Сергей Житомирский
      Архимед
      Введение
      Сохранившиеся труды Архимеда, в основном математические, составляют целый том. Достижения ученого в области математики огромны. Он решил задачи об определении объема цилиндра и шара, объемов частей параболоидов вращения, был основоположником изучения спиралей, решил проблему квадратуры круга, вычислив довольно узкие границы, между которыми заключено число я. Архимед ввел в математику физическую задачу об определении положения центра тяжести плоских и пространственных фигур и для многих случаев решил ее. Он применил в геометрии метод "мысленного взвешивания", значительно развил предложенный греческим ученым Евдоксом "метод исчерпывания", позволивший исследовать свойства кривых второго порядка.
      Однако научное творчество Архимеда не ограничено математикой. Он основоположник статики, гидростатики и математической физики вообще, выдающийся астроном и замечательный инженер. Именно этим сторонам деятельности великого ученого древности и посвящена настоящая книга.
      Из трудов Архимеда в указанных областях сохранилось очень мало. В III в. н.э. греческий математик Папп Александрийский писал: "Архимед составил только одно механическое сочинение, а именно об устройстве небесного глобуса, не найдя из других предметов ничего, достойного сочинения". Видимо, Архимед не описывал и своих физических опытов, которые несомненно производил. Мало сведений осталось и о его астрономических работах.
      Тем не менее многие результаты, полученные Архимедом в области механики и астрономии, восстановлены благодаря трудам исследователей его творчества.
      Образ ученого, видевшего в математике не одну лишь игру возвышенного ума, а средство познания физических законов и орудие для решения сложных инженерных задач, близок нашему времени.
      Свидетельства истории
      Глава 1. Архимед в произведениях античных авторов
      Хотя слава Архимеда никогда не прекращалась, о жизни ученого сохранилось очень мало сведений.
      Известно, что он активно участвовал в обороне родных ему Сиракуз и созданные им машины сделали город неприступным; что он погиб при взятии города римлянами, происшедшего в результате предательства. Это случилось в 212 г. до н.э., и это единственная надежная дата в биографии Архимеда.
      Византийский хронист конца XII в. Цеци, рассказывая о захвате Сиракуз, добавляет, что Архимеду в это время было около 75 лет. Отсюда вычисляется дата рождения ученого - 287 г. до н.э. Правда, другому свидетельству Цеци о применении Архимедом сжигающих зеркал - обычно не доверяют.
      Сам Архимед в одной из работ о результатах определения расстояний до Луны и Солнца приводит значения этих расстояний, которые получил его отец, и называет имя отца - Фидий. Отсюда можно заключить, что отец ученого был астрономом.
      Земляк Архимеда, историк I в. до н.э. Диодор Сицилийский пишет о водоподъемных винтах, изобретенных Архимедом Сиракузским во время его пребывания в Египте. О том, что Архимед учился математике в Александрии и связи с тамошними учеными не порывал, говорит также то, что большинство работ Архимеда написано в виде посланий александрийским математикам.
      Греческий писатель I в. н.э. Плутарх вскользь упоминает, что Архимед был родственником царя Сиракуз Гиерона. Вот, собственно, и все факты.
      Каким же был Архимед?
      Для нашего времени он прежде всего математик, поскольку сохранившееся наследие Архимеда составляют математические труды. Такому же представлению о нем способствует и рассказ Плутарха, рисующий Архимеда отрешенным от мира теоретиком. Но в более ранней характеристике, данной Архимеду греческим историком Полибием (201...120 г. до н.э.), ученый представлен лишь как военный инженер. Полибий, описывая осаду Сиракуз, подробно рассказывает об архимедовых машинах, которые по его свидетельству были сооружены в мирное время задолго до нападения римлян.
      Столетием позже римский писатель Тит Ливий, который в описании осады Сиракуз использует сочинение Полибия, характеризует ученого как астронома, единственного в своем роде наблюдателя неба и звезд, и еще более удивительного конструктора военных машин и сооружений. Такая характеристика может указывать на то, что Архимед занимался астрономией в последние годы жизни и остался в памяти близких потомков астрономом. Но не исключено, что причиной этого является архимедов небесный глобус, вывезенный римлянами из Сиракуз в качестве трофея.
      Диодор Сицилийский, о котором говорилось ранее, упоминает об Архимеде прежде всего как об изобретателе. По поводу архимедовых водоподъемных винтов он замечает: "Но не только поэтому нужно удивляться таланту Архимеда. Мы обязаны ему еще многими другими, более замечательными изобретениями, известными всему миру. Мы опишем их с тщательностью и в подробностях, когда дойдем до описания эпохи Архимеда".
      К сожалению, труд Диодора до нас дошел не полностью, и, о каких изобретениях там говорится, можно только гадать.
      Об Архимеде упоминает знаменитый римский оратор и политик Цицерон, разыскавший могилу Архимеда, когда в 76 г. до н.э. был в Сицилии. Им был найден могильный обелиск с геометрическим чертежом цилиндра с вписанным в него шаром. За 136 лет, прошедших со времени гибели Архимеда, его могила была забыта и заброшена.
      Неоднократно Архимед упоминается в знаменитом сочинении по архитектуре римского инженера Марка Витрувия Поллиона, жившего также в I в. до н.э. Он пишет об Архимеде как о знатоке течения воды в водопроводах, авторе руководств по строительной механике (не дошедших до нас), ссылается на известную работу Архимеда "О плавающих телах".
      Говоря об образе идеального архитектора, Витрувий в своей книге "Об архитектуре" пишет: "Но такие гении очень редки; мало людей вроде Аристарха Самосского, Филолая и Архита Тарентского, Аполлония Пергского, Эратосфена Киренского, Архимеда и Скопина Сиракузского, которые сумели с помощью расчетов и знания тайн природы сделать большие открытия в механике и гномонике (наука о солнечных часах) и оставили потомству об этом научные труды".
      Здесь Архимед назван в ряду крупнейших астрономов и математиков.
      Наконец, в I в. н.э. греческий писатель Плутарх в биографии римского полководца Марцелла, взявшего Сиракузы, посвятил несколько страниц Архимеду. Этим, собственно, и исчерпываются дошедшие до нас свидетельства античных авторов об Архимеде.
      Путь ученого
      И все же мы можем сказать, что сейчас творческая биография Архимеда в основном известна (в значительной мере благодаря выполненной советским ученым И.Н. Веселовским периодизации работ Архимеда).
      Наиболее ранними из сохранившихся сочинений Архимеда оказались четыре его геометрические работы, написанные в виде посланий в Александрию некоему Досифею, ученику математика и астронома Конона, с которым Архимед был дружен. Первая из них - "Квадратура (площадь) параболы" - начинается словами: "Архимед Досифею желает благоденствия! Узнавши о смерти Конона, делавшего все для нас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге и как о выдающемся математике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы..."
      В следующем знаменитом сочинении - "О шаре и цилиндре", где решаются задачи определения объемов и поверхностей этих фигур, - имеются ссылки на предыдущее послание. Досифею Архимед послал также работы "О спиралях" и "О коноидах и сфероидах".
      Далее следует группа произведений, связанная с приложением математики к физическим проблемам. Это сочинения "О равновесии плоских фигур", "Послание Эратосфену о механических теоремах" и, наконец, две книги "О плавающих телах". В этих сочинениях Архимед пользуется теоремами, полученными в предыдущих геометрических работах.
      К более позднему времени относятся сочинения Архимеда "Измерение круга", содержащее вычисление отношения длины окружности к диаметру (числа ?) и работа "Псаммит" ("Исчисление песка"), в которой Архимед демонстрирует свой способ записи очень больших чисел.
      Установить наиболее раннюю дату начала занятий Архимеда математикой И.Н. Веселовскому помог следующий исторический рассказ. Когда египетский царь Птолемей III Эврегет уходил в поход на Антиохию, его жена Береника принесла свои волосы в дар богам, чтобы помочь благополучному возвращению мужа. После окончания похода выяснилось, что волосы из храма пропали. По античным представлениям, человек, завладевший чужими волосами, мог жестоко вредить их владельцу с помощью магических обрядов. Чтобы уладить дело, работавший в это время в Александрийском музее астроном Конон с Самоса объявил, что обнаружил на небе новую группу звезд, которые и есть вознесенные на небеса волосы царицы. Так появилось название созвездия, которое и в наши дни указывается на звездных картах, - "Волосы Вероники". Но какое отношение эта история имеет к Архимеду? Дело в том, что дата похода Эврегета (3-я Сирийская война) известна - это 246 г. до н.э. Таким образом, рассказ о волосах Береники удостоверяет, что сочинение Архимеда "О квадратуре параболы" (самое раннее из дошедших до нас) было послано Досифею, во всяком случае, позже этой даты. Поскольку же Архимед родился в 287 г., то легко подсчитать, что к моменту написания этой работы ему было больше сорока лет!
      Значит, свои основные математические открытия Архимед сделал в зрелом возрасте. Это удивительно, так как обычно математические способности проявляются в юности. Суть геометрических работ Архимеда состоит в развитии метода исчерпывания, введенного предшественником Евклида, великим математиком Евдоксом Книдским. Наиболее важным своим достижением в геометрии сам Архимед считал работу "О шаре и цилиндре" (недаром чертеж шара, вписанного в цилиндр, был помещен на его надгробии). В этом сочинении Архимед доказал, что объем шара, вписанного в цилиндр, в полтора раза меньше объема этого цилиндра и что так же относятся между собой поверхности этих фигур. Во вступлении к работе "О шаре и цилиндре" он писал: "Конечно, эти свойства были и раньше по самой природе присущи упомянутым фигурам, но они все же оставались неизвестными тем, кто до нас занимался геометрией, и никому из них не пришло на ум, что все эти фигуры являются соизмеримыми друг с другом; поэтому я не поколебался бы сравнить эти теоремы с теми, которые были открыты другими геометрами, и, в частности, наиболее выдающимися теоремами, которые были установлены для тел Евдоксом".
      Так что, вероятнее всего, Архимед был в обучении у Конона уже зрелым, сложившимся человеком. Но в какой области применял свои творческие силы Архимед до встречи с Кононом и увлечения геометрией? Есть достаточно оснований считать, что Архимед начинал свою деятельность на поприще практической механики в качестве военного инженера.
      Творческий путь Архимеда рисуется нам следующим образом.
      Архимед начал свою деятельность как инженер, создатель военных машин и фортификатор, реконструирующий укрепления Сиракуз. В этот период он пишет ряд практических работ по строительному делу (до нас дошли лишь отрывки из этих работ), причем основными теоретическими достижениями ученого в этот период были введение понятия центра тяжести и формулировка закона рычага.
      Тяга к углублению теоретических знаний приводит Архимеда в Александрию, тогдашний научный центр, где он встречается с Кононом и начинает пробовать свои силы в геометрии. Вернувшись в Сиракузы, он в течение 5...10 лет делает свои выдающиеся геометрические открытия, изложенные в посланиях Досифею. В следующий период своей деятельности ученый был занят решением задач математической физики (основы гидростатики, условия устойчивости плавающих тел), в которой Архимед был пионером. Вероятнее всего, в этот период он занимается и оптикой (написанная Архимедом работа "Катоптрика" до нас не дошла). Содержание последнего периода научной деятельности Архимеда составляют вычислительно-астрономические работы. Все это время Архимед, видимо, не оставляет инженерной деятельности, применяя на практике выводы своих теоретических исследований.
      Сиракузы
      Сиракузы были основаны коринфянами в VIII в. до н.э. Благодаря плодородию почвы, а также удобным гаваням этот город вскоре прославился исключительным богатством.
      Сиракузы были одним из крупнейших городов эллинистического мира. История родины Архимеда не была мирной. Плодородная Сицилия долгое время являлась яблоком раздора между окрестными народами. В 415...413 гг. до н.э. Сиракузы выдержали тяжелую войну с Афинами, стремившимися завладеть островом, и одержали победу. Но уже в 409 г. до н.э. в Сицилии высадилось карфагенское войско, которое с помощью осадных машин - тогда еще новинки военной техники - начало подчинять сицилийские города. Обеспокоенный успехами карфагенян, сиракузский правитель Дионисий Старший начал в 405 г. до н.э. готовиться к войне. Он пригласил в Сиракузы техников и мастеров, собрав их со всей Сицилии, Италии и Греции, и поставил перед ними задачу создания военных машин. Тогда в Сиракузах были построены невиданные прежде корабли с четырьмя и пятью ярусами весел, сконструированы мощные метательные машины. С помощью этого оружия Дионисию удалось остановить карфагенян, а изобретенные по его заказу машины быстро распространились и стали играть важную роль в армиях большинства государств Средиземноморья. Технические традиции в Сиракузах сохранились, и не подлежит сомнению, что в области практической механики Архимед в юности мог иметь достойных учителей, а в зрелые годы - умелых и дельных помощников.
      В эпоху, предшествующую Архимеду, произошло возвышение Сиракуз при правлении Агафокла (316...289 г. до н.э.). Этот талантливый полководец и политик, выходец из простого народа, объединил под властью Сиракуз почти всю Сицилию, вел успешные войны с Карфагеном, пытался подчинить Южную Италию (правда, после его смерти Карфаген взял реванш и влияние Сиракуз уменьшилось).
      Наиболее красочное из уцелевших описаний Сиракуз принадлежит Цицерону, хотя он описывает город, уже более сотни лет находившийся под властью Рима и сохранивший лишь малую долю былого великолепия: "Сиракузы - самый большой из греческих городов и самый прекрасный в мире; оно на самом деле так. Их высокое местоположение не только содействует их безопасности, но имеет последствием и то, что город со всех сторон, и с суши, и с моря, представляет очень красивое зрелище. Его гавани находятся внутри городской черты и отчасти окружены зданиями; открываясь в двух противоположных направлениях, они сливаются своими внутренними углами, вследствие чего та часть города, которая называется Островом, отделена узким проливом от материка, с которым ее соединяет мост.
      Город так велик, что его делят на четыре огромных города...
      Один из них - Остров (о котором я только что говорил), будучи окружен с двух сторон гаванями, вдается в море при входе в каждую из гаваней. На нем находится прежний дворец царя Гиерона, а также множество храмов, из которых выделяются в сравнении с другими два: один - Дианы (Артемиды), другой - Минервы (Афины)... На крайней оконечности Острова есть источник пресной воды Аретуса, огромной величины, кишащий рыбой; морские волны затопили бы его совершенно, если бы он не был отделен от моря каменной дамбой.
      Второй город в Сиракузах называется Ахрадиной; здесь находится обширная площадь, прекрасные портики, великолепный пританей (правительственное здание), величественное здание курии (совета) и храм Юпитера Олимпийского (Зевса) - образцовое произведение искусства; остальные части города, пересекаемые одной широкой и длинной улицей и множеством поперечных, застроены частными зданиями.
      Третий город называется Тиха, так как там был древний храм Фортуны (Тихи); в нем огромный гимнассий (стадион) и множество храмов. Эта часть города застроена и заселена более других.
      Четвертый город - Неаполь (новый город) назван так потому, что был выстроен позже других. В самой возвышенной его части находится громадных размеров театр; кроме того, два прекрасных храма, один - Цереры (Деметры), другой - Прозерпины (Персефоны) и колоссальная, чудной работы статуя Аполлона (Теменита)".
      Огромное пространство, занимаемое городом, было обнесено стенами с большим количеством башен. Стены составляли треугольник со сторонами длиной около 6 км. Особая внутренняя стена отделяла от остального города приморские районы - Ахрадину и Остров, а на холме, в дальнем от моря углу треугольника стен, возвышалась еще одна внутренняя крепость - Эвриал. Такими были Сиракузы.
      В 270 г. до н.э. к власти в городе пришел Гиерон. По свидетельству Плутарха, Архимед, которому в это время было около 10 лет, был родственником Гиерона. Как и Агофокл, Гиерон выдвинулся из простых солдат. Судя по всему, это был человек выдающихся способностей. Но времена изменились, о возвращении Сиракузам былого величия не приходилось и мечтать. Два могучих соперника - Рим и Карфаген - претендовали на власть над Сицилией.
      В 264 г. до н.э. началась 1-я Пуническая война. Непосредственным поводом для нее оказалась победа Гиерона над мамертинцами, наемниками-кампанцами, захватившими власть в Мессине. Часть разбитых мамертинцев призвала на помощь карфагенян, другая - римлян. Гиерон в битве с римлянами потерпел крупное поражение, дело дошло до осады Сиракуз, но ему ценой выплаты Риму большой контрибуции удалось выйти из войны. После этого для Сиракуз наступил мирный период истории, который длился около 50 лет. Но Гиерон, готовый к любым неожиданностям, уделял большое внимание укреплению города, и далеко не последнюю роль в этих работах играл Архимед.
      О том, что двор Гиерона был достаточно просвещенным, говорит факт посвящения Архимедом своей работы "Псаммит" сыну и соправителю Гиерона Гелону. Гиерон умер в 215 г. до н.э., на четыре года пережив своего сына. За три года до его смерти Ганнибал перешел через Альпы и началась 2-я Пуническая война. Но пока Гиерон был жив, Сиракузам удавалось держаться от нее в стороне.
      Полибий в своей "Всеобщей истории" так характеризует Гиерона: "Гиерон сам приобрел власть, не имея ни богатства, ни славы, ни других даров судьбы. За всю свою власть он никого не убил, не изгнал, не обидел, а властвовал 54 года...".
      Плутарх об Архимеде
      Мы уже говорили, что самое подробное из сохранившихся сообщений об Архимеде - это отрывок из биографии завоевателя Сиракуз, римского полководца Марцелла, написанной Плутархом. Нарисованный греческим писателем образ относится скорее к некоему идеализированному ученому-теоретику, чем к Архимеду.
      Тем не менее рассказ Плутарха интересен не только как один из немногих уцелевших источников сведений об Архимеде, но и как свидетельство перешагнувшей века славы ученого, изобретателя и воина. Плутарх пишет: "Архимед имел возвышенную душу и глубокий ум, и, обладая громадными богатствами геометрических теорий, он не хотел оставить ни одного сочинения относительно тех машин, которые доставили ему славу знания, не только доступного человеку, но почти божественного... Во всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед. Одни приписывают эту ясность его высоким дарованиям, другие же - тому напряженному труду, при помощи которого ему удавалось дать своим открытиям такое выражение, что они становятся доступными без труда. Если читатель сам не находит доказательства, то при изучении архимедовых сочинений у него создается впечатление, что он и сам смог бы без труда найти решения, - таким легким и быстрым путем Архимед приводит к тому, что он хочет доказать. Поэтому не кажется невероятным, что он, как рассказывают, будучи околдован геометрией, забывал о пище и пренебрегал заботами о своем теле. Часто его насильно заставляли принимать ванну и натираться мазями, а он чертил на золе геометрические фигуры и на своем намазанном маслом теле проводил пальцем линии, - настолько он был охвачен этими занятиями и действительно одухотворен музами. И хотя у него было много прекрасных открытий, он просил своих родственников и друзей начертить на его могиле только цилиндр и содержащийся в нем шар и указать соотношение между объемами этих тел. Таков был Архимед, который благодаря своим глубоким познаниям в механике смог, насколько это от него зависело, сохранить от поражения и себя самого и свой город".
      Глава 2. Архимед-физик
      Архимеда справедливо считают основоположником математической физики. С его именем связывается введение понятия центра тяжести, открытие законов рычага и разработка основ гидростатики. Известно, что он занимался и геометрической оптикой, хотя его работы в этой области до нас не дошли. Для древних греков физика была целостным учением о мире и считалась частью философии. Ее практические стороны, такие, как механика, относились к прикладным дисциплинам. Математика хотя и применялась, но от нее не требовали ни строгости, ни полноты описания явлений.
      Архимед первым подошел к решению физических задач с широким применением математики. Как уже говорилось, он начал с механики. Античные механические представления настолько отличались от наших, что сейчас воспринимаются с трудом, хотя "Физику" Аристотеля (384...322 г. до н.э.) в течение многих столетий изучали, комментировали, считали безошибочной. Аристотель разделял движения на "естественные" и "насильственные". Естественным считалось стремление материи к своему "месту", зависящему от ее свойств, например стремление камня к центру ; Земли, огня - от Земли вверх. Насильственные движения предполагали внешнюю причину - приложение силы. Механика Аристотеля не знала явления инерции: движение должно было прекратиться тотчас же после прекращения действия силы. Движение же по инерции объяснялось влиянием среды. Так, последователи Аристотеля считали, что при бросании камня возникает воздушный вихрь, несущий его после того, как камень покинул руку.
      В своих трудах Архимед изучал только силы, которые с точки зрения аристотелевой механики вызывают "естественные" движения. Более того, он сразу упростил задачу, исключив из нее движение. Так появилась статика.
      До Архимеда закон рычага рассматривался в сочинении "Механические проблемы", автором которого долгое время считался Аристотель.
      В "Механических проблемах", которые составлены в форме вопросов и ответов, содержится описание ряда инструментов и механизмов (рычаг, колодезный журавль с противовесом, клещи, кривошип, полиспаст, зубчатые колеса, рычажные весы) и объяснение их действия на основе "принципа рычага" и правила: "Выигрываем в скорости (пути) - проигрываем в силе".
      Однако отсутствие ясности в постановке задач в ряде случаев приводило к совершенно неправильным представлениям. Вот как, например, описывается в "Проблемах" работа корабельного руля: "Почему малый руль, привешенный на корме корабля, имеет столь большую силу?.. Быть может, потому, что руль есть рычаг, а рулевой есть то, что приводит его в действие? Стало быть, место, где он прикреплен к кораблю, становится точкой опоры, руль в целом рычагом, море - грузом, а рулевой - движущей силой". Действие руля, основанное на силе реакции отталкиваемой им воды, разумеется, нельзя свести к простому рычагу.
      Нечетким рассуждениям, содержавшимся в "Механических проблемах", Архимед противопоставил безупречную теорию, построенную по законам геометрии. Архимед сделал в механике то, что греческие геометры сделали в египетской и вавилонской землемерной науке. Вместо полей они рассматривали отрезки плоскостей, вместо межевых границ - бесконечно тонкие и абсолютно прямые (или имеющие строго обусловленную кривизну) линии. И тогда оказалось возможным найти между фигурами соотношения, о которых не подозревала восточная математика, удовлетворявшаяся решением практических задач.
      Архимед придал геометрическим фигурам вес, равномерно распределенный по площади или объему. В отличие от автора "Механических проблем" он рассматривает не реальные рычаги или барабаны, а их идеализированные схемы. Это тем более замечательно, что Архимед был и блестящим практиком-конструктором.
      Из механических, вернее, механогеометрических сочинений Архимеда до нас дошли только два: "О равновесии плоских фигур" и "Эфод, или послание Эратосфену о механических теоремах". Однако отрывки из его более ранних механических сочинений "О весах" и "О рычагах" сохранились в произведениях ряда авторов. Наиболее важные из них, относящиеся к учению о центре тяжести, имеются в "Механике" александрийского ученого I в. н.э. Герона и в "Математической библиотеке" ученого III в. н.э. (также александрийца) Паппа.
      Центр тяжести
      Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния.
      Герон и Папп приводят со ссылкой на Архимеда доказательство существования центра тяжести. Герон предваряет теорему фразой, относящейся к рассмотрению Архимедом идеализированных "физико-математических" тел (метод абстракции). Герон пишет: "Никто не отрицает, что о наклонении и отклонении в действительности говорят только о телах. Если же мы говорим о плоских или телесных (объемных) фигурах, что некоторая точка является их центром поворота и центром тяжести, то это достаточно разъяснено Архимедом". Эта фраза подтверждает, что замена тел их теоретическими моделями была в науке новшеством, введенным Архимедом.
      Архимедовы определение центра тяжести и теорему о его существовании мы приведем в пересказе Паппа.
      Определение центра тяжести формулируется так: "...центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение".
      Доказательство существования центра тяжести также основано на мысленном уравновешивании тела. В нем тело мысленно помещают на горизонтальную прямую, являющуюся основанием вертикальной плоскости (рис. 1): "Если какое-нибудь обладающее весом тело положить на прямую CD так, чтобы оно полностью рассекалось продолжением упомянутой плоскости, то оно может иногда занять такое положение, что будет оставаться в покое... Если затем переставить груз так, чтобы он касался прямой CD другой своей частью, то можно при поворачивании дать ему такое положение, что он, будучи отпущен, останется в покое... Если снова вообразить плоскость ABCD продолженной, то она разделит груз на две взаимно уравновешивающиеся части и пересечется с первой плоскостью... Если бы эти плоскости не пересеклись, то те же самые части были бы и уравновешивающимися и неуравновешивающимися, что нелепо".
      Рис. 1. К определению центра тяжести тела
      Действительно, если бы плоскости, рассекающие груз на уравновешенные части, оказались параллельными (не пересекались), то можно было бы уравновесить тело, не поворачивая его, а только сдвинув параллельно самому себе. Это означало бы, что к одной из частей добавился бы отнятый от второй части объем, заключенный между плоскостями, что должно было бы нарушить равновесие. Путем подобных же рассуждений доказывается, что на линии пересечения плоскостей находится единственная точка, являющаяся центром тяжести.
      Архимед решил ряд задач на нахождение центров тяжести различных геометрических фигур: треугольника, параллелограмма, конуса, сегмента параболы.
      Закон рычага
      Закон рычага, вероятно, был сформулирован в одном из упомянутых выше не дошедших до нас сочинений Архимеда. Причем сохранившийся в "Механике" Герона отрывок из сочинения Архимеда показывает, что в этом сочинении рассматривался случай, когда точки приложения сил расположены на окружностях разного диаметра, имеющих общую точку поворота. Это схема таких механизмов, как ворот, зубчатая передача и амфирион (разновидность ворота, состоящая из сидящих на одном валу барабанов разного диаметра). Приведя теорему, сводящую этот случай к рычагу, Герон пишет: "Это доказал Архимед в своей книге о равновесии. Отсюда ясно, что можно сдвинуть большую величину малой силой".
      Но более серьезную разработку этих проблем Архимед предпринял позже в сочинении "О равновесии плоских фигур", состоящем из двух частей. В первой приводится ряд аксиом и теорем общего характера, а во второй с их помощью решается задача о нахождении центра тяжести сегмента параболы. В этой работе Архимед впервые развил аксиоматический подход к механике. Он строит свою теорию на базе геометрии путем добавления к геометрическим аксиомам нескольких "механических" аксиом. Книга начинается так:
      "Сделаем следующие допущения:
      1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.
      2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой будет прибавлено".
      Архимед приводит семь аксиом и на их основании доказывает ряд теорем, касающихся определения общего центра тяжести двух или нескольких фигур. Нахождение общего центра тяжести фигур сводится к их уравновешиванию на воображаемом рычаге, поскольку такое уравновешивание произойдет, если точка подвеса окажется в этом центре.
      Содержание закона рычага, выведенного из аксиом, заключено в следующих двух теоремах:
      1. "Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям".
      2. "Если величины несоизмеримы, то они точно так же уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам".
      Разумеется, для практики, когда требуются лишь приближенные расчеты, вторая теорема не нужна. Но она имеет глубокий теоретический смысл, показывая, что закон рычага действует при любых отношениях плеч, включая и иррациональные.
      Архимед не только ввел в геометрию новый класс задач (определение центров тяжести фигур), но и впервые применил при их решении "механические" методы (например, мысленное взвешивание для нахождения площадей сложных фигур).
      Применив математику для изучения механического равновесия, Архимед показал, что математический подход к решению физических проблем не только помогает проникнуть в суть законов природы, но обогащает и саму математику.
      "То механическое открытие"