Неопределённая форма

Неопределённая фо'рма,понятие линейной алгебры. Квадратичную форму

с действительными коэффициентами a _ij называют Н. ф., если при действительных значениях переменных она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Линейным преобразованием переменных квадратичная Н. ф. может быть приведена к виду

где sи tдля заданной Н. ф. не зависят от способа её приведения к виду (*) (так называемый закон инерции квадратичных форм). Н. ф.

В  x ²+ y ²+ z ²- c ² t ²

играет важную роль в относительности теории . Понятие Н. ф. встречается при изучении экстремумов функций многих переменных, в механике, в аналитической геометрии.

Неопределённое уравнение

Неопределённое уравне'ние,уравнение, содержащее более одного неизвестного. Систему уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений, называют неопределённой системой уравнений. Н. у. и неопределённые системы уравнений имеют, как правило, бесконечное число решений. Термин «Н. у.» употребляется в теории чисел, где интересуются решениями Н. у., удовлетворяющих тем или иным арифметическим условиям (обычно ищут решения Н. у. в целых или рациональных числах). �зучение таких решений составляет предмет теории диофантовых уравнений .

Неопределённостей соотношение

Неопределённостей соотноше'ние,принцип неопределённости, фундаментальное положение квантовой теории, утверждающее, что любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты её центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определённые, точные значения. Количественная формулировка Н. с.: если D x- неопределённость значения координаты х,а ( p _x-неопределённость проекции импульса на ось х,то произведение этих неопределённостей должно быть по порядку величины не меньше постоянной Планка .Аналогичные неравенства должны выполняться для любой пары так называемых канонически сопряжённых переменных, например для координаты уи проекции импульса р _уна ось у,координаты zи проекции импульса p _z.Если под неопределённостями координаты и импульса понимать среднеквадратичные отклонения этих физических величин от их средних значений, то Н. с. имеют вид:

  Ввиду малости  по сравнению с макроскопическими величинами той же размерности действия Н. с. существенны в основном для явлений атомных (и меньших) масштабов и не проявляются при взаимодействиях макроскопических тел.

  �з Н. с. следует, что чем точнее определена одна из входящих в неравенство величин, тем менее определённым является значение другой. Никакой эксперимент не может привести к одновременно точному измерению таких динамических переменных; при этом неопределённость в измерениях связана не с несовершенством экспериментальной техники, а с объективными свойствами материи.

  Принцип неопределённости, открытый в 1927 В. Гейзенбергом , явился важным этапом в уяснении закономерностей внутриатомных явлений и построении квантовой механики . Существенной чертой микроскопических объектов является их корпускулярно-волновая природа (см. Корпускулярно-волновой дуализм ). Состояние частицы полностью определяется волновой функцией . Частица может быть обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому результаты экспериментов по определению, например, координаты, имеют вероятностный характер. Это означает, что при проведении серии одинаковых опытов над одинаковыми системами получаются каждый раз, вообще говоря, разные значения. Однако некоторые значения будут более вероятными, чем другие, т. е. будут появляться чаще. Относительная частота появления тех или иных значений координаты пропорциональна квадрату модуля волновой функции в соответствующих точках пространства. Поэтому чаще всего будут получаться те значения координаты, которые лежат вблизи максимума волновой функции. Если максимум выражен четко (волновая функция представляет собой узкий волновой пакет ), то частица «в основном» находится около этого максимума. Тем не менее, некоторый разброс в значениях координаты, некоторая их неопределённость (порядка полуширины максимума) неизбежны. Тот же вывод относится и к измерению импульса.

  Т. о., понятия координаты и импульса в классическом смысле не могут быть применены к микроскопическим объектам. Пользуясь этими величинами при описании микроскопической системы, необходимо внести в их интерпретацию квантовые поправки. Такой поправкой и является Н. с.

  Несколько иной смысл имеет Н. с. для энергии Еи времени t,

Если система находится в стационарном состоянии (т. е. в состоянии, которое при отсутствии внешних сил не изменяется), то из Н. с. следует, что энергию системы в этом состоянии можно измерить лишь с точностью, не превышающей

где D t- длительность процесса измерения. Причина этого - во взаимодействии системы с измерительным прибором, и Н. с. применительно к данному случаю означает, что энергию взаимодействия между измерительным прибором и исследуемой системой можно учесть лишь с точностью до

(в предельном случае мгновенного измерения возникающий энергетический обмен становится полностью неопределённым). Соотношение

справедливо также, если под D Епонимать неопределённость значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а под D t -характерное время, в течение которого существенно меняются средние значения физических величин в этой системе.

  Н. с. для энергии и времени приводит к важным выводам относительно возбуждённых состояний атомов, молекул, ядер. Такие состояния нестабильны, и из Н. с. вытекает, что энергии возбуждённых уровней не могут быть строго определёнными, т. е. обладают некоторой шириной (так называемая естественная ширина уровня ). Если D t- среднее время жизни возбуждённого состояния, то ширина его энергетического уровня (неопределённость энергии состояния) составляет

Др. примером служит альфа-распад радиоактивного ядра: энергетический разброс D Еиспускаемых a-частиц, связан с временем жизни t такого ядра соотношением

  Лит.:Гейзенберг В., Шредингер Э., Дирак ГГ., Современная квантовая механика, пер. с англ., М. - Л., 1934; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., М., 1960; Блохинцев Д. �., Основы квантовой механики, 3 изд.. М., 1961; Мандельштам Л. �., Тамм �. Е., Соотношение неопределенности энергия - время в нерелятивистской квантовой механике, в кн.: Мандельштам Л. �., Полн. собр. трудов, т. 2, М. - Л., 1947, с. 306; Крылов Н. С., Фок В. А., О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии и времени, «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1947, т. 17, в. 2, с. 93.

  О. �. Завьялов.

Неопределённые выражения

Неопределённые выраже'нияв математике, выражения, предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах. Типы Н. в.:

  К Н. в. относятся:

причём

причём

где e= 2,71828... - неперово число . Указанные типы Н. в. символически обозначают так:

Следует отметить, что данная функция может являться Н. в. при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (например, выражение

не является Н. в.). Не всякое Н. в. имеет предел; так, выражение

не стремится ни к какому пределу

 Нахождение предела Н. в. (в случае, когда он существует) называют иногда «раскрытием неопределённости», или нахождением «истинного значения» Н. в. (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже Н. в. �ногда такая замена достигается путём алгебраических преобразований.

  Так, например, сокращая в выражении

числитель и знаменатель на 1- x,получаем

поэтому

  Для вычисления пределов Н. в. типов 1) и 2) часто оказывается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях

если f( x) Рё g( x) дифференцируемы РІ окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки x ₀ ,Р·Р° возможным исключением самой точки x ₀ ,Рё второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, например, что

  �ногда

вновь является Н. в. вида 1) или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели: например, применение теоремы Лопиталя к Н. в.

[ f( x) = e ^x+ e ^-x , g( x) = e ^x - e ^-x]при x® 0 ничего не даёт. Может также случиться, что

не существует, тогда как

типа 1) или 2) всё же существует; пример:

не существует. Мощным средством нахождения пределов Н. в. является разложение функций в ряды. Например, так как

то

  Н. в. видов 3)-7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, например, при х® p/2 Н. в.

вида 4) преобразуется к виду 1):

а последнее Н. в. имеет предел 0; Н. в. вида 3) приводится к Н. в. вида 1) или 2) преобразованием

РіРґРµ

Наконец, если через u( х) обозначить логарифм Н. в. видов 5), 6) и 7): u( x) = g( x) ln f( x) ,то u( х) является Н. в. вида 3), которое, как указано, сводится к Н. в. вида 1) или 2). Так как { f( x)} ^{g ( x)}= e ^{u ( x)} ,то, найдя предел u( х) (если он существует), можно найти и предел данного Н. в. Например, для x ^xпри x® 0 имеем

и, следовательно,

  Лит.:�льин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973.

Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра'л,общее выражение первообразной для подынтегральной функции f( x); обозначается

Например,

См. �нтегральное исчисление .

Неопределённых коэффициентов метод

Неопределённых коэффицие'нтов ме'тод,метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь

может быть представлена в виде суммы

где А, Ви С- коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:

и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х,получают:

( Рђ+ Р’+ РЎ) С… ²+ ( Р’- РЎ) С…- Рђ= 3 x ²- 1.

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х,то коэффициенты при одинаковых степенях хсправа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А+ В+ С= 3, В- С= 0, А= 1, откуда А= В= С= 1. Следовательно,

справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь

РІ РІРёРґРµ

где А, В, Си D -неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому

или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:

В  РќРѕ такое равенство возможно лишь РІ случае, РєРѕРіРґР° равны между СЃРѕР±РѕР№ рациональные слагаемые обеих частей Рё коэффициенты РїСЂРё одинаковых радикалах. Рў. Рѕ., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов Рђ, Р’, РЎРё D: Рђ -2 B+ 3 C= 1, - Рђ+ Р’+ 3 D= 1, A+ C -2 D =-1, Р’ - РЎ+ D= 0, откуда A= 0, Р’= - ¹/ ₂, РЎ= 0, D= ¹/ ₂, С‚. Рµ.

  В приведённых примерах успех Н. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения

было взято выражение

то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, Ви Счетыре уравнения А -2 В+ 3 С= 1 , -A - B= 1, A+ C= -1, В - С= 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, Ви С.

  Особенно важны применения Н. к. м. к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно.