Владимир Захаров: Это был Теодор фон Карно, знаменитый механик. Действительно, была такая история: он был приглашен на конгресс по механике, ему нужно было сделать доклад о турбулентности, он вышел и в течение 40 минут молчал.

А.Г. Красноречивое молчание, вы не хотите повторить его?

В.З. Нет, почему? С тех пор много чего достигнуто. Я начну с того, что турбулентность – вещь, несомненно, всем знакомая. Хотя бы тем, кто в самолете летает. Периодически пилот говорит: мы входим в зону турбулентности. Чрезвычайно обыденное явление. Откройте кран с водой? и если напор достаточно большой, то движение будет турбулентно, то есть хаотично, неупорядоченно. И совершенно ясно, что описать такое движение в деталях невозможно. Это есть турбулентность в ее классическом понимании, то есть именно хаотическое, неупорядоченное движение несжимаемой жидкости. Так понимали турбулентность в 19 веке, со времен работы Рейнольдса. Так понимает ее и сейчас какая-то часть этого комьюнити.

Но постепенно стало понятно, что турбулентность есть явление гораздо более общее. Очень остро встал этот вопрос, скажем, в начале 60-х годов, когда всем казалось, что еще немного – и мы построим реактор, который будет осуществлять управляемую термоядерную реакцию, то есть удерживать плазму. «Плазма» было тогда очень модным словом, как известно. Потом выяснилось, что плазма не удерживается в реакторах, в магнитных ловушках, потому что она турбулентна. И эта турбулентность есть совсем другая турбулентность. И знание о гидродинамической турбулентности, которое было к тому времени накоплено, уже недостаточно. Тогда стала развиваться теория турбулентности плазмы, а потом стало ясно, что бывает турбулентность и всяких других типов. Например, по мере развития лазеров стало ясно, что существует оптическая турбулентность. Если лазер очень мощный и он проходит через стекло, то там луч света начинает рассеиваться хаотически, сам на себе, как говорится, в абсолютно прозрачной среде. Это есть оптическая турбулентность.

Заметим, что поскольку свет – это волны, это турбулентность волн. И это есть отличие от гидродинамической турбулентности, классической турбулентности, ибо там никаких волн нет. Жидкость считается несжимаемой, значит, в ней волн – если нет свободной поверхности – не существует, есть только вихри. Поэтому эта вихревая турбулентность еще называется сильной. Волновая турбулентность еще называется – слабой. Но есть много очень общего и в той, и в другой турбулентности. Вы видите сейчас классический пример сильной турбулентности, очень сильной. Здесь еще к тому же двухфазная среда. То есть это вода, перемешанная с воздухом. И поэтому это тоже нестандартный, хотя и очень обыденный пример турбулентности. Как построить статистическую теорию этого явления? Необыкновенно трудная задача, конечно.

Грубо говоря, можно сказать, что есть вихревая турбулентность в гидродинамике и волновая турбулентность там, где есть волны. На поверхности жидкости есть волны. Поэтому есть два типа турбулентности. Если вы рассматриваете масштабы очень большие, существенно больше длины волны, то там у вас эта система описывается волнами, это волновая турбулентность. А это явление «опрокидывания волн» и в нем развивается сильная вихревая турбулентность.

Потом стало ясно, что турбулентность можно представить себе где угодно. В жидком гелии, например, есть два типа звука – первый и второй, они тоже могут создавать волновую турбулентность. Можно волновую турбулентность возбуждать в твердых телах, в сверхпроводниках. Много разных типов турбулентности сейчас существует.

Что характерно для них для всех? Это некое движение сплошной среды, которое – поскольку оно хаотическое – нужно описывать статистически, проследить за индивидуальным процессом абсолютно невозможно. Поэтому возникает идея, что это нечто похожее на статистическую физику, например, на газовую кинетику. Например, газ в этой студии – ведь это что такое? Движение молекул воздуха, и оно тоже совершенно хаотическое. Но, тем не менее, есть средние характеристики – плотность, температура. И мы знаем, как зависит температура от плотности. Это задача статистической физики. Есть еще общее: и турбулентность, и статистическая физика, она же термодинамика, грубо говоря, это сходные главы в физике, потому что они должны описывать статистически сложные хаотические процессы, которые должны описываться статистически.

И тем не менее, статистическая физика в большой степени продвинута, множество задач там решено, тогда как в турбулентности ситуация очень трудная. Скажем так, сильная вихревая турбулентность до сих пор осталась проблемой. И те вопросы, которые задавал себе Карно, на самом деле не имеют еще ответа, увы. А слабая турбулентность или волновая, она сейчас очень хорошо продвинута. Собственно, это и есть предмет моих исследований. Мы к этому еще вернемся.

Тем не менее, между статистической физикой и турбулентностью есть одно совершенно колоссальное отличие. Причем не важно, какая это турбулентность, волновая или вихревая, это отличие все равно существует. В статистической физике центральную роль играет понятие статистического, термодинамического равновесия. Здесь, например, даже если вы рассмотрите объем газа, размером, предположим, в 1000 кубических микронов, то уже в этом объеме есть равновесие, там 1 микрон уже не будет.

А в турбулентности есть стационарные состояния, но равновесия нет, турбулентность чрезвычайно далека от равновесия. Потому что в турбулентности постоянно происходит диссипация энергии. Я так это объясню – я придумал такой забавный социологический вариант объяснения турбулентности. Представьте себе город, в котором есть люди и деньги. У каждого человека есть какое-то количество денег. И люди как-то обмениваются этими деньгами. Если город обнесен стеной и стена совершенно непроницаемая, то через какое-то время установится равновесие. То есть люди обладают разными способностями обращаться с деньгами, у кого-то будет больше денег, у кого-то будет меньше денег, и возникнет некое стационарное распределение. Это и есть термодинамическое равновесие.

И все время будут появляться какие-то очень богатые люди, те, у кого много денег – и ничего страшного, появляются, и появляются. А теперь представьте себе, что эта стена проницаемая. И что на самом деле есть возможность уйти из этого города, но нужно при этом заплатить очень высокую цену – тогда возникнет поток через эту самую стену. Причем если планка стоит очень высоко, уходить будут только самые богатые, да? Значит, эта функция распределения будет меняться. В турбулентности это и происходит. В самых малых масштабах там происходит превращение энергии в тепло. Почему они должны уходить? Это есть следствие второго начала термодинамики. Нужно прийти в равновесие не только в этом городе, а во всем мире, и поэтому эти деньги востребованы остальной частью, «термостатом», как говорят. Кстати, тот пример, который я сейчас привожу, в статистической физике называется «микроканонический ансамбль», когда все совершенно замкнуто.

Теперь представим себе, что есть поток. Но тогда, чтобы было стационарное состояние, нужно эти деньги непрерывно туда как-то производить, то есть вкачивать. И представим себе, что в этом городе рождаются люди, и каждому выдается некоторое количество денег при рождении – но существенно меньшее, чем то, которое нужно для того чтобы этот город покинуть. Предположим, 1 доллар. А чтобы покинуть, нужно 100 долларов. Значит, дальше будет происходить какой-то обмен. И постепенно установится стационарный спектр, то есть распределение капиталов по людям.

При этом возможны два существенно разных варианта. Заметим, что это абсолютно одинаково, это настолько общая вещь, что она верна и для волновой турбулентности, и для вихревой. Это их объединяет – то, что есть такие потоки, то есть возникает поток денег из города. Это называется «прямой каскад». А дальше, чтобы описать этот каскад, мы должны как-то договориться о правилах игры. Предположим, никаких правил нет. И тогда можно, скажем, убивать людей и отбирать у них деньги. Естественно, тогда в результате не будет появляться бедных людей. Потому что каждый человек, который имеет какие-то деньги, он втягивается в эту игру, он может быть либо убит, либо пойти дальше, стать более богатым. Еще дальше – он может либо быть убитым, либо стать более богатым. Это есть стационарный спектр. Эта картина была придумана Колмогоровым, и спектр гидродинамической турбулентности известен как «колмогоровский спектр». Этот колмогоровский спектр во время войны, в 42-м году, был сформулирован Колмогоровым, а потом Обуховым. Предположим, что мы этих людей нумеруем индексом К, который есть волновое число. Если люди – это вихри, у каждого вихря есть длина лямбда, два пи деленное на лямбда – это К, волновое число. Тогда энергетический спектр, то есть количество капиталов, получается равным К в степени минус пять третьих. Это знаменитый колмогоровский закон.

Поразительно, что это до сих пор гипотеза, это не доказанная вещь. Хотя Колмогоров это изобрел, анализируя экспериментальные данные, главным образом, по турбулентности в атмосфере. И он нашел этот закон экспериментально, потом придумал ему некоторое теоретическое обоснование, но оно не строгое с точки зрения математики. Поэтому этот колмогоровский спектр, – совершенно знаменитая вещь – не есть точное решение каких бы то ни было уравнений. Это только гипотеза, и, кстати говоря, все время подвергаемая сомнению, все время говорят, что, может быть, там не пять третьих, а, предположим, нужно еще добавить ноль ноль четыре.

Но эксперименты становятся все точнее и точнее. Некоторое отклонение от колмогоровской теории уж точно обнаружены, но более тонкие.

А.Г. А в чем сложность постановки эксперимента?

В.З. Прежде всего в том, что нужно иметь большое число Рейнольдса, то есть нужно иметь систему достаточно больших размеров. Потому что рождение этих вихрей происходит в масштабе, который задается размерами системы, а размер диссипации, то есть тот размер, при котором они превращаются в тепло или, скажем, уходят из города, выражаясь языком нашего примера, очень маленький. Для того чтобы померить этот колмогоровский спектр, нужно иметь как можно большую разницу в этих масштабах. Если она, скажем, в 100 раз отличается, то это уже хорошо, где-то в атмосфере такие процессы наблюдаются.

Но вообще я должен сказать, что эти эксперименты можно осуществлять реально только в природных условиях, то есть в атмосфере или в проливах, там еще лучше возможности. Но все геофизические эксперименты всегда очень сложны, потому что они неконтролируемы экспериментатором. Если у экспериментатора есть экспериментальная установка, то у него там множество всяких есть проволочек и ручек и он там все регулирует. А когда эксперимент ставит сама природа, то мы должны только, как говорится, ловить момент, когда условия соответствуют тому, чего мы хотим. Потому эксперименты всегда трудны.

А численный эксперимент, даже на современных компьютерах, совершенно не позволяет приблизиться к каким-то реальным вещам. То есть, например, описать процесс того, как я сейчас взмахнул очками в воздухе, промоделировать это на компьютере невозможно. Не хватит никаких мощностей.

А.Г. То есть только идеальный профиль в идеальной среде.

В.З. Ну, в идеальной среде, но, тем не менее, все равно там остаются турбулентные следы, которые компьютером не моделируются.

Мы понимаем теперь, что такое прямой каскад – это уход энергии за пределы системы в системе, где нет никаких правил игры. Иными словами, нет никаких дополнительных законов сохранения.

А теперь представьте себе такую вещь. Представьте себе, что есть правила игры и запрещено убивать. Запрещено убивать, но можно обыгрывать в карты. И, скажем, собираются четверо и играют в карты. Один выиграл, остальные проиграли. Тогда по-прежнему будет накопление, появление богатых, которые будут потом исчезать, но одновременно будет накопление и нищих. Обыгранных, которых нельзя убивать. И поэтому возникнет накопление нищих, бедных, то есть волн с малой энергией. А волны с малой энергией имеют малое волновое число, то есть большую длину – будут возникать большие масштабы. И если в классической картине турбулентности есть только прямой каскад, когда из больших масштабов появляются мелкие, то в турбулентности, в которой есть дополнительный закон сохранения (в данном случае запрещающий убийство), там будут появляться также большие масштабы. В основном, надо сказать, основная масса людей будет превращаться в нищих. Это и есть обратный каскад, который открыли мы с Филоненко.

А.Г. То есть получается, что длинная волна отдает свою энергию?

В.З. В гидродинамической турбулентности большой масштаб отдает свою энергию мелким масштабам. Большой вихрь превращается в мелкие вихри и так далее, и так далее. Если же есть дополнительный закон сохранения, какой бы он ни был, тогда происходит обратный процесс – из коротких масштабов появляются длинные. В частности, образование длинных волн во время шторма – это как раз совершенно классический пример обратного каскада. Там есть некий дополнительный закон сохранения, хотя он почти невидим, он довольно глубоко скрыт. Это закон сохранения волнового действия. Этот обратный каскад и приводит к тому, что появляются длинные волны. Когда начинается шторм, то в начале есть только короткие волны.

Наверное, вы все это наблюдали: вы стоите на берегу, начинается ветер. Сначала появляются только короткие волны, потом они становятся длиннее, длиннее, длиннее, длиннее. Это и есть накопление волн с малой энергией, потому что при данном числе волн, энергия будет пропорциональна частоте, а у длинных волн и частота меньше – в этом дело. Поэтому этот обратный каскад есть явление интересное, и оно осуществляется в двумерной турбулентности.

То, что мы сейчас видим – это классическая волновая турбулентность. Здесь есть прямой каскад и обратный. Прямой каскад – это появление ряби. Если вы посмотрите на картины всех художников-маринистов, которые рисуют волны, вы увидите, что на этих волнах прорисована обязательно мелкая рябь. Это появление ряби и есть прямой каскад. Эта рябь, так сказать, ведет энергию в область больших волновых чисел к диссипации. Она является слугой второго начала термодинамики. Потому что второе начало термодинамики стремится эту энергию диссипировать, уничтожить, распределить между молекулами, превратить в тепло. Но есть законы, запрещающие это. Это преобразования ряби можно сделать только в мелких масштабах. Но поскольку здесь есть дополнительный закон сохранения, несущая длина волны автоматически удлиняется, и возникают все более и более длинные волны.

Каскад – это совершенно универсальное явление, в любом типе турбулентности всегда есть каскад.

А.Г. И в вихревом, и в волновом?

В.З. И в вихревом, и в волновом. В случае вихревой турбулентности есть вопрос, который до сих пор не имеет ответа – где этот каскад, как эта диссипация энергии распределена в пространстве? То есть, является ли она более или менее равномерной во всем объеме, либо наоборот – возникают какие-то маленькие зоны, где энергия главным образом и диссипирует. Колмогоров утверждал (хотя вряд ли он ясно себе это представлял, но неявным образом в его теории заключена такая идея), что это происходит равномерно. Тогда этот вопрос не задавали еще, но если бы его спросили, он бы, наверное, так и ответил, что «да, происходит равномерное распределение». Если, скажем, нарисовать диссипирующую энергию в виде светящейся материи, то это будет равномерное покрытие, распределение. А альтернативная точка зрения, что наоборот будут происходить отдельные вспышки, в которых диссипирует энергия.

Но как на самом деле – никто не знает. И этот вопрос настолько важен, что сейчас установлена премия в миллион долларов тому, кто его решит. Он переформулирован на математическом языке как вопрос о существовании особенностей в уравнении Навье-Стокса. Потому что если есть такая особенность, то это как раз и есть место, где происходит диссипация энергии. Множество народу стремится его решить. Этот вопрос является одной из десяти проблем, за которую в математике назначена такая награда. Уже года 3 как произошло, но пока она никому не вручена.

Так что волновая турбулентность значительно проще, вихревая турбулентность – гораздо более трудная проблема. И в ней действительно на эти вопросы нет пока ответа. Это связано с проблемой коллапса в гидродинамике, то есть с вопросом о возникновении особенностей: могут ли возникать такие точки, в которых завихренность обращается в бесконечность. Это вопрос открытый и чрезвычайно важный. Есть много соображений, но пока окончательно вопрос не решен. Кроме того, стоит проблема чрезвычайно трудного численного счета.

А.Г. То есть там возникает сингулярность…

В.З. Да, возникает сингулярность или нет – это вопрос, на который в области изучения вихревой турбулентности нет ответа. А в волновой турбулентности, к счастью, все значительно проще. Там можно построить замкнутую математическую теорию. И спектры, определяющие каскады энергии, найти аналитически точно, показать, что они суть точные решения неопределенных уравнений, исследовать потом их устойчивость, сравнить с экспериментом. Это все сделано и это, конечно, очень существенное достижение. Там тоже бывают сингулярности. Скажем, в этих волнах, которые мы видим, возникает волна очень большой амплитуды. Я думаю, это какая-нибудь волна из тех, что называется «freakwaves», «странные волны», которые иногда возникают. Это тоже совершенно открытый вопрос. О нем я чуть позже скажу.

Если вы посмотрите на море, скажем, при достаточно малой скорости ветра, грубо говоря, 6 метров в секунду (если скорость меньше 6-ти метров в секунду, то море гладкое, и на нем никаких барашков нет). А когда скорость ветра увеличивается, на море начинают появляться отдельные белые зоны, это зоны, в которых уже происходит переход от слабой турбулентности к сильной, то есть возникают эти опрокидывания волн, и в нем, конечно, локально очень большая диссипация. То есть на поверхности жидкости диссипация несомненно распределена неравномерно, распределена в отдельных случайных точках. Когда потом скорость увеличивается, они постепенно заполняют все море, но все равно это распределение весьма и весьма неоднородное и случайное.

Здесь это, по крайней мере, видно и можно построить теорию всего этого дела. А для вихревой турбулентности этот вопрос остается открытым.

А.Г. Вы хотели рассказать о девятом вале.

В.З. Девятый вал – это действительно совершенно разумный вопрос. Потому что если вы посмотрите запись волн в таком достаточно стандартном волнении, то увидите, что волны не равны друг другу, они разные – есть распределение. Период этого распределения более или менее известен, он связан с тем, что строго периодическая волна неустойчива, она из себя рождает модуляцию. Это и есть так называемая модуляционная неустойчивость.

А вот сейчас вы видите развитие опрокидывания волны большой амплитуды. Здесь виден характерный клювик, а на нем очень сильная двухфазная турбулентность. Там воздух с водой перемешан – это и приводит к тому, что возникают волны большой амплитуды. В этом смысле девятый вал – это наблюдение над реальностью, взятое из природы. Но там есть еще более интересный вопрос, вязанный с тем, что иногда возникают волны просто очень большой амплитуды.

А.Г. Те самые freakwaves.

В.З. Те самые freakwaves. Эти волны бывают очень большой амплитуды, они могут превышать по высоте, скажем, среднюю амплитуду в 4-5 раз.

А.Г. Откуда они взялись?

В.З. Этот вопрос до сих пор остается открытым. Потому что на самом деле слабая турбулентность, волновая турбулентность имеет ограниченную область применимости. Скажем так, она описывает явление в среднем. Но, кроме того, бывают такие редкие явления, которые уже не поддаются этому описанию.

Есть функция распределения вероятности высоты волны. Для большинства волн она гауссова. Близка к гауссовому, к нормальному распределению. И эта часть описывается слабой турбулентностью прекрасно. Но есть своего рода «хвосты» у функции распределения, это весьма редкое явление, и они сильно негауссовы. Именно в этих хвостах и сидят эти самые freakwaves. Как возникают эти хвосты – чрезвычайно интересная задача. Я собираюсь ей заниматься в ближайшее время. Потому что здесь методы слабой турбулентности уже явно недостаточны. Мы встречаемся здесь с трудностями, сходными с теми, которые имеются в теории вихревой турбулентности. При этом надо сказать, что это, конечно, связано с океанскими течениями. Потому что существуют такие зоны в океане, куда вообще корабли стараются не заходить. Например, в Африке, к западу от Кейптауна есть такая зона, где все время возникают freakwaves. Это связано с тем, что там есть градиенты течения, это не чисто волновая система, они еще взаимодействуют с океанскими течениями. И там очень часты катастрофы. Эта freakwaves может деформировать, скажем, палубу у авианосца. Это очень серьезная штука. Если эта волна в 20 метров…

А.Г. Когда я задавал вам вопрос в самом начале, в чем же состоит тайна турбулентности, я ожидал не только математического или физического обоснования загадочности этого явления. Есть нечто, вероятно, что выносит эту проблему за рамки математики и физики. Вы сами для того, чтобы ее проиллюстрировать, выбрали аналогию города, людей, отношений и денег. У меня готов вопрос о социальной турбулентности, потому что уж очень явления переселения народов, образования государств, изменения условий жизни похожи на хаотические вихревые, скажем, классические турбулентности. Вы не находите?

В.З. Вы знаете, эти явления действительно близки к области описываемой теорией турбулентности, но все-таки они отдельны от нее. Это так называемые системы с сильной диссипацией. Да, в общем, некоторые модели турбулентности могут быть прямо применимы к описанию социальных явлений, хотя, может быть, специалисты по социальным явлениям будут возражать, считая эти модели слишком простыми. Но аналогия действительно есть, и я сам на это с большим интересом обратил внимание.

Какое-то количество лет назад я со своими учениками занимался турбулентностью в плазме. И мы обнаружили, что можно построить модели даже более простые, чем классические модели волновой турбулентности – модели конкуренции мод. Скажем, в лазере, у вас есть первоначально некоторая спектральная линия. Если излучает один атом, то он излучает достаточно широкий спектр излучения, у него форма линии. Но если много атомов поместить вместе и осуществить накачку, то есть сделать систему сильно неравновесной, так что она начнет генерировать лазерный свет, то в результате возникнет очень узкая спектральная линия, значительно более узкая, чем линия…

А.Г. Одного отдельного атома.

В.З. Да. А почему? Потому что все спектральные моды конкурируют друг с другом, и в результате одна из них побеждает все остальные. И когда вы напишете эту модель, то с удивлением обнаружите, что можете дать ей немедленно социологическое обоснование, как некоторой модели конкуренции, скажем, игры на бирже. И потом можно изучить ее стационарное решение и сделать некоторые предположения, которые уже не нравятся, скажем, социологам. Хотя я докладывал эту работу у социологов, у экономистов, точнее. Она вызвала у них довольно большой интерес, сейчас есть ее последователи в Германии. Получается, что это модель либеральной экономики, хотя, конечно, и чрезвычайно упрощенная модель либеральной экономики. В этой модели либеральной экономики, когда вы изучаете ее равновесие, то выясняется, что в результате такой конкуренции капиталы концентрируются в нескольких руках. Это довольно грубый математический факт. Он, конечно, основан на сильных предположениях об аналитичности функций, которыми это описывается, а это вызывает сомнение, но, тем не менее, это довольно-таки фундаментальный математический факт.

Что касается модели переселения, то здесь, действительно, есть определенные связи с такими моделями турбулентности. Понимаете, причиной переселения народов был разный уровень рождаемости у разных племен. Допустим, какое-то племя каким-то образом повышает свой жизненный уровень так, что позволяет выжить большему количеству детей, чем у соседей. Обычно у примитивных народов рождается очень много детей. Большая часть умирает, но если, предположим, выживают четверо-пятеро, то рост происходит по экспоненте. Экспонента – это очень мощный фактор. И тогда через 100 лет племя увеличивается, скажем, в 16 раз – грубо говоря. Им, естественно, не хватает пространства, они начинают двигаться. И движение происходит во все стороны.

Такие же явления возникают и во всех других физических системах, где появляется такой процесс неустойчивости. А дальше происходит диффузия. Это ближе всего к области физики, граничащей с химией, это теория реакций, автоколебательных реакций. Например, волны на сердце так распространяются. В определенных химических системах есть такая реакция Белоусова-Жаботинского. На блюдечке вы создаете определенного рода смесь, и в ней возникают движущиеся волны. Это очень похоже на то явление, о котором мы говорим, когда возникают какие-то зоны, где одного вещества становится много, и оно движется агрессивным образом. Есть такие модели. Но, тем не менее, так вот просто все это описать данной моделью невозможно. Здесь нужно проявлять большую осторожность, разумеется. Но есть определенное сходство, да, что делать? Ведь это так называемая непостижимая эффективность математики, о которой говорил Виннер. Совершенно удивительно, как простые математические модели оказываются универсальными, насколько много явлений можно описать одной и той же моделью.

Поэтому, когда я посмотрел модель конкуренции мод при таком ее применении, мне пришло в голову, что ею можно описывать распределение денег при игре на бирже. Сначала мы к этому не отнеслись серьезно, но потом, когда посмотрели на результаты, то вывод оказался, я бы сказал, очень забавным.

А.Г. Вы сами не хотите воспользоваться своими предсказаниями?

В.З. Что значит – воспользоваться? Это не означает, что я умею это делать. Это совсем другое дело.

А.Г. Я почему начал говорить о переселении народов. Ведь когда говорят – «волна переселения», то это очень близко к той картине, которую вы нарисовали при увеличивающемся ветре на поверхности океана. Необъяснимо, ни с того ни с сего возникают те самые точки диссипации, тот самый срыв волны, который вызывает накачку сначала региона, а потом и глобальную накачку – в тех пределах, конечно, которые к тому моменту известны.

В.З. Нет, эта модель непосредственно все-таки сюда не подходит. Но есть другие модели, родственные им, которые подходят ближе. Но это уже детали, так сказать, «кухня»…