1. Ответы на элементарные вопросы

1. Любое свойство, которым обладает предмет или которое можно приписать предмету, называется признаком. Например, «пироги» (довольно часто) обладают признаком «подгорелые», а «мальчики» (в исключительно редких случаях) — признаком «милые».

2. Связку имеет смысл ставить между именами двух предметов (например, «Эти свиньи — жирные животные») или двух признаков (например, «Розовый — это бледно-красный»). Тире в первом случае означает связку «суть», во втором случае — связку «есть».

3. Когда одно имя является именем предмета, а другое — именем признака (например «Все свиньи суть розовые»), так как предмет не может в действительности быть признаком.

4. Проще всего предположить, что существительное, входящее в субъект, повторяется в предикате (например, «Эти свиньи суть розовые (свиньи)»).

5. Суждение — это предложение, в котором утверждается, что некоторые или все предметы, принадлежащие определенному классу, называемому субъектом, одновременно являются предметами, принадлежащими некоторому другому классу, называемому предикатом (или что ни один предмет, принадлежащий классу «субъект» не принадлежит классу «предикат»). Например, в суждении «Некоторые свежие булочки невкусные», или, если записать его в развернутом виде, «Некоторые свежие булочки суть невкусные булочки», субъектом является класс «свежих булочек», а предикатом — класс «невкусных булочек».

6. Суждение, в котором утверждается, что некоторые из предметов, принадлежащих субъекту суждения, являются такими-то и такими-то, называются частным. Например, «Некоторые свежие булочки вкусные», «Некоторые свежие булочки невкусные» — частные суждения.

Суждение, в котором утверждается, что ни один из предметов, принадлежащих субъекту суждения, не есть то-то и то-то, или, наоборот, все предметы являются такими-то и такими-то, называется общим. Например, «Ни одна свежая булочка не вкусна», «Все свежие булочки не вкусны» — суждения общие.

7. Предметы, находящиеся в любой из клеток малой диаграммы, обладают двумя признаками, которые обозначены буквами, стоящими на прямых, отделяющих эту клетку от соседних.

8. «Некоторые» предметы в логике означают «Один или несколько».

9. «Мир» в нашей игре означает класс предметов, изображаемых на диаграмме.

10. Двойным называется суждение, содержащее два утверждения, например суждение «Некоторые свежие булочки вкусные» и «Некоторые свежие булочки невкусные» — двойное.

11. Разбиение называется исчерпывающим, если каждый элемент класса принадлежит какой-то из частей, на которые распадается класс при данном разбиении. Например, разбиение класса «свежих булочек» на вкусные и невкусные является исчерпывающим, поскольку каждая свежая булочка должна быть либо вкусной, либо невкусной.

12. В тех случаях, когда человек не может решить, в какую из двух партий — республиканцев или демократов — он хочет вступить, в Америке говорят, что он «сидит на стенке» (и не знает, на какую сторону ему спрыгнуть).

13. «Некоторые x суть y» и «Ни один x не есть y'».

14. Суждения, в которых субъект состоит из одного-единственного предмета, называются единичными. Например, «Я счастлив», «Джона нет дома» — единичные суждения. Единичные суждения относятся к числу общих суждений, поскольку суждение «Я счастлив» эквивалентно суждению «Все я, которые существуют, счастливы», а суждение «Джона нет дома» — суждению «Всех Джонов, которых я рассматриваю в данным момент, нет дома».

15. Из суждений, начинающихся со слов «некоторые» или «все».

16. В тех случаях, когда суждения начинаются со слов «некоторые» или «ни один». Например, суждение «Некоторые abc суть def» можно преобразовать в суждение «Некоторые bf суть acde», причем и исходное и конечное суждения эквивалентны суждению «Некоторые abcdef существуют».

17. Некоторые тигры свирепы.

Ни один тигр не кроток.

18. Некоторые сваренные вкрутую яйца вредны для здоровья.

Ни одно сваренное вкрутую яйцо не полезно для здоровья.

19. Некоторые «я» счастливы.

Ни один «я» не несчастлив.

20. Некоторых Джонов нет дома.

Ни один Джон не дома.

21. Предметы, находящиеся в любой из клеток большой диаграммы, обладают тремя признаками, буквенные обозначения которых стоят у трех вершин данной клетки (единственное иключение составляет признак m' — предполагается, что буквы m', хотя в действительности их и нет, стоят во всех четырех углах большой диаграммы рядом с номерами 9, 10, 15 и 16).

22. Если «Мир предметов» разделен на части по трем различным признакам и нам заданы два суждения, содержащих две различные пары эти признаков, и из них мы можем вывести третье суждение относительно той пары признаков, которые не вошли в первые два суждения, то в этом случае данные два суждения называются «посылками», третье суждение — «заключением», а все три суждения вместе — «силлогизмом». Например, посылками могут быть суждения «Ни один m не есть x'» и «Все m' суть y», из которых можно вывести заключение, содержащее x и y.

23. Если некий признак входит в обе посылки, то содержащий его термин называется «средним термином». Например, если посылки имеют вид суждений «Все m суть x» и «Ни один m не есть y'», то средним термином будет класс «m-предметов».

Если же какой-то признак входит в одну посылку, а противоположный ему признак — в другую, то термины, содержащие эти признаки, можно назвать «средними терминами». Например, если в качестве посылок выбраны суждения «Ни один m не есть x'» и «Все m' суть y», то два класса — «m-предметов» и «m'-предметов» — можно назвать «средними терминами».

24. Потому что места для черных фишек определяются однозначно, в то время как утвердительные суждения (т. е. суждения, начинающиеся со слов «некоторые» или «все») иногда вынуждают нас усаживать красную фишку «на стенку».

25. Потому что единственный вопрос, который нас интересует, состоит в том, можно ли логически вывести данное заключение из данных посылок, иначе говоря, будет ли данное заключение истинным, если посылки истинны.

26. Следует принять соглашение о том, что красная фишка означает «Эта клетка может быть занята», а черная — «Эта клетка не может быть занята», или «Эта клетка должны быть пустой».

27. Ошибка в посылках и ошибка в заключении.

28. Ошибку в заключении можно обнаружить, если при переходе от большой диаграмме к малой у нас не оказывается никаких сведений ни об одной из четырех клеток малой диаграммы.

29. Нужно найти правильное заключение и затем сравнить его с предложенным. Если последнее не тождественно правильному и не составляет его части, мы имеем дело с ошибкой в заключении.

30. В тех случаях, когда предложенное нам заключение является частью правильного заключения. О подобных заключениях мы говорим как об «изъяне в заключении».

2. Суждения, представимые на половине малой диаграммы

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Кому-то может показаться, что суждение «Некоторые x существуют» следовало бы изобразить диаграммой.

В действительности же оно содержится в утверждении «Некоторые x суть y'». Красная фишка, стоящая на границе, означала бы лишь, что «одна из двух клеток занята». Это обстоятельство нам уже известно, поскольку мы знаем, что занята именно правая клетка.

8. «Ни один x не есть y», т. е.

9. «Некоторые x суть y'», т. е.

10. «Все x суть y», т. е.

11. «Некоторые x суть y», т. е.

12. «Ни один x не есть y», т. е.

13. «Некоторые x суть y», и «Некоторые x суть y'», т. е.

14. «Все x суть y'», т. е.

15. «Все y суть x'», т. е.

16. «Все y суть x», т. е.

17. «Ни одного y не существует», т. е.

18. «Некоторые y суть x'», т. е.

19. «Некоторые y существуют», т. е.

3. Интерпретация фишек, расставленных на половине малой диаграммы

1. «Ни один x не есть y».

2. «Ни один x не существует».

3. «Некоторые x существуют».

4. «Все x суть y'».

5. «Некоторые x суть y», т. е. «Некоторые хорошие загадки трудные».

6. «Все x суть y», т. е. «Все хорошие загадки трудные».

7. «Ни один x не существует», т. е. «Ни одна загадка не хорошая».

8. «Ни один x не есть y», т. е. «Ни одна хорошая загадка не трудная».

9. «Некоторые x суть y'», т. е. «Некоторые омары не эгоистичны».

10. «Ни один x не есть y», т. е. «Ни один омар не эгоистичен».

11. «Все x суть y'», т. е. «Все омары не эгоистичны».

12. «Некоторые x суть y, и некоторые x суть y'», т. е. «Некоторые омары эгоистичны, и некоторые — не эгоистичны».

13. «Все y' суть x'», т. е. «Все больные несчастны».

14. Некоторые y' существуют, т. е. «Некоторые люди нездоровы».

15. «Некоторые y' суть x, и некоторые y' суть x'», т. е. «Некоторые больные счастливы, и некоторые — несчастливы».

16. «Ни один y' не существует, т. е. „Нет ни одного нездорового человека“.

4. Суждения, представимые на малой диаграмме

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. «Ни один x' не существует», т. е.

14. «Все y' суть x'», т. е.

15. «Некоторые y' существуют», т. е.

16. «Все y суть x, и все x суть y», т. е.

17. «Ни один x' не существует», т. е.

18. «Все x суть y'», т. е.

19. «Ни один x не есть y'», т. е.

20. «Некоторые x' суть y, и некоторые x' суть y'», т. е.

21. «Ни один y не существует, и некоторые x существуют», т. е.

22. «Все x' суть y, и все y' суть x», т. е.

23. «Некоторые x суть y, и некоторые x' суть y'», т. е.

5. Интерпретация фишек, расставленных на малой диаграмме

1. «Некоторые y суть не-x», или «Некоторые не-x суть y».

2. «Ни один не-x не есть не-y», или «Ни один не-y не есть не-x».

3. «Ни один не-y не есть x».

4. «Ни один не-y не существует», т. е. «Ни один предмет не есть не-x».

5. «Ни один y не существует», т. е. «Ни один дом не двухэтажный».

6. «Некоторые x' существуют», т. е. «Некоторые дома построены не из кирпича».

7. «Ни один x не есть y'», или «Ни один y' не есть x», т. е. «Ни один кирпичный дом не имеет числа этажей, отличного от двух», или «Ни один не двухэтажный дом не построен из кирпича».

8. «Все x' суть y'», т. е. «Все не кирпичные дома не имеют двух этажей».

9. «Некоторые x суть y, и некоторые x суть y'», т. е. «Некоторые толстые мальчики ловкие, и некоторые — неуклюжие».

10. «Все y' суть x'», т. е. «Все неуклюжие мальчики худые».

11. «Все x суть y', и все y' суть x», т. е. «Все толстые мальчики неуклюжие, и все неуклюжие мальчики толстые».

12. «Все y суть x, и все x' суть y», т. е. «Все ловкие мальчики толстые, и все худые мальчики ловкие».

13. «Ни один x не существует, и ни один y' не существует», т. е. «Ни у одной кошки глаза не зеленые, и ни одна кошка не дикая».

14. «Некоторые x суть y', и некоторые x' суть y», или «Некоторые y суть x', и некоторые y' суть x», т. е. «Некоторые кошки с зелеными глазами дикие, и некоторые кошки с глазами другого цвета — ручные», или «У некоторых ручных кошек цвет глаз отличается от зеленого, и у некоторых диких кошек зеленые глаза».

15. «Некоторые x суть y, и ни один x' не есть y'», или «Некоторые y суть x, и не один y' не есть x'», т. е. «Некоторые кошки с зелеными глазами ручные, и ни у одной дикой кошки нет зеленых глаз».

16. «Все x суть y', и все x' суть y», или «Все y суть x', и все y' суть x», т. е. «Все кошки с зелеными глазами дикие, и все кошки, у которых цвет глаз отличен от зеленого, ручные», или «У всех ручных кошек цвет глаз отличен от зеленого, и у всех диких кошек зеленые глаза».

6. Суждения, представимые на большой диаграмме

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. «Ни один x не есть m», т. е.

10. «Некоторые m' суть y», т. е.

11. «Все y' суть m'», т. е.

12. «Все m суть x'», т. е.

13. «Ни один x не есть m».

«Все y суть m», т. е.

14. «Все m' суть y».

«Ни один x не есть m'», т. е.

15. «Все x суть m».

«Ни один m не есть y'», т. е.

16. «Все m' суть y'».

«Ни один x не есть m'», т.е.

17. «Все x суть m».

«Все m суть y», т. е.

18. «Ни один x' не есть m».

«Ни один m' не есть y», т. е.

19. «Все m суть x».

«Все m суть y», т. е.

20. В качестве «Мира» удобно выбрать множество людей.

«Меня» можно выбрать в качестве среднего члена. Тогда посылки силлогизма примут следующий вид:

«Я (есть) то лицо, которое послало его за котенком».

«Я (есть) то лицо, которому он по ошибке принес котелок».

Выбрав в качестве среднего члена «его», мы получим посылки в следующей форме:

«Он есть то лицо, которое я послал за котенком»,

«Он есть то лицо, которое по ошибке принесло мне котелок».

Последняя форма предпочтительнее, поскольку вся соль анекдота — в его глупости, а не в том, что произошло со мной.

Введем обозначения:

m=«он», x=«тот, кого я послал и т. д.»,

y=«тот, кто принес и т. д.»

Тогда посылки примут вид:

«Все m суть x».

«Все m суть y».

Это соответствует диаграмме

7. Суждения, представимые на двух диаграммах — большой и малой

1.

т. е. «Все y есть x'».

2.

т. е. «Некоторые x суть y'», или «Некоторые y' суть x».

3.

т. е. «Некоторые y суть x'», или «Некоторые x' суть y».

4.

т. е. «Ни один x' не есть y'», или «Ни один y' не есть x'».

5.

т. е. «Все y суть x'», или "Все черные кролики молодые».

6.

т. е. «Некоторые y суть x'», или «Некоторые черные кролики молодые».

7.

т. е. «Все x суть y», или «Все птицы, получающие достаточно корма, счастливы».

8.

т. е. «Некоторые x' суть y'», или «Некоторые птицы, не получающие достаточного количества корма, несчастны», или «Некоторые несчастные птицы не получают достаточного количества корма».

9.

т. е. «Все x суть y», или «У Джона болят зубы».

10.

т. е. «Ни один x' не есть y», или «Ни у кого, кроме Джона не болят зубы».

11.

т. е. «Некоторых x суть y», или «Некоторые из тех, кто совершил прогулку, чувствуют себя лучше».

12.

т. е. «Некоторые x суть y», или «Некоторые из тех, кого я послал за котенком, по ошибке принесли мне котелок».

13.

«Мир» — множество книг, m=«с острым сюжетом», x=«подходящие для чтения легко возбудимым людям», y=«от которых клонит в сон».

«Ни один m не есть x».

«Все m' суть y'».

—

«Ни один y' не есть x»,

или «Легко возбудимым людям не подходит для чтения ни одна книга, кроме тех, от которых клонит в сон».

14.

«Мир» — множество людей, m=«достойные славы», x=«получающие награду», y=«храбрые».

«Некоторые m суть x».

«Ни один y' не есть m».

—

«Некоторые y суть x», или «Некоторые храбрецы получают награду».

15.

«Мир» — множество людей, m=«терпеливые», x=«дети», y=«могут сидеть спокойно».

«Ни один x не есть m».

«Ни один m' не есть y».

—

«Ни один x не есть y»,

или «Ни один ребенок не может сидеть спокойно».

16.

«Мир» — множество «предметов», m=«жирные», x=«свиньи», y=«скелеты».

«Все x суть m».

«Ни один y не есть m».

—

«Все x суть y'»,

или «Все свиньи — не скелеты».

17.

«Мир» — живые существа, m=«обезьяны», x=«солдаты», y=«непристойно ведущие себя».

«Ни один m не есть x».

«Все m суть y».

—

«Некоторые y суть x'»,

или «Некоторые непристойно ведущие себя живые существа — не солдаты».

18.

«Мир» — люди, m=«справедливые», x=«мои кузины», y=«судьи».

«Ни один x не есть m».

«Ни один y не есть m'».

—

«Ни один x не есть y»,

или «Ни одна из моих кузин не судья».

19.

«Мир» — периоды (отрезки времени), m=«дни», x=«дождливые», y=«наводящие скуку».

«Некоторые m суть x».

«Все xm суть y».

—

«Некоторые x суть y»,

или «Некоторые дождливые периоды наводят скуку».

Примечание. На самом деле посылки в только что приведенном силлогизме «незаконны», поскольку заключение содержится во второй из них, и первая посылка вообще не нужна. В буквенных обозначениях это можно доказать следующим образом.

Суждение «Все xm суть y» включает в себя суждение «Некоторые xm суть y», в которое, в свою очередь, входит суждение «Некоторые x суть y». В переводе на обычный язык это означает, что суждение «Все дождливые дни наводят скуку» включает в себя суждение «Некоторые дождливые дни наводят скуку», в котором содержится суждение «Некоторые дождливые периоды наводят скуку».

Первое суждение не только излишне, но и содержится во втором, поскольку эквивалентно суждению «Некоторые дождливые дни существуют», которое, как мы знаем, следует из суждения «Все дождливые дни наводят скуку».

Каков же итог? Это — самая неудовлетворительная пара посылок из всех, которые нам уже встречались!

20.

«Мир» — предметы, m=«лекарства», x=«противные на вкус», y=«александрийский лист».

«Все m суть x».

«Все y суть m».

—

«Все y суть x».

или «Александрийский лист противен на вкус».

21.

«Мир» — люди, m=«евреи», x=«богатые», y=«патагонцы».

«Некоторые m суть x».

«Все y суть m'».

—

«Некоторые x суть y'».

или «Некоторые богатые люди не патагонцы».

22.

«Мир» — живые существа, m=«трезвенники», x=«любящие сахар», y=«соловьи».

«Все m суть x».

«Ни один y не есть m'».

—

«Ни один y не есть x'».

или «Ни один соловей не относится к сахару с отвращением».

23.

«Мир» — все съестное, m=«полезные», x=«горячая сдоба», y=«сладкие пирожки».

«Ни один x не есть m».

«Все y суть m».

—

Никаких сведений, которые позволили бы нам заполнить малую диаграмму, у нас нет, поэтому вывести заключение из этих двух посылок нельзя.

24.

«Мир» — живые существа, m=«хорошо бегающие», x=«толстые», y=«гончие».

«Ни один x не есть m».

«Некоторые y суть m».

—

«Некоторые y суть x'»,

или «Некоторые гончие поджары».

25.

«Мир» — люди, m=«солдаты», x=«марширующие», y=«юноши».

«Все m суть x».

«Все y суть m'».

—

Никаких сведений, которые позволили бы нам заполнить малую диаграмму, у нас нет, поэтому вывести заключение из этих двух посылок нельзя.

26.

«Мир» — пищевые продукты, m=«сладкие», x=«сахар», y=«соль».

«Все x суть m».

«Все y суть m'».

—

«Все x суть y'».

«Все y суть x'».

или «Сахар — не соль», «Соль — не сахар».

27.

«Мир» — предметы, m=«яйца», x=«сваренные вкрутую», y=«бьющиеся».

«Некоторые m суть x».

«Ни один m не есть y'».

—

«Некоторые x суть y»,

или «Некоторые яйца, сваренные вкрутую, можно разбить».

28.

«Мир» — люди, m=«евреи», x=«находятся в этом доме», y=«находятся в саду».

«Ни один m не есть x».

«Ни один m' не есть y».

—

«Ни один x не есть y»,

или «Никто из тех, кто находится в доме, не находится одновременно в саду».

29.

«Мир» — события, m=«сопровождаемые шумом», x=«битвы», y=«то, что может ускользнуть от внимания».

«Все x суть m».

«Все m' суть y».

—

«Некоторые x' суть y».

или «Некоторые события, не являющиеся битвами, могут ускользнуть от внимания.

30.

«Мир» — люди, m=«евреи», x=«сумасшедшие», y=«раввины».

«Ни один m не есть x».

«Все y суть m».

—

«Все y суть x'»,

или «Все раввины в своем уме».

31.

«Мир» — живые существа, m=«рыбы», x=«умеющие плавать», y=«коньки».

«Ни один m не есть x'».

«Некоторые y суть m».

—

«Некоторые y суть x»,

или «Некоторые коньки умеют плавать».

32.

«Мир» — люди, m=«склонные к горячности», x=«разумные», y=«ораторы».

«Все m суть x'».

«Некоторые y суть m».

—

«Некоторые y суть x'»,

или «Некоторые ораторы не разумны».

Глава 4. В цель или мимо?

Выведите (если это возможно) заключение из каждой пары посылок.

1. Боль подтачивает силы человека.

Никакая боль не желательна.

2. Тем, кто лыс, расческа не нужна.

Ни одна ящерица не имеет волос.

3. Все невнимательные люди совершают оплошности.

Ни один внимательный человек не забывает своих обещаний.

4. Мне Джон не нравится.

Некоторым из моих друзей Джон нравится.

5. Картошка — не ананас.

Все ананасы приятны на вкус.

6. Ни одна булавка не имеет честолюбивых намерений.

Ни одна иголка — не булавка.

7. Все мои друзья простудились.

Тому, кто простужен, нельзя петь.

8. Все эти блюда отлично приготовлены.

Некоторые блюда, если их плохо приготовить, вредны для здоровья.

9. Все лекарства неприятны на вкус.

Александрийский лист — лекарство.

10. Некоторые устрицы молчаливы.

Молчаливые существа не очень-то забавны.

11. Все разумные люди ходят на ногах.

Все неразумные люди ходят на руках.

12. Занимайтесь своим делом.

Эта ссора — не ваше дело.

13. Ни один мост не сделан из сахара.

Некоторые мосты очень красивы.