С таким здоровьем нечего было и думать о "ратных подвигах".
      В необычных условиях военного времени Лобачевский все же не оставлял научной работы. Вслед за первым магистерским сочинением - "Теория эллиптического движения небесных тел" - он представил факультету новый труд - "О разрешении алгебраических уравнений".
      Да, высшей радостью для него всегда был напряженный творческий поиск в науке. Но в личной жизни ему не везло. До сих пор не имел он еще ни семьи, ни дома. Больно хлестнуло по сердцу, когда услышал он весть об Анне, так неожиданно вышедшей замуж за князя Максутова.
      Надо же...
      Совсем близко, под крепостью, заиграла грамонь, и ктото пропел задорно, с возгласами:
      Не ищи меня, богатый!
      Ты не мил моей душе!
      Что мне, что твои палаты?
      С милым рай и в шалаше...
      Знакомые слова новой популярной песни "Вечерком красна девица", написанной Ибрагимовым, снова напомнили об Анне, о последнем вечере в Подлужной. Она тогда была такой нарядной и так хорошо играла... Вспомнился и красавец Панаев, которого Яковкин также отвергнул: Прасковью потом обвенчали с молодым профессором правоведения бароном Врангелем.
      ...А время шло. В 1813 году, в начале марта, новый попечитель совсем переехал в Казань, чтобы на месте управлять просвещением в четырнадцати вверенных ему губерниях восточной России. Враг всякого притворства, ненавистник лести, камергер Салтыков сразу же раскусил "деспота" Яковкина, решив "отстранить его и дать университету управление" согласно уставу: директор-профессор вскоре был низведен до рядового преподавателя истории.
      Запомнилась и весна 1814 года. Именно тогда, в пору всенародного торжества по случаю победы над войсками Наполеона, Лобачевский и Симонов были произведены по предписанию министра просвещения в адъюнкты. Нужно было читать свои первые лекции. За короткий срок, желая знать современное состояние науки, Николай Иванович проштудировал бездну журналов и книг. Но такой непомерно тяжелый труд не замедлил сказаться на здоровье.
      В течение многих месяцев он, по свидетельству доктора профессора Эрдмана, "страдал болезненно-угнетенным состоянием, расстройством пищеварения в такой степени", что был вынужден взять отпуск и уехать лечиться в город Макарьев, к матери. Отдохнув там немного, Лобачевский вернулся в Казань. Но едва приступил к работе, как возобновились головные боли. Пришлось совсем прекратить научную работу. Вынужденное безделье угнетало больше, чем нездоровье. С тяжелым чувством бродил он по темным коридорам университета, по извилистым аллеям ботанического сада...
      В это время попечитель всячески старался помочь молодым русским ученым занять в университете подобающее место: 27 апреля 1816 года он предложил совету повысить в звании двух адъюнктов - Лобачевского и Спмонова. Но Яковкин, провоцируя, дал понять ректору Брауну, что в случае производства их в профессоры кому-то из немцев придется покинуть Казанский университет, ибо штат уже заполнен. Разгорелись бурные дебаты. Тогда Кондырев, уже отрекшийся от бывшего директора Яковкина, выступил с пространной речью в защиту Лобачевского, назвав его чуть ли не гением. Это было так неожиданно...
      И вот он, Лобачевский, двадцатитрехлетний экстраординарный профессор, читал сегодня первую лекцию. Началась новая полоса в его жизни. Удастся ли достигнуть манящих вдали горизонтов науки, чтобы заглянуть в неведомое? Который год, изучая и сравнивая законы геометрии с явлениями природы, он вынашивал надежду найти ключ к загадкам Евклидовых "Начал". Но суждено ли найти ему этот ключ?..
      - Наконец-то! - воскликнул Симонов. - А мы тебя ждем. Устроили товарищеский ужин - отметим твою первую лекцию. Все уже собрались. Только тебя нет, виновника торжества.
      - Если я провинился тем, что прочитал неудачную лекцию...
      - Перестань, Коля.
      Симонов сел рядом и по студенческой привычке положил руку на его плечо.
      - Я всегда слушаю тебя с радостью, но - увы! - не всегда понимаю. Сегодня тоже не смог уяснить: какая может быть связь между геометрией и сущностью движения?
      Лобачевский молчал.
      - Мне кажется, Коля, это крайности! - продолжал Симонов. - Право, к чему они? Ведь сам же не раз говорил, что математика должна быть независимой от философии...
      Лобачевский поднялся.
      - Ладно, пойдем! - кивнул он другу.
      * * *
      Товарищеская встреча, возможно, так и осталась бы традиционной, с торжественными тостами, с поздравлениями, если бы не беседа, завязавшаяся после ужина. Все уже вернулись в гостиную, расположились там поудобнее в креслах и на диванах. И тут профессор Броннср заговорил о вступительной лекции молодого коллеги.
      - Я почитаю своим долгом, - с отменной сердечностью обратился он к Лобачевскому, - выразить вам нелицеприятно, что немало удивлен вашим поразительным пренебрежением аксиомами и постулатами, которые кладутся в основу построения всей геометрии. В своем двухчасовом выступлении вы, кажется, ни разу не упомянули о них. Почему, интересуюсь?
      - Почему? - повторил Николай, пристально глядя в узкие острые глаза профессора. - Какой толк в нагромождении аксиом и постулатов в начале курса, когда.
      - Когда... - неожиданно в тон ему заговорил Кондырев, только что начавший партию в шахматы с профессором Никольским, - когда выбор их произволен, и мы...
      - Я не отрицаю роли аксиом, - прервал его Лобачевский. - Еще в гимназии, на уроках Ибрагимова, понял, что в геометрии каждое следующее предложение железной силой логики выводится из предыдущих, и эта непрерывная цепь последовательных умозаключений и доказательств в конце концов, должна исходить из некоторых первоначальных, отправных положений, принимаемых без каких-либо доказательств. Безусловно, такой дедуктивный метод является одним из величайших достижений греческих мыслителей. Но я не могу понять, что собою представляют основные допущения Евклида: почему именно такие, а не другие начала могут быть приняты без доказательства и должны стать исходными положениями всех точных наук.
      - Вы, математический гений, не можете понять, что значат аксиомы и постулаты? - расхохотался Кондырев. - Уморили, Николай Иванович! Кто же кроме гимназистанедоучки этому поверит-?
      - Можете не удивляться! Я такой же гений, как ваш гимназист. Не понимаю. И смешного тут, Петр Сергеевич, не вижу. - Лобачевский взволнованно зашагал по гостиной. - Я не согласен с точкой зрения Румовского, Лежандра, Лакруа и других математиков. Для них аксиомы суть истины сами по себе очевидные, а теоремы - предложения, коих истина делается очевидною посредством рассуждения - доказательства. Но теорема: "две прямые имеют лишь одну общую точку" - не менее очевидна, чем постулат: "через две различные точки проходит только одна прямая". Более того, очевидность эту, в силу неизбежно ей присущей субъективности, вообще нельзя принять в качестве мерила истинности. По этому поводу когда-то Ибрагимов привел нам столь убедительный пример, что я и до сих пор его помню. "Птолемеева идея неподвижности Земли, ее центрального положения в мироздании, - говорил он, - согласуется полностью с непосредственным зрительным восприятием и поэтому должна быть отнесена к числу истин, кажущихся нам очевидными".
      Лобачевский остановился. Глаза его что-то искали в пространстве, пока не задержались на какой-то невидимой точке.
      - По-видимому, трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным истинам в природе, - продолжал он. - С первого взгляда исходные положения геометрии кажутся нам столь же простыми, сколь и необходимыми, но когда вдумываемся в их смысл, пытаемся понять, откуда берут они свое начало, то встречаемся тут с большими трудностями. Не разрешить их значило бы сделать важное упущение в преподавании. Здесь нельзя довольствоваться одним названием истин, а должно утвердить их неоспоримо. Речь идет об аксиомах. До тех пор, покуда не будет уяснена их природа, покуда не будут положены основания геометрии, прочные и в истинном смысле математические, изложение геометрии не следует, мне кажется, начинать с аксиом и постулатов.
      - Отчасти я согласен с вами, друг мой, - вежливо сказал Бартельс.
      На минуту он задержался. Раскуривая свою неизменную трубку с янтарным наконечником, затем, выпустив дым и слегка рукой отмахнув его, продолжал:
      - Да, вопрос о происхождении основных исходных допущений геометрии остается по celt день открытым. Являются ли аксиомы результатом нашего произвола? Вот в чем вопрос. Или они покоятся на врожденных идеях? Или же представляют собой истины, заимствованные из опыта?
      Евклид не дает нам ответа на эти вопросы. Он довольствуется установлением аксиом. Вопрос о том, какое различие между аксиомами и постулатами "Начал", также остается открытым. Теперь мы даже не делаем различия между нимш все первичные утверждения называем аксиомами. Но во времена Евклида, по-видимому, под постулатами разумели допущения о возможности определенных геометрических построений, а под аксиомами общеизвестные положения, относящиеся к величинам вообще.
      - Выходит, постулаты,-вмешался Кондырев - это пути, по которым движется наша геометрическая мысль это правило изящной логической игры, вполне подобной игре в шахматы. Очевидно, шахматным фигурам в геометрии соответствуют основные понятия, или, как говорят еще, основные геометрические образы, такие, как точка прямая и плоскость; а известным правилам передвижения фигур по доске - постулаты, например, утверждение и том, что через две точки можно провести лишь одну прямую...
      Не прерывая игры, он изучал расположение фигур на шахматной доске и, наконец передвинув одну из них про должил свою мысль:
      - Вот мой конь только что перепрыгнул через пет ки-солдат противника, сделав при этом ход, напоминаюпри букву Г. Однако творец шахмат мог приписать ему и другое правило передвижения. Тогда не только бы ход ко ня изменился, но и система всей шахматной игры То же самое и в геометрии. Когда-то Евклид - может и не он, а кто-нибудь из его предшественников,придумал постулаты, на которых обосновал свое дальнейгаее изложение.
      - Вот потому-то и Кант уверяет, что геометрию можно вывести прямо из головы, не прибегая к опыту, - заме тил Никольский, сделав ответный ход.Полагаю что постулаты суть вечные, неизменные истины, от рода свойгт венные нашему сознанию и единственно возможные как ниспосланные свыше самим богом,-и только! ОгтяT ное-дело человеческого разума.-И, погрозив кому-то шахматной фигурой, заверил: - Не больше! Я усматриваю в этом различие нашего человеческого познания от позна ния бога. Тогда как творец познает все мгновенно мы переходим от одного умозаключения к другому путем постепенных рассуждений... Поэтому главным недостатком ва шеи вступительной лекции, Николай Иванович - настави тельно сказал он, обращаясь к Лобачевскому - я считаю отсутствие богословской основы. Учение без веры не только немыслимо, но и вредным почитается...
      - Ну, ну, продолжайте,- поднялся и подошел к шахматному столику Симонов. - Сделайте одолжение Никольский, присматриваясь к фигурам, ответил- - Только в законе божием заключена совершенная математическая точность. Поэтому геометрию можно уподобить шахматам, основанным на вечных правилах-постулатах, созданных самим творцом.
      - Слушайте, Григорий Борисович! - воскликнул Симонов. - Да вы кто, богослов или ученый?
      Никольский разко повернулся к нему.
      - Да поймите же, - продолжал астроном, - все, что вы сказали, нелепость! Можно ли сравнить геометрию с шахматами, с этой забавой, с праздной игрой по совершенно произвольным правилам и с произвольно принятыми фигурами?
      - Господи, боже мой! - удивился Никольский. - Нашли же повод о пустяках...
      Но Симонов прервал его:
      - Это не пустяки! Геометрические истины, по-вашему, заложены в священном писании... Сказки!.. Не было и нет готовых или врожденных понятий в нашем сознании, мы приобретаем их в жизни постепенно, так же как ребенок учится ходить. Опыт и наблюдение убеждают нас, что через две точки можно провести прямую линию, и притом одну, и что прямолинейный путь кратчайший. Эта истина известна даже хищному животному, оно ведь не по кривой бросается на свою добычу... Так что аксиома прямой - обобщенный опыт, но выраженный в отвлеченной, общей форме. То же самое можно сказать о других аксиомах. Они принимаются без доказательства потому, что в их истинности убеждаемся повседневным опытом и наблюдениями.
      Отрицать это может лишь тот, кто никогда не пользовался геометрией на практике, не измерял с помощью теодолита суммы углов треугольника...
      В пылу спора Симонов переходил к назиданиям, недопустимым в товарищеском кругу. Лобачевский это почувствовал:
      - Нельзя тебе так горячиться - вредно для здороВЬя5 - пошутил он. - Дай и другим высказаться... Мне вот, скажем, не понравилась твоя попытка свести мудрую игру в шахматы к пустому занятию. Напрасно. В шахматах, как и в геометрии, мы приобретаем дар предвидения, привычку продолжать упорные поиски новых возможностей...
      Сейчас открою форточку... А твой ответ на вопрос, почему только такие, а не другие начала могут быть приняты без доказательства, совсем не убедителен. Опытное происхождение аксиом ничуть не отличает их от многих теорем, ибо, как показывает нам история математики, большинство теорем также явилось результатом отвлечения от опыта и было известно задолго до появления доказательного курса геометрии Евклида.
      - Вот оно! - подтвердил Кондырев, изучая позицию на доске и прислушиваясь к разговору.-А вы, милейший Иван Михаилович,-обратился он к Симонову - попробуйте решить опытом, что на плоскости через данную точку можно провести лишь одну прямую, параллельную другой прямой. В одной плоскости прямые действительно тежат параллельно - это мы видим, но что при своем про должении эти прямые не пересекутся - для нас это уже загадка. Можно проверить, что параллельные не встретятся на этой вот шахматной доске, в нашей гостиной однако может быть, они пересекутся при своем дальнейшем продолжении, например, в коридоре, в атмосфере в мировом пространстве? Нам кажутся два равных отвеса параллельными, но их линии при своем продолжении пересекутся за шесть тысяч верст отсюда - в центре Земли Не так ли?
      Кондырев посмотрел на Бартельса. Тот, вынув трубку изо рта, улыбнулся, но пока не ответил.
      - Как видите, господа, - продолжал Кондырев - путем опыта убедиться в справедливости пятого постулата Евклида еще никому не удалось и вряд ли когда-либо удастся. Раз так, то какую бы мудрость мы ни приписывали нашим отдаленным предкам, остается для нас непонятным как могли они в свое время извлекать из опыта и наблюдений то, что сейчас, для нашего современного сознания никоим образом сделать невозможно. Поэтому надо нам признать, что ими открытые законы геометрические имеют чисто умственное происхождение и посему обладают идеальными качествами очевидной достоверности. В самом деле... - Кондырев нацелился рукой сделать ход - Ну-с Григорий Борисович, держитесь... - и вдруг осекся, в недоумении подняв брови. - Как? Неужели мне мат?
      - Я тоже думаю, что мат вам, - усмехнулся Никольский, довольно почесывая стриженую голову.
      Спор на минуту был прерван. Все поднялись и подошли к шахматному столику.
      - Сам виноват, - улыбнулся Лобачевский.
      - Да, прозевал, - согласился Кондырев. - Проспорил - Занимался бы шахматами, глядишь, и победил бы самого Никольского, - заметил Симонов.
      Когда игроки начали вторую партию и все вернулись на свои места, разговор о постулатах возобновился. Интересную мысль подал Симонов.
      - Очевидность пятого постулата, вероятно, вытекает из опытной истины о прямой линии, как наикратчайшем расстоянии между двумя точками пространства.
      - Да об этом уже писали французы - Лежандр и Лакруа, - вставил Бартельс.
      Лобачевский не выдержал:
      - Согласен с Карамзиным, что умом чужим никогда мы умными не будем. Однако, думаю, что не следует нам и отвергать разумного. Если истинность пятого постулата вытекает из этих свойств прямой линии, то, разумеется, он должен быть доказан как теорема, на основе остальных аксиом и постулатов Евклида. Об этом я думал и раньше.
      - А вы докажите нам! - улыбнулся Бартельс, откинувшись на спинку стула. - Еще древнегреческие мыслители, жившие после Евклида, считали аксиому параллельности, резко выделявшуюся тогда среди остальных своей громоздкостью и малоочевидностью, "пятном на Солнце" в геометрии. В течение двух с лишним тысяч лет многие выдающиеся математики пытались вывести это утверждение как логическое следствие прочих определений, аксиом и постулатов. Однако пятый постулат не поддавался доказательству. Спрашивается, где же в конце концов причина этой неоспоримой достоверности пятого постулата, если постулат сей не допускает ни опытной проверки, ни доказательства?..
      Бартельс на миг умолк, разжигая трубку, словно давал возможность присутствующим высказаться. Но все молчали.
      - Геометрия, говорил Кант, является наукой, определяющей свойства пространства, - продолжал Бартельс. - Другими словами, основания геометрии вытекают из той очевидности, какой представлено само пространство. Мысленно мы в состоянии устранить все вещественные предметы Вселенной. Тогда перед нами предстанет бесконечная, непрерывная, повсюду и по всем направлениям однообразная пустота или тот абсолютный простор,, который оказывается необходимою средою и вместилищем всех внешних явлений и всех наших представлений. Мы его и называем пространством. Таким образом, это чистое, никаким внешним чувствам не доступное и от них совершенно не зависящее умозрение. Потому все, что мы устраиваем в пространстве, имеет для нас непосредственную достоверность и очевидность.
      Спор все более разгорался. Говорили по-французски, по-русски, по-немецки, часто перебивая друг друга. Шахматное сражение затихло игроки следили теперь за разговором.
      - Спорили-спорили, а все-таки, дорогие коллеги, оказались правы мы с Петром Сергеевичем, - объявил, подымаясь, Никольский. - Убедившись в невозможности экспериментальных и логических доказательств аксиомы параллельных, мы, естественно, возвратились к мысли что в основе геометрии лежат вечные истины, которые от рода свойственны сознанию, как дарованные нам самим твор-- цом...
      Лобачевский возразил:
      - Эти вечные основания следует обновить!
      - Как же вы решились на сие греховное безумие? - удивился Никольский, укоризненно покачав головой. - Отрицать нам идеальные начала - все равно что расписываться в неверии...
      - Неужели вы, Григорий Борисович, ничем другим больше не располагаете? - с досадой перебил его Лобачевский. - Библейские суждения совсем не к лицу нам, учителям университетской молодежи. В науке ничто не может быть основано теперь на вере.
      - Однако вот ничем иным еще не смогли убедиться мы в справедливости аксиомы параллельных, - саркастически вставил Никольский. - Может, есть какое-либо другое, только вам известное, основание?
      Лобачевский ответил:
      - Есть! Геометрия не представляет собой безвыходного лабиринта формальных умозаключений, в котором окончательно потеряна кем-то нить, ведущая к отправным точкам. Весь вопрос в том, что ж это за истины, на которых основывается геометрия?.. Пытаясь дать ответ, мало только наблюдать природу и бесконечно увлекаться голыми опытами, считая их единственным средством для приобретения истинного знания, как нельзя и постичь истину одной лишь силой ума, духовным созерцанием, рассматривая разум как некую всеобъемлющую божественную мудрость.
      - Но это ведь незыблемо со времен Адама! - воскликнул Никольский.
      - Вы, наверное, хотели сказать: со времен Платона, - поправил его Лобачевский. - Но я полагаю иначе! Разум - это известные суждения, в которых как бы отпечатались первые действующие причины Вселенной и которые соглашают все наши выводы с явлениями природы, где противоречия существовать не могут. Вопрошая природу и подвергая ответы анализу, говорит Лаплас, можем последовательным рядом обдуманных выводов дойти до общих явлений, от которых происходят все частные факты. Открытие этих великих истин и приведение их к возможно меньшему числу и должно составлять предмет наших усилий...
      - Ну и что же из того явствует? - не утерпел Кондырев. - При чем же здесь геометрия и пятый постулат?
      Лобачевский ответил:
      - Геометрия для меня - составная и нераздельная часть науки о природе. Раз так, то главная задача ее - познать, раскрыть в своих понятиях и аксиомах свойства нас окружающего мира. Как учат философы Демокрит, Ломоносов, Радищев и Дидро, первопричина всех явлений природы - материя. Но, как известно, материя немыслима вне движения, а движение всегда протекает в пространстве...
      - Опять свое... - махнул рукой Никольский. - Ма-тее-ерия, движе-ние... К чему эти слова пустые?.. Вы же сами, Николай Иванович, сегодня в лекции толком не сказали, как это можно связать с "Началами" Евклида. Не так ли?
      Наступила неловкая пауза. Признаться в своем бессилии? Лобачевский помолчал.
      - Да, - наконец произнес он. - Об этом еще нужно серьезно подумать... Потому-то я и воздержался говорить об аксиомах. Но полагаю, что искомая связь должна быть найдена. Вероятно, истинность аксиомы прямой состоит именно в согласованности ее с природой.
      - Та-ак-с, - протянул Кондырев. - А как же пятый постулат?
      Лобачевский подумал.
      - Одни геометрические истины мы познаем пз опыта, - сказал он, - а другие, при недостатке наблюдений, должны предполагать умственно.
      - Ага! - воскликнул Никольский. - Вот вам и уголок для божественной мудрости.
      - Ничуть! - усмехнулся Лобачевский. - Мы докажем аксиому параллельности как теорему на такой основе, которая...
      - Хо-хо, дорогой коллега! - снова прервал его Никольский. - Невозможно сие человеку! Такие небылицы можете рассказывать юным студентам, а не старикам.
      Лобачевский хотел было возразить, но вмешался Броннер:
      - Зачем только я завел этот разговор! Для ссоры?.. Не горячитесь, дружок, - обратился он к Лобачевскому. - Трудно вас понять. Однако я верю вам и советую: подумайте, что сказали вам другие. Долю их возражений примите - они вам пригодятся.
      Лобачевский понял, что разговор окончен.
      - Простите, - сказал он, обращаясь ко всем.
      Никольский пожал плечами.
      - Да, да, не будем ссориться в такой знаменательный для вас день, государь мой, - сказал он, протягивая Лобачевскому руку.
      В эту ночь он спал неспокойно. Снились ему то Никольский, то Кондырев, которые двигались по комнате весьма странно: первый - ходом ладьи, второй - ходом коня, и произносили какие-то непонятные слова. Раза два просыпался он в холодном поту и чувствовал, что вчерашний спор бессознательно продолжается и во сне.
      - Что за черт! - не выдержал он и, поднявшись, распахнул окно.
      Прохладные капли дождя залетали в комнату. Внизу чернели крыши города. Над ними при ярких вспышках молний возникали четкие контуры белого здания университета и снова погружались в темноту.
      Вот уже второй год Лобачевский с матерью и братом жили в двухэтажном доме на косогорной Лядской улице, почти рядом с университетом. Это было удобно, тем более что с началом занятий пришлось экономить время так строго, что на сон оставалось каких-нибудь шесть часов, не больше.
      Вдохнув полной грудью прохладный воздух, он закрыл окно и снова лег надо было выспаться до рассвета.
      Предутренний сон самый крепкий, так что Никольский и Кондырев уже не помешают...
      Но вот наступило утро. Солнечный луч, продвигаясь по комнате, озарил подушку, и Лобачевский проворно вскочил с кровати. Накинув пестрый халат, он сошел с крыльца на широкий двор. За ночь отгремевшие грозовые тучи покинули город.
      Прищурив глаза, Лобачевский посмотрел в чистое небо, затем, спохватившись, резким движением сбросил халат на скамейку и сделал несколько гимнастических упражнений.
      - Совсем другое самочувствие, - сказал он, улыбаясь, Алексею, выглянувшему в окно. - Тебе тоже советую.
      Прекрасная штука - гимнастика. Молодцы греки!
      Под конец, обливаясь холодной водой, Лобачевский невольно вспомнил вчерашний спор. То ли от воспоминания, то ли от холодной воды по телу пробежала дрожь. Он растерся жестким полотенцем и, вернувшись в комнату, решил: надо привести в порядок мысли, рожденные вчерашним спором.
      - Ну что же, друг, - сказал он самому себе, - зафиксируем все, что сказали другие, и поразмыслим...
      Раскрыв тетрадь и обмакнув гусиное перо в чернила, начал он торопливо записывать:
      1. "Пятый постулат - пятно геометрии" (Бартельс).
      2. "Истинность аксиомы параллельности зависит, пожалуй, от понятия о прямой линии, полученного из опыта"
      (Симонов).
      3. "Аксиома прямой характеризует коренное свойство того пространства, в котором находится такая линия"
      (Броннер).
      - Интересная мысль! - пробормотал он, записывая.
      4. "Геометрия является наукой, определяющей свойства пространства" (Кант).
      5. "Пространство - это безграничная, по всем направлениям однообразная пустота" (Кант и Бартельс).
      - Кажется, и Ньютон придерживается такого же мнения. Проверить!
      6. "Пятый постулат есть необходимое следствие наших понятий о пространстве" (Бартелъс).
      7. "Геометрия, подобно шахматам, пустая игра по совершенно произвольным правилам с придуманными аксиомами" (Кондырев и Никольский)...
      Лобачевский отложил тетрадь в сторону и долго сидел неподвижно, погруженный в размышления. От вопроса к вопросу он все больше углублялся в корни геометрии, хранившей для него столько загадок. Не раз уже казалось ему, что близок он к цели. Еще сделать шаг и... Но шаг этот каждый раз не приближал его к заветной цели.
      Вот ж сейчас. Вчерашний снор столкнул его с проблемой, с которой он, как геометр, неизбежно должен был встретиться. Пятый постулат, много веков занимающий умы ученых, доставивший лучшим геометрам столько тревог, остается по-прежнему загадкой. Простой и... неразрешимый вопрос.
      - Неразрешимый ли? - поднялся Лобачевский и возбужденно заходил по комнате. - Надо разрешить. Непременно! Доказать, что геометрия не произвольное творение математиков, не игра ума! - Он подошел к шкафу и достал нужную книгу.
      Евклид. На ходу перелистывая страницы, Лобачевский вернулся к столу. Вот они - пять предложений, составляющих теорию параллельных линий [Определение самого Евклида: параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются]. Он знал их наизусть и даже, закрыв глаза, видел перед собой знакомые строчки. Но все же каждый раз, открывая книгу, надеялся найти в них что-то новое... намек... разгадку...
      Делая пометки в тетради, не раз он возвращался к прямым теоремам параллельных.
      (Lobach01.gif)
      "Предложение 27. Если прямая EF, пересекая две (другие) прямые Л В и CD, образует с ними равные накрестлежащже углы (например, с и е), то эти прямые А В и CD параллельны".
      "Предложение 28. Если прямая EF, пересекая две (другие) прямые АВ и CZ), образует внешний угол (например, а), равный внутреннему противолежащему с той же стороны (то есть соответственному углу е), или если внутренние односторонние углы (например, d и е) составляют вместе два прямых угла (то есть 180°), то эти прямые АВ и CD параллельны".
      Лобачевский, отложив перо, задумался. Нет, ни к чему тут не придерешься. Доказательство прямой теоремы параллельных Евклид выполнил безупречно, четко, на солидной основе первых двух постулатов и общих логических положений. Из этого, однако, еще не следует, что непременно должна быть справедливой и обратная теорема.
      Если мы, например, знаем, что человек работает в Казанском университете, преподает или учится, то, конечно, живет он в Казанской губернии. Но можно ли утверждать: если человек живет в Казанской губернии, то работает он в Казанском университете? Нет, разумеется, это уже под вопросом. В геометрии то же самое: истинность какой-либо теоремы еще ничего не говорит об истинности обратного суждения. Поэтому необходимо проверить:
      справедливо ли утверждение, обратное предложениям 27 и 28? Так появилась в "Началах" Евклида следующая, 29 теорема [Прямая теорема о параллельных прямых: если при пересечении двух прямых третьей оказалось, что "te+"Cd = 180° (или выполняется любое из 12 подобных равенств), прямые параллельны.
      Обратная теорема о параллельных прямых: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей окажется, что - L"f:d = 180° (или выполняется любое из 12 подобных равенств).].
      "Предложение 29. Прямая, пересекая две параллельные прямые, образует с ними равные накрестлежащие углы, внешний угол равен соответственному внутреннему, а внутренние односторонние углы составляют вместе два прямых".
      Доказательство этой обратной теоремы параллельных нужно было выполнить теми же средствами, какими доказаны предыдущие двадцать восемь утверждений "Начал", то есть ссылкой на ранее выведенные предложения, и в конечном итоге ссылкой на первые четыре постулата и общие логические положения. Но тут Евклид неожиданно изменил своему принципу. Он прибег к новому постулату, который - что казалось таким странным - был просто-напросто перефразировкой доказываемой теоремы:
      "Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d".
      Это и есть пятый постулат Евклида [В настоящее время вместо Евклидовой формулировки принимают ей эквивалентную, принадлежащую английскому математику XVIII столетия Плейферу: через точку, взятую вне прямой, в ее плоскости можно провести только одну прямую, не встречающую данную]. И каждый, кто приступает к изучению геометрии, должен принять ево суть на веру, без доказательств, рассматривая как одну из исходных истин, на которых строится вся геометрия.
      Но разве предыдущее предложение менее очевидно, чем это? На каком же основании возводить его в ранг аксиомы? Оно скорее производит впечатление теоремы - по своему содержанию значительно сложнее других постулатов и для понимания требует уже ряд предварительных сведений. Более того, в "Началах" оно используется довольно поздно, лишь в доказательстве двадцать девятого предложения, тогда как ко всем остальным аксиомам и постулатам Евклид прибегает в первых же своих теоремах.