 |
|
|
|
()ModernLib.Net / / / () - (. 35)
Н. Ф. Степанов. Симметрия кристаллов Симме'трия криста'ллов,свойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла. На рис. 1 , а изображен кристалл кварца . Внешняя его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещен сам с собой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия ( рис. 1 , б) преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m(зеркальное равенство). Т. о., симметрия означает возможность преобразования объекта совмещающего его с собой. Если F( x 1, x 2, x 3) - функция, описывающая объект, например форму кристалла в трёхмерном пространстве или какое-либо его свойство, а операция g[ x 1, x 2, x 3] осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то gявляется операцией или преобразованием симметрии, а F- симметричным объектом, если выполняются условия:
g[
x
1,.
x
2,
x
3]
=
F( x 1, x 2, x 3) = F( x 2, x 2, x 3). (1, б) В наиболее общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность) объектов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классическая теория С. к. - теория симметрических преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутренняя атомная структура кристаллов - трёхмерно-периодическая, т. е. описывается как кристаллическая решётка . При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое (ортогональное, или изометрическое, преобразование). После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные). С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла в импульсном пространстве (см. Твёрдое тело ), при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей в кристаллах с помощью пространства обратных длин и т. п. Группа симметрии кристаллов.Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии. Так, кристалл кварца ( рис. 1 , а) совмещается с собой нс только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция g 1), ной при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g 2), а также при поворотах на 180° вокруг осей 2 x, 2 y, 2 w(операции g 3, g 4и g 5). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен геометрический образ - элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция. Например, ось 3 или оси 2 x, 2 y, 2 wявляются осями симметрии, плоскость m( рис. 1 , б) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии [ g 1,..., g n] данного кристалла образует группу симметрии Gв смысле математической теории групп . Последовательное проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. Всегда существует операция идентичности g 0, ничего не изменяющая в кристалле, называется отождествлением, геометрически соответствующая неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, называется порядком группы. Группы симметрии классифицируют: по числу nизмерений пространства, в которых они определены; по числу тизмерений пространства, в которых объект периодичен (их соответственно обозначают G m n) и по некоторым другим признакам. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются пространственные группы симметрии G 3 3, описывающие атомную структуру кристаллов, и точечные группы симметрии G 0 3, описывающие их внешнюю форму. Последние называются также кристаллографическими классами.
Симметрия огранки кристаллов.Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка
Nна 360°/
N(
рис. 2
, а), отражение в плоскости симметрии (зеркальное отражение,
рис. 2
, б), инверсия
Точечные преобразования симметрии
g[
x
1,
x
2,
x
3] =
x' 1= а 11 х 1+ a 12 x 2+ a 13 x 3, x' 2= a 21 x 1+ a 22 x 2+ a 23 x 3, (2) x' 3= a 31 x 1+ a 32 x 2+ a 33 x 3, т. е. матрицей коэффициента ( a ij). Например, при повороте вокруг хзна угол a = 360°/ Nматрица коэффициентов имеет вид:
а при отражении в плоскости x 1, x 2имеет вид:
Поскольку
Nможет быть любым, число групп
Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей. Эти группы называются группами 1-го рода. Группы, содержащие отражения, или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в которых есть зеркально равные части (но могут быть и совместимо равные части). Эти группы называются группами 2-го рода. Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах, условно называемых «правой» и «левой», каждая из них не содержит элементов симметрии 2-го рода, но они зеркально равны друг другу (см. Энантиоморфизм , Кварц ). Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещенная в кристаллографии симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Например, для описания регулярной структуры сферических вирусов ( рис. 4 ), в оболочках которых соблюдаются кристаллографические принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая точечная группа 532. Симметрия физических свойств. Предельные группы.В отношении макроскопических физических свойств (оптических, электрических, механических и др.), кристаллы ведут себя как однородная анизотропная среда, т. е. дискретность их атомной структуры не проявляется. Однородность означает, что свойства одинаковы в любой точке кристалла, однако при этом многие свойства зависят от направления (см. Анизотропия ). Зависимость от направления можно представить в виде функции и построить указательную поверхность данного свойства ( рис. 5, см. также ст. Кристаллооптика ). Эта функция, которая может быть различной для разных физических свойств кристалла (векторной или тензорной) имеет определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше её по симметрии (принцип Неймана). Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым классам, описываются предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые Ґ. Наличие оси Ґ означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. Таких групп 7, они представлены на рис. 6 образцовыми фигурами и соответствующими символами. Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу С. к., можно указать возможность наличия или отсутствия в нём некоторых физических свойств (см. Кристаллы , Кристаллофизика ). Обозначения и названия 32 групп точечной симметрии
Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов(кристаллической решётки) описывается пространственными группами симметрии
Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G 3 3возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой - винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения ( рис. 2 , д). Всего известно 230 пространственных (фёдоровских) групп симметрии
Симметрия слоев и цепей.Для описания плоских или вытянутых в одном направлении фрагментов структуры кристаллов могут быть использованы группы
Обобщённая симметрия.В основе определения симметрии лежит понятие равенства ( 1 , б) при преобразовании ( 1 , а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Например, распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магнитных моментов ( рис. 9 ), то «обычной», классической симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относится антисимметрия и цветная симметрия. В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным x 1, x 2, x 3вводится добавочная, 4-я переменная x 4= ± 1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1,
a)
(симметрия относительно точки,
рис. 2
, в), инверсионные повороты
(комбинация поворота на 360°/
Nс одновременной инверсией,
рис. 2
, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты
. Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу (
рис. 3
), которые изображаются обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции.
описываются линейными уравнениями:
, (3)
(3a)
бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллической решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го), которые обозначаются символами:
1,
2,
3,
4,
6, а также инверсионные оси:
(она же центр симметрии),
=
m(она же плоскость симметрии),
. Поэтому количество точечных кристаллографических групп, описывающих внешнюю форму кристаллов, ограничено. Эти 32 группы С. к. приведены в таблице. В международные обозначения точечных групп входят символы основных (порождающих) элементов симметрии, им присущих. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами
а,
b,
си углами a, b, g) в 7
сингоний кристаллографических
- триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе определяется гониометрически (см.
Гониометр
) или рентгенографически (см.
Рентгеновский структурный анализ
).
. Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных переноса
а,
b,
с, называемых трансляциями, которые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы
a
1,
b
2,
c
3или любой вектор
t=
p
1a
1+
p
2b
2+
p
3c
3, где
p
1,
p
2,
p
3- любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой, и следовательно, является операцией симметрии, удовлетворяющей условиям (
1
, а, б). Параллелепипед, построенный на векторах
а,
bи
c, называется параллелепипедом повторяемости или элементарной ячейкой кристалла (
рис. 7
, а, б). В элементарной ячейке содержится некоторая минимальная группировка атомов, «размножение» которой операциями симметрии, в том числе трансляциями, образует кристаллическую решётку. Элементарная ячейка и размещение в ней атомов устанавливается методами
рентгеновского структурного анализа
,
электронографии
или
нейтронографии
.
, и любой кристалл относится к одной из этих групп. Трансляционные компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, например винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп
макроскопически сходственна с одной из 32 точечных групп. Например, точечной группе
mmmили
D
2hсходственны 28 пространственных групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть её трансляционная подгруппа, или
Браве решётка
; таких решёток существует 14.
- двумерно периодические и
- одномерно периодические в трёхмерном пространстве. Эти группы играют важную роль в изучении биологических структур и молекул. Например, группы
описывают строение биологических
мембран
, группы
- цепных молекул (
рис. 8
, а) палочкообразных
вирусов
, трубчатых кристаллов глобулярных
белков
(
рис. 8
, б), в которых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах
.