Эйкен (населён. пункт в США)

Э'йкен(Aiken), населённый пункт на Ю.-В. США, в штате Южная Каролина; пригород г. Огаста (шт. Джорджия). Близ Э. - атомный комбинат «Саванна-Ривер».

Эйкен Рудольф

Э'йкен(Eucken) Рудольф (5.1.1846, Аурих, Восточная Фрисландия, - 15.9.1926, Йена), немецкий философ-идеалист, последователь И. Г. Фихте, создатель концепции «метафизики духа». Профессор философии в Базеле (с 1871) и Йене (с 1874). Будучи противником позитивистско-натуралистического мировоззрения, выступал за возрождение идеалистической метафизики. Утверждая вечность и единство духовного мира, его абсолютный смысл и ценность, Э. развивал «ноологический» (от греч. nуos - разум, дух) метод понимания духовной жизни не только как психологического явления, но и как вечной ценности. Призывая к созданию новой религиозно-жизненной системы, в центре её мыслил личностное существо; духовную жизнь представлял пронизанной нравственным началом. Однако, обращаясь к религии как абсолютной основе духовной жизни, Э. критиковал её исторические формы, отрицательно относился к церкви. Нобелевская премия по литературе (1908).

  Соч.: Die Einheit des Geisteslebens in BewuЯtsein und Tat der Menschheit, Lpz., 1888; Der Kampf um einen geistigen Lebensinhalt, Lpz., 1896; Der Wahrheitsgehalt der Religion, Lpz., 1901; Der Sinn und Wert des Lebens, 9 Aufl., Lpz., 1921-22; Die Lebensanschauungen der groЯen Denker, 18 Aufl., B., 1922; Geistige Strцmungen der Gegenwart, 6 Aufl., B., 1928; в рус. пер.- Смысл и ценность жизни, Хар., 1911.

  Лит.:Беляев В. А., Философия Р. Эйкена, СПБ, 1912; Блонский П. П., Современная философия, ч. 1-2, М., 1918¾1922; Siebert O., R. Eucken’s Welt und Lebensanschauung, 4 Aufl., Langensalza, 1926; Becher E., R. Eucken und seine Philosophie, Langensalza, 1927.

Эйкинс Томас

Э'йкинс,Икинс (Eakins) Томас (25.7.1844, Филадельфия, - 25.6.1916, там же), американский живописец. Учился в Пенсильванской АХ в Филадельфии и в 1866-69 в Школе изящных искусств в Париже. Крупнейший американский художник-реалист, Э. внёс в живопись США темы жизни большого города, интерес к многообразным профессиям, к людям искусства и науки, к спорту («Макс Шмитт в лодке», 1871, «Мыслитель», 1900, - в Метрополитен-музее, Нью-Йорк; «Д-р Гросс в клинике», 1875, Медицинский колледж Джефферсона, Филадельфия). Строгую объективность и жизненность воспроизведения натуры Э. соединял с глубиной психологической характеристики, в том числе в портретах («У. Уитмен», 1887, Пенсильванская АХ), с интересом к освещению.

  Лит.:Porter F., Thomas Eakins, N. Y., 1959.

Эйкия Армас

Э'йкия(Дikiд) Армас (псевд.; наст. имя и фам. Вилье Вейё) (14.3.1904, Конница, - 20.11.1965, Хельсинки), финский поэт, журналист и общественный деятель. Член Коммунистической партии Финляндии с 1924. В 1923-30 за политическую деятельность неоднократно подвергался тюремному заключению. Автор поэмы «Песнь об орле» (1935-40) - о финском революционере Т. Антикайнене, сборник стихов «Лира за решёткой» (1945). В стихах сборников «Огненное кантеле» (1947), «Изгнанник» (1948) Э. обличал немецкий фашизм и финские реакционные круги. В 1962 опубликовал книгу «Певец у подножия вулкана» - о жизни и творчестве К. .Переводил стихи А. С. Пушкина и М. Ю. Лермонтова, В. В. Маяковского и др. сов. поэтов.

  Соч. в рус. пер.: Не меркнет свет, Петрозаводск, 1944; Под северным сиянием, предисл. О. Куусинена, М., 1955; Стихи, в сборнике: Поэзия Финляндии, М., 1962; Стихотворения, М.-Л., 1963.

  Лит.:Дrmas дikiд on kuollut, «Kansan Uutiset», 1965, 21 marraskuu.

Эйкман Христиан

Э'йкман(Eijkman) Христиан (11.8.1858, Нейкерк, Гелдерланд, - 5.11.1930, Утрехт), нидерландский бактериолог и врач. Окончил Амстердамский университет (доктор медицины, 1883), стажировался у Р. в Берлине. С 1886 военный врач в Индонезии, с 1888 директор Батавской лаборатории патологии (Джакарта), в 1898-1928 профессор гигиены Утрехтского университета (Нидерланды). Основные труды по витаминологии. Открыл факт как источника ряда заболеваний. Нобелевская премия (1929, совместно с Ф. ) .

Эйконал

Эйкона'л(от греч. eikon - изображение) (в геометрической оптике), функция, определяющая луча света между двумя произвольными точками, одна из которых Апринадлежит пространству предметов (объектов), другая A' -пространству изображений (см. ) .В зависимости от выбора параметров различают: точечный Э., или эйконал У. Р. (гамильтонова характеристическая функция от координат х, у, z; x', y', z'точек Аи A'); угловой эйконал Г. Э. (функция угловых коэффициентов µ, v; µ ', v'луча); более сложный эйконал К. и ряд др. Применение Э. при расчётах даёт возможность, дифференцируя его по определённым параметрам, найти выражения для некоторых основных (т. н. поперечных) .Функции, называемые Э., широко используются в в рамках общей аналогии, существующей между нею и классической оптикой, а также при описании процессов рассеяния частиц и волн (метод эйконала, эйкональное приближение в квантовой механике и квантовой теории поля), где тоже возникают аналогии с оптикой.

  Лит.:Борн М., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., М., 1973; Кельман В. М., Явор С. Я., Электронная оптика, 3 изд., Л., 1968; Гольдбергер М., Ватсон К., Теория столкновений, пер. с англ., М., 1967.

Эйкумена

Эйкуме'на,экумена, населённая человеком часть земли, .Об истории заселения см. в ст. .

Эйлат

Эйла'т,город в Израиле. 13 тыс. жит. (1972). Порт на берегу Красного м. Шоссе соединён с Тель-Авивом. Промышленность: алмазообрабатывающая, ювелирная, цементная, пищевая (главным образом рыбная и виноделие). Вблизи Э. - месторождение меди (Тимна) и самоцветов. От Э. отходят нефтепроводы в Хайфу и через Ашкелон. Рыболовство.

Эйленбург

Э'йленбург(Eilenburg), город в ГДР, в округе Лейпциг, на р. Мульда. Ж.-д. узел. 22,2 тыс. жит. (1975). Производство целлулоида, строит. машин, мебели, кондитерских изделий.

Эйлер Леонард

Э'йлер(Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под рук. Я. Бернулли), а в 1720-24 в Базельском университете, где слушал лекции по математике И. .

 В кон. 1726 Э. был приглашен в Петербургскую АН и в мае 1727 приехал в Петербург. В только что организованной академии Э. нашёл благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Э. подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. В Петербурге он изучил русский язык.

  Э. участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской АН. Он читал лекции студентам академического университета, участвовал в различных технических экспертизах, работал над составлением карт России, написал общедоступное «Руководство к арифметике» (нем. изд. 1738-40, рус. пер. ч. 1-2, 1740). По специальному поручению академии Э. подготовил к печати «Морскую науку» (ч. 1-2, 1749)- фундаментальный труд по теории кораблестроения и кораблевождения.

  В 1741 Э. принял предложение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин, где предстояла реорганизация АН. В Берлинской АН Э. занял пост директора класса математики и член правления, а после смерти её первого президента П. Л. несколько лет (с 1759) фактически руководил академией. За 25 лет жизни в Берлине он подготовил около 300 работ, среди них ряд больших монографий.

  Живя в Берлине, Э. не переставал интенсивно работать для Петербургской АН, сохраняя звание её почётного члена. Он вёл обширную научную и научно-организационную переписку, в частности переписывался с М. В. Ломоносовым, которого высоко ценил. Э. редактировал математический отдел русского академического научного органа, где опубликовал за это время почти столько же статей, сколько в «Мемуарах» Берлинской АН. Он деятельно участвовал в подготовке русских математиков; в Берлин командировались для занятий под его руководством будущие академики С. К. Котельников, С. Я. Румовский и М. Софронов. Большую помощь Э. оказывал Петербургской АН, приобретая для неё научную литературу и оборудование, ведя переговоры с кандидатами на должности в академии и т.д.

  17(28) июля 1766 Э. вместе с семьей вернулся в Петербург. Несмотря на преклонный возраст и постигшую его почти полную слепоту, он до конца жизни продуктивно работал. За 17 лет вторичного пребывания в Петербурге им было подготовлено около 400 работ, среди них несколько больших книг. Э. продолжал участвовать и в организационной работе академии. В 1776 он был одним из экспертов проекта одноарочного моста через Неву, предложенного И. П. , и из всей комиссии один оказал широкую поддержку проекту.

  Заслуги Э. как крупнейшего учёного и организатора научных исследований получили высокую оценку ещё при его жизни. Помимо Петербургской и Берлинской академий, он состоял членом крупнейших научных учреждений: Парижской АН, Лондонского королевского общества и других.

  Одна из отличительных сторон творчества Э. - его исключительная продуктивность. Только при жизни Э. было опубликовано около 550 его книг и статей (список трудов Э. содержит примерно 850 назв.). В 1909 Швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Э., которое завершено в 1975; оно состоит из 72 томов. Большой интерес представляет и колоссальная научная переписка Э. (около 3000 писем), до сих пор опубликована лишь частично.

  Необыкновенно широк был круг занятий Э., охватывавших все отделы современной ему математики и механики, теорию упругости, математическую физику, оптику, теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую науку, страховое дело и т.д. Около ³/ ₅работ Э. относится к математике, остальные ²/ ₅преимущественно к её приложениям. Свои результаты и результаты, полученные другими, Э. систематизировал в ряде классических монографий, написанных с поразительной ясностью и снабженных ценными примерами. Таковы, например, «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (т. 1-2, 1736), «Введение в анализ» (т. 1-2, 1748), «Дифференциальное исчисление» (1755), «Теория движения твёрдого тела» (1765), «Универсальная арифметика» (т. 1-2, 1768-69), выдержавшая около 30 изданий на 6 языках, «Интегральное исчисление» (т. 1-3, 1768-70, т. 4, 1794) и др. В 18 в., а отчасти и в 19 в. огромную популярность приобрели общедоступные «Письма о разных физических и филозофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе...» (ч. 1-3, 1768-74), которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках. Большая часть содержания монографий Э. вошла затем в учебные руководства для высшей и частично средней школы. Невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Э., из которых только немногие фигурируют в литературе под его именем [см., например, , , , , (в гидромеханике), , , в математике, , , , , , ] .

 В «Механике» Э. впервые изложил динамику точки при помощи математического анализа. В 1-м томе этого сочинения рассмотрено свободное движение точки под действием различных сил как в пустоте, так и в среде, обладающей сопротивлением; во 2-м - движение точки по данной линии или по данной поверхности; большое значение для развития небесной механики имела глава о движении точки под действием центр. сил. В 1744 он впервые корректно сформулировал механический принцип наименьшего действия и показал его первые применения. В «Теории движения твёрдого тела» Э. разработал кинематику и динамику твёрдого тела и дал уравнения его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов. В своей теории корабля Э. внёс ценный вклад в теорию устойчивости. Значительны открытия Э. в небесной механике (например, в теории движения Луны), механике сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Э. и в т. н. переменных Лагранжа, колебания газа в трубах и пр.). В оптике Э. дал (1747) формулу двояковыпуклой линзы, предложил метод расчёта показателя преломления среды. Э. придерживался волновой теории света. Он считал, что различным цветам соответствуют разные длины волн света. Э. предложил способы устранения хроматических аберрации линз и в 3-й части «Диоптрики» дал методы расчёта оптических узлов микроскопа. Обширный цикл работ, начатый в 1748, Э. посвятил математической физике: задачам о колебании струны, пластинки, мембраны и др. Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближённых методов анализа, спец. функций, дифференциальной геометрии и т.д. Многие математические открытия Э. содержатся именно в этих работах.

  Главным делом Э. как математика явилась разработка математического анализа. Он заложил основы нескольких математических дисциплин, которые только в зачаточном виде имелись или вовсе отсутствовали в исчислении бесконечно малых И. , Г. В. , Я. и И. Бернулли. Так, Э. первый ввёл функции комплексного аргумента («Введение в анализ», т. 1) и исследовал свойства основных элементарных функций комплексного переменного (показательные, логарифмические и тригонометрические функций); в частности, он вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной. Работы Э. в этом направлении положили начало теории функций комплексного переменного.

  Э. явился создателем вариационного исчисления, изложенного в работе «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума...» (1744). После работ Ж. Э. далее развил вариационное исчисление в «Интегральном исчислении» и ряде статей. Метод, с помощью которого Э. в 1744 вывел необходимое условие экстремума функционала - уравнение Эйлера, явился прообразом прямых методов вариационного исчисления 20 в. Э. создал как самостоятельную дисциплину теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и заложил основы теории уравнений с частными производными. Здесь ему принадлежит огромное число открытий: классический способ решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью бесконечных рядов, критерии особых решений, учение об интегрирующем множителе, различные приближённые методы и ряд приёмов решения уравнений с частными производными. Значит. часть этих результатов Э. собрал в своём «Интегральном исчислении».

  Э. обогатил также дифференциальное и интегральное исчисление в узком смысле слова (например, учение о замене переменных, теорема об однородных функциях, понятие двойного интеграла и вычисление многих специальных интегралов). В «Дифференциальном исчислении» Э. высказал и подкрепил примерами убеждение в целесообразности применения расходящихся рядов и предложил методы обобщённого суммирования рядов, предвосхитив идеи современной строгой теории расходящихся рядов, созданной на рубеже 19 и 20 вв. Кроме того, Э. получил в теории рядов множество конкретных результатов. Он открыл т. н. формулу суммирования Эйлера - Маклорена, предложил преобразование рядов, носящее его имя, определил суммы громадного количества рядов и ввёл в математику новые важные типы рядов (например, тригонометрические ряды). Сюда же примыкают исследования Э. по теории непрерывных дробей и других бесконечных процессов.

  Э. является основоположником теории специальных функций. Он первым начал рассматривать синус и косинус как функции, а не как отрезки в круге. Им получены почти все классического разложения элементарных функций в бесконечные ряды и произведения. В его трудах создана теория гамма-функции. Он исследовал свойства эллиптических интегралов, гиперболических и цилиндрических функций, дзета-функции, некоторых тета-функций, интегрального логарифма и важных классов специальных многочленов.

  По замечанию П. Л. , Э. положил начало всем изысканиям, составляющим общую часть теории чисел, к которой относится свыше 100 мемуаров Э. Так, Э. доказал ряд утверждений, высказанных П. (см., например, ), разработал основы теории степенных вычетов и теории квадратичных форм, обнаружил (но не доказал) квадратичный закон взаимности (см. ) и исследовал ряд задач диофантова анализа. В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел Э. впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввёл дзета-функцию и доказал т. н. тождество Э., связывающее простые числа со всеми натуральными.

  Велики заслуги Э. и в других областях математики. В алгебре ему принадлежат работы о решении в радикалах уравнений высших степеней и об уравнениях с двумя неизвестными, а также т. н. тождество Э. о четырёх квадратах. Э. значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввёл понятие главных направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развёртывающихся поверхностей и т.д.; в одной посмертно опубликованной работе (1862) он частично предварил исследования К. Ф. по внутренней геометрии поверхностей. Э. занимался и отд. вопросами топологии и доказал, например, важную теорему о выпуклых многогранниках. Э.-математика нередко характеризуют как гениального «вычислителя». Действительно, он был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид (например, ему принадлежат обозначения для еи p). Однако Э. был не только исключительной силы «вычислителем». Он внёс в науку ряд глубоких идей, которые ныне строго обоснованы и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.

  По выражению П. С. , Э. явился учителем математиков 2-й половины 18 в. От его работ непосредственно отправлялись в разнообразных исследованиях П. С. Лаплас, Ж. Л. Лагранж, Г. , А. М. , К. Ф. Гаусс, позднее О. Коши, М. В. , П. Л. Чебышев и др. Русские математики высоко ценили творчество Э., а деятели чебышевской школы видели в Э. своего идейного предшественника в его постоянном чувстве конкретности, в интересе к конкретным трудным задачам, требующим развития новых методов, в стремлении получать решения задач в форме законченных алгоритмов, позволяющих находить ответ с любой требуемой степенью точности.

  Соч.: Opera omnia... Series 1 - Opera mathematica, v. 1-29, Lausannae, 1911-56, Series 2 - Opera mechanica et astronomica, v. 1-30, В.- Lpz., 1912-74, Series 3-Opera physica, Miscellanae epistolae, v. 1-12, Lausannae, 1911-73, Series 4-Commercium epistolicum, v. 1, 1975; в рус. пер.- Универсальная арифметика, т. 1-2, СПБ, 1768- 1769; Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации..., СПБ, 1778; Введение в анализ бесконечных, т. 1-2, М., 1961; Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, М.-Л., 1934; Основы динамики точки, М.- Л., 1938; Новая теория движения Луны, Л., 1934; Дифференциальное исчисление, М.- Л., 1949; Интегральное исчисление, т. 1-3, М., 1956-1958; Избранные картографические статьи, М., 1959.

  Лит.:Ernestrцm G., Verzeichnis der Schriften Leonard Eulers, Lfg 1-2, Lpz., 1910-13 (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Ergдnzungsband 4, Lfg 1-2) [лит.]; Fuss N., Eloge de monsieur Lйonard Euler..., St. Pb., 1783 (лит.); в рус. пер.- Похвальная речь покойному Леонарду Эйлеру..., в кн.: Академические сочинения, выбранные из первого тома Деяний Академии наук, под заглавием: Nova Acta Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, ч. 1, СПБ, 1801; Симонов Н. И., Прикладные методы анализа у Эйлера, М., 1957; Леонард Эйлер. Сб. ст., М., 1958; Рукописные материалы Л. Эйлера в Архиве Академии наук СССР, т. 1, М.-Л., 1962; Юшкевич А. П., История математики в России до 1917 года, М., 1968.

  По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.

Л. Эйлер.

Эйлер Ульф Сванте фон

Э'йлер,Эйлер-Хельпин (von Euler-Chelpin) Ульф Сванте фон (р. 7.2.1905, Стокгольм), шведский физиолог. Сын Х. .Окончил Каролинский институт в Стокгольме (1929), где с 1930 ассистент кафедры фармакологии, с 1939 профессор физиологии. В 1930 работал в лаборатории Г. Дейла в Лондоне, где открыл существование в кишечной ткани биологически активного вещества «субстанции Р». Основные труды по физиологии адренергических нервных окончаний. Установил, что норадреналин является медиатором симпатической нервной системы. Подробно исследовал его распределение в нервах и органах, обмен при разных физиологических и патологических состояниях. Обнаружил и исследовал функциональную роль простагландинов (1936) и норадреналина (1946). Открыл субклеточные частицы, содержащие норадреналин, и вскрыл механизмы захвата, хранения, освобождения норадреналина этими частицами. Член Королевской шведской АН, Датской АН, Германской академии естествоиспытателей «Леопольдина», Лондонского королевского общества (1973). Нобелевская премия (1970, совместно с Б . , и Дж . ).

  Соч.: Noradrenaline. Springfield, 1956; Prostaglandins, N. Y.-L., 1967 (совм. с R. Eliasson).

  Л. Г. Магазаник.

Эйлера метод ломаных

Э'йлера ме'тод ло'маных,один из простейших методов численного решения дифференциальных уравнений. Предложен Л. в 1768. См. дифференциальных уравнений.

Эйлера период

Э'йлера пери'од,вычисленный Л. на основании некоторых теоретических допущений период в движении полюсов Земли. См. .

Эйлера подстановки

Э'йлера подстано'вки,подстановки, служащие для приведения интегралов вида

,

где  и R( x, y) - рациональная функция от хи у, к интегралам от рациональных функций (см. ) .Предложены Л. в 1768. Первая Э. п.

применима, если а>0; вторая Э. п.

применима, если с> 0; третья Э. п.

где l - один из корней трёхчлена ax ²+ bx + c, применима, если корни этого трёхчлена действительны. На практике Э. п. требуют громоздких преобразований и потому вместо них обычно пользуются теми или иными искусств. приёмами, упрощающими вычисление.

  Аналогичные подстановки делаются в теории чисел при решении неопределённых уравнений 2-й степени в рациональных числах.

Эйлера постоянная

Э'йлера постоя'нная,предел

  С =0,577215 ...,

рассмотренный Л. в 1740. Эйлер дал для Сряд представлений в форме рядов и интегралов; например,

,

,

где x( s) - .Встречается в теории различных классов специальных функций, например .До сих пор неизвестно, является ли Э. п. иррациональным числом.

Эйлера уравнение

Э'йлера уравне'ние,

 1) дифференциальное уравнение вида

, (*)

где a _o, ..., a _n-постоянные числа; при х>0 уравнение (*) подстановкой х = etсводится к с постоянными коэффициентами. Изучалось Л. с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой x' = ax + bуравнение

.

 2) Дифференциальное уравнение вида

,

где X( x) = a ₀x ⁴+ a ₁x ³+ a ₂ x ²+ a ₃x+ a ₄, Y( y) = а ₀у ⁴+а ₁у ³ +а ₂у ² +а ₃у +a ₄.Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F( х, у) =0, где F( х, у) -симметричный многочлен четвёртой степени от хи у.Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.

  3) Дифференциальное уравнение вида

'

служащее в для разыскания экстремалей интеграла

.

 Выведено Л. Эйлером в 1744.

Эйлера уравнения

Э'йлера уравне'ния,

  1) в механике - динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. в 1765.

  Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

I _x +( I _z- I _y) w _yw _z = M _x,

I _y +( I _x-  I _z) w _z w _x= M _y, (1)

I _z +( I _y - I _x) w _x w _y = M _z,

где I _x, I _y, I _z- тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, w _х , w _у, w _z-проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M _x, M _y, M _z-гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , ,    -проекции углового ускорения.

  Кинематические Э. у. дают выражения w _х , w _у, w _z через j, y, q и имеют вид

w _x = sin q sinj + cosj,

w _у= sin q cosj - sinj, (2)

w _z =  + cos q.

  Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

  2) В гидромеханике - дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u, u, w и проекции действующей объёмной силы X, У, Zрассматривать как функции координат x, у, zточек пространства и времени t(переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,