Риман Георг Фридрих Бернхард

Ри'ман(Riemann) Георг Фридрих Бернхард (17.9.1826, Брезеленц, Нижняя Саксония, - 20.7.1866, Селаска, близ Интры, Италия), немецкий математик. В 1846 поступил в Гёттингенский университет: слушал лекции К. Гаусса,многие идеи которого были им развиты позже. В 1847-49 слушал лекции К. Якоба по механике и П. Дирихле по теории чисел в Берлинском университете; в 1849 вернулся в Гёттинген, где сблизился с сотрудником Гаусса физиком В. Вебером,который пробудил в нём глубокий интерес к вопросам математического естествознания.

  В 1851 защитил докторскую диссертацию «Основы общей теории функций одной комплексной переменной». С 1854 приват-доцент, с 1857 профессор Гёттингенского университета. Лекции Р. легли в основу ряда курсов (математической физики, теории тяготения, электричества и магнетизма, эллиптических функций), изданных после смерти Р. его учениками. Умер от туберкулёза.

  Работы Р. оказали большое влияние на развитие математики 2-й половины 19 в. и в 20 в. В докторской диссертации Р. положил начало геометрическому направлению теории аналитических функций;им введены так называемые римановы поверхности, важные при исследованиях многозначных функций, разработана теория конформных отображений и даны в связи с этим основные идеи топологии, изучены условия существования аналитических функций внутри областей различного вида (так называемый принцип Дирихле) и т.д. Разработанные Р. методы получили широкое применение в его дальнейших трудах по теории алгебраических функций и интегралов, по аналитической теории дифференциальных уравнений (в частности, уравнений, определяющих гипергеометрические функции), по аналитической теории чисел (например, Р. указана связь распределения простых чисел со свойствами дзета-функции,в частности с распределением её нулей в комплексной области - так называемая гипотеза Римана, справедливость которой ещё не доказана) и т.д.

  В ряде работ Р. исследовал разложимость функций в тригонометрические ряды и в связи с этим определил необходимые и достаточные условия интегрируемости в смысле Р. (см. Интеграл ) ,что имело значение для теории множеств и функций действительного переменного. Р. также предложил методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (например, с помощью так называемых инвариантов Римана и функции Римана).

  В знаменитой лекции 1854 «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1867) Р. дал общую идею математического пространства (по его словам, «многообразия»), включая функциональные и топологические пространства. Он рассматривал здесь геометрию в широком смысле как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, т. е. совокупностях любых однородных объектов и, обобщая результаты Гаусса по внутренней геометрии поверхности, дал общее понятие линейного элемента (дифференциала расстояния между точками многообразия, см. Риманова геометрия ) ,определив тем самым то, что называется финслеровыми пространствами. Более подробно Р. рассмотрел так называемые римановы пространства,обобщающие пространства геометрий Евклида, Лобачевского и Римана (см. Неевклидовы геометрии ) ,характеризующиеся специальным видом линейного элемента, и развил учение об их кривизне. Обсуждая применение своих идей к физическому пространству, Р. поставил вопрос о «причинах метрических свойств» его, как бы предваряя то, что было сделано в общей теории относительности (см. Тяготение ) .

 Предложенные Р. идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики и нашли применение в механике и физике.

  Соч.: Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, 2 Aufl., N. Y., 1953; в рус. пер. - Сочинения, М. - Л., 1948.

  Лит.:Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М. - Л., 1937.

Г. Ф. Б. Риман.

Риман Карл Вильгельм Юлиус Хуго

Ри'ман(Riemann) Карл Вильгельм Юлиус Хуго (18.7.1849, Гросмельра, близ г. Зондерсхаузен, - 10.7.1919, Лейпциг), немецкий музыковед. Профессор Лейпцигского университета (с 1901), директор основанного им института музыкознания (Collegium musicum, с 1908), института музыкальной науки (с 1914). Деятельность Р. охватывает все области музыкальной теории, а также историю музыки, музыкальную эстетику и критику. При анализе музыкального произведения он привлекал данные естествознания для объяснения явлений гармонии, ритма, музыкальной формы, агогики и др. С его именем связано развитие так называемой функциональной теории в музыковедении. Опираясь на взгляды Ж. Ф. Рамо, Р. разработал систему функциональных отношений аккордов. Среди многочисленных работ Р. - «Музыкальный словарь» (1882), выдержавший затем 12 изданий и переведённый на многие языки (рус. пер. 1901), «Руководство по истории музыки» (т. 1-5, 1901-13). Труды Р. обогатили музыковедение важными теоретическими выводами, вместе с тем в них сказалась ограниченность позитивистской методологии автора, зачастую отсутствие подлинного историзма. Почётный член Национальной академии «Санта-Чечилия» в Риме (1887), королевской Академии во Флоренции (1894), Музыкальной ассоциации в Лондоне (1900), почётный доктор музыки Эдинбургского университета (1899).

  Лит.:Мазель Л., Функциональная школа, в книга: Рыжкин И., Мазель Л., Очерки по истории теоретического музыкознания, в. 1, М., 1934; История европейского искусствознания, т. 4, книги 1-2 - Вторая половина XIX в. - нач. XX в., М., 1969.

Римана геометрия

Ри'мана геоме'трия,эллиптическая геометрия, одна из неевклидовых геометрий,т. е. геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых (в значительной части) отличны от требований аксиом евклидовой геометрии.Основными объектами, или элементами, трёхмерной Р. г. являются точки, прямые и плоскости; основные понятия Р. г. суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости), порядка (например, порядка точек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости) и конгруэнтности (фигур). Требования аксиом Р. г., касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают с требованиями аксиом проективной геометрии.Соответственно, в Р. г. имеют место, например, следующие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Требования аксиом Р. г., касающиеся конгруэнтности, сходны с требованиями соответствующих аксиом геометрии: во всяком случае они обеспечивают движения фигур по плоскости и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус Rэтой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К= 1/ R ²называется кривизной пространства Римана (чем меньше К,тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым). Свойства плоскости Римана «в целом» отличаются от свойств целой сферы; так, например, на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые играют роль прямых в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость (т. е., если прямая алежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a ,не лежащие на прямой а,возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а).

  По-видимому, первое сообщение о Р. г. сделано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854, опубликовано в 1867), где Р. г. рассматривалась как частный случай римановой геометрии-теории римановых пространств в широком смысле. Р. г. относится к теории пространств постоянной положительной кривизны.

  Лит.см. при статье Неевклидовы геометрии.

  Н. В. Ефимов.

Римана дзета-функция

Ри'мана дзе'та-фу'нкция(математическая), см. Дзета-функция.

Римана интеграл

Ри'мана интегра'л,обычный определённый интеграл.Само определение Р. и. по существу было дано О. Коши (1823), который, однако, применял его к непрерывным функциям. Б. Риман впервые указал (1853, опубликовано в 1867) необходимое и достаточное условие существования определённого интеграла, которое в современных терминах может быть выражено так: для существования определённого интеграла функции на некотором интервале необходимо и достаточно, чтобы: 1) интервал был конечным; 2) функция была на нём ограниченной и 3) множество точек разрыва функции на этом интервале имело лебеговскую меру нуль (см. Мера множества ) .

Римана сфера

Ри'мана сфе'ра, одно из возможных геометрических изображений совокупности комплексных чисел,введённое Б. Риманом.Комплексное число

z= х+ iy= r(cos j + isin j) = re ^{i j}

можно изображать точками на плоскости (комплексной числовой плоскости) с декартовыми координатами х, уили полярными r,j .Для построения Р. с. проводится сфера, касающаяся комплексной числовой плоскости в начале координат; точки комплексной числовой плоскости отображаются на поверхность сферы с помощью стереографической проекции.В этом случае каждое комплексное число изображается соответствующей точкой сферы; последняя и называется сферой Римана. Число Оизобразится при этом южным полюсом Р. с.; числа с одинаковым аргументом j = const (лучи комплексной числовой плоскости) изобразятся меридианами, а числа с одинаковым модулем r= const (окружности комплексной числовой плоскости) - параллелями Р. с. Северному полюсу Р. с. не соответствует никакая точка комплексной числовой плоскости. В целях сохранения взаимной однозначности соответствия между точками комплексной числовой плоскости и Р. с. на плоскости вводят «бесконечно удалённую точку», которую считают соответствующей северному полюсу и обозначают z= Ґ Т. о., на комплексной числовой плоскости имеется одна бесконечно удалённая точка, в отличие от проективной плоскости.

  Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат x, h, z так, что оси x и h совпадают, соответственно, с осями хи у,то точке x+ iyкомплексной числовой плоскости соответствует точка

,

,

Р. с. (уравнение которой ).

Риманова геометрия

Ри'манова геоме'трия,многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Р. г. получила своё название по имени Б. Римана,который заложил её основы в 1854.

  Понятие о римановой геометрии.Гладкая поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия которого (так называемая внутренняя геометрия ) ,будучи приближённо евклидовой в малом (в окрестности любой точки она совпадает с точностью до малых высшего порядка с геометрией касательной плоскости), точно не является евклидовой; к тому же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрическим свойствам. Поэтому внутренняя геометрия поверхности и есть не что иное, как Р. г. двух измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.

  Так, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Р. г. В основе Р. г. лежат три идеи. Первая идея - признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой, - была впервые развита Н. И. Лобачевским,вторая - это идущее от К. Ф. Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и её аналитический аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности; третья идея - понятие об n-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в 1-й половине 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи (в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 и опубликованной в 1867), ввёл общее понятие о пространстве как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые служат точками этого пространства (см. Геометрия,раздел Обобщение предмета геометрии, Пространство в математике), и перенёс на эти пространства представления об измерении длин малыми шагами.

  После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат Р. г. и устанавливали в ней новые теоремы геометрического содержания. Важным шагом было создание итальянскими геометрами Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита на рубеже 20 в. так называемого тензорного исчисления,которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом для разработки Р. г. Решающее значение имело применение Р. г. в создании А. Эйнштейном общей теории относительности, которое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию Р. г. и её разнообразных обобщений. В настоящее время Р. г. вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться, причём особое внимание уделяется вопросам глобального характера.

  Определение риманова пространства.К строгому определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точки n-мерного многообразия определяется nкоординатами x ¹, x ²,..., x ⁿ. В евклидовом n-мерном пространстве расстояние между любыми двумя точками X, Yв надлежаще выбранных координатах выражается формулой

где D x ⁱ- разности координат точек X, Y.Соответственно в римановом пространстве в окрестности каждой точки Амогут быть введены координаты x ¹,..., x ⁿтак, что расстояние между точками X, Y, близкими к А,выражаются формулой

где e таково, что , когда X, Yприближаются к А.Отсюда следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками ( x ⁱ) и ( x ⁱ+ dx ⁱ) ,или, что то же самое, дифференциал длины дуги кривой, задаётся выражением

(здесь коэффициенты  суть функции координат), которое называется линейным элементом риманова пространства. Т. о., риманово пространство Rможно аналитически определить как n-мерное многообразие, в котором в каждой точке задана дифференциальная квадратичная форма

(она называется также метрической формой, или просто метрикой, Rи является по своему определению положительно определённой). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения метрической формы, однако её величина (вследствие своего геометрического смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат от x ⁱк  должна оставаться неизменной:

  Это приводит к определённому закону преобразования коэффициентов g _ijкак компонент дважды ковариантного тензора (см. Тензорное исчисление ) ;он называется метрическим тензором риманова пространства.

  Каждой точке Ариманова пространства Rсопоставляется так называемое касательное евклидово пространство E _A,в которое отображается некоторая окрестность Uточки Атак, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке А.Аналитически это сводится к введению вблизи некоторой точки A ₀пространства E _Aтаких координат, что в них квадрат линейного элемента  евклидова пространства E _Aвыражается в точке A ₀такой же формой , какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ds ²в точке А.Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.

  Простейшие понятия римановой геометрии.1) Длина дуги sкривой  ( i= 1, …, n, ) в римановом пространстве Rопределяется как интеграл

вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин «малым масштабом», как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространства Rсоединимы кривой, то Rстановится метрическим пространством:расстояние r( Х, Y) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства R.

 2) Угол между двумя исходящими из одной точки Акривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.

 3) Объём V n-мерной области Gриманова пространства определяется по формуле:

 где .

  Геодезические.Линии, которые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R.По определению, они являются экстремалями функционала

(см. Вариационное исчисление ) и удовлетворяют уравнениям:

,

где Г ⁱ _jk - так называемые Кристоффеля символы,выражающиеся через компоненты метрического тензора g _ijи их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, Вдостаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутреннему расстоянию r( А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (например, полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).

  Представляет интерес (для описания периодических движений в механической задаче многих тел, например) оценка числа n замкнутых геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкаре в 1905 в связи с некоторыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: n ³ 2, если Rодносвязно.

  Соприкасающееся пространство.Между римановым пространством Rи касательным к нему евклидовым пространством в окрестности Uнекоторой точки Аможно установить такое соответствие, при котором оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки Агеодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при котором длины дуг геодезических bсоответствующих им лучей равны.