В определенном смысле интерпретация Эверетта проще копенгагенской, поскольку обходится без постулирования коллапса волновой функции. Но за эту простоту приходится платить немалую цену, допуская постоянное расслоение классических миров. Любопытно, что вопрос о том, почему мы не ощущаем их присутствия, имеет весьма убедительный ответ (найденный, правда, не Эвереттом).

Можно допустить, что различные ветви единой волновой функции, которые описывают эти миры, осциллируют во времени не в фазе и поэтому друг для друга как бы не существуют. Это решение основано на элегантной концепции декогерентности, которую в 1970 году предложил немецкий физик Дитер Цех (Dieter Zeh).

Профессиональное сообщество поначалу проигнорировало эвереттовскую идею, сочтя ее беспочвенной фантазией. Ситуация изменилась после того, как к ней проявили интерес такие крупные физики, как Брюс де Витт (Bruce DeWitt) и особенно Джон Уилер (John Wheeler), «отец» теории черных дыр и, к слову сказать, учитель Эверетта. После их работ эту идею и стали именовать интерпретацией многих миров (many-worlds interpretation). Вообще-то такое название скорее способно ввести в заблуждение, правильнее было бы говорить не о «многомировой», а о «многопроекционной» картинке, но традиция уже сложилась.

Интерпретация Эверетта парадоксальна, что очень импонирует глубоким умам. Однако при всей своей элегантности она не вводит новых физических объектов, существование которых можно было хотя бы косвенно подтвердить или опровергнуть на опыте. Более того, все физические расчеты, выполненные на основе копенгагенской и эвереттовской интерпретаций, дают идентичные результаты. Правда, некоторые энтузиасты последней (например, оксфордский физик, автор пионерских работ по квантовым компьютерам Дэвид Дoйч [David Deutsch]) надеются, что она поможет становлению квантовой теории гравитации, но пока это только слова, не подкрепленные вычислениями.

В общем, не приходится удивляться, что отношение большинства физиков к идее Эверетта определяется непреходящей житейской мудростью: «Мне бы ваши заботы, господин учитель». В конце концов, в контексте профессиональных интересов специалистов по физике твердого тела, ядерной материи или оптики квантовая механика сводится к набору уравнений и способов их решения. Ученик Пола Дирака (Paul Dirac) Джон Полкингхорн (John Polkinghorne), променявший блестящую карьеру физика-теоретика на принесшие ему мировую известность занятия теологией, как-то выразился в том смысле, что типичный специалист по квантовой механике не более философичен, нежели типичный автослесарь. Однако верно и то, что интерес к основам квантовой механики сейчас на подъеме, и в этой связи Эверетта вспоминают куда чаще, чем пару десятилетий назад.

Авторы новейших гипотез Мультивселенной танцуют совсем от других печек. Они строят свои рассуждения на базе очень красивой модели Большого Взрыва (Big Bang), предложенной в 1980 году Аланом Гутом (Alan Guth) и вскоре серьезно модифицированной Андреем Линде, Полом Стейнхардтом (Paul Steinhardt) и Андреасом Албрехтом (Andreas Albrecht). Согласно этому сценарию, в самом начале свого существования наша Вселенная (о других мирах речь тогда не шла) испытала кратковременное, но чрезвычайно быстрое расширение, в ходе которого ее размеры росли пропорционально экспоненциальной функции времени. Эта стадия эволюции Космоса называется инфляционной (inflation — раздувание), поэтому и все направление именуют инфляционной космологией.

По современным представлениям, инфляция началась через 10—43 секунды после Большого Взрыва. На этом этапе существовал только физический вакуум, первичное скалярное поле, параметры которого сильно менялись из-за квантовых флуктуаций (этот загадочный субстрат образно называют пространственно-временной пеной). Для определенности будем говорить только об одном-единственном поле, хотя в более реалистичных моделях это ограничение отброшено. Какая-то из флуктуаций привела к тому, что интенсивность поля достигла острого локального пика, после чего стала спадать. Этот подскок как раз и создал условия для выхода на инфляционный режим. В итоге возник молниеносно расширяющийся пузырек с первоначальным диаметром 10—33 см, который и стал зародышем нашей Вселенной.

Инфляция пузырька-предтечи была очень недолгой, менее 10—34 с. За это ничтожно малое время его поперечник неизмеримо вырос, насколько именно — предмет спора теоретиков (скажем, оценка «в 1050 раз» считается еще очень скромной). Во всяком случае, Вселенная на этой стадии приобрела вполне макроскопические размеры. Далее она эволюционировала в соответствии с моделью Фридмана, в которой скорость расширения приблизительно пропорциональна квадратному корню из средней плотности материи и потому постепенно падает. Когда возраст Вселенной достиг 6,5 млрд. лет, на смену фридмановскому режиму пришла эволюция иного рода, первую модель которой в 1917 году построил голландский астроном Виллем де Ситтер (Willem de Sitter). Темп расширения не только перестал падать, но, напротив, начал возрастать, что мы сегодня и наблюдаем.

Однако вернемся к этапу инфляции. Когда интенсивность скалярного поля дошла до минимума и стабилизировалась, «устаканился» тот набор фундаментальных физических законов, которые до сих пор управляют поведением вещества и излучения. При подходе к минимуму скалярное поле быстро осциллировало, рождая элементарные частицы. В результате к концу инфляционной фазы Вселенная уже была наполнена горячей плазмой, состоящей из свободных кварков, глюонов, лептонов и высокоэнергетичных квантов электромагнитного излучения. Очень важно, что обычных (естественно, с нашей точки зрения) частиц было чуть больше, нежели античастиц. Эта разница была микроскопической, порядка стотысячных долей процента, но все же не нулевой. В результате, когда Вселенная охладилась настолько, что излучение перестало рождать новые частицы, вся антиматерия исчезла в процессе аннигиляции. Через тридцать микросекунд после Большого Взрыва кварки и глюоны сконденсировались в протоны и нейтроны, а где-то на десятой секунде наступила эра первичного нуклеосинтеза, то есть возникновения композитных ядер гелия, дейтерия и лития. Впрочем, это уже совсем другая история.

Даже адепты инфляционной космологии не берутся с уверенностью утверждать, какие физические факторы запустили экспоненциальное расширение и из-за чего оно закончилось. В литературе встречается больше полусотни объяснений этого процесса, и до консенсуса, судя по всему, еще далеко. Но именно потому, что теоретики пока не выяснили механизм инфляции, они не могут гарантировать, что он сработал лишь один раз и с тех пор навеки остановился. Иначе говоря, если уж инфляция однажды произошла, почему бы не предположить, что она может случаться многократно?

Именно так считает Андрей Линде. Выдвинутая им в середине 80-х годов теория вечной инфляции предполагает, что квантовые флуктуации, подобные тем, которым мы обязаны существованием нашего мира, могут возникать самопроизвольно и в любом количестве, если для этого есть подходящие условия. Они способны давать начало инфляционным процессам, в ходе которых рождаются все новые и новые вселенные. Не исключено, что и наше мироздание вышло из флуктуационной зоны, сформировавшейся в мире-предшественнике. Точно так же можно допустить, что когда-нибудь и где-нибудь в нашей собственной Вселенной возникнет флуктуация, которая «выдует» юную вселенную совсем другого рода, тоже способную к космологическому «деторождению». Можно даже пойти дальше и построить модель, в которой инфляционные вселенные возникают непрерывно, отпочковываясь от своих родительниц и находя для себя собственное место. Как говорится в одной из статей Линде, Космос «состоит из множества раздувающихся шаров, которые дают начало таким же шарам, а те, в свою очередь, рождают подобные шары в еще больших количествах, и так до бесконечности».

Но и это не все. Спонтанные флуктуации скалярного поля, запускающие инфляционный процесс, могут случаться в неодинаковых формах. Это означает, что «холодные» постинфляционные вселенные отнюдь не копируют друг друга. Речь идет даже не о том тривиальном различии, что они могут развиваться из разных начальных условий и потому эволюционировать по-разному. Вполне можно допустить, что в них устанавливаются различные физические законы (или, как частный случай, одни и те же законы, но с различными значениями фундаментальных констант — допустим, скорости света или постоянной тонкой структуры). Теория струн, речь о которой пойдет дальше, позволяет считать, что эти вселенные не обязательно обладают лишь тремя пространственными осями, число измерений может быть и другим.

Итак, вырисовывается следующий сценарий. Спонтанные квантовые флуктуации первичного скалярного поля приводят к возникновению исполинских регионов, которые в совокупности и составляют Мультивселенную. Флуктуация, которая рождает данный регион, выступает в качестве его «персонального» Большого Взрыва. Наша Вселенная принадлежит этой совокупности, но не имеет в ней никакого особого статуса. Отдельные вселенные «вложены» в единый пространственно-временной континуум, но разнесены в нем настолько, что не чувствуют присутствия друг друга.

Существование инфляционной Мультивселенной можно подкрепить и аргументами, выходящими за рамки собственно физики и космологии. Вероятно, самый известный на сегодня сторонник такого подхода — это Мартин Рис (Martin Rees), профессор космологии и астрофизики Кембриджского университета, ректор прославленного колледжа Троицы (Trinity College), сочленом которого когда-то был Исаак Ньютон. К слову, сэр Мартин занимает очень престижную должность Королевского астронома, учрежденную еще в 1675 году, при жизни Ньютона (первым ее обладателем был Джон Фламстид [John Flamsteed], для которого и была построена знаменитая Гринвичская обсерватория). Профессор Рис, получивший за научные заслуги титул барона Рис оф Ладлоу (Rees of Ludlow), помимо прочих многочисленных званий, является почетным членом Российской Академии наук, а с ноября 2005 года возглавляет Королевское Общество (Royal Society). В общем, человек весьма авторитетный.

Логика его рассуждений примерно такова. В нашей Вселенной безусловно существует жизнь, хотя бы только на одной планете. Однако вероятность ее зарождения априори настолько мала, что смахивает на чудо. Если не исходить из гипотезы Создателя, в которой, как сказал Наполеону Лаплас, астрономия не нуждается, то почему бы не предположить, что Природа случайным образом рождает множество параллельных миров, которые служат для нее, так сказать, полем для экспериментов по созданию жизни. Жизнь возникла на небольшой планете, обращающейся вокруг рядовой звезды одной из рядовых галактик именно нашего мира по той простой причине, что этому благоприятствовало его физическое устройство. Другие миры Мультивселенной в своем абсолютном большинстве для жизни приспособлены плохо и потому мертвы, если не пусты.

Рис для простоты предполагает, что в различных мирах действуют одни и те же физические законы, но значения основных констант в них не одинаковы. Он характеризует состояние каждой отдельной вселенной набором из шести параметров. Оказывается, что в нашей Вселенной их величины укладываются в чрезвычайно узкие границы, создающие коридор, который ведет к возникновению жизненных форм.

Первый параметр — это интенсивность ядерных сил в постинфляционную эпоху. Будь она чуть-чуть поменьше, композитные ядра просто не могли бы возникнуть; будь побольше — на стадии первичного нуклеосинтеза практически весь наличный водород пошел бы на образование гелия.

Второй параметр — гравитация. Если бы она была слабее, первичные газопылевые туманности не могли бы конденсироваться в плотные скопления вещества, дающие начало звездам; в противном случае звезды сгорали бы так быстро, что жизнь не успела бы возникнуть.

Третий параметр — Омега, отношение средней плотности вещества и энергии к тому значению, которое разделяет открытые и закрытые космологические модели. Для нашей Вселенной это значение с очень высокой степенью точности равно единице, причем таким оно было уже через секунду после Большого Взрыва (кстати, инфляционная теория это очень логично объясняет). Окажись оно тогда меньше на ничтожные доли процента, Вселенная бы слишком быстро раздулась и охладилась; окажись чуть больше, Вселенная давным-давно перестала бы расширяться и испытала гравитационный коллапс.

Четвертый параметр — Лямбда, космологическая постоянная, мера энергии физического вакуума. По неизвестным пока причинам семь миллиардов лет назад она сдвинулась от нуля к положительному значению, из-за чего Вселенная начала расширяться с возрастающей скоростью. С Лямбдой та же история, что с Омегой: чтобы дать жизни шанс, она не должна быть ни слишком большой, ни тем более отрицательной.

Пятый параметр — это средняя относительная амплитуда флуктуаций реликтового микроволнового излучения, равная всего лишь 10—5. Будь она немного ближе к нулю, Вселенная так бы и осталась безжизненной и бесформенной смесью газа и пыли, размазанной по космическому пространству. Обратный случай с нашей точки зрения ничем не лучше — материя быстро «склеилась» бы в компактные и массивные галактики, которые давным-давно сколлапсировали бы в черные дыры.

Последний параметр — размерность пространства. Вряд ли надо доказывать, что ни двумерное, ни тем паче одномерное пространство не могут вмещать биомолекулы. С другой стороны, в четырехмерном пространстве и пространствах более высоких размерностей были бы невозможны стабильные планетные орбиты, так что для жизни опять-таки не нашлось бы места.

Конечно, все эти соображения основаны на предположении, что жизнь возникает лишь в привычных нам формах, но ведь других мы не знаем. Приятно порассуждать о мыслящем поле или разумной плазме, но Рис к таким аргументам не прибегает. И вот его вывод: «Нет ничего удивительного в том, чтобы в большом магазине готового платья подобрать костюм себе по плечу. Аналогично в великом множестве вселенных, в каждой из которых реализуется какой-то определенный набор космологических параметров, вполне может найтись хоть одна, где существуют предпосылки для возникновения жизни. В такой вселенной мы и находимся». Иначе говоря, наш мир таков, каков есть (биофилен, по выражению Риса), не потому, что его так спроектировал неведомый Конструктор или Творец, а просто в силу закона больших чисел.

Рис полагает, что его концепция тем и отличается от чистой спекуляции, что ее удастся проверить астрономическими наблюдениями или физическими экспериментами в не слишком отдаленном будущем, возможно лет через двадцать, не более. Но практических путей к этому пока не видно, так что подождем.

Рассказ о различных концепциях Мультивселенной был бы неполон без беседы с ученым, который стоит у истоков этой ветви космологии. Слово Андрею Дмитриевичу Линде, в прошлом научному сотруднику Физического института Академии наук, а ныне профессору физики Стэнфордского университета.

— Интерпретация Эверетта была предложена еще в 50-е годы и с тех пор так никуда и не сдвинулась. Причина проста — лежащее в ее основе предположение, что мы живем в окружении множества параллельных миров, кажется уж очень эзотеричным. К тому же она появилась как попытка логического упорядочивания теории измерений квантовой механики, в отношении которой у специалистов есть множество самых разных точек зрения. Так что в интеллектуальном плане это вещь хорошая, ее надо учитывать, возможно использовать, но с моей точки зрения она как минимум неполна хотя бы уже потому, что не включает сознания. Утверждая существование множества параллельных вселенных, эта модель не определяет, в каком именно смысле они реальны. Во всяком случае, если исходить только из интерпретации Эверетта, трудно сказать что-то конкретное.

Иное дело инфляционная теория. Конечно, она не решает всех проблем современной космологии, однако отвечает на множество вопросов, которые ранее не имели решения, а некоторые даже толком не удавалось сформулировать. В старой теории Вселенная после Биг Бэнга очень быстро остывала. Поэтому процесс ее расширения должен был оказаться очень недолгим, у нее просто не хватало времени дорасти до нынешних размеров. К тому же для Большого Взрыва требовалась непонятно откуда берущаяся энергия порядка 1080 тонн в тротиловом эквиваленте. А вот мы придумали, как с помощью первичного скалярного поля выдуть всю нашу Вселенную из крошечного участка пространства, содержащего меньше одного миллиграмма вещества. Более того, этот процесс порождает цепную реакцию возникновения все новых и новых вселенных, что и называется вечной инфляцией.

Но если мир может родиться почти из ничего, что делать с законом сохранения энергии? Оказывается, с ним все в полном порядке. Энергия мира в целом складывается из положительных и отрицательных слагаемых, которые в сумме всегда равны нулю, так что закон сохранения энергии выполняется автоматически. В обычной модели Биг Бэнга пространство расширяется, и потому энергия материи уменьшается, хотя полная энергия все равно остается нулевой. А вот в инфляционном процессе энергия скалярного поля во время расширения экспоненциально растет! Этот-то рост и создает ресурс, из которого рождаются вещество и излучение. Причем общий нулевой энергетический баланс сохраняется, поскольку скалярное поле обладает отрицательным давлением. Это кажется чудом, но с уравнениями не поспоришь.

В инфляционной модели и речи нет об эвереттовском расщеплении. Параллельные вселенные в нашем смысле — это просто очень удаленные друг от друга части одного и того же физического мира. Для иллюстрации можно представить себе некий резервуар, заполненный водой во всех возможных агрегатных состояниях. Там будут жидкие зоны, глыбы из льда и пузыри пара, их и можно считать аналогами параллельных вселенных инфляционной модели. Она представляет мир как огромный фрактал, состоящий из однородных кусков с разными свойствами. Передвигаясь по этому миру, вы сможете плавно переходить из одной вселенной в другую, только ваше путешествие продлится очень-очень долго, скажем 10100000 лет.

Впервые я пришел к таким выводам еще в 1983 году, а окончательная концепция сформировалась тремя годами позже и продолжала развиваться. Ее новейший этап — статья, которую в 2003 году я опубликовал в соавторстве с Ренатой Каллош (Renata Kallosh), Шамитом Качру (Shamit Kachru) и Cандипом Триведи (Sandip Trivedi). В ней использована теория суперструн, которая с полным основанием считается наилучшим кандидатом на «теорию Всего» — элементарных частиц, гравитации, Космоса. Нам впервые удалось описать нынешний процесс расширения Вселенной с точки зрения теории струн. (Для любителей точности: в этой работе было показано, что при определенных условиях из теории струн можно вывести решения уравнений ОТО с положительной космологической постоянной, которая и создает предпосылки для возникновения режима де Ситтера. — Прим. авт.) После этого другие теоретики выяснили, что в струнной теории может оказаться 101000 разных вакуумных состояний.

Вернемся к примеру с водой — там мы говорили о тройке состояний, а здесь их 101000! Если сюда добавить теорию инфляции, то получится, что количество вселенных с разными свойствами задается этим же гигантским числом. А уж различия в свойствах могут быть просто колоссальными — скажем, в одних вселенных появятся электроны не с теми массами, что у нас, а в других они и вовсе будут отсутствовать.

Это, конечно, далеко не вся картина, мы ведь только приступили к делу. Но наш результат не фантастика, он вполне надежно получен в рамках струнной теории. Учтем, что с ее точки зрения наш мир десятимерен, у него девять пространственных измерений и одно темпоральное. Мы ощущаем себя в трехмерном пространстве только потому, что в нашем мире остальные шесть измерений компактифицированы, слиты в такой маленький клубочек, куда нам не забраться. Но не исключено, что какие-то параллельные вселенные компактифицированы иначе и потому не трехмерны.

Когда мы покончили с физикой, я спросил Андрея Линде, как ему работалось в Москве и как работается в США.

— Если сравнивать мое нынешнее положение и те условия, в которых я начинал заниматься наукой лет тридцать назад, то, право, не знаю, где было лучше. В Москве существовала прекрасная школа физики, работало множество замечательных ученых, с которыми можно было в любой момент встретиться и поговорить. Добавьте полную свободу исследований и тот немаловажный фактор, что не требовалось тратить время на преподавание, если вы этого не хотели. Здесь преподавать обязательно, и это для меня тяжеловато. Но все равно Америка — замечательное место для работы, лучшего, пожалуй, не существует.

Наука: Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре

Проблема, о которой пойдет речь сегодня, выбивается из ряда других проблем 2000 года: лишь она одна считается уже решенной. Правда, статус ее все-таки не до конца ясен, ведь «настоящей» публикации с решением так и не появилось. Приоритет Григория Перельмана — нашего соотечественника, доказавшего гипотезу Пуанкаре, — неоспорим, его доказательство признано ведущими экспертами, но формальные требования до сих пор не выполнены. Об этой почти детективной истории читателям расскажет врезка, а мы пока обратимся к самой задаче.

Введение

Гипотеза Пуанкаре — одна из тех задач, даже ошибочные решения которых приводят к появлению новых областей математики; в этом с ней может соперничать разве что великая теорема Ферма.

Сходство с теоремой Ферма есть и еще в одном важном аспекте: общедоступности формулировки[Параллели с теоремой Ферма продолжаются и дальше: история доказательства обеих гипотез весьма схожа: гениальный одиночка на несколько лет полностью посвящает себя решению проблемы и добивается успеха]. Гипотезу Пуанкаре, на мой взгляд, из всех проблем 2000 года проще всего объяснить непрофессионалу; конечно, ей далеко до простого алгебраического тождества, поля для доказательства которого оказались воистину слишком узки, но я надеюсь, что даже в рамках этой небольшой статьи мы сможем полностью понять, в чем состоит (учитывая достижения Григория Перельмана — состояла) проблема. Итак, вперед.

Анри Пуанкаре

Анри Пуанкаре — один из самых блистательных представителей французской науки. Он родился в 1854 году в семье, занимавшей весьма почтенное положение в обществе: достаточно упомянуть, что Анри приходился двоюродным братом Раймону Пуанкаре, пять раз занимавшему пост премьер-министра Франции, а с 1913 по 1920 годы, в тяжелое время Первой мировой войны, — пост президента страны.

За свою жизнь Анри Пуанкаре успел поработать во многих областях науки: комплексном анализе, небесной механике, алгебраической геометрии, теории чисел и, конечно, топологии, в которой он и сформулировал носящую его имя гипотезу. Не все знают, что Пуанкаре стоял у истоков теории относительности: долгое время он сотрудничал с Хендриком Лоренцом (кстати, преобразования Лоренца получили имя великого голландца именно с легкой руки Пуанкаре) и еще в 1898 году, задолго до Эйнштейна, в работе «Измерение времени» сформулировал принцип относительности, а затем даже ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. Примечательно, что сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре и не ссылался на него вплоть до начала двадцатых годов (!), однако впоследствии все же признал заслуги французского математика.

Философия и методы работы Пуанкаре тоже заслуживают внимания: он категорически не принимал набирающих в то время силу формалистических взглядов Рассела, Фреге и Гильберта, для которых математика была частью логики. Пуанкаре считал, что основа работы математика — интуиция, а сама наука не допускает полного аналитического обоснования. В своих привычках он следовал этой философии: Пуанкаре всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решения. Он обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведенные беседы (память, интуиция и воображение Анри Пуанкаре даже стали предметом настоящего психологического исследования). Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах — вряд ли он смог бы повторить подвиг Григория Перельмана или Эндрю Уайлса, которые долгие годы посвящали себя одной задаче[Говорю это не для того, чтобы умалить достоинства Анри Пуанкаре — возможно (хотя весьма сомнительно), обладай он тем же математическим аппаратом, что Уайлс с Перельманом, он решил бы обе задачи за завтраком]. В его трудах неоднократно обнаруживались ошибки, но и в своих ошибках он был гениален: вовремя замеченная неточность Пуанкаре в знаменитом труде о проблеме трех тел привела к развитию теории хаоса, а другая — топологическая — к той самой гипотезе, которой и посвящена эта статья.

Пончики, бублики и прочие сласти

Многочисленные книги по занимательной математике, мимо которых вы, читатели, вряд ли прошли в детстве, любят рассказывать о топологии, странной науке, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин — от Солнца. На самом деле, конечно, топология — очень глубокая наука, и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Но прелесть в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!

Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна — ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 «дырка». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).

Другое важное понятие — гомеоморфизм — также уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм — это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин — в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже рассказывал в статье, посвященной гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.

Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера — это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера — поверхность трехмерного шара).

Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Григорий Яковлевич Перельман родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 году выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Степень кандидата наук получил в СПбГУ, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН; в конце восьмидесятых уехал в США, где работал до середины девяностых, а затем вернулся в Россию; сейчас снова работает в ПОМИ.

История доказательства гипотезы Пуанкаре напоминает историю доказательства теоремы Ферма: как и Эндрю Уайлс, Перельман на долгих семь лет (с возвращения в Россию до 2002 года) практически перестал публиковаться и вообще почти ничем не напоминал о себе. Никто не знал, над чем он работал. Затем, как гром среди ясного неба, — препринт (предварительная версия статьи, обычно предшествующая публикации и нужная для того, чтобы установить приоритет и довести свои результаты до научного сообщества), помещенный Перельманом на популярный препринт-сервер arXiv [Вот ссылки на препринты Перельмана на этом сервере, содержащие доказательство гипотезы Пуанкаре: http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 ,http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109] в ноябре 2002 года. В препринте содержалось доказательство более общего геометрического факта, из которого, в частности, вытекала гипотеза Пуанкаре.

В 2003 году Григорий Яковлевич дополнил первый препринт еще одним, в котором подробнее изложил технические подробности доказательства. Кроме того, он выступил с лекциями, где комментировал свои идеи. Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Clay Mathematics Institute была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой; создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава — тяготит.

Текущее положение дел таково: множество экспертов тщательнейшим образом проверили детали доказательства. Опубликованы много сотен страниц пояснений и комментариев к двум препринтам Перельмана [См., например, http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html]. Пока ошибок не найдено, и большинство экспертов склоняются к мысли, что задача действительно решена. Что же касается обязательных публикаций, то представители Clay Mathematics Institute уже выступили с заявлением о том, что могут пересмотреть условия присуждения приза.