Поэтому далее имеются в виду отображения на плоскость хОусферы, отнесённой к географическим координатам j (широта) и l (долгота).

  Уравнения любой К. п. имеют вид

x = f ₁(j, l), y = f ₂(j, l), (1)

В  РіРґРµ f ₁Рё f ₂- функции, удовлетворяющие некоторым общим условиям. Р�зображения меридианов l = constРё параллелей j = constРІ данной Рљ. Рї. образуют картографическую сетку. Рљ. Рї. может быть определена также РґРІСѓРјСЏ уравнениями, РІ которых фигурируют РЅРµ прямоугольные координаты С…, уплоскости, Р° какие-либо иные. Некоторые Рљ. Рї. [например, перспективные проекции (РІ частности, ортографические, СЂРёСЃ. 2 ) перспективно-цилиндрические ( СЂРёСЃ. 7 ) Рё РґСЂ.] можно определить геометрическими построениями. Рљ. Рї. определяют также правилом построения соответствующей ей картографической сетки или такими её характеристическими свойствами, РёР· которых РјРѕРіСѓС‚ быть получены уравнения РІРёРґР° (1), полностью определяющие проекцию.

  Краткие исторические сведения.Развитие теории К. п., как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики. Научные основы картографии были заложены в Древней Греции (6-1 вв. до н. э.). Древнейшей К. п. считается гномоническая проекция , примененная Фалесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления в 3 в. до н. э. шарообразности Земли К. п. стали изобретаться и использоваться при составлении географических карт ( Гиппарх , Птолемей и др.). Значительный подъём картографии в 16 в., вызванный Великими географическими открытиями, привёл к созданию ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г. Меркатором , используется и в настоящее время (см. Меркатора проекция ). В 17-18 вв., когда широкая организация топографических съёмок стала поставлять достоверный материал для составления карт на значительной территории, К. п. разрабатывались как основа для топографических карт (французский картограф Р. Бонн, Дж. Д. Кассини ), а также выполнялись исследования отдельных наиболее важных групп К. п. (�. Ламберт , Л. Эйлер , Ж. Лагранж и др.). Развитие военной картографии и дальнейшее увеличение объёма топографических работ в 19 в. потребовали обеспечения математической основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат на базе, более подходящей К. п. Это привело К. Гаусса к разработке фундаментальной геодезической проекции . Наконец, в середине 19 в. А. Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений К. п. Развитие теории К. п. в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных результатов (Л. Эйлер, Ф. �. Шуберт , П. Л. Чебышев , Д. А. Граве и др.). В трудах советских картографов В. В. Каврайского , Н. А. Урмаева и др. разработаны новые группы К. и., отдельные их варианты (до стадии практического использования), важные вопросы общей теории К. п., классификации их и др.

  Теория искажений.�скажения в бесконечно малой области около какой-либо точки проекции подчиняются некоторым общим законам. Во всякой точке карты в проекции, не являющейся равноугольной (см. ниже), существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, которым на отображаемой поверхности соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это - так называемые главные направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы) имеют экстремальные значения: m _max= аи m _min= b. Если в какой-либо проекции меридианы и параллели на карте пересекаются под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции. �скажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений, подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления их - главные.

  Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными производными функций (1) устанавливается основными формулами теории искажений.

В  Классификация картографических проекций РїРѕ положению полюса используемых сферических координат.Полюсы сферы суть особые точки географической координации, хотя сфера РІ этих точках РЅРµ имеет каких-либо особенностей. Значит, РїСЂРё картографировании областей, содержащих географические полюсы, желательно РёРЅРѕРіРґР° применять РЅРµ географические координаты, Р° РґСЂСѓРіРёРµ, РІ которых полюсы оказываются обыкновенными точками координации. Поэтому РЅР° сфере используют сферические координаты, координатные линии которых, так называемые вертикалы (условная долгота РЅР° РЅРёС… Р° = const) Рё альмукантараты (РіРґРµ полярные расстояния z = const), аналогичны географическим меридианам Рё параллелям, РЅРѕ РёС… полюс Z ₀РЅРµ совпадает СЃ географическим полюсом P ₀( СЂРёСЃ. 1 ). Переход РѕС‚ географических координат j, lлюбой точки сферы Рє её сферическим координатам z, aРїСЂРё заданном положении полюса Z ₀(j ₀, l ₀)осуществляется РїРѕ формулам сферической тригонометрии. Всякая Рљ. Рї., данная уравнениями (1), называется нормальной, или РїСЂСЏРјРѕР№ ( j ₀= p/2). Если та же самая проекция сферы вычисляется РїРѕ тем же формулам (1), РІ которых вместо j, lфигурируют z, a, то эта проекция называется поперечной РїСЂРё j ₀= 0, l ₀Рё РєРѕСЃРѕР№, если 0 < j ₀< p/2. Применение косых Рё поперечных проекций РїСЂРёРІРѕРґРёС‚ Рє уменьшению искажений. РќР° СЂРёСЃ. 2 показана нормальная (Р°), поперечная (Р±) Рё косая (РІ) ортографические проекции сферы (поверхности шара).

  Классификация картографических проекций по характеру искажений.В равноугольных (конформных) К. п. масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Эллипсы искажений вырождаются в окружности. Примеры - проекция Меркатор, стереографическая проекция .

 В равновеликих (эквивалентных) К. п. сохраняются площади; точнее, площади фигур на картах, составленных в таких проекциях, пропорциональны площадям соответствующих фигур в натуре, причём коэффициент пропорциональности - величина, обратная квадрату главного масштаба карты. Эллипсы искажений всегда имеют одинаковую площадь, различаясь формой и ориентировкой.

  Произвольные К. п. не относятся ни к равноугольным, ни к равновеликим. �з них выделяют равнопромежуточные, в которых один из главных масштабов равен единице, и ортодромические, в которых большие круги шара (ортодромы) изображаются прямыми.

  При изображении сферы на плоскости свойства равноугольности, равновеликости, равнопромежуточности и ортодромичности несовместимы. Для показа искажений в разных местах изображаемой области применяют: а) эллипсы искажений, построенные в разных местах сетки или эскиза карты ( рис. 3 ); б) изоколы, т. е. линии равного значения искажений (на рис. 8в см. изоколы наибольшего искажения углов со и изоколы масштаба площадей р); в) изображения в некоторых местах карты некоторых сферических линий, обычно ортодромий (О) и локсодромий (Л), см. рис. 3а , 3б и др.

  Классификация нормальных картографических проекций по виду изображений меридианов и параллелей,являющаяся результатом исторического развития теории К. п., объемлет большинство известных проекций. В ней сохранились наименования, связанные с геометрическим методом получения проекций, однако рассматриваемые их группы теперь определяют аналитически.

  Цилиндрические проекции ( рис. 3 ) - проекции, в которых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - прямыми, перпендикулярными к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора или какие-либо параллели. В навигации используется проекция Меркатора - равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса - Крюгера - равноугольная поперечно-цилиндрическая К. п. - применяется при составлении топографических карт и обработке триангуляций.

  Конические проекции ( рис. 4 ) - проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, меридианы - ортогональными им прямыми. В этих проекциях искажения не зависят от долготы. Особо пригодны для территорий, вытянутых вдоль параллелей. Карты всей территории СССР часто составляются в равноугольных и равнопромежуточных конических проекциях. �спользуются также как геодезические проекции .

 Азимутальные проекции ( рис. 5 ) - проекции, в которых параллели - концентрические окружности, меридианы - их радиусы, при этом углы между последними равны соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции.

  Псевдоконические проекции ( рис. 6 ) - проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, средний меридиан - прямой линией, остальные меридианы - кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна; в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1: 126 000) карта Европейской части России.

  Псевдоцилиндрические проекции ( рис. 8 ) - проекции, в которых параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямой линией, перпендикулярной этим прямым и являющейся осью симметрии проекций, остальные меридианы - кривыми.

  Поликонические проекции ( рис. 9 ) - проекции, в которых параллели изображаются окружностями с центрами, расположенными на одной прямой, изображающей средний меридиан. При построении конкретных поликонических проекций ставятся дополнительные условия. Одна из поликонических проекций рекомендована для международной (1: 1 000 000) карты.

  Существует много проекций, не относящихся к указанным видам. Цилиндрические, конические и азимутальные проекции, называемые простейшими, часто относят к круговым проекциям в широком смысле, выделяя из них круговые проекции в узком смысле - проекции, в которых все меридианы и параллели изображаются окружностями, например конформные проекции Лагранжа, проекция Гринтена и др.

  �спользование и выбор картографических проекцийзависят главным образом от назначения карты и её масштаба, которыми часто обусловливается характер допускаемых искажений в избираемой К. п. Карты крупных и средних масштабов, предназначенные для решения метрических задач, обычно составляют в равноугольных проекциях, а карты мелких масштабов, используемые для общих обозрений и определения соотношения площадей каких-либо территорий - в равновеликих. При этом возможно некоторое нарушение определяющих условий этих проекций ( w є 0или р є 1), не приводящее к ощутимым погрешностям, т. е. допустим выбор произвольных проекций, из которых чаще применяют проекции равнопромежуточные по меридианам. К последним прибегают и тогда, когда назначением карты вообще не предусмотрено сохранение углов или площадей. При выборе К. п. начинают с простейших, затем переходят к более сложным проекциям, даже, возможно, модифицируя их. Если ни одна из известных К. п. не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к составляемой карте со стороны её назначения, то изыскивают новую, наиболее подходящую К. п., пытаясь (насколько это возможно) уменьшить искажения в ней. Проблема построения наивыгоднейших К. п., в которых искажения в каком-либо смысле сведены до минимума, полностью ещё не решена.

  К. п. используются также в навигации, астрономии, кристаллографии и др.; их изыскивают для целей картографирования Луны, планет и др. небесных тел.

В  Преобразование проекций.Рассматривая РґРІРµ Рљ. Рї., заданные соответствующими системами уравнений: x = f ₁(j, l), y = f ₂(j, l)Рё X = g ₁(j, l), Y = g ₂(j, l), можно, исключая РёР· этих уравнении j Рё l, установить переход РѕС‚ РѕРґРЅРѕР№ РёР· РЅРёС… Рє РґСЂСѓРіРѕР№:

РҐ = F ₁(x, Сѓ), Y = F ₂(x, Сѓ).

Эти формулы РїСЂРё конкретизации РІРёРґР° функций F ₁, F ₂, РІРѕ-первых, дают общий метод получения так называемых производных проекций; РІРѕ-вторых, составляют теоретическую РѕСЃРЅРѕРІСѓ всевозможных СЃРїРѕСЃРѕР±РѕРІ технических приёмов составления карт (СЃРј. Географические карты ). Например, аффинные Рё РґСЂРѕР±РЅРѕ-линейные преобразования осуществляются РїСЂРё помощи картографических трансформаторов . Однако более общие преобразования требуют применения РЅРѕРІРѕР№, РІ частности электронной, техники. Задача создания совершенных трансформаторов Рљ. Рї. - актуальная проблема современной картографии.

  Лит.:Витковский В., Картография. (Теория картографических проекций), СПБ. 1907; Каврайский В. В., Математическая картография, М. - Л., 1934; его же, �збр. труды, т. 2, в. 1-3, [М.], 1958-60; Урмаев Н. А., Математическая картография, М., 1941; его же, Методы изыскания новых картографических проекций, М., 1947; Граур А. В., Математическая картография, 2 изд., Л., 1956; Гинзбург Г. А., Картографические проекции, М., 1951; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968.

  Г. А. Мещеряков.

4б. Конические проекции. Равнопромежуточная.

Рис. 8б. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая синусоидальная проекция В. В. Каврайского.

Рис. 9а. Поликонические проекции. Простая.

Рис. 5в. Азимутальные проекции. Равновеликая (слева - поперечная, справа - косая).

3б. Цилиндрические проекции. Равнопромежуточная (прямоугольная).

Рис. 6. Псевдоконическая равновеликая проекция Бонна.

Рис. 8а. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая проекция Мольвейде.

4а. Конические проекции. Равноугольная.

Рис. 5б. Азимутальные проекции. Равнопромежуточная (слева - поперечная, справа - косая).

Рис. 7. Косая перспективно-цилиндрическая проекция М. Д. Соловьёва.

2. Шар и его ортографические проекции.

Рис. 9б. Поликонические проекции. Произвольная проекция Г. А. Гинзбурга.

4в. Конические проекции. Равновеликая.

Рис. 5а. Азимутальные проекции. Равноугольная (стереографическая) слева - поперечная, справа - косая.

3в. Цилиндрические проекции. Равновеликая (изоцилиндрическая).

Рис. 8г. Псевдоцилиндрические проекции. Проекция БСАМ.

3а. Цилиндрические проекции. Равноугольная Меркатора.

1. Сети сферических координатных линий.

Рис. 8в. Псевдоцилиндрические проекции. Произвольная проекция ЦН��ГАиК.