…И совершенство

Мы свернули на маленькую улочку.

– Какая прелестная улица! – захлопала в ладоши Таня.

– Но это же улица Совершенства, – пояснила Четвёрка. – Здесь живут очень немногие числа. Но зато все они совершенные. Их так и зовут – совершенные числа. В отличие от простых, они-то уж обязательно делятся на всякие другие числа.

– Значит, они составные? – спросила Таня.

– Безусловно, составные. Но особенные. Совершенные числа равны сумме тех чисел, на которые делятся. Разумеется, кроме самих себя. Возьмём совершенное число – 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа:

– Изумительно! – воскликнула Таня.

– Или вот другое совершенное число – 28, – продолжала Четвёрка. – Помните, какие у него младшие делители?

– Помним, – ответила Таня. – 1, 2, 4, 7 и 14.

– Сложите их:

– Зд?рово! – закричал Сева.

– Ага! – догадался Олег. – Значит, совершенные числа равны сумме всех своих младших делителей.

– Молодец! – похвалила Четвёрка.

– А много ли на этой улице совершенных чисел? – поинтересовался Сева.

– К сожалению, – сокрушённо вздохнула Четвёрка, – всего двадцать четыре: 6, 28, 496, 8 128, 130 816… Дальше они растут всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее. Эта улица только ещё заселяется. Если вам доведётся найти новое совершенное число, скажите ему, что здесь его ждут с нетерпением.

– Никогда не думал, что в Карликании так много интересных чисел, – задумчиво сказал Сева.

– Ах, это только малая крупица наших богатств! – с гордостью ответила Четвёрка. – Многим не хватает жизни, чтобы познакомиться со всеми. Вот, например, недалеко отсюда живут неразлучные друзья. Они так любят друг друга, что делятся всем, что имеют. Это числа 220 и 284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме младших делителей другого. Какие делители у числа 284? 1, 2, 4, 71, 142. А у числа 220 делители: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Попробуем сложить делители каждого числа:

Вот почему эти числа называются дружественными.

Недаром знаменитый греческий математик Пифагор сказал: «Друг – это второе я!» – и при этом сослался на числа 220 и 284.

А ведь таких чисел-друзей много!

Тут завязался разговор о дружбе, о верности. И мы не заметили, как очутились за городом.

Развалины Рима

Мы шли довольно долго, пока наконец на холме не показался Рим. Он был окружён древними полуразрушенными крепостными стенами. Под ними находился ров, некогда наполненный водой, а теперь высохший и густо заросший сорными травами. Шаткий деревянный мост был поднят. Покосившиеся ворота заперты. Их охраняла дряхлая волчица.

– Здешние римляне утверждают, – не без юмора сказала Четвёрка, – что это прапрапраправнучка той самой волчицы, которая вскормила двух близнецов: Ромула и Рема – основателей древнего Рима.

– Смотрите, смотрите, – закричал Сева, – у них на башне гусь!

– Может быть, и это прапрапраправнук тех гусей, которые Рим спасли? – предположила Таня, с интересом рассматривая забавный флюгер.

– Как это гуси могли Рим спасти? – возмутился Сева.

– Очень просто, – ответил Олег. – Гуси загоготали как раз тогда, когда враги подобрались к спящему городу. Воины проснулись и прогнали неприятеля.

Мы с опаской подошли ко рву. По правде говоря, нас смущала волчица.

– Не бойтесь, – улыбнулась Четверка, – она уже давно никого не трогает.

И действительно, волчица широко раскрыла пасть и… зевнула.

В городе нас, очевидно, заметили. Из широкой щели в воротах выглянула и тотчас же скрылась какая-то тощая фигурка, похожая на спичку. Следом за ней стали высовываться другие спички.

Через некоторое время на башне показалась спичка с какой-то длинной трубой. Она приложила её ко рту, и… из трубы вылетели две перепуганные мышки. Послышались хриплые звуки, напоминающие рёв осла.

Вслед за этим с невероятным скрипом и скрежетом медленно опустился мост через ров – точь-в-точь древний старик, суставы которого срослись от долгой неподвижности.

Между тем за воротами происходила странная возня. Похоже было, что огромным ключом пытаются открыть ржавый замок, но это никак не удаётся.

Но вот ветхие петли не выдержали – ворота, так и не раскрывшись, плашмя упали на землю, и мы увидели большую площадь.

Сквозь каменные плиты пробивалась трава. На нас пахнуло запахом плесени и запустения.

– Ничего не поделаешь – древность! – вздохнул Сева. Но что это?

Из-за поворота показалась четвёрка полудохлых лошадей, тащившая весьма странное сооружение на двух огромных вихляющихся колёсах. По обе стороны этой развалюхи выстроились целые полчища спичек, охранявшие своего предводителя – старичка, повисшего на костылях. Его скрюченные подагрой ноги касались друг друга носками. Вся его нелепая фигура напоминала букву «М».

Старик обратился к нам с длинной, высокопарной речью на латинском языке, из которой мы поняли только, что нас приглашают войти в город.

– Идите, – сказала Четвёрка, – а я подожду вас здесь.

– Как, вы нас покидаете? – огорчились ребята.

– Лучше мне туда не ходить, – пояснила Четвёрка. – Римляне не любят жителей Арабеллы. Они нам завидуют. Люди мало пользуются римскими цифрами, а мы всегда нарасхват.

Мы вошли в город. Он был запущенный и бедный.

– Я-то думала, что мы увидим Колизей, – сказала разочарованно Таня, – гладиаторов, львов, а тут…

Сразу же выяснилось, что римляне не умеют говорить на нашем языке. Они засуетились и стали искать переводчика. Он у них был только один, и его никак не могли добудиться.

Наконец привели заспанную спичку, которая долго зевала. Это и был переводчик.

После многих церемоний, сопровождавших знакомство, Сева наконец задал самый главный вопрос:

– Нет ли у вас Нулика?

– Повторите, пожалуйста, ещё раз, – попросил переводчик. – Я не расслышал!

– Я спрашиваю: нет ли у вас Нулика?

Переводчик пренебрежительно усмехнулся:

– Какого Нулика? Вы, наверное, говорите о том маленьком кружочке, который неизвестно для чего живёт в Арабелле и ровно ничего из себя не представляет? Нет, нет, у нас нет нуликов! Они совершенно бесполезны. Кроме того, никогда не разберёшь, где у них начало, а где конец. Мы, римляне, признаём только прямые линии. Это очень удобно. Сразу видно, где ноги, где голова.

– Как же вы составляете числа, например десять, сто, если у вас нет нуликов?

– Всё это можно изобразить одними палочками.

– Даже большое число?

– Даже большое. Смотрите.

Переводчик хлопнул в ладоши, и стоявшие на площади спичечные воины мгновенно образовали несколько правильных рядов.

– Как физкультурники на стадионе, – заметил Сева.

– Каждый из этих воинов, – пояснил переводчик, – единица. Ничего более. Но из этих единиц я могу составить всё, что угодно. Сейчас я заставлю их превратиться в двойки. Раз, два! – скомандовал он.

На площади произошла перегруппировка. Все спички расположились парами.

– Теперь вы видите перед собой число два. Прошу дальше. Раз, два, три!

Не успели мы глазом моргнуть, как в каждом ряду стояло по три спички.

– Вот вам и число три, – сказал переводчик.

– А четыре? – спросила Таня.

– Сначала познакомьтесь с нашей пятёркой, – таинственно ответил переводчик и снова подал команду.

Спички опять перегруппировались по две, вплотную придвинулись друг к другу и отклонились в стороны.

Мы увидели фигуру, которую у нас обычно называют галочкой, – V.

– Теперь нетрудно получить и четвёрку и шестёрку, – продолжал переводчик. – Поставим палочку слева от пятёрки, получим четыре – IV, поставим её справа, получим шесть – VI.

– Значит, всё дело в том, – догадалась Таня, – чтобы из пятёрки либо вычесть единицу, либо прибавить. Если единица слева, значит, её надо вычесть, если справа – надо прибавить.

– Понимаю! – воскликнул Олег. – Если приставить к пятёрке справа две палочки, будет семь, а три палочки – восемь.

– Мы так и поступаем. Видите, как просто, – с гордостью сказал переводчик.

– Тогда я знаю, как получить девятку, – заявил Сева. Переводчик посмотрел на него насмешливо:

– Уж не собираетесь ли вы для этого прибавить к пятёрке четыре палочки? Эту ошибку делают многие. Между тем девятку у нас изображают по-другому. Ведь она стоит ближе к десятке, чем к пятёрке. Значит, проще поставить единицу слева от десятки – вот вам и девятка!

– Но как у вас изображают десятку? – поинтересовался обескураженный Сева.

Переводчик подал знак, и птички-спички превратились в ловких акробатов. Одни пятёрки перевернулись и стали кверху ногами, другие легко вскочили на них – X.

– Здорово! – воскликнул Сева.

– Красиво и просто! – подтвердил переводчик. – А дальше наше обычное правило: единица слева – девять, IX; единица справа – одиннадцать, XI. Потом XII, XIII, XIV, XV, XVI… Затем две десятки – двадцать, XX; три десятки – тридцать, XXX…

– Четыре десятки – сорок, – в тон ему продолжал Сева.

– Стоп! – сказал переводчик. – Я забыл вам сообщить, что, кроме палочек, у нас имеются четыре латинские буквы: М, D, С и L. М – это тысяча и, как самое большое число, наш предводитель. Его помощники: D – пятьсот, С – сто и L – пятьдесят. Итак: сорок – это пятьдесят минус десять. Значит, изображается это так: XL. Допустим, вы хотите получить число 1663… – Переводчик низко поклонился, вызывая нужные буквы.

Ждать пришлось довольно долго: престарелые пенсионеры передвигались медленно. С трудом образовали они задуманное число: MDCLXIII.

– Как видите, мы прекрасно обходимся без Нулика! – ехидно заметил переводчик.

– По-моему, это очень долго и неудобно, – сказала Таня. – Теперь я понимаю, почему люди больше вами не пользуются.

– Ошибаетесь, – ответил переводчик, покраснев от негодования. – Не далее как вчера нас вызвали на девяностолетний юбилей вашего уважаемого учёного. Мы целый вечер красовались над столом президиума – ХС – и слушали длинные похвальные речи в адрес юбиляра. При этом сам юбиляр часто поглядывал на свои фамильные часы, где на циферблате были только римские цифры. Потом учёному преподнесли роскошное издание его трудов. И что же вы думаете? Все главы были обозначены только римскими, слышите – римскими цифрами!

– Ну, для юбилея вы ещё можете пригодиться, – заметила Таня, – но производить сложные вычисления с вами очень неудобно. Ведь вас даже нельзя столбиком ни сложить, ни перемножить, я уж не говорю о делении. Как вы это делаете?

Переводчик притворился, что не расслышал Таниных слов. На него снова напала нервная зевота.

Больше осматривать в этом городе было нечего, и мы покинули его, довольно холодно распрощавшись.

Очевидно, все на нас обиделись, потому что даже волчица отвернулась, когда мы спускались по мостику, а у гуся был надутый и рассерженный вид.

У ворот нас поджидала Четвёрка с бантиком.

– Какая вы красивая! – обняла её Таня. – И какие противные эти обгорелые спички!

– Значит, вам там не понравилось? – просияла Четвёрка. – Я, признаться, этому очень рада. И всё же не стоит с ними ссориться. Они ещё будут попадаться на вашем пути.

– С меня довольно и арабских цифр! – сказал Сева. – Не понимаю, зачем это люди навыдумывали какие-то другие?

– Свои цифры были у многих народов, – ответила Четвёрка, – большинства из них вы теперь уже нигде не встретите.

– Что это за цифры? Какие они были? – заинтересовалась Таня.

– Хотите посмотреть?… Тут неподалёку ведутся археологические раскопки. Может быть, и нам попадётся что-нибудь интересное?

– А может быть, именно там и прячется Нулик? – предположили ребята.

– Увы! – вздохнула Четвёрка. – Там его тоже не может быть. И всё же пойдёмте хоть ненадолго. Это очень любопытно.

Мы с восторгом согласились – ведь это была наша первая археологическая экспедиция.

Интересные находки

Идти было нелегко. То и дело попадались огромные ямы, возле которых громоздились насыпи щебня и земли. Всюду мы видели трудолюбивых, как муравьи, карликан. Они копались в земле с таким удовольствием, точно это был не тяжёлый труд, а весёлая игра. Ещё бы! Разве не интересно восстанавливать прошлое своего государства по ржавым и замшелым останкам старины, пролежавшим в земле тысячелетия!

Мы остановились у одной из таких ям и с любопытством наблюдали за работой. Как раз в это время степенный карликан вытащил из кучи земли какие-то маленькие вещицы.

– Ой, какие хорошенькие брошечки! – закричала Таня. Она ведь недаром была девочка.

Карликан улыбнулся:

– Как вы сказали? Брошечки? Такими брошками в Древнем Египте изображали слова. Называются они иероглифами. Когда-то иероглифы были очень сложными, потом упрощались, но становилось их всё больше. Иероглифами стали обозначать и числа.

– Да! – Сева задумчиво почесал затылок. – Если бы иероглифами ставили отметки в дневнике! Мама никогда бы не догадалась, что я плохо отвечал!

– Для этого вам надо поехать в Египет, – улыбнулся карликан.

– Или в Китай, – добавил другой карликан, стоявший рядом. – Там тоже сохранились иероглифы.

И он показал нам японские иероглифы, изображающие первые десять чисел:

– Но самые забавные иероглифы были всё же в Древнем Египте, – сказал первый карликан, протягивая нам какой-то обломок.

– Птичка! – в восторге закричала Таня.

– Эта птичка у египтян обозначала число сто тысяч. А вот этот человечек, – он показал другой обломок, – означает миллион.

– Какой ужас! – вздохнул Сева. – Не завидую египетским школьникам! Тут с арабскими-то цифрами не всегда справляешься, а уж им, наверное, совсем туго приходилось.

Мы поблагодарили карликан и отправились к следующей группе археологов.

Мы уже были совсем близко от них, когда Сева споткнулся о какую-то железку. Он вытащил её из земли и стал рассматривать, как заправский исследователь.

– Посмотрите, какая интересная закорючка!

– Это вовсе не закорючка, – вежливо сказала Четвёрка, взглянув на его находку. – Это титло.

– Вы хотите сказать, титул, – поправил Сева. – До революции титулы давали всяким богатым людям – граф, барон…

– Почти так! – засмеялась Четвёрка. – Древние славяне отмечали титлом буквы. Когда над буквой ставили титло, буква превращалась в число.

– Выходит, Сева прав, – сказал Олег. – Буквам давались титулы. Только титулованные буквы становились не графами и не баронами, а числами.

– Посмотрите на эту табличку, – сказал слышавший наш разговор карликан. – Здесь изображены славянские буквы с титлами. Под каждой написано название буквы и числа, которое она обозначает.

– А как же записать числа, которых здесь нет? – спросила Таня. – Например, двенадцать?

– Я знаю, – сказал Сева, – десять и рядом два. Вот так:

– Как раз наоборот, – возразила Четвёрка, – сперва два, а уж потом десять. И читалось это так: два на десять. Интересно, что этот порядок чтения чисел сохранился до наших дней: двенадцать, пятнадцать – несмотря на то, что пишем мы сначала десятки, а потом единицы.

– Таким способом писать маленькие числа, может быть, и легко, – сказал Сева, – а как написать большое число?

– А вот как, – вмешался в разговор карликан и показал несколько одинаковых позеленевших медных значков:

Этим значком обозначалась тысяча. Значок ставили впереди числа тысяч.

Например,

обозначает двадцать,

а вот так – это уже двадцать тысяч. Два таких значка обозначают тысячу тысяч, то есть миллион. Вот это уже двадцать миллионов.

– Но должна заметить, – сказала Четвёрка, – что древние славяне не знали чисел больше тысячи. А когда они познакомились с числом десять тысяч, оно показалось им таким огромным, что его стали называть тьмой.

– Оттуда, наверное, и пошло, – сказал Олег, – выражение тьма-тьмущая. Это когда чего-нибудь очень много!

– Так много, что в глазах темно, – добавила Таня.

– Потом, однако, – продолжала Четвёрка, – славяне научились считать и больше чем до десяти тысяч. Сперва дошли до миллиона и стали уже его называть тьмой:

– А потом дошли до миллиона миллионов. Это у них был легион.

– А дальше?

– А дальше пошёл легион легионов – леодр.

– А леодр леодров они знали?

– Знали и называли его вороном.

– Прямо как птицу, – засмеялся Сева.

– Это понятно, – вставил Олег, – ворон чёрный, темнее тьмы.

– А как назывался у них ворон воронов?

– А такого у них и не было, – ответила Четвёрка. – Больше ворона, говорили они, несть уму разумети.

– Значит, дальше – стоп! – сказал Сева.

– Не совсем, – ответила наша провожатая. – В одной рукописи было найдено число побольше ворона – десять воронов. И называлось это число колода.

И в той рукописи сказано: «Того числа несть больше».

– Значит, об эту колоду они споткнулись и дальше не пошли, – заключил Сева.

– А мы пойдём дальше, – улыбнулась Четвёрка.

По дороге нас ожидала ещё одна приятная неожиданность.

У Олега развязался шнурок на ботинке. Он нагнулся, чтобы его завязать, и заметил, что стоит на глиняной плите. Он счистил с неё слой земли. И все увидели, что плита покрыта множеством довольно глубоких чёрточек-клинышков.

– Это, наверное, какая-то древняя письменность, – решил Олег.

– Вы не ошиблись, – ответила Четвёрка. – Это клинопись. Так писали в Древнем Вавилоне. Маленькими заострёнными палочками вавилоняне выдавливали свои письмена на мокрой глине, а потом обжигали глиняные плитки на ярком солнце. Палочками трудно было писать замысловатые фигуры. Поэтому вавилонские письмена состояли из маленьких клинышков.

– Скажите, – спросил Сева, – в Вавилоне тоже писали числа буквами?

– Нет, – ответила Четвёрка, – у вавилонян, в отличие от славян, существовали цифры, с помощью которых они записывали числа. Цифры изображались в виде тоненькой палочки с маленьким треугольничком наверху:

– Совсем как гвоздик! Со шляпкой!

– Действительно, похоже на гвоздик, – согласилась Четвёрка. – Только у гвоздика одна шляпка, а у цифр могло быть много. Вот как писались девять вавилонских цифр:

– Смотрите, у девятки целый шляпный магазин! – обрадовалась Таня.

– Их очень легко сосчитать, эти шляпки, – сказал Олег.

– Это потому, что их не больше девяти. А вот сорок треугольников, пожалуй, и не сосчитаешь, – ответил Сева.

– А зачем же надо считать сорок треугольников? – удивилась Четвёрка. – Ведь для цифры десять у них был другой, простой знак. Вот такой:

Если нужно было написать двадцать, выдавливались два таких знака. А двадцать четыре писали, как и мы сейчас, – сперва число десятков, а затем число единиц. Вот так:

– Да это и в самом деле проще иероглифов, – обрадовался Сева.

– Это не только проще, но это уже похоже и на наш способ написания чисел. Справа единицы, а за ними десятки, потом сотни… Словом, все цифры становятся на свои позиции, как в строю. Потому этот способ и называется позиционным.

– Значит, мы записываем числа позиционным способом? – спросила Таня.

– Конечно, – ответила Четвёрка. – И начало этому положено в Вавилоне.

– Понимаю, – добавил Сева, – у нас счёт вавилонский…

– Вот и неверно, – остановила его Четвёрка. – Счёт у нас не вавилонский, а свой, особенный. Ведь мы считаем по десятичной системе, а у вавилонян была шестидесятиричная!

– Это как же так? – спросил Сева.

– А вот как: возьмём какое-нибудь число, ну, например, 3662. В нашей системе двойка здесь обозначает число единиц, за ней стоит шестёрка – это число десятков, а следующая шестёрка – число сотен, наконец, тройка – число тысяч.

Значит, это число можно бы написать и так:

А у вавилонян всё совсем по-другому. Если бы они знали арабские цифры, они бы это число записали так:

По их системе двойка, как и у нас, остаётся числом единиц – первый разряд. А вот стоящая слева от неё единица – это не число десятков, а число шестидесятков – второй разряд. А следующая единица – уже число 60 x 60 = 3600 – третий разряд. Заметьте, что между разрядами нужно обязательно оставлять свободное место, иначе можно легко запутаться, что, кстати, частенько случалось.

Таким образом, наше число по вавилонской системе выглядело бы так:

Вот как они считали, – закончила Четвёрка.

– Ой, как трудно! Хорошо, что у нас так никто не считает! – воскликнула Таня.

– Ошибаетесь, – поправила её Четвёрка. – Вы тоже считаете так… иногда.

– Я? Никогда!

– А я вам сейчас напомню. Скажите, пожалуйста, сколько в часе минут?

– Минут? Шестьдесят.

– Так. А сколько в часе секунд?

– Сейчас скажу. Шестьдесят на шестьдесят… Три тысячи шестьсот, – сосчитала Таня.

– Вот видите. Вы же делите часы и минуты не на десять частей, а на шестьдесят! Значит, и вы считаете по шестидесяткам!

Таня только руками развела:

– Вот не знала, что у нас осталось что-то от Древнего Вавилона!

Музей Пушкина

– Где мы только не побывали сегодня! – задумчиво сказал Олег, когда мы возвращались в Арабеллу. – И в Риме, и в Китае, и в Египте, и у древних славян, и в Вавилоне, а Нулика так нигде и не нашли.

– Выходит, мы с вами были правы, – лукаво улыбнулась мне Четвёрка. – Но не беспокойтесь, друзья! Нулика мы обязательно найдём! На всякий случай заглянем в музей Пушкина.

– Как, у вас есть музей Пушкина? – изумились ребята. – Поэт в Арифметическом государстве? Какое он имеет к вам отношение?

– Пушкин был очень разносторонним человеком, – возразила Четвёрка. – Он прилежно изучал историю, любил музыку и интересовался нами, жителями Арабеллы.

В это время мы подошли к небольшому дому, украшенному портретом великого поэта.

Четвёрка с бантиком ввела нас в комнату, где не было ничего, кроме странного рисунка, висевшего на стене.

– Этот рисунок взят нами из рукописей Александра Сергеевича, – продолжала Четвёрка. – Дело в том, что с давних пор люди ломали головы над тем, откуда взялось начертание арабских цифр. Существует много всевозможных догадок. Пушкин тоже предложил свой остроумный домысел, который нам очень понравился. Он решил, что все десять арабских цифр, включая нуль, помещаются в этом магическом квадрате. Чтобы легче разобраться в его рисунке, взгляните сюда.

Четвёрка достала большую папку, которой мы вначале не заметили. Там было десять листов. На каждом – всё тот же рисунок, но всякий раз жирная линия обрисовывала новую фигуру, в которой мы без особого труда узнавали какую-нибудь из наших цифр. Только пятёрка немного подгуляла – у неё не хватало хвостика.

Четвёрка с бантиком объяснила, что в древние времена у пятёрки хвостика не было. Он вырос несколько позже.

– Интересно! – сказал Олег. – Но можно ли считать, что предположение Пушкина верно?