Если тело падает в вакууме, то расстояние, преодолеваемое им при падении, является «функцией» времени, в течение которого оно падало. Число квадратных футов ковра для данной квадратной комнаты является «функцией» длины стены комнаты, так же как и количество жидкости, которую можно залить в кубический контейнер. В одном случае функцией является квадрат, в другом – куб: для комнаты, длина стены которой в два раза больше, чем в данной, нужен в четыре раза больше ковер; а в контейнер, который в два раза выше данного, можно залить в восемь раз больше жидкости, если и другие его параметры также увеличены в два раза.

Некоторые функции очень сложны. Ваши налоги являются функцией вашего дохода, но лишь специалисты знают, какой конкретно функцией. Предположим, какой-то математически образованный специалист предложил использовать простую функцию, например, ваши налоги должны быть пропорциональны квадрату вашего дохода. Он дополнил свое предложение другим: ни один доход после уплаты налогов не должен превышать 25 000$. Как же эти предложения будут работать? Налоги должны быть одной сотой или тысячной частью квадрата вашего дохода в долларах. Для доходов, меньших, чем квадратный корень из 1000$ (это примерно 32$), налог должен быть меньше одного цента, и его невозможно будет собрать; для доходов в 1000$ налог будет 10$; для 2000$ – 40$; для 10 000$ – 1000$ и для 50 000$ – 25 000$. После этих выплат любое увеличение вашего дохода сделает вас беднее. Если ваш доход равен 100 000$, то налог будет равен вашему доходу, и вы будете разорены. Не думаю, что кто-либо будет защищать такую налоговую политику.

Для любой функции переменной x небольшое увеличение x будет сопровождаться небольшим увеличением или уменьшением функции, если функция дискретная. Например, пусть х – радиус круга, а функция – площадь круга, пропорциональная квадрату радиуса. Если радиус несколько увеличивается, то увеличивается площадь круга;

увеличение достигается умножением увеличения радиуса на окружность. Дифференциальное исчисление предоставляет степень (rate) увеличения функции при заданном небольшом увеличении переменной. С другой стороны, если вам известна степень увеличения функции относительно переменной, то интегральное исчисление покажет вам, каково будет в целом увеличение или уменьшение функции при изменении значений переменной. Самым простым из важнейших примеров этому является падение тела в вакууме. В данном случае ускорение тела является постоянной величиной; иными словами, увеличение скорости в любой данный момент времени пропорционально времени. Следовательно, скорость в любой момент времени пропорциональна времени, в течение которого тело падает. Исходя из этого интегральное исчисление показывает, что расстояние, преодолеваемое им при падении, пропорционально квадрату времени падения. Это можно доказать, и не используя интегрального исчисления, что было сделано Галилеем; однако в более сложных случаях интегральное исчисление является ключевым механизмом.

Математика, по крайней мере по ее собственному притязанию, является точным инструментом, и в тех случаях, когда она применяется к реальному миру, всегда существует неоправданное допущение точности. В природе не существует совершенных кругов или треугольников; планеты в реальности не движутся по точным эллипсам, а если бы и двигались, то мы бы об этом не знали. Наши возможности измерения и наблюдения ограничены. Я не говорю о том, что они имеют определенные пределы; напротив, технические достижения постоянно уменьшают эти ограничения. Однако невозможно, чтобы техника работала безошибочно или вне всяких ограничений, потому что какой бы аппарат мы не изобрели, мы, в конце концов, зависим от собственных ощущений, которые не могут различить две очень похожие вещи. Легко доказать, что существуют различия, невоспринимаемые нами. Возьмем, например, три очень близкие оттенка цвета А В и С. Возможно, вы не видите никакого различия между А и В, или между В и С, но видите различие между А и С. Это показывает, что должны существовать невоспринимаемые различия между A и B и между B и C. То же самое будет истинно и в том случае, если Л, В и С будут иметь почти одинаковую длину. Измерение длин, каким бы точным оно ни было, всегда должно оставаться приблизительным, хотя и очень близким приближением.

По этой причине точные научные измерения всегда даются с учетом «вероятной ошибки». Это означает, что данный результат скорее всего не будет выходить за пределы установленной области значений вероятной ошибки. Практически он более или менее точен, но маловероятно, что он не точен больше, чем на величину вероятной ошибки. Хотелось бы, чтобы и в других областях люди допускали то, что их мнения подвержены той или иной вероятной ошибке; но в действительности люди более догматичны в тех случаях, в которых меньше всего оснований для определенности и уверенности. Читатель, вспомнив наше определение «скорости», увидит, что оно предполагает невозможность мгновенного наблюдения. С эмпирической точки зрения, не может существовать такого явления, как мгновенная скорость, потому что для наших измерений времени и расстояния существуют определенные пределы. Предположим, что мы разработаем нашу технику до такого уровня, что сможем измерить сотую или тысячную долю секунды и сотую или тысячную долю сантиметра. В таком случае мы сможем сказать, на сколько сотых или тысячных долей сантиметра продвинулось очень маленькое тело, если оно движется со скоростью меньше, чем сантиметр в секунду. Но мы не сможем сказать, что оно делало в течение этого очень короткого промежутка времени: оно могло двигаться равномерно; оно могло сначала двигаться медленнее, а затем ускориться, или наоборот; оно могло также преодолеть все расстояние за один прыжок. Это последняя гипотеза, кажущаяся странной, на самом деле является частью квантовой теории как наилучшее объяснение некоторых явлений. Мы привыкли рассматривать как само собой разумеющееся, что пространство, время и движение непрерывны, но мы не можем знать этого, потому что не воспринимаем очень небольшие непрерывности. Вплоть до недавнего времени гипотеза непрерывности была рабочей; сегодня в ней начинают сомневаться, в частности в том, что касается очень маленьких явлений.

Точность математики представляет собой абстрактную логическую точность, которая теряется, как только математические размышления применяются к реальному миру. Платон думал (и многие последовали за ним в этом убеждении), что если математика в определенном смысле истинна, то должен существовать идеальный мир, своего рода математический рай, где все происходит именно так, как описывается в учебниках по геометрии. Философ, попадая в рай (а туда, согласно Платону, попадают только философы), будет удовлетворен видом того, чего ему не хватало на Земле: совершенно прямые линии, совершенные круги, совершенные двенадцатигранники и все остальное, необходимое для блаженства. Тогда он поймет, что математика, хотя и неприменима к мирской жизни, представляет собой видение – одновременно и вспоминающее, и пророческое – лучшего мира, из которого вышли мудрецы и куда они возвращаются. Арфы и короны были менее интересны для афинского аристократа, чем для смиренного народа, создавшего христианскую мифологию. Однако христианские теологи, в противовес общим представлениям христиан, принимали многое из платоновского описания рая. В наши дни, когда такого рода вещи стали невозможными, точность стала приписываться Природе, а ученые не сомневаются в том, что универсум функционирует именно так, как его описал Ньютон. Поскольку ньютоновский мир – это мир, созданный Богом, грязный, неточный и т. п. мир, каким мы его знаем, был бы недостоин Создателя. Лишь недавно проблема математической точности, не соответствующей приблизительному характеру знания, получаемого с помощью органов чувств, получила формулировку, полностью свободную от всех теологический аллюзий.

Результатом недавних исследований этой проблемы стало привнесение во все вещи приблизительности и неточности, даже в традиционно священные области логики и арифметики. Для логиков старших поколений эти вопросы упрощались их верой в существование неизменных видов. Ими могут быть кошки и собаки, лошади и коровы; пара из каждого вида была создана Богом, пара из каждого вида спаслась в ковчеге во время потопа, пара из каждого вида вместе всегда производят потомство того же вида. Что касается человека, то не был ли он отличен от животных наличием разума, бессмертной души и знанием добра и зла? Таким образом, значения таких слов, как «собака», «лошадь», «человек», были четко определены, и любое живое существо, к которому применимо одно из этих слов, было четко отделено от других живых существ. На вопрос: «Это лошадь?», – всегда существовал недвусмысленный и бесспорный ответ. Однако для последователя эволюционной теории все меняется. Он считает, что лошади постепенно эволюционировали из животных, которые определенно не были лошадьми, и на каком-то этапе этой эволюции существовали животные, которые не были определенно лошадьми или нелошадьми. То же самое истинно и для человека. Разум по мере своего существования постепенно совершенствовался. По геологическим находкам нельзя судить, имели ли наши далекие предки бессмертные души или знание о добре и зле, даже если допустить, что мы обладаем всеми этими преимуществами. Найдено множество костей, определенно принадлежащих более или менее человекоподобным двуногим существам, но можно ли этих двуногих назвать «людьми» – это вопрос чистого соглашения.

Таким образом выясняется, что на самом деле мы не знаем, что имеем в виду под обычными повседневными словами, такими как «кошка» и «собака», «лошадь» и «человек». Того же рода неопределенность существует и в отношении наиболее точных научных терминов таких, как «метр» и «секунда». Метр определяется как расстояние между двумя отметками на определенном бруске в Париже при определенной температуре бруска. Однако эти отметки не являются точками, и температура не может быть измерена с совершенной точностью. Следовательно, мы не можем знать точно длину метра. В отношении большинства длин мы можем быть уверены, что они длиннее или короче метра. Но в отношении некоторых длин мы не можем с уверенностью сказать, длиннее они или короче метра, или же они точно метр длиной. Секунда определяется, как время размаха маятника определенной длины или как определенная часть дня. Однако мы не можем точно измерить ни длину маятника, ни длину дня. Таким образом, в отношении метра и секунды существует та же самая проблема, что и в отношении лошадей и собак, а именно, что мы не знаем точно, что обозначают эти слова.

Вы можете сказать: «Тем не менее, ничто не поколеблет мою веру в то, что дважды два четыре». В значительной мере вы правы, за исключением пограничных случаев; только в пограничных случаях вы Усомнитесь в том, является ли какое-то конкретное животное собакой или какая-то конкретная длина – меньше метра. Два должно быть Два чего-либо, а утверждение «дважды два четыре» бесполезно, если оно ни к чему не применимо. Две собаки плюс две собаки – это определенно четыре собаки, но в некоторых случаях вы усомнитесь являются ли две из них собаками. Вы можете сказать: «Хорошо, в любом случае это четыре животных». Однако существуют микроорганизмы, относительно которых трудно сказать, являются ли они животными или растениями. «Хорошо, – скажете вы, – тогда это просто живые организмы». Однако существуют вещи, относительно которых трудно сказать, являются они живыми организмами или нет. Тогда вы вынуждены будете сказать: «Две сущности и две сущности – это четыре сущности». Когда вы скажете мне, что вы имеете в виду под термином «сущность», мы сможем принять это утверждение.

Таким образом, понятия, в целом, обладают определенной областью, к которой они применимы в полной мере, и определенной областью, к которой они точно неприменимы. Однако понятия, претендующие на точность, такие как «метр» и «секунда», несмотря на то, что они обладают широкой областью применения (в пределах приблизительной области), к которой они точно неприменимы, совершенно не обладают той областью, к которой они применимы в полной мере. Если они должны применяться в полной мере, то нужно пожертвовать претензией на точность.

Подведем итог нашего обсуждения: математика не обладает той точностью, на которую претендует, она так же приблизительна, как и все остальное знание. Тем не менее, это не имеет никакого значения с практической точки зрения, поскольку в любом случае все наше знание внешнего мира лишь приблизительно.

Я решил обсудить этот вопрос, поскольку многие люди считают, что математика претендует на знание высшего рода, и эта претензия – в тех, кто убежден, что она не оправданна, – рождает сопротивление, которое мешает их обучению математике и восприятию математического рассуждения. Абсолютная точность математики недостижима. Она существует – в той мере, в какой она существует, – лишь благодаря тому факту, что математическое знание на самом деле вербальное, а не эмпирическое, знание, и язык, с помощью которого это знание выражается, довольно сложен.

Но я еще не все сказал о точности. Мы не можем обладать точным знанием о мире, и это правда, но знаем, что, выражаясь математическим языком, результаты верны в той мере, в какой мы можем об этом судить. Иными словами, математики предлагают лучшую рабочую гипотезу для понимания мира. Научные гипотезы могут казаться более или менее ложными, но именно новые математические изобретения снабжают их необходимыми исправлениями. Ньютоновский закон тяжести считался истинным в течение двух с половиной веков и был затем исправлен Эйнштейном; однако универсум Эйнштейна был столь же математическим, что и универсум Ньютона. Квантовая теория разработала совершенно иную, чем классическая, физику атома, но также продолжала работать с математическими символами и уравнениями. Изобретенный математиками аппарат понятий и операций незаменим при объяснении многообразных явлений в мире, благодаря действию общих законов; единственные гипотезы, имеющие шанс на истинность в наиболее развитых науках, предлагаются математиками.

Таким образом, если вы хотите понять мир, насколько это возможно в теоретическом плане, то должны получить значительные познания в области математики. Если вы имеете практические интересы и хотите лишь действовать в мире – независимо от того, для своего блага или во благо человечества, – то можете, не вдаваясь в тонкости математики, достичь многого, опираясь на то, что сделали ваши предшественники. Однако общество, посвящающее себя лишь такого рода работе, будет в определенном смысле паразитировать на том, что было открыто в прошлом. Примером является история радио. Почти 100 лет назад Фарадей провел множество гениальных экспериментов по электромагнетизму, но, не будучи математиком, не смог предложить действительно общую, всестороннюю гипотезу, объясняющую результаты его работы. Затем появился Кларк Максвелл, который не был экспериментатором, но был первоклассным математиком. На основании экспериментов Фарадея он сделал вывод, что должны существовать электромагнитные волны, и свет должен состоять из такого рода волн, и частота этих волн должна восприниматься человеческим глазом. Для него это была чистой воды теория. Его работы принадлежат 70-м годам прошлого века. Лет двадцать спустя немецкий физик Герц, будучи и экспериментатором, и математиком, решил проверить теорию Максвелла на практике и изобрел аппарат, с помощью которого смог производить электромагнитные волны. Оказалось, что они распространяются со скоростью света и обладают всеми теми свойствами, которые им приписывал Максвелл. Последним был Маркони, который так преобразовал изобретение Герца, что его можно было использовать за пределами лаборатории, поскольку в радиоаппаратуре используются именно волны Герца. Эта история в целом блестяще иллюстрирует взаимодействие эксперимента и теории на котором и основывается развитие науки.

В конечном счете, математика приносит тем, кто может ее оценить, огромное удовольствие, против которого не сможет возразить ни один моралист. В манипулировании с символами есть такое же наслаждение, какое люди находят в шахматах, но его значение увеличивается тем, что является полезным, а не просто игрой. В смысле понимания естественных процессов это дает ощущение силы человеческого разума, а в работе лучших математиков присутствует чистая красота, показывающая, каких вершин может достичь человек, если он освободит себя от малодушия и жестокости, порабощения случайностями своего физического существования.