Ум,характеристика способности мышления и понимания. В истории философии – то же, что разум, дух; славянский перевод древнегреческого философского понятия (лат. – ) .

       Ум Нио'беРубен (1913 – 13.9.1958), деятель национально-освободительного движения Африки. В молодости служил во франц. колониальной администрации в Камеруне. Активный деятель профсоюзного движения. Основатель и генеральный секретарь революционно-демократической партии Союз народов Камеруна, вице-президент (с 1948). С 1955 возглавлял вооружённую борьбу народов Камеруна против колонизаторов. Погиб в бою с франц. войсками. Автор ряда работ по вопросам национально-освободительного движения.

       У'мань, город областного подчинения, центр Уманского района Черкасской области УССР. Расположен при слиянии рр. Каменки и Уманки (бассейн Южного Буга). Конечный пункт ж.-д. ветки от линии Вапнярка – Черкассы. Узел шоссейных дорог на Киев, Кировоград, Черкассы, Винницу, Одессу. 77,6 тыс. жителей (1975).
        У. известна с 1616. Находилась в Брацлавском воеводстве Речи Посполитой. В 1726–1832 принадлежала польским магнатам Потоцким. С 1793 в составе, Росс. империи. С 1795 уездный город. с 1797 – Киевской губернии. В 1819–26 в У. жил декабрист С. Г. ,у которого бывали П. И. и др. член .В 1838–57 была центром Киевской и Подольской губернии. В 1890 соединена железной дорогой с Киевом, в 1891 – с Одессой. Советская власть установлена в феврале 1918. Окончательно освобождена от белогвардейцев в 1920. С 1930 У. — районный центр, с 1932 город в Киевской области, с 1954 город в Черкасской области. С 1 августа 1941 по 10 марта 1944 была оккупирована немецко-фашистскими войсками; в послевоенный период хозяйство города восстановлено.
        Главные отрасли промышленности: машино- и приборостроение – заводы: «Мегомметр», оптико-механический, театрального оборудования, «Уманьсельмаш» (производственное объединение), пищевые (птицекомбинат; консервный, водочный и др. заводы); витаминный завод; лёгкая (швейная, обувная, художественных изделий фабрики). Производство стройматериалов (заводы: толевый, кирпичные, стройматериалов, железобетонных изделий). У. – значительный культурный центр области. В У. – с.-х., педагогический институты; техникум механизации сельского хозяйства, педагогическое, медицинское, музыкальное училища. Краеведческий музей. В У. памятники: И. Д. Черняховскому (бронза, гранит, 1948, скульптор Е. В. Вучетич, архитектор Я. Б. Белопольский), Г. И. Котовскому (бронза, гранит, 1957, скульпторы Е. И. Белостоцкий, Э. М. Фридман), М. И. Калинину (бронза, 1963, скульптор В. Е. Милько).
        В У. в бывшем имении графов Потоцких находится дендропарк «Софиевка» (1796–1859, при участии архитектора А. Н. Штакеншнейдера, инженер Л. Метцеля). В основе композиции парка – водная система с Верхним и Нижним озёрами, водопадом и каналами, связанными с р. Каменкой. В парке многочисленные павильоны, гроты и лабиринты, скульптура (преимущественно в стиле классицизма).
        Лит.:Умань, Черкаси, 1957; Умань. Путiвник, Днеропетровськ, 1968; Храбан Г. Е., Заграничный П. О., Умань. Путеводитель-справочник, Днепропетровск, 1975; Косаревский И. А., Софieвка. Краткий путеводитель, 5 изд., К., 1965.
      Умань. Парк «Софиевка». 1796—1859.

       У'мба,посёлок городского типа, центр Терского района Мурманской области РСФСР. Порт на Белом море, при впадении р. Умба в Кандалакшский залив, в 127 кмк Ю.-В. от ж.-д. станции Кандалакша (на линии Мурманск – Ленинград). Леспромхоз. Рыбоводный и рыбообрабатывающий заводы.

       У'мба, река в Мурманской области РСФСР. Длина 123 км,площадь бассейна 6250 км 2 .Вытекает из Умбозера, проходит озёра Капустные, Канозеро (ниже разветвляется на 3 протока), Пончозеро. Впадает в Кандалакшский залив Белого моря. Порожиста. Питание снеговое и дождевое. Половодье с мая по ноябрь. Средний расход воды 78,2 м 3 /сек.Замерзает в конце октября – середине декабря, вскрывается в мае – июне. Сплав леса; из оз. Индель (бассейна р. Варзуга) сброс воды и леса в У. Нерест сёмги. Водный туризм.

       Умбо'зеро, озеро на Кольском полуострове, в Мурманской области РСФСР. Расположено между Хибинами на З. и Ловозерскими Тундрами на В. Площадь 422 км 2 .Средняя глубина 15 м,наибольшая 115 м.Принимает несколько небольших притоков. Высшие уровни в июле, низшие в мае. Размах колебаний уровня 1,2 м.Замерзает в конце октября – декабре, вскрывается в конце мая – июне. Из озера вытекает р. Умба. Лов рыбы (форель, голец, ряпушка).

       Умбо'н(от лат. umbo, родительный падеж umbonis), железная серединная бляха щита, служившая для защиты руки воина. Имел полусферическую или коническую форму. Под У. находилась перекладина, за которую воин держал щит. Щиты с У. были широко распространены в Древней Греции, Древнем Риме, в средние века и на Руси.

       У'мбра, евдошка (Umbra krameri), рыба семейства евдошковых. Длина тела около 10 см,весит около 30 г.Окраска спины красновато-коричневая. Распространена У. в бассейнах Дуная и Днестра в водоёмах с малопроточной водой. При опасности зарывается в грунт. Нерест в марте – апреле, плодовитость свыше 150 икринок; самка откладывает икру в гнёзда и охраняет её. Питается личинками рыб и мелкими беспозвоночными. Иногда У. содержат в аквариумах.
      Умбра.

       Умбри'йская шко'ла,живописная школа в итальянском искусстве 13 – начала 16 вв. с центром в Перудже. В 13 в. славились умбрийские миниатюристы. К концу 14 – началу 15 вв. стала одним из главных центров позднеготического искусства в Италии (Джентиле да Фабриано, О. Нелли). Принципы реалистического ренессансного стиля побеждают в У. ш. со 2-й половины 15 в. под влиянием живописи [умбрийцы Фиоренцо ди Лоренцо, Перуджино, Л. Синьорелли, Пинтурнккьо, а также Рафаэль (до его переезда во Флоренцию в 1504)]. Для произведений умбрийских мастеров характерны мягкий лиризм образов, поэтическое чувство природы, нежность колористических решений.
      Пьетро Перуджино. «Мадонна с младенцем». Музей изобразительных искусств им. А. С. Пушкина. Москва.

       Умбриэ'ль, спутник планеты Уран, диаметр около 1000 км,среднее расстояние от центра планеты 267 000 км.Открыт в 1851 У. . Плоскость орбиты У. почти перпендикулярна плоскости орбиты Урана.

       У'мбрия(Umbria), административная область в Центральной Италии. Включает провинции Перуджа и Терни. Площадь 8.5 тыс. км 2 .Население 786 тыс. чел. (1973). Административный центр – г. Перуджа. Рельеф горно-холмистый; на В. – Умбро-Маркские Апеннины (высота до 2478 м,гора Ветторе); на территории У. – Тразименское озеро. Экономика имеет индустриально-аграрный характер. В промышленности занято 29,2% экономически активного населения, в сельском хозяйстве – 19,5% (1971). Добыча лигнитов (Губбио, Пьетрафитта). На базе энергии ГЭС (на реках бассейна Неры) получили развитие цветная металлургия и химия. значительный индустриальный комплекс размещается в Терни – электроэнергетика, чёрная металлургия, химическая, горнодобывающая промышленность. Текстильная, пищевая промышленность. Ремесло (кружева, вышивки, металлоизделия, посуда). В сельском хозяйстве преобладает земледелие; большая часть товарной продукции составляют пшеница, виноград (главным образом для производства вина), оливки. Разводят главным образом свиней, а также крупный рогатый скот, овец. Туризм.
      Умбрия.

       У'мбро-Ма'ркские Апенни'ны(Appennino Umbro-Marchigiano), горы в Италии, часть Апеннин между рр. Метауро и Тронто. Длина около 130 км.высота до 2478 м(г. Ветторе). Сложены известняками, песчаниками, флишем. Карстовые формы рельефа (свыше 100 гротов, воронки, карстовые источники). Разделены глубокими продольными и поперечными долинами на отдельные массивы. Месторождение бурого угля (Губбио). В нижних частях склонов (до выс. 500 м) –заросли вечнозелёных кустарников, выше – листопадные леса (из бука, дуба, граба), хвойные леса и луга.

       У'мбрский язык,язык .Был распространён на территории .Наряду с близким диалектом вольсков и с оскским языком входит в оскско-умбрскую группу италийской ветви индоевропейской семьи языков, противопоставленную латино-фалисской. Представлен краткими надписями (немногим более десятка) и надписями на семи бронзовых таблицах из г. Игувиум (современное Губбио) – самым обширным языковым памятником (около 5000 слов; около 4–1 вв. до н. э.) на территории Италии, за исключением латинского и этрусского. Таблицы 1–4 - я и часть 5-й записаны местным умбрским алфавитом этрусского происхождения, остальные – латинским. Особенности У. я.: монофтонгизация индоевропейских дифтонгов, ротацизм, падение большинства конечных согласных, ассимиляция палатализованных согласных, перфекты с суффиксами -l- и -nki- и др. Носители У. я. были полностью романизованы к началу н. э. К умбрскому ,видимо, восходят некоторые фонетические особенности и лексические элементы в современных итальянских диалектах.
        Лит.:Тройский И. М., Очерки из истории латинского языка, М. – Л., 1953; Pouitney J. W., The bronze tables of lguvium, Baltimore, 1959; Ernout A., Le dialecte Ombrien, P., 1961; Devoto J., Tabulae lguvinae, Roma, 1962.
         А. А. Королев.

       У'мбры(лат. Umbri, греч. Ombrikoi), древнеиталийские племена оскско-умбрской языковой группы на территории Северной и Средней Италии. Учёные полагают, что У. были носителями .В 4–3 вв. до н. э. оттеснённые галлами У. осели в области, получившей название (Средняя Италия). В 3–2 вв. до н. э. покорены римлянами и к 1 в. н. э .латинизировались. О языке У. см. ст. .

       У'мео(Urnea), город на С. Швеции, на берегу Ботнического залива, в устье р. Уме-Эльв. Административный центр лена Вестерботтен. 58 тыс. жителей (1974). Лесоэкспортный порт. Машиностроение, лесопильная и деревообрабатывающая промышленность. Вблизи У. – ГЭС Стурнорфорс (375 Мвт –крупнейшая в Швеции). Университет.

       Уме'ренные пояса',два географических пояса Земли, расположенные в Сев. полушарии, приблизительно между 40° и 65° с. ш., в Южном – между 42° и 58° ю. ш. Занимают около 1/ 4площади поверхности Земли, значительно превосходя остальные географические пояса. В Северном полушарии около 55% площади У. п. занято сушей, в Южном полушарии – около 98% – океаном. Для У. п. характерна чёткая сезонность термического режима, определяющая периодичность климатических, гидрологических, геоморфологических, биологических процессов. Термические условия допускают произрастание на всей территории У. п. древесной растительности, но из-за суровости зим развитие вечнозелёной древесной растительности невозможно. Недостаток увлажнения в некоторых районах приводит к формированию безлесных ландшафтов. Природные условия У. п., особенно на обширной суше Сев. полушария, отличаются исключительным разнообразием вследствие больших пространственных градиентов тепла и увлажнения.
        Годовая суммарная радиация от 70–80 до 140–160 ккал/см 2 .Годовой радиационный баланс на суше Сев. полушария 20–40, Южном полушария 30–40 ккал/см 2 ,на океанах соответственно 20–60 и 30–60 ккал/см 2 .Летом суммарная радиация с увеличением широты изменяется слабо вследствие увеличения в этом направлении продолжительности дня. Зимой суммарная радиация быстро уменьшается с увеличением широты, и радиационный баланс оказывается отрицательным. В течение всего года во всей толще тропосферы У. п. происходит зап. перенос воздушных масс, что в сочетании с интенсивной циклонической деятельностью способствует транспортировке влаги с океанов на материки и межширотному обмену теплом. Средние температуры воздуха наиболее холодных месяцев над сушей в Сев. полушарии от 6 до –50 °С, в Южном – от 2 до 8 °С, над океанами соответственно от 10 до –8 °С и от 2 до 10 °С; наиболее тёплых – над сушей в Сев. полушарии от 10 до 28 °С, в Южном – от 8 до 20 °С; над океанами соответственно от 8 до 20 °С и от 8 до 16 °С. Годовые суммы осадков на большей части У. п. от 500 до 800 мм,к окраинам континентов они увеличиваются до 1000–2000 мм,а в юж. внутриконтинентальных районах уменьшаются до 100–200 ммв связи с ослаблением циклональной циркуляции. Для суши У. п. характерны значительные величины поверхностного стока, большая активность текучих вод, вызывающих интенсивное эрозионное расчленение поверхности. Величина стока в Сев. полушарии уменьшается к южным районам с их большими бассенами внутреннего стока. В У. п. наибольшее в сравнении с др. поясами количество озёр, весьма специфичную группу которых составляют озёра ледникового происхождения.
        Для почвообразования типична интенсивная минерализация органических веществ и выщелачивание; широко распространены подзолистые и различные оподзоленные почвы. В более тёплых и влажных районах – активный синтез вторичных минералов с оглинением почв. В умеренно влажных районах преобладает дерновый процесс, а в засушливых – засоление. Значительные площади в У. п. занимают подзолистые, бурые и серые лесные почвы, менее распространены чернозёмы, каштановые п др. Наиболее распространённые типы растительности – леса: таёжные (на значительных пространствах заболоченные), смешанные хвойно-широколиственные и летнезелёные широколиственные. В фауне важнейшую роль играют лесные формы животных, ведущие преимущественно оседлый образ жизни; менее распространены животные открытых пространств. Многие млекопитающие впадают в зимнюю спячку или имеют иные приспособления для перенесения неблагоприятного времени года.
        На суше У. п. выделяют три типа секторов: западноприоксанические, внутриматериковые и восточноприокеанические. Границы между ними нечёткие, в связи с чем иногда выделяют и переходные от внутриматериковых к приокеаническим секторы. В западноприокеанических секторах господствует мягкий влажный климат с интенсивной циклональной циркуляцией. Увлажнение достаточное или избыточное. Снежный покров непродолжительный или вовсе отсутствует. Реки полноводны. Господствуют мезофильные широколиственные или хвойные леса, бурые лесные или дерново-подзолистые почвы. В пределах горных районов – лесолуговой спектр высотных поясов. Внутриматериковые секторы Сев. полушария имеют континентальный климат с наибольшими в У. п. различиями температур по сезонам года, холодной и (особенно на С.) снежной зимой и относительно тёплым или (на Ю.) жарким летом. На значительной территории развиты многолетнемёрзлые грунты. В сев. частях секторов увлажнение избыточное, в средней полосе – достаточное, в южной – скудное. Для этих секторов характерна следующая смена ландшафтных зон по мере увеличения радиации и уменьшения увлажнения: , , , и .Простирание зон степей и лесостепей имеет концентрический характер. Для восточноприокеанических секторов характерны ландшафты лесных зон, которые формируются в условиях муссонно-циклонального климата, особенно ярко проявляющегося на В. Азии. На равнинах и низкогорьях господствуют темнохвойные, смешанные и (на Ю.) широколиственные леса на дерново-подзолистых и бурых лесных почвах. В высокогорьях – ландшафты лесотундрового спектра.
        Полнее всего спектр зон и высотных поясов выражен в Евразии и Северной Америке. В них наибольшие площади заняты лесными зонами, а в горах – лесотундровыми (на С.) и лесолуговыми типами высотной поясности. В приокеанических секторах спектр зон сокращается вследствие уменьшения пространственной амплитуды увлажнения: исчезают зоны полупустынь и пустынь, а зоны лесостепей и степей представлены фрагментарно. В Южной Америке и на Тасмании секторность зон вследствие региональных особенностей суши и циркуляции воздушных масс выражена слабее.
        Освоенность суши У. п. хозяйственной деятельностью человека разнообразна. Наибольшей степени она достигает в приатлантических секторах Европы и Северной Америки, где широко распространены индустриальные антропогенные ландшафты, а также в степных и лесостепных районах внутриконтинентальных секторов, где почти повсеместны с.-х. антропогенные ландшафты. Наименьшая освоенность присуща сев. районам таёжной зоны и пустыням.
        Для океанов в пределах У. п. характерны: круглогодичный перенос поверхностных слоев воды к В. (в связи с господством зап. ветров), наибольшие (в сравнении с др. поясами) годовые колебания температуры, солёности и др. гидрологических показателей, обилие органической жизни. По насыщенности поверхностных вод планктоном У. п. превосходят все др. пояса. Весьма богата донная фауна, вследствие чего многие районы океана в У. п. играют роль кормовых пастбищ для промысловых рыб. Океаны в пределах У. п. дают более 2/ 3мирового улова морской рыбы (сельдь, треска, пикша, сайда, палтус, камбала, а в более тёплых районах – сардина, кефаль, скумбрия). См. также
        Лит.:Иванов Н. Н., Ландшафтно-климатические зоны земного шара, М. – Л., 1948; Григорьев А. А., Будыко М. И., О периодическом законе географической зональности, «Докл. АН СССР», 1956, т. 110, № 1; Калесник С. В., Общие географические закономерности Земли, М., 1970.
         Р. А. Ерамов.

       Уме'т,посёлок городского типа в Зубово-Полянском районе Мордовской АССР. Ж.-д. станция (Тёплый Стан) на линии Москва – Куйбышев. Деревообрабатывающий комбинат.

       Уме'т,посёлок городского типа, центр Уметского района Тамбовской обл. РСФСР. Расположен в верховьях р. Вяжля (бассейн Дона). Ж.-д. станция на линии Тамбов – Саратов, в 112 кмк В. от Тамбова. Маслозавод; элеватор.

       Уметали'евТемиркул [р. 18.4(1.5).1908, с. Туе-Джар, ныне Джанги-Джольского района Ошской обл.], киргизский советский поэт, народный поэт Киргизии (1968). Член КПСС с 1932. Воспитывался в детдоме. Участник Великой Отечественной войны 1941–45. Печатается с 1932. Уже ранние произведения У. отмечены поисками воплощения в поэзии трудовых будней республики. Опубликовал сборники «Стихи победы» (1943), «Герой» (1944), в 1953 создал поэму «Кубат», где показано становление характера сов. интеллигента, его путь к воинскому подвигу. В послевоенные годы поэт вновь обращается к теме мирного труда: «Поэма о пастухе», «Поэма о белом золоте» (обе 1956) и др. Немалое место в творчестве У. занимает философская и любовная лирика. Поэзия его в основе своей народна, в ряде черт (стиль, образная система) близка к фольклору. Пишет и для детей. Переводит произведения А. С. Пушкина, В. В. Маяковского, Н. С. Тихонова, М. Бажана и др. Награжден орденом Ленина, 2 др. орденами, а также медалями.
        Соч.: Чыгармалар жыйнагы, т. 1–2, Фр., 1958–59; Ыр журегу карыбайт, Фр., 1967; в рус. пер. – Дорожная песня, М., 1958; Весенние струны, Фр., 1961; Киргизские напевы, М., 1972.
        Лит.:Самаганов Дж., Писатели Советского Киргизстана. Биобиблиографич. справочник, Фр., 1969.

       У'ме-Эльв, Умеэльв (Urne alv), река в средней части Швеции. Длина около 450 км,площадь бассейна 26,7 тыс. км 2 .Берёт начало из озера Эверуман на высоте 520 м.Пересекает плоскогорье Норланд в узкой залесённой долине, образуя пороги и водопады и протекая через несколько озёр (крупнейшее – оз. Стуруман), впадает в Ботнический залив Балтийского моря. Основной левый приток – р. Виндель-Эльвен (длина 445 км) .Весенне-лстнее половодье, средний расход воды близ устья 510 м 3 /сек.Замерзает с ноября по май. Лесосплав. На водопадах – каскад ГЭС (Стурнорфорс, 375 Мвт,Харселефорсен, 200 Мвт) .На У. – города Люкселе, Веннес; близ устья – морской порт Умео.

       Умиа'к,грузовая эскимосская лодка больших размеров (длина 8–9 м,ширина 1,5 м,глубина до 70 см) с открытым верхом. Имеет пару весел и парус, деревянный каркас обтянут тюленьими кожами. У. называют также женской лодкой (в отличие от ) ,т.к. гребцами всегда бывают женщины, а мужчина обычно сидит на руле, которым служит лопатообразное весло.

       Умла'ут,умляут (нем. Umlaut – перегласовка), фонетическое явление изменения тембра гласных а, о, и под влиянием гласного i (в герм. языках – и некоторых др. гласных) в следующем слоге (термин введён Я. ) .Как фонетическое явление У. представляет собой регрессивную гласных. Возникшие в результате У. комбинаторные варианты фонем могут приобрести статус самостоятельных фонем, чередование которых (т. н. «грамматический У.») может стать особым морфологическим средством. Например, в современном нем. языке У. часто является грамматическим способом оформления множественного числа существительных не только в случаях исчезновения условий комбинаторного варьирования, но и во мн. аналогичных формах: Gast – «гость» – Gaste; Mutter – «мать» – Mьtter.
         Лит.:Стеблин-Каменский М. И.. Что такое «умлаут»?, в кн.: Материалы первой научной сессии по вопросам германского языкознания, М., 1959, с. 52–63.

       У'мма(шумер. Убме), древний город-государство Шумера в Южном Двуречье (современное городище Джоха в Ираке). В 3-м тыс. до н. э. вёл борьбу с из-за пограничных территорий и каналов. В 24 в. правитель У. одержал победу над Лагашем. В конце 24 в. У., как и др. города Шумера, была завоёвана Древним и вошла в состав Аккадской державы. Около 2200 подверглась нашествию гутиев. В 21 в. У. – окружной центр царства Шумера и Аккада (III династии Ура). После падения III династии Ура (около 2000 до н. э.) потеряла значение. Обнаруженные в начале 20 в. на городище Джоха местными жителями клинописные таблички (архив царско-храмовых хозяйств 23–21 вв. до н. э.) позволили В. В. Струве сделать вывод о рабовладельческом характере шумерского общества.
        Лит.:Струве В. В., Новые данные об организации труда и социальной структуре общества Сумера эпохи III династии Ура, «Советское востоковедение», 1949, № 6; Тюменев А. И., Государственное хозяйство древнего Шумера, М. – Л., 1956.

       Умм-Саи'д,город и порт в Катаре, на побережье Персидского зал. Около 2 тыс. жителей Конечный пункт шоссе, пересекающего полуостров Катар с З. на В. Близ У.-С. – нефтеочистительный завод (нефть поступает по трубопроводу с месторождения в районе Духана).

       Умм-эр-Рби'я,река на З. Марокко. Длина 556 км.Берёт начало в горах Среднего Атласа, впадает в Атлантический океан. В горах – бурный поток, по выходе из гор – спокойная равнинная река. Главные притоки – Эль-Абид и Тесаут. Бурные паводки весной (таяние снегов в горах), после дождей зимой (средний расход воды в это время около 200 м 3 /сек) ,в сухой сезон летом – сильно обмелевает. На У.-э.-Р. и притоке Эль-Абид – ГЭС. Воды У.-э.-Р. широко используются для орошения.

       Умноже'ние,операция образования по двум данным объектам аи b,называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. У. обозначается знаком Х (ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или • (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо аґ bили а• bпишут ab.У. имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам аи bтретье число с,равное сумме bслагаемых, каждое из которых равно а,так что ab = а + а +...+ а( bслагаемых). Число аназывается множимым, b –множителем. У. дробных чисел  и  определяется равенством  (см. ) .У. рациональных чисел даёт число, которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (–), если они разного знака. У. определяется при помощи У. их рациональных приближений. У. ,заданных в форме a = а + biи b = с+ di,определяется равенством ab = ac– bd+ ( ad + bc) i.При У. комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
        a = r 1(cosj 1+ isin j 1),
        b = r 2(cosj 2+ isin j 2),
        их модули перемножаются, а аргументы складываются:
        ab = r 1 r 2{cos (j 1+ j 2) + isin ((j 1+ j 2)}.
        У. чисел однозначно и обладает следующими свойствами:
        1) ab= ba(коммутативность, переместительный закон);
        2) a( bc) =( ab) c(ассоциативность, сочетательный закон);
        3) a( b + c) = ab + ac(дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда аЧ0 =0; aЧ1 = а.Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.
        Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r(cosj + isin j) соответствует оператор растяжения всех векторов в rраз и поворота их на угол j вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего – свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.

       Умножи'тель частоты',электронное (реже электромагнитное) устройство, предназначенное для увеличения в целое число раз частоты подводимых к нему периодических электрических колебаний. Отношение f вых/ f вх( f вхи f вых– частоты колебаний соответственно на входе и выходе У. ч.) называется коэффициента умножения частоты m( m ³ 2; может достигать нескольких десятков). Характерная особенность У. ч. – постоянство тпри изменении (в некоторой конечной области) f вх ,а также параметров У. ч. (например, резонансных частот или ,входящих в состав У. ч.). Отсюда следует, что если f вхпо каким-либо причинам получила приращение D f вх(достаточно малое), то приращение D f выхчастоты f выхтаково, что D f вх/ f вх= D f вых/ f вых, т. е. относительная нестабильность частоты колебаний при умножении остаётся неизменной. Это важное свойство У. ч. позволяет использовать их для повышения частоты стабильных колебаний (обычно получаемых от кварцевого ) в различных радиопередающих, радиолокационных, измерительных и др. установках.
        Наиболее распространены У. ч., состоящие из нелинейного устройства (например, ,варактора, или ,катушки с ферритовым сердечником; ) и (одного или нескольких). Нелинейное устройство изменяет форму входных колебаний, вследствие чего в колебаний на его выходе появляются составляющие с частотами, кратными f вх. Эти сложные колебания поступают на вход фильтра, который выделяет составляющую с заданной частотой mf вх ,подавляя (не пропуская) остальные. Поскольку такое подавление в реальных фильтрах не является полным, на выходе У. ч. остаются нежелательные (т. н. побочные) составляющие, т. е. гармоники с номерами, отличными от m.Задача облегчается, если нелинейное устройство порождает практически только m-ю гармонику f вх, – в этом случае иногда обходятся без фильтра (известны подобные У. ч. на и специальных электроннолучевых приборах). При m> 5 бывает энергетически выгоднее использовать многокаскадные У. ч. (в них выходные колебания одного каскада служат входными для другого).
        Находят применение также У. ч., действие которых основано на синхронизации автогенератора (см. ) .В последних возбуждаются колебания с частотой f 0 = mf вх ,которая становится в точности равной mf вхпод действием поступающих на его вход колебаний с частотой f вх .Недостаток таких У. ч. – сравнительно узкая полоса значений f вх, при которых возможна синхронизация. Кроме указанных, некоторое распространение получили радиоимпульсные У. ч., в которых на вход электрического фильтра подаются радиоимпульсы определённой формы, вырабатываемые под действием входных колебаний с частотой f вх .