Математика нелинейного мира

Участник:

Александр Михайлович Виноградов – доктор физико-математических наук

Александр Гордон: …вопрос о родном языке квантовой механики. То есть, на каком языке, собственно, изъясняется сама физика, в которой проблем гораздо меньше, чем в математике, старающейся ее описать или, вернее, быть рядом с ней. Я правильно понял суть или не очень?

Александр Виноградов: Частично да. То есть я буду говорить не только о квантовой механике, но, скорее, о нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Но вы, пожалуйста, не пугайтесь, это на самом деле очень просто.

А.Г. Правильно, а то не только у меня сейчас екнуло сердце, но думаю, у большинства аудитории, уж очень математической кажется такая терминология, для меня, например.

А.В. Вы знаете, когда я готовился к передаче, то просмотрел на вашем сайте, какие темы тут разбирались – чтобы проникнуться духом вашей программы. И обнаружил, что я здесь, по-моему, второй чистый математик. И еще мне показалось, что физики говорили о математике. В чем дело? Вы боитесь математиков или они вас?

А.Г. Знаете, я думаю, это взаимный процесс недоверия к тому, что истина может родиться в столь короткой программе, когда речь идет о такой высокой материи, как математика.

А.В. Она – действительно высокая материя. Спасибо. Я думаю, что, может быть, поэтому некоторая ясность возникнет в процессе нашей беседы.

Так вот, я хочу начать издалека, не говоря первое время вообще ни слова о математике. Во-первых, вроде бы все знают, что такое математика, но я боюсь, что это требует разъяснения: тут есть вещи, которые ускользают от внимания даже тех, кто окончил высшие учебные заведения с полным курсом высшей математики. На самом деле математика очень многообразна, и там есть очень много областей: можно решать дифференциальные уравнения или заниматься раскодированием кодов (на этот счет есть своя теория). Что, казалось бы, общего между такими разными вещами? На самом деле, математика – это точный язык, это единственный язык, или, лучше сказать, языки, которые изобрело человечество, которые дают уверенность, что вы говорите правду, и проверить эту правду путем точного рассуждения.

Когда я это говорю, нужно иметь в виду, что математика знает много точных языков. Точное логическое рассуждение – это только самый примитивный язык, который используют в математике. Знаете, как в компьютерах есть самый примитивный язык в двоичных кодах.

А.Г. Бинарный код, да.

А.В. Это самый простой язык. Потом есть более сложные языки, которые гораздо эффективнее улавливают специфические проблемы и так далее. Так вот, с этой точки зрения, я бы определил математику как язык точного естествознания. В частности, сюда, в естествознание, я включаю также природу, созданную человеком, скажем, экономику или то, что называется информатикой, и так далее. И вот это будет в каком-то смысле лейтмотивом сегодняшнего разговора – язык.

Посмотрите, с чего начинается Евангелие от Иоанна. «Вначале было Слово», и дальше – «и Слово было у Бога, и Слово было Бог». Это очень глубокая мысль, независимо от религиозных воззрений того или иного человека. Собственно, она, с другой стороны, тривиальна. Если вы желаете объяснить что-то кому-то, вы рассуждаете, и рассуждаете на каком-то языке. Если Создатель замыслил какой-то мир, он должен был, по крайней мере, внутри себя иметь план. Этот план должен был быть изложен на каком-то языке. Это, в общем-то, простая суть, но когда она начинает конкретизироваться, скажем, в математике, то приобретает такие сложные формы, что ее, этой сути, и не видно. Поэтому я хочу заострить внимание именно на этом аспекте.

Кроме того что математика – это точный язык, это еще и искусство рассуждать на этом языке. Если сравнивать с литературой, то сначала, когда создается новый математический язык, создатели этого языка говорят очень грубые фразы. Потом они начинают что-то рифмовать, потом пишут поэмы и так далее. Все происходит, как в литературе. И можно даже сопоставить такое развитие с приходом в русскую литературу сначала Тредиаковского, потом Ломоносова, потом Пушкина и так далее. Этапы развития русского языка, как любого натурального языка, и математики похожи.

А.Г. Но это сомнительное сравнение, потому что получается, если следовать этой логике, что сегодня мы должны писать лучше, чем писал Пушкин на том же самом языке, чего мы не наблюдаем.

А.В. Это точное замечание, но язык науки проще, и он совершенствуется за счет создания новых языков и за счет обогащения, если сравнивать с литературой, лексического материала. На самом деле, я бы сказал, в науке красота возрастает. Может быть, это ее отличие от литературы.

Был такой замечательный современный философ Людвиг Витгенштейн, один из последних крупных философов, у него есть замечательная максима: «Пределы моего мира суть пределы моего языка». То есть то, что человек может понять в этом мире, формулируется на его языке. Если вы хотите понять китайца и не говорите по-китайски, вы не можете до конца понять, что такое китайская душа – и так далее. Все это применимо и к математике. Вот еще замечательное высказывание: когда Бродского спрашивали, испытывает ли он ностальгию, он говорил: «Родина – это язык».

Итак, математика – точный язык. Но научные языки – не обязательно математические. Скажем, язык химии не такой точный, он довольно приблизителен, поэтому химик, когда рассуждает о своих соединениях, он то рассуждает логически в пределах этого языка, то обращается к каким-то внеязыковым вещам, для этого ему служит эксперимент. В физике это происходит в меньшей степени, в биологии – в большей. Что такое понимание, когда нарастает понимание? Когда данная область математизируется. Полное понимание – это когда область полностью математизирована, тогда мы знаем всю правду.

Давайте начнем с попыток человечества понять правду. Вспомним еще раз Библию. Помните, когда у людей разум стал достаточно сильным, они стали смотреть, что вокруг, и решили построить Вавилонскую башню, чтобы увидеть Бога, и проект составили на своем логическом языке. Увидев это, Бог решил, что нужно остановить эти попытки, и что он сделал? Он разделил языки. Но на этом игра не остановилась. Люди сначала были в замешательстве, потом стали думать, «а что же делать дальше?», потому что бес все время точил: «а что такое? где Бог?» и многие другие вопросы. И люди создали новый язык. Как вы думаете, как этот язык называется?

А.Г. Математика?

А.В. Замечательно, я к этому и клонил. Но на этом партия опять не закончилась. Люди достигли многого в математике, например, в греческие времена. Это поразительно, но они вычислили радиус Земли, довольно точно измерили расстояние до Солнца. Известны и другие более-менее выдающиеся научные открытия, которые были сделаны потом. И Бог время от времени говорил: «хватит». И он разделял языки уже внутри математики. В общем, вот такая партия.

А.Г. Аналогия понятна.

А.В. Сначала единый язык, потом, когда человек становится слишком дерзким, происходит это расползание языков, и потом непонятно, что делать. В общем, это очень интересный процесс.

Что же происходит, когда языки расползаются, когда точность теряется? Начинает рождаться метафизика. Скажем, человек – еще достаточно первобытный человек – на языке обычной логики пытается понять мир. Он что-то знает твердо о мире вокруг себя. Когда он хочет понять, например, устройство окружающего мира, то в терминах своего языка говорит: «это черепаха», поскольку мир ему кажется плоским. На чем же держится черепаха? Если человек живет на берегу океана, он, оглядываясь вокруг, решает, что эта черепаха, наверное, плавает в океане – это первая космогоническая гипотеза. Это метафизика, потому что здесь теория выходит за пределы языка, язык становится неточным. И то же самое происходит в науке. Но там метафизика, уже не так заметна невооруженному глазу, глазу неспециалиста, она как бы скрыта специальной терминологией, она уже формулируется, если угодно, в терминах дифференциального исчисления, если говорить о таком высоком языке…

А.Г. Появляется уже жреческий язык.

А.В. Да, да. Это всегда тормозит некое идеально мыслимое развитие науки. Поэтому всегда нужно иметь это в виду. Например, известна крылатая фраза Ньютона: «Гипотез не измышляю». По-видимому, он обращался к Гуку, который на самом деле открыл формулу закона всемирного тяготения. Многие думают, что это открыл Ньютон, это Гук сделал, физик. Он сердцем, по-видимому, почувствовал, а Ньютон это доказал, объяснив на этой основе, почему планеты именно так, а не иначе вокруг Солнца вращаются. Он составил первое дифференциальное уравнение, решил его и этим доказал, то есть, он точно это установил. У Гука это была интуиция или наитие, неизвестно что. Ньютон же это доказал. И он говорил: «гипотез я не выдумываю», то есть, не иду за пределы моего языка.

Я бы хотел здесь остановиться и просто сказать, каковы два источника, из которых вылезает разная метафизика. В сфере точного естествознания, грубо говоря, есть два таких мощных источника – это теория нелинейных процессов, которые в принципе можно описать в терминах классического дифференциального исчисления, и квантовая физика. На самом деле эти две вещи связаны, и я попытаюсь это объяснить.

Прежде чем этим заняться, посмотрим на историю математики. Там были две великих революции – если рассматривать математику как язык. Ведь на самом деле математики были долгое время неграмотными, то есть они не имели своей собственной письменности, их языком (я, конечно, очень огрубляю) была греческая геометрия. Чертежи там были чем-то вроде иероглифов, математик, Геометр смотрел на них и учился понимать. В греческих книгах содержалось не доказательство в современном смысле, а было написано «смотри». Человек должен был смотреть и уловить, скажем, теорему Пифагора.

Письменность математики, как это было и в обычной человеческой истории, была изобретена гораздо позже, это изобретение было связано с многими именами, но выделяется здесь Франсуа Виет. Это была письменность вроде той, которой мы в школе учимся, когда пишем алгебраические уравнения «икс квадрат плюс игрек» и тому подобное – это простейшая письменность в математике. Потом она, конечно, была развита.

Эта математическая письменность, в общем-то, адаптирована к четырем арифметическим операциям. Данная цивилизация в этом смысле – арифметическая, или лучше сказать алгебраическая, эта ветвь математической цивилизации сейчас называется коммутативной алгеброй. Но в этих терминах вы не можете, скажем, математически выразить, что такое скорость, например, или что такое касательная к кривой – и много других вещей. Написать тогда алгебраическими методами уравнение касательной было крупной математической работой. Сейчас это, конечно, вызывает улыбку.

Под давлением таких обстоятельств был изобретен новый язык – язык дифференциального исчисления. Это связано с именами Ньютона и Лейбница, хотя на самом деле это длинный период в истории математики. Они как альпинисты, которые достигли пика благодаря усилиям целой команды. Так вот, это была другая революция. То есть на основе дифференциального исчисления произошла глобальная, снизу доверху, перестройка математики.

Вы знаете, что я обнаружил у Толстого в одном из его ранних изданий «Войны и мира»? Я обожаю читать его философские рассуждения. И я нашел более-менее следующее. Там обсуждается, что Милорадович сделал такое передвижение, Мюрат опоздал, что-то в таком духе, и поэтому русские, дескать, выиграли кампанию. И Толстой рассуждает и показывает, что обычной повседневной логикой этот процесс нельзя описать, и пишет дальше, что «тут нужно знать законы, математики для описания этих законов и создали специальный язык исчисления бесконечно малых, инфинитезимальных величин». К сожалению, эта фраза была только в одном из первых изданий, в нынешних ее нет.

А.Г. Софья Андреевна не поняла и заставила выкинуть, как это бывало у них в семье…

А.В. Может быть, эта гипотеза мне не приходила в голову. Это удивительно, какие бывают гениальные люди, которые, наверное, хорошо учили математику.

Итак, последний язык – это язык дифференциального исчисления. Этот язык – родной язык классической физики. Все, что написано в классической физике, это дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения бывают линейные и нелинейные, я сейчас постараюсь это пояснить. Например, свет описывается уравнениями Максвелла, они линейные, это соответствует тому, что световые волны могут накладываться друг на друга – есть принцип суперпозиции. А если вы будете пускать свет в какой-нибудь сложной среде, например, как говорят, «с памятью», там такого эффекта не будет, там будут аномальные с точки зрения поведения света в вакууме, эффекты. Это означает, что уравнения, которые описывает свет в такой среде – нелинейные.

Я хочу объяснить, что такое нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Дайте, пожалуйста, четвертую картинку. Вы видите, там три кривых, я пока напоминаю, что такое обыкновенная производная. Синяя кривая – это график некоторой функции. Производная – это очень просто, это крутизна графика. Крутизна – переменна, и поэтому это другая функция. Скорость синего графика – это красный график. Этот процесс можно продолжить. Возьмем скорость и посмотрим скорость скорости. Скорость красного графика – это зеленый график. Это – просто напоминание, что такое производная.

Теперь давайте к следующей картинке перейдем. Это график функции двух переменных. Вы видите там линии, которые идут справа налево, и линии, которые им перпендикулярны. И еще вы видите оси икс и игрек. Линии, которые идут слева направо, идут в направлении оси икс, линии другого семейства – в направлении оси игрек.

Что такое частная производная по икс? Это крутизна линий, которые идут справа налево. Частная производная по игрек – это крутизна линий, которые идут в перпендикулярном направлении. На рисунке показано, как эти производные обозначаются. Если функция Y, то производная по икс – это Y с индексом икс. По игрек – с индексом игрек. Если мы снова будем считать производные у этих функций, то будет Yх, и так далее. Простое понятие, согласитесь, если неформально его объяснить. И классическая природа описывается в терминах уравнений, которые связывают между собой частные производные.

Пожалуйста, следующий слайд. Сверху написано линейное уравнение. Почему оно линейное, как это из записи увидеть? Видите, там только суммы. Следующее уравнение – очень знаменито, оно наделало много шума за последние 25–30 лет. Это уравнение Кортевега – де Фриза. О чем оно говорит? Вот то, что написано Y по t, это то, как изменяется со временем функция Y. А закон этого изменения функции стоит в левой части. Видите, там комбинация производных. И в одном месте вы видите умножение: Y умножается на Y по икс. Это нелинейный член, то, что разрушает принцип суперпозиции, который есть в первом уравнении. Так это можно увидеть по математической записи. Вы верите в чудеса?

А.Г. Нет.

А.В. Я тоже нет, но тут есть чему удивиться. Первый повод, для того чтобы удивиться. Это уравнение описывает, с одной стороны, поведение воды в узком канале, а с другой стороны, реактивной струи, вылетающей из самолетов Аэрофлота. И с третьей стороны, как бегут электрические сигналы по нашим нервам. Подумайте, с помощью обычного языка мы могли бы это «увидеть»? Оказывается, мы можем это увидеть с помощью математики. Мы начнем ковыряться в явлении с помощью физиологов или физиков, напишем уравнение и увидим, что… Так что мы можем моделировать «нервы» водой в канале или рассчитывать самолеты с помощью «нервов». В общем, это – чудо в некотором смысле. Мы потеряли способность удивляться, но таким вещам нужно удивляться.

Уравнение, которое написано посредине, это первое нелинейное уравнение, которое было до конца проинтегрировано. Я здесь немножко огрубляю, но будем считать, что это – первое нелинейное дифференциальное уравнение, которое полностью проинтегрировано. Такие уравнения называются вполне интегрируемыми. Это был очень большой прорыв в математике, люди обрадовались, что они наконец могут осилить кое-какие нелинейные уравнения. Но если вы это уравнение чуть-чуть измените… Внизу показан пример, как можно изменить это уравнение. Оно тоже нелинейное, тоже на вид очень простенькое, почти не отличается от первого на вид, но оно уже не интегрируемое. И, в общем-то, мы по-настоящему не знаем, как изучать его решения. Кое-что мы можем сказать, но, в общем, здесь больше мрака, чем света.

Теперь давайте посмотрим на следующее уравнение. Видите, там сверху написано уравнение плазмы внутри установки «ТОКАМАК», где пытались и пытаются осуществить термоядерный синтез. Видите, насколько оно сложнее, чем те, которые были написаны раньше. Тем не менее, кое-что мы, используя некоторые новые методы, можем о нем узнать. На картинке вы видите плазменный жгут внутри «ТОКАМАКа». Его нельзя увидеть ни глазами, ни с помощью самых точных физических приборов, но математически его можно увидеть.

Покажите, пожалуйста, следующие слайды. Это срезы плазменных жгутов. Посмотрите, какие они красивые и разнообразные по форме. Они показывают, что плазма неустойчива. Вот решение с двумя лепестками, а вот с тремя. Если вы чуть-чуть измените некие параметры, например, как ток бежит по катушке, вы получите картинку с тремя лепестками. Это, как говорится, легким мановением пальца можно сделать, поскольку здесь присутствует нестабильность. В этом трудность получения термоядерного синтеза. Плазма страшно нестабильна, плазменный шнур должен находиться точно в центре и не касаться стенок. Так вот, эти нелинейные вещи в принципе можно увидеть глазами математики. Если бы мы научились это делать, мы бы сделали потрясающий шаг вперед, потому что математика стоит очень мало. Мой добрый друг Анатолий Моисеевич Вершик из Петербурга подсчитал, что стоимость одного танка выше, чем содержание всей российской математики в течение года. Теперь представляете, вложить в математику 10 танков, и мы бы научились решать нелинейные дифференциальные уравнения.

А.Г. Но есть прямо пропорциональная зависимость между количеством денег, которые в математику идут, и качеством.

А.В. Нет, нужно еще людей подбирать. Но у нас люди пока есть, а денег пока нет.

Вот как обстоят дела с нелинейными уравнениями. Здесь я выйду за пределы математики и займусь социальными вопросами, касающимися математики. Простейшие соображения показывают, что будь все так, как хотелось бы, мы бы сейчас, скажем, не имели бы энергетических проблем. Так вот, несмотря на это, и другие суперважные вещи математики ХХ века почти не занимались нелинейными дифференциальными уравнениями. Причина в том, что мода такова была.

В математике были предложены простые методы, я их только назову за недостатком времени – это методы функционального анализа, с помощью которых решают линейные уравнения. И там был достигнут большой прогресс. Но эти методы просто ни в какую дверь не влезают, когда нужно заниматься нелинейными уравнениями. Поэтому этими методами ничего нелинейного не было решено. Но под влиянием моды и авторитета таких людей, как Гильберт, Джон фон Нойман, эти методы были объявлены математической основой квантовой механики. Это примерно то же самое, что влияние Аристотеля на развитие физики – прошла тысяча лет, и только потом кое-как Галилею удалось сдвинуть дело с мертвой точки. Ситуация в квантовой физике просто точно такая же. Эти линейные методы являются сегодня тормозом развития как нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, так и квантовой физики. И настоящие физики это чувствуют. Дирак, который был физиком и видел физику вне тех или иных математических формализаций, однажды произнес замечательные слова: «Взаимодействия в квантовой теории поля настолько сильны, что они вышибают вектор состояния из гильбертова пространства в минимально короткое время». Хотя, может быть, только специалисты могут понять силу иронии, заключенной в этих словах. Гильбертово пространство – это база всех методов, которые основаны на авторитете Гильберта, Джон фон Ноймана и многих других великих математиков. Но тут всегда есть обратная сторона.

Это – коротко про нелинейные дифференциальные уравнения. Суть проблем, которые возникают в нелинейных дифференциальных уравнениях и в квантовой физике, с точки зрения такой языковой философии различна. Мы твердо знаем, что нелинейные дифференциальные уравнения мы можем изучить, развив язык классического дифференциального уравнения. А вот с квантовой физикой дело обстоит, по-видимому, гораздо более серьезно.

Но и на общем уровне, если вы прониклись такой философией языка, это понять легко. Механика, то есть физика ХVII века, родилась вместе со своим языком, дифференциальным исчислением. Тут трудно сказать, где курица, где яйцо, они тащили друг друга – язык, математика и физика (в те годы механика). А потом случилась такая вещь: физиками были открыты квантовые явления. И физики, а потом математики пытались их понять. Когда человек пытается что-то понять, он использует свой язык. Математики и физики стали глядеть по сторонам: какую математику тут можно использовать?

И, в частности, сам Джон фон Нойман поглядел-поглядел по сторонам и обратил внимание, что модно и, в общем, довольно элегантно математически использовать язык гильбертовых пространств (это такая «линеаризация»). Я могу на простом языке объяснить, что значит гильбертово пространство для решений линейных дифференциальных уравнений. Это точный аналог большевистского или нацистского лагеря. В принципе, всякое решение нелинейного дифференциального уравнения – сугубо индивидуально. Разные течения воды, например, имеют невидимую математическую структуру, скажем, они обладают конформной метрикой. Может быть, вы слышали этот термин в передачах, связанных с общей теорией относительности. Но это очень трудно заметить и не все это видят. А решения линейных уравнений в этом смысле все одинаковы. Там нет индивидуальности. Поэтому им можно дать «лагерный номер» – это называется «нормой» в математике. И все. В этом ужас ситуации: как все концлагеря одинаковы, так и, как математики говорят, все гильбертовы пространства изоморфны. И поэтому если пытаться «по Гильберту» описывать воду или плазму, такие разные вещи, то получится один и тот же концлагерь. Это простое обращение к повседневной жизни показывает, почему язык гильбертовых пространств, линейных топологических пространств, здесь никак не годится. Нужен новый язык.

Спрашивается, как и где этот язык искать. Я сейчас сделаю шокирующее заявление, но потом попячусь назад. Я вам должен сказать, что сейчас социальная ситуация в мире математики такова, что профессора математики и, прежде всего, те, которые занимаются дифференциальными уравнениями, на самом деле не знают, что это такое. И не потому что они глупые – я хочу сказать другое, я хочу подчеркнуть социо-культурный аспект ситуации. Доказать же это очень просто. Если есть студенты, которые смотрят эту передачу, то любой из них может подойти к своему профессору и спросить: а что такое симметрии дифференциального уравнения? Некоторые профессора вообще не ответят, некоторые скажут: это, как в алгебре, замена переменных, которые не меняют форму уравнения. Этот ответ неправильный. И тогда студент может позвонить в вашу редакцию, и таким образом можно провести некий социальный опрос.

Почему это доказывает, что математики не знают, что такое дифференциальное уравнение? Когда вы имеете четкое представление о каком-то объекте, то… Например, вот круг, он симметричен относительно этого диаметра или этого другого диаметра. А кроме того, его можно вращать, это тоже симметрия. Значит, если вы ясно видите объект, то ясно представляете, каковы его симметрии, то есть такие преобразования, которые его как бы накладывают на себя. Если вы повернете круг, вы не заметите, что что-то изменилось. Вот вы посмотрите на круг, потом отойдете, а я его поверну. Когда вы вернетесь, вы не заметите, что что-то произошло. Это идея симметрии, которая сейчас очень широко используется в физике. В частности, если рассматривать две элементарные частицы, нельзя сказать – где Маша, а где Таня, они близнецы, которых нельзя различить.

Такова ситуация в математике, таково влияние моды, которое нужно преодолевать.

Я хочу сейчас перескочить к квантовой физике, раз уж мы стали об этом говорить. Итак, мы подозреваем, что нужен новый язык. Но как его отыскать? Природа нам тихим голосом дает наводящие указания – и математика тоже. Если мы себе признаемся честно: «я не знаю, что такое дифференциальное уравнение», значит, нужно КОНЦЕПТУАЛЬНО определить, что это такое, и нужны какие-то критерии того, что я действительно это знаю. Например, если я точно знаю что такое дифференциальное уравнение, то я могу точно сказать, что такое его симметрии.