История Великой теоремы Ферма — это история поиска недостающего доказательства. Математическое доказательство гораздо мощнее и строже, чем представление о доказательстве, которым мы пользуемся в нашем повседневном языке, и даже чем то представление о доказательстве, которого придерживаются физики или химики. Понимание различия между естественнонаучным и математическим доказательствами имеет решающее значение для осознания того, чем занимается каждый математик со времен Пифагора.
      Классическое математическое доказательство начинается с серии аксиом — утверждений, которые можно предположить истинными или истинность которых самоочевидна. Затем с помощью логических рассуждений, шаг за шагом, можно прийти к заключению. Если аксиомы истинны, а логика безупречна, то заключение безупречно. Этим заключением и является теорема.
      Математические теоремы опираются на такой логический процесс и, доказанные однажды, они остаются истинными до скончания веков. Математические доказательства абсолютны. Чтобы по достоинству оценить значительность абсолютных доказательств, их следует сравнить с их «бедным родственником» — естественнонаучным доказательством, принятым, например, в физике.
      В физике гипотеза выдвигается для объяснения какого-нибудь физического явления. Если наблюдения за явлением хорошо согласуются с гипотезой, то это свидетельствует в ее пользу, или, как принято говорить, подкрепляет выдвинутую гипотезу. Кроме того, гипотеза должна не только описывать известные процессы, но и предсказывать исход других процессов.
      Для проверки предсказательной силы гипотезы могут проводиться эксперименты, и если они оказываются успешными, то это еще сильнее подкрепляет гипотезу. В конце концов, количество данных, свидетельствующих в пользу гипотезы, может оказаться достаточно большим, и гипотезу принимают в качестве физической теории.
      Однако физическая теория никогда не может быть доказана на уровне, столь же абсолютном, как тот, на котором принято доказывать математические теоремы: на основе имеющихся данных физическую теорию можно считать обоснованной лишь с большей или меньшей вероятностью. Так называемое физическое, или, более общо, естественнонаучное доказательство, основано на наблюдениях и данных, доставляемых нашими органами чувств. И те, и другие обманчивы и дают лишь приближение к истине. Как заметил Бертран Рассел: «Хотя это может показаться парадоксом, все точные науки пронизаны идеей приближения».
      Даже наиболее широко признанные естественнонаучные «доказательства» неизменно содержат в себе небольшой элемент сомнения. Иногда сомнение становится меньше; но оно никогда не исчезает полностью. Иногда выясняется, что предложенное доказательство неверно. Слабость физического доказательства приводит к научным революциям, во время которых на смену одной теории, считавшейся «верной» приходит другая теория, которая может быть всего лишь уточнением прежней теории, а может полностью противоречить ей.
      Например, в поиске фундаментальных частиц материи каждое поколение физиков «перепахивало» или, по крайней мере, уточняло и усовершенствовало теорию своих предшественников. Современный этап поиска мельчайших «кирпичиков», из которых построена Вселенная, начался в первые годы XIX века, когда в результате серии экспериментов Джон Дальтон пришел к гипотезе о том, что все в мире состоит из отдельных атомов и что эти атомы — мельчайшие частицы материи.
      В конце XIX века Дж. Дж. Томсон открыл электрон — первую известную субатомную частицу, и атом перестал быть мельчайшей частицей материи.
      В начале XX века физики построили «полную» теорию атома: вокруг ядра, состоящего из протонов и нейронов, обращаются электроны. Протоны, нейроны и электроны были горделиво провозглашены физиками полным набором ингредиентов, из которых состоит Вселенная. Затем анализ космических лучей обнаружил существование других элементарных частиц — пионов и мюонов. Еще больший переворот в физике произошел в 1932 году, когда было открыто антивещество — существование антипротонов, антинейтронов, антиэлектронов и т. д. К тому времени физики, занимавшиеся изучением элементарных частиц, не могли с уверенностью сказать, сколько существует различных частиц, но по крайней мере утверждали, что обнаруженные частицы действительно элементарны, т. е. неделимы. Так продолжалось до 60-х годов, когда появилось понятие кварка. Протон, так же, как нейтрон, пион и мюон, оказался состоящим из кварков, несущих электрический заряд, равный дробной части заряда электрона. Мораль всей этой истории в том, что физики непрестанно меняют свою картину мира, а иногда даже стирают ее совсем и начинают рисовать с самого начала. В следующем десятилетии самое представление о частице как о точечном объекте может претерпеть замену на представление о частицах как о струнах — тех самых струнах, которые, возможно, послужат наилучшему объяснению гравитации. Согласно теории струн, трубки длиной в одну миллиардную миллиардной миллиардной миллиардной метра (такие маленькие, что они кажутся точками) могут совершать различные колебания, и каждое такое колебание порождает определенную частицу. Такое представление аналогично открытию Пифагора, обнаружившего, что одна струна лиры может порождать различные ноты в зависимости от того, как она колеблется.
      Писатель-фантаст и футуролог Артур Кларк писал, что если какой-нибудь знаменитый профессор утверждает, будто нечто несомненно истинно, то весьма вероятно, что на следующий день это нечто окажется ложным. Физическое доказательство ненадежно и шатко. В то же время математическое доказательство абсолютно и лишено и тени сомненья. Пифагор умер в полной уверенности, что его теорема, бывшая истиной в 500 году до н. э., останется истинной навсегда.
      Физика живет, словно подчиняясь решению суда. Теория считается верной, если имеется достаточное количество данных, «неопровержимо» подтверждающих ее предсказания. Иное дело — математика. Она не полагается на данные, полученные в результате могущих оказаться ошибочными экспериментов, а строит свои заключения на основе «железной», т. е. не знающей ошибок, логики. Примером различия между физическим и математическим подходом может служить задача о шахматной доске с выпиленными угловыми полями (рис. 3).

Рис. 3

      Перед нами шахматная доска, от которой два противоположных угловых поля отпилили так, что осталось только 62 поля. Возьмем 31 кость домино таких размеров, что каждая кость накрывает ровно два шахматных поля. Вопрос: можно ли разложить 31 кость домино на шахматной доске так, что все 62 поля окажутся покрытыми домино? К решению задачи существуют два подхода.
 
       1) Физический подход
      Физик пытается решить задачу экспериментально и, перепробовав с дюжину различных вариантов размещения домино на шахматной доске обнаруживает, что все они заканчиваются неудачей.
      В конце концов физик приходит к убеждению, что в его распоряжении достаточно данных, позволяющих утверждать, что покрыть шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями невозможно. Однако физик не может быть до конца уверен в том, что это действительно так, потому что может найтись некоторое расположение домино на шахматной доске, которое не было им экспериментально обнаружено, но именно оно и дает решение задачи. Различных же вариантов расположения домино существует не один миллион, и экспериментально проверить всегда можно лишь малую их толику. Что же касается заключения задачи, то это — теория, основанная на эксперименте, и физику не остается ничего другого, как жить под угрозой, что в один «прекрасный» день эта теория может оказаться отвергнутой.
 
       2) Математический подход
      Математик стремится решить задачу, выстраивая цепочку логических аргументов, приводящую к заключению, вне всяких сомнений правильному и остающемуся безупречным навсегда. Одна из таких цепочек логических аргументов выглядит следующим образом.
      - Оба угловых поля, выпиленные из доски, — белые. Следовательно на доске остались 32 черных поля и только 30 белых поля.
      - Каждое домино покрывает два смежных поля, а смежные поля всегда отличаются по цвету, т. е. одно поле черное, а другое — белое.
      - Следовательно, независимо от расположения домино на шахматной доске, первые 30 костей, выложенных на доску, должны покрыть 30 белых и 30 черных полей.
      - Это означает, что при любом раскладе всегда останется одна домино и два непокрытых черных поля.
      - Но любая кость домино покрывает на шахматной доске два смежных поля, а смежные поля всегда отличаются по цвету. Два оставшихся непокрытыми поля одного цвета, и поэтому накрыть их одной костью домино невозможно. Следовательно, покрыть эту доску 31 костью домино невозможно!
      Приведенное выше доказательство показывает, что шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями невозможно покрыть домино при любом расположении костей. Аналогичным образом, Пифагор создал доказательство, из которого следует, что любой прямоугольный треугольник удовлетворяет его теореме. Для Пифагора понятие математического доказательства было священным, и именно математическое доказательство позволило пифагорейскому братству открыть так много. Большинство современных доказательств невероятно сложны, и разобраться в них неспециалисту просто не по силам. В случае теоремы Пифагора ход рассуждений, к счастью, достаточно прост и опирается только на математику, которую изучают в средней школе. Доказательство теоремы Пифагора изложено в Приложении 1.
      Доказательство Пифагора неопровержимо. Оно показывает, что теорема Пифагора выполняется для любого прямоугольного треугольника во Вселенной. Открытие это так потрясло Пифагора, что он в благодарность принес в жертву богам сто быков. Оно стало вехой в развитии математики и одним из самых важных прорывов в истории цивилизации. Значение этого открытия было двояким.
      Во-первых, оно позволило сформулировать представление о том, что такое доказательство. Доказанный математический результат обладает более глубокой истинностью, чем любая другая истина, поскольку получен шаг за шагом с помощью логических рассуждений. Хотя философ Фалес Милетский еще до работ Пифагора использовал несколько простых геометрических доказательств, Пифагор развил идею математического доказательства гораздо дальше и сумел доказать более хитроумные математические утверждения.
      Во-вторых, теорема Пифагора устанавливает связь между абстрактным математическим методом и чем-то осязаемым. Пифагор показал, что математическая истина приложима к физическому миру и служит его логическим основанием. Математика дает физике строгое начало, а затем, к этому незыблемому основанию физики добавляются наблюдения и измерения, отягощенные ошибками.

      Пифагорейцы своим страстным поиском истины с помощью доказательства вдохнули в математику живительную силу. Вести о достигнутых ими успехах распространились по всему Древнему Миру, хотя подробности своих открытий пифагорейцы хранили в строгой тайне. От желающих проникнуть в святилище знания не было отбоя, но только самые блестящие умы могли рассчитывать на прием в братство. Один из тех, кому ответили отказом, был кандидат по имени Силон. Он затаил обиду на унизительный отказ и спустя двадцать лет взял реванш.
      Во время шестьдесят седьмой Олимпиады (510 год до н. э.) в соседнем городе Сибарисе произошло восстание. Телис, победоносный лидер восстания, начал варварскую кампанию преследования сторонников прежнего правительства, которая заставила многих из них искать убежища в Кротоне. Телис потребовал, чтобы предателей вернули в Сибарис, чтобы те понесли наказание, но по призыву Мило и Пифагора жители Кротона выступили против тирана в защиту беглецов. Телис пришел в ярость и, быстро собрав армию численностью в 300000 воинов, пошел маршем на Кротон, оборону которого возглавил Мило, собравший под своим началом 100000 вооруженных жителей города. На семидесятый день войны защитники Кротона под предводительством Мило одержали победу. В качестве возмездия Мило приказал повернуть воды реки Кратис так, чтобы они затопили Сибарис и разрушили город.
      Война окончилась, но Кротон бурлил: жители спорили о том, как по справедливости разделить военные трофеи. Опасаясь, что земли достанутся пифагорейской элите, рядовые жители Кротона начали ворчать. Недовольство все более возрастало, так как пифагорейское братство продолжало удерживать в тайне свои открытия, но никаких действий жители Кротона не предпринимали до тех пор, пока в дело не вмешался Силон. Сыграв на страхах, умопомешательстве и зависти толпы, Силон возглавил ее и повел, чтобы разрушить самую блестящую математическую школу, которую когда-либо знал мир. Дом Мило и соседняя школа были окружены. Все двери были закрыты и забаррикадированы, чтобы те, кто находились внутри, не могли спастись, а затем оба здания были подожжены. Мило сумел вырваться из ада и убежать, а Пифагор вместе со своими многочисленными учениками был убит.
      Математика потеряла своего первого героя, но пифагорейский дух не был сокрушен. Числа и математические истины бессмертны. Пифагор показал, что математика в большей степени, чем какая-нибудь другая научная дисциплина, лишена субъективности. Его ученикам и последователям не был нужен учитель, чтобы решить, верна ли та или иная теория. Истинность математической теории не зависит от чьего бы то ни было мнения. Арбитром вместо мнения стала логичность математической конструкции. Величайшим вкладом Пифагора в цивилизацию стал способ достижения истины, не подвластный ошибочности человеческого суждения. После нападения Силона и смерти своего отца-основателя, пифагорейцы покинули Кротон и разбрелись по другим городам Древней Греции.
      Но преследования продолжались, и в конце концов многие пифагорейцы были вынуждены поселиться на чужбине. Вынужденная эмиграция способствовала тому, что пифагорейцы распространили свое математическое учение по всему Древнему Миру. Ученики и последователи Пифагора основали новые школы и обучили своих учеников методу логического доказательства. Помимо известного им доказательства теоремы Пифагора они поведали миру секрет нахождения так называемых пифагоровых троек.
      Пифагоровы тройки представляют собой комбинации из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора x 2+ y 2= z 2. Например, соотношение Пифагора выполняется при x=3, y=4 и z=5:
       З 2+ 4 2= 5 2, 9 + 16 = 25
      Другой способ получения пифагоровых троек — перестройка квадратов. Если взять квадрат 3?3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4?4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить по-новому, так, чтобы они образовывали квадрат 5?5, состоящий из 25 плиток (рис. 4).

+

=

З 2+ 4 2= 5 2

 9 + 16 = 25

Рис. 4

      Пифагорейцы мечтали найти и другие пифагорейские тройки, другие квадраты, из которых можно было бы сложить третий квадрат больших размеров. Еще одна пифагорова тройка: x=5, y=12 и z=13:
       5 2+ 12 2= 13 2, 15 + 144 = 169.
      Приведем пифагорову тройку из больших чисел: x=99, y=4900 и z=4901. По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

      О теореме Пифагора и бесконечном числе пифагоровых троек шла речь в книге Э.Т. Белла «Великая проблема» — той самой библиотечной книге, которая привлекла внимание Эндрю Уайлса. И хотя пифагорейцы достигли почти полного понимания пифагорейских троек, Уайлс скоро обнаружил, что у невинного на первый взгляд уравнения x 2+ y 2= z 2имеется и темная сторона — в книге Белла давалось описание математического чудовища.
      В уравнение Пифагора входят три числа x, yи z, все три числа входят в квадрате (например, x 2= x· x):

x 2+ y 2= z 2

      Но в той же книге Белла приводилось и уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но отличающееся от него тем, что все числа входят в кубе (например, x 3= x· x· x). Так называемая степень переменной xв этом уравнении равна не 2, а 3:

x 3+ y 3= z 3

      Найти целочисленные решения уравнения Пифагора, т. е. пифагоровы тройки, было сравнительно легко, но стоит лишь степени измениться с 2 на 3 (т. е. заменить квадраты кубами), как решение уравнения, столь похожего на уравнения Пифагора, в целых числах, по-видимому, становится невозможным. Поколения математиков исписывали страницу за страницей в своих блокнотах в тщетной надежде найти решение уравнения в целых числах.
      При решении исходного «квадратного» уравнения плитки, из которых состояли два квадрата, требовалось расположить так, чтобы они образовывали третий квадрат более крупных размеров. В случае решения «кубического» уравнения из кубиков, образующих два куба, требуется составить третий куб более крупных размеров. Ясно, что независимо от того, какие два куба выбраны в качестве исходного, из образующих их кубиков можно сложить либо третий куб, причем несколько кубиков останутся «лишними», либо неполный (недостроенный) куб. Ближайшим к идеальному кубу будет такая кладка, в которой один кубик останется лишним или окажется недостающим. Например, если мы начнем с кубов 63 и 83 то, рассыпав их на кубики, сможем сложим из них кладку, в которой всего лишь одного кубика не хватит до полного куба 93 (рис. 5).

+

=

6 3+ 8 3= 9 3- 1

216 + 512 = 729 - 1

Рис. 5

      Найти три целых числа, которые в точности удовлетворяют кубическому уравнению, по-видимому, невозможно. Иначе говоря, по-видимому, у уравнения

x 3+ y 3= z 3

      не существует целочисленных решений. Более того, если степень повысить с 3 (куба) до любого большего целого числа (т. е. до 4, 5, 6…), то найти целочисленное решение такого уравнения, по-видимому, также невозможно. Иначе говоря, у более общего уравнения

x n+ y n= z n,

      где nбольше 2, решения в целых числах не существует. Всего лишь изменив 2 в уравнении Пифагора на любое целое число б?льшее 2, мы вместо сравнительно легко решаемого уравнения получаем задачу умопомрачительной сложности. Великий математик XVII века француз Пьер де Ферма сделал удивительное заключение: он утверждал, что знает, почему никому не удавалось найти решение общего уравнения в целых числах. По его словам, причина заключалась в том, что такого решения не существует.
      Ферма был одним из наиболее блестящих и загадочных математиков в истории. Как и всякий другой, он не мог проверить бесконечно много чисел, но был абсолютно уверен в том, что не существует тройки целых чисел, которая удовлетворяла бы общему уравнению, так как его уверенность опиралась на доказательство. Подобно Пифагору, которому вовсе не требовалось проверить все мыслимые треугольники, чтобы убедиться в правильности своей теоремы, у Ферма не было необходимости перепробовать все мыслимые тройки целых чисел, чтобы убедиться в справедливости его теоремы.
      Прочитав всю книгу Э.Т. Белла от корки до корки, Уайлс узнал, как Ферма был восхищен теоремой Пифагора и ее доказательством, и как сам постепенно увлекся изучением «испорченного» уравнения Пифагора. Прочитав о том, как Ферма провозгласил, что даже если математики всего мира потратят целую вечность, чтобы найти решение уравнения, носящего ныне его имя, в целых числах, то и тогда им не удастся найти ни одного решения. Уайлс в нетерпении перевернул несколько страниц, предвкушая удовольствие от разбора доказательства Великой теоремы Ферма, но тщетно: доказательства не было. Не было его не только в книге Э.Т. Белла, но и нигде. В конце книги говорилось, что найденное Ферма доказательство давно утеряно. Никаких указаний, намеков или догадок относительно того, как можно было бы восстановить доказательство или построить его заново не было. Уайлс был заинтригован, разъярен и озадачен. По крайней мере, он находился в хорошей компании.
      Более 300 лет многие из крупнейших математиков пытались вновь открыть утерянное доказательство Ферма, но тщетно. С неудачей очередного поколения следующее поколение испытывало все большее разочарование и решимость. В 1742 году, почти через сто лет после смерти Ферма, швейцарский математик Леонард Эйлер обратился к своему другу Клеро с просьбой поискать в доме Ферма, не осталось ли где-нибудь клочка бумаги с жизненно важным фрагментом доказательства. Но никому никогда не удалось найти ни малейшего намека относительно того, каким могло быть доказательство Ферма. В гл. 2 мы узнаем более подробно о загадочной фигуре Пьера де Ферма, и о том, как было утеряно доказательство. А пока мы ограничимся лишь тем, что скажем: Великая теорема Ферма, проблема, над решением которой математики ломали головы на протяжении столетий, захватила воображение юного Эндрю Уайлса.
      Десятилетний мальчик в библиотеке на Милтон-роуд не мог оторвать взгляда от самой знаменитой проблемы математики. Обычно при решении математической задачи понять уравнение означает половину дела. Но формулировка теоремы Ферма очень проста: требуется доказать, что уравнение x n+ y n= z nне имеет решения в целых числах при nбольше 2. Эндрю не смущало, что самые блестящие умы на Земле потерпели фиаско, пытаясь заново открыть доказательство Ферма. Уайлс немедленно принялся за работу, пытаясь с помощью всей премудрости, которую он только мог извлечь из учебников математики, восстановить утраченное доказательство. А что если ему удастся сделать то, что не удалось никому, кроме Ферма? Обнаружить то, что все проглядели? Уайлс мечтал потрясти мир.
      И через тридцать лет Эндрю Уайлсу действительно удалось осуществить задуманное. В аудитории Института сэра Исаака Ньютона он, покрыв всю доску вычислениями и с трудом сдерживая торжество, обернулся лицом к аудитории. Его лекция достигла кульминации, и аудитория сознавала, что наступил великий момент. Один или двое из присутствовавших тайком пронесли на лекцию фотоаппараты, и заключительные замечания Уайлса сопровождались вспышками яркого света.
      Держа мел в руке, Уайлс в последний раз повернулся к доске. Последние несколько строк, и доказательство завершено. Впервые за триста лет вызов, брошенный Ферма, получил достойный ответ. Еще несколько камер под блеск вспышек запечатлели исторический момент. Уайлс написал формулировку Великой теоремы Ферма, повернулся к аудитории и сказал: «Думаю, мне следует на этом остановиться».
      23 июня 1993 года Уайлс выступил с лекцией в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже. На снимке вы видите Уайлса через мгновенье после того, как он объявил о найденном им доказательстве Великой теоремы Ферма
 
      Двести математиков вскочили в едином порыве и зааплодировали. Аплодировали все, даже те, кто встретил весть о полученном результате кривой ухмылкой недоверия. Так три десятилетия спустя Уайлс поверил в то, что ему удалось осуществить свою мечту, и после семи лет работы в полной изоляции решился обнародовать итоги своих тайных вычислений. Но пока радость переполняла собравшихся в Институте Ньютона, трагедия уже была готова разразиться. И Уайлс, радуясь вместе со всеми, кто собрался в аудитории, еще не знал о тех злоключениях, которые не замедлили вскоре последовать.