Определённый интеграл

Определённый интегра'л, одно из основных понятий математического анализа, к которому приводится решение ряда задач геометрии, механики, физики. О. и. является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f( x) и отрезку [ а, b]; обозначается . Геометрически О. и. выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной отрезком [ а, b] оси Ох, графиком функции f( x) и ординатами точек графика, имеющих абсциссы аи b. Точное определение и обобщение О. и. см. в статьях Интеграл , Интегральное исчисление .

Определитель

Определи'тель, детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п ² элементов (чисел, функций и т. п.):

 (1)

  (каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением nэлементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

е± a _{1 a} a _{2 b}... a _{n g}. (2)

  В этой формуле a, b, ..., g есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n. Перед членом берётся знак +, если перестановка a, b, ..., g чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам a, b, ..., g чисел 1, 2, ..., n. Число различных перестановок nсимволов равно n! = 1·2·3·...· n; поэтому О. содержит n! членов, из которых ¹/ ₂ n! берётся со знаком + и ¹/ ₂ n! со знаком –. Число nназывается порядком О.

  О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

 (3)

(или, сокращённо, в виде | a _ik|). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

= a ₁₁ a ₂₂– a ₁₂ a ₂₁,

   = a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃+ a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁+ a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂– a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂– a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃– a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁.

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование:  равен площади параллелограмма, построенного на векторах a ₁= ( x ₁, y ₁) и a ₂= ( х ₂. у ₂), а  равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a ₁ = ( x ₁, y ₁, z ₁), a ₂ = ( x ₂, у ₂, z ₂) и а ₃= ( х ₃, y ₃, z ₃) (системы координат предполагаются прямоугольными).

  Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени ( линейные уравнения ). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:

 (4)

 Эта система имеет одно определённое решение, если О. | a _ik|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное x _m( m= 1, 2, ..., n) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.| a _ik|, а в числителе - О., получаемый из | a _ik| заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при х _т) числами b ₁, b ₂, ..., b _n. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными

решение даётся формулами

;     .

  Если b ₁= b ₂ = ..., = b _n= 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если | a _ik| = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами ( x ₁, y ₁, z ₁), ( x ₂, y ₂, z ₂), ( х ₃, y ₃, z ₃), может быть записано в виде:

 = 0.

  О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

  1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:

 = ;

  2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:

 = – ;

  3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:

= 0;

  4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:

 = k ;

  5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом - из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) - те же, что и в данном О.; так, например:

 =  + ;

  6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:

  = ;

  7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i-й строки имеет следующий вид:

 = a _{i 1} A _{i 1}+ a _{i 2} A _{i 2}+ ...+ a _inA _in.

  Коэффициент A _ik, стоящий при элементе a _ikв этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента a _ik. Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: A _ik= (–1) ⁱ + k D _ik, где D _ik- минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу a _ik, то есть О. порядка n-1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a _ik. Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:

   = –a ₁₂ + a ₂₂ – a ₃₂ .

  Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. n-го порядка приводится к вычислению nопределителей ( n -1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n-го порядка приходится выполнять примерно n ³арифметических операций).

  Отметим ещё правило умножения двух О. n-го порядка: произведение двух О. n-го порядка может быть представлено в виде О. того же n-го порядка, в котором элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу, получается, если каждый элемент i-й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.

  В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби ( якобиан )

.

  Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от неременных х ₁, x ₂, ..., х _пк переменным

y ₁ = f ₁( x ₁, ..., x _n),

y ₂ = f ₂( x ₁, ..., x _n),

………………….

y _n= f _n( x ₁, ..., x _n).

  Тождественное равенство в некоторой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функций f ₁( x ₁, ..., x _n), f ₂( x ₁, ..., x _n), ..., f _n( x ₁, ..., x _n).

 Во 2-й половине 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. называются выражения вида:

 (5)

  (односторонний бесконечный О.) и

  (двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к которому стремится О.

при бесконечном возрастании числа n. Если этот предел существует, то О. (5) называется сходящимся, в противном случае - расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О.

  Теория О. конечного порядка создана в основном во 2-й половине 18 в. и 1-й половине 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера , французских математиков А. Вандермонда, П. Лапласа , О. Коши , немецких математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин «О.» («детерминант») принадлежит К. Гауссу, современное обозначение - английскому математику А. Кэли .

  Лит. см. при статьях Линейная алгебра , Матрица .

Опредмечивание и распредмечивание

Опредме'чивание и распредме'чивание, категории марксистской философии, выражающие собой противоположности, единством и взаимопроникновением которых является человеческая предметная деятельность. Опредмечивание - это процесс, в котором человеческие способности переходят в предмет и воплощаются в нём, благодаря чему предмет становится социально-культурным, или «человеческим предметом» (см. К. Маркс, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Из ранних произведений, 1956, с. 593). В своём результате опредмечивание всегда имеет наряду с реальным также и идеальное (смысловое) значение, так что всякий результат опредмечивания обладает культурно-исторической адресованностью, направленной на др. людей, социальные группы.

  Распредмечивание - это процесс, в котором свойства, сущность, «логика предмета» становятся достоянием человека, его способностей, благодаря чему последние развиваются и наполняются предметным содержанием. Человек распредмечивает как формы прошлой культуры, так и природные явления, которые он тем самым включает в свой обществ. мир. О. и р. раскрывают внутренний динамизм материальной и духовной культуры как живого целого, существующего только в процессе непрерывного воспроизведения его и созидания человеческой деятельностью. Тем самым эти категории фиксируют элементарную клеточку деятельности, посредством которой человек включен в исторически определённое бытие. Через О. и р. человек определённым образом относится к своей настоящей, прошедшей и грядущей культуре. В наименьшей степени категории О. и р. обнаруживаются в утилитарно потребляемых благах, в наибольшей степени - в произведениях духовной культуры.

  Открытие К. Марксом категории О. и р. имеет фундаментальное значение для исследований в области философской проблемы человека, для осмысления принципов и перспектив коммунистического воспитания .

  Г. С. Батищев.

Опрелость

Опре'лость, воспалительное поражение, возникающее в складках кожи при трении её соприкасающихся поверхностей. Причины О. - усиленные сало- и потоотделение, недержание мочи, выделения из свищей, геморрой, недостаточное обсушивание складок кожи после купания и т.п. Наблюдается в межпальцевых промежутках ног (реже рук), в подмышечных впадинах, под молочными железами, в складках живота и шеи у тучных людей и т.д. О. проявляется вначале в виде эритемы , затем в глубине складки образуются поверхностные некровоточащие трещины. В запущенных случаях роговой слой кожи отторгается и образуется эрозия. При попадании инфекции течение О. затягивается. Лечение: устранение причин, вызвавших О., противовоспалительные средства. Профилактика: гигиеническое содержание кожи, устранение причин повышенного пото- и салоотделения.

Опреснение воды

Опресне'ние воды', способ обработки воды с целью снижения концентрации растворённых солей до степени (обычно до 1 г/ л), при которой вода становится пригодной для питьевых и хозяйственных целей. Дефицит пресной воды ощущается на территории более 40 стран, расположенных главным образом в аридных, а также засушливых областях и составляющих около 60% всей поверхности земной суши (по расчётам, к началу 21 в. достигнет 120-150·10 ⁹ м ³в год). Этот дефицит может быть покрыт опреснением солёных (солесодержание более 10 г/ л) и солоноватых (2-10 г/ л) океанических, морских и подземных вод, запасы которых составляют 98% всей воды на земном шаре (см. также Водные ресурсы ). Недостаток пресной воды может быть ликвидирован и подачей её по трубопроводам или каналам из районов, в которых она имеется в избытке. Например, в СССР сооружены каналы Северский Донец - Донбасс (около 130 км), Иртыш - Караганда (около 460 км), 3 очереди крупнейшего в мире Каракумского канала , имеются (в Казахской ССР) водопроводы Ишимский и Булавинский, протяжённостью более 1700 кмкаждый. Однако при значительном удалении пресноводных источников опреснение солёной воды на месте стоит дешевле пресной воды, поступающей по водоводам. При водопотреблении до 1000 м ³/ сутопреснение солёной воды на месте выгоднее, чем подача пресной воды на расстояние, большее 40-50 км, при водопотреблении 100 000 м ³/ сут- выгоднее, чем подача пресной воды на расстояние, большее 150-200 км.

 Во всём мире в 1974 находилось в эксплуатации св. 800 крупных стационарных опреснительных установок (ОУ) суммарной производительностью около 1,3 млн. м ³/ сутпресной воды. Наиболее крупные из них имеют производительность 160 тыс. м ³/ сут(в г. Шевченко, СССР; тепло поступает от атомной электростанции с реактором на быстрых нейтронах) и 220 тыс. м ³/ сут(в г. Эль-Кувейте, Кувейт; котельная ОУ работает на попутном газе нефтедобычи). Большинство морских судов имеет свои ОУ (только дистилляционного типа).

  О. в. может быть осуществлено как с изменением агрегатного состояния воды ( дистилляция , замораживание), так и без изменения её агрегатного состояния (электродиализ, гиперфильтрация, или обратный осмос, ионный обмен, экстракция воды органическими растворителями, экстракция воды в виде кристаллизационной воды кристаллогидратов, нагрев воды до определённой температуры, сорбция ионов на пористых электродах, биологический метод - с использованием способности некоторых водорослей поглощать соли на свету и отдавать их в темноте и др.). В соответствии со способами О. в. существуют различные типы ОУ. Дистилляционные ОУ (однокорпусные и многокорпусные, по способу опреснения - парокомпрессионные и солнечные) применяются при опреснении морской воды и солёных вод. О. в. электродиализом и гиперфильтрацией (обратным осмосом) экономично при солесодержании 2,5-10 г/ л, ионным обменом - менее 2,5 г/ л. Из всего объёма получаемой в мире опреснённой воды 96% приходится на долю дистилляционных ОУ, 2,9% - электродиализных, 1% - гиперфильтрационных и 0,1% - на долю замораживающих и ионообменных ОУ. В зависимости от производительности ОУ состоит из одного или нескольких включенных параллельно опреснителей.

  Дистилляционные опреснители бывают одноступенчатые ( рис. 1 ), многоступенчатые с трубчатыми нагревательными элементами, или испарителями ( рис. 2 ), многоступенчатые с мгновенным вскипанием ( рис. 3 ) и парокомпрессионные. Многоступенчатый испаритель состоит из ряда последовательно работающих испарительных камер с трубчатыми нагревательными элементами. Нагреваемая солёная вода движется внутри трубок нагревательного элемента, греющий пар конденсируется на внешней их поверхности. Нагрев и испарение воды в первой ступени осуществляются паром котла, работающего на дистилляте; греющим паром следующей ступеней служит вторичный пар предыдущей испарительной камеры. В опреснителях с мгновенным вскипанием солёная вода проходит последовательно, от последнего к первому, через конденсаторы, встроенные в испарительные камеры, нагреваясь за счёт тепла конденсации, поступает в головной подогреватель, нагревается выше температуры кипения воды в первой испарительной камере, где вскипает. Затем пар конденсируется на поверхности трубок конденсатора, а конденсат стекает в поддон и насосом откачивается потребителю. Неиспарившаяся вода перетекает через гидрозатвор в следующую камеру с более низким давлением, где она снова вскипает, и т.д. Расход тепла на получение 1 кгпресной воды в одноступенчатом дистилляционном опреснителе составляет около 2400 кдж; рекуперация тепла фазового перехода в многоступенчатом опреснителе позволяет снизить расход тепла на 1 кгпресной воды до 250-300 кдж.

 Электродиализный опреснитель ( рис. 4 ) представляет собой многокамерный аппарат фильтр-прессового типа, состоящий из камер, ограниченных с одной стороны катионитовой, с другой - анионитовой мембранами. Камеры размещены между катодом и анодом, к которым подведён постоянный электрический ток. Опресняемая вода поступает в опреснительные камеры. Под действием электрического поля катионы растворённых в воде солей движутся в направлении катода, анионы - анода. Т. к. катионитовые мембраны проницаемы в электрическом поле для катионов, но непроницаемы для анионов, а анионитовые мембраны проницаемы для анионов, но непроницаемы для катионов, солёная вода в опреснительных камерах опресняется, при этом удаляемые из неё соли концентрируются в рассольных камерах, откуда они удаляются вместе с промывочной солёной водой. Расход электроэнергии на О. в. электродиализом зависит от солёности опресняемой воды (2 вт· чна 1 лпри опреснении воды с солесодержанием 2,5-3 г/ ли 4-5 вт· чна 1 лпри опреснении воды с содержанием солей 5-6 г/ л).

  Гиперфильтрационные опреснители состоят из насоса высокого давления (5-10 Мн/ м ², или 50-100 бар), прокачивающего солёную воду через плоские или трубчатые мембраны или полое волокно, изготовленное из ацетилцеллюлозы или полиамидных смол, способных под давлением выше осмотического пропускать молекулы воды, но не пропускать гидратированные ионы растворённых в воде солей.

  В пустынных южных районах и на безводных островах применяются солнечные опреснители; они дают в летние месяцы около 4 лводы в сутки с 1 м ²поверхности, воспринимающей солнечную радиацию.

  Лит.:Апельцин И. Э., Клячко В. А., Опреснение воды, М., 1968; Павлов Ю. В., Опреснение воды, М., 1972: Слесаренко В. Н., Современные методы опреснения морских и соленых вод, М., 1973, Spiegler К. S. [е. d.], Principles of desalination, N. Y. - L.,1966.

  В. А. Клячко.

Рис. 4. Схема многокамерного электродиализного опреснителя: 1 - анод; 2 - катод; 3 - анионитовая мембрана; 4 - катионитовая мембрана; В - опресняемая вода; Р - рассол.

Рис. 2. Схема многоступенчатого дистилляционного опреснителя с трубчатыми нагревательными элементами: 1 - испарительные камеры 1, 2, 3 и 4-й ступеней; 2 - трубчатые нагревательные элементы; 3 - концевой конденсатор; 4 - брызгоулавливатель; 5 - насос.

Рис. 3. Схема многоступенчатого дистилляционного опреснителя с мгновенным вскипанием: I, II, III, IV и N - камеры испарения; 1 - насос; 2 - паровой эжектор; 3 - конденсатор эжектора; 4 - подогреватель; 5 - брызгоулавливатель; 6 - конденсатор; 7 - поддон для сбора конденсата.

Рис. 1. Схема одноступенчатого дистилляционного опреснителя: 1 - корпус испарительной камеры; 2 - нагревательный элемент; 3 - конденсатор; 4 - насос; 5 - брызгоулавливатель.

Опричнина

Опри'чнина, опришнина (от древне-русского опричный - особый; в 14-15 вв. опришниной называли особое владение, выделенное членам великокняжеской династии), 1) название государева удела в 1565-72 (его территорий, войска, учреждений). 2) Наименование внутренней политики правительства Ивана IV Васильевича Грозного в те же годы. Введение О. отвечало интересам дворянства, стремившегося ослабить экономическое и политическое значение крупной феодальной аристократии, провести дальнейшие мероприятия по закрепощению крестьянства.

  Учреждение О. было непосредственно подготовлено событиями начала 60-х гг. 16 в. Иван IV стремился к активному продолжению Ливонской войны 1558-1583 , но натолкнулся на оппозицию некоторых лиц из своего окружения. Разрыв с Избранной радой и опалы на княжат и бояр в 1560-64 вызывали недовольство феодальной знати, руководителей приказов и высшего духовенства; некоторые феодалы, не согласные с политикой Ивана IV, изменили царю и бежали за границу (А. М. Курбский и др.). В декабре 1564 Иван IV уехал в Александрову слободу (под Москвой) и 3 января 1565 объявил об отречении от престола из-за «гнева» на духовенство, бояр, детей боярских и приказных людей. В слободу прибыли депутации от бояр и духовенства, а также от посадских людей Москвы, которые согласились на предоставление царю чрезвычайных полномочий, Был подготовлен указ, которым Иван IV объявил об учреждении «особного» двора с особой территорией, войском, финансами и управлением. Целью О. провозглашалось искоренение «крамолы». Создавались специальный аппарат управления и беспрекословно послушное царю войско (первоначально в 1000 чел.), находившиеся в непосредственном его подчинении. В О. вошли: в центральной части страны - Можайск, Вязьма, Суздаль и др.; на Ю.-З. - Козельск, Перемышль, Белев, Медынь и др.; на С. - Двина, Великий Устюг, Каргополь, Вологда и др., а также дворцовые владения. Доходы с этой территории поступали в государственную казну и шли на содержание опричного войска, аппарата управления и др. Численность опричного войска достигала 5–6 тыс. человек. В состав опричного удела дополнительно были включены Кострома, Старица, часть Новгорода, Обонежская и Бежецкая пятины и др. территории. В О. действовали опричная дума, финансовые приказы - Чети. Командные кадры для О. комплектовались в основном из государева двора. Правительство ввело неподсудность опричников общегосударственным органам власти и суда. Остальная часть государства получила наименование земщины. Она продолжала управляться Боярской думой, вынужденной, однако, по всем важнейшим вопросам испрашивать согласия царя. На устройство О. с земщины брался огромный единовременный налог в 100 тыс. рублей.

  С территории О. выселялись многие местные феодалы-землевладельцы, не зачисленные в «особный» двор, а их земли передавались дворянам-опричникам. Взятые в О. дворяне лучше, чем другие помещики, наделялись землёй и крестьянами, получали щедрые льготы. Этими земельными перераспределениями было в известной мере подорвано экономическое и политическое значение крупной земельной аристократии. С О. усилились опалы и казни. Активными проводниками опричных репрессий были боярин А. Д. Басманов, оружничий князь А. И. Вяземский, М. Л. Скуратов-Бельский и др. Учреждение О. и действия Ивана IV Грозного, направленные на физическое уничтожение своих политических противников и конфискацию их земельных владений, вызвали протест части дворянства и духовенства. На Земском соборе 1566 группа дворян подала челобитную об отмене О. Челобитчики были казнены. Недовольство О. выразил митрополит Афанасий (покинул престол 19 мая 1566), против О. выступил и новый митрополит Филипп Колычев (задушен М. Л. Скуратовым в 1569). С 1568 началась большая волна репрессий (дело боярина И. П. Фёдорова), завершившаяся ликвидацией Старицкого удела (1569) и разгромом Новгорода (1570). По делу И. П. Фёдорова было казнено более 400 чел. Во время новгородского похода в Твери, Торжке (в городах, через которые шли опричники) и в Новгороде опричники только по донесению Скуратова-Бельского убили 1505 чел. (на самом же деле казнённых и убитых было во много раз больше). Опричные репрессии сопровождались убийствами и грабежами населения городов и вотчин. Среди погибших в Новгороде большую часть составляли «чёрные» посадские люди. Население облагалось непосильными налогами, для взимания которых Иван Грозный применял пытки и казни.

  В результате О. Иван IV добился резкого усиления самодержавной власти, придав ей черты восточной деспотии. Крепостническая по сущности и методам проведения, политика О. стала важным этапом на пути крестьянского закрепощения, В годы О. правительство щедро раздавало помещикам, особенно из числа опричников, «чёрные» и дворцовые земли. В то же время резко увеличились крестьянские повинности, опричники вывозили крестьян из земщины «насильством и не по сроку».