Ряба'я Моги'ла,курган на западном берегу р. Прут, близ устья р. Калмацуй, в районе которого 17 (28) июня 1770 во время русско-турецкой войны 1768—74 русская армия под командованием генерала П. А. Румянцева (38—39 тыс. чел., 115 орудий) нанесла поражение турецко-татарским войскам крымского хана Каплан-Гирея (до 70 тыс. чел.). Наступление русских войск с фронта и флангов создало угрозу окружения противника, который обратился в бегство.

       Ряби'на(Sorbus), род листопадных деревьев или кустарников семейства розоцветных. Листья очередные от непарноперистых до лопастных и цельных. Цветки в щитковидных соцветиях. Плоды 2—5-гнёздные, яблоковидные. Около 50 (по другим данным, около 100) видов, распространённых в умеренном поясе Северного полушария. Наибольшее значение имеет Р. обыкновенная (S. aucuparia) — дерево или кустарник с гладкой серой корой. Листья у неё непарноперистые, цветки белые, плоды шаровидные, красные, служат кормом для птиц. В пределах СССР встречается в Европейской части и на Кавказе; разводится как декоративное и ради плодов, используемых в кондитерском и ликёрно-водочном производстве; применяется в медицине. На С.-В. Европейской части и в Сибири растет Р. сибирская (S. sibirica), используемая так же, как и Р. обыкновенная. Р. садовую (S. domestica), растущую в Крыму, на юге Западной Европы и в Средиземноморье, разводят в садах. Виды с простыми цельными или лопастными листьями нередко выделяют в самостоятельные роды. Распространённую в культуре (родом из Северной Америки), как правило, относят к особому роду арония.
         М. Э. Кирпичников.
      Рябина обыкновенная: а — ветка с цветками; б — ветка с плодами; в — цветок; г — плод в разрезе.

       Ряби'нины,сказители русских былин. Трофим Григорьевич Р. (1791, деревня Гарницы Петрозаводского уезда Олонецкой губернии, — 1885, деревня Серёдка того же уезда и губернии, ныне Заонежского района Карельской АССР), принадлежал к эпикам строгой, выдержанной школы исполнения, следовал традициям героической трактовки образов и сюжетов. От него записывали былины П. Н. и А. Ф. .Его сын — Иван Трофимович Р. [1844, деревня Серёдка, — 2(15).2.1909, деревня Гарницы], широкую известность приобрёл в 90-х гг., когда выступал с исполнением былин во многих городах России и за границей. В текстах его былин заметны варьирования и отступления от традиции. Петр Иванович Рябинин-Андреев [27.5(9.6). 1905, деревня Гарницы, — 3.2.1953, Петрозаводск], сын сказителя Ивана Герасимовича Р., пасынка Ивана Трофимовича Р. Первые записи от него произведены в 1926; неоднократно выступал с исполнением былин в Петрозаводске, Москве, Ленинграде. Пел былины со значительным отступлением от традиции, иногда создавал внефольклорные стилизаторские произведения, так называемые новины. Значение былинного творчества Р. для науки очень велико.
        Тексты и лит.:Ляцкий Е., Сказитель Иван Трофимович Рябинин и его былины. Этнографический очерк, М., 1895; Соколов Б. М., Сказители, М., [1925]; Былины П. И. Рябинина-Андреева, Петрозаводск, 1940; Былины Ивана Герасимовича Рябинина-Андреева, Петрозаводск, 1948; Былины Севера. [Подгот. текста и коммент. А. М. Астаховой], т. 2, М. — Л., 1951; Астахова А. М., Сказители былин, их художественное мастерство, в кн.: Русское народное поэтическое творчество, т. 2, кн. 2, М. — Л., 1956; её же, Былины, М. — Л., 1966; Chettйoui W., Un rapsode russe Rjabinin le pиre, P., 1942.
         В. П. Аникин.

       Ряби'нник(Sorbaria), род листопадных кустарников семейства розоцветных. Высотой от 40 смдо 3—6 м.Листья непарноперистосложные с остающимися прилистниками, светло- или тёмно-зелёные, осенью жёлтые или карминовые, большей частью с линейными, заострёнными, двоякопильчатыми, сидячими листочками. Цветки мелкие, 5-членные, белые или розовые, в крупных конечных пирамидальных метёлках. Плод — многолистовка из 5 сросшихся у основания листовок, раскрывающихся по брюшному шву. 10 видов, в Азии; в СССР 4 вида — в Средней Азии, Сибири, на Дальнем Востоке. Р. рябинолистный (S. sorbifolia) растет в Сибири, на Дальнем Востоке, в Китае, Корее, Монголии и Японии по берегам горных и лесных рек, окраинам болот часто густыми зарослями. Р. разводят в садах и парках для устройства живых изгородей, закрепления берегов и откосов.
        Лит.:Деревья и кустарники СССР, т. 3, М. — Л., 1954.

       Ряби'нник,птица рода .

       Рябки'(Pterocletes), подотряд птиц отряда голубеобразных. Длина тела 23—40 см.Крылья, приспособленные к быстрому полёту, длинные и острые. Цевка оперённая, задний палец короткий или отсутствует. Оперение плотное, кожа толстая — защита от перегрева, а у —и от морозов. Окраска песочных или рыжеватых тонов. 1 семейства — Pteroclidae с 3 родами: собственно Р. (12 видов), саджа (1 вид) и тибетская саджа (1 вид). Распространены в сухих степях и пустынях юго-западной Европы, Африки и Азии. Питаются Р. семенами трав и кустарников. Гнездятся на земле. В безводных местах летают на водопои, приносят воду птенцам в зобу или намокших перьях брюшка. В кладке обычно 3 яйца, насиживают оба пола. Птенцы вылупляются зрячими, покрытыми густым пухом, их кормят отрыжкой из зоба. В СССР 2 вида собственно Р., живущих в Южном Казахстане и Средней Азии: белобрюхии Р. (Pterocles alchata), предпочитающий песчаные пустыни, и чернобрюхий Р. (P. orientalis) — обитатель щебнистых предгорий. Оба вида перелётны. Р. — объект охоты.
         Лит.:Птицы Советского Союза, под ред. Г. П. Дементьева и Н. А. Гладкова, т. 2, М., 1951.
         Л. И. Иванов.
      Рябки: 1 — чернобрюхий; 2 — белобрюхий.

       Ря'бовЯков Петрович (р. 24.3.1928, Рузаевский район Мордовской АССР), советский партийный и государственный деятель. Член КПСС с 1954. Родился в семье крестьянина. Окончил в 1952 Уральский политехнический институт (вечернее отделение). В 1943—58 работал на Свердловском турбомоторном заводе (токарь-карусельщик, техник-конструктор, инженер-конструктор, начальник отдела, начальник цеха). В 1958—63 секретарь парткома Свердловского турбомоторного завода, 1-й секретарь Орджоникидзевского райкома КПСС (Свердловск), в 1963—66 1-й секретарь Свердловского горкома КПСС. В 1966—71 2-й секретарь, в 1971—76 1-й секретарь Свердловского обкома КПСС. С 1976 секретарь ЦК КПСС. Член ЦК КПСС с 1971. Депутат Верховного Совета СССР 8-го и 9-го созывов. Награжден 3 орденами Ленина, 2 другими орденами, а также медалями.

       Рябу'ха, инфекционная болезнь табака и махорки, вызываемая бактерией Pseudomonas tabacum и характеризующаяся появлением главным образом на листьях, иногда на чашелистиках и коробочках, многочисленных (диаметром до 2 см) бледно-жёлтых (хлоротических) пятен. Пораженные участки в сухую погоду подсыхают, во влажную загнивают, что нередко приводит к продырявливанию листьев. Возбудитель проникает в растение через устьица и в местах повреждения тканей; сохраняется в пыли, приставшей к семенам, парниковому инвентарю, осевшей в сушильных сараях, а также в несгнивших остатках урожая. Р. снижает урожай на 40—50%; заготовительные цены на пораженные листья табака уменьшаются на 80%. Меры борьбы: влажное протравливание семян; дезинфекция парникового инвентаря; опрыскивание рассады в фазе 2 настоящих листочков бордоской жидкостью; выращивание устойчивых сортов; внесение калийных удобрений; зяблевая вспашка.
        Лит.:Грушевой С. Е., Болезни табака и система мероприятий по борьбе с ними, М., 1950; Леонов И. П., Петренко А. Г., Псарев Г. М., Пособие для табаководов, М., 1968.
         С. Е. Грушевой.

       Рябуши'нские,русские промышленники и банкиры. Выходцы из крестьян Калужской губернии, где в середине 19 в. П. М. и В. М. Рябушинские имели несколько небольших текстильных фабрик. В 1869 Р. купили хлопчатобумажные предприятия в Вышнем Волочке. Одновременно они занимались кредитными операциями. Сыновья П. М. Рябушинского приобрели предприятия в льняной, стекольной, бумажной и полиграфической промышленности, а в годы 1-й мировой войны 1914—18 — в лесопромышленной и металлообрабатывающей; начали строить автомобильный завод. В 1900 заняли руководящее положение в Харьковском поземельном банке. В 1902 был создан банкирский дом братьев Р., реорганизованный в 1912 в Московский банк. Р. принадлежала ведущая роль в крупнейших предпринимательских организациях России (Общество фабрикантов хлопчатобумажной промышленности, Московский биржевой комитет, Военно-промышленный комитет, Всероссийский союз торговли и промышленности и др.). Они входили в руководящую группу партии и издавали газету «Утро России». Из 8 братьев Р. наибольшую известность приобрёл Павел Павлович Р. (1871—1924), ставший накануне Октябрьской революции 1917 признанным лидером российской контрреволюционной буржуазии. Он был одним из организаторов и руководителей ,калединщины и военной интервенции в Советскую Россию. Контрреволюционную деятельность продолжал в эмиграции.
        Лит.:Лаверычев В. Я., Монополистический капитал в текстильной промышленности (1900—1917 гг.), М., 1963; его же, Всероссийский союз торговли и промышленности, в сб.: Исторические записки, т. 70, М., 1961.

       Ря'бушкинАндрей Петрович [17(29).10.1861, с. Станичная Слобода, ныне Воронежская область, — 27.4(10.5).1904, усадьба Дидвино, близ станции Любань, ныне Ленинградская область], русский живописец. Сын крестьянина-иконописца. Учился в Московском училище живописи, ваяния и зодчества (1875—82) у В. Г. Перова и И. М. Прянишникова и в петербургской АХ (1882—90). Жил в Петербурге. Писал жанровые картины, посвященные в основном праздничной, обрядовой стороне крестьянского быта («Крестьянская свадьба в Тамбовской губернии», 1880, Третьяковская галерея; «Чаепитие», 1903, частное собрание, Москва), сцены из истории России (главным образом 17 в.), трактуя их в камерно-бытовом плане [«Русские женщины XVII столетия в церкви», 1899, «Свадебный поезд в Москве (XVII столетие)», 1901, обе — Третьяковская галерея; «Едут», 1901, Русский музей, Ленинград]. Оставаясь в целом верным традициям русской живописи 2-й половины 19 в. (убедительно передавая обстановку, костюмы, пейзаж), Р. вместе с тем нередко прибегал к обобщению форм, придавал своим композициям динамику и некоторую плоскостность. Декоративной красочностью, навеянной народным творчеством, введением орнаментальных и архитектурных мотивов он стремился подчеркнуть национальный характер изображаемого. Работал также как иллюстратор.
        Лит.:А. П. Рябушкин. [Альбом. Предисл. Е. Б. Муриной], М., 1961; Суздалей П. К., Рябушкин, М., 1961; Масалина Н. В., А. П. Рябушкин, М., 1966.
      А. П. Рябушкин. «Едут». 1901. Русский музей. Ленинград.
      А. П. Рябушкин. «Сидение царя Михаила Федоровича с боярами в его государевой комнате». 1893. Третьяковская галерея. Москва.

       Ря'бушкинТимон Васильевич [р. 30.12.1914 (12.1.1915), Воронеж], советский экономист, член-корреспондент АН СССР (1966). Член КПСС с 1942. Окончил Институт народно-хозяйственного учёта в Воронеже (1936). В 1948—53 заместитель начальника, начальник отдела статистической методологии ЦСУ СССР; главный редактор Госстатиздата. В 1954—61 заведующий сектором экономической статистики института экономики АН СССР. В 1961—70 заведующий сектором статистики, заместитель директора института экономики мировой социалистической системы АН СССР. С 1970 заведующий отделом демографии и статистики Центрального экономико-математического института. В 1948—61 представитель СССР в статистической комиссии и комиссии по народонаселению ООН. С 1958 член Международного статистического института, в 1961—65 и с 1973 вице-президент этого института. Основные труды в области политической экономии и статистики. В них рассматриваются проблемы баланса народного хозяйства, экономико-статистические методы анализа пропорций в народном хозяйстве и взаимосвязи его элементов, методы сопоставления статистических данных в международном плане, исследуются закономерности развития мирового социалистического хозяйства. Под редакцией Р. издана книга «В. И. Ленин и современная статистика» (т. 1—3, 1970—73). Награжден орденом Трудового Красного Знамени.
        Соч.: Очерки по экономической статистике, М., 1950; Статистические методы изучения народного хозяйства, М., 1957; Проблемы экономической статистики, М., 1959; Международная статистика, М., 1965; Темпы и пропорции развития народного хозяйства социалистических стран, М., 1966; Экономическая статистика, М., 1966; В. И. Ленин и статистика, М., 1971.

       Ря'бцевКонстантин Иванович [14(26).5.1879 — 29.7.1919, Харьков], русский контрреволюционный деятель, полковник (1917), правый эсер. Из крестьян Костромской губернии. На военной службе с 1900, окончил Тбилисское пехотное училище (1904) и Академию Генштаба (1912). Во время 1-й мировой войны 1914—1918 на штабных должностях. С июля 1917 начальник штаба Московского военного округа, выступал против ,в сентябре 1917 был назначен командующим войсками Московского военного округа. Во время Октябрьского вооруженного восстания 1917 в Москве возглавил контрреволюционные силы, оказавшие упорное сопротивление восставшим рабочим и солдатам. 2 (15) ноября смещен с должности Военно-революционным комитетом и уехал в Харьков. В июне 1919 при занятии Харькова белогвардейцами был арестован и расстрелян за выступление против генерала Корнилова и недостаточно активную борьбу с большевиками в октябре 1917.

       Ря'бчик(Tetrastes bonasia), птица семейства тетеревиных отряда куриных. Длина тела 35—37 см,весит 350—500 г.Крылья короткие, тупые. Взлетает с шумом, летает лишь на небольшие расстояния. Нижняя часть цевки и пальцы голые. Оперение рыжевато-серое с пестринами, у Р., обитающих в Сибири, — более чистого серого тона. Распространён в Европе и Азии; в СССР — в лесной зоне от Карпат до Сахалина; в лесах Кавказа и Камчатки отсутствует. Р. живут оседло, совершая лишь короткие кормовые кочёвки. Селятся отдельными парами в сырых захламлённых хвойных (елово-пихтовых) или смешанных лесах. Гнёзда на земле; в кладке 6—10 яиц, насиживает самка около 3 недель. Птенцы достигают размеров взрослых Р. через 6 недель после вылупления. Первое время они питаются насекомыми, потом растительным кормом. Зимой Р. кормятся на деревьях серёжками берёзы, ольхи и др., ночуют в снегу. Основные корма летом: зелёные части растений, ягоды, семена и насекомые. Р. — ценная промысловая птица.
      Рябчик: 1 — самец; 2 — самка.

       Ря'бчик(Fritillaria), род луковичных растений семейства лилейных. Луковица округлая, чаще из 2—4 мясистых чешуй; стебель облиственный, листорасположение очередное или мутовчатое. Цветки обычно крупные, одиночные или по нескольку на верхушке стебля; околоцветник из 6 листочков с нектарниками у основания, колокольчатый или кубаревидный, беловатый, жёлтый, оранжевый, коричневатый, нередко с шахматным рисунком. Плод — 6-гранная, иногда крылатая коробочка. Около 100 видов, в умеренных областях обоих полушарий. В СССР около 30 видов, чаще на Кавказе и в Средней Азии, а также в Европейской части (лесостепь и степь), Западной Сибири и на Дальнем Востоке, на лугах, в степях, среди кустарников, по склонам гор в субальпийском и альпийском поясах. Все виды Р. декоративны, цветут весной; наиболее известны Р. шахматный (F. теleagris) и Р. императорский (F. imperialis).

       Ря'вала,прибрежная земля (мааконд) в Северной Эстонии (ныне Харьюский район Эстонской ССР), состоявшая из трёх территориальных объединений (кихелькондов). Центром Р. в 11—13 вв. была крепость, известная под названием Колывань или Линданисе. Под датской властью Р. была объединена с землёй Харью под название Харьюмаа (Гарриен). От названия земли Р. происходит старое название Таллина — Ревель (Reval).
        Лит.:История Эстонской ССР, т. 1, Тал., 1961; Johansen P., Die Estlandliste des Liber census Daniae, Kph. — Reval, 1933.

       Ряд акти'вностей,то же, что .

       Ряд,бесконечная сумма, например вида
       u 1+ u 2 + u 3+... + u n+...
      или, короче,
       .     (1)
        Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
      1 + q+ q 2+... + q n+... = 1/(1 - q), &frac12; q&frac12;< 1.     (2)
        Р. широко используются в математике и её приложениях как в теоретических исследованиях, так и при приближённых численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных Р., с помощью которых удобно вычислять их приближённые значения с нужной точностью. Например, для числа p имеется Р.
       ,     (3)
      для основания енатуральных логарифмов — Р.
       ,     (4)
      а для натурального логарифма In2 — ряд
       .
        Метод разложения в Р. является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближённых значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных) и т. п.
        При численных расчётах, когда Р. заменяется конечной суммой его первых слагаемых, полезно иметь оценку получаемой при этом погрешности (оценку «скорости сходимости» Р.). При этом целесообразно использовать Р., у которых эти погрешности достаточно быстро стремятся к нулю с возрастанием номера n.Например, в случае Р. (4) оценка указанной погрешности имеет вид 0 < е — s n< 1 /n! n.
        Одни и те же величины могут выражаться через суммы различных рядов. Так, для числа p, кроме Р. (3), имеются и другие Р., например
       ,
      однако он сходится значительно «медленнее» Р. (3), и потому его невыгодно использовать для приближённого вычисления числа p .Существуют методы преобразования Р., иногда улучшающие скорость сходимости Р.
        На бесконечные суммы не переносятся все свойства конечных сумм. Например, если взять Р.
      1 - 1 + 1 - 1 +...     (5)
      и сгруппировать подряд его члены по два, то получим (1—1) + (1—1) +... = 0; при другом же способе группировки 1 — (1 — 1) — (1 — 1) —... = 1. Поэтому следует дать чёткое определение того, что называется бесконечной суммой, и, определив это понятие, проверить, справедливы ли для таких сумм закономерности, установленные для конечных сумм. Доказывается, что для бесконечного числа слагаемых при определённых условиях сохраняются законы коммутативности и ассоциативности сложения, дистрибутивности умножения относительно сложения, правила почленного дифференцирования и интегрирования и т. п.
        Числовые ряды.Формально Р. (1) можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей { u n} и { S n} таких, что S n = u 1+... + u n, n= 1, 2,... Первая последовательность называется последовательностью членов Р., а вторая — последовательностью его частичных сумм [точнее S nназывается частичной суммой n-го порядка Р. (1)]. Р. (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм { S n} .В этом случае предел
      
      называется суммой Р. и пишется
      
        Т. о., обозначение (1) применяется как для самого Р., так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то Р. называется расходящимся. Примером сходящегося Р. является Р. (2), расходящегося — Р. (5). Каждый Р. однозначно определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой последовательности { s n} имеется и притом единственный Р., для которого она является последовательностью его частичных сумм, причём члены u nэтого Р. определяются по формулам u 1 = s 1,..., u n+1 = s n +1 — s n ,..., n= 1, 2,... В силу этого изучение Р. эквивалентно изучению последовательностей.
        Р.  называется остатком порядка nР. (1). Если Р. сходится, то каждый его остаток сходится, а если какой-либо остаток Р. сходится, то и сам Р. также сходится. Если остаток порядка nР. (1) сходится и его сумма равна r n, то s= s n+ r п.
        Если Р. (1) и Р.
      
      сходятся, то сходится и Р.
       ,
      называемый суммой рядов (1) и (6), причем его сумма равна сумме данных Р. Если Р.(1) сходится и l — комплексное число, то Р.
       ,
      называемый произведением Р. на число l, также сходится и
       .
        Условие сходимости Р., не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Р. неизвестна), даёт критерий Коши: для того чтобы Р. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер n e, что при любом n&sup3; n eи любом целом р&sup3; 0 выполнялось неравенство
       .
        Отсюда следует, что если Р. (1) сходится, то
      
        Обратное неверно: n-й член так называемого
      
      стремится к нулю, однако этот Р. расходится.
        Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то
       ,
      поэтому в этом случае пишут
       .
      Для Р. с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.
        Интегральный признак сходимости: если функция f( х) определена при всех х&sup3; 1, неотрицательна и убывает, то Р.
            (7)
      сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
       .
      С помощью этого признака легко устанавливается, что Р.
            (8)
      сходится при a > 1 и расходится при a Ј 1.
        Признак сравнения: если для двух Р. (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с> 0, что 0 Ј u n Ј cu n ,то из сходимости Р. (6) следует сходимость Р. (1), а из расходимости Р. (1) — расходимость Р. (6). Обычно для сравнения берётся Р. (8), а в заданном Р. выделяется главная часть вида А/n a .Таким методом сразу получается, что Р. с n-м членом
       ,
      где
      
      сходится, поскольку сходится Р.
       .
        Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если
      
      то при a > 1 и 0 Ј k< + Ґ Р. сходится, а при a Ј 1 и 0 < kЈ + Ґ Р. расходится. Так, например, Р. с n-м членом u n = sin (1/ n 2) сходится, ибо
        (a = 2)
      a Р. с u n= tg (p/ n) расходится, здесь
         (a = 1)
        Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения. Признак Д'Аламбера: если существует  ( u n> 0), то при l< 1 P. (1) сходится, а при l> 1 — расходится; и признак Коши: если существует    ( u n&sup3; 0), то при l< 1 P. (1) сходится, а при l> 1 P. расходится. При I= 1 как в случае признака Д'Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Р.
        Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.
       .
        Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.
      
      абсолютно сходится, а Р.
      
      сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть
            (9)
      — P., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений u mu n членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s 1и s 2, то s= s 1s 2,т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.
        Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.
       .
      Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:
       ,
      то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Например, признак Лейбница: если
       , ,
      то знакочередующийся Р.
            (10)
      сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде
       .     (11)
      Признак Абеля: если последовательность { a n} монотонна и ограничена, а Р.
      
      сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность { a n} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.
      
      ограничена, то Р. (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Р.
      
      сходится при всех действительных a .
        Иногда рассматриваются Р. вида
       .
        Такой Р. называется сходящимся, если сходятся Р.
        и
      сумма этих Р. называется суммой исходного Р.
        Р. более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Р. вида
       ,
      где   —заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные kиндексами, n 1, n 2,..., n k, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа — .
        Для некоторых числовых Р. удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Например, для суммы геометрической прогрессии (2)
       r n= q n+ 1/(1 - q), &frac12; q&frac12;< 1,
      для P. (7) при сделанных предположениях
       ,
      а для P. (10)
      &frac12; r n&frac12; Ј u n+1
      С помощью некоторых специальных преобразований иногда удаётся «улучшить» сходимость сходящегося Р. В математике используются не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р. (см. рядов и интегралов). Так, например, расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к 1/ 2.