О существе математических доказательств

Дж. Коэн[100]

Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чём говорим и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. Следовательно, и остальные учёные в большинстве своём не знают, о чём говорят и истина ли то, что они говорят.

Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надёжной основы для проникновения в суть вещей.

Аристотель относится к числу первых философов, занявшихся изучением математических доказательств. Он изобрёл силлогизм – приспособление, которое в силу своей абсолютной бесполезности привлекало внимание бесчисленного множества логиков и философов. Силлогизм состоит из первой посылки, второй посылки и заключения. Логики только и делают, что приходят к заключениям. Просто чудо, что они до сих пор не обошли всё кругом и не пришли туда, откуда вышли.

В первой посылке заключается истина, относящаяся к целому классу вещей, например: «Не все посылки верны». Во второй посылке утверждается, что интересующая нас вещь принадлежит к этому классу, например: «Последние четыре слова предыдущего предложения являются посылкой». Таким образом, мы приходим к заключению: «Не всегда верно, что не все посылки верны». Такова всеобъемлющая полнота, с которой логика обобщает явления повседневной жизни.

Опираясь на математические доказательства, учёные сумели соединить дотоле разрозненные области, термодинамику и технику связи, в новую дисциплину – теорию информации. «Информация», научным образом определённая, пропорциональна удивлению: чем удивительнее сообщение, тем больше информации оно содержит. Если, подняв телефонную трубку, человек услышит «алло», это его не очень удивит; значительно больше будет информация, если его вместо «алло» внезапно ударит током.

Колоссальные новые возможности открылись перед математическими доказательствами с развитием теории множеств в конце прошлого столетия и начале нынешнего. Автор сам недавно открыл одну теорему в теории множеств, которая заслуживает того, чтобы её здесь привести.

Теорема. Множество, единственным элементом которого является множество, может быть изоморфно множеству, единственным элементом которого является множество, все элементы которого образуют подгруппу элементов в множестве, которое является единственным элементом множества, с которым оно изоморфно.

Эту интуитивно очевидную теорему можно окольным путём вывести из теоремы об изоморфизме в теории групп.

Рассмотрим теперь логические системы. От простого набора теорем логическая система отличается так же, как готовое здание от груды кирпичей: в логической системе каждая последующая теорема опирается на предыдущую. Пойа отмечал, что заслуга Евклида состояла не в коллекционировании геометрических фактов, а в их логическом упорядочении. Если бы он просто свалил их в кучу, то прославился бы не больше, чем автор любого учебника по математике для средней школы.

Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведём пример развёрнутой логической системы.

Лемма 1. Все лошади имеют одинаковую масть (докажем по индукции).

Доказательство. Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Обозначим через P (k) предположение, что k лошадей имеют одинаковую масть, и покажем, что из такого предположения вытекает, что k + 1 лошадей имеют ту же масть. Возьмём множество, состоящее из k + 1 лошадей, и удалим из него одну лошадь, тогда оставшиеся k лошадей по предположению имеют одинаковую масть. Вернём удалённую лошадь в множество, а вместо неё удалим другую. Получится снова табун из k лошадей. Согласно предположению, все они одной масти. Так мы переберём все k + 1 множеств, в каждом по k лошадей. Отсюда следует, что все лошади одной масти, т. е. предположение, что P (k) влечёт за собой P (k + 1). Но ранее мы уже показали, что предположение Р (1) выполняется всегда, значит, Р справедливо для любого k и все лошади имеют одинаковую масть.

Следствие I. Все предметы имеют одинаковую окраску.

Доказательство. В доказательстве леммы 1 никак не используется конкретная природа рассматриваемых объектов. Поэтому в утверждений «если Х — лошадь, то все Х имеют одинаковую окраску» можно заменить «лошадь» на «нечто» и тем самым доказать следствие. (Можно, кстати, заменить «нечто» на «ничто» без нарушения справедливости утверждения, но этого мы доказывать не будем.)

Следствие II. Все предметы белого цвета.

Доказательство. Если утверждение справедливо для всех X, то при подстановке любого конкретного Х оно сохраняет свою справедливость. В частности, если Х — слон, то все слоны одинакового цвета. Аксиоматически достоверным является существование белых слонов (см. Марк Твен, Похищение белого слона). Следовательно, все слоны белого цвета. Тогда из следствия I вытекает следствие II, что и требовалось доказать!

Теорема. Александр Великий не существовал.

Доказательство. Заметим для начала, что историки, очевидно, всегда говорят правду (поскольку они всегда ручаются за свои слова и поэтому, следовательно, не могут лгать). Отсюда исторически достоверным является утверждение: «Если Александр Великий существовал, то он ездил на вороном коне, которого звали Буцефал». Но, согласно следствию II, все предметы белые, и Александр не мог ездить на вороном коне. Поэтому для справедливости высказанного выше условного исторического утверждения необходимо, чтобы условие нарушалось. Следовательно, Александр Великий в действительности не существовал.

Из этого краткого обзора, посвящённого математическим доказательствам, не следует делать вывод, что всё уже доказано. Приведём два примера недоказанных теорем. Первый – это знаменитая гипотеза Голдбрика из теории чисел, которая утверждает, что каждое простое число можно представить в виде суммы двух чётных чисел. Этого нехитрого утверждения никто до сих пор не опроверг, но, несмотря на многовековые усилия математиков, никто и не доказал. Второй пример известен, хотя бы в интуитивной форме, всему цивилизованному миру. Это знаменитый первый закон Чизхолма: «Всё, что может испортиться, – портится».[101]

Правило тринадцатого удара, которое следует помнить, читая работу, обещающую слишком много: если часы пробили тринадцать раз, то это не только означает, что тринадцатый удар был неверным. Он порождает сомнения в верности каждого из первых двенадцати ударов.

Одна знакомая просила Альберта Эйнштейна позвонить ей по телефону, но предупредила, что номер очень трудно запомнить: 24361.

– И чего же тут трудного? – удивился Эйнштейн. – Две дюжины и 19 в квадрате.

– Мы считали: 10, 9, 8, 7, … – и сбились со счёта.

Использование ракет в мирных целях.

В начале научной карьеры Эйнштейна один журналист спросил госпожу Эйнштейн, что она думает о своём муже.

– Мой муж гений! – сказала госпожа Эйнштейн. – Он умеет делать абсолютно всё, кроме денег.

«…одной из главных причин потока научной литературы является то, что, когда исследователь достигает стадии, на которой он перестаёт видеть за деревьями лес, он слишком охотно склоняется к разрешению этой трудности путём перехода к изучению отдельных листьев».

Новая классификация камней

М. Дж. Оппенгейм

Ниже приводится классификация камней, применимая ко всем разновидностям и рекомендуемая для всеобщего использования. Эта классификация, с одной стороны, совершенно чёткая и жёсткая, с другой стороны – весьма гибкая и удобная. Кроме того, она подлинно научна, ибо опирается только на наблюдаемые свойства объектов и рассматривает эти объекты в нескольких различных планах, демонстрируя серьёзный и разносторонний подход к проблеме.

A. Генетический план

A1.  Камень небесного происхождения. Наиболее яркий представитель – лунный камень.

A2.  Камень подземного происхождения. Типичный представитель – угольный камень (его называют также каменный уголь).

A3.  Камень земного происхождения – могильный камень.

B. Тектонический план

B1.  Перекатный камень – претерпевавший перемещения с момента образования.

B2.  Краеугольный камень – не претерпевавший перемещений с момента образования.

C. Физико-химический план

C1.  Философский камень – обращающий металлы, к которым он прикасается, в золото.

C2.  Нефилософский камень – не обращающий металлы в золото.

D. Кинематический план

D1.  Лежачий камень, под который вода не течёт.

D2.  Нележачий камень, под который вода течёт.

Е. Функциональный план (отражающий роль камня в человеческом обществе)

E1.  Камень на шее (разновидность: на сердце).

E2.  Камень в почках.

EЗ.  Камень за пазухой.

Указания для практического применения нашей классификации при описании минералов:

1. Классификационный тип камня может быть при желании дополнен указанием цвета камня и высоты музыкального тона, издаваемого им при профессиональном простукивании геологическим молотком.

2. При описании камня все признаки следует располагать в порядке, обратном по отношению к Порядку, в котором они были перечислены выше.

Пример:

Автор настоящего сообщения недавно обнаружил фа-диез серо-бурый за пазухой лежачий нефилософский краеугольный могильный камень.

– • • • —

Резерфорд демонстрировал слушателям распад радия. Экран то светился, то темнел.

– Теперь вы видите, – сказал Резерфорд, – что ничего не видно. А почему ничего не видно, вы сейчас увидите.

• • •

Эразм Дарвин считал, что время от времени следует производить самые дикие эксперименты. Из них почти никогда ничего не выходит, но если они удаются, то результат бывает потрясающим.

Дарвин играл на трубе перед своими тюльпанами. Никаких результатов.

• • •

Новое в системе водоснабжения.

К математической теории охоты

Г. Петард[102]

Простоты ради мы ограничимся рассмотрением только охоты на львов (Felis leo), живущих в пустыне Сахара. Перечисленные ниже методы с лёгкостью можно модифицировать и применять к другим плотоядным, обитающим в разных частях света.

§ 1. Математические методы

1. Метод инверсивной геометрии. Помещаем в заданную точку пустыни клетку, входим в неё и запираем изнутри. Производим инверсию пространства по отношению к клетке. Теперь лев внутри клетки, а мы – снаружи.

2. Метод проективной геометрии. Без ограничения общности мы можем рассматривать пустыню Сахара как плоскость. Проектируем плоскость на линию, а линию – в точку, находящуюся внутри клетки. Лев проектируется в ту же точку,

3. Метод Больцано – Вейерштрасса. Рассекаем пустыню линией, проходящей с севера на юг. Лев находится либо в восточной части пустыни, либо в западной. Предположим для определённости, что он находится в западной части. Рассекаем её линией, идущей с запада на восток. Лев находится либо в северной части, либо в южной. Предположим для определённости, что он находится в южной части, рассекаем её линией, идущей с севера на юг. Продолжаем этот процесс до бесконечности, воздвигая после каждого шага крепкую решётку вдоль разграничительной линии. Площадь последовательно получаемых областей стремится к нулю, так что лев в конце концов оказывается окружённым решёткой произвольно малого периметра.

4. Комбинированный метод. Заметим, что пустыня представляет собой сепарабельное пространство. Оно содержит всюду плотное множество точек, из которого мы выбираем последовательность точек, имеющих пределом местоположение льва. Затем по этим точкам, захватив с собой необходимое снаряжение, крадучись, подбираемся к льву.

5. Топологический метод. Заметим, что связность тела льва во всяком случае не меньше, чем связность тора. Переводим пустыню в четырехмерное пространство. Согласно работе [103], в этом пространстве можно непрерывным образом выполнить такую деформацию, что по возвращении в трехмерное пространство лев окажется завязанным в узел. В таком состоянии он беспомощен.

6. Метод Коши, или функционально-теоретический. Рассмотрим льва как аналитическую функцию координат f(x) и запишем интеграл

где C – контур, ограничивающий пустыню, а  – точка, в которой находится клетка. После вычисления интеграла получается f(), то есть лев в клетке.

§ 2. Методы теоретической физики

1. Метод Дирака. Отмечаем, что дикие львы в пустыне Сахара являются величинами ненаблюдаемыми. Следовательно, все наблюдаемые львы в пустыне Сахара – ручные. Поимку ручного льва предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

2. Метод Шрёдингера. В любом случае существует положительная, отличная от нуля вероятность, что лев сам окажется в клетке. Сидите и ждите.

3. Метод ядерной физики. Поместите ручного льва в клетку и примените к нему и дикому льву обменный оператор Майорана[104]. Или предположим, что мы хотели поймать льва, а поймали львицу. Поместим тогда последнюю в клетку и применим к ней обменный оператор Гейзенберга, который обменивает спины.

§ 3. Методы экспериментальной физики

1. Термодинамический метод. Через пустыню натянем полупроницаемую мембрану, которая пропускает через себя всё, кроме льва.

2. Метод активации. Облучим пустыню медленными нейтронами. Внутри льва будет наведена радиоактивность, и он начнёт распадаться. Если подождать достаточно долго, лев не сможет оказать никакого сопротивления.[105]

– • • • —

«Механитис – профессиональное заболевание тех, кто верит, что ответ математической задачи, которую он не может ни решить, ни даже сформулировать, легко будет найти, если получить доступ к достаточно дорогой вычислительной машине».

Б. Купман, Исследование операций, 4, 442 (1956).

Сага о новом гормоне

Норман Апплцвейг[106]

За последние месяцы мир узнал об открытии трех чудодейственных лекарств тремя ведущими фармацевтическими фирмами. При ближайшем рассмотрении выяснилось, что все три препарата – это один и тот же гормон. Если вам интересно узнать, как одно и то же химическое соединение получает несколько разных названий, давайте проследим за цепочкой событий, предшествующих созданию чудотворного средства.

Первым его обычно совершенно случайно открывает физиолог в погоне за двумя другими гормонами. Он даёт ему название, отражающее его функции в организме, и предсказывает, что новое соединение может оказаться полезным при лечении редкого заболевания крови. Переработав одну тонну свежих бычьих гланд, доставляемых прямо с бойни, он выделяет 10 граммов чистого гормона и отправляет их к специалисту по физхимии на анализ.

Физхимик обнаруживает, что 95% очищенного физиологом гормона составляют разного рода примеси, а остальные 5% содержат по крайней мере три разных соединения. Из одного такого соединения он успешно выделяет 10 миллиграммов чистого кристаллического гормона. На основе изучения его физических свойств он предсказывает возможную химическую структуру нового вещества и высказывает предположение, что его роль в организме, вероятнее всего, не совпадает с предсказаниями физиолога. Затем он даёт ему новое название и переправляет химику-органику для подтверждения своих предположений о структуре соединения;

Органик этих предположений не подтверждает и вместо этого обнаруживает, что новое соединение лишь одной метиловой группой отличается от вещества, недавно выделенного из дынной кожуры, которое, однако, биологически неактивно. Он даёт гормону строгое химическое название, совершенно точное, но слишком длинное и непригодное поэтому для широкого употребления. Краткости ради за новым веществом сохраняется название, придуманное физиологом. В конце концов органик синтезирует 10 граммов нового гормона, но сообщает физиологу, что не может отдать ни одного грамма, ибо все эти граммы ему абсолютно необходимы для получения производных и дальнейших структурных исследований. Вместо этого он дарит ему 10 граммов того соединения, которое выделено из дынной кожуры.

Тут включившийся в поиски биохимик внезапно объявляет, что он обнаружил этот же гормон в моче супоросых свиноматок. На том основании, что гормон легко расщепляется кристаллическим ферментом, недавно выделенным из слюнных желез южноамериканского земляного червя, биохимик настойчиво утверждает, что новое соединение есть не что иное, как разновидность витамина BIG, недостаток которого вызывает сдвиги в кислотном цикле у аннелидов. И меняет название.

Физиолог пишет биохимику письмо с просьбой прислать южноамериканского червя.

Пищевик находит, что новое соединение действует в точности так же, как «фактор ПФФ», недавно экстрагированный из куриного навоза, и поэтому советует добавлять его в белый хлеб с целью повышения жизнеспособности грядущих поколений. Чтобы подчеркнуть это чрезвычайно важное качество, пищевик придумывает новое название.

Физиолог просит у пищевика кусочек «фактора ПФФ». Вместо этого он получает фунт сырья, из которого «фактор ПФФ» можно изготовить.

Фармаколог решает проверить, как действует новое соединение на серых крыс. Со смятением он убеждается, что после первой же инъекции крысы полностью лысеют. Поскольку с кастрированными крысами этого не происходит, он приходит к заключению, что новый препарат синергичен половому гормону тестостерону и антагонистичен поэтому гонадотропному фактору в гипофизе. Отсюда он делает вывод, что новое средство может служить отличными каплями для закапывания в нос. Он изобретает новое название и посылает 12 бутылок капель вместе с пипеткой в клинику.