МЫСЛИ: Невидимая революция Феликса Клейна

Автор: Ваннах Михаил

Тема компьютерного образования сегодня обсуждается всесторонне. Официальная точка зрения такова: надо как можно скорее оснастить школы как можно большим количеством компьютеров, скоростным выходом в Сеть, а также снабдить деньгами для покупки большого количества лицензий на самые дорогие проприетарные программные продукты.

Реже можно встретиться со здравым мнением, что, в общем-то, все нужное для образования имеется и в виде свободного софта. Вторая точка зрения, надо сказать, менее популярна среди деятелей образования. И понятно почему. Дело-то в том, что мотивацией их деятельности является обеспечение СЕБЯ средствами к существованию, а отнюдь не снабжение детишек знаниями. Исключения, конечно, бывают. Но лучше исходить из того, что они нечасты – это убережет от многих разочарований!

Так что успокоимся по поводу судьбы бюджетных средств. Несколько смягчая высказывание одного опытного финансиста, можно сказать: то, что должно быть украдено, украдено и будет. Не на закупке профессиональных пакетов трехмерной графики в сельские малокомплектные школы поживятся, так на ремонте последних или хотя бы на противопожарной обработке. Да и на поставке сборок свободного софта тоже кто-то ведь заработает.

Поэтому попробуем добиться объективности в данном вопросе путем поиска исторических аналогий. Страсти, пылавшие в минувшие годы, давно покрылись золой и остыли, а свет идей остается надолго.

Так когда же впервые была поставлена задача знакомства школьников с вычислительной техникой? Похоже, что произошло это давным-давно, еще в начале прошлого века. И поставил эту задачу выдающийся математик Феликс Клейн.

Феликс Клейн родился в 1849 году, в богатом и культурном Дюссельдорфе, свободном порте Рейнской провинции Королевства Пруссии, в чиновничьей семье. Учился в гимназии родного города, ходил в богатейшую по тем временам библиотеку, насчитывавшую полсотни тысяч томов, любовался богатейшим собранием рисунков и гравюр, гулял по садам – ботаническому, зоологическому и философскому. В последнем философ Якоби принимал Гёте и Виланда, воскрешая нравы платоновского Академа. Обратим внимание – детство Клейна прошло хоть и в семье пунктуального прусского чиновника, но в атмосфере самого посещаемого на Рейне купеческими кораблями порто-франко, по-нынешнему – в свободной экономической зоне, среди интенсивного обращения продуктов, диковинок и идей со всех краев света.

В 1865 году Феликс поступает в Боннский университет изучать математику и физику. Экспериментальной физике и математике учил его Юлиус Плюккер (Pluecker 1801—68), равно крупный математик и физик. Плюккер внес весомый вклад в аналитическую геометрию – обобщил понятие координат, ввел однородные и тангенциальные координаты. Получил важные результаты в теории алгебраических кривых. Успешно исследовал электрические разряды в газах. Добился заметных успехов в спектроскопии, впервые получив в 1862 году атомарные и молекулярные спектры водорода и азота. Наставник Клейна был одним из последних ученых-универсалов – дифференциация научного знания стремительно набирала силу.

И работа Клейна по геометрии, начатая под руководством Плюккера в 1866 году, имела целью приложения геометрии к механике.

Степень доктора философии Боннского университета Клейн получил в 1868 году. Он посещает университеты Берлина и Парижа, служит в медицинских частях Прусской армии во время Франко-Прусской войны и с 1872 года начинает преподавать в университете маленького городка Эрлангена в баварской провинции Средняя Франкония.

Городку этому предстояло быть прославленным в истории математики, поскольку именно там начинающий профессор Клейн в своей лекции обнародовал Эрлангенскую программу – единый подход к различным геометриям: евклидовой, аффинной, проективной. Программа эта была опубликована в статье "Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований".

Обратим внимание на интересный факт – в 1875 году Феликс Клейн вступил в брак с Анной Гегель, внучкой великого философа.

С 1875 года Клейн преподает математику в Высшей технической школе Мюнхена, затем с 1880 года в Университете Лейпцига, а с 1886 года и до самой смерти, последовавшей в 1925 году, в Геттингене.

Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Каждому, кто хоть немного знаком с математикой, известна бутылка Клейна, блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя.

С техникой работы Клейна связаны не только через преподавание в Высшей технической школе. В сотрудничестве с Арнольдом Зоммерфельдом (Sommerfeld 1868—1951) он написал многотомную "Theorie des Kreisels" ("Теория волчка", 1897—1903). А недооценить роль волчков – сердец различных гироскопических приборов, начиная от компактных гирокоординаторов «Стрел» и «Стингеров» и заканчивая роторами систем ориентации космических аппаратов, – в истории прошлого и нынешнего веков просто невозможно.

Всегда и везде Клейн стремился сводить достижения науки в систему – и в редактируемом им с 1875 года журнале "Mathematische Annalen", и в "Энциклопедии математических наук" ("Enziklopaedie der mathematischen Wissenschaften"), в создание которой он внес огромный вклад.

И вполне понятно, что выдающийся ученый и педагог высшей школы не мог пройти мимо проблем математического образования в целом.

Гимназия старого времени

Германии как единого государства еще не существовало, а немецкие гимназии уже были лучшими в мире. Их питомцами являлись поэты Гёте и Шиллер, философы Фихте, Шеллинг и Гегель, филологи братья Гримм, историки Нибур, Эверс и Момзен. Всех их выпустила в свет классическая гимназия.

Наблюдательный сын Нового Света Марк Твен, описав вольные нравы студентов-буршей, так говорил об основе их образования: "Было бы ошибочно думать, что у беспечного гуляки студента нет никакого ученого багажа. Напротив! Он десять лет корпел в гимназии при системе, которая не давала ему никакой свободы и принуждала работать как колодника. Так что из гимназии он вышел с полным разносторонним образованием; самое большое, что может дать ему университет, – это усовершенствование в избранной им специальности. Говорят, что, кончая здесь гимназию, молодой человек получает не только всестороннее образование, но и настоящие знания; знания эти не расплываются в тумане, они выжжены у него в мозгу навсегда. Так, он не только читает и пишет, но и говорит по-гречески и по-латыни тоже" [Марк Твен, "Пешком по Европе", 1880, пер. Р. Гальпериной].

Итак, отмеченные Твеном настоящие знания – это владение греческим и латынью. Ключ к античной классике, к медицине и юриспруденции. Самые лучшие знания, которые может дать школа филологического типа. В маленьких германских княжествах чиновникам вполне хватало знания римского права, а ученым – сведений, почерпнутых из книг. И тогдашнюю элиту такое положение дел вполне удовлетворяло. Но время менялось. Наполеоновские войны похоронили пережившую свое время "Священную Римскую Империю" германской нации. На сцену истории вышли народные массы, вышли новые классы – не чтущие традиции ремесленные цеха, а агрессивные предприниматели-грюндеры с их крупным машинным производством. Требовалось расширение слоя образованных практически до всего общества. Эту задачу первой решила Пруссия – ее закон об обязательных элементарных школах (Volkschulen) Бисмарк считал основой военных побед королевства, превратившегося в империю. За элементарными школами шли школы городские (Buergerschulen и Hoehere Buergerschulen), готовящие приказчиков и купцов. Система образования предусматривала "социальные лифты" – дети рабочих могли продолжать образование в Fortbildungsschulen, где преподавание велось по вечерам или в другое удобное для учащихся время.

Полноценное среднее образование давали классические гимназии с девятилетним обучением, где, помимо прочего, гимназисты изучали греческий и латинский – в университет принимали только лиц, владевших этими языками. В технические, горные и строительные академии можно было поступить после реальных гимназий (девятилетний курс обучения, латинский язык). Кроме того, были классические прогимназии (греческий, латынь, программа первых пяти классов гимназии), реальные прогимназии, высшие реальные и обычные реальные училища (Oberrealschulen, Realschulen), женские школы (Hoehere Toechterschulen), ремесленные школы (Gewerbeschulen) – прототип будущих советских ПТУ. В основе всей этой гибкой и эффективной системы образования лежала классическая гимназия с древними языками.

Но государственным деятелям уже не хватало мудрости, почерпнутой со страниц Плутарха и Тацита, – ведь появились железные дороги, электрические компании, телеграф и телефон. И перед Первой мировой Феликс Клейн возглавляет международную комиссию по реорганизации преподавания математики.

Революция Феликса Клейна

Первую попытку реформировать немецкое гимназическое образование предпринял последний универсальный гений старой Европы Александр фон Гумбольдт. Автор монументального «Космоса» хоть и получил образование преимущественно в филологическом и юридическом духе, но для гимназий составил программу, обогащенную математикой и естественнонаучными предметами. И реальные гимназии в тех или иных германских землях (сохранявшие автономию до Первой мировой) старались следовать ей с большим или меньшим успехом. Но по мнению германских чиновников от образования, эти учебные заведения все равно были «второсортными». И Феликс Клейн взялся изменить положение с преподаванием математики – введя в архаичный курс этой дисциплины новые достижения науки.

Для этого Клейн сосредоточился не на отдельных задачах, а на чем-то, что по праву можно было бы назвать духом математики. Этот дух, наряду со старым Словом, должен был войти в души учащихся, подготовив их к удивительности странного мира. Изложению этого духа были посвящены лекции, прочтенные Клейном в 1907/08 учебном году в Геттингене будущим учителям математики средних школ и позже изданные в виде книги "Elementarmathematik vom Hoeheren Standpunkt" ("Элементарная математика с точки зрения высшей" в русском переводе). Это была революция, куда сильнее изменившая мир, нежели толпы на площадях и побоища в вестибюлях дворцов.

В начале книги Клейн говорил, как следует знакомить детей с понятием числа. Для этого он привлек философские труды Канта, строки «Фауста», работы крупнейших математиков Гамильтона, Пеано, отца теории множеств Кантора. Серьезный подход к ДУХУ математики требовал безукоризненного определения самых элементарных понятий.

Затем Клейн переходил к функциям. Именно это понятие ученый закладывал в основу курса математики, будучи убежден, что оно должно быть усвоено как можно раньше, что через него следует осуществлять преподавание и алгебры, и геометрии.

Изучение функций, их возрастания и убывания, должно приводить учащихся к понятию производной. И тоже чем раньше, тем лучше. По мнению Клейна, начала математического анализа следует включить в программу средней школы. Вспомним – Клейн был учеником последнего равно крупного физика и математика, сам много работал в области приложений математики и хорошо понимал, как важны элементы анализа при изучении естественных дисциплин.

Но наряду с широким применением строгих математических понятий Клейн уделял огромное значение примерам, взятым из повседневной жизни, – для иллюстрации понятий математики и для демонстрации мощи математических приемов в решении практических задач. Дух математики должен был приходить не только из чистого разума, но и из вполне конкретных проблем, и воспарять не только к вершинам платоновских идей, но и к тем затянутым облачками небесам, в которые карабкались цепеллины и первые аэропланы. Блистательным примером тому была маленькая главка "Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций" [Феликс Клейн, "Элементарная математика с точки зрения высшей". – М., 1987], где с поразительным изяществом на основе теории функций комплексных переменных, в которую и сам Клейн внес огромный вклад, дается способ решения уравнений, вызывавших головную боль и скрежет зубовный у поколений школяров.

Разумеется, будучи проницательным человеком, Клейн не мог не обратить внимания на счетные машины. Первые, примитивные, несовершенные. Жалкие арифмометры. Но он смотрел не на железо. "Великий Феликс, Славный Клейн, Мудрец из Геттингена…" [Неизвестный автор, приведенный М. Гарднером, пер. Ю. А. Данилова] глядел на суть, на дух. И поэтому именно он впервые осознал и донес до следующих поколений учителей необходимость знакомства школьников с тогдашней вычислительной техникой.

"Остановимся еще на минутку на общем значении того факта, что действительно существуют счетные машины, которые освобождают математика от чисто механических вычислений и которые выполняют их гораздо быстрее и более безошибочно, так как машина свободна от случайных ошибок, с которыми всегда может быть сопряжено беглое вычисление. Само существование такого рода машины может служить для нас подтверждением того, что для производства вычислений существенным является не значение целых чисел, а формальные правила, по которым они совершаются, ибо машина может следовать только этим правилам – так она устроена, – но наглядного представления о значении чисел она иметь не может.

Вряд ли можно считать случайным то, что такой человек, как Лейбниц, который был в такой же мере абстрактным мыслителем первого ранга, как и человеком выдающихся практических дарований, является одновременно как отцом чисто формальной математики, так и изобретателем первой счетной машины. Его машина еще по настоящее время представляет собой одно из наиболее ценных достояний музея Кестнера в Ганновере. Хотя это исторически и не удостоверено, но я склонен допустить, что Лейбниц имел в виду изобретением счетной машины не только достигнуть практических целей, но и ярко осветить строго формальный характер математических вычислений.

Само собою разумеется, однако, что Лейбниц отнюдь не был склонен изобретением счетной машины умалить значение математической мысли, а между тем такого рода выводы иногда приходится слышать.

"Если, – говорят, – научная деятельность может осуществляться также машиной, то на эту науку, конечно, немного можно поставить, и роль ее неизбежно должна быть совершенно второстепенной". Однако на такого рода аргументацию достаточно возразить, что математик, когда он сам оперирует с числами и формулами, отнюдь не представляет собой только жалкой копии непогрешимой машины, что он ни в коем случае не является "мыслителем без мысли"… Напротив, он сам себе ставит задачи, имеющие определенную и полезную цель, и разрешает их всякий раз новыми, своеобразными приемами. Он изобрел счетную машину только для того, чтобы освободить себя от некоторых операций, постоянно повторяющихся в однообразной последовательности, и что нужно меньше всего забывать, математик ее изобрел и математик постоянно ставит ей на разрешение задачи.

Позвольте мне закончить пожеланием, чтобы со счетной машиной ввиду большого значения, которое она приобретает, познакомились более широкие круги; в настоящее время ее, к сожалению, знают еще немногие. Прежде всего с нею должен, конечно, познакомиться учитель; я не могу не высказать пожелания, чтобы каждый ученик в старшем классе средней школы имел возможность хоть раз посмотреть эту машину" [Феликс Клейн, "Элементарная математика с точки зрения высшей". Пер. Д. А. Крыжановского. – М., 1987].

И тут нам дается урок, как следует подходить к проблемам компьютерного образования. Да, Клейн уделяет большое внимание тому, чтобы со счетной машиной мог познакомиться КАЖДЫЙ ученик. И, конечно же, учитель.

Но главное не в этом. Не в отработке практических манипуляций со шкалами и рукояткой арифмометра и не в освоении двойного щелчка лазерной мышкой, говоря языком повседневности.

Нет, говоря о мыслях, которые должны были возникать у школяра при знакомстве с арифмометром, Клейн взял путеводной звездой гений Готфрида Вильгельма Лейбница, будто бы предвидя, какую роль в счетных машинах наступающего века сыграют монады; как впервые можно будет ставить эксперименты над самой мыслью, все лучше узнавая в конечном счете самого себя…

А есть еще и возможности визуализации, предоставляемые современной вычислительной техникой. Клейн очень любил графические методы, позволяющие сделать решение наглядным, проявить его суть.

Так хотелось бы думать, что арифмометр звался «Феликс» в честь геттингенского мудреца!

АНАЛИЗЫ: Наличные 2.0

Автор: Киви Берд

К карточкам бесконтактных платежей все прочнее приклеивается название «наличные 2.0». С одной стороны, для подобного термина имеются основания, коль скоро мелкие платежи наличными все чаще заменяются поднесением смарт-карты или мобильника с RFID-чипом к окошку ридера в транспортном турникете, торговом автомате или кассовом терминале магазина. Но с другой стороны, подобная подмена понятий не совсем корректна, поскольку важнейшие свойства наличных денег – анонимность и неотслеживаемость платежей – в широко внедряемых ныне системах бесконтактной оплаты не предусмотрены. Ибо так называемые «наличные 2.0» при ближайшем рассмотрении ничем принципиальным не отличаются от обычных кредитных или дебетовых карточек, жестко привязанных к конкретным людям и их банковским счетам.

С коммерческой точки зрения никакой потребности в привязке платежных смарт-карт к своему владельцу нет. А вот с точки зрения безопасности, как считают многие независимые эксперты, бесконтактные платежные карты на основе чипов радиочастотной идентификации не только тащат за собой тяжкое наследие неважно защищенных кредитных карточек с магнитной полоской, но и порождают кучу новых проблем. Однако индустрия карточных платежей, энергично продвигающая новую технологию, с подобными воззрениями категорически не согласна и пытается убедить людей в обратном – что бесконтактная система безопаснее традиционной. Так кто же в этом споре прав?

СИСТЕМА

Автоматизированные системы выявления мошенничества, поддерживающие карточные платежи и другие банковские операции, по специальным алгоритмам проверяют подлинность транзакции и выдают сигнал тревоги в случае обнаружения подозрительных признаков. Правила выявления мошенничества могут существенно различаться у разных банков или торговых сетей, и подробности о них, как правило, не разглашаются.

Стартовав в 2003 году как экспериментальный проект в паре южных городов США, новая технология бесконтактных банковских карт на основе RFID к сегодняшнему дню стала реальностью во множестве стран Азии, Европы и обеих Америк. Если покупка относительно невелика (обычно до 25 долларов), то все операции по оплате сводятся к поднесению RFID-карточки к «окошку» прибора-считывателя у торгового терминала, заменяющего кассовый аппарат. Внешне процедура напоминает оплату проезда в общественном транспорте с помощью аналогично устроенных проездных билетов, однако бесконтактные кредитки – это универсальное платежное средство, применимое в любых точках, оснащенных соответствующими терминалами.

Главное назначение новой технологии – внедрить безналичный расчет там, где по тем или иным причинам предпочитают оплату наличными: в кинотеатрах, аптеках, ресторанах быстрого обслуживания и тому подобных местах, – иными словами, всюду, где часто выстраиваются очереди. Однако очередь можно быстро ликвидировать, отказавшись от кредитных карт и сопутствующей им процедуры оформления-подписи чека. Оплата новыми бесконтактными кредитками, как свидетельствует опыт, оказывается даже более быстрой, чем оплата наличными, – хотя бы потому, что кассиру не надо возиться со сдачей.

Хотя в нашей стране или, как ни странно, в самих США новые бесконтактные карты пока что остаются диковинкой, общее число выпущенных карт измеряется уже десятками миллионов. Крупнейшие сети безналичной оплаты и их партнеры-банки, выпускающие новые карточки, дают им разные названия – Visa Contactless, MasterCard PayPass и т. д., – однако все они работают на основе единого стандарта ISO 14443 для бесконтактных смарт-карт. По данным промышленной группы Smart Card Alliance, с 2005 по 2007 год выпущено более 20 млн. кредитных и дебетовых карт с радиочастотной связью. Одна лишь Visa на лето текущего года выпустила семь с лишним миллионов. По свидетельству этой фирмы, темпы внедрения бесконтактных карт самые высокие среди всех технологий платежей, вводившихся в действие за последние пятьдесят лет.

Но все это лишь одна – парадная, так сказать, – сторона новой технологии. Посмотрев же "с изнанки", можно увидеть и нечто иное. Что касается цифр успеха, то считать можно по-разному. Например, рубеж в 40 миллионов карт (в два раза выше нынешнего) ранее индустрия планировала достичь к концу 2006 года. В связи с непопулярностью в народе термина RFID, многократно скомпрометированного атаками правозащитников на эту «шпионскую» технологию, в контексте новых платежных карт ныне старательно избегают использовать данное буквосочетание, чаще всего прибегая к невинному RF cards, то есть просто "радиочастотные карты". Наконец, чтобы добиться высоких темпов внедрения новой технологии, банки сначала объединили RFID-чип и традиционную магнитную полоску в корпусе одной платежной карточки, а затем застолбили за собой право не предупреждать клиентов о том, что в их новой кредитке есть еще и RFID-чип. Соответственно, стал необязательным и особый значок-логотип, которым положено, вообще говоря, маркировать передающие информацию RFID-устройства. Подобные действия можно считать подарком банков клиенту ("Сюрприз! Сюрприз!") – но можно трактовать и как умышленный обман потребителей.

Представители индустрии банков и карточных платежей объясняют свои действия поиском оптимальных путей для объединения новых технологий с традиционными, понемногу себя изживающими. А потому, ради единообразия и сохранения уже развернутой по всему миру инфраструктуры обработки платежей, вся необходимая для финансовых транзакций информация о кредитке и ее владельце выдается из памяти RFID-чипа в эфир фактически в том же самом формате, как она прописана на магнитной полоске карточки. Тут-то и кроется суть проблем с бесконтактными платежами.

Банковские кредитные и дебетовые карточки нового выпуска вместе с магнитной полосой могут иметь RFID-чип для бесконтактных платежей. Эксперты по безопасности рекомендуют при получении новых карт сразу задавать банкам вопрос, есть ли в них радиочастотный чип. Если чип есть, хотя клиент его не заказывал, то имеются все основания потребовать заменить карту на традиционную.

Объединение двух систем в одном устройстве порождает закономерные вопросы о безопасности новой технологии – как в сравнении с традиционными «контактными» картами на основе магнитной полосы, так и в отношении уже известных атак и злоупотреблений, применяемых именно к RFID.

Что касается самих компаний, выпускающих бесконтактные кредитки, то они приводят целый ряд аргументов, свидетельствующих о более высокой безопасности новой технологии в сравнении с традиционной. Во-первых, говорят они, при бесконтактных платежах владельцу уже не нужно выпускать карточку из рук и передавать продавцу (официанту, клерку и т. п.), что ощутимо сокращает риск незаметного копирования и компрометации карты. Во-вторых, считыватели в торговых терминалах работают с карточками лишь на расстоянии в несколько сантиметров, что предохраняет передаваемую по радио информацию от перехвата злоумышленниками. Наконец, в RFID-чипы встроена приличная криптография и цифровые "водяные знаки", которые защищают каждую транзакцию и не позволяют ее перехватить, записать и воспроизвести где-то еще, чтобы обманным путем сымитировать оплату покупки.

Все, что говорят о защите бесконтактных карт их изготовители, конечно, правда. Вот только далеко не вся правда. Ибо если стало возможным не выпускать карточку из рук, то почему бы не позволить столь безопасной и надежной технологии оплачивать любые покупки, а не только мелочевку ценой до 25 долларов? И если ридеры якобы работают лишь на расстоянии в несколько сантиметров, то как быть с экспериментами, демонстрирующими, что дальность приема зависит не от маломощных ридеров терминала, а от качества антенны считывателя у злоумышленника, способной снимать тот же сигнал с расстояний в полтора десятка метров и более. Наконец, если разбираться с криптографией, защищающей транзакции, то и там все оказывается не совсем так, как пытается представить индустрия.

Следует подчеркнуть, что достоверно и подробно узнать, как устроена защита информации в банковских RFID-чипах карт для бесконтактных платежей, пока не представляется возможным. Ибо это есть великая коммерческая тайна, которую индустрия раскрывать не намерена. На сегодняшний день известно лишь одно независимое исследование данной технологии с точки зрения безопасности, совместно проведенное учеными Массачусетского университета в Амхерсте и сотрудниками фирмы RSA Security (www.rfid-cusp.org). Поскольку обратная инженерная разработка устройств трактуется законами США как преступление, исследователи ограничились лишь внешним изучением реакций бесконтактных карт на сигналы считывателя, проанализировав около двух десятков разных RFID-карт, выпущенных в 2006 году компаниями Visa, MasterCard и American Express. Было выявлено четыре основных разновидности форматов передаваемых в эфир данных о кредитке и ее владельце, и ни одна из них не использовала шифрования. Что же касается декларированной изготовителями криптографической защиты данных, то она применялась, судя по всему, лишь для обеспечения уникальности каждой транзакции.