Алгебры основная теорема

А'лгебры Основна'я теоре'ма,название теоремы о существовании комплексных корней алгебраического уравнения a ₀x ⁿ+ a ₁x ^n-1+ ... +a _n= 0 с комплексными коэффициентами. См. .

Алгол

Алго'л,сокращённое название ряда .Образовано из начальных букв английских слов algorithmic (алгоритмический) и language (язык). Разработан группой учёных разных стран в 1958-60. Окончательный вид языка, принятый на международной конференции в Париже (январь 1960), получил название «Алгол-60» (в отличие от первоначального вида, названного «Алгол-58»).

  Основными символами А. являются десятичные цифры, строчные и заглавные латинские буквы, знаки препинания, знаки математических и логических операций, прочие специальные знаки и некоторые английские слова (в частности, begin и end). Из основных символов в А. по определённым правилам образуются конструкции - числа и выражения (арифметические, логические и др.), описания, примечания и ,которые, в свою очередь, в сочетании с основными символами образуют более сложные операторы и т. д. Алгоритм, заданный на А., называется алгол-программой. С помощью специальной программы он преобразуется в программу на языке конкретной цифровой вычислительной машины.

  Лит.:Алгоритмический язык АЛГОЛ-60, пер. с англ., М., 1965; Лавров С. С., Универсальный язык программирования (АЛГОЛ-60), 2 изд., М., 1967.

Алголь

Алго'ль,b Персея, затменная переменная звезда, переменность которой открыта в 1669. Блеск А. изменяется от 2,2 до 3,5 визуальной звёздной величины с периодом 2,867 суток. Расстояние от Солнца - 36 парсек. Переменные звёзды с кривой изменения блеска, как у А., составляют класс звёзд типа Алголя.

Алгонкинские языки

Алгонки'нские языки',одна из основных семей языков североамериканских индейцев. В результате истребления племён А. я. сохранились лишь в немногих местах в США и Канаде, главным образом в районе Великих озёр и южнее. Распадаются на 5 основных групп: языки т. н. «черноногих» индейцев; чейенн; арапахо; центральная и восточная группы; калифорнийская группа. Наиболее обширны центральная и восточная группы, к которым относятся языки собственно алгонкинский, оджибве, оттава (в районе озера Верхнего и Гурон), кри (на Лабрадоре), делаварский (в Пенсильвании и в штатах Нью-Йорк и Нью-Джерси), фокс (долина Миссисипи), а также ныне исчезнувшие языки могикан, массачусетский и др. Языки т. н. «черноногих» индейцев (блэкфут) распространены в Канаде, у подножия Скалистых гор и в северной части Монтаны; шейен - в юго-восточной части Миннесоты и северо-восточной части Южной Дакоты; арапахо - в восточной части Северной Дакоты и в южной части Монтаны; калифорнийская группа (Калифорния) представлена двумя языками - вийот и юрок. В грамматическом отношении А. я. характеризуются ярко выраженной инкорпорацией (см. ) .В А. я. элементы, соответствующие второстепенным членам предложения, зависящие от глагольного сказуемого, входят в состав последнего как морфы, в результате чего одна словоформа соответствует целому предложению.

  Лит.:Boas Fr., Handbook of American Indian languages, pt I, Wash., 1911: Pilling J. С., Bibliography of the Algonquian languages. Wash., 1891.

Алгонкины

Алгонки'ны,группа родственных по языку (см. ) индейских племен, древнейших насельников Северной Америки, охотников, рыболовов и ранних земледельцев, живших в прошлом на большом пространстве от Атлантического побережья до Скалистых гор. Территориально различаются 4 группы А.: северо-восточная ( ,монтанье, ,микмаки и др.); приатлантическая (абенаки, наррагансеты, массачусеты, поухатаны и др.), почти полностью уничтоженная на первых же этапах колонизации материка европейцами: центральная ( , ,майами, иллинойсы, оттавы, , , собственно алгонкины, и др.), оставившая о себе память в топонимике; западная («черноногие», , , ацина). Остатки алгонкинских племён разбросаны по резервациям США (100 тыс. чел.) и Канады (75 тыс. чел.; 1961). К А. в языковом отношении близки племена Тихоокеанского побережья Северной Америки (численность в США 12 тыс. чел., в Канаде 15 тыс. чел.) и (в Канаде 6 тыс. чел.).

  Лит.:Народы Америки, т. 1, М., 1959.

  Ю. П. Аверкиева.

Алгоритм

Алгори'тм,алгорифм, одно из основных понятий (категорий) математики, не обладающих формальным определением в терминах более простых понятий, а абстрагируемых непосредственно из опыта. А. являются, например, известные из начальной школы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком. Вообще, под А. понимается всякое точное предписание, которое задаёт вычислительный процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с произвольного исходного данного (из некоторой совокупности возможных для данного А. исходных данных) и направленный на получение полностью определяемого этим исходным данным результата; например, в упомянутых А. арифметических действий возможными результатами могут быть натуральные числа, записанные в десятичной системе, а возможными исходными данными упорядоченные пары таких чисел, и содержание предписания, т. о., помимо инструкции по развёртыванию алгоритмического процесса, должно входить также: 1) указание совокупности возможных исходных данных (в. и. д.) и 2) правило, по которому процесс признается закончившимся ввиду достижения результата. Не предполагается, что результат будет обязательно получен: процесс применения А. к конкретному в. и. д. (т.е. алгоритмический процесс, развёртывающийся начиная с этого данного) может также оборваться безрезультатно или не закончиться вовсе. В случае, если процесс заканчивается (соответственно не заканчивается) получением результата, говорят, что А. применим (соответственно неприменим) к рассматриваемому в. и. д. (Можно построить такой А. Б, для которого не существует А., распознающего по произвольному возможному для Б исходному данному, применим к нему Б или нет; такой А. Б можно, в частности, построить так, чтобы совокупностью его в. и. д. служил натуральный ряд.)

  Понятие А. занимает одно из центральных мест в современной математике, прежде всего вычислительной. Так, проблема численного решения уравнений данного типа сводится к отысканию А., который всякую пару, составленную из произвольного уравнения этого типа и произвольного рационального числа e, перерабатывает в число (или набор чисел) меньше, чем на e, отличающееся (отличающихся) от корня (корней) этого уравнения. Усовершенствование вычислительных машин даёт возможность реализовать на них всё более сложные А. Однако встретившийся в описывающей понятие А. формулировке термин «вычислительный процесс» не следует понимать в узком смысле только цифровых вычислений. Так, уже в школьном курсе алгебры говорят о буквенных вычислениях, да и в арифметических вычислениях появляются отличные от цифр символы: скобки, знак равенства, знаки арифметических действий. Можно пойти дальше и рассматривать вычисления с произвольными символами и их комбинациями; именно таким широким пониманием пользуются при описании понятия А. Так, можно говорить об А. перевода с одного языка на другой, об А. работы поездного диспетчера (перерабатывающего информацию о движении поездов в приказы) и др. примерах алгоритмического описания процессов управления; именно поэтому понятие А. является одним из центральных понятий кибернетики. Вообще, исходными данными и результатами А. могут служить самые разнообразные конструктивные объекты; например, результатами т. н. распознающих А. служат слова «да» и «нет».

  Пример алгоритма. В. и. д. и возможными результатами пусть служат всевозможные конечные последовательности букв a и b («слова в алфавите {a, b}») .Условимся называть переход от слова Х к слову Y «допустимым» в следующих двух случаях (ниже Р обозначает произвольное слово): 1) Х имеет вид аР, а Y имеет вид Pb; 2) X имеет вид baP, а Y имеет вид Paba. Формулируется предписание : «взяв какое-либо слово в качестве исходного, делай допустимые переходы до тех пор пока не получится слово вида aaP; тогда остановись, слово Р и есть результат». Это предписание образует А., который обозначим через В. Возьмем в качестве исходного данного слово babaa. После одного перехода получим baaaba, после второго aabaaba. В силу предписания мы должны остановиться, результат есть baaba. Возьмём в качестве исходного данного слово baaba. Получим последовательно abaaba, baabab, abababa, bababab, babababa, ... Можно доказать, что процесс никогда не кончится (т. е. никогда не возникает слово, начинающееся с aa и для каждого из получающихся слов можно будет совершить допустимый переход). Возьмём теперь в качестве исходного данного слово abaab. Получим baabb, abbaba, bbabab. Далее мы не можем совершить допустимый переход, и в то же время нет сигнала остановки. Произошла т.н. «безрезультативная остановка». Итак, В применим к слову babaa и неприменим к словам baaba и abaab.

  Значение А.А. в науке встречаются на каждом шагу; умение решать задачу «в общем виде"всегда означает, по существу, владение некоторым А. Говоря, например, об умении человека складывать числа, имеют в виду не то, что он для любых двух чисел рано или поздно сумеет найти их сумму, а то, что он владеет некоторым единообразным приёмом сложения, применимым к любым двум конкретным записям чисел, т. е. иными словами, А. сложения (примером такого А. и является известное правило сложения чисел столбиком). Понятие задачи «в общем виде» уточняется при помощи понятия массовая (м. п.). М.п. задаётся серией отдельных, единичных проблем и состоит в требовании найти общий метод (то есть А.) их решения. Так, проблема численного решения уравнений данного типа и проблема автоматического перевода суть м. п.: образующими их единичными проблемами являются в 1-м случае проблемы численного решения отдельных уравнений данного типа, а во 2-м случае - проблемы перевода отдельных фраз. Ролью м. п. и определяется как значение, так и сфера приложения понятия А. М. п. чрезвычайно характерны и важны для математики: например, в алгебре возникают м.п. проверки алгебраических равенств различных типов, в математической логике - м. п. распознавания выводимости предложении из заданных аксиом и т.п. (для математической логики понятие А. существенно ещё и потому, что на него опирается центральное для математической логики понятие , служащее обобщением и уточнением интуитивных понятий «вывода» и «доказательства»). Установление неразрешимости какой-либо массовой проблемы (например, проблемы распознавания истинности или доказуемости для какого-либо логико-математического языка), т. е. отсутствия единого А., позволяющего найти решения всех единичных проблем данной серии, является важным познавательным актом, показывающим, что для решения конкретных единичных проблем принципиально необходимы специфические для каждой такой проблемы методы. Существование неразрешимых м. п. служит, т. о., проявлением неисчерпаемости процесса познания.

  Содержательные явления, которые легли в основу образования понятия «А.», издавна занимали важное место в науке. С древнейших времён многие задачи математики заключались в поисках тех или иных конструктивных методов. Эти поиски, особенно усилившиеся в связи с созданием удобной символики, а также осмысления принципиального отсутствия искомых методов в ряде случаев (задача о квадратуре круга и подобные ей) - все это было мощным фактором развития научных знаний. Осознание невозможности решить задачу прямым вычислением привело к созданию в 19 в. теоретико-множественной концепции . Лишь после периода бурного развития этой концепции (в рамках которой вопрос о конструктивных методах в современном их понимании вообще не возникает) оказалось возможным в середине 20 в вновь вернуться к вопросам конструктивности, но уже на новом уровне, обогащенном выкристаллизовавшимся понятием А. Это понятие легло в основу особого в математике.

  Само слово «А.» происходит от algorithmi, являющегося, в свою очередь, латинской транслитерацией арабского имени хорезмийского математика 9 в. аль- . В средневековой Европе А. называется десятичная позиционная система счисления и искусство счёта в ней, поскольку именно благодаря латинскому переводу (12 в.) трактата аль-Хорезми Европа познакомилась с позиционной системой.

  Строение алгоритмического процесса.Алгоритмический процесс есть процесс последовательного преобразования (к. о.), происходящий дискретными «шагами»; каждый шаг состоит в смене одного к. о. другим. Так, при применении А. Г к слову baaba возникают последовательно baaba, abaaba, baabab и т. д. А при применении, скажем, А. вычитания столбиком к паре <307, 49> последовательно возникнут такие к. о.:

 При этом в ряду сменяющих друг друга к. о. каждый последующий полностью определяется (в рамках данного А.) непосредственно предшествующим. При более строгом подходе предполагается также, что переход от каждого к. о. к непосредственно следующему достаточно «элементарен» - в том смысле, что происходящее за один шаг преобразование предыдущего к. о. в следующий носит локальный характер (преобразованию подвергается не весь к. о., а лишь некоторая, заранее ограниченная для данного А. его часть и само это преобразование определяется не всем предыдущим к. о., а лишь этой ограниченной частью).

  Т. о., наряду с совокупностями возможных исходных данных и возможных результатов, для каждого А. имеется ещё совокупность промежуточных результатов (п. р.), представляющая собой ту рабочую среду, в которой развивается алгоритмический процесс. Для Г все три совокупности совпадают, а для А. вычитания столбиком - нет: возможными исходными данными служат пары чисел, возможными результатами - числа (все в десятичной системе), а промежуточные результаты суть «трёхэтажные» записи вида

  где q -есть запись числа в десятичной системе, r - такая запись или пустое слово, а р - запись числа в десятичной системе с допущением точек над некоторыми цифрами.

  Работа А. начинается подготовительным шагом, на котором возможное исходное данное преобразуется в начальный член ряда сменяющих друг друга промежуточных результатов; это преобразование происходит на основе специального, входящего в состав рассматриваемого А. «правила начала». Это правило для Г состоит в применении тождественного преобразования, а для А. вычитания - в замене пары<а, b> на запись

 Затем применяется «правило непосредственной переработки», осуществляющее последовательные преобразования каждого возникающего промежуточного результата в следующий. Эти преобразования происходят до тех пор, пока некоторое испытание, которому подвергаются все промежуточные результаты по мере их возникновения, не покажет, что данный промежуточный результат является заключительным; это испытание производится на основе специального «правила окончания». Например, для Г правило окончания состоит в проверке, не начинается ли промежуточный результат на aa. (Если ни для какого из возникающих промежуточных результатов правило окончания не даёт сигнала остановки, то либо к каждому из возникающих промежуточных результатов применимо правило непосредственной переработки, и алгоритмический процесс продолжается неограниченно, либо же к некоторому промежуточному результату правило непосредственной переработки оказывается неприменимым, и процесс оканчивается безрезультатно.) Наконец, из заключительного промежуточного результата - также на основе специального правила - извлекается окончательный результат; для Г это извлечение состоит в отбрасывании первых двух букв а, а для А. вычитания - в отбрасывании всего, кроме самой нижней строчки цифр. (Во многих важных случаях правило начала и правило извлечения результата задают тождественные преобразования и потому отдельно не формулируются.) Т. о., для каждого А. можно выделить 7 характеризующих его (не независимых!) параметров: 1) совокупность возможных исходных данных, 2) совокупность возможных результатов, 3) совокупность промежуточных результатов, 4) правило начала, 5) правило непосредственной переработки, 6) правило окончания, 7) правило извлечения результата.

  « Уточнения» понятия А.Возможны дальнейшие «уточнения» понятия А., приводящие, строго говоря, к известному сужению этого понятия. Каждое такое уточнение состоит в том, что для каждого из указанных 7 параметров А. точно описывается некоторый класс, в пределах которого этот параметр может меняться. Выбор этих классов и отличает одно уточнение от другого. Во многих уточнениях все классы, кроме двух - класса совокупностей промежуточных результатов и класса правил непосредственной переработки, - выбираются единичными, т. е. все параметры, кроме указанных двух, жестко фиксируются. Поскольку 7 параметров однозначно определяют некоторый А., то выбор 7 классов изменения этих параметров определяет некоторый класс А. Однако такой выбор может претендовать на название «уточнения», лишь если имеется убеждение, что для произвольного А., имеющего допускаемые данным выбором совокупности возможных исходных данных и возможных результатов, может быть указан равносильный ему А. из определённого данным выбором класса А. Это убеждение формулируется для каждого уточнения в виде основной гипотезы, которая - при современном уровне наших представлений - не может быть предметом математического доказательства.

  Первые уточнения описанного типа предложили в 1936 американский математик Э. Л. Пост и английский математик А. М. Тьюринг (см. ) .Известны также уточнения, сформулированные советскими математиками А. А. Марковым (см. ) и А. Н. Колмогоровым (последний предложил трактовать конструктивные объекты как топологические определённого вида, что дало возможность уточнить свойство «локальности» преобразования). Для каждого из предложенных уточнений соответствующая основная гипотеза хорошо согласуется с практикой. В пользу этой гипотезы говорит и то, что, как можно доказать, все предложенные уточнения в некотором естественном смысле эквивалентны друг другу.

  В качестве примера приведём (в модернизированном виде) уточнение, предложенное Тьюрингом. Чтобы задать тьюрингов А., надо указать: а) попарно непересекающиеся алфавиты Б, Д, Ч с выделенной в Д буквой l и выделенными в Ч буквами a и w, б) набор пар вида < рx, hTq >, где р, qОЧ, x, hОБИД, а Т есть один из знаков -, 0, +, причём предполагается, что в этом наборе (называемой программой) нет 2 пар с одинаковыми первыми членами. Параметры А. задаются так: возможными исходными данными и возможными результатами служат слова в Б, а промежуточными результатами - слова в БИДИЧ, содержащие не более одной буквы из Ч. Правило начала: исходное слово Р переводится в слово laРl. Правило окончания: заключительным является промежуточный результат, содержащий w. Правило извлечения результата: результатом объявляется цепочка всех тех букв заключительного промежуточного результата, которая идёт вслед за w. и предшествует первой букве, не принадлежащей Б. Правило непосредственной переработки, переводящее А в А', состоит в следующем. Приписываем к А слева и справа букву l; затем в образовавшемся слове часть вида erx, где рОЧ, заменяем на слово Q по следующему правилу: в программе ищется пара с первым членом рx; пусть второй член этой пары есть hTq; если Т есть ^-, то Q = qeh, ЕСли Т есть 0, то Q =eqh; если Т есть +, то О = ehq .Возникающее после этой замены слово и есть А'.

 См. также ст. и лит. при этой статье.

  В. А. Успенский.

Алгоритмизация процессов

Алгоритмиза'ция проце'ссов,алгоритмическое описание процессов, описание процессов на языке математических символов для получения ,отображающего элементарные акты процесса, их последовательность и взаимосвязь. Алгоритмы, получающиеся путём А. п., предназначаются, как правило, для реализации на ЭВМ.

  Построение алгоритмов, описывающих реальные процессы, связывается обычно с двумя задачами: нахождением эффективных систем обработки информации и исследованием математическими методами процессов функционирования .В задачах 1-го типа для построения алгоритма управления необходимо к алгоритму, описывающему процесс функционирования системы, присоединить алгоритм определения оптимального решения или оптимальных значений параметров управления. В задачах 2-го типа А. п. функционирования большой системы позволяет провести количественное и качественное исследования, связанные с оценкой основных её свойств (эффективности, надёжности и др.).

  Для проведения алгоритмизации процесс расчленяется на элементарные акты (подпроцессы), применительно к которым может быть дано математическое описание, исходя из известных математических схем ,конечных автоматов (см. ) , , и др. Соотношения, описывающие элементарные акты процесса, объединяются в систему, дополняются описанием взаимосвязей между актами и представляются в виде алгоритма.

  Операции и процедуры, являющиеся элементами алгоритмического описания процесса, для программирования и реализации на ЭВМ удобно записывать на ,с которого при помощи трансляторов-программ алгоритм автоматически переводится на язык команд (операций) конкретной ЭВМ. При этом одной операции алгоритма может соответствовать в общем случае несколько операций ЭВМ.

  Лит.:Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов, М., 1962; Бусленко Н. П., Математическое моделирование производственных процессов на цифровых вычислительных машинах, М., 1964; Алгоритмизация производственных процессов [Доклады семинара], в. 1, К., 1966.

  Н. П. Бусленко.

Алгоритмов теория

Алгори'тмов тео'рия,раздел математики, изучающий общие свойства .Содержательные явления, приведшие к образованию понятия «алгоритм», прослеживаются в математике в течение всего времени её существования. Однако само это понятие сформировалось лишь в 20 в. и стало предметом самостоятельного изучения (по-видимому, впервые, хотя ещё в расплывчатом виде) лишь в 20-х гг. 20 в. в трудах представителей Л. Э. Я. и Г. .Началом систематической разработки А. т. можно считать 1936, когда А. опубликовал первое уточнение понятия (предложив отождествлять понятие всюду определённой вычислимой функции, имеющей натуральные аргументы и значения, с понятием общерекурсивной функции) и привёл первый пример функции, не являющейся вычислимой, а А. М. и Э. Л. дали первые уточнения понятия алгоритма (в терминах идеализированных вычислительных машин, см. ) .В дальнейшем А. т. получила развитие в трудах С. К. , Э.Л. Поста, А. А. и других. В частности, А. А. Марков предложил уточнять понятие алгоритма с помощью введённого им понятия .Наиболее общий подход к уточнению понятия алгоритма предложил А. Н. .

  Основные понятияА. т. Областью применимости алгоритма называется совокупность тех объектов, к которым он применим. Про алгоритм Б говорят, что он: 1) «вычисляет функцию f», коль скоро его область применимости совпадает с областью определения f и Б перерабатывает всякий xиз своей области применимости в f( x) ,2) «разрешает множество Аотносительно множества X», коль скоро он применим ко всякому хиз Хи перерабатывает всякий хиз Х З A в слово «да», а всякий хиз Х \A в слово «нет»; 3) «перечисляет множество В», коль скоро его область применимости есть натуральный ряд, а совокупность результатов есть В.Функция называется вычислимой, если существует вычисляющий её алгоритм. Множество называется разрешимым относительно X, если существует разрешающий его относительно Х алгоритм (см. ) .Множество называется перечислимым, если либо оно пусто, либо существует перечисляющий его алгоритм (см. ) .

  Детальный анализ понятия «алгоритм» обнаруживает, что (I) область возможных исходных данных и область применимости любого алгоритма суть перечислимые множества. В свою очередь (II) для любой пары вложенных одно в другое перечислимых множеств можно подобрать алгоритм, у которого большее множество служит множеством исходных данных, а меньшее - областью применимости. Имеют место следующие основные теоремы: (III) функция f вычислима тогда и только тогда, когда перечислим её график, т. е. множество всех пар вида .(IV) Подмножество Аперечислимого множества Хтогда и только тогда разрешимо относительно X,когда Аи Х \ Аперечислимы. (V) Если Аи Вперечислимы, то A'И Bи АЗ Втакже перечислимы. (VI) В каждом бесконечном перечислимом множестве Хсуществует перечислимое подмножество с неперечислимым дополнением [в силу (IV) это перечислимое подмножество будет неразрешимым относительно X]. (VII) Для каждого бесконечного перечислимого множества Хсуществует вычислимая функция, определённая на подмножестве этого множества и не продолжаемая до вычислимой функции, определённой на всём X. Утверждения (VI) и (II) в совокупности дают упоминаемый в ст. пример алгоритма Б с неразрешимой областью применимости.

  Алгоритмические проблемы.Проблема построения алгоритма, обладающего теми или иными свойствами, называется алгоритмической проблемой (а. п.). Как правило, свойство искомого алгоритма формулируется в терминах свойств того соответствия, которое должно иметь место между исходными данными и результатами алгоритма. Важные примеры а. п.: проблема вычисления данной функции (требуется построить алгоритм, вычисляющий эту функцию): проблема разрешения данного множества (требуется построить алгоритм, разрешающий это множество относительно некоторого другого множества); проблема перечисления данного множества (требуется построить алгоритм, перечисляющий данное множество). Неразрешимость а. п. означает отсутствие соответствующего алгоритма; теоремы, устанавливающие неразрешимость таких проблем, относятся к числу наиболее важных теорем А. т.

  Метрическая А. т.А. т. можно разделить на дескриптивную (качественную) и метрическую (количественную). Первая исследует алгоритмы с точки зрения устанавливаемого ими соответствия между исходными данными и результатами, к ней относятся, в частности, те алгоритмические проблемы, о которых говорилось в предыдущем разделе. Вторая исследует алгоритмы с точки зрения сложности как самих алгоритмов, так и задаваемых ими «вычислений», т. е. процессов последовательного преобразования конструктивных объектов. Важно подчеркнуть, что сложность алгоритмов и вычислений может определяться различными способами, причём может оказаться, что при одном способе Абудет сложнее В,а при другом способе - наоборот. Чтобы говорить о сложности алгоритмов, надо сперва описать какой-либо точный язык для записи алгоритмов и затем под сложностью алгоритма понимать сложность его записи; сложность же записи можно определять различными способами (например, как число символов данного типа, участвующих в записи, или как набор таких чисел, вычисленных для разных типов символов).