Рис. 35.
 
      а – касательная к окружности, А – точка касания, а ? ОА.
      Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 36, а; б).
      Рис. 36.
 
      а – общая касательная к двум окружностям, К – точка касания.
      Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис. 37).
      Рис. 37.
 
      Точки K, L, M – это точки касания окружности, вписанной в ?ABC. OK = OL = OM = r.
      В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных чертёжных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решённой, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
      С помощью линейки, как инструмента геометрических построений, можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнить линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.
      Циркуль, как инструмент геометрических построений, позволяет описать из данного центра окружность определенного радиуса. Циркулем также можно отложить определенный отрезок на данной прямой от заданной точки.
      Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
      Например, окружность можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки.
      Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем. Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F1 и F2 т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X.
      Ломаной А1А2А3...An называется фигура, которая состоит из точек А1, А2 ..., An и соединяющих их отрезков А1A2, A2A3, ..., An-1, Aп. ТочкиА1, А2..., Аn называются вершинами ломаной, а отрезки A142, A2A3 ..., An-1, An – звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис. 38).
      Рис. 38.
 
      А1A2A3A4 – простая ломаная из трёх звеньев.
      Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если её соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n-вершинами, а значит, и с n-сторонами называется n-угольником.
      Плоским многоугольником и многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.
      Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 39). Многоугольник называется невыпуклым, если он оказывается лежащим по обе стороны прямой, содержащей любую его сторону (рис. 40).
      Рис. 39.
      Рис. 40.
 
      Выпуклый многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
      Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
      Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины многоугольника, называются диагоналями.
      Стороны многоугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
      Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 41).
      Рис. 41.
 
      ABCD – параллелограмм, т. к. ВС||AD и АВ||CD.
      Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 42).
      Рис. 42.
 
      ABCD – прямоугольник, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90°.
      Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 43).
      Рис. 43.
 
      ABCD – ромб, т. к. AD||ВС и АВ||DC и AB = BC = CD = AD.
      Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно также сказать, что квадрат – это ромб, у которого все углы прямые (рис. 44).
      Рис. 44.
 
      ABCD – квадрат, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90° и АВ = ВС = CD = DA.
      Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами (рис. 45).
      Рис. 45.
 
      ABCD и А' В' С' D' – трапеции, т. к. BC||AD, BC||AD.
      Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется раенобокой (рис. 46).
      Рис. 46.
 
      ABCD – равнобедренная трапеция (АВ = CD).
      Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции (рис. 47).
      Рис. 47.
 
      EF – средняя линия трапеции ABCD: AE = EB, DF = FC.
      Пусть ВА – перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С – любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведённой из точки В к прямой а. Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной (рис. 48).
      Рис. 48.
 
      ВА – перпендикуляр к прямой а, ВС – наклонная.
      Проведём на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у – оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у – осью ординат. Точкой пересечения О – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из полуосей каждой оси называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую – отрицательной.
      Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел – координаты точки – абсциссу х и ординату у по следующему правилу.
      Через точку А проведём прямую, параллельную оси ординат. Она пересечёт ось абсцисс х в некоторой точке Аx. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аx. Это число будет положительным, если Аx принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат y, то полагаем х равным нулю.
      Ордината j точки А определяется аналогично. Через точку А проведём прямую, параллельную оси абсцисс х. Она пересечёт ось ординату в некоторой точке Аy. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аy. Это число будет положительным, если Аy принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю.
      Координаты точки записывают в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А(х; у) (на первом месте абсцисса, на втором – ордината) (рис. 49).
      Рис. 49.
 
      Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры.
      Например, уравнение прямой у = kx + b, где k – тангенс угла наклона прямой к оси Ох (рис. 50).
      Рис. 50.
 
      Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, поворот, параллельный перенос – виды движений.
      Два отрезка называют одинаково направленными, или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом.
      Векторы АВ и CD называют одинаково направленными, если отрезки АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называют противоположно направленными, если отрезки АВ и CD противоположно направлены. Первая буква в обозначении вектора является его началом, а вторая буква – его концом. Например, у вектора АВ точка А – начало вектора, а точка В – его конец (рис. 51).
      Рис. 51.
 
      Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Обозначают модуль вектора (на пример, АВ) следующим образом:|АВ|. Очевидно, что |AB| = AB, где АВ – это длина отрезка АВ.
      Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором.
      Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора (рис. 52).
      Рис. 52.
 
      Пусть вектор а имеет началом точку А1(х1; у1), а концом точку А2(х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1.
      Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и BL, b2 называется вектор с с координатами a1 + BL, a2 + b2.
      Разностью векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называется такой вектор с (с1; с2), который в сумме с вектором b даёт вектор а, т. е. b + с = а. Отсюда находим координаты вектора с = а – b: с1 = а1 – BL: с2 = а2 – b2.
      Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.
      Произведением вектора а (a1; a2) на число k называется вектор с координатами (kа1; kа2).
      Два вектора а и b называются коллинеарными (параллельными), если существует такое число k ? 0, что вектор а есть kb.
      Разложить вектор а по векторам b и с – значит найти такие числа n, m, что а = nb + mc.
      Скалярным произведением векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называют число a1BL + a2b2.
      Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и b называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.
      Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
      Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называют координатными векторами или ортами.
      Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X1, Y1 фигуры F1, то X1Y1 = k ? ХУ, причём число k – одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = 1 преобразование подобия, очевидно, является движением.
      Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X фигуры F отрезок ОХ и отложим на нём отрезок ОХ1 равный k ? ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в точку X1 построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F1 называют гомотетичными.
      На рис. 53 ?АВС и ?A1В1С1 – гомотетичны.
      Рис. 53.
 
      Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.
      Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
      Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 54).
      ?АОВ (угол ?) – центральный.
      Рис. 54.
 
      Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис. 55).
      Рис. 55.
 
      ?АСВ (угол ?) – вписанный.
      Геометрическую фигуру будем называть простой, если её можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником.
      Дадим определение площади для простых фигур.
      Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
      1. Равные фигуры имеют равные площади.
      2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.
      3. Площадь квадрата со стороной, равной единице, равна единице.

2.2. Вопросы для самопроверки

2.3. Темы для сообщений и рефератов

§ 3. Важнейшие теоремы и формулы школьного курса планиметрии

Конец бесплатного ознакомительного фрагмента.