В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты x ¹,..., x ⁿи приписать их значения соответствующим точкам окрестности U,то между линейными элементами dsриманова и ds _oевклидова пространств будет такая связь:

+ , где  при

i= 1, …, n.

откуда следует, что разность ds - ds _oимеет порядок не ниже, чем

.

Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты R _mlkiхарактеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана - Кристоффеля), определяемого по формуле

лишь через g _ik,и их производные до второго порядка.

  Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).

  Параллельное перенесение.Для всякой гладкой кривой Lриманова пространства существует отображение её окрестности U _Lв евклидово пространство E _Lпри котором оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L.Образ кривой Lв пространстве E _Lназывается развёрткой L'этой кривой на евклидово пространство (для поверхности Fв евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой Lможно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к Fвдоль L) .Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L,если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве E _L,соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора a ⁱ вдоль кривой x ⁱ= x ⁱ( t) определяется дифференциальным уравнением

.

  Если , то получается уравнение геодезических; т. о., геодезические можно определить как кривые, вдоль которых касательный к ним вектор переносится параллельно, т. е. развёртка геодезической - прямая, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точки Ав точку Взависит, как правило, от кривой AB,вдоль которой происходит перенесение, - в этом отсутствии «абсолютного параллелизма» наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.

  Геодезическая кривизна(первая кривизна) кривой Lв точке Моценивает её отклонение от геодезической L ₀,касающейся Lв точке М,и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к Lв точке Мпараллельно перенесён в точку M'и образует там угол j с касательной к Lв точке М,пусть s- длина дуги MM'кривой L.При стремлении M'к Мсуществует предел

,

который и называется геодезической кривизной кривой Lв точке М.Аналитически геодезическая кривизна кривой x ^I= x ⁱ( s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:

,

где

;

таким образом, геодезическая кривизна кривой Lсовпадает с (первой) кривизной её развёртки L,а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.

  Для кривой Lв римановом пространстве Rопределяются также вторая и т.д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.

  Риманова кривизна.Пусть М -точка риманова пространства, F -двумерная поверхность x ⁱ= x ⁱ( u,u) ,проходящая через М, L -простой замкнутый контур на F,проходящий через М,s -площадь участка поверхности, ограниченного контуром L.Пусть произвольный вектор a ⁱ,касательный к поверхности F(т. е. линейно выражающийся через векторы ) ,перенесен параллельно по L.

 Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к F,окажется повёрнутой по отношению к a ⁱна угол j (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода L). При стягивании Lв точку Мсуществует предел

,

называется кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; Кзависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке М,т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы .

  Риманова кривизна Ксвязана с тензором кривизны формулой:

,

где

,

причём параметры u,u выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна 1.

  В двумерном случае Ксовпадает с полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для области G, ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну k, справедлива так называемая формула Гаусса-Бонне:

,

в частности, для треугольника, образованного отрезками геодезических

,

где А, В, С- величины углов треугольника. Для замкнутого (т. е. без границы) двумерного риманова пространства Rего эйлерова характеристика c( R) пропорциональна интегралу римановой кривизны:

.

  Эта формула обобщена на случай чётно-мерного замкнутого риманова пространства, в котором интегрируется некоторая функция компонент тензора кривизны.

  Если в каждой точке риманова пространства кривизна не зависит от направления двумерной поверхности, то она не меняется и от точки к точке, т. е. пространство имеет постоянную кривизну. Представляют интерес также (в частности, для описания механических систем с циклическими координатами) римановы пространства со специальной структурой тензора кривизны; они суть обобщение пространств постоянной кривизны и имеют достаточно обширную группу движений. Таковы, например, симметрические пространства, характеризующиеся тем, что их тензор кривизны не меняется при параллельном перенесении, субпроективные пространства, характеризующиеся специальной координатной системой, в которой геодезические описываются линейными уравнениями, и др.

  Риманова кривизна играет важную роль в геометрических приложениях Р. г., тем более, что на всяком многообразии можно ввести некоторую риманову метрику. Так, например, топологическое строение полных римановых пространств (т. е. пространств, в которых всякая геодезическая бесконечно продолжаема) зависит от свойств его кривизны: всякое полное односвязное n-мерное риманово пространство гомеоморфно n-мерному евклидову пространству, если его кривизна во всех точках и по всем направлениям неположительна и гомеоморфна n-мерной сфере единичного радиуса, если его кривизна Кудовлетворяет неравенствам , где d - некоторая постоянная. От величины кривизны полного риманова пространства Rзависит и его диаметр d -точная верхняя грань расстояний между точками R,определяемых внутренней метрикой R:например, если К³ K _o > 0 ,то d,если же ,то R -сфера радиуса .

  Метрическая связность.Параллельное перенесение вдоль кривой Lс концами А, Взадаёт изометричное (т. е. сохраняющее расстояния) преобразование t _iкасательного пространства E _Aв точке Ав касательное пространство E _Bв точке А.Дифференциал преобразования t _iв точке А,т .е. главная линейная часть изменения t _i; при переходе из А( xi) в близкую точку ( x ⁱ+ dx ⁱ) ,определяет некоторый геометрический объект, называется римановой связностью, ассоциированной с данным параллельным перенесением. Аналитически эта связность выражается системой линейных дифференциальных форм

, i, j, …, n.

  Однако в римановом пространстве Rможно определить и другие связности, такие, что ассоциированные с ними параллельные перенесения также сохраняют метрический тензор; они называются метрическими связностями и определяются аналогичными коэффициентами , но уже не симметричными по индексам j, kи не выражающимися (подобно символам Кристоффеля) только через тензор g _ijи его производные. Отличие метрической связности от римановой оценивается так называемым тензором кручения:

,

геометрический смысл которого иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим в двумерном римановом пространстве метрической связности малый треугольник, образованный отрезками геодезических длины а, b, си углами А, В, С.Тогда главная часть проекции кручения в точке Ана сторону ABравна отношению величины с - acosB - bcosAк площади треугольника, а главная часть проекции кручения на перпендикуляр к AB -величине asinB - bsinA,деленной на площадь треугольника. Т. о., в римановом пространстве нулевого кручения имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с площадью треугольника.

  Кривые, касательный вектор к которым переносится вдоль них параллельно, называются геодезическими соответствующей связности; они совпадают с римановыми геодезическими, если тензор

кососимметричен по всем индексам.

  Подпространства.На m-мерном подмногообразии Мриманова пространства R,задаваемом уравнениями x ⁱ= x ⁱ( u ¹,..., u ^m) ,причём ранг матрицы  равен m,имеет место Р. г., определяемая метрическим тензором

  Мназывается римановым подпространством пространства R.

 Достаточно малая область m-мерного риманова пространства Rможет быть погружена в евклидово пространство достаточно большой размерности N(т. е. допускает сохраняющее длины отображение на подмногообразие этого пространства). Известно, что ; вопрос о минимальном значении Nв общем случае ещё не решен, однако если коэффициенты метрической формы g _ijпространства Rявляются аналитическими функциями (т. е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то . Относительно задачи погружения в целом (представляющей интерес для физики калибровочных полей) известно ещё меньше.

  Наиболее подробно исследованы погружения двумерных римановых пространств. Так, например: 1) двумерное полное риманово пространство положительной кривизны К.погружается в виде замкнутой выпуклой поверхности (овалоида) в трёхмерное риманово пространство кривизны не меньшей К[проблема Г. Вейля (1916), решенная немецким математиком Х. Леви (1937) и А. Д. Александровым (1941) для погружения в евклидово пространство и А. В. Погореловым (1957) для риманова пространства], причём любые два погружения, имеющие общую точку и общее соприкасающееся пространство в ней, совпадают [т. е. овалоид однозначно определён своей метрикой, немецкий математик С. Э. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелов (1948)]. 2) Двумерное полное риманово пространство отрицательной кривизны KЈ K _o< 0 не допускает погружения в виде регулярной поверхности [советский математик Н. В. Ефимов (1963), частный случай плоскости Лобачевского ( К= -1) разобран Д. Гильбертом (1901)]. 3) Двумерное риманово пространство, гомеоморфное тору, допускает погружение в четырёхмерное евклидово пространство [советский математик Э. Г. Позняк (1973)].

  Приложения и обобщения римановой геометрии.1) Поскольку Р. г. определяется заданием дважды ковариантного симметричного тензора, постольку всякую физическую задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного поля, можно формулировать как задачу Р. г. В частности, к тензорным полям такого типа относятся различные физические величины, характеризующие упругие, оптические, термодинамические, диэлектрические, пьезомагнитные и другие свойства анизотропных тел. При этом симметрия коэффициентов g _ijявляется отражением одного из фундаментальных физических законов - закона взаимности. Так, задача о теплопроводности анизотропного тела, решенная ещё Риманом (1861), явилась первым приложением Р. г.

  2) Рассмотрение конфигурационного пространства в механике системы с nстепенями свободы позволило представить в ясной геометрической форме ряд механических задач. Так, например, траектории свободного (т. е. в отсутствии обобщённых сил) движения голономной механической системы с кинетической энергией

где   -обобщённые скорости, являются геодезическими соответствующего n-мерного риманова пространства с метрическим тензором g _ij.О некоторых других фактах упоминалось выше. Аналогичную интерпретацию получает и движение в поле сил, имеющих потенциал (см. Герца принцип ) .

 3) В приложениях Р. г. к механике и физике важную роль играют дополнительные структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова пространства. Так, например:

  а) Физическим представлениям об упругой сплошной среде с непрерывным распределением источников внутренних напряжений соответствует риманово пространство с некоторой метрической связностью: параллельное перенесение, соответствующее ей, определяет так называемое естественное состояние среды вдоль кривой, а кручение отождествляется с плотностью дислокации;

 б) римановы пространства с почти комплексной структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного тензора  такого, что

где  - Кронекера символ ) используются квантовой механикой для описания наблюдаемых и состояний систем многих частиц;

  в) привлечение понятия так называемой конформной связности, т. е. связности риманова пространства, при которой результат параллельного перенесения метрического тензора g _ijпропорционален ему самому, позволило смоделировать некоторые из так называемых Бора постулатов,в частности избранные (или «разрешенные») орбиты движения электронов в атоме - кривые, вдоль которых метрический тензор сохраняется.

  4) Развитие Р. г. в связи с общей теорией относительности (см. Тяготение ) и механикой сплошных сред породило различные обобщения её предмета, главнейшими из которых являются так называемые псевдоримановы пространства. Таково, например, согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства - времени) - четырёхмерное пространство с заданной на нём знаконеопределённой невырожденной квадратичной формой

(коэффициенты такой «метрики», допускающей мнимые расстояния, как раз и характеризуют поле тяготения, играя роль потенциальных функций). Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена к виду

ds ²= dx ²+ dy ²+ dz ² - dt ²

где х, у, z -пространственные координаты, t -время. Физически такие, так называемые локально галилеевы, системы отсчёта являются свободно падающими в поле тяготения. Однако ввести такую систему на всём многообразии невозможно (поскольку наличие поля тяготения математически выражается в кривизне псевдориманова пространства).

  Другой путь обобщения Р. г. связан с рассмотрением более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного элемента ds(см. Финслерова геометрия ) ,и более общих законов параллельного перенесения,а также с отказом от требований регулярности.

  Лит.:Риман Б., Соч., пер. с нем., М. - Л., 1948; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971.

  А. Д. Александров, Ю. Ф. Борисов.