Но в то же время он чувствовал себя обязанным задать этический вопрос о деятельности самого государства - поступок, который никогда бы не имел места и не мог случиться с такими, как Евтифрон, и это сразу приводит нас к вековой дилемме разделенной лояльности, которая, как мы отмечали ранее, является одной из величайших тем в греческой трагедии. То, что это ни в коем случае не вопрос, который "умер и похоронен", ясно из того факта, что проблема закона и справедливости всегда остается на повестке дня. Какова взаимосвязь между ними? Что нам следует делать, когда нас призывают слушаться закона, который мы находим несправедливым? Этот вопрос становится актуальнее, чем когда-либо, когда слепое повиновение нашим политическим вождям грозит ввергнуть мир во всеобщее и невосполнимое разрушение.
      Различие между Евтифроном и Сократом заключается, в конце концов, в том, что первый думает о законе как о чем-то постоянном, в то время как точка зрения Сократа подразумевает, что закон не неизменен. Хотя Сократ не говорит об этом прямо, он выступает здесь как эмпирик в социальной теории. Сократ стремится выяснить, является ли определенная практика добром или злом, независимо от того, кто руководил ею. То, что это подвергает его злой воле и обвинениям со стороны государства, он, конечно, должен был знать. Кажется, что в жизни это не такая уж необычная судьба теоретических мыслителей, которые наносят удары по основам ортодоксальности. Не имеет значения, что они могут действовать из бескорыстного побуждения исправить неприятности, причиненные другим; враждебность, проявленная по отношению к ним, будет той же.
      Отношение Сократа к законам Афин описано в "Критии". Диалог показывает его не желающим спасаться бегством и тем самым избежать смертного приговора. Даже если законы будут несправедливы, им следует повиноваться, чтобы закон не приобрел дурную репутацию. Однако Сократ не заметил, что это может произойти именно из-за несправедливости.
      Его противоречивое отношение к вопросам, касающимся власти, привело к тому, что Сократ отверг легкое решение - убежать. Отказываясь от компромисса, он развязал руки обвинению и стал мучеником свободной мысли. Его последние часы описаны в "Федоне", произведении, которое входит в число шедевров западной литературы. Обсуждение в диалоге сосредоточено на попытке доказать, что душа бессмертна. Нам не требуется здесь рассматривать подробно доказательства. Они не очень убедительны, хотя поднимают интересные вопросы о душе и теле. В конце диалога обсуждение достигает момента, когда никто не готов выдвигать дальнейшие возражения. Нельзя обойти замечание присутствующих пифагорейцев, что могут появиться новые трудности. Но кажется, что зловещий характер события и чувство благоговения заставили друзей Сократа воздержаться от крайних сомнений в его выводах. Возможно, философски самая важная часть в диалоге - это описание метода гипотезы и дедукции, которые являются основой любого научного доказательства.
      Сократ объясняет вопрос, когда у компании появляется определенное чувство уныния из-за непреодолимых трудностей в доказательстве. Он предостерегает своих друзей от мизологии (ненависть к спорам), недоверия, отказа от доказательства в целом и немного позднее продолжает обрисовывать контуры своего метода.
      Метод гипотезы: А, В, С - видимости, которые следует соблюсти. Н - не может соблюсти С; Х - разрушает Н. Н2 - соблюдает видимость.
      Мы должны начать с предположения или гипотезы. Эти два слова означают одно и то же - положение, лежащее в основе чего-либо. Дело в том, что мы должны заложить фундамент, на основе которого будет строиться доказательство. Из гипотезы мы выводим заключения, которые следуют из нее, и смотрим, согласуются ли они с фактами. Это первоначально и означало выражение "соблюдать видимость". Гипотеза, следствия из которой соответствуют фактам, соблюдает видимость, то есть, признает вещи вокруг нас такими, какими мы их видим. Эта идея, без сомнения, связана с астрономией более поздних пифагорейцев и, особенно, с представлением о странствующих звездах или планетах. Их движение беспорядочно; представление, которое не подходит к определенным метафизическим требованиям простоты. Отсюда потребность в простой гипотезе, которая будет соблюдать видимость.
      Если факты не согласуются со следствиями из гипотезы, последнюю следует отвергнуть и мы должны попробовать какую-либо другую гипотезу. Важно отметить, что гипотезы сами по себе остаются недоказанными. Мы не хотим этим сказать, что отправная точка выбирается совершенно произвольно, но признаем, что дискуссии следует начинать с чего-либо допускаемого всеми участниками, если не из убеждения, то из отсутствия доказательств. Доказательство гипотезы - это совершенно другое дело. Здесь мы должны начинать с наивысшей отправной точки, с которой обсуждаемая гипотеза, по сути, может быть показана как следствие. Такова задача диалектики, как ее представляет Сократ. Мы должны отвергнуть особые гипотезы частных наук в смысле избавления от них как частичных. В конце концов, цель диалектики достичь высшей исходной точки, формы Добра (Блага). Это, конечно, может разрушить в нашем уме известную долю тщетных предположений. И все же это случай, когда теоретическая наука движется в направлении большей общности и унификации областей знания, что может показаться на первый взгляд совершенно неприемлемым. Что более занимало тогда умы, особенно философов, увлекавшихся математикой,- это унификация арифметики и геометрии, проблема, которая была с блеском решена Декартом спустя примерно две тысячи лет.
      Мы уже видели, что Сократ был не первым, кто использовал доказательство от гипотезы. Элеаты уже применяли эту процедуру для своей полемики с теми, кто считал, что вещи множественны. Но они в целом преследовали разрушительные цели. Новое здесь - это идея соблюдения видимости. Другими словами, проблема заключается в том, чтобы дать позитивное объяснение, вскрыть логику фактов, как они нам представляются. Давая объяснения, мы описываем факты в терминах гипотетического знания. Стоит заметить, что в таком подходе есть скрытый этический смысл: объясненный факт как-то лучше, чем необъясненный. Мы можем напомнить, что Сократ считал, что не стоит жить без знания жизни. В конечном счете все это связано с пифагорейской этикой, что исследование, как таковое, есть благо. Более того, тенденция к все большей и большей унификации знания вплоть до того, что все окончательно подпадает под форму Добра, указывает в какой-то степени на позитивное содержание элеатизма. Форма Добра и Единственное у элеатов имеют нечто общее; их теоретические работы до некоторой степени намекают на эти представления.
      Разрушение частных гипотез: Н - разрушает hi и h 2, объединяя то, что было раньше несопоставимым.
      Метод гипотезы и дедукции нигде не был описан лучше, чем в "Федоне". Довольно странно, что Сократ, кажется, не смог разглядеть любопытную несовместимость между этой теорией и его теорией знания и мнения. Поскольку ясно, что теория выведения следствий из гипотезы требует, чтобы видимости, которые должны быть соблюдены, были также безошибочны. В противном случае нельзя было бы сравнить их со следствиями из гипотезы. С другой стороны, видимость постигается чувствами, а они считаются формирующими мнение, которое подвержено ошибкам. Следовательно, если мы подойдем к теории гипотез и дедукции серьезно, то мы должны отказаться от теории знания и мнения. Косвенным образом это подрывает теорию идей, поскольку она построена на различении знания и мнения. Именно это сделал эмпиризм.
      Вопрос, которого мы еще не касались совсем, - это вопрос, как гипотеза выдвигается. На это мы не можем дать общего ответа. Не существует рецепта, который бы обеспечил успех исследований. Возможно, благодаря своей интуиции, Сократ даже не поднимает этот вопрос. Не существует такой вещи, как логика изобретения. "Федон", очевидно, исторический документ в том же смысле, как и "Апология". Подобно последней, он показывает Сократа продолжающим сохранять присущее ему отношение к жизни до самого конца. Он внимателен к другим, горд, но не самоуверен, смел и собран. Чрезмерное проявление эмоций он находит недостойным и упрекает своих друзей, которые едва не потеряли самообладание от напряжения в последние минуты перед тем, как ему принесли яд. С большим безразличием и отчужденностью он выпивает яд и ложится ожидать смерти. Его последняя просьба к другу Криту - отдать петуха Асклепию, как будто смерть, освобождение души от тела, была чем-то вроде лечения.
      Мы уже обсуждали критику Сократовой теории идей Парменидом в одноименном диалоге. В "Теэтете", который был написан примерно в то же время, что и "Парменид", мы определенно видим отход от теории Сократа, а собственные взгляды Платона становятся более определенными. Мы можем напомнить, что, по Сократу, знание - это одна из нетипичных форм, в то время как ощущения формируют просто мнение. Этот взгляд верно подчеркивает определенное различие между математическим знанием и чувственным опытом, но, как общая теория знания, она никогда не была хороша. Действительно, Парменид показывает, что она и не могла быть таковой. В "Теэтете" делается новая попытка разрешить эту проблему.
      Сократ все еще выступает центральной фигурой в диалоге. Поскольку здесь дана критика теории знания, выраженная в "Государстве" не слишком ясно, то не кажется неестественным, что ее следует обсуждать самому Сократу. Однако точка зрения Сократа уже не преобладает. В последующих диалогах, где Платон наконец вполне самостоятелен, он использует прием введения Постороннего, чтобы выдвигать свои теории, и Сократ как бы умолкает.
      Теэтет, по имени которого назван диалог, был известным математиком, который проявил себя как в арифметике, так и в геометрии. Он изобрел общий метод вычисления квадратных иррациональных чисел и довершил теорию о правильных геометрических телах. В диалоге мы видим его подающим надежды молодым человеком, незадолго перед судом над Сократом. Эта работа посвящена памяти Теэтета, умершего от ран и болезней после битвы за Коринф в 369 г.
      а) Истина и ложь как суждения. Если Х и Y частично совпадают, то вывод, что некоторые "X - это Y", истина.
      б) Если они не совпадают, то утверждение, что некоторые "X - это Y", ложно.
      Вопрос, к которому ведет вступительное поддразнивание, - это "Что есть знание?". Теэтет сначала делает обычную для всех ошибку, приводя пример вместо определения, но быстро обнаруживает свою ошибку, и ему удается дать первое определение. Знание, говорит он, - это aesthesis. Это общее греческое слово для обозначения восприятия любого рода. Наше слово "анестезический" просто означает затемнение восприятия. В особенности нас здесь интересует чувственное восприятие. Взгляд, что знание - это чувственное восприятие, в действительности то же самое, что формула Протагора: "Человек - это мера всех вещей..." При чувственном восприятии вещи выступают такими, как они есть, так что мы не можем ошибаться. Из последующего обсуждения становится ясно, что предложенное определение знания не отвечает необходимым условиям. Начать с того, что было бы неправильным сказать, что что-то таково, как оно выступает, поскольку ничего в действительности нет; вещи всегда находятся в состоянии становления, как сказал Гераклит. Чувственное восприятие - это фактически взаимодействие между воспринимаемым и воспринимающим. Более того, Протагор допускал, что в вопросах, где нужно прийти к решению, взгляд одного человека не так хорош, как другого, знаток будет лучшим судьей, чем неспециалист. Кроме того, человек, не испорченный философским мышлением, вряд ли будет делать уступки формуле, поэтому, как показывает сам Протагор, следует принять, что для такого человека теория не истинна. Результат обсуждения таков: если мы пытаемся описать знание терминами Гераклитовой теории становления, мы обнаруживаем, что не можем сказать ничего. Прежде чем что-либо будет связано словом, оно переходит во что-либо еще. Следовательно, мы должны попытаться найти другой способ ответить на вопрос:
      "Что есть знание?"
      Давайте рассмотрим факт, что, в то время как каждое ощущение имеет соответствующий объект, все, что подразумевает связь между различными восприятиями, требует функционирования некоего общего чувства. Это - душа или ум, которые у Платона не различались между собой. Душа постигает такие общие предикаты, как тождество, различие, существование, число, а также общие предикаты этики и искусства. Отсюда невозможно определить знание просто как восприятие. Тогда давайте посмотрим, не можем ли мы найти определение с точки зрения души. Функция души - рассуждать сама с собой. Найдя решение вопроса, мы высказываем определенное суждение. Теперь мы должны выяснить, можем ли мы определять знание как истинное суждение. Анализируя, мы приходим к выводу, что по этой теории невозможно дать удовлетворительное объяснение ложного суждения или ошибки. Ошибки, очевидно, допускают все. Различие между истиной и ошибкой на этой стадии еще не разработано. Платон просто расчищает место для решения, его собственное объяснение проблемы еще полностью не сформировалось в то время.
      Если бы знание было чисто умственным, то как объяснить ошибку? Сравнение знания с клеткой для птиц неудачно: если когда мы ловим, мы знаем, то ошибка очевидна.
      Но ложное суждение - невозможно, если суждение является результатом деятельности одной только души. Мы можем представить ум как блокнот с пометками для памяти. Тогда ошибка может состоять в соединении ощущения с неправильным отпечатком. Но это объяснение терпит неудачу при обращении к ошибкам по арифметике, где нет почвы для ощущения чего-либо. Если мы представим ум в виде клетки для птиц, где птицами будут частицы знания, тогда нам может случайно попасться в сеть не та птица, и это будет ошибка. Но тогда совершить ошибку - это не то же самое, что произносить неуместную истину. Следовательно, мы должны предположить, что некоторые из птиц ошибки. Но, если мы поймаем одну из них, мы будем знать, что это ошибка, как только она будет поймана, в этом случае мы никогда бы не могли ошибаться. Кроме того, мы можем отметить такой момент, на который в доказательстве не обращено внимания: если вводится ошибка, тогда вся история становится кругом в объяснении ошибки.
      Опять же, человек может произносить верное суждение случайно или в других случаях, в силу желания сохранять точку зрения, которая фактически оказывается верной. Заключительное определение таково: знание - это истинное суждение, подтвержденное доказательством. При отсутствии доказательств нет знания. Мы можем представить буквы, которые можно назвать, но они не будут иметь смысла, а их соединения в слоги, которые, в свою очередь, могут быть проанализированы, являются, следовательно, объектами знания. Но если слог - это сумма составляющих его букв, то он так же непознаваем, как и они, а если он означает больше, чем сумму букв, то эта дополнительная черта делает его познаваемым, а утверждение становится пустым. Кроме того, что понимается здесь под доказательством? Ясно, что это - объяснение того, как эта вещь отличается от всех остальных. Это или дальнейшее суждение, или знание отличия. Первое заключает в себе обратное движение, второе - замкнутый круг в определении. Никакого решения нашей проблемы не дано, но пространство очищено от определенного неправильного понимания. Ни чувства, ни логическое рассуждение не могут сами по себе объяснить знание.
      Проблема знания и проблема ошибки, очевидно, две стороны одного вопроса. Поскольку ни одна из них не решена в данном обсуждении, следует начать сначала. На это мы теперь и обратим наше внимание.
      Мы подошли теперь к произведению, которое подразумевало продолжение на следующий день разговора, начатого в "Теэтете". Это "Софист" - диалог, который, как доказывает его стиль, создан значительно позднее, чем "Теэтет". Компания, собранная здесь, та же самая, но в дополнение к ней на сцене появляется некий элейский незнакомец. Именно этот незнакомец - в центре диалога, в то время как Сократ играет во время обсуждения совсем небольшую роль. Внешне "Софист" связан с проблемой определения. Обсуждается вопрос, что такое софист и как отличить его от философа. Скрытый антагонизм, заключенный в нем, направлен, кажется, главным образом против сократовской школы в Мегаре, которая развивала однобокий и пагубный способ элейского логического доказательства. Элейский незнакомец, в котором мы можем распознать голос самого Платона, выказывает более верное понимание вопросов и предлагает блестящее решение ошибки. Используя незнакомца как выразителя своего мнения, Платон дает нам понять, что сам он находится в рамках истинной традиции философского разумения, в то время как опытные торговцы парадоксами из Мегары сбились с пути.
      На самом деле проблема, рассматриваемая в "Софисте", - это учение Парменида о Небытии. У Парменида это был в основном вопрос, касающийся физического мира. У его последователей он распространился также на логику, и эту проблему мы будем здесь рассматривать. Прежде чем обратиться к этому центральному вопросу диалога, мы можем добавить несколько замечаний о методе деления, особенно потому, что эта процедура классификации использовалась в Академии. Работа Аристотеля о классификации животных относится к академическому периоду его деятельности. Метод обеспечивает нам подробные определения терминов, начиная с родового отличия, путем разделения его на два на каждой стадии и предложения набора взаимоисключающих отличий. В "Софисте" дан предварительный пример, чтобы объяснить процедуру. Понятие, которому нужно дать определение, - это ужение рыбы. Начать с того, что ужение - это умение, следовательно, умения составляют первое родовое отличие. Мы можем разделить их на умение производить и умение добывать, и ужение, очевидно, относится к последнему. Умение добывать делится на два случая: когда его объекты соглашаются быть добываемыми и когда они добываются без их согласия. И опять, ужение относится ко второму из них. Процесс добывания может быть разделен на открытый и скрытый способы, ужение - последнего вида. Добытые вещи могут быть неодушевленными или живыми; ужение связано с живыми. Животные могут жить на земле или в другой среде (жидкой или газообразной), и опять определяемый термин принадлежит ко второму случаю. Населяющие эту другую среду могут быть птицами или рыбами, рыба может быть поймана сетью или удочкой, вы можете делать это ночью или днем. Мы можем ударять добычу сверху или подсекать снизу, и ужение предполагает последний способ. Прослеживая наши рассуждения и собирая вместе все различия, мы определяем ужение как умение добывать скрытой ловлей животных, которые живут в воде, ловя их днем и подсекая снизу. Пример не следует воспринимать слишком серьезно, он выбран потому, что софиста также можно рассматривать как удильщика, он улавливает души людей. Далее следуют различные определения софиста, но мы не будем продолжать обсуждение этого вопроса.
      Определение путем разделения - основа классификаций. На каждой стадии родовой признак делится на два.
      Вместо этого мы теперь обратимся к обсуждению элейской проблемы. Трудность с Небытием возникает потому, что философы не поняли как следует, что означает Бытие, это отмечает с большой проницательностью незнакомец.
      Обращаясь вновь к "Теэтету", мы можем вспомнить, что знание, помимо всего прочего, по меньшей мере, требует взаимодействия и, следовательно, Движения. Но оно также требует Покоя, поскольку в противном случае было бы не о чем говорить. Вещи должны в какой-то мере оставаться неподвижными, если они являются объектами исследования. Это намек на то, как подойти к проблеме. Поскольку Движение и Покой, без сомнения, оба существуют, но являются противоположностями, они не могут быть соединены.
      Парменид сказал, что это существует и не существует, но Движение (К) как существует, так и не существует: оно существует, покой (2) существует, но движение не есть покой.
      Возможны три комбинации. Или все вещи остаются совершенно обособленными, в этом случае Движение и Покой - вне Бытия. Или все вещи могут сливаться, в этом случае Движение и Покой могли бы выступать вместе, что, понятно, абсурдно. Следовательно, остается допустить, что некоторые вещи могут, а другие - не могут соединяться. Решение наших трудностей лежит в признании, что Бытие и Небытие сами по себе бессмысленные выражения. Они приобретают смысл только в суждении. "Формы", или виды, такие, как Движение, Покой, Бытие, - это общие предикаты, уже упоминавшиеся в "Теэтете". Ясно, что они совершенно отличны от сократовских форм. Эта платоновская теория форм является отправной точкой того, что позднее развилось в теорию категорий.
      Функция диалектики - изучать, какие из этих форм, или "высших видов", соединяются, а какие нет. Движение и Покой, как мы уже видели, не соединяются друг с другом, но каждое из них соединяется с Бытием, каждое существует. Движение подобно себе, но отлично от Покоя. Подобие или тождество и отличие или разница, как и Бытие, имеют всеобщее распространение, поскольку каждый равен себе и отличен от всех других.
      Теперь мы можем понять, что подразумевается под Небытием. Движение, можно сказать, существует и не существует, поскольку это Движение, но не Покой. Тогда в этом смысле Небытие находится на том же уровне, что и Бытие. Но идея Небытия, которая выдвигается здесь, не должна восприниматься совершенно абстрактно. Небытие такое-то, или, лучше, Бытие, отличное от такого-то. Платон, таким образом, определил источник затруднения. Говоря современным языком, мы должны различать экзистенциальное употребление слова "есть" от употребления его в качестве связки в предложении. Второе из них логически важно.
      На этой основе мы можем теперь дать простое объяснение ошибки. Судить о чем-то верно - это судить о вещи, какова она есть. Если мы судим о чем-то не как о том, каково оно есть, мы судим ложно и, значит, совершаем ошибку. Читателя может удивить, что результат не такой уж значительный и менее загадочный, чем раньше. Но он уже и не содержит проблем, раз мы знаем решение.
      В заключение можно отметить, что заодно мы случайно разрешили проблему, рассматриваемую в "Теэтете". По сути, это не надлежащий вопрос. Мы должны придерживаться суждений, а они, как мы теперь знаем, могут быть истинными или ложными. Но как мы можем узнать, истинно ли данное суждение или ложно? Ответ будет простой:
      оно истинно, если вещи таковы, а если не таковы - не истинно. Не существует формального критерия, который застраховал бы нас от ошибок.
      Объяснение Небытия, которое мы только что вывели, дает нам теперь возможность разделаться с проблемой изменения. Оно делает Гераклитову теорию понятной и снимает с нее ореол парадокса. И все же у Платона есть другая теория изменения, которая напрямую связана как с атомизмом, так и с математической физикой в том виде, в каком мы знаем ее сегодня. Эта теория изложена в "Тимее", еще одном диалоге, относящемся к последнему, наиболее зрелому периоду жизни Платона. Объяснение космогонии, выдвинутое в этом диалоге, увело бы нас слишком далеко, поэтому мы только отметим, что в ней очень много от развитого пифагореизма, а также намеков на верное объяснение планетарного движения. Похоже, что гелиоцентрическая гипотеза была изобретением Академии. В диалоге затронуто очень много других научных вопросов, но мы вынуждены оставить их в стороне. Давайте сразу обратимся к тому, что вполне можно было бы назвать геометрическим, или математическим, атомизмом Платона. Согласно этому взгляду, мы должны провести различие между тремя моментами: формой, основной материей и физической реальностью чувственного мира. Основная материя здесь - это просто пустое пространство. Физическая реальность - это результат смешения между формой и пространством, на котором она каким-то образом оставила след. На этой основе теперь нам предлагается объяснение материального мира, как физического, так и биологического, в терминах четырех элементов. Но они, в свою очередь, теперь рассматриваются как геометрические тела, составленные из двух видов элементарных треугольников, представляющих собой половину равностороннего треугольника и прямоугольный равнобедренный треугольник, составляющий половину квадрата. Из этих треугольников мы можем построить четыре из пяти правильных геометрических тел. Тетраэдр - это основная частица огня, куб - земли, октаэдр - воздуха, икосаэдр - воды. Разбивая эти тела на составляющие их треугольники и переставляя их, мы можем производить преобразования элементов. Огненные частицы, имея острые грани, пронизывают другие тела. Вода состоит из гораздо более гладких частиц, отсюда плавное течение жидкостей.
      Два основных треугольника; Платон придерживался взгляда, что элементы составлены из них (геометрическая ядерная теория)
      Теория преобразования (трансформации), предложенная здесь, является фактически выдающимся предшественником современных физических теорий. Действительно, Платон пошел значительно дальше, чем Демокрит, в его материалистическом атомизме. Основные треугольники - это, очевидно, двойники того, что в современной физике называют ядерными или элементарными частицами. Они - составная часть основных частиц. Можно также заметить, что эти частицы не называют атомами. Это, согласно греческому языку, было бы вопиющей ошибкой, и это так и есть на самом деле. Слово "атом" буквально означает "неделимая вещь". Вещь, которая составлена из других вещей, строго говоря, не следует называть атомом.
      Платон выступает как предтеча основной традиции современной науки. Точки зрения, что все может быть сведено к геометрии, определенно придерживался Декарт и, иным образом, Эйнштейн. То, что Платон был должен придерживаться учения о четырех элементах, является, конечно, в каком-то смысле ограниченностью. Причина такого выбора заключается в том, что таков был преобладающий взгляд в то время. Платон пытался обосновать "логос", или объяснение этого взгляда, чтобы соблюсти приличие, и гипотеза, которую он использует, - математическая. То, что мир является в конечном итоге понятным в его числовом выражении, было, как мы видели, частью пифагорейского учения. Платон принял его. Таким образом, мы имеем математическую модель для физического объяснения. Как метод - это цель математической физики сегодня.
      Эта теория должна быть тесно связана с теорией правильных геометрических тел, что оказалось возможным благодаря пифагорейскому мистицизму. Действительно, по этой схеме не остается места для додекаэдра. Он один из пяти тел имеет стороны, составленные не из двух простых треугольников, а из правильных пятиугольников. Мы можем напомнить, что пятиугольник был одним из мистических символов пифагорейцев и его конструкция включает иррациональное число, что было показано, когда мы обсуждали идеи поздних пифагорейцев. Далее, додекаэдр выглядит наиболее круглым по сравнению с любым другим из четырех тел. У Платона, следовательно, он символизирует мир. Это рассуждение не влияет на надежность или что-либо другое математической модели.
      У нас нет времени рассматривать здесь математическую теорию Платона полностью. В любом случае ее нужно собирать по кусочкам и некоторым намекам в диалогах и высказываниях Аристотеля. Тем не менее важно отметить, что Платон, или, во всяком случае, Академия, пересмотрели пифагорейское учение о числах, чтобы избежать аргументов элейской критики. Здесь опять просматривается взгляд, сходный с современным. Началом ряда чисел признан ноль вместо единицы. Это делает возможным развитие общей теории иррациональных чисел, которые, если быть более педантичным, не следовало бы называть иррациональными. Подобно тому, в геометрии линии представляются теперь созданными движением точки, - взгляд, который играет центральную роль в теории Ньютона о дифференциации, которая была одной из ранних форм того, что стало позже называться дифференциальным исчислением. Мы ясно видим путь, по которому развивалась унификация арифметики и геометрии в духе диалектики.
      Вторым важным моментом является сообщение Аристотеля о Платоне, придерживавшемся взгляда, что числа не могут быть прибавлены. Это отчасти лапидарное заявление фактически содержит зародыш современного взгляда на число. Вслед за пифагорейцами Платон рассматривал числа как формы. Они, очевидно, не могут быть суммированы. Что происходит, когда мы делаем прибавления? Мы кладем вместе вещи определенного вида, скажем камешки. Разновидность вещей, о которых говорят в математике, отличается, однако, от камешков так же, как и от форм. Это в какой-то степени посредник между ними двумя. То, что математики складывают, - это вещи любого вида, не имеющие особых признаков, при условии, что в интересующем нас отношении этот вид один и тот же для всех добавленных вещей. Все это вырисовывается очень ясно в терминах определения числа, данного Фреге, позднее - Уайтхедом и мной. Например, число три - это класс всех троек. Тройка - это класс объектов данного вида. То же касается любого другого основного числа. Число два это класс двоек, двойка является классом вещей. Вы можете прибавлять тройку и двойку одного вида, но не число три или два.
      Так выглядит небольшой набросок некоторых из наиболее важных теорий Платона. Мало (если вообще таковые были) философов, когда-либо достигших его уровня и глубины, и ни один не превзошел его. Для любого, кто занимается философским исследованием, было бы немудро игнорировать Платона.
      Аристотель, последний из трех великих мыслителей, которые жили и учили в Афинах, был, возможно, первым профессиональным философом. При нем наивысшая точка классического периода греческой культуры была пройдена. Политически Греция теряла свое значение; Александр Македонский, который молодым человеком был учеником Аристотеля, заложил основы империи и процветания эллинского мира. Но об этом позднее.
      В отличие от Сократа и Платона, Аристотель был чужеземцем в Афинах. Он родился около 384 г. до нашей эры в Стагире во Фракии. Его отец был придворным врачом македонских царей. В возрасте восемнадцати лет Аристотель был послан в Афины заниматься у Платона в Академии. Он оставался членом Академии до смерти Платона в 348 или 347 г. до нашей эры, всего около двадцати лет. Новый глава Академии Спевсипп в основном был увлечен математической стороной философии Платона, стороной, которую Аристотель понимал меньше всего и не любил больше всего. Поэтому он покинул Афины и в течение следующих двадцати лет работал в других местах. Последовав приглашению своего бывшего школьного товарища Гермиаса, правителя в Мизии, на побережье Малой Азии, Аристотель присоединился там к группе академиков и женился на племяннице своего хозяина. Три года спустя он отправился в Митилену на острове Лесбос.