Начнем с нескольких арифметических и логических задачек. Одни из них новые, а другие могут оказаться знакомыми читателю.
      1. Сколько денег? Предположим, что у вас и у меня имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег я должен вам дать, чтобы у вас стало на 10 долларов больше, чем у меня? (Решения всех задач приведены в конце каждой главы.)
      2 Задача о конгрессменах. В некоем конгрессе заседают сто политических деятелей. Каждый из них либо продажен либо честен. Нам известны следующие два факта:
      1) По крайней мере один из конгрессменов является честным
      2) Из каждой произвольно выбранной пары конгрессменов по крайней мере один продажен.
      Можно ли с помощью этих двух утверждении определить, сколько конгрессменов в этом конгрессе будут честными, а сколько — продажными?
      3. Старое вино в не слишком новые мехи. Бутылка вина стоит 10 долларов. Вино на 9 долларов дороже бутылки. Сколько стоит пустая бутылка?
      4. Какова прибыль? Самое удивительное в этой задаче, что разные люди решают ее различными путями, каждый получает свой ответ и каждый с пеной у рта готов доказывать, что именно его ответ правильный.
      Торговец купил некий товар за 7 долларов, продал его за 8, потом вновь купил за 9 долларов и опять продал его за 10. Какую прибыль он получил?
      5. Задача о десяти любимцах. Самым поучительным в этой задаче является то, что, хотя она легко решается посредством элементарных алгебраических выкладок, ее можно решить вообще без всякой математики — лишь с помощью рассуждений. Более того, решение, подсказанное здравым смыслом, по-моему, гораздо интереснее и уж, конечно, более творческое, а также содержит больше информации, чем сугубо математическое решение.
      Итак, десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, каждой кошке — пять. Сколько было собак и сколько кошек?
      Любой читатель, хотя бы немного знакомый с алгеброй, легко найдет ответ. Можно решить эту задачу и методом проб и ошибок. Ясно, что для числа кошек в задаче есть 11 возможностей (от 0 до 10).
      Перебрав все, легко найти правильный ответ. Однако если подойти к этой задаче толково, то оказывается, что есть еще одно удивительно простое решение, для которого не нужно ни алгебры, ни перебора вариантов. Поэтому я советую тем из вас, кто получит ответ ПО-СВОЕМУ, заглянуть в решение, приведенное в конце главы.
      6. Большие и маленькие птицы. Вот еще одна задача, которая решатся как алгебраически, так и с помощью рассуждений; я и тут предпочитаю здравый смысл. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашедшая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких, Если бы она вместо этого купила 3 больших птицы и 2 маленьких, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?
      7. Как плохо быть рассеянным. Следующая история произошла на самом деле.
      Как хорошо известно, с вероятностью более 50 % можно утверждать, что в группе, состоящей как минимум из 23 человек, всегда найдется по крайней мере двое, у которых день рождения падает на одно и то же число. В свое время я преподавал математику в Принстонском университете и как-то занимался со студентами элементарной теорией вероятностей. Я объяснил своим слушателям, что если число людей в группе увеличить с 23 до 30, то вероятность того, что в ней окажутся по крайней мере двое, которые родились в один и тот же день, окажется близка к единице.
      — Но, — продолжал я — поскольку вас здесь всего 19, то вероятность того, что у двоих из вас дни рождения совпадают, будет гораздо меньше 50 %.
      Тут один из студентов поднял руку:
      — Бьюсь об заклад, профессор, что по крайней мере у двоих из присутствующих здесь дни рождения должны совпасть.
      — С моей стороны было бы не очень честно принимать ваше пари, — ответил я. — Ведь теория вероятностей целиком на моей стороне.
      — Это не имеет значения, — упорствовал студент. — Я все-таки готов с вами поспорить!
      — Ну, ладно, — согласился я, надеясь преподать юному скептику достойный урок. Затем я стал по очереди опрашивать студентов, с тем, чтобы каждый назвал дату своего рождения. Не успели мы выслушать и половину присутствующих, как вдруг вся аудитория, в том числе и я, покатились со смеху по поводу моей бестолковости.
      Юноша, который так самоуверенно вступил со мной в спор, не знал даты рождения никого из присутствующих, за исключением, конечно, самого себя. Не догадаетесь ли вы, почему он был так уверен в своей правоте?
      8. Республиканцы и демократы. В одной фирме каждый служащий является либо республиканцем, либо демократом. Как-то раз один из демократов решил перейти в республиканцы, и после того, как это произошло, в фирме оказалось ровно столько же республиканцев, сколько и демократов. Спустя несколько недель новоиспеченный республиканец решил вновь стать демократом, так что все вернулось в исходное состояние.
      Потом еще один республиканец также решил перейти в демократы — при этом демократов сразу стало вдвое больше, чем республиканцев. Сколько служащих в фирме?
      9. Еще один вариант задачи о «разноцветных шляпах».
      Три человека — А, В и С — обладают абсолютными логическими способностями. Любой из них может из произвольного набора предпосылок мгновенно вывести все возможные следствия. Кроме того, каждый из них знает, что двое других мыслят абсолютно логично.
      Этой троице показали 7 марок: 2 красных, 2 желтых и 3 зеленых. Затем всем троим завязали глаза и каждому наклеили на лоб по марке, а оставшиеся 4 марки спрятали в коробку. Когда у них сняли с глаз повязки, у А спросили:
      «Можете ли вы назвать хотя бы один цвет, которого на вас определенно нет?» На что А ответил: «Нет». Когда тот же самый вопрос задали В, он также ответил: «Нет».
      Можно ли с помощью имеющейся информации установить, какого цвета марки у А, В и С?
      10. Задача для тех, кто умеет играть в шахматы. Мне хотелось бы обратить ваше внимание на интересный класс головоломок с шахматами, которые в отличие от обычных шахматных задач типа «белые начинают и дают мат в столько-то ходов» заставляют нас обращаться к предыстории позиции, то есть исследовать, как она возникла на доске.
      Однажды инспектор Крейг из Скотланд-Ярда[!Инспектор Крейг—герой моей предыдущей книги логических головоломок «Как же называется эта книга?» (М.: Мир, 1981).!], который интересовался такими задачами не меньше, чем Шерлок Холмс[!Многие задачи этого типа представлены в моей книге "Тhе Сhess Муsteries оf Shеrlоск Ноlmеs" («Шахматные тайны Шерлока Холмса»).!], вместе с другом заглянул в шахматный клуб, где их внимание привлекла оставленная кем-то шахматная доска с фигурами.
      — Те, кто разыгрывал эту партию, — заметил приятель Крейга, — судя по всему, совершенно не знакомы с правилами игры. Подобная позиция просто невозможна!
      — Почему? — поинтересовался Крейг.
      — Потому что черные находятся под шахом одно временно от белой ладьи и от белого слона. Как могли белые объявить такой шах? Если бы они просто сделали ход ладьей, черный король уже находился бы под шахом от слона, а если бы они сходили слоном, то король еще перед этим должен был быть под шахом от ладьи. Поэтому такая позиция абсолютно нереальна!
      Некоторое время Крейг внимательно изучал расположение фигур.
      — Я думаю, — произнес он наконец, — это не так. Конечно, позиция весьма экстравагантна, но все же она вполне согласуется с правилами шахматной игры.
      Тут Крейг оказался абсолютно прав! Данная позиция, хотя и выглядит на первый взгляд совершенно абсурдной, на самом деле вполне возможна, и мы можем даже указать последний ход белых. Что это был за ход?

      1. Распространенный неправильный ответ —10 долларов. Допустим теперь, что у каждого из нас, скажем, по 50 долларов. Если я дам вам 10 долларов, то у вас окажется 60 долларов, а у меня только 40. Следовательно, у вас будет на 20 долларов больше, чем у меня, а вовсе не на 10.
      Итак, правильный ответ: 5 долларов.
      2. Довольно распространенный ответ — 50 честных и 50 продажных. Другой сравнительно часто встречающийся ответ — 51 честный и 49 продажных. Оба этих ответа неправильны! Рассмотрим, какое же решение будет правильным.
      Нам дано, что по меньшей мере один из конгрессменов должен быть честным. Возьмем любого честного конгрессмена, пусть его зовут Фрэнком. Выберем теперь любого из оставшихся 99 и назовем его Джоном. Согласно второму из условий задачи, по крайней мере один конгрессмен из пары Фрэнк — Джон является продажным. Так как Фрэнк не может быть продажным, то, следовательно, таковым должен быть Джон. Поскольку Джон условно представляет любого из оставшихся 99 конгрессменов, то, значит, каждый из этих 99 должен быть продажным. Таким образом, правильный ответ — 1 честный и 99 продажных.
      Другой способ доказать это таков. В утверждении, что из любых двух конгрессменов хоть один продажен, сказано в точности то, что и в утверждении, что любые два конгрессмена не могут одновременно быть честными, иными словами, что сразу двух честных конгрессменов тут не найти. Значит, в этом конгрессе самое большее один конгрессмен честен. Но, согласно первому условию, уж один-то честный конгрессмен есть. Стало быть, ровно один честен. А на ваш взгляд, какое из двух доказательств лучшее?
      3. Обычный неправильный ответ — 1 доллар. Так вот, если бы бутылка в самом деле стоила один доллар, тогда ее содержимое, будучи на 9 долларов дороже, стоило бы 10 долларов. Значит, вино вместе с бутылкой стоило бы 11 долларов.
      Правильный ответ — бутылка стоит полдоллара, а вино — 9 /2 доллара. Общая их стоимость составляет 10.
      4. Некоторые рассуждают так: купив некую вещь за 7 долларов и продав ее за 8, человек получает 1 доллар прибыли. Далее, вновь купив эту вещь за 9 долларов, после того как он уже продал ее за 8 долларов, покупатель теряет 1 доллар. Стало быть, к этому моменту он ничего не потерял и не приобрел. Но тогда (продолжая рассуждение аналогичным образом), продав за 10 долларов вещь, которую он перед этим купил за долларов, торговец вновь зарабатывает доллар. Следовательно, общая его прибыль составит 1 доллар.
      Другой ход рассуждений приводит нас к выводу, что торговец ничего не выгадает и не потеряет. В самом деле, если он продал данную вещь за 8 долларов, купив ее перед этим за 7 долларов, то значит, человек сумел заработать 1 доллар. Но тогда он теряет 2 доллара, вновь покупая за 9 долларов ту вещь, за которую он первоначально заплатил 7 долларов, так что к этому моменту у него образуется дефицит в 1 доллар. В конце концов он получит свой доллар обратно, продав за 10 долларов вещь, которую перед этим купил за 9 долларов. Тем самым он остается, так сказать, при своих.
      Оба рассуждения неверны. Правильный ответ — торговец заработает 2 доллара. Имеется несколько способов получения этого ответа. Один из них следующий. Во-первых, очевидно, что, продав за 8 долларов вещь, которую перед этим купил за 7 долларов, торговец заработал 1 доллар. Предположим теперь, что вместо того, чтобы вновь покупать ту же самую вещь за 9 долларов и потом продавать ее за 10 долларов, торговец покупает другую вещь за 9 долларов и пролает ее за 10 долларов. В самом деле, будет ли такая сделка хоть как-нибудь отличаться от предыдущей с чисто экономической точки зрения? Конечно же, нет! Поэтому очевидно, что, купив и опять продав эту другую вещь, торговец заработает еще 1 доллар. Следовательно, общая его прибыль составит 2 доллара.
      Еще одно крайне простое доказательство таково: общая сумма расходов нашего торговца составляет 7 + 9 = 16 долларов, а его полный доход равен 8 + 10 = 18 долларам, что и составляет 2 доллара прибыли.
      Для тех читателей, которых не убедили приведенные рассуждения, предположим, что у нашего торговца с утра имеется в бумажнике определенная сумма денег, скажем 100 долларов, и что в течение дня он совершит только 4 описанные сделки. Сколько денег окажется у него к концу дня? Пусть, например, он сначала заплатит за свою покупку 7 долларов; тогда у него в кармане останется 93 доллара. Когда же он продаст свое приобретение за 8 долларов, у него будет уже 101 доллар. Далее он вновь покупает эту же вещь за 9 долларов, то есть снова тратит 9 долларов на покупку, в результате чего у него остается 92 доллара. Наконец, продает злополучную вещь за 10 долларов, и, следовательно, у него оказывается 102 доллара. Итак, начал день с сотней долларов, а к вечеру имел 102 доллара. Так сколько же он приобрел за день? Ну, конечно же, 2 доллара!
      5. Решение, которое я имею в виду, таково. Сперва скормим каждому из десяти животных по 5 галет. У нас останется 6 галет. Но теперь все кошки получили причитающуюся им долю! Значит, 6 оставшихся галет предназначаются собакам. А поскольку каждому псу должно достаться еще по одной галете, то, следовательно, собак — 6, а кошек — 4.
      Конечно, это решение легко проверить. В самом деле, если 6 собак слопают по шесть галет, на это пойдет 36 галет. Четыре кошки, каждая из которых довольствуется 5 галетами, съедят 20 галет. В сумме это составит 56 галет, как и должно быть.
      6. Поскольку цена одной большой птицы равна цене двух маленьких, то 5 больших птиц будут стоить столько же, сколько 10 маленьких. Значит, 5 больших птиц плюс 3 маленьких будут стоить столько же, сколько 13 маленьких. С другой стороны, цена 3 больших и 5 маленьких птиц равняется цене 11 маленьких птиц. Таким образом, разница между ценой 5 больших и 3 маленьких птиц оказывается равной разнице между ценой 13 и 11 маленьких птиц, то есть равна цене 2 маленьких птиц. Поскольку 2 маленькие птицы стоят 20 долларов, то цена одной маленькой птицы равняется 10 долларам.
      Проверим наше решение. Маленькая птица стоит 10 долларов, большая — 20 долларов. Следовательно, счет на оплату 5 больших и 3 маленьких птиц составит 130 долларов. Если бы леди купила 3 больших и 5 маленьких птиц, она потратила бы 110 долларов, то есть действительно на 20 долларов меньше.
      7. В тот момент, когда я заключил пари с этим студентом, у меня абсолютно вылетело из головы, что двое других моих студентов, всегда сидевших в аудитории рядышком, — близнецы.
      8. В фирме было 12 служащих: 7 демократов и 5 республиканцев.
      9. Единственным человеком, который может определить цвет своей марки, является С. Если бы марка С была красной, тогда В сразу сообразил бы, что его марка не может быть красной, рассуждая так: «Если бы моя марка тоже оказалась красной, тогда А, увидев перед собой две красные марки, сразу понял бы, что его марка не красная. Но А не знает, что его марка не красная. Следовательно, моя также не может быть красной». Это рассуждение доказывает, что если бы марка С была красной, то В знал бы, что его марка — не красная. Но В не знает, что его марка не красная, и, следовательно. марка С не может быть красной. То же самое рассуждение, в котором слово «красная» мы заменим на «желтая» показывает, что марка С не может быть также и желтой. Таким образом, на лбу у С марка зеленого цвета.
      10. В условии задачи не оговорено, какая сторона доски соответствует белым фигурам, а какая — черным. Читателю может показаться, что белые ходят снизу вверх, но тогда эта позиция действительно не могла бы возникнуть! На самом же деле белые фигуры перемещаются сверху вниз и перед последним ходом позиция на доске была такой, как показано на рисунке.
      Жирная черная точка в левом нижнем углу доски означает произвольную фигуру черных (из условия не узнаешь, какую — ферзя, ладью, слона или коня).
      Далее белая пешка бьет черную фигуру и превращается в ладью, после чего на доске возникает приведенная в условии задачи позиция.
      Конечно, читатель вполне мог бы задаться вопросом «А почему белая пешка превращается в ладью, а не в ферзя — не слишком ли это маловероятно?» Ответ заключается в том, что этот ход действительно маловероятен, но ведь любой другой ход в этом случае просто невозможен, а как однажды Шерлок Холмс проницательно заметил доктору Ватсону: «Когда мы отбрасываем невозможное—то, что остается, каким бы маловероятным оно нам ни представлялось, обязательно должно оказаться правдой».

      У Фрэнка Стоктона есть сказка, которая называется «Принцесса или тигр?» В этой сказке один узник должен угадать, в какой из двух комнат находится принцесса, а в какой — тигр. Если он укажет на первую комнату, то женится на принцессе, если на вторую, то его (вполне возможно) растерзает тигр.
      В некотором царстве правил король. Однажды он тоже прочитал эту сказку.
      — В самый раз для моих заключенных! — сказал он своему министру. — Только я не хочу полагаться на случайности. Пусть на дверях каждой комнаты повесят по табличке, а заключенному будет кое-что сказано о них. Если узник не дурак и способен рассуждать логически, он сумеет сохранить себе жизнь и в придачу заполучить прелестную невесту.
      — Блестящая идея, ваше величество! — согласился министр.

Испытания первого дня

      В самый первый день были проведены три испытания. При этом король объявил узнику, что в ходе всех трех испытаний в каждой из комнат будет находиться либо принцесса, либо тигр, хотя вполне может статься, что сразу в обеих комнатах обнаружится по тигру или там окажутся одни лишь принцессы.
 
      1. Первое испытание.
      — А что, если в обеих комнатах сидят тигры? — спросил узник. — Что же мне тогда-то делать?
      — Считай, не повезло, — ответил король.
      — А если в обеих комнатах окажется по красавице? — поинтересовался узник.
      — Считай, подфартило, — сказал король. — Уж это ты и сам бы мог сообразить!
      — Ну, хорошо, а если в одной комнате принцесса, а в другую посадили тигра, что тогда? — не успокаивался узник.
      — Вот тут-то уже все зависит от тебя! Не так ли?
      — Да откуда же мне знать, где кто? — сокрушенно вздохнул узник.
      Тут король указал на таблички, прикрепленные к дверям каждой из комнат. На них было написано:

      I В этой комнате находится принцесса, а в другой комнате сидит тигр

      II В одной из этих комнат находится принцесса; кроме того, в одной из этих комнат сидит тигр

      — На одной — правда, — отвечал король, — на другой — нет.
      А вы на месте узника, какую бы дверь открыли? (Конечно, если вы предпочитаете принцессу тигру.)
 
      2. Второе испытание.
      Итак, первый узник спас себе жизнь и на радостях отбыл вместе с принцессой.
      Таблички на дверях сменили, соответственно были подобраны и обитатели комнат. На этот раз на табличках можно было прочитать следующее:

      I По крайней мере в одной из этих комнат находится принцесса

      II Тигр сидит в другой комнате

      — Истинны ли утверждения на табличках? — спросил второй узник.
      — Может, оба истинны, а может, оба ложны, — ответил ему король.
      Какую из комнат следует выбрать второму узнику?
 
      3. Третье испытание.
      Во время этого испытания король объявил, что опять утверждения на обеих табличках одновременно либо истинны, либо ложны. Надписи же были вот какие:

      I Либо в этой комнате сидит тигр, либо принцесса находится в другой комнате

      II Принцесса в другой комнате

      Кто же обнаружится в первой комнате — принцесса или тигр? А во второй?

День второй

      — Вчера мы сваляли дурака, — сказал король своему министру. — Все трое выкрутились! Ладно, сегодня у нас еще пятеро, и я придумаю для них кое-что похлеще.
      — Блестящая идея, ваше величество! — поддержал министр.
      И во всех испытаниях этого дня относительно левой комнаты (комната I) король говорил вот что:
      — Если в этой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, если же тигр, ложно.
      В правой же комнате (комната II) все было наоборот: утверждение на табличке ложно, если в комнате находится принцесса, и истинно, если в комнате сидит тигр. Ну и опять же, вполне может статься, что в обеих комнатах находятся принцессы или в них сидит по тигру, либо, наконец, в одной комнате пребывает принцесса, а в другой — тигр.