зеркало Г. в.) устанавливается на той глубине, где они были встречены. Области питания и распространения Г. в. совпадают. Вследствие этого условия формирования и режим Г. в. обладают характерными особенностями, отличающими их от более глубоких артезианских вод: Г. в. чувствительны ко всем атмосферным изменениям. В зависимости от количества выпадающих атмосферных осадков поверхность Г. в. испытывает сезонные колебания: в сухое время года она понижается, во влажное - повышается, изменяются также дебит, химический состав и температура Г. в. Вблизи рек и водоёмов изменения уровня, расхода и химического состава Г. в. определяются характером гидравлической связи их с поверхностными водами и режимом последних. Величина стока Г. в. за многолетний период приблизительно равна количеству воды, поступившей путём инфильтрации. В условиях влажного климата развиваются интенсивные процессы инфильтрации и подземного стока, сопровождаемые выщелачиванием почв и горных пород. При этом легко растворимые соли - хлориды и сульфаты - выносятся из пород и почв; в результате длительного водообмена формируются пресные Г. в., минерализованные лишь за счёт относительно мало растворимых солей (преимущественно гидрокарбонатов кальция). В условиях засушливого тёплого климата (в сухих степях, полупустынях и пустынях) вследствие кратковременности выпадения и малого количества атмосферных осадков, а также слабой дренированности местности подземный сток Г. в. не развивается; в расходной части баланса Г. в. преобладает испарение и происходит их засоление.

  Различия условий формирования Г. в. обусловливают зональность их географического распределения, которая тесно связана с зональностью климата, почвенного и растительного покрова. В лесных, лесостепных и степных районах распространены пресные (или слабоминерализованные) Г. в.; в пределах сухих степей, полупустынь и пустынь на равнинах преобладают солёные Г. в., среди которых пресные воды встречаются лишь на отдельных участках.

  Наиболее значительные запасы Г. в. сосредоточены в аллювиальных отложениях речных долин, в конусах выноса предгорных областей, а также в неглубоко залегающих массивах трещиноватых и закарстованных известняков (реже в трещиноватых изверженных породах).

  Г. в. в силу относительно лёгкой доступности имеют большое значение для народного хозяйства как источники водоснабжения промышленных предприятий, городов, посёлков, населенных пунктов в сельской местности и т. д..

  Лит.:Саваренский Ф. П., Гидрогеология, М., 1935; Ланге О. К., Гидрогеология, М., 1969.

  П.П. Климентов.

Грунтовые жилы

Грунтовы'е жи'лы,геологические образования в рыхлых отложениях, представляющие собой формы нарушения первичной слоистости в виде клиновидных, кармановидных и других проникновений вышезалегающих пород в подстилающие. Г. ж. обычны в областях развития многолетнемёрзлых горных пород.

Грунтонос

Грунтоно'с,снаряд для отбора образцов горных пород с забоя или из стенок буровой скважины. Для исследования физико-механических свойств пород основания инженерного сооружения обычно применяют забойные Г. вращательного, забивного или погружного типа (последние погружают в мягкие породы вдавливанием). При бурении разведочных скважин на твёрдые полезные ископаемые для отбора образцов пород из стенок скважины используют боковые Г., с помощью которых породу соскребают со стенок скважины или получают пробы путём высверливания, либо применяют стреляющие Г. Использование боковых Г. позволяет частично заменить колонковое бурение более эффективным видом бурения - сплошным забоем.

  Лит.:Волков С. А., Волков А. С., Справочник по разведочному бурению, М., 1963.

Грунтосмесительная машина

Грунтосмеси'тельная маши'на,предназначена для рыхления, измельчения и смешения грунта с вяжущими материалами в процессе движения машины. Применяется при постройке автомобильных дорог облегчённого типа и сооружении оснований под покрытия дорог капитального типа. Выпускаются прицепные и самоходные Г. м.. Рабочими органами Г.м. служат два, три или четыре вращающихся ротора. При движении Г. м. ( рис. ) ротор 5захватывает и разрыхляет грунт, ротор 4измельчает его. Если в качестве вяжущего используется цемент, то дозатором 6он подаётся и всухую роторами перемешивается с грунтом. Лопастные роторы 2и 3производят перемешивание грунтоцементной массы с водой, которая поступает из цистерны. Битум или другие жидкие вяжущие подаются из цистерны насосом и перемешиваются с грунтом. Задняя стенка 1кожуха роторов регулирует высоту выходящей массы и предварительно её уплотняет.

  Выпускаемые в СССР Г. м. имеют производительность до 0,7 км/ч,обрабатывают полосу шириной до 2,4 м,глубиной до 0,25 мпри норме распределения цемента 15-60 кг/м ²и норме разлива битума или воды 10-50 л/м ².

  С. А. Соломонов.

Самоходная грунтосмесительная машина.

Груодис Юозас Мато

Гру'одисЮозас Мато [8(20).12.1884, Ракенай, ныне Зарасайский район Литовской ССР, - 16.4.1948, Каунас], советский композитор, педагог, дирижёр, заслуженный деятель искусств Литовской ССР (1944). В 1915-16 учился в Московской консерватории, в 1924 окончил Лейпцигскую консерваторию по классу композиции. В 1924-27 дирижёр в Каунасе, в 1927-37 директор Каунасского музыкального училища, с 1933 - консерватории (с 1946 профессор). Автор балета «Юрате и Каститис» (пост. 1933, Каунас) на сюжет литов. народной сказки, симфонических вариаций на литовские народные темы (1945), симфонических поэм, камерных инструментальных произведений, песен и хоровой музыки к драматическим спектаклям. Г. принадлежит первая попытка творческого применения в профессиональной музыке элементов литовского народного многоголосия - сутартине. Среди учеников Г.: А. Рачюнас, Ю. Юзелюнас, В. Клова, А. Будрюнас и др. Награжден орденом Трудового Красного Знамени.

Группа армий

Гру'ппа а'рмий(нем. Heeresgruppe, англ. army group), высшее оперативно- стратегическое объединение сухопутных войск на театре военных действий в вооруженных силах некоторых иностранных государств; соответствует понятию фронт.Г. а. как форма объединения сухопутных войск и как инстанция управления ими возникла в конце 1914 - начале 1915, во время 1-й мировой войны, в англо-французской и германской армиях. Во время 2-й мировой войны 1939-45 немецко-фашистские сухопутные войска объединялись в несколько Г. а. (на советско-германском фронте их было 3-4), в состав каждой Г. а. входили 2-4 полевые армии и средства усиления. С 1942 в немецко-фашистской армии существовали также армейские группы (Armeegruppe) - временные объединения обычно из 2 армий, выполнявшие задачи на каком-либо операционном направлении. Англо-американские войска на западноевропейском театре военных действий в 1944-45 объединялись в 3 Г. а., которые назывались армейскими группами. В послевоенное время в вооруженных силах США и в объединённых вооруженных силах НАТО в состав Г. а. входят полевые 1204 армии, отдельные армейские корпуса и др. соединения сухопутных войск. С Г. а., как правило, взаимодействует объединённое тактическое авиационное командование или тактическое авиационное командование.

Группа (воен.)

Гру'ппа(нем. Gruppe) (военное), 1) объединение соединений и частей под общим командованием старшего начальника для выполнения оперативной (боевой) задачи. В ход Великой Отечественной войны 1941-45 в Советских Вооруженных Силах создавались оперативные Г., выполнявшие задачи во фронтовой наступательной или оборонительной операции обычно в отрыве от главных сил, и подвижные Г. для развития наступления в глубине обороны противника после её прорыва. Для обеспечения боевых действий создавались артиллерийские (миномётные) и зенитно-артиллерийские Г. 2) В 30-х гг. 20 в.- часть боевого порядка соединений сов. сухопутных войск который делился на ударную сковывающую и огневую Г. 3) Штатная организация а) в вооруженых силах США: Г. армейской авиации, Г. войск специального назначения (для ведения диверсионно-подрывных действий на территории противника); 6) в вооруженных силах Великобритании: пехотная бригадная Г. общевойсковое тактическое соединение.

Группа «Вперёд»

Гру'ппа «Вперёд»,антипартийная группа, оформившаяся в декабре 1909 за границей внутри РСДРП (ПО инициативе А. А. Богданова и Г. А. Алексинского). Г. «В.» состояла из отзовистов, ультиматистови сторонников богостроительства.В группу входили Г. А. Алексинский, А. А. Богданов, В. Л. Шанцер (Марат), А.В. Луначарский, М.Н . Лядов, М.Н. Покровский, И. И. Лебедев-Полянский, Д.З. Мануильский, В.Р. Менжинский, А. В. Соколов, Израилевич, Ф.И. Калинин и др. Некоторое время к Г. «В.» примыкали А. М. Горький и М. Г. Цхакая. Группа имела кружки в Париже и Женеве. В России у нее не было сколько-нибудь прочных организаций, за исключением кружка в Тбилиси. Перед закрытием фракционной Каприйской школы участники группы приняли платформу «Современное положение и задачи партии», написанную Богдановым, которая 28 декабря 1909 была направлена в ЦК РСДРП вместе с извещением об образовании группы под названием «Вперед» и просьбой утвердить ее как «литературную организацию». Эту платформу участники группы противопоставляли резолюции «О современном моменте и задачах партии», написанной В.И. Лениным и принятой 5-й конференцией РСДРП (декабрь 1908). В своей платформе участники группы, не понимая своеобразия положения в России после третьеиюньского государственного переворота 1907,выступали по существу против использования думской трибуны и других полулегальных и легальных возможностей для партийной революционной работы. На словах в платформе провозглашалась задача «создавать» и «распространять в массах новую пролетарскую культуру», «развивать пролетарскую науку», «вырабатывать пролетарскую философию». «Вперёдовцы», стоя на позициях махизма и богостроительства скатывались к требованиям соединения марксизма с религией, вели борьбу против революционного марксизма. Большевики во главе с Лениным решительно выступали против Г. «В.». Совещание расширенной редакции «Пролетарий» (1909) осудило извращения марксизма и раскольническую деятельность «вперёдовцев»; за отказ подчиниться решениям совещания Богданов был исключен из большевистской организации. В своей статье «Заметки публициста» (1910) Ленин вскрыл антибольшевистскую, антимарксистскую сущность платформы «впередовцев», охарактеризовав её как платформу сторонников и защитников отзовизма и махизма. На пленуме ЦК РСДРП (1910, январь) «вперёдовцы» А. Богданов и В. Шанцер (Марат) вместе с меньшевиками и троцкистами при поддержке «примиренцев» Л. Каменева, Г. Зиновьева и другие выступали против Ленина и его сторонников, требовавших прекращения фракционной, раскольнической деятельности впередовцев. Г. «В.» отказалась от участия в 6-й (Пражской) конференции РСДРП (январь 1912). «Вперёдовцы» настаивали на свободе фракций в партии, организовали новую фракционную школу в Болонье (с 1910), издавали фракционный сборник «Вперёд», В августе 1912 Г. «В.» приняла участие в организованной Л. Троцким конференции в Вене, на которой был создан августовский антипартийный блок.В условиях начавшегося подъёма рабочего движения усилилась борьба внутри группы по ряду принципиальных и организационных вопросов. В конце 1913 Г. «В.» фактически распалась; окончательно прекратила своё существование после Февральской революции 1917.

  Лит.:Ленин В.И., Заметки публициста, Полн. собр. соч., 5 изд., т. 16; его же, Совещание расширенной редакции «Пролетария», там же, т. 19; его же, [Письма] Ученикам Каприйской партийной школы, 30 августа 1909 и окт. 1909, там же, т. 47; его же, О фракции сторонников отзовизма и богостроительства, там же, т. 19; его же, О фракции «впередовцев», там же; его же, О «впередовцах» и о группе «Вперед», там же, т. 25; КПСС в резолюциях и решениях съездов, конференций и пленумов ЦК, 8 изд., ч.1, М., 1970, с.273-77

  М. Г. Власов.

Группа (геол.)

Гру'ппа(геологическое), подразделение общей стратиграфической шкалы, объединяющее комплекс пород, образовавшихся в течение одной геологической эры. Термин «Г.» был принят на 2-й сессии Геологического международного конгресса в 1801. Американские геологи, оспаривая это решение, применяют вместо Г. термин эратема, а Г. называют подразделение местной стратиграфической шкалы. Г. подразделяются на системы; несколько Г. составляют эоно - тему. Каждая Г. соответствует определенному этапу развития Земли и земной коры, характеризуется своеобразием геологических отложений и ископаемых организмов, Различают пять Г.: архейскую, протерозойскую, палеозойскую, мезозойскую и кайнозойскую.

  Б.М. Келлер.

Группа «демократического централизма»

Гру'ппа «демократи'ческого централи'зма»(«децисты»), одна из оппортунистических антиленинских групп в РКП(б), возникшая в начале 1919 и оформившаяся в 1920 из остатков разбитой партией фракции « левых коммунистов».Во главе Г. «д. ц.» стояли В. В. Осинский, Т. В. Сапронов, В. М. Смирнов. Прикрываясь партийным принципом демократического централизма, «децисты» фактически вели борьбу и против пролетарской демократии, и против централизма. В годы Гражданской Войны Г. «д. ц.» проповедовала партизанщину в армии, требовала децентрализации народного хозяйства. «Децисты» пытались противопоставить местные органы центральным, защищали безграничную коллегиальность, выступали против единоначалия в руководстве предприятиями. Они вели борьбу против единства партии, против железной дисциплины её рядов, выступали за свободу фракций и группировок внутри партии. Одновременно Г. «д. ц.» требовала предоставить свободу слова, печати, собраний контрреволюционным партиям. Платформа Г. «д. ц.» выражала идеологию мелкобуржуазной контрреволюции, была направлена против диктатуры пролетариата, против руководящей роли Коммунистической партии. На Восьмом съезде РКП(б) (1919) «децисты» обрушились на ЦК партии с обвинениями в отсутствии коллегиальности, в насаждении «иерархических, авторитарных» методов руководства. Делегаты съезда доказали абсурдность обвинений и отметили в резолюции, что «... в партии в данную эпоху необходима прямо военная дисциплина» («КПСС в резолюциях...», 8 изд., т. 2,1970, с. 74). Пытаясь навязать Девятому съезду РКП(б) (1920) свои взгляды, Г. «д. ц.» выставила содокладчиков по вопросам хозяйственного строительства и по организационным вопросам. В заключительном слове по отчётному докладу ЦК на 9-м съезде В. И. Ленин подверг резкой критике «Тезисы о коллегиальности и единоначалии», представленные Г. «д. ц.», вскрыл контрреволюционную сущность их предложений, показал, что их взгляды приближаются к махновским и махаевским (см. Махаевщина ) .Съезд отверг требования Г. «д. ц.». Во время дискуссии о профсоюзах (1921) «децисты» вновь выступили против партии. Ленин в статье «Кризис партии» (январь 1921)дал уничтожающую критику платформы «децистов» : «...это - худший меньшевизм и эсеровщина... Фракция “громче всех крикунов”...» (Полн. собр. соч., 5 изд.,т. 42, с. 243). После Десятого съезда РКП(б) (1921), принявшего решение о ликвидации всех фракций и группировок в партии, некоторые участники Г. «д. ц.» продолжали вести борьбу против генеральной линии партии. В 1923 в период новой дискуссии, развязанной Троцким, они выступили против партии и её руководства. В 1926 «децисты» примкнули к троцкистско-зиновьевскому блоку (группа «15-ти»). Пятнадцатый съезд ВКП(б) (1927) исключил из партии Г. «д. ц.» в составе 23 человек «...как явно антиреволюционную...» (см. «КПСС в резолюциях...», 8 изд., т. 4, 1970, с. 73).

  Лит.:Ленин В. И., IX съезд РКП(б) 29 марта - 5 апреля 1920 г., Полн. собр. соч., 5 изд., т. 40; его же, Кризис партии, там же, т. 42; его же, Х съезд РКП(б) 8-16 марта 1921 г., там же, т. 43; Восьмой съезд РКП(б). Протоколы. Март 1919 г., М., 1959; Восьмая Всероссийская конференция РКП(б) 2-4 дек. 1919 г., в кн.: КПСС в ре- золюциях и решениях съездов, конференций и пленумов ЦК, 8 изд., ч. 2, М., 1970; Девятый съезд РКП(б), 29 марта - 5 апреля 1920, там же; Десятый съезд РКП(б) 8-16 марта (1921), там же: Пятнадцатый съезд ВКП(б) 2-19 дек. 1927 г., там же, ч. 4, М.,1970.

  Л. В. Метелица.

Группа изучения реактивного движения

Гру'ппа изуче'ния реакти'вного движе'ния(ГИРД), 1) общественные организации при Осоавиахиме, созданные в 1931 в Москве (МосГИРД) и Ленинграде (ЛенГИРД), позже - в Харькове, Баку и других городах. 2) Научно-исследовательская и опытно-конструкторская организация по разработке ракет и двигателей, созданная в Москве в июне 1932 решением президиума Центрального совета Осоавиахима. Наряду с Газодинамической лабораторией (ГДЛ) сыграла основную роль в зарождении сов. ракетостроения. Начальником ГИРД был назначен С. ГГ. Королев. В штат ГИРД была принята бригада Ф. А. Цандера, до этого работавшая в общественном порядке в МосГИРД над проектом двигательной установки с жидкостным реактивным двигателем ОР-2 для ракетоплана РП-1. С августа 1932 ГИРД финансировалась Управлением военных изобретений РККА. В дальнейшем были образованы ещё три проектно-конструкторские бригады: по разработке жидкостных баллистических ракет; прямоточных воздушно-реактивных двигателей и газодинамических испытательных установок; ракетопланов и крылатых ракет. Руководили этими бригадами М. К. Тихонравов, Ю. А. Победоносцев и С. П. Королев. Кроме того, были организованы производственная бригада и испытательная станция. Исходной задачей ГИРД было создание жидкостных ракетных летательных аппаратов для накопления необходимого опыта. В качестве окислителя использовался жидкий кислород, горючего - бензин и этиловый спирт. Проводились эксперименты по сжиганию металлического горючего в воздухе. 17 августа 1933 была запущена первая сов. жидкостная ракета «ГИРД-09», а 25 ноября 1933 - «ГИРД-Х». Разработаны проекты ряда других жидкостных баллистических и крылатых ракет, разработан и испытан ряд конструкций жидкостных реактивных двигателей .(ОР-2, 02, 10 и др.) и гибридный ракетный двигатель 09. Успешно испытаны в полёте выстреливаемые из пушки модели прямоточных воздушно-реактивных двигателей, создана сверхзвуковая аэродинамическая труба, исследована насосная система подачи топлива. В конце 1933 ГДЛ и ГИРД были объединены в Реактивный научно-исследовательский институт.Из стен ГИРД вышли крупные учёные и конструкторы, принявшие активное творческое участие в развитии отечественной ракетнокосмической науки и техники; они внесли неоценимый вклад в создание ракет, искусственных спутников, автоматических межпланетных станций и космических кораблей. Кратерной цепочке протяжённостью 520 кмна обратной стороне Луны присвоено наименование ГИРД.

Группа (матем.)

Гру'ппа,одно из основных понятий современной математики. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий - умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. п.). Общность теории Г., а вместе с тем и широта её приложений обеспечиваются тем, что она изучает свойства действий в их чистом виде, отвлекаясь как от природы элементов, над которыми выполняется действие, так и от природы самого действия. В то же время теория Г. изучает не совсем произвольные действия, а лишь те, которые обладают рядом основных свойств, перечисляемых в определении Г. (см. ниже).

  К понятию Г. можно прийти, например, исследуя симметрию геометрических фигур. Так, квадрат ( рис. a ) представляется симметричной фигурой, так как, например, его поворот j около центра на 90° по часовой стрелке или зеркальное отражениеyотносительно диагонали ACне изменяют его положения; всего существует 8 различных движений,совмещающих квадрат с собой. Для круга ( рис. б ) таких движений, очевидно, уже бесконечно много - таковы, например, все его повороты около центра. А для фигуры, изображенной на рис. в , существует лишь одно движение, совмещающее её с собой, - тождественное, т. е. оставляющее каждую точку фигуры на месте.

  Множество Gразличных движений, самосовмещающих данную фигуру, и служит характеристикой большей или меньшей её симметричности: чем больше множество G, тем симметричнее фигура. Определим на множестве Gкомпозицию, т.е. действие над элементами из G, по следующему правилу: если j,y- два движения из G, то результатом их композиции (иногда говорят «произведением» jи y) называется движение joy, равносильное последовательному выполнению сначала движения j , а затем движения y. Например, если j, y - движения квадрата, указанные выше, то joy - отражение квадрата относительно оси, проходящей через середины сторон ABи CD.Множество движений G, взятое с определённой на нём композицией, называется группой симметрии данной фигуры. Очевидно, композиция на множестве Gудовлетворяет следующим условиям: 1) (jЛy)Лq = jЛ (yЛq) для любых j, y, q из G; 2) в Gсуществует такой элемент e, что eЛj = jЛe = j для любого j из G; 3) для любого j из Gсуществует в Gтакой элемент j ^-1, что jЛj ^-1=

 j ^-1Лj = e. Действительно, в качестве e можно взять тождественное движение, а в качестве j ^-1- движение, обратное j, т. е. возвращающее каждую точку фигуры из нового положения в старое.

  Общее (формальное) определение Г. таково. Пусть G- произвольное множество каких-нибудь элементов, на котором задана композиция (иначе: действие над элементами): для любых двух элементов j,y из Gопределён некоторый элемент joy снова из G. Если при этом выполняются условия 1), 2), 3), то множество Gс заданной на нём композицией называется группой.

  Например, если G- множество всех целых чисел, а композиция на G- их обычное сложение (роль e будет играть число 0, а роль (j ^-1- число -j), то G- группа. Часть Нмножества G, состоящая из чётных чисел, сама будет Г. относительно той же композиции. В таких случаях говорят, что Н -подгруппа группы G. Отметим, что обе эти Г. удовлетворяют следующему дополнительному условию: 4) jЛy = yЛj для любых j, y из группы. Всякая группа с этим условием называется коммутативной, или абелевой.

  Ещё один пример группы. Подстановкой множества символов 1, 2, ..., nназывается таблица

где в нижней строчке стоят те же символы 1, 2, ..., n,но, вообще говоря, в другом порядке. Композицию двух подстановок j,y определяют следующим правилом: если под символом х вподстановке j стоит символ у,а под символом ув подстановке y стоит символ z,то в подстановке jЛy под символом хставится символ z. Например,

Л

Можно проверить, что множество подстановок n символов относительно такой композиции является группой. При n³ 3 она неабелева.

  Историческая справка.Понятие Г. послужило во многих отношениях образцом при перестройке алгебры и вообще математики на рубеже 19-20 вв. Истоки понятия Г. обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых - теория решений алгебраических уравнений в радикалах. В 1771 французские математики Ж. Лагранж и А.Вандермонд впервые для нужд этой теории применили подстановки (для теории Г. особенно важен «Мемуар об алгебраическом решении уравнений» Лагранжа). Затем в ряде работ итальянского математика П. Руффини (1799 и позднее), посвященных доказательству неразрешимости уравнения 5-й степени в радикалах, систематически используется замкнутость множества подстановок относительно их композиции и по существу описаны подгруппы группы всех подстановок пяти символов. Глубокие связи между свойствами Г. подстановок и свойствами уравнений были указаны норвежским математиком Н. Абелем (1824) и французским математиком Э. Галуа (1830). Галуа принадлежат и конкретные достижения в теории Г.: открытие роли т. н. нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных Г. степени n³ 5и др.; он же ввёл термин «группа» (le Group), хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории Г. сыграл трактат французского математика К. Жордана о Г. подстановок (1870).

  Независимо и из других соображений идея Г. возникла в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким «изучением геометрического родства» много занимался немецкий математик А. Мёбиус. Заключительным этапом на этом пути явилась «Эрлангенская программа» немецкого математика Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие Г. преобразований: каждая геометрия определена некоторой Г. преобразований пространства, и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, которые инвариантны относительно преобразований соответствующей Г.