или отражение (зеркальное) относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой ана плоскости), - преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка Мпереходит в точку M'такую, что отрезок MM'перпендикулярен плоскости a (прямой а) и делится ею пополам. Плоскость a (прямая а) называется плоскостью (осью) С.

  Отражение - пример ортогонального преобразования , изменяющего ориентацию (в отличие от собственного движения). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений - этот факт играет существенную роль в исследовании С. геометрических фигур.

  2) Симметрия (в широком смысле) - свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность формы Ф, неизменность её при действии движений и отражений. Точнее, фигура Фобладает С. (симметрична), если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Фс самой собой, является группой , называемой группой симметрии этой фигуры (иногда сами эти преобразования называются симметриями).

В  Так, плоская фигура, преобразующаяся РІ себя РїСЂРё отражении, симметрична относительно РїСЂСЏРјРѕР№ - РѕСЃРё РЎ. ( СЂРёСЃ. 1 ); здесь РіСЂСѓРїРїР° симметрии состоит РёР· РґРІСѓС… элементов. Если фигура Фна плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки Рћ РЅР° СѓРіРѕР» 360В°/ n, n- целое число ³ 2, переводят её РІ себя, то Фобладает РЎ. n-РіРѕ РїРѕСЂСЏРґРєР° относительно точки Рћ- центра РЎ. Примером таких фигур являются правильные многоугольники ( СЂРёСЃ. 2 ); РіСЂСѓРїРїР° РЎ. здесь - С‚. РЅ. циклическая РіСЂСѓРїРїР° n-РіРѕ РїРѕСЂСЏРґРєР°. Окружность обладает РЎ. бесконечного РїРѕСЂСЏРґРєР° (поскольку совмещается СЃ СЃРѕР±РѕР№ поворотом РЅР° любой СѓРіРѕР»).

  Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются центральная С., осевая С. и С. переноса.

  а) В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, другими словами, точка О - середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф ( рис. 3 ). б) В случае осевой симметрии, или С. относительно прямой n-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси С.) на угол 360°/ n. Например, куб имеет прямую ABосью С. третьего порядка, а прямую CD- осью С. четвёртого порядка ( рис. 3 ); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей С. играют важную роль в кристаллографии (см. Симметрия кристаллов ), в) Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением на угол 360°/2 kвокруг прямой ABи отражением в плоскости, перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую С. Прямая AB, называется зеркально-поворотной осью С. порядка 2 k, является осью С. порядка k( рис. 4 ). Зеркально-осевая С. порядка 2 равносильна центральной С. г) В случае симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на какой-либо отрезок. Например, фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей, перпендикулярных оси переноса) ( рис. 5 ). Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решёток .

  В искусстве С. получила распространение как один из видов гармоничной композиции . Она свойственна произведениям архитектуры (являясь непременным качеством если не всего сооружения в целом, то его частей и деталей - плана, фасада, колонн, капителей и т. д.) и декоративно-прикладного искусства. С. используется также в качестве основного приёма построения бордюров и орнаментов (плоских фигур, обладающих соответственно одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) ( рис. 6 , 7 ).

  Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрических фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая С., осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений ( рис. 8 ) (подробнее см. в ст. Симметрия в биологии). С. конфигурации молекул, сказывающаяся на их физических и химических характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрической С. кристаллов и решёток, приобретают важное значение представления о С. в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность физического пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория ), позволяет установить т. н. сохранения законы ; обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрия в физике).

  3) Симметрия (в общем смысле) означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Например, С. законов теории относительности определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований . Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы Gего автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта в целом и его частей.

  Поскольку такой объект можно представить элементами некоторого пространства Р, наделённого соответствующей характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются преобразованиями Р. Т. о. получается представление группы Gв группе преобразований Р(или просто в Р), а исследование С. объекта сводится к исследованию действия Gна Ри отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С. физических законов, управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, которым удовлетворяют элементы пространства Р, определяется действием Gна такие уравнения.

  Так, например, если некоторое уравнение линейно на линейном же пространстве Ри остаётся инвариантным при преобразованиях некоторой группы G, то каждому элементу gиз Gсоответствует линейное преобразование T _gв линейном пространстве Rрешений этого уравнения. Соответствие g® T _gявляется линейным представлением Gи знание всех таких её представлений позволяет устанавливать различные свойства решений, а также помогает находить во многих случаях (из «соображений симметрии») и сами решения. Этим, в частности, объясняется необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений групп. Конкретные примеры см. в ст. Симметрия в физике.

  Лит.:Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. - Л., 1940; Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.

  М. �. Войцеховский.

Рис. 2. Звездчатый правильный многоугольник, обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра.

Рис. 3. Куб, имеющий прямую AB осью симметрии третьего порядка, прямую CD - осью симметрии четвёртого порядка, точку О - центром симметрии. Точки М и M' куба симметричны как относительно осей AB и CD, так и относительно центра О.

Рис. 5. Фигуры, обладающие симметрией переноса: верхняя фигура имеет также бесконечное множество вертикальных осей симметрии (второго порядка), т. е. плоскостей отражения

Рис. 7. Орнамент; осью переноса является любая прямая, соединяющая центры двух каких-либо завитков.

Рис. 4. Многогранник, обладающий зеркально-осевой симметрией; прямая AB - зеркально-поворотная ось четвёртого порядка.

Рис. 8. Фигура, обладающая винтовой симметрией, которая осуществляется переносом вдоль вертикальной оси, дополненным вращением вокруг неё на 90°.

Рис. 1. Плоская фигура, симметричная относительно прямой АВ; точка М преобразуется в М’ при отражении (зеркальном) относительно АВ.

Рис. 6. Бордюр, накладывающийся на себя или переносом на некоторый отрезок вдоль горизонтальной оси, или отражением (зеркальным) относительно той же оси и переносом вдоль неё на отрезок, вдвое меньший.