Большая Советская Энциклопедия (ОТ)

  В данной и. с. о. необходимо определить способ измерения времени и координат. В и. с. о. трёхмерная пространственная геометрия - евклидова, если прямые определить, например, как траектории световых лучей, а расстояния измерять твёрдыми масштабами. Поэтому в данной и. с. о. можно ввести декартовы прямоугольные координаты х, у, z. Для определения времени tсобытия можно принять, что в той точке, где оно произошло, находятся часы, покоящиеся в данной и. с. о. Если события происходят в разных точках A, В, то для сравнения их времён нужно синхронизировать часы в Aи В, т.е. определить значение того, что часы в Аи Впоказывают одинаковое время. Обычное определение таково: пусть в момент t _Aпо часам в Апосылается сигнал в В, а в момент его прибытия в Впосылается такой же сигнал из Вв A; если сигнал пришёл в Ав момент t’ _A, то принимается, что сигнал пришёл в Вв момент t _B= ( t _A+ t’ _A )/2 и соответственно устанавливаются часы в В. При таком определении времена распространения сигнала из Aв Ви из Вв Аодинаковы и равны ( t’ _A – t _A)/2. Сигналами могут служить световые вспышки, звуковые сигналы (если среда, в которой они распространяются, покоится по отношению к данной системе отсчёта), выстрелы из двух одинаковых орудий, установленных в Aи В, и т.д., требуется лишь, чтобы условия передачи сигнала из Ав Ви из Вв Абыли одинаковыми. Целесообразность такого определения времени связана с тем, что в любой и. с. о. отсутствует какое-либо физически выделенное направление; описанная процедура синхронизации часов симметрична относительно Aи Ви поэтому не вносит анизотропии в способ описания. Отсутствие выделенного направления проявляется в том, что синхронизация любыми сигналами приводит к одному и тому же результату; к такому же результату приводит медленный (с u<< с

) перенос часов из Aв В. При практических измерениях времён и координат используются многочисленные косвенные методы, при условии, что они дают такой же результат, как и описанные выше процедуры. В любой другой и. с. о. координаты и время измеряются с помощью таких же масштабов и часов, синхронизируемых таким же способом. Заранее не очевидно, что времена, определённые таким образом в двух различных и. с. о., будут одними и теми же, и они действительно оказываются различными. После того как синхронизация произведена, могут измеряться скорости частиц и сигналов в данной и. с. о., в частности скорость распространения световых сигналов. Скорость света в любой и. с. о. всегда равна с.

  Преобразования Лоренца

 Рассмотренные выше активные преобразования непосредственно связаны с пассивными преобразованиями, описывающими связь между координатами и временем данного события в двух различных и. с. о. В силу принципа относительности безразлично, сообщить ли телу скорость Vпо отношению к данной и. с. о. Lили перейти к системе отсчёта Lў, движущейся со скоростью Vотносительно L, - закон преобразования координат и времени должен быть одним и тем же.

  Вследствие справедливости симметрий 1-4, преобразования, связывающие координаты и времена событий х, у, z, tи х’, у’, z’, t’, измеренные в двух и. с. о. Lи L’, должны быть линейными. Из симметрий 1-4 и требования, чтобы преобразования составляли группу, можно получить вид этих преобразований. Если система отсчёта L’ движется относительно Lсо скоростью V, то при надлежащем выборе осей координат и начал отсчёта времени в Lи L’(оси хи х’совпадают и направлены по V, оси уи у’, zи z’соответственно параллельны, начала координат Ои О’совпадают при t= 0 и часы в L’установлены так, что при t= 0 часы в О’ показывают время t’= 0) преобразования координат и времени имеют вид:

,   ,  , (2)

  где с– произвольная постоянная, имеющая смысл предельной скорости движения (равной скорости света в вакууме). Эта постоянная может быть определена из любого эффекта О. т. (например, замедления времени распада быстрого p-мезона). Справедливость кинематики и динамики, основанных на преобразованиях (2), подтверждена неисчислимой совокупностью экспериментальных фактов.

  Преобразования Лоренца (2) вместе с преобразованиями вращения вокруг начала координат образуют группу Лоренца; добавление к ней сдвигов во времени t’= t+ аи в пространстве х’= х+ b(где a, bпроизвольные постоянные размерности времени и длины) даёт группу Пуанкаре.

  Из принципа относительности вытекает, что физические законы должны иметь одинаковую форму во всех и. с. о.; следовательно, они должны сохранять свой вид при преобразованиях Лоренца. Это требование называется принципом (постулатом) релятивистской инвариантности, или лоренц-инвариантности (лоренц-ковариантности), законов природы.

  Из преобразований Лоренца вытекает релятивистский закон сложения скоростей. Если частица или сигнал движется в Lпо оси хсо скоростью u, то в момент tx= utи скорость частицы u’= x’/ t’, измеряемая в системе L’, равна:

  (3)

  Эта формула отражает основную черту релятивистской кинематики - независимость скорости света от движения источника. Действительно, если скорость света, испущенного покоящимся в некоторой и. с. о. Lисточником, есть с, u= с, то из закона сложения скоростей (2) получаем, что измеренная в и. с. о. L’скорость света u’также равна с. Так как направление оси хпроизвольно, то отсюда следует независимость скорости света от движения источника. Это свойство скорости света однозначно определяет вид преобразований Лоренца: постулировав независимость скорости света от движения источника, однородность пространства и времени и изотропию пространства, можно вывести преобразования Лоренца.

  Особая роль скорости света в О. т. связана с тем, что она является предельной скоростью распространения сигналов и движения частиц, достигаемой при энергии частицы, стремящейся к бесконечности, или массе, стремящейся к нулю; если бы масса покоя m _gфотона оказалась хотя и очень малой, но отличной от нуля (экспериментально установлено, что m _g < 4Ч10 ^–21 m _e, где m _e- масса электрона), то скорость света была бы меньше предельной. Чтобы предельная скорость вообще могла существовать, она не должна зависеть от движения источника частиц.

  Из преобразований Лоренца легко получить основные эффекты О. т.: относительность одновременности, замедление времени, сокращение продольных размеров движущихся тел. Действительно, события 1, 2, одновременные в одной и. с. о. L: t ₁= t ₂и происходящие в разных точках x ₁, x ₂, оказываются неодновременными в другой и. с. о. L’: . Далее, когда часы, покоящиеся в Lв точке х= 0, показывают время t, то время t’по часам в L’, пространственно совпадающим с часами в Lв этот момент времени, есть

 (4)

  или

 (4, а)

  т. е. с точки зрения наблюдателя в L’часы в Lотстают. В силу принципа относительности отсюда следует, что с точки зрения наблюдателя в L’, все процессы в Lзамедлены в такое же число раз.

  Легко получить также, что размеры lвсех тел, покоящихся в L, оказываются при измерении в L’сокращёнными в  раз в направлении V:

 (5)

  В частности, продольный диаметр сферы, движущейся со скоростью uотносительно L’, будет при измерении в Lў в  раз короче, чем поперечный. (Заметим, что это сокращение не обнаружилось бы на мгновенной фотографии сферы: из-за различного запаздывания световых сигналов, приходящих от разных точек сферы, её видимая форма остаётся прежней.)

  Для и. с. о. пространственно-временные эффекты, определяемые преобразованиями Лоренца, относительны: с точки зрения наблюдателя в Lзамедляются все процессы и сокращаются все продольные масштабы в L’. Однако это утверждение несправедливо, если хотя бы одна из систем отсчёта неинерциальна. Если, например, часы 1 перемещаются относительно Lиз Ав Всо скоростью u, а потом из Вв Асо скоростью - u, то они отстанут по сравнению с покоящимися Aчасами 2 в  раз; это можно обнаружить прямым сравнением, так что эффект абсолютен. Он должен иметь место для любого процесса; например, близнец, совершивший путешествие со скоростью u, вернётся в  раз более молодым, чем его брат, остававшийся неподвижным в и. с. о. Это явление, получившее название «парадокса близнецов», в действительности не содержит парадокса: система отсчёта, связанная с часами 1, не является инерциальной, т.к. эти часы при повороте в Виспытывают ускорение по отношению к инерциальной системе; поэтому часы 1 и 2 неравноправны.

  При малых скоростях uпреобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея x’= x– ut, y’ = y, z’’ = z, t’ = t, которые описывают связь между картинами различных наблюдателей, известную из повседневного опыта: размеры предметов и длительность процессов одинаковы для всех наблюдателей.

  Преобразования Пуанкаре оставляют инвариантной величину, называемую интервалом s _ABмежду событиями А, В, которая определяется соотношением:

s ² _AB = c ²( t _A– t _B) ²– ( x _A– x _B) ²– ( y _A– y _B) ²– ( z _A– z _B) ². (6)

  Математически инвариантность sаналогична инвариантности расстояния при преобразованиях движения в евклидовой геометрии. Величины ct, х, у, zможно рассматривать как четыре координаты события в четырёхмерном пространстве Минковского: х ⁰= ct, х ¹= х, x ²= у, x ³= z, которые являются компонентами четырёхмерного вектора.

  Если вместо x ⁰ввести мнимую координату x ⁴= ix ⁰= ict, то произвольное преобразование Пуанкаре можно записать в виде, полностью аналогичном формуле, описывающей вращения и сдвиги в трёхмерном пространстве.

  Вследствие того, что квадраты разностей временны'х и пространственных координат входят в (6) с разными знаками, знак s ²может быть различным; геометрия такого пространства отличается от евклидовой и называется псевдоевклидовой. В такой геометрии интервалы разделяются на три типа: s ²< 0, s ²> О и s ²= 0. Интервалы первого и второго типа называются соответственно времениподобными и пространственноподобными. Если s ²³ 0, знак t _A– t _Bне зависит от системы отсчёта. Это тесно связано с принципом причинности. Действительно, если s ²³ 0 и (для определённости) t _A< t _B, то события Аи Вмогут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью uЈ с, т.е. Аможет быть причиной В. Обычные представления о причинности требуют тогда, чтобы в любой системе отсчёта событие Вследовало за событием А. Инвариантность условия s ²= 0 непосредственно выражает инвариантность скорости света. Если s ²< 0, то знак t _A– t _Bможет быть различным в разных и. с. о. Однако это не противоречит причинности, т.к. такие события не могут быть связаны никаким взаимодействием.

  Если s ²< 0, то существует такая система отсчёта, в которой события Аи Водновременны; в этой системе s ²= – l ², где l - обычное расстояние. При s ²> 0 существует система отсчёта, в которой события Аи Впроисходят в одной точке.

  В классической физике требование инвариантности законов физики относительно преобразований Лоренца означает, что любые физические величины должны преобразовываться как скаляры , векторы или тензоры в пространстве Минковского. Правила вычислений с такими величинами даются тензорным исчислением. Использование тензорного исчисления позволяет записывать законы физики в таком виде, что их лоренц-инвариантность становится непосредственно очевидной.

  Законы сохранения в теории относительности и релятивистская механика

 В О. т., так же как в классической механике, для замкнутой физической системы сохраняется импульс ри энергия Е. Трёхмерный вектор импульса вместе с энергией образует четырёхмерный вектор импульса-энергии с компонентами Е/ с, р, обозначаемый как ( Е/ с, р). При преобразованиях Лоренца остаётся инвариантной величина

E ²– (cp) ²= m ² c ⁴, (7)

  где m –масса покоя частицы. Из требований лоренц-инвариантности следует, что зависимость энергии и импульса от скорости имеет вид

, . (8)

  Энергия и импульс частицы связаны соотношением р= Eu/ c ². Это соотношение справедливо также для частицы с нулевой массой покоя; тогда u= си р= Е/с.Такими частицами, по-видимому, являются фотоны (g) и электронные и мюонные нейтрино. Из (8) видно, что импульс и энергия частицы с m¹ 0 стремятся к бесконечности при u® с.

  Обсуждалась возможность существования объектов, движущихся со скоростью, большей скорости света (т. н. тахионов). Формально это не противоречит лоренц-инвариантности, но приводит к серьёзным затруднениям с выполнением требования причинности.

  Масса покоя тне является сохраняющейся величиной. В частности, в процессах распадов и превращений элементарных частиц сумма энергий и импульсов частиц сохраняется, а сумма масс покоя меняется. Так, в процессе аннигиляции позитрона и электрона е ⁺+ е ^–® 2g сумма масс покоя изменяется на 2 m _е.

  В системе отсчёта, в которой тело покоится (такая система отсчёта наз. собственной), его энергия (энергия покоя) есть Е ₀= mс ². Если тело, оставаясь в покое, изменяет своё состояние, получая энергию в виде излучения или тепла, то из релятивистского закона сохранения энергии следует, что полученная телом энергия D Есвязана с увеличением его массы покоя соотношением D Е= D mc ². Из этого соотношения, названного Эйнштейном принципом эквивалентности массы и энергии, следует, что величина Е ₀= mc ²определяет максимальную величину энергии, которая может быть «извлечена» из данного тела в системе отсчёта, в которой оно покоится.

  Для движущегося тела величина

   (9)

определяет его кинетическую энергию. При u<< с

(9) переходит в нерелятивистское выражение Е _кин= mu ²/2, при этом импульс равен р= mu. Из определения Е _кинследует, что для любого процесса в изолированной системе выполняется равенство:

, (10)

согласно которому увеличение кинетической энергии пропорционально уменьшению суммы масс покоя. Это соотношение широко используется в ядерной физике; оно позволяет предсказывать энерговыделение в ядерных реакциях, если известны массы покоя участвующих в них частиц. Возможность протекания процессов, в которых происходит превращение энергии покоя в кинетическую энергию частиц, ограничена др. законами сохранения (например, законом сохранения барионного заряда , запрещающим процесс превращения протона в позитрон и g-квант).

  Иногда вводят массу, определяемую как

; (11)

  при этом связь между импульсом и энергией имеет тот же вид, что и в ньютоновской механике: р= m _движ u. Определённая таким образом масса отличается от энергии тела лишь множителем 1/ с ². (В теоретич. физике часто выбирают единицы измерения так, что с= 1, тогда Е= m _движ.)

  Основные уравнения релятивистской механики имеют такой же вид, как второй закон Ньютона и уравнение энергии, только вместо нерелятивистских выражений для энергии и импульса используются выражения (8):

,

, (12)

где F- сила, действующая на тело. Для заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле, Fесть Лоренца сила .

  Теория относительности и эксперимент

 Предположения о точечных событиях, справедливости принципа относительности, однородности времени и однородности и изотропии пространства с неизбежностью приводят к О. т. При этом абстрактно допустим предельный случай, соответствующий с= Ґ, однако такая возможность исключена экспериментально: доказано с огромной точностью (см. ниже), что предельная скорость сесть скорость света в вакууме (её значение дано в начале статьи).

  Каковы границы применимости О. т.? Отклонения от пространственно-временной геометрии О. т., связанные с гравитацией, наблюдаемы и рассчитываются в ОТО; никаких др. ограничений применимости О. т. пока не обнаружено, хотя неоднократно высказывались подозрения, что на очень малых расстояниях (например, ~10 ^–17 см) понятие точечного события, а следовательно, и О. т. могут оказаться неприменимыми (см., например, Квантование пространства-времени ).

  Предположение о лоренц-инвариантности и точечности событий (означающей локальность взаимодействий) лежит в основе всех современных теорий, в которых существен релятивизм. Справедливость квантовой электродинамики электронов и мюонов , а следовательно, и О. т. установлена вплоть до расстояний 10 ^–15 см. При энергиях порядка масс этих частиц согласие квантовой электродинамики с опытом установлено с относительной точностью, несколько лучшей, чем 10 ^–5; с точностью того же порядка должна быть справедлива и механика О. т.

  Релятивистские законы сохранения применяются при исследованиях превращений элементарных частиц, вызванных сильным, слабым и электромагнитным взаимодействиями; отсутствие противоречий подтверждает справедливость этих законов. Всё, что известно о названных взаимодействиях, согласуется с представлением об их лоренц-инвариантности.

  Предположение о невозможности сверхсветовых сигналов, вытекающее из О. т., лежит в основе дисперсионных методов, широко используемых в теории сильных взаимодействий (см. также Квантовая теория поля ); их успех демонстрирует справедливость основных представлений О. т.

  Одним из наиболее ярких подтверждений справедливости релятивистской инвариантности явилось предсказание на её основе существования античастиц и их последующее открытие (см. Дирака уравнение , Античастицы ).

  Требование лоренц-инвариантности взаимодействий приводит при очень общих предположениях к т. н. СРТ-теореме , устанавливающей связь между свойствами частиц и античастиц. Эта связь выполняется на опыте для всех известных взаимодействий.

  Неоднократно ставились опыты по прямой проверке основных черт кинематики О. т. Независимость скорости света от движения источника проверена с наилучшей точностью в 1964 в опытах [Европейский центр ядерных исследований (ЦЕРН, Швейцария)], в которых использовались g-кванты от распада p°-мезона; при скорости p° u= 0,9997 сотносит. точность совпадения скорости g-кванта с ссоставляла 10 ^–4. Релятивистское замедление времени измерено в широком интервале скоростей с помощью поперечного Доплера эффекта и непосредственно по распадам элементарных частиц с точностью 1–5%. Неоднократно проверялась также формула ; наилучшая достигнутая точность - 5Ч10 ^–4(В. Мейер и др., 1963).

  История частной теории относительности

 Хотя О. т. в логическом смысле проста, путь, приведший к ней, был сложным. Справедливость принципа относительности для механических явлений и его связь с явлением инерции были поняты после появления теории Н. Коперника : отсутствие видимых проявлений движения Земли с неизбежностью приводило к заключению, что общее движение системы не сказывается на происходящих в ней механических явлениях. Уже в 16 в. это поясняли, описывая эксперименты на движущемся корабле. Классическое изложение принципа относительности было дано в 1632 Г. Галилеем : «Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех...явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно» (Галилей Г., Диалог о двух главнейших системах мира: птоломеевой и коперниковой, М.–Л., 1948, с. 147). Принцип относительности широко использовался Х. Гюйгенсом для решения задач механики.

  Полная система законов движения для любой механической системы была дана И. Ньютоном в «Началах» (1687). Ньютон, установив, что законы механики не могут быть справедливыми в любой системе отсчёта, ввёл понятия абсолютного пространства и абсолютного времени; по существу это были для него система отсчёта и временная переменная t, для которых выполнялись законы движения. Вопрос об измерении времени в механике Ньютона был простым, т.к. любые равномерно движущиеся часы годились для измерения t. Более сложным был вопрос об абсолютном пространстве. В механике Ньютона выполнялся принцип относительности. Согласно формулировке Ньютона, «относительные движения друг по отношению к другу тел, заключённых в каком-либо пространстве, одинаковы, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения» («Математические начала натуральной философии», см. Крылов А. И., Собрание трудов, т. 7, 1936, с. 49). Поэтому нельзя было отличить покоящуюся в абсолютном пространстве систему отсчёта от равномерно движущейся. Переход от одной и. с. о. к другой в механике Ньютона описывался преобразованиями x’ = х– ut, t’ = t, называется сейчас преобразованиями Галилея. Такая форма преобразований казалась очевидной, т.к. не сомневались в том, что длины предметов должны быть одинаковыми в любой системе отсчёта, а время единым. Эта уверенность подтверждалась инвариантностью законов Ньютона относительно преобразований Галилея. Столь же несомненным казалось то, что для оптических явлений принцип относительности несправедлив. Уже в 17 в. широко использовалось представление о заполняющей пространство среде - эфире . Среди многих функций, приписывавшихся эфиру, была передача световых возмущений. В начале 19 в. была разработана оптика Т. Юнга - О. Френеля , в которой скорость света относительно эфира считалась константой, не зависящей от движения источника. Отсюда следовало нарушение принципа относительности, т.к. для наблюдателя, движущегося в эфире со скоростью uнавстречу световому лучу, скорость света должна была бы равняться с+ u(эфирный ветер). Такой эфирный ветер должен был бы возникать, в частности, из-за орбитального движения Земли (со скоростью 30 км/ сек). Поиски эфирного ветра затруднялись, однако, тем, что уже по теории Френеля эффекты порядка u/ c(~10 ^–4для орбитального движения Земли) должны отсутствовать в широком классе опытов.

  Проблема эфира заняла одно из центр. мест в физике после построения Дж. Максвеллом теории электромагнитного поля, в которой эфир стал носителем не только световых волн, но и электрических и магнитных полей. Попытки обнаружения эфирного ветра были сделаны А. Майкельсоном (1881) и А. Майкельсоном и Э. Морли (1887), искавшими эффект порядка u ²/ c ², и дали отрицательный результат (см. Майкельсона опыт ). Возникла проблема согласования опыта Майкельсона с оптикой и электродинамикой, основанными на представлении об эфире. Наиболее очевидными казались объяснения, базирующиеся на гипотезе полного увлечения эфира движущимися телами. Оптические и электромагнитные теории, использовавшие эту гипотезу, обсуждались (Дж. Г. Стокс , Г. Герц ), но они оказались либо внутренне противоречивыми, либо не описывали всей совокупности экспериментальных фактов. Наиболее успешной была электродинамика Х. Лоренца , в основе которой лежало представление о неподвижном эфире и которая, на первый взгляд, была несовместима с принципом относительности. В 1892 Лоренц (ранее английский физик Дж. Фицджеральд, 1889) заметил, что отрицательный результат опыта Майкельсона объясняется, если продольные размеры всех тел сокращаются в  раз при движении тел относительно эфира со скоростью u. Это сокращение (т. н. Лоренца – Фицджеральда сокращение) Лоренц объяснял изменением действующих в телах электромагнитных сил при движении тела через эфир. В 1895 Лоренц, рассматривая соответствие между движущейся и неподвижной относительно эфира системами тел, ввёл (в приближении u/ c) понятие «местного времени» t’ = t– ( u/ c)( x– ut) и доказал, что эффекты движения относительно эфира отсутствуют в порядке u/ c.

  Ситуация наталкивала на мысль о необнаружимости движения относительно эфира. Такой вывод сделал А. Пуанкаре , который начиная с 1895 выражал убеждение, что движение относительно эфира необнаружимо принципиально. В 1900-е гг. при обсуждении электромагнитных явлений он начал пользоваться термином «принцип относительности», формулируя его как невозможность обнаружения движения относительно эфира. В начале 1900-х гг. был проведён ряд опытов, подтвердивших, что движение Земли не влияет на электромагнитные, в частности на оптические, явления. [К этому вопросу возвращались и после создания О. т.; в 1963, например, отсутствие эфирного ветра проверено в опытах, которые могли бы обнаружить эфирный ветер в несколько м/ сек(Д. Чампней и др.).] Проблема согласования этого факта с электродинамикой Максвелла - Лоренца стала насущной.

  Объяснение невозможности обнаружить абсолютное движение в рамках представлений об эфире и связанной с ним привилегированной системе отсчёта было дано Лоренцом и Пуанкаре в 1904-05. Предполагая, что уравнения электродинамики Лоренца (см. Лоренца - Максвелла уравнения ) справедливы в системе координат, покоящейся относительно эфира, они сделали вывод, что все тела при движении в эфире испытывают лоренц-фицджеральдовское сжатие, а происходящие в них движения изменяются определённым образом, но эти изменения в силу их универсальности необнаружимы для наблюдателя, движущегося вместе с телом. Преобразования, названные Пуанкаре преобразованиями Лоренца, описывали связь между пространственно-временными координатами для процессов в двух телах, одно из которых двигалось, а другое покоилось относительно эфира. (Ранее близкие преобразования применил нем. физик В. Фохт; правильные преобразования нашёл впервые Дж. Лармор в 1900.)

  В завершающей работе Пуанкаре (поступившей в печать 23 июля 1905) содержался разработанный математический анализ релятивистских преобразований, интерпретировавшихся в описанном выше смысле. Было показано, что преобразования Лоренца образуют группу, оставляющую инвариантным интервал x ²+ y ²+ z ²– c ² t ²; были найдены преобразования для потенциалов электромагнитного поля, плотностей тока и заряда, установлена инвариантность действия для электромагнитного поля, показано, что группа Лоренца является группой инвариантности уравнений электродинамики. Лоренц и Пуанкаре видели также универсальный характер лоренц-инвариантности, которую они формулировали как требование, чтобы все силы и массы преобразовывались так же, как электромагнитные.