Неудивительно, что истинное прекрасно, ведь истина отражает красоту и гармонию Вселенной. Но более того - красивое часто оказывается истинным. Когда у математика или физика возникает изящное построение, оно почти всегда либо решает поставленную задачу, либо будет использовано для каких-то других, будущих задач. Мы увидим это на примере одного из главных направлений современной физики - поисков симметрии пространства и внутренней симметрии элементарных частиц. Но прежде нужно понять, что такое красота в науке и как поиски красоты приближают нас к познанию природы.

      Чему бы жизнь нас ни учила, Но сердце верит в чудеса: Есть нескудеющая сила, Есть и нетленная краса.
      Ф. Тютчев
      Можно ли ограничиться чисто внешней красотой или за ней следует искать более глубокую, несущую некий высший смысл? В чем красота логических построений? Главные направления физики XX века - поиски симметрии и единства картины мира.
      Алгебра и гармония
      Что такое красота? Часто мы называем красивым то, что соответствует нормам и идеалам нашего времени. Идеалы и моды у каждой эпохи свои. Но есть красота нетленная, непреходящая, к которой человечество обязательно возвращается. Нас никогда не перестанут радо-
 
      вать пропорции Парфенона, гармоничность и единство с природой церкви Покрова на Нерли… Я огорчаюсь всякий раз, когда слышу фразу: «На вкус и цвет товарищей нет…» Как раз обратное - удивляешься тому, как много людей одинаково оценивают красоту. И что примечательно: те, кто не входит в это большинство, обычно не единодушны в своих мнениях. В этом доказательство объективности понятия прекрасного.
      Можно ли ограничиться внешним восприятием красоты? Можно ли оценить красоту, измеряя линейкой соотношения размеров? За чисто внешней красотой лица мы ищем красоту духовную, благородство, напряжение мысли.
      И в конкретном и в абстрактном искусстве значительность произведения определяется тем, насколько оно выходит за рамки внешнего воздействия, насколько глубоко взаимодействуют и соотносятся части целого.
      Мой покойный друг скульптор Алексей Зеленский говорил: «Я сажусь в метро и смотрю на ноги сидящих. Потом поднимаю глаза и вижу: а голова-то ведь от этих ног! Вот когда поймешь, почему при этой голове должны быть именно такие ноги, можно делать портрет». Валерий Брюсов писал: «Есть тонкие, властительные связи меж контуром и запахом цветка». Это взаимодействие частей иногда радует взор, как в «Поцелуе» Родена, картинах Рафаэля или Ватто, но может быть напряженным и трагическим, как в «Рабах» Микеланджело, у Эль Греко или Гойи.
      Вот строки Осипа Мандельштама:
      …Но чем внимательней, твердыня Notre-Dame, Я изучал твои чудовищные ребра, Тем чаще думал я: «Из тяжести недоброй И я когда-нибудь прекрасное создам…»
      По словарю Ларусса, красивое - это то, что «радует глаз или разум».
      Мы говорим о красоте музыки Моцарта, пушкинских стихов, но что можно сказать о красоте науки, мысленных построений, которых не нарисовать на бумаге, не высечь из камня, не переложить на музыку?
      Крдсота науки, как и искусства, определяется ощущением соразмерности и взаимосвязанности частей, образующих целое, и отражает гармонию окружающего мира.
      Вот что говорит Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод»: «Если бы природа не была прекрасна, она не стоила бы того, чтобы ее знать; жизнь не стоила бы Toго, чтобы ее переживать. Я здесь говорю, конечно, не о той красоте, которая бросается в глаза (…), я имею в виду ту более глубокую красоту, которая открывается в гармонии частей, которая постигается только разумом. Это она создает почву, создает скелет для игры видимых красок, ласкающих наши чувства, и без этой поддержки красота мимолетных впечатлений была бы несовершенна, как все неотчетливое и преходящее. Напротив, красота интеллектуальная дает удовлетворение сама по себе».
      Красота логических построений
      Красота, о которой говорит Пуанкаре, - это не только отражение гармонии материального мира, это и красота логических построений. Логическое - один из объектов познания, его объективность доказывается общеобязательностью логических заключений. Логическая красота так же объективна, как и красота физических законов. Мы часто ощущаем изящество теории и в том случае, когда предсказания ее не подтвердились экспериментом. Под «изяществом» понимается остроумие аргументации, установление неожиданных связей, богатство и значительность заключений при минимальном числе правдоподобных предположений… Словом, то, что отражает красоту законов разума.
      Красота логических построений в самом чистом виде проявляется в математике. Так, математика изучает все возможные геометрии пространства с произвольным или даже бесконечным числом измерений. Математическая ценность и красота этих результатов не зависят от того, какая именно из геометрий осуществляется в нашем трехмерном мире.
      Один из удивительных примеров математической красоты - это «алгебра высказываний», или «алгебра логики», позволившая анализировать законы и возможности логических заключений.
      Еще у Аристотеля была идея составлять сложные рассуждения, последовательно применяя более простые элементы, независимые от природы объектов, о которых идет речь. Дальнейшее развитие эта идея получила у Лейбница - он пытался придать аристотелевой логике алгебраическую форму. Но только в середине прошлого века идея превратилась в законченную теорию (см.: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963).
      Обычная алгебра, которую учат в школе, не единственно возможная. Если вы увидите книгу под названием «Алгебры Ли», не думайте, что множественное число - это опечатка.
      Можно определить понятия сложения и умножения объектов и при этом отказаться от аксиом обычной алгебры, например от предположения, что результат умножения не зависит от порядка сомножителей. Получится другая алгебра. Причем анализ соотношений в ней целиком определяется принятыми аксиомами о свойствах операций и не зависит от ее конкретного воплощения. «Действенность анализа зависит не от истолкования символов, а исключительно от законов их комбинации» - так выразил суть и силу математической абстракции Джордж Буль, автор книги «Исследование законов мысли».
      Буль построил алгебру на такой системе аксиом (или, как говорят математики, «исследовал структуру»), которая описывает свойства высказываний. Одновременно эта же структура представляет и алгебру релейных электрических цепей, без которой невозможно построение сколько-нибудь сложной ЭВМ. Только на основе подобной математической, или символической, логики возможно научное обсуждение таких волнующих человечество проблем, как выяснение мыслительных возможностей ЭВМ и создание искусственного интеллекта.
      Элементами алгебры высказываний служат простые суждения, вроде «в этой книге больше ста страниц» или «протон состоит из трех кварков». Они обозначаются буквами А, В, С… Два высказывания считаются равными, если истинность одного означает и истинность другого. Например, если А - «сегодня 10 мая», а В - «послезавтра 12 мая», то А = В.
      Сумма А + В означает новое высказывание, которое получается соединением А и В союзом «или» в том смысле, что справедливо, по крайней мере, одно из двух высказываний А или В. Если А - «я люблю тебя», а В - «ты любишь меня», то А + В означает либо «я люблю тебя», либо «ты любишь меня», либо «мы любим друг друга». Мы используем для этой операции знак «плюс», следуя книге И. М. Яглома «Булева структура и ее модели» (М., «Советское радио», 1980).
      Отсюда следует одно из отличий этой алгебры от школьной: повторение высказывания не означает нового утверждения. Поэтому А+А = А.
      Определим произведение АВ как высказывание, которое получается соединением А, В союзом «и». С = АВ в нашем примере означает: «я люблю тебя и ты любишь меня = мы любим друг друга». Тогда А2 = А. Нетрудно получить и более сложное соотношение:
      АВ + С = (А + С) (В + С).
      Введем отрицание. А - отрицание А. Если А - «электрон массивнее протона», то А - «электрон не
      массивнее протона». Тогда А = А и АА = 0. Под знаком О следует понимать заведомо неверное суждение: электрон не может быть одновременно и массивнее и не массивнее протона.
      Мы не будем двигаться дальше, уже этого немногого достаточно, чтобы почувствовать идею исчисления высказываний. Тем, кто заинтересовался, будет полезно почитать упомянутую книгу Яглома.
      Интересна судьба автора этой удивительной алгебры. Джордж Буль (1815-1864) родился в Англии в бедной семье. Он не учился ни в одном учебном заведении, окончив лишь начальные классы школы для бедных. Самостоятельно изучив латынь и древнегреческий, двенадцатилетний Буль стал печатать в местных изданиях свои переводы Горация. После долгих поисков работы, которая оставляла бы ему время для самообразования, Буль открыл маленькую школу, в которой был единственным преподавателем. К счастью, два влиятельных математика - Д. Грегори, издававший математический журнал, и О. де Морган, профессор Кембриджского университета, оценили оригинальность и глубину мысли первых работ Буля. В 1849 году он сделался профессором математики в колледже города Корк в Ирландии. Здесь он женился на Мэри Эверест, родственнице бывшего председателя геодезического комитета Индии, именем которого была названа самая высокая вершина мира - Эверест (Джомолунгма). Одна из дочерей Буля - Этель Лилиан - вышла замуж за польского революционера Войнича и стала известна у нас как автор романа «Овод». Как переплетаются судьбы и события!
      Совсем другого рода красота логических построений в физике. В математике правильность интуитивной догадки проверяется логически; в физике же, изучающей
      мир вещей, верховный судья - эксперимент. Необязательно каждый раз обращаться к нему для проверки теории, чаще всего теория опровергается или подтверждается при тщательном анализе сделанных ранее экспериментов или вытекающих из них соотношений. Теоретические построения в физике требуют постоянного согласования с тем, что мы уже знаем об окружающем мире. Физическая теория - не логическое следствие из принятых аксиом, а здание, построенное на правдоподобных предположениях, которые предстоит проверить. Казалось бы, здание строится на шатких основаниях, но слабые звенья постоянно заменяются более крепкими, и здание делается все прочнее.
      В главе «Как работают физики» будет много примеров того, как неуклонно приводит к цели метод проб и ошибок. Вы увидите, как мало было оснований для гениальной догадки де Бройля о волновых свойствах частиц: раз свет - и волна и частица, почему бы электрону тоже не быть сразу и частицей и волной! Или другой пример: уравнение Шрёдингера, блестяще объяснившее свойства атома еще до того, как смутные и тончайшие соображения привели к пониманию физического смысла волновой функции.
      Есть особая прелесть в этих поисках в потемках, где проводник - шестое чувство!
      Математик не может без негодования смотреть, «как физик суммирует бесконечные ряды, предполагая при этом, что два-три члена ряда дают хорошее приближение ко всему ряду, и вообще живет в царстве свободы, нарушая все «моральные нормы». Но вместе с тем эффективность «колдовства» физиков… оставляет математика в состоянии немого изумления». Я цитирую книгу Ю. И. Манина «Математика и физика» (М., «Знание», 1979). Очень жаль, что глубокие и остроумные замечания этой книги адресованы в основном математикам.
      Результативность интуитивных методов физики объясняют слова, написанные на камине в доме Эйнштейна: «Господь Бог изощрен, но не злонамерен». Экзотические ситуации, которые математик обязан предусмотреть, создавая строгое доказательство, редко встречаются в реальном мире - бесконечности и разрывы есть результат упрощенной или неудачной формулировки. Можно ожидать, что те же величины в более совершенной теории окажутся конечными и непрерывными при вещественных значениях переменных. И тогда возмущенный математик получит строгим путем часть уже известных физикам соотношений.
      Красота теории имеет в физике почти определяющее значение, делает недостоверные рассуждения достаточно убедительными, чтобы поставить эксперимент для проверки предположений. В следующей главе у нас еще будет повод сравнить поиски истины в физике и в математике. Несмотря на различие методов и объекта познания, физика не может обойтись без математического языка и математического аппарата.
      Разумеется, не все естественные науки нуждаются в математике в такой мере, как физика. В биологии основное - это процессы жизни, не сводящиеся к числовым характеристикам. Легко может быть математизирована только та сторона биологических явлений, которая определяется физико-химическими процессами. Впрочем, возможно, уже в скором времени возникнут новые математические структуры, которые позволят формализовать более глубокие стороны биологии и даже искусства.

      Не странно ли, что математика, исследующая мир логических отношений, позволяет проникать в тайны мира вещей? Красота физики открывается во всей полноте только с помощью математики.
      Теория относительности возникла из глубочайшего пересмотра понятий времени и пространства. Математики почти не потребовалось. Но завершенную красоту теория приобретает, если воспринимать ее как следствие симметрии природы относительно поворотов в четырехмерном пространстве, где четвертая координата - время. Уравнения теории тяготения, несмотря на глубину и ясность идей, лежащих в ее основе, нельзя даже представить себе без методов описания величин в пространстве с геометрическими свойствами, которые изменяются от точки к точке.'
      Дмитрий Иванович Менделеев обнаружил удивительную симметрию химических свойств, но подлинную красоту таблица Менделеева обрела после создания квантовой механики, когда полностью раскрылась природа этой симметрии.
      Почему симметрия, объясняющая независимость энергии атома водорода от момента количества движения, видна, как показал В. А. Фок, только во вспомогатель
      ном четырехмерном пространстве после сложных преобразований?
      Почему квантовая электродинамика становится особенно красивой и простой, если описывать позитрон как электрон, движущийся вспять во времени, хотя в действительности любой физический объект движется во времени только вперед? Это дало право замечательному американскому физику Джону Уилеру высказать дикую, но красивую и ошеломляющую идею, что все электроны и позитроны мира - это проекция на плоскость времени - мгновенный разрез - клубка движений вперед и назад одного-единственного электрона. Фейнман рассказал в нобелевской речи, как ему позвонил Уилер: «Фейнман, я знаю, почему у всех электронов одинаковый заряд и масса!» - «Почему же?» - «Потому что все это один и тот же электрон!»
      Природа почему-то скрывает часть красоты от самого пристального взгляда физиков и позволяет увидеть ее только с помощью сложнейших математических построений. Почему математика оказывается таким точным и незаменимым инструментом, вскрывающим красоту опытных наук? Не означает ли это, что она изучает не мир логических построений сам по себе, а через него все возможные реализации мира вещей; не нашу единственную Вселенную и не только те законы, которые ею управляют, а все возможные законы, которые могли бы реализоваться при других начальных условиях или в других вселенных?
      Красота логических построений в науке - аналог одухотворенности в искусстве. Красота линий и красок в «Троице» Рублева - гениальная метафора субстанции «неделимой, неслиянной, единосущной»; у Достоевского напряженность и богатство духовных связей делают не-приглаженную прозу единственно возможной, а значит, красивой.
      Не ошибаюсь ли я, так настойчиво сравнивая красоту в науке и в искусстве? Ведь в искусстве всякое творение индивидуально и неповторимо - образ Дон-Жуана создавали многие, и среди них Мольер, Байрон, Пушкин, каждый по-своему. А в науке задача состоит в том, чтобы найти закон природы, не зависящий от индивидуальности ученого…
      И тем не менее рационализм ученого кончается на принципах познания. Конкретная реализация поисков всегда индивидуальна. Истину можно устанавливать разными способами. Форма осуществления идеи, как и в искусстве, отражает богатство духовного мира создателя. По способу подхода к задаче, по характеру используемых методов, по типу остроумия можно и в науке узнать автора работы. Когда крупный ученый решает пусть даже малую задачу, созданные им методы продолжают жить и развиваться в задачах более значительных.
      Как проявляется красота в науке? Я буду говорить о своей науке - физике. Вся ее история - это поиски симметрии и единства мира, то есть поиски той внутренней красоты, о которой мы только что говорили.

      Обычно мы под этим словом понимаем либо зеркальт ную симметрию, когда левая половина предмета зеркально симметрична правой, либо центральную, как у древнего восточного знака «инь и янь» или у пропеллера. В этом понимании симметрия означает неизменность предмета при отражении в зеркале или при повороте
      вокруг центра. Но вернем слову его первоначальное значение - «соразмерность» - и будем понимать под ним неизменность не только предметов, но и физических явлений, и не только при отражении, но и вообще при какой-либо операции. Например, при переносе установки из одного места в другое или при изменении момента отсчета времени. Для проверки, скажем, зеркальной симметрии явления можно построить установку с деталями и расположением частей, зеркально симметричными относительно прежней. Явление зеркально симметрично, если обе установки дают одинаковые результаты.
      Проследим сначала, как проявляется самая простая симметрия - однородность и изотропность (эквивалентность всех направлений) пространства. Она означает, что любой физический прибор - часы, телевизор, телефон - должен работать одинаково в разных точках пространства, если не изменяются окружающие физические условия. То же самое относится и к повороту прибора, если отвлечься от силы тяжести, которая выделяет на поверхности Земли вертикальное направление. Эти замечательные свойства пространства использовались в глубокой древности, когда геометрия Евклида применялась на практике. Ведь геометрия как практическая наука имеет смысл, только если свойства геометрических фигур не меняются при их повороте и одинаковы в Греции и в Египте.
      Измерения показали, что геометрические теоремы, примененные к реальным физическим объектам, действительно выполняются с колоссальной точностью для тел любого размера, в каком бы месте мы их ни проверяли и как бы ни поворачивали тела. Одно из таких измерений было сделано «королем математиков» Карлом Фридрихом Гауссом, который проверял, не отклоняется ли геометрия нашего мира для больших размеров от евклидовой, определяя свойства треугольника, образованного вершинами трех гор. Сейчас мы знаем, что на масштабах Вселенной и вблизи тяжелых масс геометрия отличается от евклидовой. Однако поправки лежат далеко за пределами точности измерений Гаусса. Не только геометрические свойства, но и вообще все физические явления не зависят от перемещений или поворотов.
      Итак, физические законы должны быть инвариантны относительно перемещений и поворотов. Это требование облегчает нахождение уравнений физики, придает им более красивый вид.
      Еще одна важная симметрия - однородность времени. Все физические процессы протекают одинаково, когда бы они ни начались - вчера, сегодня, завтра…
      Если какая-нибудь машина в этом году работает не так, как в прошлом, значит, у нее износились детали, или изменились климатические условия, или произошло еще что-нибудь, но это не связано с нарушением однородности хода времени.
      Ход времени определяется относительной скоростью различных процессов в природе. Скорость космического корабля можно сравнить со скоростью света или звука в воздухе. Ход часов можно определить числом периодов колебания света, излучаемого атомом за время перемещения стрелки на одно деление. Любое измерение интервала времени означает сравнение скоростей разных процессов.
      Равномерность хода времени означает, что во всякое время, и сегодня, и через год, относительная скорость всех процессов в природе одинакова.
      Равномерность хода времени установлена с колоссальной точностью на примере излучения атомов. Атомы звезд излучают свет таких же длин волн, как и атомы земные, даже если этот свет был испущен миллиард лет тому назад.
      Законы природы не изменяются и от замены времени на обратное. Это означает, что взгляд назад по времени являет такую же картину, что и взгляд вперед. Так ли это? Нам случается видеть, как яйцо, упавшее со стола, растекается, но никогда не доводилось наблюдать, как белок и желток собираются обратно в скорлупу и прыгают на стол. Старая английская песенка говорит, что если уж яйцо разбилось, тут не поможет и «вся королевская конница, вся королевская рать». И тем не менее молекулы могут случайно так согласовать свои движения, что невероятное свершится, хотя вероятность его осуществления неслыханно мала, и ждать чуда пришлось бы гораздо дольше, чем существует Вселенная. В простых системах явления такого рода происходят с большой вероятностью: молекулы в малом объеме газа под влиянием столкновений то стекаются вместе, то растекаются так, чтобы плотность в среднем была везде одинакова и равнялась плотности газа.
      Глубокий анализ подобных событий привел физиков к заключению, что «обратимость» времени существует не только в механике и электродинамике, где она прямо видна из уравнений, но и во многих других явлениях природы. Расширение Вселенной хотя и означает необратимость на космологических интервалах времени (порядка миллиардов лет), но практически не влияет на обычные земные эксперименты.
      Существует, кроме того, зеркальная симметрия - волчок, закрученный вправо, ведет себя так же, как закрученный влево, - единственная разница в том, что фигуры движения правого волчка будут зеркальным отражением фигур левого. Существуют зеркально асимметричные молекулы, как правая и левая руки, но если они образуются в одинаковых условиях, число левых молекул равно числу правых.
      Зеркальная симметрия явлений природы - неточная, как и большинство других симметрии. В слабых взаимодействиях, ответственных за радиоактивный распад, зеркальная симметрия нарушается. Даже в явлениях, не связанных с радиоактивными превращениями, влияние слабых взаимодействий приводит к небольшому нарушению зеркальной симметрии. Так, в атомах относительная неточность зеркальной симметрии - порядка 10-15.
      Однако влияние этого ничтожного нарушения на переходы между очень близкими уровнями не так мало (порядка 10-3-10-8). В 1964 году группа физиков Московского института теоретической и экспериментальной физики обнаружила небольшое нарушение четности ядерных сил, вызванное слабыми взаимодействиями (Ю. Абов, П. Крупчицкий, Ю. Оратовский). В 1966 году нарушение четности было обнаружено другим методом в Ленинградском институте ядерной физики имени Б. П. Константинова (В. Лобашов, В. Назаренко, Л. Саенко, Л. Смотрицкий, Г. Харкевич). В 1978 году Л. Баркову и М. Золотареву из Института ядерной физики новосибирского академгородка удалось обнаружить это явление в атоме. Кроме того, слабые взаимодействия приводят также к небольшому нарушению временной обратимости.
      Важнейшая симметрия, пронизывающая всю современную физику, была обнаружена в начале XX века. Еще Галилей нашел замечательное свойство механических движений: они не зависят от того, в какой системе координат их изучать - в равномерно движущейся или в неподвижной.
      Замечательный голландский физик Хендрик Антон Лоренц в 1904 году убедился, что таким свойством обладают и электродинамические явления, причем не только для медленно движущихся тел, но и для тел, движущихся со скоростью, близкой к скорости света. При этом выяснилось, что скорость заряженных тел не может превысить скорости света.
      Анри Пуанкаре в работе, оказавшей огромное влияние на теоретическую физику, показал, что результаты Лоренца означают инвариантность уравнений электродинамики относительно поворотов в пространстве-времени, то есть в пространстве, в котором, кроме трех обычных координат, есть еще одна - временная.
      Но самый важный шаг сделал Эйнштейн, обнаружив, что симметрия пространства-времени - всеобщая, что не только электродинамика, но все явления природы - физические, химические, биологические - не изменяются при поворотах. Ему удалось это сделать после глубокого и не сразу понятого современниками пересмотра наших привычных представлений о пространстве и времени.
      Слово «поворот» надо было бы заключить в кавычки - это не обычный поворот, при котором сохраняют
      ся расстояния между точками; например, расстояние от какой-либо точки до начала координат.
      В четырехмерном пространстве, о котором мы только что говорили, по четвертой оси откладывается время t, помноженное на скорость света с, и «поворот» соответствует неизменности не расстояния до начала координат, а величины l2 = x2+y2+z2-c2t2 = хl2+yl2+ + zl2-c2ti2, где x, у, z; хl yl,zl - координаты до и после поворота. Такой «поворот» обеспечивает постоянство скорости распространения света в разных системах координат.
      Таким образом, все симметрии, которые мы до сих пор рассматривали, объединяются в одну, всеобщую -¦ все явления природы инвариантны относительно сдвигов, поворотов и отражений в четырехмерном пространстве-времени. Инвариантность относительно сдвигов и поворотов в обычном пространстве получается как частный случай, когда сдвиг не изменяет отсчета времени или когда вращение происходит вокруг временной оси.
      Нужно пояснить, что означает инвариантность явлений природы относительно поворотов. Все физические величины можно классифицировать по тому, как они изменяются при повороте. Есть величины, которые не изменяются вовсе, - они называются «скалярами». Другие - векторы - ведут себя как отрезок, проведенный из начала координат в какую-либо точку пространства. При повороте системы координат длина вектора не изменяется, а его проекции на оси координат изменяются по известному закону. Есть величины, изменяющиеся более сложно, например как произведение двух векторов. Они называются «тензорными».
      Кроме векторных и тензорных величин, есть и другие, которые при поворотах тоже изменяются заданным образом. Я не сразу решился их назвать, боясь испугать читателя незнакомым словом, - они называются «спинорами». Из спиноров можно образовать квадратичную комбинацию, которая изменяется как вектор; или другую - скалярную, не изменяющуюся при поворотах. Волновая функция электрона изменяется при поворотах как спинор, или, кратко, - она есть спинор. Пока достаточно знать само слово, не раскрывая его математического смысла. Неизменность законов или уравнений означает, что во всех слагаемых уравнения и в левой и в правой частях стоят величины, одинаково изменяющиеся при поворотах.
      Так же как бессмысленно сравнивать величины разной размерности, скажем, время и длину, массу и скорость, - невозможно и равенство, в котором слева - скаляр, а справа - вектор.
      Суть симметрии именно в этом делении величин на скаляры, векторы, тензоры, спиноры… Ясно, насколько легче отыскать уравнение, если требовать, чтобы все слагаемые одинаково изменялись.
      Мы увидим в следующей главе, как размерные оценки позволяют находить неожиданные физические соотношения. Классификация величин по их изменению при поворотах или при какой-либо другой операции - это следующий шаг в сторону глубины понимания природы; жаль, что школьный курс ограничивается лишь первым шагом - размерностью.
      Симметриям, которые мы до сих пор рассматривали, соответствовали операции, не зависящие от пространственной точки. Во всем пространстве происходит одинаковый сдвиг или поворот. Такие симметрии называются «глобальными». Можно было бы попытаться найти такие уравнения, так записать законы природы, чтобы они не изменялись не только при глобальных сдвигах и поворотах, но при сдвигах и поворотах различных в разных точках. Такая симметрия называется «локальной».
      Именно из этого исходил Эйнштейн в поисках своих знаменитых уравнений тяготения, связавших геометрию пространства с плотностью материи. Уравнения тяготения возникают как следствие локальной симметрии пространства-времени. Эти уравнения объединили механику и тяготение; из них при малых скоростях вытекают уравнения ньютоновой механики.
      Мы пока рассматривали пространственно-временные, или, короче, пространственные симметрии.
      В физике последнего времени играют важнейшую роль и так называемые «внутренние симметрии». Одна из них - «калибровочная инвариантность». Не вдаваясь в сложные объяснения, скажу, что она обеспечивает, в частности, справедливость такого важного закона, как закон Кулона. Даже малое нарушение калибровочной инвариантности в электродинамике несовместимо с тем, что нам известно о распространении длинных радиоволн.
      Другой пример внутренней симметрии - «изотопическая инвариантность сильных взаимодействий». Она объясняет сходство целых семейств элементарных частиц, например нейтрона и протона. Обобщение этой симметрии привело физику к открытию кварков - частиц, из которых построены все сильновзаимодействующие частицы - адроны, - такие, как нейтрон, протон, пи-мезон, прежде считавшиеся элементарными.
      Дальше я расскажу подробнее об этих и других внутренних симметриях. Мы увидим, что законы сохранения - закон сохранения энергии, импульса или заряда - получаются как строгое следствие различных симметрии.