Затем один из величайших математиков, Георг Фридрих Бернгард Риман, развил неевклидову геометрию, обобщив ее на общую теорию искривленных пространств в двух, трех или произвольном числе измерений. Не имея никакого представления о возможных физических приложениях, математики продолжали трудиться над развитием римановой геометрии, так как она поражала своей красотой. Эта красота во многом опять была красотой неизбежности. Достаточно начать размышлять над свойствами искривленных пространств, и вы почти неизбежно придете к необходимости введения математических понятий (метрика, аффинная связность, тензор кривизны), являющихся неотъемлемыми частями римановой геометрии. Когда Эйнштейн начал развивать общую теорию относительности, он вскоре понял, что один из способов реализации его идей о симметрии между различными системами отсчета заключается в том, чтобы описать тяготение как кривизну пространства-времени. Эйнштейн поинтересовался у своего друга, математика Марселя Гроссмана, не существует ли какой-нибудь теории искривленных пространств – не просто искривленных двумерных поверхностей в обычном трехмерном евклидовом пространстве, а искривленных трехмерных и даже четырехмерных пространств? Гроссман обрадовал Эйнштейна, сказав, что такой математический формализм существует, он развит Риманом и другими математиками. Более того, Гроссман обучил Эйнштейна этой математике, которая затем вошла составной частью в общую теорию относительности. Таким образом, получается, что математика ждала появления Эйнштейна, который сумел ее использовать для физики, хотя я полагаю, что ни Гаусс, ни Риман, ни другие специалисты по дифференциальной геометрии XIX в. понятия не имели, что их работа когда-нибудь будет иметь хоть какое-то отношение к физической теории тяготения.
      Еще более странным является пример с историей открытия принципов внутренней симметрии. В физике эти принципы обычно отражают нечто вроде семейных связей между отдельными членами в списке возможных элементарных частиц. Первый известный пример такой симметрии связан с двумя типами частиц, из которых состоят обычные атомные ядра, – протоном и нейтроном. Массы протона и нейтрона почти одинаковы, так что, когда нейтрон был открыт Джеймсом Чедвиком в 1932 г., сразу же возникло естественное предположение, что сильные ядерные силы (дающие вклад в массы нейтрона и протона) должны обладать простой симметрией: уравнения, определяющие эти силы, должны сохранять свой вид, если везде в них поменять местами роли протонов и нейтронов. Помимо прочего, из такой гипотезы следует, что сильные ядерные силы, действующие между двумя нейтронами, равны таким же силам, действующим между двумя протонами. Однако ничего нельзя сказать о силе, действующей между протоном и нейтроном. Поэтому несколько неожиданным оказался результат экспериментов, подтвердивших в 1936 г., что ядерные силы, действующие между двумя протонами, равны таким же силам, действующим между протоном и нейтроном Это наблюдение породило идею симметрии, выходящей за рамки простой замены протонов на нейтроны и наоборот. Речь идет о симметрии по отношению к непрерывным преобразованиям, превращающим протоны и нейтроны в частицы, являющиеся суперпозициями протонов и нейтронов, с произвольной вероятностью находиться в протонном или нейтронном состояниях.
      Подобные преобразования симметрии действуют на метку частицы, которая отличает протоны от нейтронов, способом, который математически совпадает с тем, как обычные вращения в трехмерном пространстве действуют на спины частиц, вроде протона, нейтрона или электрона . Помня об этом примере, многие физики вплоть до начала 60-х гг. молчаливо предполагали, что по аналогии с вращениями, переводящими протон и нейтрон друг в друга, все преобразования внутренней симметрии, оставляющие неизменными законы природы, должны иметь форму вращений в некотором внутреннем пространстве двух, трех или более измерений. Учебники, в которых излагалось применение принципов симметрии к физике (включая классические книги Германа Вейля и Юджина Вигнера) даже не упоминали о других математических возможностях. Только в конце 50-х гг., после открытия множества новых частиц сначала в космических лучах, а позднее на ускорителях вроде бэватрона в Беркли, в среде физиков-теоретиков возникло более широкое понимание возможностей описания внутренних симметрий. Новые частицы, казалось, объединялись в значительно более обширные семейства, чем простая пара протон-нейтрон. Например, обнаружилось, что протон и нейтрон несут черты фамильного сходства с шестью другими частицами, называемыми гиперонами и имеющими тот же спин и близкие массы. Какой же тип внутренней симметриии может порождать такие обширные родственные группы?
      В начале 60-х гг. физики, занимавшиеся этим вопросом, обратились за помощью к литературе по математике. Для них оказалось приятным сюрпризом, что математики уже давно составили в некотором смысле полный каталог всех возможных симметрий. Полный набор преобразований, оставляющих что-то неизменным, будь то конкретный объект или законы природы, образует математическую структуру, называемую группой, а раздел математики, изучающий преобразования симметрии, называется теорией групп . Каждая группа характеризуется абстрактными математическими правилами, не зависящими от того, что подвергается преобразованию, так же как правила арифметики не зависят от названий тех величин, которые мы складываем или умножаем. Список типов семейств, разрешенных каждой конкретной симметрией законов природы, полностью определяется математической структурой группы симметрии.
      Те группы преобразований, которые действуют непрерывно, наподобие вращений в обычном пространстве или смешивания электронов и нейтрино в электрослабой теории, называются группами Ли– по имени норвежского математика Софуса Ли. Французский математик Эли Картан в своей диссертации в 1894 г. дал полный список всех «простых» групп Ли , с помощью комбинаций которых можно построить все остальные группы. В 1960 г. Мюррей Гелл-Манн и израильский физик Ювал Нееман независимо обнаружили, что одна из этих простых групп Ли, известная под названием SU(3), как раз правильно описывает структуру семейств множества элементарных частиц в согласии с экспериментальными данными. Гелл-Манн позаимствовал некоторые понятия буддизма и назвал новую симметрию восьмеричным путем , так как известные на опыте частицы лучше всего делились на семейства по восемь членов, как протон, нейтрон и шесть их родственников. К тому времени не все семейства были полными. Так, нужна была новая частица, чтобы заполнить семейство из десяти частиц, похожих на нейтрон, протон и гипероны, но имеющих втрое больший спин. Одним из больших успехов новой SU(3)симметрии стало то, что предсказанная частица была обнаружена в 1964 г. в Брукхейвене , причем значение ее массы совпало с теоретической оценкой Гелл-Манна.
      Теория групп, оказавшаяся столь полезной для физики, была на самом деле придумана математиками по причинам, относящимся к сугубо внутренним математическим проблемам. Толчок к развитию теории групп дал в начале XIX в. Эварист Галуа в своем доказательстве того, что не существует общих формул для решения определенных алгебраических уравнений (включающих пятую или более высокую степень неизвестной величины) . Ни Галуа, ни Ли, ни Картан не имели ни малейшего представления, как можно было бы применить теорию групп в физике.
      Чрезвычайно удивительно, что чувство математической красоты всегда приводило математиков к построению формальных структур, которые оказывались впоследствии полезными для физиков, даже несмотря на то, что сами математики ни о чем подобном не помышляли. В широко известном эссе физика Юджина Вигнера это явление так и называется: «непостижимая эффективность математики». Физики считают, что способность математиков предвидеть, какие математические средства понадобятся для развития физических теорий, совершенно фанатастична. Это похоже на то, как если бы Нейл Армстронг, делая в 1969 г. первые шаги по поверхности Луны, увидел бы в лунной пыли отпечатки сапог Жюля Верна.
      Так в чем жеобретает физик ощущение красоты, которое помогает не только открывать теории, описывающие реальный мир, но и оценивать справедливость этих теорий, иногда противоречащих существующим экспериментальным данным? И каким образом чувство математической красоты приводит к построению структур, которые десятилетия спустя оказываются полезными для физиков, несмотря на то, что сами математики совершенно не интересуются физическими приложениями?
      Мне кажется, что имеются три приемлемых объяснения, два из которых применимы к большинству разделов науки вообще, а третий относится именно к наиболее фундаментальным вопросам физики. Первое объяснение заключается в том, что сама Вселенная воздействует на нас как случайная, неэффективная, но все же, если взять большой промежуток времени, мощная обучающая машина. Точно так же, как в результате серии случайных событий атомы углерода, азота, водорода и кислорода соединились вместе, образовав примитивные формы жизни, которые затем эволюционировали в простейшие живые существа, рыб и человека, так и в наших взглядах на Вселенную постоянно происходил естественный отбор идей. Преодолевая бесчисленное множество фальстартов, мы сумели вбить себе в головы, что природа устроена определенным образом, и выросли с мыслью, что именно это устройство природы прекрасно.
      Похожим образом, вероятно, каждый из нас объяснил бы, почему чувство прекрасного помогает тренеру угадать, какая из лошадей выиграет скачку. Тренер много лет не покидает ипподром, он видел бесчисленное множество как выигравших, так и проигравших лошадей, и он научился, даже не умея это выразить словами, сопоставлять какие-то наглядные приметы с ожиданием, что именно эта лошадь победит.
      Одно из занятий, делающих историю науки бесконечно увлекательной, заключается в том, чтобы проследить за медленным изменением наших представлений о типе красоты, ожидаемой в природе. Однажды я пустился в раскопки оригинальных статей 30-х гг., посвященных первым попыткам формулировки принципов внутренней симметрии в ядерной физике, той симметрии, о которой выше упоминалось как о симметрии между протонами и нейтронами. Моя цель была в том, чтобы найти ту первую статью, в которой этот принцип симметрии сформулирован так, как это делается в наши дни, т.е. как фундаментальный самостоятельный закон ядерной физики, не зависящий от конкретной теории ядерных сил. Я не смог найти такой статьи. Создалось впечатление, что в 30-е гг. писать статьи, посвященные принципам симметрии, считалось дурным тоном. Хорошим же тоном считалось писать статьи о ядерных силах. Если оказывалось, что силы обладают определенной симметрией, тем лучше. Так, если вам были известны силы, действующие между протоном и нейтроном, вам не надо было гадать, какие силы действуют между двумя протонами. Но сам по себе принцип симметрии не рассматривался, как я уже сказал, как свойство, обосновывающее справедливость теории и делающее ее красивой. Принципы симметрии рассматривались как математические трюки; реальное же дело физиков было в том, чтобы разрабатывать динамическую теорию наблюдаемых сил.
      Сейчас времена изменились. Если экспериментаторам удается открыть какие-то новые частицы, образующие те или иные семейства, вроде протон-нейтронного дублета, тут же почтовый ящик заполняется сотнями препринтов теоретических статей, рассуждающих на тему о том, какая же симметрия определяет структуру этих семейств. Если обнаружится новый тип сил, мы все начнем размышлять о том, какая же симметрия определяет существование этой силы. Очевидно, что мы изменились благодаря обучающему воздействию природы, которая привила нам ощущение красоты, отсутствовавшее в наших первоначальных представлениях.
      Даже математики живут все-таки в реальном мире и откликаются на его уроки. В течение двух тысячелетий школьникам преподавалась геометрия Евклида как почти идеальный пример абстрактного дедуктивного способа мышления. Однако благодаря общей теории относительности мы узнали в ХХ в., что евклидова геометрия хорошо работает только потому, что гравитационное поле на поверхности Земли довольно слабо, так что пространство, в котором мы живем, не имеет заметной кривизны. Формулируя свои постулаты, Евклид действовал, по-существу, как физик используя свой опыт жизни в слабых гравитационных полях эллинистической Александрии для создания теории неискривленного пространства. Он не мог знать, насколько ограничена и обусловлена его геометрия. Действительно, только сравнительно недавно мы научились отличать чистую математику от той науки, к которой она применяется. Лукасовскую кафедру в Кембридже занимали Ньютон и Дирак, но тем не менее официально она до сих называется кафедрой математики, а не физики. Только развитие строгого и абстрактного стиля математического мышления , восходящее к работам Огюстена Луи Коши и других математиков в начале XIX в., привело к тому, что идеалом математиков стало, чтобы их работы были независимы от опыта и здравого смысла.
      Вторая причина, почему мы считаем, что успешные физические теории должны быть красивы, заключается просто в том, что ученые стремятся выбирать для исследования только такие задачи, у которых можно ожидать красивых решений. Точно такой же стиль рассуждений присущ и нашему другу – тренеру. Его работа – тренировать лошадей для того, чтобы они выигрывали скачки; он научился определять, какая из лошадей имеет больше шансов на выигрыш, и называет таких лошадей красивыми; но если вы отведете тренера в сторонку и пообещаете никому не передавать то, что он скажет, то он поклянется вам, что единственная причина, почему он занят этим делом – тренировкой лошадей для выигрыша скачек, заключается в том, что лошади, которых он тренирует, чертовски красивы.
      Хороший пример сказанного в физике – явление мягких фазовых переходов , например спонтанного исчезновения намагниченности при нагревании постоянного железного магнита до температуры выше 770 °С, известной как точка Кюри. Поскольку переход мягкий, намагниченность куска железа обращается в нуль постепенно, при приближении температуры к точке Кюри. Удивительным в таких фазовых переходах является закон, по которому намагниченность стремится к нулю. Оценивая различные энергии в магните, физики были склонны предполагать, что, когда температура чуть ниже точки Кюри, намагниченность должна быть просто пропорциональна квадратному корню из разности между температурой Кюри и температурой нагрева. Вместо этого экспериментально наблюдается, что намагниченность пропорциональна этой разности в степени 0,37. Иными словами, зависимость намагниченности от температуры оказывается где-то в промежутке между законом пропорциональности квадратному корню (показатель степени 0,5) и кубическому корню (показатель степени 0,33) из разности между температурой Кюри и температурой нагрева магнита.
      Степени типа 0,37 называются критическими показателями, иногда с добавлением слов «неклассические» или «аномальные», так как эти показатели отличаются от ожидаемых. Было обнаружено, что существуют и другие величины, ведущие себя аналогичным образом в разного рода фазовых переходах, причем в некоторых случаях критические показатели были теми же самыми. Те явления, где возникают критические показатели, не столь впечатляют, как черные дыры или расширение Вселенной. Тем не менее ряд выдающихся физиков-теоретиков во всем мире занимался проблемой критических показателей, пока наконец она не была решена в 1972 г. учеными из Корнеллского университета (США) Кеннетом Вильсоном и Майклом Фишером. Можно было бы думать, что точное вычисление самой точки Кюри имеет значительно больший практический интерес. Почему же корифеи физики твердого тела считали проблему критических показателей намного более важной?
      Я полагаю, что эта проблема привлекала такое внимание потому, что физики чувствовали, что она должна иметь очень красивое решение. Указания на это вытекали прежде всего из факта универсальности явления, из того, что одни и те же критические показатели возникали в совершенно разных задачах. Кроме того, физики давно привыкли к тому, что наиболее существенные свойства физических явлений часто выражаются в форме закона, связывающего какую-то физическую величину со степенями других величин (примером может служить закон обратных квадратов для тяготения). Оказалось, что теория критических показателей обладает такой простотой и неизбежностью, что она стала одной из самых красивых теорий во всей физике. В то же время проблема вычисления точной температуры фазовых переходов необычайно запутанна, и ее решение требует знания сложных деталей устройства железа или других веществ, в которых происходит фазовый переход. Люди занимаются этой задачей либо исходя из практических потребностей, либо за неимением лучшего.
      В ряде случаев первоначальные надежды ученых на построение красивой теории не оправдывались в полной мере. Хорошим примером может служить история открытия генетического кода. Фрэнсис Крик в своей автобиографии рассказывает, как после открытия им и Джеймсом Уотсоном структуры ДНК в виде двойной спирали внимание всех специалистов по молекулярной биологии обратилось на расшифровку кода, с помощью которого клетка считывает последовательность химических оснований в двух спиралях ДНК как программу для построения нужных белковых молекул. Было известно, что белки строятся из цепочек аминокислот, что существует только двадцать аминокислот, существенных для функционирования практически всех животных и растений, что информация для выбора каждой последующей аминокислоты в молекуле белка заложена в выборе трех последовательных пар химических единиц, называемых основаниями, и, наконец, что имеются только четыре разных типа таких пар. Таким образом, генетический код содержит запись о трех последовательных комбинациях, каждая из которых выбрана из четырех возможных пар оснований, определяющих выбор каждой следующей аминокислоты из двадцати возможных, входящей в состав белковой молекулы. Молекулярные биологи предлагали кучу красивых принципов, управляющих этим кодом, например, что при выборе трех пар оснований никакая информация не будет растрачена впустую, и что любая информация, не требующаяся для определения аминокислоты, будет использована для поиска ошибок (как в компьютерных сетях, когда от одного компьютера к другому передаются лишние биты информации, чтобы убедиться в точности передачи сообщения). Ответ, найденный в 1960 г., оказался совсем иным. Генетический код во многом случаен: некоторые аминокислоты шифруются более чем одной тройкой пар оснований и, наоборот, некоторые тройки пар ничему не соответствуют . Конечно, генетический код не настолько плох, как полностью случайный код, откуда следует, что код как-то менялся в ходе эволюции, но все же любой специалист по передаче сообщений придумал бы код получше. Причина, конечно, в том, что генетический код не был создан, а развивался за счет случайных воздействий с самого начала возникновения жизни на Земле и был унаследован примерно в одном и том же виде всеми организмами. Ясно, что понимание генетического кода настолько важно, что мы изучаем его независимо от того, насколько он красив, но все же немножко жалко, что код оказался не таким красивым, как хотелось бы.
      Иногда, когда нас подводит чувство красоты, это происходит потому, что мы переоцениваем фундаментальный характер того, что собираемся объяснить. Знаменитым примером служит работа молодого Иоганнеса Кеплера, посвященная размерам орбит планет.
      Кеплер знал об одном из самых красивых утверждений, полученных греческими математиками, касающемся так называемых платоновских тел. Это трехмерные тела с плоскими гранями, причем все вершины, все грани и все ребра этих тел одинаковы. Очевидным примером является куб. Древние греки доказали, что существует всего пять таких платоновских тел: треугольная пирамида (тетраэдр), куб, восьмигранный октаэдр, двенадцатигранный додекаэдр и двадцатигранный икосаэдр. (Свое название эти тела получили потому, что Платон в Тимеепредложил взаимно-однозначное соответствие между этими пятью телами и предполагаемыми пятью основными элементами. Такую точку зрения затем критиковал Аристотель.) Существование платоновских тел – пример необычайной математической красоты; она сродни красоте картановского списка всех возможных непрерывных принципов симметрии.
      В своем сочинении Mysterium cosmographicumКеплер предположил, что существование ровно пяти платоновских тел объясняет, почему существует ровно пять (не считая Земли) планет: Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн (в те времена Уран, Нептун и Плутон еще не были открыты). Каждой из этих пяти планет Кеплер сопоставил одно из платоновских тел, после чего он предположил, что радиусы орбит каждой из планет пропорциональны радиусам соответствующих платоновских тел, если их вписать одно в другое в нужном порядке. Кеплер писал, что он исправлял нерегулярности в движении планет «до тех пор, пока они не стали соответствовать законам природы» .
      Современному физику может показаться чудовищным, что один из основоположников современной картины мира мог предлагать столь смехотворную модель Солнечной системы. И дело не только в том, что кеплеровская схема не соответствует наблюдениям планет Солнечной системы (а это на самом деле так), но прежде всего в том, что мы знаем, что подобные спекуляции не имеют отношения к истинным законам, управляющим движениями планет. Но Кеплер не был дураком. Тот способ спекулятивного мышления, который он использовал для объяснения структуры Солнечной системы, очень напоминает способ теоретизирования современных физиков, занимающихся элементарными частицами: мы не ассоциируем что-то с платоновскими телами, но верим в то, что существует, например, соответствие между разными возможными силами в природе и разными симметриями из картановского списка всех возможных симметрий. Кеплер ошибался не тогда, когда использовал подобный способ угадывания истины, а тогда, когда считал (как и многие философы до него), что движение планет представляет собой важное явление.
      Конечно, в каких-то отношениях планеты важны. На одной из них мы живем. Но существование планет не входит на фундаментальном уровне в число законов природы. Мы сегодня знаем, что планеты и их орбиты есть результат совокупности исторических случайностей, и, хотя физическая теория может предсказать, какие орбиты стабильны, а какие нет, нет никаких причин предполагать наличие специальных соотношений между радиусами этих орбит, которые отличались бы особой математической простотой и красотой.
      Ожидать красивых ответов мы можем только тогда, когда изучаем поистине фундаментальные проблемы. Мы верим, что когда спрашиваем, почему мир такой, какой есть, а затем спрашиваем, почему предыдущий ответ такой, а не иной, то в конце этой цепочки объяснений мы обнаружим несколько простых принципов поразительной красоты. Мы думаем так отчасти потому, что наш исторический опыт учит, что чем глубже мы проникаем в суть вещей, тем больше красоты находим. Платон и неоплатоники учили, что красота в природе есть отражение красоты высшего мира идей. Мы также считаем, что красота современных теорий есть проявление и предвестник красоты окончательной теории. В любом случае мы не признаем ни одну теорию за окончательную, если она не будет красивой.
      Хотя до сих пор мы не можем точно почувствовать, когда необходимо в работе обращаться к чувству прекрасного, все же в физике элементарных частиц эстетические суждения, по-видимому, работают все лучше и лучше. Я считаю это свидетельством того, что мы движемся в правильном направлении и, может быть, находимся не так уж далеко от нашей цели.

Глава VII. Против философии