Векторное поле

Ве'кторное по'ле, область, в каждой точке Ркоторой задан вектор а( Р). Математически В. п. может быть определено в данной области Gпосредством вектор-функции a( Р) переменной точки Рэтой области. К понятию В. п. приводит целый ряд физических явлений и процессов (например, векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют В. п.). Теория В. п. широко разработана и имеет разнообразные применения в различных областях естествознания (см. Векторное исчисление ) .

  Лит.:Будак Б. М.. Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.

  Э. Г. Позняк.

Векторное произведение

Ве'кторное произведе'ниевектора а на вектор b - вектор, обозначаемый [ а, b ] и определяемый так: 1) длина вектора [ а, b ] равна произведению длин векторов а и b на синус угла jмежду ними (берётся тот из двух углов между а и b , который не превосходит p), 2) вектор [ а, b ] перпендикулярен вектору а и вектору b , 3) тройка векторов а, b, [ а, b ], согласно с ориентацией пространства, всегда правая или всегда левая (см. Векторное исчисление ) .В. п. широко применяется в геометрии, механике и физике (например, момент силы F,приложенной к точке Мотносительно точки О, есть В. п. [ , F ]).

  Лит.;Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.

  Э. Г. Позняк.

Векторное пространство

Ве'кторное простра'нство,математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

  Определение В. п.Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление ) .В применении к любым векторам х, у, zи любым числам a, bэти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

  1) х+ у= у+ х(перестановочность сложения);

  2) ( х+ у) + z= x+ ( y+ z) (ассоциативность сложения);

  3) имеется нулевой вектор 0(или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x+ 0= x:для любого вектора x ;

  4) для любого вектора хсуществует противоположный ему вектор утакой, что х+ у= 0,

  5) 1 · х= х,

  6) a( bx) = ( ab) х(ассоциативность умножения);

  7) ( a+ b) х= aх+ bх(распределительное свойство относительно числового множителя);

  8) a( х+ у) = aх+ aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

  Векторным (или линейным) пространством называется множество R,состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А(условия 1-3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

  a ₁e ₁+ a ₂e ₂+ …+ a _ne _n   (1)

  называется линейной комбинацией векторов e ₁, e ₂,..., e _nс коэффициентами a ₁, a ₂, ..., a _n.Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a ₁, a ₂,..., a _nотличен от нуля. Векторы e ₁, e ₂,..., e _nназываются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e ₁, e ₂,..., e _nравна нулевому вектору) векторы e ₁, e ₂,..., e _nназывается линейно независимыми.

  Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

  В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n») ,если в нём существуют nлинейно независимых элементов e ₁, e ₂,..., e _n,а любые n+ 1элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального nсуществует nлинейно независимых векторов. Любые nлинейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e ₁, e ₂,..., e _n- базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

  x= a ₁e ₁+ a ₂e ₂+ ...+ a _ne _n.

  При этом числа a ₁, a _2,..., a _nназываются координатами вектора хв данном базисе.

  Примеры В. п.Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из nдействительных чисел : l ₁, l ₂,..., l _n.Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

 ( l ₁, l ₂, …, l _n) + ( m ₁, m ₂, …, m _n) = ( l ₁+ m ₁, l ₂+ m ₂, …, l _n+ m _n) ;

  a( l ₁, l ₂, …, l _n) = ( al ₁, al ₂, …, al _n) .

  Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из nвекторов e ₁= (1, 0,..., 0), e ₂= (0, 1,..., 0),..., e _n= (0, 0,..., 1).

  Множество Rвсех многочленов a ₀+ a ₁u+ …+ a _nu ⁿ(любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами a ₀, a ₁,..., a _nс обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u ²,..., u ⁿ(при любом n) линейно независимы в R,поэтому R -бесконечномерное В. п.

  Многочлены степени не выше nобразуют В. п. размерности n+ 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u ²,..., u ⁿ.

  Подпространства В. п.В .п. R'называется подпространством R,если R' Н R(то есть каждый вектор пространства R'есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v О r'и для каждых двух векторов v ₁и v ₂( v ₁, v ₂О R') вектор lv(при любом l) и вектор v ₁+ v ₂один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v ₁, v ₂как элементы пространства R'или R.Линейной оболочкой векторов x ₁, x ₂,... x _pназывается множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a ₁x ₁+ a ₂x ₂+ …+ a _px _p. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x ₁будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x ₁.Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x ₁и x ₂будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x ₁и x ₂.В общем случае произвольного В. п. Rлинейная оболочка векторов x ₁, x ₂,..., x _pэтого пространства представляет собой подпространство пространства Rразмерности р.В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р.Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R'В. п. Rесть линейная оболочка любых kлинейно независимых векторов, лежащих в R'.Пространство, состоящее из всех многочленов степени Ј n(линейная оболочка многочленов 1, u, u ²,..., u ⁿ) ,есть ( n+ 1) -мepное подпространство пространства Rвсех многочленов.

  Евклидовы пространства.Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам хи уиз Rставится в соответствие число, обозначаемое ( х, у) и называемое скалярным произведением векторов хи у.При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

  1) ( х, у) = ( у, х) (перестановочность);

  2) ( x ₁+ x ₂, y) = ( x ₁, y) + ( x ₂, y) (распределительное свойство);

  3) ( ax, у) = a( х, у) ,

  4) ( х, х) ³ 0для любого х, причем ( х, х) = 0 только для х= 0.

  Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством.Длина | x| вектора xи угол  между векторами хи уевклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

  Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство E ⁿполучим, определяя в n-мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x= ( l ₁, …, l _n) и y= ( m ₁, …, m _n) соотношением

  ( x, y) = l ₁m ₁+ l ₂m ₂+ …+ l _nm _n.    (2)

  При этом требования 1)-4), очевидно, выполняются.

  В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы хи уназываются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: ( х, у) = 0.В рассмотренном пространстве E ⁿусловие ортогональности векторов x= ( l ₁, …, l _n) и y= ( m ₁, …, m _n) ,как это следует из соотношения (2), имеет вид:

  l ₁m ₁+ l ₂m ₂+ …+ l _nm _n= 0.(3)

  Применение В. п. Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R -множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения y ⁿ+ a ₁( x) y ^{( n+ 1)}+ …+ a _n( x) y= 0. Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, Rудовлетворяет условиям А. Доказывается, что для Rвыполнено обобщённое условие В. Следовательно, Rявляется В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:

  Рассмотрим в евклидовом пространстве E ⁿвекторы a _i= ( a _i1, a _i2, …, a _in) , i= 1, 2,..., nи вектор-решение u= ( u ₁, u ₂,..., u _n). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов E ⁿ,придадим системе (4) следующий вид:

 ( a _i, u) = 0, i= 1, 2, …, m.   (5)

  Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение uортогонален всем векторам a _i.Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов a _i,то есть решение uесть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов a _i. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства.Примером такого пространства может служить пространство Снепрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С.

  Лит.:Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. - Л., 1948.

  Э. Г. Позняк.

Вектор-потенциал

Ве'ктор-потенциа'л,см. Потенциалы электромагнитного поля.

Вектор-функция