Сферическая геометрия

Сфери'ческая геоме'трия,математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

  Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается так называемый большой круг. Через каждые две точки Аи Вна сфере ( рис. , 1), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг. Большие круги сферы являются её геодезическими линиями и поэтому в С. г. играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях С. г. также отлична от планиметрии; так, например, в С. г. не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.

  Длину отрезка АВна сфере, то есть дугу AmB( рис. , 1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом AOB.Угол ABC( рис. , 2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом A' BC'между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения Вили двугранным углом, образованным плоскостями OBAи OBC.

 При пересечении двух больших кругов на сфере образуется четыре сферических двуугольника ( рис. , 3) .Сферический двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле: S = 2R ² A,где R -радиус сферы, А -угол двуугольника, выраженный в радианах.

  Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников ( рис. , 4) ;зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называют эйлеровыми). Стороны a, b, ссферического треугольника измеряются плоскими углами трёхгранного угла OABC( рис. , 5), углы А, В, Стреугольника - двугранными углами того же трёхгранного угла. Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется ещё четвёртый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).

  Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует, что равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию.Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники AC' Си BCC'на рис. , 6.

 Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2p. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3p и больше p. Разность s– p = e, где s -сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле: S = R ²e, где R -радиус сферы. О соотношении между углами и сторонами сферического треугольника см. Сферическая тригонометрия.

 Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются ( рис. , 7) некоторый большой круг QQ’(экватор), одна из двух точек пересечения диаметра PP'сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р(полюс), и один из больших полукругов PAP',выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р,называются меридианами, малые её круги, параллельные экватору,- параллелями. В качестве одной из координат точки Мна сфере принимается угол q= РОМ(полярное расстояние, в качестве второй - угол j = AONмежду нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М(долгота, отсчитываемая против часовой стрелки).

  Введение координат на сфере позволяет проводить исследование сферических фигур аналитическими методами геометрии. Так, два уравнения

  q = f (t), j = g (t)

или одно уравнение

  F (q, j) = 0

между координатами qи jопределяют некоторую линию на сфере. Длина Lдуги M ₁ M ₂этой линии вычисляется по формуле

где t ₁и t ₂ -значения параметра t,соответствующие концам M ₁и M ₂дуги M ₁M ₂( рис. , 8) .

  Лит.:Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.- М., 1948; Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.

Рис. к ст. Сферическая геометрия.

Сферическая тригонометрия

Сфери'ческая тригономе'трия,математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия ) .Пусть А, В, С -углы и а, b, с -противолежащие им стороны сферического треугольника ABC(см. рис. ). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами С. т.:

                                  (1)

cos а= cos bcos с  + sin bsin сcos А,                (2)

cos A = -cos B cos С+ sin Bsin Сcos a,            (2 ₁)

sin acos B = cos bsin c -sin bcos сcos А,         (3)

sin Аcos b= cos Bsin C+ sin Bcos Сcos a;      (3 ₁)

в этих формулах стороны а, b, сизмеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR,где R -радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А® В® С® А  ( а® b® с® а) ,можно написать другие формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

  Для прямоугольных сферических треугольников ( А= 90°, а -гипотенуза, b, с -катеты) формулы С. т. упрощаются, например:

sin b= sin asin В,                  (1')

cos a =cos bcos c,                (2')

sin acos B =cos bsin c.        (3')

  Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С,90° - b,90° - с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,

cos а= sin (90° - с) sin (90° - b)

или, после преобразования,

cos а =cos bcos с(формула 2').

  При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:

,

,

,

.

  При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а,мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:

                                         (1’’)

                                   (3’’)

или более точные формулы:

       (1’’’)

           (3’’’)

  С. т. возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1')-(3'), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (2 ₁)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (3 ₁)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 - начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 - начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 - начало 19 вв.) и др.

  Лит.см. при ст. Сферическая геометрия.

Рис. к ст. Сферическая тригонометрия.

Сферические координаты

Сфери'ческие координа'тыточки М,три числа r, q, j, которые определяются следующим образом. Через фиксированную точку О ( рис. ) проводятся три взаимно оси Ox, Оу, Oz.Число rравно расстоянию от точки О до точки М, qпредставляет собой угол между вектором  и положительным направлением оси Oz, j- угол, на который надо повернуть против часовой стрелки положительную полуось Oxдо совпадения с вектором  ( N -проекция точки Мна плоскость хОу) .С. к. точки Мзависят, таким образом, от выбора точки Ои трёх осей Ox, Оу, Oz.Связь С. к. с прямоугольными декартовыми координатами устанавливается следующими формулами:

, , .

С. к. имеют большое применение в математике и её приложениях к физике и технике.

Рис. к ст. Сферические координаты.

Сферические функции

Сфери'ческие фу'нкции,специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения

,

получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении в сферических координатах r, q, j. Общий вид решения:

,

где a _m- постоянные,  - присоединённые функции Лежандра степени lи порядка m,определяемые равенством:

,

где Р _п- Лежандра многочлены.

 С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции

образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций { e ^{im j}} на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты j, разлагаются по зональным С. ф.:

С. ф. степени l

при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:

 (1)

( q ^–1 M -точка, в которую переходит точка Мсферы при вращении q ^–1) .Коэффициенты  являются матричными элементами неприводимого унитарного представления веса lгруппы вращения сферы. Их называют также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении некоторых задач теории упругости и т. д.

  С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:

,

где cos g = cos q cos q‘ + sinq sinq' cos (j -j’), g - сферическое расстояние точки (q, j) от точки (q', j’).

  Характерным примером многочисленных приложений С. ф. к вопросам математической физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть  - поверхностная плотность распределения массы по сфере радиуса Rс центром в начале координат; если аможно разложить в ряд С. ф. , сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий этому распределению масс, в каждой точке ( r, q, j), внешней относительно данной сферы, равен

а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен

Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функцию соответственно степени n -1 и n.

 С. ф. были введены А. Лежандром и П. Лапласом в конце 18 в.

  Лит.:Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1-2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.

Сферический избыток

Сфери'ческий избы'ток,превышение суммы углов сферического треугольника сверх 180°, то есть сверх суммы углов прямолинейного треугольника на плоскости. Сумма углов треугольника, образованного тремя геодезическими линиями на поверхности с положительной кривизной, т. е. на выпуклой поверхности, всегда больше двух прямых и равна

где К -полная кривизна поверхности, а dS -элемент её площади. С. и. треугольника, образованного большими кругами на сфере (шаре) с радиусом R,равен

где S- площадь треугольника. Для небольших треугольников на поверхности земного шара с двумя сторонами a, bи углом С между ними величина e ,выраженная в секундах дуги, равна

.

Сферический маятник

Сфери'ческий ма'ятник, материальная точка,движущаяся под действием силы тяжести по гладкой сферической поверхности, в частности по полусфере, обращенной выпуклостью вниз. См. Маятник.

Сферический треугольник

Сфери'ческий треуго'льник,геометрическая фигура, образованная дугами трёх больших кругов, соединяющих попарно три какие-нибудь точки на сфере. О свойствах С. т. и соотношениях между его элементами (углами и сторонами) см. в статьях Сферическая геометрия, Сферическая тригонометрия.

Сферическое отображение

Сфери'ческое отображе'ниеповерхности S,непрерывное отображение Sна сферу Рединичного радиуса, определяемое по параллельности касательных плоскостей в соответствующих точках поверхности и сферы (С. о. является также отображением по параллельности нормалей). Площадь s'сферического образа областей Gповерхности Sне меняется при изгибаниях S. Это обстоятельство позволяет рассматривать число s'как внутреннюю меру искривлённости области G(площадь s'рассматривается со знаком в зависимости от направления обхода её границы). Если существует предел Котношения s'к s( s -площадь G), когда область Gстягивается к некоторой точке Мна поверхности S, то он, очевидно, также не меняется при изгибаниях Sи поэтому является внутренней характеристикой искривлённости Sв точке М.Это число Кназывается полной, или гауссовой, кривизной поверхности Sв точке М.С. о. поверхности играет важную роль в изучении свойств поверхностей.

  Лит.:Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия, пер. с нем., 2 изд., М., 1951.

Сферическое поле

Сфери'ческое по'ле,центральное поле, понятие теории поля (см. Поля теория ) .Векторное поле а (Р)называется С. п., если существует такая точка О, что все векторы а (Р)лежат на прямых, проходящих через О, и их длина зависит только от расстояния rточки Рдо точки О, то есть а (Р)= f (r) n,где n -единичный вектор прямой. Скалярное поле u (P)называется С. п., если существует такая точка О, что u (P)зависит только от расстояния rточки Рдо точки О, то есть и (Р) = j(r).Примеры векторного С. п.: силовое поле, образованное точечным зарядом, поле ньютоновского тяготения материальной точки. Пример скалярного С. п. - поле распределения температуры в изотропном однородном теле при точечном источнике тепла.

Сферо...

Сфе'ро...(от греч. sphбira - шар), первая часть некоторых сложных слов, имеющих отношение к шару или сфере как геометрическим образам.

Сфероид

Сферо'ид(от сфера и греч. йidos - вид), сплюснутый эллипсоид вращения малого сжатия; в более общем смысле - всякая поверхность, близкая к сфере. См., например, Земной сфероид.

Сфероидизация

Сфероидиза'цияв металловедении, процесс перехода кристаллов избыточной фазы в глобулярную (сферическую) форму, происходящий при относительно высоких температурах в связи с уменьшением межфазной поверхностной энергии. Особенно важное значение имеет С. пластинок цементита,входящего в состав перлита:при этом пластинчатый перлит превращается в зернистый, в результате чего значительно уменьшаются твёрдость и прочность, но повышается пластичность металла. С. осуществляется длительной выдержкой при температурах вблизи нижней критической точки или циклическим нагревом - охлаждением вблизи этих температур (см. Отжиг ) ;процесс может быть ускорен предварительной деформацией или закалкой. Сфероидизирующий отжиг на зернистый перлит, особенно высокоуглеродистых шарикоподшипниковых и инструментальных сталей, служит для улучшения их обрабатываемости на металлорежущих станках, а также для подготовки структуры к закалке.

  Лит.:Раузин Я. Р., Термическая обработка хромистой стали, 3 изд., М., 1963; Бунин К. П., Баранов А. А., Металлография, М., 1970.

  Р. И. Энтин.

Сферолгиты

Сфероли'ты(от сферо... и греч. lithos - камень), небольшие шарики радиально-лучистого строения, представляющие собой агрегаты очень тонких игольчатых кристаллов. Встречаются в магматических и осадочных горных породах. Минеральный состав и величина С. разнообразны. С. в магматических породах рассматриваются большей частью как эндогенные контактовые образования в краевых участках диабазов. В кислых лавах С. могут возникать путём консолидации в основной стекловатой массе при её застывании. В основных лавах (вариолитах) подобные образования называются вариолями. С. формируются также в газовых пустотах уже твёрдой породы при вторичном выпадении цеолитов, кварца и т. п. минералов (так называемых псевдосферолиты). В осадочных породах встречаются С. карбонатные, марганцево-железистые, фосфатные, халцедоновые и т. п., образующиеся обычно при раскристаллизации вещества коллоидных стяжений. Многие из них по происхождению близки к конкреционным образованиям (см. Конкреции ) .

Сферосомы

Сферосо'мы(от сферо... и греч. s ma - тело), гранулы в растительных клетках. Одни исследователи принимают их за скопление рибосом,другие - за участки эндоплазматической сети.На основании обнаружения в С. активности кислой фосфатазы и неспецифичный эстераз их отождествляют с лизосомами животных клеток, от которых они отличаются высоким содержанием липидов.

Сферофорус

Сферофо'рус(Sphaerophorus), род лишайников из семейства сферофоровых. Слоевище кустистое, прямостоячее, коралловидное, коричневатого или коричневато-сероватого цвета. Апотеции закладываются глубоко на вздутых полушаровидных верхушках веток и имеют вид ложных перитециев.По созревании слой спорообразующих клеток ( гимений ) разрушается и обнажается вместилище, заполненное спорами. Около 8 видов. В СССР 2 вида (Sph. fragilis и Sph. globosus); поедаются северными оленями. Распространены в арктических и горных областях.

Сфециды

Сфеци'ды,семейство жалоносных перепончатокрылых насекомых; то же, что роющие осы.

Сфигмография

Сфигмогра'фия(от греч. sphygmуs - пульс и ...графия ), бескровный метод исследования кровообращения человека и животных, основанный на графической регистрации пульса-колебаний стенок артерий при прохождении пульсовой волны. Для записи пульсовых кривых (сфигмограмм) применяют датчики, которые фиксируют над сонной артерией (сфигмограмма центрального пульса, отражающая главным образом процесс изгнания крови из левого желудочка сердца в аорту) или поверхностно расположенными артериями конечностей (сфигмограмма периферического пульса, характеризующая особенности распространения пульсовой волны в артериях). Синхронная запись этих кривых позволяет измерить время запаздывания периферического пульса по отношению к центральному и определить скорость распространения пульсовой волны. Одновременная запись сфигмограммы центрального пульса, электрокардиограммы и фонокардиограммы (см. Фонокардиография ) -поликардиограмма - применяется для изучения сердечного сокращения методом так называемого фазового анализа. С. используют для распознавания некоторых пороков сердца,сосудистых и др. заболеваний.

  И. М. Каевицер.

Сфигмоманометр

Сфигмомано'метр(от греч. sphygmуs - пульсация крови, пульс и манометр ) ,прибор для непрямого измерения артериального давления. По типу манометра С. делят на ртутные, или аппараты Рива-Роччи (по имени итальянского педиатра S. Riva-Rocci, создавшего С. в 1896), и мембранные С., чаще называемые тонометрами.Помимо манометра, С. снабжен резиновой манжетой с чехлом из плотной ткани, нагнетательной грушей с воздушными клапанами, тройником и стравливающим винтовым вентилем. Из методов непрямого определения артериального давления обычно применяется аускультативный, то есть звуковой метод (по Н. С. Короткову). Манжету С. чаще обёртывают вокруг плеча и накачивают в неё воздух, чтобы сжать плечевую артерию и остановить в ней ток крови. Установив в области локтевого сгиба капсулу фонендоскопа,постепенно выпускают воздух из манжеты и определяют, при каком показании манометра в фонендоскопе слышен первый звуковой тон Короткова. В этот момент давление в манжете соответствует систолическому (максимальному) давлению крови в плечевой артерии. По мере дальнейшего выпуска воздуха из манжеты звуковые тоны исчезают. В момент прекращения тонов давление равно диастолическому (минимальному). На основе схемы С. и определения звуковых тонов микрофоном созданы автоматы для регулярного наблюдения за кровяным давлением у тяжелобольных.

  Лит.см. при ст. Кровяное давление.

  Н. К. Сараджев.

Ртутный сфигмоманометр.

Сфингозин

Сфингози'н,высший алифатический ненасыщенный аминоспирт, C ₁₃H ₂₇CH = CH CH (OH) CH (NH ₂) CH ₂OH. Растворим в органических растворителях; нерастворим в воде; t _пл81,5-83 °С; обладает свойствами основания. В живой природе встречается в составе сфинголипидов.Биосинтез С. в клетках осуществляется из аминокислоты серина и пальмитиновой кислоты с участием кофермента А . С. обладает антикоагулянтным действием, так как тормозит превращение протромбина в тромбин.Свыше 60 аналогов С. - сфингозиновых оснований - различаются длиной алифатической цепи, степенью её ненасыщенности, разветвлённостью, положением двойной связи.

Сфинголипиды

Сфинголипи'ды,сложные липиды, в состав которых входит ненасыщенный аминоспирт сфингозин,его гомологи или аналоги. Во всех природных С. аминогруппа сфингозинового основания связана амидной связью с одной из высших жирных кислот или оксикислот, различающихся длиной углеродной цепи и степенью ненасыщенности. С. делят на 2 основные группы: сфингофосфолипиды содержат остатки фосфорной кислоты и холина (сфингомиелины) или фосфорной кислоты и инозитилгликозида (фитосфинголипиды); сфингогликолипиды содержат моносахариды, обычно галактозу, или олигосахариды ( цереброзиды ) ;или олигосахариды и остатки сиаловых кислот (ганглиозиды) (формулы см.