ПАРАДОКСЫ, ГДЕ ИХ НЕ ДОЛЖНО БЫТЬ

Фактически наука и движется от парадокса к парадоксу. Это вехи, которыми обозначены ее взлеты. Но и падения тоже, поскольку выявление парадокса воспринимается вначале как наступление катастрофы, как развал искусно построенного здания.

Обратимся в связи с этим к самой строгой науке — математике. Казалось, здесь-то не должно возникать ничего похожего. Не случайно говорят: вероятно, величайший парадокс состоит в том, что в математике имеются парадоксы. Они не только есть, но и представляются наиболее впечатляющими, а вместе с тем особенно сложными и трудными для понимания.

За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов. Одновременно с этим их преодоление достигалось ценой введения необычных понятий, утверждением невероятных идей. Одним словом, парадоксы разрешались благодаря тому лишь, что они порождали новые, также парадоксальные теории.

Первый кризис разразился еще в древности и был вызван открытием факта несоизмеримости величин. Что это означает?

Две однородные величины, выражающие длины или площади, являются соизмеримыми, если они обладают так называемой общей мерой. То есть если имеется такая однородная с ними величина, которая укладывается в каждой из них целое число раз. Полагали, что все длины и площади созмеримы. Вообще над этим как-то не задумывались. И вот обнаружили странное…

Оказывается, диагональ квадрата и его сторона не имеют общей меры, и их отношения нельзя выразить с помощью известных к тому времени рациональных, то есть целых или дробных чисел. Это и вызвало кризис античной математики. Парадокс состоял в том, что по отдельности каждая из несоизмеримых величин — и диагональ и сторона квадрата — может быть измерена и количественно точно определена. Однако выразить их длины через отношения друг к другу посредством имевшихся тогда чисел не удавалось.

Поясним это с помощью такой операции. Возьмем сторону квадрата и станем откладывать ее на диагонали. Мы обнаружим, что сторона не укладывается на ней целое число раз. Обязательно будет остаток. Но ведь можно попытаться уложить остаток, если он уместится целое число раз, общая мера найдена. Увы! И остаток не умещается в целое число действий. Снова получается остаток, который ведет себя точно так же, как его более крупные предшественники, и т. д.

Это не поддающееся измерению отношение диагонали и стороны квадрата было представлено выражением V2 (корень квадратный). Оно имеет следующее происхождение.

Если квадрат разрезать по диагонали, получим два прямоугольных равнобедренных треугольника, где линия бывшей диагонали будет гипотенузой, а стороны квадрата — катетами. Согласно знаменитой теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, точнее, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Отсюда и величина отношения гипотенузы к катету (или диагонали к стороне квадрата), равная V2 (корень квадратный).

Позднее нашли, что также несоизмеримы отношения длины окружности к диаметру (оно выражается числом я), площади круга и квадрата, построенного на радиусе, и другие величины.

Кризис был преодолен введением новых чисел, которые не являются ни целыми, ни дробными. Они могут быть представлены в виде бесконечных непериодических дробей. К примеру, корень из 2 равен 1,41.., п = 3,14… и т. д. Людям, знавшим только рациональные числа, вновь введенные казались несуразными, противоестественными. Это отразилось и в их названии: «иррациональные», что значит «бессмысленные», лежащие по ту сторону разумного.

Дело в том, что если целые числа и дроби имели ясное физическое толкование, то для иррациональных чисел ею не находилось. Был только один способ придать им реальный смысл: сопоставить с ними длины определенных отрезков. Греки так и поступили. Они отказались от понимания иррациональных чисел в качестве именно чисел, а истолковали их как длины, то есть перевели на язык геометрии.

Здесь важно подчеркнуть, что введение новых чисел оказало сильнейшее влияние на последующее развитие математики.

Очередная катастрофа произошла несколько веков спустя и особенно терзала математику в XVII-XVIII столетиях. В этот раз дело касалось истолкования бесконечно малых величин. Мы видели, что бесконечность участвовала и в первом кризисе. Там она отразилась в способе представления иррациональных чисел. Она будет участвовать и в третьем кризисе. И вообще, полагают некоторые, если резюмировать сущность математики в немногих словах, то можно сказать, что она — наука о бесконечном. Так, крупнейший немецкий ученый XX века Д. Гильберт, имея в виду математику, писал:

«Ни одна проблема не волновала гак глубоко человеческую душу, как проблема бесконечного, ни одна идея не оказала сголь сильного и плодотворного влияния на разум, как идея бесконечного». Но вместе с тем, заключает он, «ни одно понятие не нуждается так в выяснении, как понятие бесконечного». Однако вернемся к кризисам.

Бесконечно малые — это переменные величины, стремящиеся к тлю, точнее, как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю. Кризис возник в силу расплывчатою понимания бесконечно малого.

В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же — принималось как значение, отличное от нуля, о чем говорит и само название. Причина столь противоречивого подхода к бесконечно матым объясняется гем, что их рассматривали в качестве постоянных величин. В силу этого бесконечное понималось как нечто завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами.

Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, окончательно построенной в начале XIX века известным французским математиком О. Коши. Это парадоксальное состояние (полагать бесконечно малые нулями и в то же время неравными нулю) О. Коши разрешает введением качественно новых, неслыханных ранее величин. Он берет их из области возможного, а не действительного. Бесконечно малые — это величины, которые существуют лишь как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. То есть они всегда остаются в возможности, в потенции, так что не реализуется ни одна из указанных альтернатив. Величины не застывают в каких-либо одних конкретных значениях. Они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.

Интересные величины!

Последний кризис (последний по времени, но, надо полагать, не по счету) имел место на рубеже XIX-XX веков и был столь мощным, что затронул не только саму математику, но и логику, поскольку эти науки тесно связаны и язык, поскольку дело касалось способов точного выражения содержания наших мыслен.

К концу XIX века в качестве фундамента всего здания классической математики прочно утвердилась теория множеств, развитая выдающимся немецким ученым Г.Кантором. Понятие «множество» или «класс», «совокупность» — простейшее в математике. Оно не определяется, а поясняется примерами. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой и т. д Далее вводится понятие «принадлежать», то есть «быть элементом множества». Так, книги, точки являются элементами соответствующих множеств. Для определения множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы.

С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность. Теперь ее грандиозное здание напоминало несокрушимую крепость. Оно было прочно заложено и обосновано во всех своих частях. Недаром же крупнейший французский математик того времени А. Пуанкаре в послании очередному математическому конгрессу торжественно заявлял, что отныне все может быть выражено с помощью «целых чисел и конечных и бесконечных систем целых чисел, связанных сетью равенств и неравенств».

Увы. скоро, очень скоро обнаружились сначала частные, а позднее фундаментальные изъяны. Но здесь в разговор вмешивается логика.

Дело в том, что основные понятия теории множеств допускали логическое описание. Доказательство возможности существования математических объектов также получало логическое оправдание. Мы не будем вникать в детали. Отметим лишь следующее. Многие исследователи, учитывая только что сказанное, задались целью свести математику к логике, то есть выразить исходные математические понятия и операции логически. Казалось даже, что эта программа — ее назвали программой логицизма — близка к завершению. Немецкий логик и математик Г. Фреге уже заканчивал и частью издал трехтомный труд «Обоснования арифметики», венчающий усилия логицистов, как вдруг разразилась «арифметическая катастрофа».

В 1902 году молодой английский логик Б. Рассел обратил внимание Г. Фреге на противоречивость его исходных позиций. Г. Фреге использовал такие понятия, что это вело к парадоксу. Попробуем в нем разобраться.

Мы уже говорили, что множество (класс) есть совокупность объектов, которые и составляют элементы данного множества. Поскольку само множество тоже объект, как и его элементы, то вставал вопрос, является ли множество элементом самого себя, то есть принадлежит ли оно к числу элементов собственного класса?

В этом пункте начиналось интересное.

Есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента. Например, класс списков, Его элементами являются конкретные списки. Скажем, список книг какой-либо библиотеки, список студентов некоторой группы и т. д. Но и сам класс оказывается в числе своих элементов, потому что список списков есть также список. Аналогично и каталог каталогов есть каталог.

Однако подобных классов очень немного. Обычно же классы не содержат себя в качестве собственного элемента. Возьмем, например, множество «человек».

Его составляют конкретные люди: Петров, Сидоров, Аристотель. Любой человек, молодой или в возрасте, мужчина или женщина, студент или профессор — каждый из них является элементом множества «человек».

Само же это множество элементом собственного класса стать не может, ибо нет человека вообще, человека как такового. Это не более чем абстракция, понятие, которое отвлечено от всех конкретных признаков и существует только в идеальном виде как мысленная конструкция.

А теперь образуем класс из всех вот таких классов, которые не включают себя в качестве своего элемента: «человек», «дерево», «планета» и т. п. Образовали. Попытаемся также определить, будет ли он, этот новый класс, входить элементом в свое же множество или не будет? Здесь и возникал парадокс. Если мы включим его в свой класс, то его надо выключить, потому что сюда, по условию, входят только те множества, которые не являются собственными элементами. Но если выключим, тогда надо включить, поскольку он будет удовлетворять условию: он же в этом случае не является элементом своего множества.

Таков смысл парадокса, названного именем Б. Рассела. Имеется его популярное изложение — «парадокс парикмахера». Он приписывается также Б. Расселу.

В некой деревне, где жил единственный парикмахермужчина, был издан указ: «Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами». Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем, если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.

Но логический парадокс, выявленный Б. Расселом, был свидетельством противоречий в содержании математической теории. Согласно одной из теорем Г. Кантора не существует самого мощного множества, то есть множества, обладающего наибольшим кардинальным (количественным) числом. Не существует потому, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать еще более мощное.

Это с одной стороны. А с другой, интуитивно очевидно, что множество всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно представляет совокупность всех множеств, какие только могут существовать, вообще включает все мыслимые множества.

Выступление Б. Рассела имело широкий резонанс.

Конечно, парадоксы были отмечены и до него. О математическом парадоксе знал, в частности, и Г. Кантор.

Знал, но надеялся устранить. Однако Б. Рассел обнажил самую суть противоречий, показав, что здесь не обойтись «текущим ремонтом» и нужны фундаментальные перемены. Парадоксы посыпались как из рога изобилия. Вспомнили и о тех, что были выявлены еще древними (в частности, «парадокс лжеца»), изобретали новые: "никогда не говори «никогда», «каждое правило имеет исключение», «всякое обобщение неверно». Это популярные. Шли поиски и с серьезными намерениями.

В логике, лингвистике, математике — повсюду находили не замечаемые ранее противоречия

Всколыхнув математику, парадоксы оказали плодотворное влияние на ее развитие. Возникло новое обоснование этой древней науки. Оно опиралось "же не на логические, а на интуитивные начала и породило новое направление в математике — конструктивную ветвь.

Она принесла свежие нетрадиционные методы построения математических объектов и соответственно — нетрадиционные пути развития математической теории.

Одновременно получили импульс и классические разделы: был уточнен язык, введены более строгие понятия, шлифовались доказательства. Как писал Б. Рассел, благодаря выявлению и преодолению парадоксов, математика стала более логической. Впрочем, обогатилась и логика, которая стала более математическом.

Таким образом, прослеживая историю vu, латики, мы можем вслед за известным американский ученым Ф. Дэйвисом, сказать, что во все времена, в любой точке своей эволюции стоило математике оказаться в кризисном положении, как ее спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая авторитет непогрешимой науки. Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо самые трепетные из них «могут расцвести прекрасными теориями».

«А РАЗВЕ ЧТО-НИБУДЬ ЕЩЕ ОСТАЛОСЬ ОТКРЫВАТЬ?»

Мы отметили наиболее сильные потрясения, постигшие математику. Но ее история хранит немало других, хотя и не столь острых, однако глубоких сдвигов, повлиявших на судьбы науки.

И так везде, в любой отрасли знания. С одной стороны, парадоксы, конечно, неприятны, ибо вносят разлад в умы. нагнетают обстановку. А с другой, без парадоксов что за жизнь? Все тихо, нет ни тревог, ни волнений.

Но нет и продвижения вперед. Фактически бесиарадоксальная наука — смерть науки. К счастью для нее, порой лишь кажется, что мы близки к разрешению всех противоречий и что вог-вот наступит время безоблачного существования, не омрачаемого заботами, как бы справиться с очередным парадоксом.

В конце XIX века, например, кое-кто из физиков был чуть ли не готов сдать свою науку в архив, настолько представлялось в ней все гладко и покойно. Об умонастроении среди ученых хорошо говорит следующий факт, сообщаемый выдающимся немецким физиком М. Планком.

В 1879 году после защиты в Мюнхене диссертации М. Планк пришел к своему учителю Ф. фон Жоллн поделиться планами на будущее и сказал, что намерен заняться теоретической физикой. Ответ ошеломил его.

«Молодой человек, — услышал оч, — зачем вы хотите испортить себе жизнь, ведь теоретическая физика уже в основном закончена… остается рассмотреть отдельные частные случаи. Стоит ли браться за такое бесперспективное дело?»

И уж вовсе забавно. Когда в конце прошлого века известному немецкому исследователю Г Кирхгофу рассказали об одном открытии в физике, он удивленно спросил: «А разве что-нибудь еще осталось открывать?»

27 апреля 1900 года с речью по поводу начала нового столетия выступил один из авторитетных английских физиков того времени. В. Томсон. За большие научные заслуги он, как и Э. Резерфорд, получил от своего правительства титул лорда Кельвина. Это имя происходит от названия речки в родном селении ученого.

Так он и вошел в историю науки под двумя фамилиями, что, кстати, послужило однажды источником забавного недоразумения. Один физик того времени как-то с возмущением пожаловался коллегам, что открытия, принадлежащие В. Томсону, стал присваивать себе..! некий Кельвин.

Так вот, в упомянутой речи В. Томсон говорил, что физика приближается к завершению и скоро предстанет воплощенная в стройную, законченную научную дисциплину. Верно, продолжал докладчик, на ее чистом своде есть небольшие помехи. «Красота и ясность динамической теории тускнеют из-за двух туч». Но это, мол, не должно особенно удручать.

Первое, что смущало исследователей, пришло вместе с волновой теорией света. Она ставила вопрос: как может Земля перемещаться в таком упругом теле, каким является светоносный эфир? Второе же облачко было связано с проблемой распределения энергии.

Оказалось, что из таких вот «пятнышек», которые надеялись легко устранить, родились два великих парадокса. Их преодоление потребовало немало сил и завершилось построением великих теорий. Из первого парадокса-"облачка" выросла теория относительности (о ней мы уже говорили), а из второго — квантовая механика, о которой речь впереди.

В общем-то история преподнесла хороший урок. Казалось бы, после случившегося едва ли кто рискнет так откровенно предсказывать грядущую «бесперспективную» науку и преодоление всех противоречий. Тем не менее подобные мысли приходили ученым и позже.

В 1931 году, например, выдающийся итальянский естествоиспытатель Э. Ферми утверждал, правда, полусерьезно, что физика идет к концу в том смысле, что скоро в ней все б"дет ясно, совсем как в географии. А будущее пророчил генетике.

Интересно, что Э. Ферми в конце жизни (он умер в 1954 году) собирался написать книгу о трудных вопросах науки. Но трудными-то он и считал наиболее ясные места, именно те, о которых обычно говорят: «как хорошо известно», «как легко показать» и т. п. Э. Ферми начал даже подбирать темы, лишь кажущиеся простыми, а на самом деле сложные и запутанные. Этим, надо полагать, ученый окончательно похоронил надежды на то, что когда-либо физика исчерпает все свои проблемы.

Действительно, наступления такого спокойного, не обремененного поисками ответов состояния ожидать не приходится. Оно не удовлетворило бы прежде всего ни саму науку, ни ее ученых. Если позволено будет провести аналогии, мы обратились бы к одному жизненному наблюдению. Поэт Е. Винокуров пишет, как он был молод и беспечен и как, осознавая свои недостатки, боролся с собой, сопротивлялся и, «напрягаясь от судорог, жил». Наконец, он, казалось бы, преодолел несовершенства, исправился и обрел покой. Но вот теперь поэт вдруг ощутил, что от него что-то безвозвратно ушло.

Стихотворение заканчивается характерным признанием:

Но если парадоксы оказывают столь решительное влияние на рост науки, то это должно стать основой методологических советов.

В свое время еще Гегель настойчиво призывал оставить излишнее «нежничанье» («Zartlichkeit») с вещами.

И тогда, справедливо считал он, наше видение мира станет более острым, необычным, а анализ беспощадным.

К парадоксам следует воспитывать в себе особые симпатии. Ведь в них обнажаются «горячие точки» науки, пункты ее наиболее вероятных продвижений вперед. Фактически исследователю предлагается не просто быть внимательнее к противоречиям, не проходить мимо и т. п. Этого недостаточно. Следует выискивать и обнажать их.

Характерно, что один из любимых девизов К. Маркса, которым он руководствовался в нучных исследованиях, было изречение: «Вот Родос, здесь прыгай!»

(«Hie Rhodus, hie salta»). Его происхождение интересно. Некий любитель прихвастнуть рассказывал о своих необыкновенных прыжках на острове Родос. Притом он уверял, будто имеются свидетели этих его подвигов.

Тогда кто-то из слушателей, прервав поток красноречия, заявил: «Вот Родос, здесь прыгай». То есть зачем свидетели? Покажи нам свое искусство здесь, сейчас.

Смысл изречения в том, что оно призывает ученого не бояться вступить в область, полную противоречий, идти навстречу трудностям.

Есть еще одна сторона вопроса. Всякая научная теория представляет завершение цикла усилий, которые она венчает. Вместе с тем стоящая теория обязана наметить и вехи дальнейшему развитию науки, поставить новые проблемы. Это предполагает критическое отношение ученого к тому, что им создано. То есть он должен не только скрывать слабые места, а, напротив, обнажать их, поскольку ему они известны лучше, чем кому-либо.

Другое дело, что не каждый на этот шаг пойдет. Но таких ученых мы знаем.

В конце XIX века выдающийся русский естествоиспытатель И. Мечников создает знаменитую теорию фагоцитоза, за разработку которой ему была присуждена в 1908 году Нобелевская премия. Речь идет о способности клеток животных организмов захватывать плотные частицы и затем, если они органического происхождения, перерабатывать, переваривать их. «Фагос» и означает в греческом «пожирающий», а «цитос» — «вместилище», здесь — «клетка». Отсюда и термин «фагоцитоз», введенный также, кстати сказать, И. Мечниковым.

Теория была новой, необычной и по ряду пунктов еще недостаточно законченной. Ученый искал подтверждений своей идее, уяснял возможности ее применения в соседних разделах биологии и медицины. Искал и уязвимые места, чтобы совершенствовать. Так он писал:

«Стараясь… представить общую картину явлений невосприимчивости при заразных болезнях, я желал вызвать критику и возражения, чтобы выяснить судьбу фагоцитарной теории в приложении к вопросу о невосприимчивости».

И. Мечников специально выступал в тех научных собраниях, где могли быть его противники. С этой целью он представил, например, доклад на Парижский международный конгресс врачей в 1900 году, подчеркнув, что сознательно старался вооружить несогласных сведениями, чтобы они имели возможность поспорить с ним.

Исследователи ставят в пример современного австралийского биолога Ф. Барнета, который обычно завершает свои статьи перечислением пунктов, где развиваемая им точка зрения более всего нуждается в уточнении.

В самом деле, настоящий ученый обеспокоен развитием науки в целом, а не только судьбой собственной теории. Любая теория лишь эпизод на пути великого движения человеческой мысли к истине. Истоки этого движения — неудовлетворенность достигнутым, желание новых успехов. Поэтому если в начальных стадиях развития идеи охотятся за фактами, ее подтверждающими, то позднее более важными могут стать факты, которые ей не подчиняются, ибо в них — ростки новых идей.

Известный немецкий изобретатель XIX века Р. Дизель, которому человечество обязано высокоэкономичными двигателями внутреннего сгорания, не случайно заметил однажды: когда опыт кончается неудачей, начинается открытие.

Так же и Н. Семенов, крупный советский химик, главным в опыте почитает не то, что несет подтверждение теории, а то, что противоречит ей. Руководствуясь именно этим правилом, он и получил замечательный результат — разветвленные цепные реакции в химических процессах, — а затем и Нобелевскую премию. В одном из экспериментов со свечением фосфора все оказалось не так, как показывали законы. Ученый не побоялся пойти им наперекор. Многие приняли его сообщение с недоверием. Видный немецкий специалист М. Боденштейн, например, посчитал выводы Н. Семенова ошибкой эксперимента. Сомнения выразил и авторитетный советский ученый Л. Иоффе — «папа Иоффе», как его ласково называли наши физики. Однако Н. Семенов оказался прав, и ею цепные реакции вошли в золотой фонд науки.

Характерно, что степень «рассогласованности» между данными опыта и признанной теорией является обычно показателем глубины назревающих событий.

Как в шутку заметил выдающийся французский ученый Ф. Жолио-Кюри, чем дальше эксперимент от теории, тем он ближе к Нобелевской премии. Поэтому все заслуживающие внимания неясные пункты, все странности и несоответсчвия принятым или только нарождающимся положениям науки надо обнажать, доводить до сознания эпохи. Кто знает, не зарыты ли здесь новые парадоксы и, стало быть, возможности новых продвижений в глубь материи.

Одним словом, нужны идеи. Значит, нужны люди, способные эти идеи изобрести, «возглавить» и бросить в гущу парадоксальных ситуаций. Но это все непросто, потому что обнаружить необычное, а еще более — объяснить его способны исследователи особого склада, мыслители, готовые к выдвижению и отстаиванию алогичных, «сумасшедших» теорий. Потому парадоксы и дружны с умами оригинальными, глубокими. Очень ярко сказал об этом великий А. Пушкин: