СССР. Естественные науки

Естественные науки

  Математика

  Научные исследования в области математики начали проводиться в России с 18 в., когда членами Петербургской АН стали Л. Эйлер, Д. Бернулли и другие западноевропейские учёные. По замыслу Петра I академики-иностранцы должны были иметь русских учеников; и действительно, Эйлеру удалось основать русскую математическую школу. В 19 в. Россия дала мировой науке Н. �. Лобачевского, создателя неевклидовой геометрии, труды которого длительное время не были оценены, но в дальнейшем оказали огромное влияние на развитие математики и смежных с ней наук. В 19 в. в АН были избраны выдающиеся математики М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский и П. Л. Чебышёв, создавший в Петербурге замечательную математическую школу, к которой, в частности, принадлежали академики А. М. Ляпунов, А. А. Марков и В. А. Стеклов. П. Л. Чебышёв считал, что в математике важно, прежде всего, то ,что помогает решать практические задачи или содействует развитию смежных разделов науки; исходя из запросов теории механизмов, он построил теорию наилучших приближений функций. Русские математики внесли большой вклад в решение технических проблем. Труды Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина были посвящены созданию теории полёта и развитию авиации, а труды А. Н. Крылова - созданию теории корабля и развитию кораблестроения.

  Достижения дореволюционной русской математики были связаны с исследованиями отдельных учёных и имели очень узкую базу. Основными центрами математических исследований являлись университеты - Петербургский, Московский, Казанский, Киевский, Харьковский. В Петербургском университете работали почти все математики - члены АН; в других математических центрах главные достижения были также связаны с работами чебышевской школы.

  В СССР после Октябрьской революции 1917 успешно разрабатываются все основные направления современной математики; активно ведётся работа по её применениям. Выдающаяся роль принадлежит Математическому институту им. В. А. Стеклова АН СССР (1934, Москва), на базе отделов которого был создан ряд научно-исследовательских учреждений, в том числе институт прикладной математики АН СССР (1963, Москва). Большая научно-исследовательская работа в области математики и её приложений ведётся также в Вычислительном центре АН СССР (1955, Москва), �нституте математики Сибирского отделения АН СССР (1957, Новосибирск), на математических кафедрах МГУ, ЛГУ и других университетов, институте математики и механики Уральского научного центра АН СССР (1971, Свердловск), в институтах республиканских АН. На Украине, в Грузии, Армении, Узбекистане, Литве имеются крупные математические школы.

  В области теории чисел �. М. Виноградов создал мощный метод тригонометрических сумм, позволивший получить наилучшие результаты в вопросе о распределении дробных долей функций, в аддитивных задачах, в распределении простых чисел в натуральном ряде; последний вопрос тесно связан с проблемой распределения нулей дзета-функции Римана - одной из труднейших в теории функций комплексного переменного. �. М. Виноградов получил асимптотические формулы, из которых в качестве весьма частного случая вытекает решение т. н. проблемы Гольдбаха о возможности представления любого нечётного числа в виде суммы трёх простых чисел. Метод тригонометрических сумм играет большую роль и в других разделах математики. Существ. вклад в развитие этого метода и его приложений внёс Ю. В. Линник. Значит. результаты в теории трансцендентности принадлежат А. О. Гельфонду. В области теории чисел работали также �. �. �ванов, Р. О. Кузьмин, К. К. Марджанишвили, Л. Г. Шнирельман и др.

  Важнейшие исследования в области алгебры велись в тесной связи с работами по математической логике. Так, методами математической логики П. С. Новиков опроверг высказанную в начале 20 в. гипотезу о том, что всякая периодическая группа с конечным числом образующих конечна (аналогичные предположения высказывались и в отношении других алгебраических систем). А. �. Мальцев, также методами математической логики, доказал, в частности, неразрешимость элементарной теории конечных групп; А. �. Мальцев и А. А. Марков разрабатывали теорию алгоритмов; В. М. Глушков - абстрактную теорию автоматов, получившую важные применения. Авторами работ в области алгебры являются также Д. А. Граве, О. Ю. Шмидт, Б. Н. Делоне, А. П. Ершов, М. �. Каргаполов, А. �. Кострикин, Д. К. Фаддеев, Н. Г. Чеботарев, А. �. Ширшов и др., а в области математической логики - Ю. Л. Ершов, О. Б. Лупанов, А. А. Ляпунов, С. В. Яблонский и др.

  Возникла теория управляющих систем. Л. С. Понтрягин, Е. Ф. Мищенко и др. создали общую математическую теорию оптимальных процессов, в центре которой находится предложенный Л. С. Понтрягиным «принцип максимума». Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений разрабатывалась в связи с теорией нелинейных колебаний. При этом весьма важное значение имело введение в рассмотрение А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным т. н. грубых систем уравнений, т. е. таких систем, общее поведение траекторий которых не меняется при малых изменениях правых частей уравнений. Теорией обыкновенных дифференциальных уравнений занимались также Н. М. Крылов, �. А. Лаппо-Данилевский, В. В. Степанов и др.

  Развивая асимптотические методы теории колебаний, Н. Н. Боголюбов нашёл асимптотические ряды, дающие хорошие приближения на больших отрезках времени. �м была доказана при весьма общих предположениях сходимость асимптотических разложений; исследование поведения асимптотических разложений на бесконечном промежутке времени проведено методом инвариантных многообразий. Эти работы нашли многочисленные как теоретические, так и практического применения.

  Вопрос об устойчивости конкретной системы, как показал А. М. Ляпунов, может быть сведён к построению некоторой функции и определению знака её производной. Н. Н. Красовский определил критерий существования функций Ляпунова для автономных (не зависящих от времени) систем широкого класса.

  Н. Н. Лузин провёл важные исследования в области теории функций действительного переменного. В частности, он доказал существование непрерывной примитивной для каждой измеримой и конечной почти всюду функции; это дало возможность решения задачи Дирихле в классе измеримых функций. Основанная Н. Н. Лузиным и Д. Ф. Егоровым московская математическая школа явилась источником ряда новых направлений в советской математике.

  А. Н. Колмогоровым, Д. Е. Меньшовым, В. Я. Козловым и другими учёными глубоко разработана теория тригонометрических рядов. В связи с развитием функциональных и вариационных методов решения краевых задач математической физики изучен ряд новых проблем в теории дифференцируемых функций многих переменных. С. Л. Соболевым и С. М. Никольским установлены теоремы вложения для различных классов функций. Вопросам теории приближения функций в действительной области посвящены работы С. М. Никольского и других учёных.

  Много работ советских учёных посвящено теории функций комплексного переменного и её приложениям. Важнейшие применения теории аналитических функций в области аэромеханики были даны Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Большой вклад в аэромеханику внёс М. В. Келдыш. Результаты Н. �. Мусхелишвили и �. Н. Векуа по граничным задачам теории аналитических функций, которыми занимались также В. В. Голубев и �. �. Привалов, нашли применение в теории упругости, теории оболочек, в механике сплошной среды. В связи с рядом прикладных задач разрабатывались обобщения теории аналитических функций. М. А. Лаврентьев создал теорию квазиконформных отображений, которую он применил к изучению струйного течения жидкости. �. Н. Векуа построил теорию обобщённых аналитических функций.

  М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев провели фундаментальные исследования в теории равномерного приближения функций комплексного переменного многочленами. Эти работы были продолжены А. Г. Витушкиным, А. А. Гончаром, С. Н. Мергеляном и другими учёными; был изучен вопрос о приближении функций комплексного переменного рациональными функциями, работы по интерполяции функций в комплексной области выполнил А. Ф. Леонтьев.

  Разработка теории функций действительного переменного привела советских математиков к необходимости развития теории множеств и содействовала возникновению теоретико-множественной топологии. Основополагающими явились работы П. С. Александрова. �м, в частности, введено фундаментальное понятие нерва системы множеств. П. С. Александровым создана топологическая теория незамкнутых множеств, играющая большую роль в топологии.

  Л. С. Понтрягин является основателем школы алгебраической топологии. Современная топология представляет собой цикл областей математики, изучающих т. н. глобальные проблемы геометрии, анализа, теории дифференциальных уравнений; она охватывает также часть алгебры. Начиная с исследований Л. С. Понтрягина по теории двойственности, топология развивалась под влиянием его идей и методов. Вопросами топологии занимались также А. Н. Тихонов, С. П. Новиков и др.

  В области геометрии А. Д. Александровым построена общая теория выпуклых многогранников. �м, А. В. Погореловым и другими геометрами исследованы дифференциально-геометрические образования «в целом».

  Многочисленные исследования проведены по теории дифференциальных уравнений с частными производными. В. �. Смирновым и С. Л. Соболевым был дан метод решения уравнений гиперболического типа. А. Н. Колмогоровым были изучены уравнения параболического типа. �. Г. Петровский выделил и изучил широкие классы эллиптических, гиперболических и параболических систем, которые в основном сохраняют свойства соответствующих уравнений 2-го порядка. �м же дано решение задачи Коши для гиперболических систем и в наиболее общем виде исследован вопрос об аналитичности решений эллиптических систем (в частных случаях этот вопрос рассматривался ранее).

  �. Н. Векуа исследовал общие краевые задачи для эллиптических уравнений высшего порядка с двумя независимыми переменными созданным им методом интегральных представлений решений; эти работы были продолжены многими математиками. Уравнения смешанного типа изучались М. А. Лаврентьевым и А. В. Бицадзе. Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым, �. Г. Петровским были разработаны прямые методы решения вариационных задач, качественные методы исследования вариационных задач развиты в работах Л. А. Люстерника, Л. Г. Шнирельмана и др.

  Работы С. Л. Соболева в области математической физики вызвали необходимость изучения новых классов уравнений. �м введены новые функционально-аналитические методы исследования задач математической физики, ряд работ по математической физике выполнили Н. М. Гюнтер, Н. С. Кошляков и др.

  М. В. Келдышем заложены основы теории несамосопряжённых операторов, которая применялась в исследованиях многочисленных учёных. Н. �. Мусхелишвили и его учениками получены важные результаты в области теории сингулярных интегральных операторов. Значит. работы проведены по спектральной теории операторов. Получено много результатов в изучении краевых задач смешанного типа и в теории квазилинейных систем. Ряд вопросов функционального анализа (теория нормированных колец, представления групп, обобщённые функции) изучался �. М. Гельфандом. Л. В. Канторовичем построена теория полуупорядоченных пространств. Л. �. Седовым предложены обобщённые вариационные принципы механики, дающие возможность описания необратимых процессов.

  В теоретической физике Н. Н. Боголюбов и В. С. Владимиров применили к проблемам квантовой теории поля методы теории аналитических функций множества комплексных переменных и теории обобщённых функций. Н. Н. Боголюбовым построена теория сверхтекучести и установлен фундаментальный факт, что сверхпроводимость может рассматриваться как сверхтекучесть электронного газа. Н. Н. Боголюбовым предложена система аксиом квантовой теории поля, которая дала возможность строго доказать дисперсионные соотношения. В связи с изучением вопросов квантовой теории поля Н. Н. Боголюбовым и В. С. Владимировым получены важные результаты в теории функций многих комплексных переменных (теорема об «острие клина», о « С- выпуклой оболочке», о «конечной инвариантности» и др.). Важные результаты в области теоретической физики принадлежат также Л. Д. Фаддееву.

  Многочисленные работы в области теории вероятностей и математической статистики ведутся со времён деятельности П. Л. Чебышёва и его учеников А. М. Ляпунова и А. А. Маркова. С. Н. Бернштейн завершил исследования по предельным теоремам типа Лапласа и Ляпунова, приводящим к нормальному закону распределения, и изучил условия применимости основной предельной теоремы к зависимым величинам. Существенные результаты в области теории вероятностей получены А. Я. Хинчиным. А. Н. Колмогоровым разработана общепринятая ныне аксиоматика теории вероятностей, основанная на понятии меры. В трудах А. Н. Колмогорова и его школы широкое развитие получила теория случайных процессов. Ряд предельных теорем теории вероятностей доказан Ю. В. Прохоровым и его учениками, в том числе теоремы о сходимости распределений, связанных с суммами независимых случайных величин, к распределениям некоторых случайных процессов. Авторами работ в области теории вероятностей являются также А. А. Боровков и др., а в области математической статистики - Н. В. Смирнов, исследовавший её непараметрические задачи, Л. Н. Большев и др. Ю. В. Линником введены новые аналитические методы, примененные им и его учениками к предельным теоремам и к задачам параметрической статистики. Ряду учёных принадлежат исследования в области теории надёжности и теории массового обслуживания.

  Выдающееся значение имеют работы Н. Н. Боголюбова, В. М. Глушкова, А. А. Дородницына, М. В. Келдыша, Н. Е. Кочина, М. А. Лаврентьева, А. Н. Тихонова и других учёных по прикладной математике. А. А. Дородницыным и его сотрудниками созданы методы решения задачи обтекания тел в полной нелинейной постановке для звуковых, сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей. Н. Е. Кочиным исследованы вопросы движения вязкой жидкости. Границы применения математики всё более расширяются. Наряду с традиционными областями её применения, такими, как механика, физика, астрономия, возникли новые - экономика, биология и др. Ряд приложений математики к вопросам экономики разработал Л. В. Канторович.

  Теорией приближённых вычислений занимался А. Н. Крылов. Современная вычислительная математика возникла из задач новой техники на основе использования классической математики и применения ЭВМ. Этим путём были решены важные задачи, относящиеся к проблеме овладения атомной энергией, к теории космического полёта и к другим вопросам. Появление ЭВМ поставило перед математикой ряд новых проблем, в частности посвященных изучению различных алгоритмов. В этой связи проведено сравнительное изучение алгоритмов для широкого круга задач, исследован вопрос о построении наилучших (или близких к наилучшим) алгоритмов, принадлежащих данному классу при различных критериях оптимальности. Важное значение для вычислит. техники имеет теория алгоритмических языков, дающая возможность унификации и упрощения программирования на ЭВМ.

  А. Н. Тихоновым и его сотрудниками изучена задача численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами и получены удобные для машинной реализации алгоритмы нахождения регуляризованного решения для многих некорректных задач математической физики; в той же области работают В. К. �ванов, М. М. Лаврентьев и др. В. М. Глушковым, А. А. Дородницыным, А. А. Самарским, а также Н. П. Бусленко, Н. Н. Говоруном, С. К. Годуновым, Е. В. Золотовым, В. А. Мельниковым, Н. Н. Моисеевым, В. В. Русановым и другими учёными много сделано для использования ЭВМ в решении разнообразных классов математических задач.

  Среди научных учреждений, которые разрабатывают вопросы, связанные с вычислительной техникой, находятся �нститут прикладной математики АН СССР (1963), �нститут точной механики и вычислительной техники (1948, Москва), Вычислительный центр АН СССР (1955), �нститут кибернетики АН УССР (1962, Киев) и др.