Эйлера формулы

Э'йлера фо'рмулыв математике, важнейшие формулы, установленные Л. .

 1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):

e ^ix= cos х + isin х,

, .

  2) Э. ф., дающая разложение функции sin хв бесконечное произведение (1740):

.

  3) Тождество Эйлера о простых числах:

,

  где s= 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.

 4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:

( a ²+ b ² + c ² + d ²)( p ² + q ² + r ² + s ² = x ² +y ² +z ² +t ², где

,

,

,

.

 5) формула Эйлера о кривизнах (1760):

.

  Она даёт выражение кривизны 1 /Rлюбого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1 /R ₁и 1/ R ₂и угол j между одним из главных направлений и данным направлением.

  Эйлеру принадлежит также суммирования, для коэффициентов разложений функций в .

  Лит.см. при ст. .

Эйлера функция

Э'йлера фу'нкция,число j( а) натуральных чисел, меньших, чем а, и взаимно простых с а:

,

где p ₁, ..., p _k-простые делители числа а.Введена Л. в 1760-61. Если числа аи bвзаимно просты, тоj( ab) = j( а) j( b). При т>1 и наибольшем общем делителе ( а, m) =1, а, m- взаимно просты, имеет место a ^{j( m)} =1 (mod m) (теорема Эйлера). Э. ф. встречаются во многих вопросах .

Эйлера числа

Э'йлера чи'слав математике, целые числа Е _п, являющиеся коэффициентами при t ⁿ/ n!, в разложении функции 1 /ch t(см. ) в степенной ряд:

  Введены Л. в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением ( Е+1) ⁿ+( E¾1) ⁿ= 0, n= 1, 2, 3,..., E ₀= 1 (после возведения в степень надо вместо E ^kподставить E _k) и с -соотношениями

,

 и .

  Встречаются в различных формулах математического анализа.

Эйлера число

Э'йлера число',один из движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Э. ч. Euопределяют формулой

(иногда 2 p/ru ²), где p ₂, p ₁-давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), ru ²/2- скоростной напор, r - плотность жидкости или газа, u -скорость течения (или скорость тела). В случае течений жидкости с аналогичный критерий называется числом кавитации ,

где p ₀-характерное давление, р _н -давление насыщенных паров жидкости. В сжимаемых газовых потоках Э. ч. в форме Eu= 2 p/ru ²связано с другими критериями подобия - Ми отношением удельных теплоёмкостей среды g -формулой Eu =2 /g M ², где g = c _p/ c _v( c _p -удельная теплоёмкость при постоянном давлении, c _v-то же при постоянном объёме). Названо по имени Л. .

Эйлера-Маклорена формула

Э'йлера-Макло'рена фо'рмула,формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:

где B _v- , R _n-остаточный член. Э.-М. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Например, при m =1, р =0, n =2 m +1,

Э. - М. ф. даёт следующее выражение:

.

  Э.-М. ф. была впервые приведена Л. в 1738. Независимо формула была открыта позднее К. (1742).

Эйлера-Фурье формулы

Э'йлера-Фурье' фо'рмулы,формулы для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд (ряд Фурье). Э.-Ф. ф. названы по имени Л. , давшего (1777) первый их вывод, и Ж. , систематически (начиная с 1811) пользовавшегося тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности. См. , .

Эйлерова характеристика

Э'йлерова характери'стикамногогранника, число a _o-a ₁+a ₂, где a _o- число вершин, a ₁- число рёбер и a ₂- число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. ) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё Р. Декарту).

  Э. х. произвольного комплекса есть число , где n- размерность комплекса, a _o -число его вершин, a ₁ -число его рёбер, вообще a _k есть число входящих в комплекс k-мерных симплексов. Оказывается, что Э. х. равна  (формула Эйлера-Пуанкаре), где p _k есть k-мерное число Бетти данного комплекса (см. ) .Отсюда следует топологическая инвариантность Э. х. Ввиду топологической инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).

  Лит.:Александров П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии. 2 изд., М., 1976.

Эйлеровы интегралы

Э'йлеровы интегра'лы,интегралы вида

 (1)

  (Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. в 1730-31, ранее рассматривалась И. и Дж. ) и

 (2)

  [Э. и. второго рода, или , рассмотренная Л. Эйлером в 1729-30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э. и.» дано А. .Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты  и факториал n!, ибо, если аи b- натуральные числа, то

, Г ( а+1) = а!

 Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если аи bположительны, и перестают существовать, если аи bотрицательны. Имеют место соотношения

В ( a, b) =B ( b, a), ;

последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов аи b. Э. и. встречаются во многих вопросах теории , к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется также интеграл

выражающий т. н. .

  Лит.:Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.- Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.

Эйлеровы углы

Э'йлеровы углы',углы j, q, y определяющие положение прямоугольной декартовой системы координат OXYZотносительно другой прямоугольной декартовой системы координат Oxyzс той же (см. рис. ). Пусть OK -ось (линия узлов), совпадающая с линией пересечения координатной плоскости Охупервой системы с координатной плоскостью ОХУвторой системы и направленная так, что оси Oz, OZ, OKобразуют тройку той же ориентации. Тогда Э. у. будут: j - угол собственного вращения - угол между осями Oxи OK, отсчитываемый в плоскости Охуот оси Oxв направлении кратчайшего поворота от Oxк Оу, q - угол нутации, не превосходящий p -угол между осями Ozи OZ; y - угол прецессии - угол между осями OKи OX, отсчитываемый в плоскости ОХУот оси OKв направлении кратчайшего поворота от OXк ОУ. При q = 0 или p Э. у. не определяются. Введены Л. в 1748. Широко используются в динамике твёрдого тела (например, в теории ) и небесной механике.

Рис. к ст. Эйлеровы углы.

Эйлер-Хельпин Ханс Карл Август Симон фон

Э'йлер-Хе'льпин(Euler-Chelpin) Ханс Карл Август Симон фон (15.2.1873, Аугсбург, Германия, - 6.11.1964, Стокгольм), шведский биохимик, член Королевской шведской АН. Потомок Л. .Отец У. .Окончил мюнхенскую АХ (1893), затем изучал химию и медицину в университетах Берлина, Страсбура и Гёттингена. Организатор и председатель (1908-63) Шведского химического общества. Профессор Стокгольмского университета (1906-29), директор Института органической химии и института витаминов (с 1929). Основные работы посвящены изучению механизма различных биохимических процессов. Исследовал кинетику и выяснил механизм ферментации сахаров. Отметил увеличение скорости химических реакций в живых организмах под действием ферментов и предложил назвать это явление .Изучал структуру и механизм действия витамина А (совместно с П. ) и доказал, что b-каротин является провитамином А и содержится в пигменте глаза. Внёс значительный вклад в изучение биохимии опухолей. Нобелевская премия (1929, совместно с А. ) .Э.-Х. - иностранный член АН СССР (1927).

  Соч.: Grundlagen und Ergebnisse der Pflanzenchemie, Tl 1-3, Braunschweig, 1908-09; Chemie der Enzyme, 3 Aufl., Tl 1-2, Mьnch., 1925¾34.

  Лит.:Тютюнник В. М., Ганс Карл Август Симон фон Эйлер-Хелпин, «Журнал

Всесоюзного хим. общества им. Д. И. Менделеева», 1975, т. 20, № 6, с. 642-43.

Эймёйден

Эймёйден(Ijmuiden), город и порт в Нидерландах, в провинции Северная Голландия, на Северном море. Аванпорт Амстердама, с которым Э. связывает канал Нордзе (или Амстердамский). Входит в амстердамскую агломерацию. Центр чёрной металлургии; химическая, цементная промышленность.

Эймер Теодор Густав Генрих

Э'ймер(Eimer) Теодор Густав Генрих (22.2.1843, Штефа, близ Цюриха, Швейцария, - 29.5.1898, Тюбинген), немецкий зоолог. Изучал медицину и естественной науки в университетах Тюбингена, Фрейбурга, Гейдельберга, Берлина. Доктор философии (1869). Профессор политехникума в Дармштадте (с 1874) и университета в Тюбингене (с 1875). Основные труды по морфологии, гистологии и физиологии беспозвоночных и позвоночных животных, изучению вариаций окраски у кишечнополостных, чешуекрылых и ящериц. В теоретических работах отстаивал положение о наследовании приобретённых признаков и представления об автономном развитии признаков организмов в заранее заданном определённом направлении (см. ) .В вопросе о происхождение организмов был сторонником .Представитель так называемого «классического трансформизма».

  Соч.: Zoologische Studien auf Capri, [Tl] 1-2, Lpz., 1873-74; Die Entstehung der Arten auf Grund von Vererben erwerbener Eigenschaften..., Tl 1-3, Jena - Lpz, 1888-1901.

Эймери шельфовый ледник

Э'ймери ше'льфовый ледни'к(Amery Ice Shelf), в Восточной Антарктиде, между Берегами Ларса Кристенсена и Ингрид Кристенсен. Протяжённость более 200 км, толщина от 400 до 800 м.В глубину материка простирается на 250 км.На Ю. причленяется к леднику Ламберта (основному источнику питания). Площадь около 40 тыс. км ², в 1964 от Э. ш. л. откололся гигантский айсберг площадью около 11 тыс. км ² .Открыт в 1931 Британско-австралийско-новозеландской экспедицией (БАНЗАРЭ). Назван в честь В. Б. Эймери - представителя правительства Великобритании в Австралии. В 1968 на леднике работала временная австралийская станция - База Эймери. С 1971 по 1974 в районе Э. ш. л. советская антарктическими экспедициями были выполнены комплексные геолого-географические исследования, для чего на леднике была создана временная станция Содружество.

Эймерии

Эйме'рии,внутриклеточные паразитические простейшие из отряда .

Эйнар Йоунссон

Э'йнар Йо'унссон(Einar Jуnsson) (11.5.1874, Гальтафедль, - 18.10.1954, Рейкьявик), исландский скульптор. В 1893-99 учился в Копенгагене у С. Синдинга и в АХ. В 1915-19 работал в США. Крупнейший исландский ваятель 20 в., Э. И. создавал монументальные композиции, близкие стилю «модерн» (памятник Ингольфру Арнарсону в Рейкьявике, см. илл. ), реалистические портреты («Э. К. Прайс», см. илл. ).

  Лит.:[Grцndal В., Behrens С.], Einar Jуnsson, Stockh., 1954.

Рейкьявик. Памятник Ингольфру Арнарсону. 1907. Скульптор Эйнар Йоунссон.

Эйнар Йоунссон. Портрет Э. К. Прайса. Мрамор. Ок. 1915-19. Филадельфийский музей искусства.

Эйнауди Луиджи

Эйна'уди(Einбudi) Луиджи (24.3.1874, Карру, близ г. Кунео, - 30.10.1961, Рим), политический и государственный деятель Италии, видный экономист. Окончил Туринский университет. Издавал ряд экономических журналов, преподавал в Миланском и Туринском университетах. С 1943 до 1945 в эмиграции, в Швейцарии. В 1945-48 управляющий Банком Италии. В 1945 стал член Консультативной ассамблеи, в 1946 избран в Учредительное собрание по спискам Либеральной партии. В 1947-48 заместитель председатель Совета Министров и министр бюджета. В 1948-55 президент Италии. В 1955 назначен пожизненно сенатором. Автор работ по вопросам экономики и финансов. Действительный и почётный член многих академий и научных обществ (итальянских и зарубежных).

Эйнгард

Э'йнгард,Эйнхард, Эгингард (Einhard, Eginhard) (ок. 770, Майнгау, - 14.3.840, Зелигенштадт), деятель , сподвижник Карла Великого. Получил образование в школе Фульдского монастыря. При дворе Карла Великого обратил на себя внимание познаниями в различных областях науки и искусства, стал активным член «Академии». Руководил постройкой собора в Ахене, дворца в Ингельхейме и др. Написанная им после смерти императора «Жизнь Карла Великого» (на латинском яз.) пользовалась в средние века большой популярностью. Это сочинение насыщено большим фактическим материалом, однако ради прославления Карла Э. допускал искажения в описании его внешней политики, войн. Сохранилось несколько его произведений религиозного характера и более 60 писем.

  Соч.: Vie de Charlemagne, P., 1923.

  Лит.:Kleinclausz A., Eginhard, P., 1942.

Эйндховен

Э'йндховен(Eindhoven), город в Нидерландах, в провинции Северный Брабант, на р. Дроммел. 192,6 тыс. жит. (1977), в агломерации 360,7 тыс. жит. Важный транспортный узел. Крупный центр электротехнической и электронной промышленности (заводы концерна «Филипс», выпускающие радио- и телеаппаратуру, звукозаписывающую и звуковоспроизводящую аппаратуру, электронные компоненты, бытовые электроприборы и т.п.). Автостроение, производство велосипедов. Лёгкая (текстильная, кожевенная, обувная отрасли) и пищевая промышленность. Технический университет (с 1956). Музей концерна «Филипс».

Эйнзидель Иоганн Август фон

Э'йнзидель(Einsiedel) Иоганн Август фон (4.3.1754, Лумпциг, близ г. Альтенбург, - 8.5.1837, замок Шарфенштейн, близ г. Цшопау), немецкий философ-материалист, друг И. В. Гёте и И. Г. Гердера (последнему принадлежат выписки из сочинений Э., впервые изданные в ГДР, - «Ideen», В., 1957). Задача философии, по Э., - «свести духовный мир к миру телесному»; согласно Э., мысли - «движения мозга», вызываемые воздействием на органы чувств внешнего мира. Отвергая библейский миф о творении и учение о бессмертии души, Э. отстаивал идею естественного возникновения жизни и происхождения человека. Считал религию результатом невежества, христианство характеризовал как религию рабов. Критиковал религиозную мораль, утверждая, что «истинная мораль» безрелигиозна. С просветительских и демократических позиций Э. выступал против абсолютизма и феод. порядков, осуждал политический и духовный гнёт. Он был убеждён в грядущем наступлении «золотого века», когда прекратятся войны, исчезнут неравенство, несправедливость и эгоизм, а труд станет удовольствием. Утопические представления Э. о будущем обществе носили следы мелкобуржуазных иллюзий.

  Лит.:Гулыга А. В., Из истории немецкого материализма, М., 1962; Stiehler G., A. von Einsiedel, в сборнике: Beitrдge zur Geschichte des vormarxistischen Materialismus, B., 1961; Stolpe H., Materialistische Strцmungen im klassischen Weimar, «Weimar Beitrдge», 1963, № 3.

  Б. В. Мееровский.

Эйнманн Эдуард

Э'йнманнЭдуард [р. 10(23).1.1913, дер. Кулламаа, ныне Раплаского района Эстонской ССР], советский график и живописец, народный художник Эст. ССР (1963), член-корреспондент АХ СССР (1958). Член КПСС с 1948. Учился в Таллине в Государственном высшем художественном училище - училище прикладного искусства им. Я. Коорта (1938-41). В 1944-51 преподавал в Тартуском художественном институте (в 1948-51 директор). Основатель Союза художников Эстонской ССР (1943), председатель правления (1950-57). Для Э. - мастера портретных рисунков и гравюры, характерны стремление объективно и всесторонне передать физический и духовный склад человека, тщательная светотеневая моделировка («В. Лойк», уголь, 1955, «Лейли из Вигала», сангина, 1958, «С. Корн», сухая игла, 1960). Награжден орденом Ленина, 3 другими орденами, а также медалями.

  Лит.:Bernatein В., Е. Einmann, Tallinn, 1956.

Э. Эйнманн. Портрет Р. Уутмаа. Уголь. 1965.

Эйнтховен Виллем

Э'йнтховен(Einthoven) Виллем (21.5.1860, Самаранг, о. Ява, - 29. 9.1927, Лейден, Нидерланды), нидерландский физиолог. Окончил университет в Утрехте (1885). С 1885 профессор физиологии Лейденского университета. Основные труды по электрофизиологии. Математический анализ электрокардиограмм позволил Э. внести существенные уточнения в расшифровку электрических реакций сердца. В 1903 созданием струнного гальванометра Э. положил начало клинической электрокардиографии. Э. принадлежат идея трёх отведений токов сердца, схема треугольника (треугольник Э.), иллюстрирующая изменение высоты зубцов электрокардиограммы и их взаимодействие в зависимости от способа отведения, физиологическое объяснение каждого зубца и интервала электрокардиограммы. Предложил (1913) .Один из первых исследователей в области нейроэлектрофизиологии. Выявил импульсную активность в т. н. депрессорном нерве, зарегистрировал импульсную активность в нервных путях симпатической системы. Нобелевская премия (1924).

  Соч.: Neues Galvanometer, «Annalen der Physik», 1903, Bd 12; Ьber die Deutung des Elektrokardiogramms, «Pflьgers Archiv fьr die gesamte Physiologie des Menschen und der Tiere», 1913, Bd l49; Das Saitengalvanometer und die Messung der Aktionsstrцme des Herzens, в кн.: Les prix Nobel en 1924-1925, Stockh., 1926.

  Лит.:Самойлов А. Ф., Воспоминания о профессоре Вильгельме Эйнтховене, в его кн.: Избр. статьи и речи, М.- Л., 1946; Wenckebach (Wien), W. Einthoven, «Deutsche medizinische Wochenschrift», 1927, Jg 53, № 51, S. 2176.

  Л. В. Соколова.

«Эйнхейт»

«Э'йнхейт»(«Einheit»), журнал, издаваемый ЦК Социалистической единой партии Германии; см. .

Эйнштейн Альберт

Эйнште'йн(Einstein) Альберт (14.3.1879, Ульм, Германия, - 18.4.1955, Принстон, США), физик, создатель и один из создателей квантовой теории и статистической физики. С 14 лет вместе с семьей жил в Швейцарии. По окончании Цюрихского политехникума (1900) работал учителем сначала в Винтертуре, затем в Шафхаузене. В 1902 получил место эксперта в федеральном патентном бюро в Берне, где работал до 1909. В эти годы Э. были созданы специальная теория относительности, выполнены исследования по статистической физике, броуновскому движению, теории излучения и др. Работы Э. получили известность, и в 1909 он был избран профессором Цюрихского университета, затем Немецкого университета в Праге (1911-12). В 1912 возвратился в Цюрих, где занял кафедру в Цюрихском политехникуме. В 1913 был избран членом Прусской и Баварской АН и в 1914 переехал в Берлин, где был директором физического института и проф. Берлинского университета. В берлинский период Э. завершил создание общей теории относительности, развил далее квантовую теорию излучения. За открытие законов фотоэффекта и работы в области теоретической физики Э. была присуждена Нобелевская премия (1921). В 1933 он был вынужден покинуть Германию, впоследствии в знак протеста против фашизма отказался от германского подданства, вышел из состава академии и переехал в Принстон (США), где стал членом Института высших исследований. В этот период Э. пытался разработать единую теорию поля и занимался вопросами космологии.

  Работы по теории относительности. Главное научное достижение Э. - теория относительности, которая по существу является общей теорией пространства, времени и тяготения. Господствовавшие до Э. представления о пространстве и времени были сформулированы И. в конце 17 в. и не вступали в явное противоречие с фактами, пока развитие физики не привело к появлению электродинамики и вообще к изучению движений со скоростями, близкими к скорости света. Уравнения электродинамики ( ) оказались несовместимыми с уравнениями классической механики Ньютона. Противоречия особенно обострились после осуществления , результаты которого не могли быть объяснены в рамках классической физики.

  Специальная, или частная, теория относительности, предметом которой является описание физических явлений (и в том числе распространения света) в инерциальных системах отсчёта, была опубликована Э. в 1905 в почти завершенном виде. Одно из её основных положений - полная равноправность всех инерциальных систем отсчёта - делает бессодержательными понятия абсолютного пространства и абсолютного времени ньютоновской физики. Физический смысл сохраняют лишь те выводы, которые не зависят от скорости движения инерциальной системы отсчёта. На основе этих представлений Э. вывел новые законы движения, сводящиеся в случае малых скоростей к законам Ньютона, а также дал теорию оптических явлений в движущихся телах. Обращаясь к гипотезе эфира, он приходит к выводу, что описание электромагнитного поля не требует вообще какой-либо среды и что теория оказывается непротиворечивой, если помимо принципа относительности ввести и постулат о независимости скорости света от системы отсчёта. Глубокий анализ понятия одновременности и процессов измерения интервалов времени и длины (частично проведённый также А. ) показал физическую необходимость сформулированного постулата. В том же (1905) году Э. опубликовал статью, где показал, что масса тела mпропорциональна его энергии Е, и в следующем году вывел знаменитое соотношение Е = mc ²( с -скорость света в вакууме). Большое значение для завершения построения специальной теории относительности имела работа Г. о четырёхмерном пространстве-времени. Специальная теория относительности стала необходимым орудием физических исследований (например, в ядерной физике и физике элементарных частиц), её выводы получили полное экспериментальное подтверждение.

  Специальная теория относительности оставляла в стороне явление тяготения. Вопрос о природе гравитации, а также об уравнениях гравитационного поля и законах его распространения не был в ней даже поставлен. Э. обратил внимание на фундаментальное значение пропорциональности гравитационной и инертной масс (принцип эквивалентности). Пытаясь согласовать этот принцип с инвариантностью , Э. пришёл к идее зависимости геометрии пространства - времени от материи и после долгих поисков вывел в 1915-16 уравнение гравитационного поля (уравнение Эйнштейна, см. ). Эта работа заложила основы общей теории относительности.

  Э. сделал попытку применить своё уравнение к изучению глобальных свойств Вселенной. В работе 1917 он показал, что из принципа её однородности можно получить связь между плотностью материи и радиусом кривизны пространства - времени. Ограничиваясь, однако, статической моделью Вселенной, он был вынужден ввести в уравнение отрицательное давление (космологическую постоянную), чтобы уравновесить силы притяжения. Верный подход к проблеме был найден А. А. , который пришёл к идее расширяющейся Вселенной. Эти работы положили начало релятивистской космологии.

  В 1916 Э. предсказал существование гравитационных волн, решив задачу о распространении гравитационного возмущения. Тем самым было завершено построение основ общей теории относительности.

  Общая теория относительности объяснила (1915) аномальное поведение орбиты планеты Меркурий, которое оставалось непонятным в рамках ньютоновской механики, предсказала отклонение луча света в поле тяготения Солнца (обнаружено в 1919-22) и смещение спектральных линий атомов, находящихся в поле тяготения (обнаружено в 1925). Экспериментальное подтверждение существования этих явлений стало блестящим подтверждением общей теории относительности.

  Развитие общей теории относительности в трудах Э. и его сотрудников связано с попыткой построения единой теории поля, в которой электромагнитное поле должно быть органически соединено с метрикой пространства - времени, как и поле тяготения. Эти попытки не привели к успеху, однако интерес к указанной проблеме возрос в связи с построением релятивистской .