- Господин учитель, ведь и здесь доказательство можно заменить одним словом "Смотрите!", - возразил Коля, Ученики замерли: неужели переспорит учителя?
      Но Ибрагимов сказал спокойно:
      - Вот, еще вам один Бехаскера Чарж нашелся. Ну, ну, выходите сюда. Убедите нас.
      Коля направился к доске.
      - Дай-ка, - на ходу попросил у гимназиста, сидевшего за первым столом, большой треугольник из толстой бумаги. Затем, оторвав с боков два уголка и приложив их слева и справа к верхнему так, что получился один развернутый угол, поднял их над головой. - Смотрите!
      - Выше! - сказал Ибрагимов. - Поднимите выше.
      Пусть видят все... Вам, понятно? - спросил он учеников, И те, перебивая друг друга, закричали:
      - Ясно! Понятно!
      - Развернутый угол равен двум прямым.
      - Доказал!
      Ибрагимов помахал им рукой.
      - Тише, тише, господа. Вы на уроке. Садитесь, Лобачевский. Очень хорошо. Значит, по-вашему, доказывать излишний труд? Все тут ясно нам и очевидно? - спросил он Колю.
      - Д-да... - произнес тот с некоторой запинкой.
      Лукавый огонек, вспыхнувший в глазах учителя, вдруг дал почувствовать Коле, что его доказательство не совсем достоверно.
      - Так вот, господа, - продолжал Ибрагимов, - древние индийские математики поступали точно так же. Пренебрегая теоретическими обоснованиями, они делали чрезвычайно выразительные чертежи, а вверху над ними писали слово, только что произнесенное Лобачевским: "Смотри!"
      Так .цоступал индусский математик двенадцатого века Бехаскера Чарж. В своей книге "Лилавати" ["Лилавати" - прекрасная (инд.)] он доказывал теорему Пифагора двумя чертежами, считая, что иного доказательства ей не требуется.
      Ибрагимов помолчал, прошелся по классу, как бы желая дать ученикам время подумать над сказанным.
      - Чтобы оценить по достоинству значение доказательств, - обратился он с вопросом, - не задумывались ли вы, в чем их суть? А стоило бы... Как же можно всем нам отрицать роль этих доказательств или роль умозаключений, если не знать, что это такое? Благоразумно ли, например, отказаться от какой-то, может быть, и вкусной, и здоровой пищи по той причине, что вы ее никогда не пробовали?..
      В четвертом веке до рождества Христова, - продолжал Ибрагимов, Аристотель высказал утверждение, по тому времени очень смелое. Он сказал первое: что Земля, при всех положениях, во время лунных затмений отбрасывает на Луну круглую тень. Второе: что, несомненно, такую тень отбрасывает при всех положениях только шар. Следовательно, Земля - шар. Из двух достоверных суждений Аристотель, таким образом, вывел умозаключение об истинности своего утверждения или, другими словами, доказал шаровидность Земли. Вот что значит логическое доказательство.
      Объяснения учителя покоряли стройностью суждений.
      В них не было ничего лишнего. Все продумано, логично.
      Да и сами по себе доказательства стали более интересными.
      - Теперь мы вернемся к индусам и примеру Лобачевского, - продолжал Ибрагимов. - Он пытался убедить нас одним словом: "Смотрите!" Но можно ли сказать, что в данном случае не было доказательства? Конечно же нет.
      Просто, не рассуждая, глядя на показанную им фигуру из трех уголков треугольника, мы ни к какому выводу не пришли бы. На самом же деле вспомнили, что развернутый угол равен двум прямым. Это было наше первое суждение. Затем признали, что эта фигура из трех уголков представляет собой развернутый угол. Это было второе суждение. Отсюда вывели заключение, что раз так, то сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым. Как видите, простого созерцания было недостаточно. Мы смотрели, рассуждали. Кстати... - Учитель прошелся по классу и вскоре остановился у скамейки Лобачевского. - Кстати, господа, - повторил он с лукавой улыбкой, - обращаю внимание ваше на тот факт, что "немое" доказательство Лобачевского, такое внешне эффектное, на самом деле не совсем достоверно и бесспорно.
      Ученики зашушукались, но Ибрагимов будто и не заметил этого.
      - Посудите сами: почему же мы уверены, что после такого сложения уголков треугольника две их крайние стороны составят непременно продолжение одна другой, образуя развернутый угол? - спросил он у всех.
      - Так это же видно!
      - Бесспорно!
      - Ясно! - с увлечением закричали с разных сторон.
      - А вы забыли, что каждое геометрическое утверждение, если это не аксиома, должно быть непременно доказано, хотя б и казалось оно всем очевидным? - спросил Ибрагимов. - "Очевидно" - понятие обманчивое. Одному очевидно, другому нет. Помните, как долго люди считали очевидным, что Солнце движется вокруг Земли. Все ведь своими глазами видели. Вот вам и "очевидно". Значит, и для суммы углов треугольника тоже требуется до-ка-затель-ство, - договорил он последнее слово раздельно, по слогам.
      - Надо смерить углы транспортиром, - сказал ему Лобачевский. - Вот и все убедимся.
      - Превосходно, - кивнул Ибрагимов. - Каждый, у кого начерчен треугольник, измерьте углы, затем, сложив их, скажите результат... Лобачевский, пожалуйте к доске. Будем записывать.
      Гимназисты завозились. Ибрагимов, устав от ходьбы, уселся на свой стул и внимательно стал следить, с каким увлечением все кинулись выполнять задание.
      Через несколько минут раздались удивленные голоса:
      - У меня 181°!
      - У меня 179°! Это почему?
      - А вот у меня 180°30'!
      Коля терпеливо стучал мелом: колонки цифр удлинялись, вот уже чуть ли не вся доска ими занята.
      Ибрагимов повернулся к нему:
      - Ну, Лобачевский, готов результат?
      - Нет еще. - Коля лихорадочно подсчитывал. - Сейчас кончу. Как же так? Что-то между 178° и 181°, - удивился он.
      - То-то же, - улыбнулся учитель. - Значит, глаза у всех разные?
      Коля молчал.
      - Убедились? - добродушно спросил Ибрагимов. - И не смущайтесь. Это вас не глаза подвели, а карандаши, линейки, транспортиры - словом, ошибки построения. Эти ошибки неизбежны, если бы даже измерили вы десятки треугольников. Важно и другое. Нам надо знать не только то, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, но также и то, почему она должна быть именно такой. Измерительное, опытное доказательство нам этого не объясняет. Ясно? Это лишь грубое и приблизительное обоснование теоремы.
      - Ошибка невелика, - заметил Коля и, не ожидая разрешения учителя, вернулся на свое место.
      - Как? И это все, что вы поняли? - вспыхнул Ибрагимов.
      Класс притих в напряженном ожидании - что же будет? Учитель поднялся, молча подошел к форточке и раскрыл ее. Свежая струя воздуха дохнула в комнату.
      Гимназисты неодобрительно покосились на Колю. Тот сидел, понурив голову, и никого не видел.
      Овладев собой, учитель вернулся на кафедру.
      - Лобачевский, - проговорил он сдержанным голосом. - Хорошо, если человек уверен в своих способностях, не допуская себя до гордыни. Запомните, не придает она силу душевную. Напротив, затемняет сознание. Человек от сего лишается необходимой способности видеть свои недостатки, свои слабые суждения, теряет уважение к суждениям других.
      Ибрагимов снова прошелся по классу и, вернувшись к доске, продолжал:
      - Вы сказали - "ошибка невелика". Но знаете ли вы, что если бы сумма внутренних углов треугольника не была совершенно точно равна двум прямым, то вся геометрия Евклида оказалась бы неправильной? "Теорема эта равносильна аксиоме параллельности или пятому постулату Евклида", - писал иранский математик Абу-Джаафар Мухаммед Насирэддин Туей в своей книге "Введение к геометрии". Опираясь на эту теорему, вычисляют площади земельных участков, измеряют недоступные высоты и расстояния, составляют планы городов и географические карты. Все это стало бы невозможным, если бы сумма этих удивительных углов была подвержена малейшему колебанию.
      Класс молчал. Слышно было, как поскрипывает на ветру открытая форточка. Гимназисты с уважением, даже с некоторым страхом рассматривали лежащие перед ними на столах треугольники, точно загадочные фигуры - вместилища таинственных законов. Урок затягивался, но это%ге никто не замечал.
      - Ученые глубокой древности, - рассказывал учитель, - придавали особое значение этой простейшей геометрической фигуре - треугольнику. Они считали его чуть ли не основным началом всех тел, надеялись, изучив его свойства, познать законы Вселенной.
      Второгодник Овчинников, толкнув соседа, шепнул:
      - Из-за какого-то простого треугольника и столько разговоров.
      - Балбес ты, - сказал ему сосед. - Если тебе слушать не хочется - не мешай другим.
      Учитель в это время взял большой пятиугольник из деревянных планок, скрепленных по углам гвоздиками.
      Чтобы всем было видно, понес его меж рядами скамеек.
      - В чем же секрет треугольника, столь поразивший древние умы? продолжал он. - Смотрите, я растягиваю этот многоугольник в ширину, теперь - в длину, и он легко меняет форму. Выкинем одну планку - и четырехугольник подвижен: то квадрат получается, то ромб... Еще выкинем одну планку. Теперь это уже треугольник. Попробуйте изменить его форму. Перекосить... Вот, возьмите, - предложил он Овчинникову. - Ну, как? Выходит?
      - Нет, не выходит, - сказал озадаченный второгодник. - Жесткий. Разве что сломать его...
      - Стойте, стойте! - испугался Ибрагимов, схватив ученика за руку. - Не жмите... Жесткий!.. Это и есть чудесное свойство треугольника. Его используют и в технике и в строительстве. Мосты, крыши, дома - всюду в них вы найдете укрепляющие треугольники. Но, кроме того, запомните, что любой многоугольник можно разбить на треугольники. Не удивительно, что древние выделяли треугольник из всех других фигур.
      - Вот оно что! - сказал сосед Овчинникову. - А ты говоришь: из-за какого-то... Слушай.
      - Теперь вам понятно, - продолжал учитель, - что необходимо доказать нашу теорему, и доказать со всей математической строгостью... Итак, утверждаем: сумма внутренних углов треугольника равна 180°...
      Учитель, вернувшись к доске, быстро начертил треугольник и начал доказывать теорему. Торопливо заскрипели перья в классе...
      - Надеюсь, господа, - подводил итог учитель, - вы сами убедились в необходимости математического доказательства. С его помощью геометрические истины обобщают и приводят в стройную научную систему, в которой раскрываются все внутренние связи между ними. Вот почему итальянский ученый, художник и поэт Леонардо да Винчи утверждал, что никакое человеческое исследование не может назваться настоящим знанием, если не прошло через математические доказательства. Замечу, однако, что для приобретения настоящего знания большое значение имеет и опытное доказательство. Они весьма полезно дополняют друг друга. Выражаясь образно, мы как бы в науке имеем две лестницы, но по каждой из которых в отдельности не можем подниматься вследствие большого расстояния между ступенями. Следует сложить обе лестницы, тогда можно будет свободно подниматься вверх, опираясь на их ступени поочередно...
      Ибрагимов замолчал. Он стоял, облокотясь на кафедру, и выглядел уставшим, однако черные глаза его по-прежнему горели весело.
      - Может быть, имеются вопросы?..
      В коридоре, у самой двери, зазвенел голосистый звонок. Затем дверь неожиданно распахнулась и на пороге появился дежурный сторож с медным колокольчиком в руке.
      - Виноват, ваше благородие. Полагаю, что звонка на ту перемену, может, недослышали, так это уж я на вторую звоню, - почтительно проговорил он,
      В классе послышались возгласы:
      - Как же мы не заметили!
      - Два урока пролетело.
      - Два часа как одна минута!..
      Ибрагимов улыбнулся.
      - Наверстаем...
      За дверью в коридоре веселее и звонче залился колокольчик, но ученики не спешили выходить из класса, им хотелось поговорить с Ибрагимовым.
      - Теперь уже до следующего раза, господа, - сказал он им и предложил желающим самостоятельно доказать хотя бы одну хорошо знакомую теорему иным способом, чем в учебнике Осиповского. Затем поклонился и вышел своей обычной торопливой походкой.
      Лобачевский догнал его на лестнице.
      - Николай Мисаилович! - сказал он взволнованным голосом. - Простите! Я не хотел вас огорчить... Ставьте мне за поведение что угодно - худо или очень худо, но только не сердитесь...
      Ибрагимов засмеялся, потрепав Колю за плечо.
      - Странный вы мальчик, Лобачевский! Ну как могло вам такое прийти в голову? - сказал он, удивляясь. - Это же благодаря вам так интересно поговорили на уроке. Вы помогли всему классу разобраться в сущности доказательства.
      - Я?! - не поверил Коля. - Тем, что не хотел признавать их. Не понимаю...
      - Постепенно поймете! Не сразу ведь становишься большим умельцем во всяком деле, тем более в геометрии! - сказал Ибрагимов, спускаясь рядом с Колей по лестнице. - Геометрия, дорогой мой, удивительнейшая наука. Желающий глубоко в нее проникнуть, обязан собственным трудом, шаг за шагом, пройти весь путь ее развития.
      - Значит, нужно усвоить все... начиная с первых понятий? - оживился Коля.
      Ибрагимов одобрительно кивнул:
      - Только так! Разве можно построить прочный дом без надежного фундамента или создать науку без ее начал? - И сам ответил: - Конечно же нет!.. А сейчас отдыхать, - слегка подтолкнул он Колю на лестницу и проводил его долгим взглядом.
      Был час приготовления уроков. За маленьким столиком, облокотясь на руки, сидел Коля и внимательно читал "Начала". На улице бушевал сильный ветер. Осеннее солнце пряталось в тучах, изредка заглядывая в спальную комнату. Но Коля его не видел. Чем дальше он читал, тем больше хмурил брови.
      - Вот напасть: что нп определение, то все туманнее и запутаннее.
      В это время скрипнула дверь и в щели показалась голова Панкратова.
      - Математик, идем в геометричку, - пригласил он.
      - Зачем?
      - Теоремы будем доказывать. Одному не под силу.
      Помолчав немного, Коля согласился.
      - Только с уговором: одному - доказывать, а другому - спрашивать. И каждое утверждение обосновать. Шмнишь, как Николай Мисаилович советовал? Он вскочил с табуретки, повторяя слова учителя: - Каждое новое утверждение логически доказать с помощью ранее принятых истин.
      - Ясно, - кивнул Панкратов, - Ничего не брать на веру... Пойдем!
      Захватив книги, мальчики поднялись на второй этаж и вошли в геометрическую комнату.
      - Пусто, - с удовольствием отметил Панкратов. - Ну, кому первому к доске? Орел или решка? - подбросил он вверх монету. - Орел... Значит, моя очередь.
      Он подошел к доске и, повернувшись к другу, который в это время устроился на кафедре, начал почтительным тоном:
      - Господин учитель, у меня к вам просьба...
      - Какая? - сердито прервал его Коля. - Брось!.. Будем заниматься по-серьезному.
      - Я же и так серьезно, - заверил Таврило. - Задавай теорему, только потруднее. Легкую совсем не умею своими словами доказывать. Например, эту: перпендикуляр короче наклонной. Начертишь ее, а что говорить, когда и без лишних слов понятно. Будто в корыте плаваешь. То ли дело трудная теорема там совсем другое, словно бурная речка с опасными порогами. Нелегко по ней плыть, но зато можно показать свои способности...
      - Смотри, уплывешь, - усмехнулся Коля. - Временито в обрез. Бери мел и пиши: "Внешний угол всякого треугольника больше каждого его внутреннего угла, с ним не смежного". Написал? Доказывай!
      Панкратов глубоко вздохнул и, подняв рукава своей куртки, будто перед жаркой схваткой, начертил на доске треугольник.
      - Ишь какую теорему выбрал, - проворчал он добродушно. - Тут попотеешь. Придется вспомнить, что и месяц тому назад учили.
      - Господин Панкратов, без лишних разговоров, - заметил Коля, подражая голосу Яковкина.
      Таврило фыркнул, но тут же спохватился и глянул на свой чертеж.
      - Пусть будет он треугольником ABC. И пусть одна его сторона ВС будет продолжена до буквы Д. Мы утверждаем, что внешний угол АСД больше каждого из внутренних углов ВАС и СВА. Разделим сторону АС пополам в точке Е.
      - Постой, постой! Не торопись... А что ж это: внешний и внутренний углы треугольника?
      - Неужели не знаешь? - удивился Панкратов.
      - Уговор дороже денег, - напомнил Коля.
      - Ну что ж... Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, - начал объяснять Таврило, - называется внешним углом этого треугольника. Таков, например, угол АСД. Но, в отличие от внешних, углы самого треугольника называются внутренними. Все!
      - Нет, - сказал Коля, - не все... Я пока не знаю, что ж это: "смежный угол"...
      - А-а... - протянул Панкратов. - Сейчас вот узнаешь... Два угла называют смежными, если одна сторона у них общая, а две остальные составляют продолжение одна другой... Так?
      - Верно... Продолжай дальше.
      - А что продолжать?
      - Но ты не объяснил еще главного: что же такое угол? Потом, неизвестно мне, что следует понимать под словом "сторона"...
      - Фу-у! - рассердился Панкратов. - Ты меня совсем изводишь.
      - Ничего, не лопнешь.
      - Ладно, Математик, не шути... Сейчас я тебе разберу по всем пунктам. Начнем с угла. Итак, фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом. А сторонами... Ты что улыбаешься? Думаешь, пропустил? Нет, шалишь, брат! Я потом... Так вот, полупрямые, образующие угол, называются его сторонами. Теперь-то можно дать определение луча. Прямая, ограниченная только с одной стороны, называется лучом или полупрямой, - закончил Таврило и торжествующе посмотрел на Колю. - Понял мою хитрость?
      - Молодец, одним выстрелом убил двух зайчат, но вот сама зайчиха-то убежала!
      - Зайчиха?.. - озадаченно переспросил Панкратов. - - Какая?
      - А вот какая... Про угол ты говорил и использовал самое первоначальное евклидово понятие - точку. Почему не дал ее определения?
      - "Почему, почему"!.. - проворчал Таврило с раздражением. - Прикажешь определять ее, точку эту, как нечто, не имеющее частей, или прямую линию как нечто прямое...
      - Точка... Линия... Эх! - воскликнул Коля, махнув рукой. - Помню, об этом слышал еще в прошлом году на первом уроке у Корташевского. Как же я сам не смекнул?
      Ведь правда, все наши предыдущие понятия в конце концов свелись к двум - точке и прямой линии. А если и другие геометрические понятия также основываются на них, то ясно, почему они...
      - Что же ты! - прервал его Панкратов. - Не может быть! Ну... допустим, возьмем понятие о параллельных прямых. Это суть, как говорил Николай Мисаилович, две прямые, лежащие на одной плоскости и не имеющие общей точки. Но кроме прямой и точки оказалось еще одно понятие - плоскость. А можно ли определить ее с помощью точки и линии?..
      - Н-да... - замялся Лобачевский, но тут же сообразил: - Так ведь плоскость есть такое же первоначальное, независимое от других понятие, как точка или прямая линия.
      - Так и есть! - произнес Таврило. - Вот он и третий заколдованный круг: плоская поверхность есть нечто шки ское. А может быть, еще найдется много подобных первоначал?.. Проверим?
      - Ну что ж, давай! - кивнул Коля и вдруг насмешливо запел тонким голосом:
      Жил-был царь,
      У царя был двор,
      На дворе был кол,
      На колу мочало...
      Начинай сначала.
      Чтобы ничего не пропустить нам, иди ты по "Началам", а я - по Осиповскому. С первых страниц разберем все геометрические понятия. Только с уговором: друг другу не мешать.
      - Дальше в лес - больше дров, - вздохнул Панкратов. - Ладно уж...
      Пристроившись к подоконнику, где посветлее, мальчики усердно зашелестели страницами.
      Каждый читал по-своему: Лобачевский, с бумажкой и карандашом в руках, делая выписки, снова и снова возвращался к первым определениям и теоремам. У Панкратова была замечательная память, он удивлял способностью производить в уме довольно трудные математические вычисления и мог читать все подряд, не останавливаясь и лишь изредка перечитывая особо нужные места.
      Вечерело. Последние отблески зари трепетали на стеклах окон. Сумерки сгущались быстро, и классная комната незаметно погружалась в темноту.
      Панкратов, прервав чтение, поднялся.
      - Может, хватит? - спросил он Колю. - Совсем темно стало, не то глаза испортим... А ты, пожалуй, прав.
      Я добрался уже до параллелограмма, и, знаешь, ровнехонько все понятия, непосредственно или через другие, определяются только с помощью точки, прямой линии и плоскости... Да-да, их всего-навсего три. Значит, они действительно являются основными. - Таврило вдруг отступил на шаг и церемонно раскл-анялся: - Прошу прощения, госпожа Точка, госпожи Прямая и Плоскость, это я по своей тупости счел вас ненужными. Оказалось, ни одно геометрическое построение и рассуждение без вас не обходятся. Аи да дамы!
      - Чему радуешься, простофиля? - упрекнул его Коля, швырнув книгу на подоконник. - Это ужасно! Какая же наука может быть ясной, когда в основе всех ее понятий лежат столь темные определения? Подумай только:
      "Точка есть нечто, не имеющее частей". Не должно быть подобной темноты в геометрии! Мы, наверное, тут чего-то недопонимаем...
      - У меня уже голова разламывается, - вздохнул Таврило. - Пойдем-ка на волю, проветрим головы - может, легче станет.
      Однако ни прогулка во дворе, ни ужин в столовой не прояснили сомнений. Приятели снова заперлись в геометричке. Обсуждение - что же такое точка, линия и плоскость - объявили запрещенным.
      - Временно, - добавил Коля. - Иначе нового доказательства теоремы найти нам не удастся.
      Теперь каждый самостоятельно искал это новое доказательство. Но, увы, безуспешно. Всякий раз оказывалось, что удалось найти лишь обозначения и фигуры чуть-чуть не такие, как в учебнике. Все же остальное шло до учебнику. Чертили, стирали, спорили, пока все масло в коптилке не выгорело. Но доказательства нового, своего, так и не получилось
      - Идем спать, может, во сне увидим, - сказал Панкратов.
      Коля только махнул рукой.
      На следующий день лучшие гимназисты собрались в геометрическом классе один мрачнее другого. Удивительный подъем, вызванный прошлым уроком, плодов не принес: никто не смог найти нового доказательства этой мучительницы - теоремы. Воспитанники с тяжелым унынием ждали своего учителя, беспокойно поглядывая на дверь. Но случилось неожиданное: Ибрагимов, появившись на пороге, предложил:
      - Господа! Не хотите ли на волю - погреться на солнышке? Наше занятие сегодня проведем за Казанкой, в чистом поле. Там и познакомимся как следует с предком нашей геометрии - землемерием. Согласны?.. Одеться и приготовиться - даю вам на сборы пять минут!
      Гимназистов будто подменили. Появились улыбки на их унылых лицах. Все вдруг засуетились и, толкая друг друга, направились к выходу.
      Внизу по распоряжению Ибрагимова уже были приготовлены вехи, землемерная цепь, эккер и все необходимое для работы в поле. Мальчики живо разобрали все инструменты. Коля схватил землемерную цепь.
      Сентябрьский день выдался на редкость теплый и почти безоблачный. На улице было многолюдно, весело. Ибрагимов шел с мальчиками, не требуя от них положенного строя. Поэтому все были такими радостными. Но уж самое чудесное, пожалуй, началось около Казанки.
      Остановившись на берегу, Ибрагимов объявил:
      - Здесь, господа, у нас будет переправа. Но предварительно предлагаю измерить ширину реки.
      Двое учеников, схватив мерные шнуры, кинулись к лодке, лежавшей на берегу.
      - Стойте, стойте! - закричал учитель. - Шнуры короткие, на ширину реки не хватит их. А главное - представьте себе, что нет у нас ни лодки, ни шнура. Тогда как быть?
      Мальчики растерянно переглянулись.
      - Тогда, может, на глаз определить? - нерешительно сказал Коля. - Тут, наверное, сажен двадцать, не больше.
      - Глазомер у вас неплохой, - одобрил учитель. - Свойство для землемера весьма полезное. Сейчас проверим, насколько близки вы к истине. Для этого нужно... Панкратов, скажите нам: первый признак равенства треугольников.
      - Если две стороны, - бойко начал Таврило, - и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.
      - Прекрасно! - кивнул Ибрагимов. - Так вот, господа, измерим ширину реки по этой самой теореме, - Он посмотрел на Панкратова. - С помощью, например, козырька фуражки. Она ведь не то, что мерная цепь - всегда у человека на голове окажется.
      Мальчики снова переглянулись.
      - Ничего себе землемерный инструмент, - шепнул Овчинников.
      - А получится ли? - спросил Панкратов.
      - Не верите? - усмехнулся Ибрагимов. - Что же, попробуем... Станьте, Панкратов, лицом к реке. Надвиньте фуражку на свои глаза так, чтобы нижний обрез козырька совпал с противоположным берегом... Надвинули?..
      А теперь, не изменяя положения головы, повернитесь налево и заметьте на этом берегу самую дальнюю точку, видимую из-под козырька... Заметили?.. Хорошо! Сейчас вам остается лишь отмерить шагами расстояние до этой самой точки. Согласно теореме, будет оно равно ширине реки.
      Заметьте, мы опять используем свойство треугольника...
      Поняли?
      Мерить расстояние за Панкратовым кинулись и другие. Практические занятия оказались для всех интереснее любой игры.
      - Видите, - сказал учитель. - Оказывается, шаг - тоже измерительный инструмент. И весьма важный. Кроме того, всегда он у землемера, так сказать, под рукой.
      Перейти к следующему заданию на Казанке удалось не сразу - ведь каждому хотелось проверить волшебные свойства козырька собственной фуражки.
      Особенно интересными были землемерные работы в поле. Мальчики проводили натянутой веревкой прямую линию, строили, затем измеряли на местности углы, провешивали эккером параллельные прямые и снимали планы полевых участков.
      - Господин учитель... Господин учитель, - звали его те, у кого что-нибудь не ладилось.
      Ибрагимов поспевал ко всем, разъяснял, показывал.
      И какой же горестный возглас разочарования раздался, когда, взглянув на часы, он объявил: "Время истекло. Пора возвращаться в гимназию".
      Обратный путь прошел так же весело. Под впечатлением урока вспомнился Панкратову рассказ его деда о курьезе, который приключился много лет назад с писателем Державиным при составлении плана города.
      - Ну, ну, расскажите, - попросил учитель.
      - Было это в 1760 году, кажется, в июне месяце. Директор Веревкин тогда еще назывался командиром гимназии. Вышел ему от сената приказ: немедленно составить план города Чебоксар. А преподаватель геометрии капитан Морозов к тому времени умер. Что же делать? Вот и переложил директор задание сената на Державина, только что закончившего учение, и для помощи дал ему несколько учеников. А геометрии все учились без доказательств и на практике не бывали. Как тут быть? Приступают они к Веревкину - покажи да научи, Ну, вот он и показал... Распорядился тут же сделать рамы шириной в семь-восемь сажен, а длиной - в шестнадцать. Оковали те рамы железом и потащили цепями по улицам для измерения. Проходит рама - хорошо. Если же улица узка и рама за дом заденет, мелом писали на воротах: "Ломать".
      - Ну и ну! - засмеялся Ибрагимов. - Что же дальше?
      - А дальше Державин сам начертил этот план - такой преогромный, что ни в одну комнату не вмещался.
      Чертил его на чердаке. Но так и не докончил. Свернули в трубку, отвезли в Казань. И с тех пор в Чебоксарах дома не ломали...
      - Забавно, забавно, - смеялся Ибрагимов. - Спасибо за рассказ... А теперь, господа, прибавим шагу, мы опаздываем...
      Сегодня весь день Коля занимался, шумел и спорил не меньше других. Но вот окончен день, погашены огни в спальных камерах. Дежурный уже вовсю храпит на своей кровати. А Коля все вертится на соломенном тюфяке: не до сна ему. Неслышно выскользнув из-под одеяла, он оделся, взял аспидную доску, грифель и заранее припасенный огарок свечи. Устроившись перед окном, осторожно загородил свечу книгой.
      В спальне холодно, сквозит ветер из оконных щелей.
      Но Коля этого не чувствует. Видимо, это был для него самый счастливый день. Оттого ли, чт.о он вдоволь поупражнялся в землемерии, или потому, что впервые после каникул так хорошо повеселился, но в этот вечер мысли его были светлыми. Не прошло и полчаса, как он по-своему доказал теорему о сумме внутренних углов треугольника.
      Стало и радостно и тревожно. Еще раз проверил он записанное. Да, все правильно. Погасив свечу, осторожно разделся в темноте и лег в постель. А драгоценную доску положил под кровать, чтобы не стерлось написанное.
      Утром, открыв глаза, Коля удивился: кто-то закутал его в одеяло до самого носа. Ну, конечно же старший брат позаботился. Он и за младшим, Алешей, смотрит, хотя и живет уже не в этой, а в соседней, студенческой спальне.
      Саша стоял у подоконника, показывал всем аспидную Доску.
      - Саша! - испугался Коля.
      - Наконец-то! - воскликнул брат. - Вставай, уже все проснулись. Молодец ты, Коля! Молодец! Как только увидел доску под кроватью - сразу понял. Прекрасное доказательство! И ведь новое! Твое собственное!
      - Ты хорошо проверил?.. Правда, мое? - поднялся Коля.
      - Твое, твое... Поскорей одевайся и в умывальную!
      ...Первый успех так обрадовал Колю, что с этого дня поиски новых доказательств теорем стали для него большим утешением. К тому же погода испортилась: то и дело шел дождь, мелкий, настырный; гулять во дворе, да и просто выглянуть на свежий воздух нельзя. Поэтому после уроков, едва покончив с ужином, Коля бежал в спальную камеру и снова садился к аспидной доске. Он чувствовал себя необычно, как путник, впервые совершающий путешествие по неизведанным землям. Это было трудно, зато увлекательно. Случалось, что крутые горы фактов стеной загораживали дорогу и новые поиски доказательств неожиданно уводили в сторону, откуда не было выхода. Но зато какая радость охватывала его при каждой, пусть и небольшой победе!
      Коля теперь понимал, что геометрия - не случайное сборище теорем, а стройная система, где каждое новое положение вытекает из предыдущих. И, переходя к новой теореме, сразу прикидывал, как ее доказать. Больше того, многие теоремы он уже предвидел и, встречая их в учебнике, радовался как старым знакомым. Порой казалось ему, что знает он геометрию очень давно и теперь не учит ее, а только вспоминает старое.